Matrica është një tabelë drejtkëndëshe e numrave. Llojet e matricave

Një matricë matematikore është një tabelë e elementeve të renditura. Dimensionet e kësaj tabele përcaktohen nga numri i rreshtave dhe kolonave në të. Sa i përket zgjidhjes së matricave, ata quajnë një numër të madh operacionesh që kryhen në të njëjtat matrica. Matematikanët dallojnë disa lloje matricash. Për disa prej tyre zbatohen rregullat e përgjithshme të vendimit, ndërsa për të tjerët jo. Për shembull, nëse matricat kanë të njëjtin dimension, atëherë ato mund të shtohen, dhe nëse janë në përputhje me njëra-tjetrën, atëherë ato mund të shumëzohen. Është e nevojshme të gjendet një përcaktues për të zgjidhur çdo matricë. Përveç kësaj, matricat i nënshtrohen transpozimit dhe gjetjes së të miturve në to. Pra, le të shohim se si të zgjidhim matricat.

Rendi i zgjidhjes së matricave

Së pari, shkruajmë matricat e dhëna. Ne numërojmë sa rreshta dhe kolona kanë. Nëse numri i rreshtave dhe kolonave është i njëjtë, atëherë një matricë e tillë quhet katror. Nëse çdo element i matricës është zero, atëherë kjo matricë është zero. Gjëja tjetër që bëjmë është të gjejmë diagonalen kryesore të matricës. Elementet e një matrice të tillë janë nga këndi i poshtëm i djathtë në të majtë lart. Diagonalja e dytë në matricë është një diagonale anësore. Tani duhet të transpozojmë matricën. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të zëvendësohen elementët e rreshtit në secilën prej dy matricave me elementët përkatës të kolonës. Për shembull, elementi nën a21 do të jetë elementi a12, ose anasjelltas. Kështu, pas kësaj procedure, duhet të shfaqet një matricë krejtësisht e ndryshme.

Nëse matricat kanë saktësisht të njëjtin dimension, atëherë ato mund të shtohen lehtësisht. Për ta bërë këtë, marrim elementin e parë të matricës së parë a11 dhe e shtojmë atë në elementin e ngjashëm të matricës së dytë b11. Çfarë ndodh si rezultat, ne shkruajmë në të njëjtin pozicion, vetëm në një matricë të re. Tani shtojmë të gjithë elementët e tjerë të matricës në të njëjtën mënyrë derisa të marrim një matricë të re krejtësisht të ndryshme. Le të shohim disa mënyra të tjera për të zgjidhur matricat.

Opsione për veprime me matrica

Ne gjithashtu mund të përcaktojmë nëse matricat janë të qëndrueshme. Për ta bërë këtë, ne duhet të krahasojmë numrin e rreshtave në matricën e parë me numrin e kolonave në matricën e dytë. Nëse janë të barabarta, mund t'i shumëzoni. Për ta bërë këtë, ne shumëzojmë në çift një element në një rresht të një matrice me një element të ngjashëm në një kolonë të një matrice tjetër. Vetëm pas kësaj do të jetë e mundur të llogaritet shuma e produkteve që rezultojnë. Bazuar në këtë, elementi fillestar i matricës që duhet të merret si rezultat do të jetë i barabartë me g11 = a11 * b11 + a12 * b21 + a13 * b31 + ... + a1m * bn1. Pasi të përfundojë mbledhja dhe shumëzimi i të gjitha produkteve, mund të plotësoni matricën përfundimtare.

Është gjithashtu e mundur, gjatë zgjidhjes së matricave, të gjendet përcaktorja dhe përcaktorja e tyre për secilën. Nëse matrica është katrore dhe ka një dimension 2 me 2, atëherë përcaktori mund të gjendet si diferenca e të gjitha produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore. Nëse matrica është tashmë tre-dimensionale, atëherë përcaktori mund të gjendet duke aplikuar formulën e mëposhtme. D \u003d a11 * a22 * a33 + a13 * a21 * a32 + a12 * a23 * a31 - a21 * a12 * a33 - a13 * a22 * a31 - a11 * a32 * a23.

Për të gjetur minorin e një elementi të caktuar, duhet të kryqëzoni kolonën dhe rreshtin ku ndodhet ky element. Pastaj gjeni përcaktorin e kësaj matrice. Ai do të jetë i mituri përkatës. Një metodë e ngjashme e matricës së vendimit u zhvillua disa dekada më parë për të rritur besueshmërinë e rezultatit duke e ndarë problemin në nënprobleme. Kështu, zgjidhja e matricave nuk është aq e vështirë nëse i njihni veprimet themelore matematikore.

Matricat. Veprimet në matrica. Vetitë e veprimeve në matrica. Llojet e matricave.

Matricat (dhe në përputhje me rrethanat seksioni matematik - algjebra matricë) janë të rëndësishme në matematikën e aplikuar, pasi lejojnë shkrimin në një formë mjaft të thjeshtë të një pjese të konsiderueshme të modeleve matematikore të objekteve dhe proceseve. Termi "matricë" u shfaq në 1850. Matricat u përmendën për herë të parë në Kinën e lashtë, më vonë nga matematikanët arabë.

Matricë A=Amn thirret rendi m*n tabela drejtkëndore e numrave që përmban m - rreshta dhe n - kolona.

Elementet e matricës aij, për të cilat i=j quhen diagonale dhe formë diagonale kryesore.

Për një matricë katrore (m=n), diagonalja kryesore formohet nga elementet a 11 , a 22 ,..., a nn .

Barazia e matricës.

A=B, nëse matrica urdhëron A dhe B janë të njëjta dhe a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Veprimet në matrica.

1. Shtimi i matricës - operacion sipas elementeve

2. Zbritja e matricës - veprim element pas elementi

3. Prodhimi i një matrice me një numër është një veprim element pas elementi

4. Shumëzimi A*B matricat sipas rregullit rresht për kolonë(numri i kolonave të matricës A duhet të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B)

A mk *B kn =C mn dhe çdo element me ij matricat Cmnështë e barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të rreshtit të i-të të matricës A nga elementët përkatës të kolonës j-të të matricës B, d.m.th.

Le të tregojmë veprimin e shumëzimit të matricës duke përdorur një shembull

5. Shprehja

m>1 është një numër i plotë pozitiv. A është një matricë katrore (m=n) d.m.th. relevante vetëm për matricat katrore

6. Transpozimi i matricës A. Matrica e transpozuar shënohet A T ose A "

Rreshtat dhe kolonat janë ndërruar

Shembull

Vetitë e veprimeve në matrica

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Llojet e matricave

1. Drejtkëndëshe: m dhe n- numra të plotë pozitivë arbitrarë

2. Sheshi: m=n

3. Rreshti i matricës: m=1. Për shembull, (1 3 5 7) - në shumë probleme praktike një matricë e tillë quhet vektor

4. Kolona e matricës: n=1. për shembull

5. Matrica diagonale: m=n dhe a ij =0, nëse i≠j. për shembull

6. Matrica e identitetit: m=n dhe

7. Matrica zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrica trekëndore: të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë 0.

9. Matrica simetrike: m=n dhe aij=aji(d.m.th., ka elementë të barabartë në vendet që janë simetrike në lidhje me diagonalen kryesore), dhe për këtë arsye A"=A

Për shembull,

10. Matrica e anuar: m=n dhe a ij =-a ji(d.m.th. elementet e kundërta qëndrojnë në vende që janë simetrike në lidhje me diagonalen kryesore). Prandaj, ka zero në diagonalen kryesore (sepse në i=j ne kemi a ii =-a ii)

Është e qartë, A"=-A

11. Matrica hermitiane: m=n dhe a ii =-ã ii (ã ji- kompleks - konjuguar me një ji, d.m.th. nëse A=3+2i, pastaj konjugati kompleks Ã=3-2i)

Ky është një koncept që përgjithëson të gjitha operacionet e mundshme të kryera me matrica. Matrica matematikore - një tabelë elementesh. Rreth një tavoline ku m linjat dhe n kolona, ​​thonë se kjo matricë ka dimensionin m në n.

Pamje e përgjithshme e matricës:

Për zgjidhjet e matricës ju duhet të kuptoni se çfarë është një matricë dhe të dini parametrat e saj kryesorë. Elementet kryesore të matricës:

• Diagonalja kryesore e përbërë nga elementë një 11, një 22 ..... një min.
• Diagonalja anësore e përbërë nga elementë a 1n ,а 2n-1 …..a m1.

Llojet kryesore të matricave:

• Sheshi - një matricë e tillë, ku numri i rreshtave = numri i kolonave ( m=n).
• Zero - ku të gjithë elementët e matricës = 0.
• Matrica e transpozuar - Matrica AT, e cila është marrë nga matrica origjinale A duke zëvendësuar rreshtat me kolona.
• Single - të gjithë elementët e diagonales kryesore = 1, të gjithë të tjerët = 0.
• Një matricë e kundërt është një matricë që, kur shumëzohet me matricën origjinale, rezulton në matricën e identitetit.

Matrica mund të jetë simetrike në lidhje me diagonalet kryesore dhe dytësore. Kjo është, nëse a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n =a mn-1, atëherë matrica është simetrike në lidhje me diagonalen kryesore. Vetëm matricat katrore mund të jenë simetrike.

Metodat për zgjidhjen e matricave.

Pothuajse te gjitha metodat e zgjidhjes së matricës janë për të gjetur përcaktuesin e saj n e rendit dhe shumica e tyre janë mjaft të rëndë. Për të gjetur përcaktorin e rendit të dytë dhe të tretë, ka mënyra të tjera, më racionale.

Gjetja e përcaktorëve të rendit të dytë.

Për të llogaritur përcaktorin e matricës POR Rendi i dytë, është e nevojshme të zbritet produkti i elementeve të diagonales dytësore nga produkti i elementeve të diagonales kryesore:

Metodat për gjetjen e përcaktorëve të rendit të tretë.

Më poshtë janë rregullat për gjetjen e përcaktorit të rendit të tretë.

Thjeshtoi rregullin e trekëndëshit si një nga metodat e zgjidhjes së matricës, mund të përfaqësohet si më poshtë:

Me fjalë të tjera, prodhimi i elementeve në përcaktorin e parë që lidhen me vija merret me shenjën "+"; gjithashtu, për përcaktuesin e dytë - produktet përkatëse merren me shenjën "-", domethënë sipas skemës së mëposhtme:

Në zgjidhja e matricave me rregullën Sarrus, në të djathtë të përcaktorit shtohen 2 kolonat e para dhe prodhimet e elementeve përkatës në diagonalen kryesore dhe në diagonalet që janë paralele me të merren me shenjën "+"; dhe prodhimet e elementeve përkatëse të diagonales dytësore dhe diagonaleve që janë paralele me të, me shenjën "-":

Zgjerimi i rreshtit ose kolonës së përcaktorit gjatë zgjidhjes së matricave.

Përcaktorja është e barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të rreshtit të përcaktorit dhe të plotësimeve algjebrike të tyre. Zakonisht zgjidhni rreshtin/kolonën në të cilën/të ka zero. Rreshti ose kolona në të cilën kryhet dekompozimi do të tregohet me një shigjetë.

Reduktimi i përcaktorit në formë trekëndore gjatë zgjidhjes së matricave.

Në zgjidhjen e matricave Duke e reduktuar përcaktorin në një formë trekëndore, ata funksionojnë kështu: duke përdorur shndërrimet më të thjeshta në rreshta ose kolona, ​​përcaktorja bëhet trekëndore dhe më pas vlera e saj, në përputhje me vetitë e përcaktorit, do të jetë e barabartë me produktin e elementeve. që qëndrojnë në diagonalen kryesore.

Teorema e Laplasit për zgjidhjen e matricave.

Kur zgjidhen matricat duke përdorur teoremën e Laplasit, është e nevojshme të njihet drejtpërdrejt vetë teorema. Teorema e Laplace: Le Δ është një përcaktues n- urdhri. Ne zgjedhim ndonjë k rreshtat (ose kolonat), të ofruara k≤ n - 1. Në këtë rast, shuma e produkteve të të gjithë të miturve k renditja e përmbajtur në të zgjedhurit k rreshtave (kolonave), shtesat algjebrike të tyre do të jenë të barabarta me përcaktorin.

Zgjidhja e matricës së anasjelltë.

Sekuenca e veprimeve për zgjidhjet e matricës së anasjelltë:

1. Zbuloni nëse matrica e dhënë është katrore. Në rastin e një përgjigje negative, bëhet e qartë se nuk mund të ketë një matricë të kundërt për të.
2. Llogaritim shtesat algjebrike.
3. Ne hartojmë matricën aleate (reciproke, të bashkangjitur). C.
4. Ne hartojmë një matricë të kundërt nga shtesat algjebrike: të gjithë elementët e matricës së bashkuar C pjesëtojeni me përcaktorin e matricës fillestare. Matrica që rezulton do të jetë matrica e dëshiruar e kundërt në lidhje me atë të dhënë.
5. Ne kontrollojmë punën e bërë: shumëzojmë matricën e matricave fillestare dhe rezultuese, rezultati duhet të jetë matrica e identitetit.

Zgjidhja e sistemeve matricore.

Për zgjidhjet e sistemeve matricore më së shpeshti përdoret metoda e Gausit.

Metoda e Gausit është një mënyrë standarde për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare algjebrike (SLAE) dhe konsiston në faktin se variablat eliminohen në mënyrë sekuenciale, d.m.th., me ndihmën e ndryshimeve elementare, sistemi i ekuacioneve sillet në një sistem ekuivalent të një formë trekëndore dhe prej saj, në mënyrë sekuenciale, duke u nisur nga e fundit (sipas numrit), gjeni çdo element të sistemit.

Metoda e Gausitështë mjeti më i gjithanshëm dhe më i mirë për gjetjen e zgjidhjeve të matricës. Nëse sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh ose sistemi është i papajtueshëm, atëherë ai nuk mund të zgjidhet duke përdorur rregullën e Cramer-it dhe metodën e matricës.

Metoda e Gausit nënkupton gjithashtu lëvizje direkte (reduktimi i matricës së zgjeruar në një formë shkallëzore, d.m.th. marrja e zerave nën diagonalen kryesore) dhe e kundërta (marrja e zerave mbi diagonalen kryesore të matricës së zgjeruar). Lëvizja përpara është metoda Gauss, e kundërta është metoda Gauss-Jordan. Metoda Gauss-Jordan ndryshon nga metoda Gauss vetëm në sekuencën e eliminimit të variablave.

Matricat në matematikë janë një nga objektet më të rëndësishme me rëndësi aplikative. Shpesh një ekskursion në teorinë e matricave fillon me fjalët: "Një matricë është një tabelë drejtkëndore ...". Ne do ta fillojmë këtë ekskursion nga një kënd pak më ndryshe.

Librat e telefonit të çdo madhësie dhe me çdo numër të dhënash të abonentëve nuk janë gjë tjetër veçse matrica. Këto matrica duken kështu:

Është e qartë se ne të gjithë përdorim matrica të tilla pothuajse çdo ditë. Këto matrica vijnë në numra të ndryshëm rreshtash (të dalluar si një direktori të lëshuar nga kompania telefonike, e cila mund të përmbajë mijëra, qindra mijëra, madje edhe miliona rreshta, dhe një fletore të re që sapo keni filluar, e cila ka më pak se dhjetë rreshta) dhe kolonat (një direktorium zyrtarësh të ndonjë organizate në të cilën mund të ketë kolona të tilla si pozicioni dhe numri i zyrës dhe i njëjti fletoren tuaj, ku mund të mos ketë të dhëna të tjera përveç emrit, dhe, kështu, ka vetëm dy kolona - emrin dhe numrin e telefonit).

Të gjitha matricat mund të shtohen dhe shumëzohen, dhe mbi to mund të kryhen operacione të tjera, por nuk ka nevojë të shtoni dhe shumëzoni drejtoritë telefonike, nuk ka asnjë përfitim nga kjo, dhe përveç kësaj, ju mund të lëvizni mendjen.

Por shumë matrica mund dhe duhet të shtohen dhe shumëzohen dhe detyra të ndryshme urgjente mund të zgjidhen në këtë mënyrë. Më poshtë janë shembuj të matricave të tilla.

Matricat në të cilat kolonat janë prodhimi i njësive të një lloji të caktuar produkti, dhe rreshtat janë vitet në të cilat është regjistruar prodhimi i këtij produkti:

Ju mund të shtoni matrica të këtij lloji, të cilat marrin parasysh prodhimin e produkteve të ngjashme nga ndërmarrje të ndryshme, për të marrë të dhëna përmbledhëse për industrinë.

Ose matricat, të përbëra, për shembull, nga një kolonë, në të cilën rreshtat janë kostoja mesatare e një lloji të caktuar produkti:

Matricat e dy llojeve të fundit mund të shumëzohen, dhe rezultati është një matricë rreshtash që përmban koston e të gjitha llojeve të produkteve sipas viteve.

Matricat, përkufizimet bazë

Tabela drejtkëndore e përbërë nga numra të renditur në m linjat dhe n kolona quhet mn-matricë (ose thjesht matricë ) dhe shkruhet kështu:

(1)

Në matricën (1) numrat quhen të saj elementet (si në përcaktuesin, indeksi i parë nënkupton numrin e rreshtit, i dyti - kolona, ​​në kryqëzimin e së cilës ka një element; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrica quhet drejtkëndëshe , nëse .

Nëse m = n, atëherë quhet matrica katrore , dhe numri n është i tij në rregull .

Përcaktori i matricës katrore A quhet përcaktor, elementet e së cilës janë elementet e matricës A. Ajo shënohet me simbolin | A|.

Matrica katrore quhet jo të veçanta (ose jo i degjeneruar , jo njëjës ) nëse përcaktorja e saj nuk është e barabartë me zero, dhe e veçantë (ose i degjeneruar , njëjës ) nëse përcaktorja e saj është zero.

Matricat quhen të barabartë nëse kanë të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash dhe të gjithë elementët që përputhen janë të njëjtë.

Matrica quhet i pavlefshëm nëse të gjithë elementët e tij janë të barabartë me zero. Matrica zero do të shënohet me simbolin 0 ose .

Për shembull,

matrica e rreshtave (ose shkronja të vogla ) quhet 1 n-matricë, dhe matrica e kolonës (ose kolone ) – m 1-matricë.

Matricë A" , e cila përftohet nga matrica A këmbimi i rreshtave dhe kolonave në të quhet transpozuar në lidhje me matricën A. Kështu, për matricën (1), matrica e transpozuar është

Kalimi në funksionimin e matricës A" , transpozuar në lidhje me matricën A, quhet transpozicioni i matricës A. Për mn-matrica e transpozuar është nm- matricë.

Matrica e transpozuar në lidhje me matricën është A, d.m.th

(A")" = A .

Shembulli 1 Gjeni Matricën A" , transpozuar në lidhje me matricën

dhe zbuloni nëse përcaktorët e matricave origjinale dhe të transpozuara janë të barabarta.

diagonale kryesore Një matricë katrore është një vijë imagjinare që lidh elementët e saj, për të cilën të dy indekset janë të njëjta. Këta elementë quhen diagonale .

Quhet një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët jashtë diagonales kryesore janë të barabartë me zero diagonale . Jo të gjithë elementët diagonale të një matrice diagonale janë domosdoshmërisht jozero. Disa prej tyre mund të jenë të barabarta me zero.

Një matricë katrore në të cilën elementët në diagonalen kryesore janë të barabartë me të njëjtin numër jozero, dhe të gjithë të tjerët janë të barabartë me zero, quhet matricë skalare .

matrica e identitetit quhet matricë diagonale në të cilën të gjithë elementët diagonalë janë të barabartë me një. Për shembull, matrica e identitetit të rendit të tretë është matrica

Shembulli 2 Të dhënat e matricës:

Vendimi. Le të llogarisim përcaktuesit e këtyre matricave. Duke përdorur rregullën e trekëndëshave, gjejmë

Përcaktues matricë B llogarit me formulën

Ne e marrim lehtësisht atë

Prandaj, matricat A dhe janë jo njëjës (jo të degjeneruar, jo njëjës), dhe matricë B- i veçantë (i degjeneruar, njëjës).

Përcaktori i një matrice identiteti të çdo rendi është padyshim i barabartë me një.

Zgjidheni vetë problemin e matricës dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 3 Të dhënat e matricës

,

,

Përcaktoni se cilat prej tyre janë jo njëjës (jo të degjeneruar, jo njëjës).

Zbatimi i matricave në modelimin matematik dhe ekonomik

Në formën e matricave, të dhënat e strukturuara për një objekt të caktuar shkruhen thjesht dhe me lehtësi. Modelet e matricës janë krijuar jo vetëm për të ruajtur këto të dhëna të strukturuara, por edhe për të zgjidhur probleme të ndryshme me këto të dhëna duke përdorur algjebër lineare.

Kështu, modeli i njohur i matricës së ekonomisë është modeli input-output i prezantuar nga ekonomisti amerikan me origjinë ruse Wassily Leontiev. Ky model bazohet në supozimin se i gjithë sektori i prodhimit të ekonomisë është i ndarë në n industritë e pastra. Secila prej industrive prodhon vetëm një lloj produkti dhe industri të ndryshme prodhojnë produkte të ndryshme. Për shkak të kësaj ndarje të punës midis industrive, ekzistojnë marrëdhënie ndërindustriale, kuptimi i të cilave është që një pjesë e prodhimit të secilës industri të transferohet në industri të tjera si burim prodhimi.

Vëllimi i prodhimit i- industria (e matur me një njësi matëse specifike) që është prodhuar gjatë periudhës raportuese, e shënuar me dhe quhet prodhimi i përgjithshëm i industrisë. Çështjet vendosen në mënyrë të përshtatshme n- rreshti përbërës i matricës.

Numri i njësive të produktit i-industria që do të shpenzohet j-industria për prodhimin e një njësie të prodhimit të saj, shënohet dhe quhet koeficienti i kostove direkte.

Udhëzim

Është vendosur numri i kolonave dhe rreshtave dimension matricat. Për shembull, dimension yu 5x6 ka 5 rreshta dhe 6 kolona. Në përgjithësi, dimension matricat shkruhet m×n, ku numri m tregon numrin e rreshtave, n - kolonave.

Nëse vargu ka dimension m×n, mund të shumëzohet me një grup n×l. Numri i kolonave në fillim matricat duhet të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të sekondës, përndryshe operacioni i shumëzimit nuk do të përcaktohet.

Dimensioni matricat tregon numrin e ekuacioneve në sistem dhe numrin e variablave. Numri i rreshtave përputhet me numrin e ekuacioneve dhe secila kolonë ka variablin e vet. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare "shënohet" në veprimet në matrica. Falë sistemit të shënimeve të matricës, sistemet e rendit të lartë janë të mundshme.

Nëse numri i rreshtave është i barabartë me numrin e kolonave, matrica është katrore. Ai përmban diagonalet kryesore dhe dytësore. Kryesorja shkon nga këndi i sipërm i majtë në të djathtën e poshtme, ai sekondar shkon nga e djathta e sipërme në të majtën e poshtme.

Vargjeve dimension dhe m×1 ose 1×n janë vektorë. Ju gjithashtu mund të përfaqësoni çdo rresht dhe çdo kolonë të një tabele arbitrare si një vektor. Për matrica të tilla, të gjitha veprimet në vektorë janë të përcaktuara.

Në programim, një tabelë drejtkëndore i jepen dy indekse, njëra prej të cilave kalon nëpër të gjithë rreshtin, tjetra - gjatësia e kolonës. Në këtë rast, cikli për një indeks vendoset brenda ciklit për një tjetër, për shkak të të cilit kalimi vijues i të gjithë dimensionit matricat.

matricatështë një mënyrë efikase e paraqitjes së informacionit numerik. Zgjidhja e çdo sistemi ekuacionesh lineare mund të shkruhet si një matricë (një drejtkëndësh i përbërë nga numra). Aftësia për të shumëzuar matricat është një nga aftësitë më të rëndësishme të mësuara në kursin e Algjebrës Lineare në arsimin e lartë.

Do t'ju duhet

• Llogaritësi

Udhëzim

Për të kontrolluar këtë kusht, mënyra më e lehtë është të përdorni algoritmin e mëposhtëm - shkruani dimensionin e matricës së parë si (a*b). Dimensioni i mëtejshëm i të dytës - (c*d). Nëse b=c - matricat janë proporcionale, ato mund të shumëzohen.

Pastaj bëni vetë shumëzimin. Mbani mend - kur shumëzoni dy matrica, ju merrni një matricë. Kjo do të thotë, problemi i shumëzimit reduktohet në problemin e gjetjes së një të reje, me dimension (a * d). Në SI, problemi i shumëzimit të matricës duket kështu:
matricë e pavlefshme (int m1[n], int m1_rresht, int m1_col, int m2[n], int m2_rresht, int m2_col, int m3[n], int m3_rresht, int m3_col)
(për (int i = 0; i< m3_row; i++)
për (int j = 0; j< m3_col; j++)
m3[i][j]=0;
për (int k = 0; k< m2_col; k++)
për (int i = 0; i< m1_row; i++)
për (int j = 0; j< m1_col; j++)
m3[i][k] += m1[i][j] * m2[j][k];
}

E thënë thjesht, matrica e re është shuma e produkteve të elementeve të rreshtit të matricës së parë nga elementët e kolonës së matricës së dytë. Nëse jeni një element i matricës së tretë me numër (1;2), atëherë thjesht duhet të shumëzoni rreshtin e parë të matricës së parë me kolonën e dytë të së dytës. Për ta bërë këtë, merrni parasysh shumën fillestare të barabartë me zero. Pastaj shumëzoni elementin e parë të rreshtit të parë me elementin e parë të kolonës së dytë, shtoni vlerën në shumë. Ju bëni këtë: shumëzoni elementin i-të të rreshtit të parë me elementin i-të të kolonës së dytë dhe shtoni rezultatet në shumë derisa rreshti të përfundojë. Shuma përfundimtare do të jetë elementi i dëshiruar.

Pasi të keni gjetur të gjithë elementët e matricës së tretë, shkruani atë. Ju keni gjetur puna matricat.

Burimet:

• Portali kryesor matematikor i Rusisë në 2019
• si të gjeni produktin e matricave në 2019

Një matricë matematikore është një tabelë e renditur e elementeve. Dimensioni matricat përcaktohet nga numri i rreshtave të tij m dhe kolonave n. Zgjidhja e matricës kuptohet si një grup operacionesh përgjithësuese të kryera në matrica. Ekzistojnë disa lloje matricash, disa prej tyre nuk janë të zbatueshme për një numër operacionesh. Ekziston një veprim i mbledhjes për matricat me të njëjtin dimension. Prodhimi i dy matricave gjendet vetëm nëse ato janë të pajtueshme. Për çdo matricat përcaktohet përcaktor. Gjithashtu, matrica mund të transpozohet dhe mund të përcaktohet minorja e elementeve të saj.

Udhëzim

Shkruani detyrat. Përcaktoni dimensionet e tyre. Për ta bërë këtë, numëroni numrin e kolonave n dhe rreshtave m. Nëse për një matricat m = n, matrica supozohet të jetë katror. Nëse të gjithë elementët matricat e barabartë me zero, matrica është zero. Përcaktoni diagonalen kryesore të matricave. Elementet e tij janë të vendosura nga këndi i sipërm i majtë matricat në të djathtën e poshtme. Së dyti, diagonale e kundërt matricatështë një anë.

Kryeni një transpozim matricë. Për ta bërë këtë, zëvendësoni në secilën rresht elementët me elementë të kolonës në lidhje me diagonalen kryesore. Elementi a21 do të bëhet elementi a12 matricat dhe anasjelltas. Si rezultat, nga çdo fillestar matricat merret një matricë e re e transpozuar.

Shtoni të dhënën matricat, nëse kanë të njëjtin dimension m x n. Për ta bërë këtë, merrni të parën matricat a11 dhe shtojeni me të njëjtin element b11 sekondë matricat. Shkruani rezultatin e mbledhjes në një të re në të njëjtin pozicion. Pastaj shtoni elementet a12 dhe b12 të të dy matricave. Kështu, plotësoni të gjitha rreshtat dhe kolonat e përmbledhjes matricat.

Përcaktoni nëse jepet matricat ra dakord. Për ta bërë këtë, krahasoni numrin e rreshtave n në të parën matricat dhe numri i kolonave m sekondë matricat. Nëse ato janë të barabarta, kryeni një produkt matricë. Për ta bërë këtë, shumëzoni çdo element të rreshtit të parë në çifte. matricat në elementin përkatës të kolonës së dytë matricat. Më pas gjeni shumën e këtyre produkteve. Kështu, elementi i parë i rezultatit matricat g11 = a11*b11 + a12*b21 + a13*b31 + ... + a1m*bn1. Kryeni shumëzimin dhe mbledhjen e të gjitha produkteve dhe plotësoni matricën që rezulton G.

Gjeni përcaktorin ose përcaktorin për çdo të dhënë matricat. Për matricat e së dytës - me përmasa 2 me 2 - përcaktori gjendet si prodhime të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore. matricat. Për 3D matricat përcaktor: D \u003d a11 * a22 * a33 + a13 * a21 * a32 + a12 * a23 * a31 - a21 * a12 * a33 - a13 * a22 * a31 - a11 * a32 * a23.

Burimet:

• matrica si të zgjidhet

matricat janë një grup rreshtash dhe kolonash, në kryqëzimin e të cilave ka elementë të matricës. matricat përdoren gjerësisht për zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Një nga veprimet bazë algjebrike në matrica është mbledhja e matricës. Si të shtoni matrica?

Udhëzim

Mund të shtoni vetëm matrica njëdimensionale. Nëse njëra ka m rreshta dhe n kolona, ​​atëherë matrica tjetër duhet të ketë gjithashtu m rreshta dhe n kolona. Sigurohuni që matricat e grumbullimit të jenë njëdimensionale.

Nëse matricat e paraqitura janë të së njëjtës madhësi, domethënë ato lejojnë veprimin algjebrik të mbledhjes, atëherë for është një matricë me të njëjtën madhësi. Për ta bërë atë, duhet të shtoni në çift të gjithë elementët e dy që ndodhen në të njëjtat vende. Merrni matricën e parë që ndodhet në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë. Shtoni atë në elementin e matricës së dytë, të vendosur në të njëjtin vend. Vendosni rezultatin në elementin e rreshtit të parë të kolonës së matricës totale. Bëni këtë për të gjithë elementët.

Shtimi i tre ose më shumë matricave reduktohet në mbledhjen e dy matricave. Për shembull, për të gjetur shumën e matricave A + B + C, së pari gjeni shumën e matricave A dhe B, pastaj shtoni matricën që rezulton në matricën C.

Video të ngjashme

E pakuptueshme në shikim të parë, matricat në fakt nuk janë aq të ndërlikuara. Ato gjejnë zbatim të gjerë praktik në ekonomi dhe kontabilitet. Matricat duken si tabela, në secilën kolonë dhe rresht që përmbajnë një numër, një funksion ose ndonjë vlerë tjetër. Ka disa lloje matricash.

Udhëzim

Për të mësuar matricën, njihuni me konceptet bazë të saj. Elementet përcaktuese të matricës janë diagonalet - dhe ana e saj. Kryesorja fillon me elementin në rreshtin e parë, kolonën e parë dhe vazhdon te elementi i kolonës së fundit, rreshti i fundit (d.m.th., shkon nga e majta në të djathtë). Diagonalja anësore fillon anasjelltas në rreshtin e parë, por kolona e fundit dhe vazhdon te elementi që ka koordinatat e kolonës së parë dhe rreshtit të fundit (shkon nga e djathta në të majtë).

Për të kaluar në përkufizimet dhe veprimet algjebrike në vijim me matricat, studioni llojet e matricave. Më të thjeshtat prej tyre janë katrori, njësia, zero dhe anasjelltas. Në të njëjtin numër kolonash dhe rreshtash. Matrica e transpozuar, le ta quajmë B, merret nga matrica A duke zëvendësuar kolonat me rreshta. Në njësi, të gjithë elementët e diagonales kryesore janë një, dhe të tjerët janë zero. Dhe në zero, edhe elementët e diagonaleve janë zero. Matrica e anasjelltë është ajo në të cilën matrica origjinale vjen në formën e identitetit.

Gjithashtu, matrica mund të jetë simetrike në lidhje me boshtet kryesore ose anësore. Kjo do të thotë, elementi që ka koordinatat a (1;2), ku 1 është numri i rreshtit dhe 2 është numri i kolonës, është i barabartë me a (2;1). A(3;1)=A(1;3) e kështu me radhë. Matricat e përputhura janë ato ku numri i kolonave të njërës është i barabartë me numrin e rreshtave të tjetrës (matrica të tilla mund të shumëzohen).

Veprimet kryesore që mund të kryhen me matrica janë mbledhja, shumëzimi dhe gjetja e përcaktorit. Nëse matricat kanë të njëjtën madhësi, d.m.th., ato kanë një numër të barabartë rreshtash dhe kolonash, atëherë ato mund të shtohen. Është e nevojshme të shtohen elementet që janë në të njëjtat vende në matrica, domethënë të shtoni një (m; n) me in (m; n), ku m dhe n janë koordinatat përkatëse të kolonës dhe rreshtit. Kur shtoni matrica, zbatohet rregulli kryesor i mbledhjes së zakonshme aritmetike - kur ndryshohen vendet e termave, shuma nuk ndryshon. Kështu, nëse në vend të një elementi të thjeshtë a