Le të fillojmë të studiojmë temën " integral i pacaktuar", dhe gjithashtu do të analizojmë në detaje shembuj të zgjidhjeve për integralet më të thjeshta (dhe jo aq të thjeshta). Si zakonisht, ne do të kufizohemi në minimumin e teorisë, i cili është në shumë libra shkollorë; detyra jonë është të mësojmë se si të zgjidhim integrale.

Çfarë duhet të dini për të zotëruar me sukses materialin? Për të përballuar llogaritjet integrale, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivate në një minimum, në një nivel të ndërmjetëm. Nuk do të jetë humbje e përvojës nëse keni disa dhjetëra, ose më mirë akoma, qindra derivate të gjetur në mënyrë të pavarur nën brezin tuaj. Së paku, nuk duhet të ngatërroheni nga detyrat për të dalluar funksionet më të thjeshta dhe më të zakonshme.

Duket, çfarë lidhje kanë derivatet nëse artikulli ka të bëjë me integrale?! Këtu është gjëja. Fakti është se gjetja e derivateve dhe gjetja e integraleve të pacaktuar (diferencimi dhe integrimi) janë dy veprime reciproke të anasjellta, si mbledhja/zbritja ose shumëzimi/pjestimi. Kështu, pa aftësi dhe asnjë përvojë në gjetjen e derivateve, për fat të keq, nuk mund të ecësh përpara.

Në këtë drejtim, do të na duhen materialet e mëposhtme mësimore: Tabela e derivateve Dhe Tabela e integraleve.

Cila është vështirësia në të mësuarit e integraleve të pacaktuara? Nëse në derivate ka rreptësisht 5 rregulla diferencimi, një tabelë derivatesh dhe një algoritëm mjaft të qartë veprimesh, atëherë në integrale gjithçka është e ndryshme. Ka dhjetëra metoda dhe teknika integrimi. Dhe, nëse metoda e integrimit fillimisht është zgjedhur gabimisht (d.m.th. nuk dini si ta zgjidhni), atëherë mund ta "godhni" integralin fjalë për fjalë për ditë të tëra, si një enigmë e vërtetë, duke u përpjekur të dalloni teknika dhe truke të ndryshme. Disa njerëz madje e pëlqejnë atë.

Meqë ra fjala, shpesh kemi dëgjuar nga studentët (jo të diplomuar në shkencat humane) një mendim si: “Nuk kam pasur kurrë ndonjë interes për të zgjidhur një kufi apo derivat, por integralet janë një çështje krejtësisht tjetër, është magjepsëse, ka gjithmonë një dëshira për të "hakuar" një integral kompleks." . Ndalo. Mjaft me humorin e zi, le të kalojmë tek këto integrale shumë të papërcaktuara.

Meqenëse ka shumë mënyra për ta zgjidhur atë, atëherë ku duhet të fillojë një çajnik të studiojë integrale të pacaktuara? Në llogaritjen integrale, sipas mendimit tonë, ekzistojnë tre shtylla ose një lloj "boshti" rreth të cilit rrotullohet gjithçka tjetër. Para së gjithash, duhet të keni një kuptim të mirë të integraleve më të thjeshta (ky artikull).

Pastaj ju duhet të punoni me mësim në detaje. KJO ESHTE TEKNIKA MË E RËNDËSISHME! Ndoshta edhe artikulli më i rëndësishëm nga të gjithë artikujt mbi integralet. Dhe së treti, duhet të lexoni patjetër Metoda e integrimit me pjesë, pasi integron një klasë të gjerë funksionesh. Nëse zotëroni të paktën këto tre mësime, atëherë nuk do të keni më dy. Ju mund të faleni që nuk e dini integrale të funksioneve trigonometrike, integrale të thyesave, integrale të funksioneve thyesore-racionale, integrale të funksioneve irracionale (rrënjët), por nëse "hyni në telashe" me metodën e zëvendësimit ose metodën e integrimit me pjesë, atëherë do të jetë shumë, shumë keq.

Pra, le të fillojmë thjesht. Le të shohim tabelën e integraleve. Ashtu si me derivatet, vërejmë disa rregulla integrimi dhe një tabelë integralesh të disa funksioneve elementare. Çdo integral i tabelës (dhe në të vërtetë çdo integral i pacaktuar) ka formën:

Le të kuptojmë menjëherë shënimet dhe termat:

- ikona integrale.

– funksioni integrand (i shkruar me shkronjën “s”).

- ikona diferenciale. Ne do të shohim se çfarë është kjo shumë shpejt. Gjëja kryesore është që kur shkruani integralin dhe gjatë zgjidhjes, është e rëndësishme të mos e humbni këtë ikonë. Do të ketë një defekt të dukshëm.

– shprehje integrale ose “mbushje” e integralit.

– antiderivativ funksionin.

– . Nuk ka nevojë të ngarkohemi shumë me terma; gjëja më e rëndësishme këtu është se në çdo integral të pacaktuar përgjigjes i shtohet një konstante.

Të zgjidhësh një integral të pacaktuar do të thotë të gjeshshumë funksione primitive nga integrani i dhënë

Le të shohim përsëri hyrjen:

Le të shohim tabelën e integraleve.

Cfare po ndodh? Kemi pjesët e majta të kthehet në te funksionet e tjera: .

Le të thjeshtojmë përkufizimin tonë:

Zgjidhja e integralit të pacaktuar - kjo do të thotë TRANSFORMOjeni atë në një funksion të papërcaktuar (deri në një konstante). , duke përdorur disa rregulla, teknika dhe një tabelë.

Merrni, për shembull, integralin e tabelës . Cfare ndodhi? Shënimi simbolik ka evoluar në shumë funksione primitive.

Ashtu si në rastin e derivateve, për të mësuar se si të gjeni integrale, nuk është e nevojshme të jeni të vetëdijshëm se çfarë është një funksion integral ose antiderivativ nga pikëpamja teorike. Mjafton thjesht të kryhen transformime sipas disa rregullave formale. Pra, në rast Nuk është aspak e nevojshme të kuptohet pse integrali kthehet në . Ju mund ta merrni këtë dhe formula të tjera si të mirëqena. Të gjithë përdorin energji elektrike, por pak njerëz mendojnë se si elektronet udhëtojnë nëpër tela.

Meqenëse diferencimi dhe integrimi janë operacione të kundërta, për çdo antiderivativ që gjendet saktë, sa vijon është e vërtetë:

Me fjalë të tjera, nëse dalloni përgjigjen e saktë, atëherë duhet të merrni funksionin origjinal të integrandit.

Le të kthehemi te i njëjti integral i tabelës .

Le të verifikojmë vlefshmërinë e kësaj formule. Marrim derivatin e anës së djathtë:

është funksioni origjinal i integrandit.

Nga rruga, është bërë më e qartë pse një konstante i caktohet gjithmonë një funksioni. Kur diferencohet, konstanta kthehet gjithmonë në zero.

Zgjidhja e integralit të pacaktuar- do të thotë të gjesh një tufë me të gjithë antiderivativë, dhe jo vetëm një funksion. Në shembullin e tabelës në shqyrtim, , , , etj. – të gjitha këto funksione janë zgjidhje për integralin. Ka pafundësisht shumë zgjidhje, kështu që ne i shkruajmë shkurtimisht:

Kështu, çdo integral i pacaktuar është mjaft i lehtë për t'u kontrolluar. Ky është një kompensim për një numër të madh integralesh të llojeve të ndryshme.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë shembuj specifikë. Le të fillojmë, si në studimin e derivatit, me dy rregulla integrimi:

– konstante C mund (dhe duhet) të hiqet nga shenja integrale.

– integrali i shumës (diferencës) së dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e dy integraleve. Ky rregull është i vlefshëm për çdo numër termash.

Siç mund ta shihni, rregullat janë në thelb të njëjta si për derivatet. Ndonjëherë ato quhen vetitë e linearitetit integrale.

Shembulli 1

Gjeni integralin e pacaktuar.

.

Kryeni kontrollin.

Zgjidhja:Është më i përshtatshëm për ta kthyer atë si.

(1) Zbatoni rregullin . Ne harrojmë të shkruajmë ikonën diferenciale dx nën çdo integral. Pse nën secilin? dx- ky është një shumëzues i plotë. Nëse e përshkruajmë në detaje, hapi i parë duhet të shkruhet kështu:

.

(2) Sipas rregullit i lëvizim të gjitha konstantet përtej shenjave të integraleve. Ju lutemi vini re se në mandatin e fundit tg 5 është një konstante, ne gjithashtu e nxjerrim atë.

Përveç kësaj, në këtë hap ne përgatisim rrënjët dhe fuqitë për integrim. Në të njëjtën mënyrë si me diferencimin, rrënjët duhet të përfaqësohen në formë . Lëvizni rrënjët dhe fuqitë që ndodhen në emërues lart.

Shënim: Ndryshe nga derivatet, rrënjët në integrale nuk duhet të reduktohen gjithmonë në formë , dhe lëvizni shkallët lart.

Për shembull, - ky është një integral tabele i gatshëm, i cili tashmë është llogaritur para jush, dhe të gjitha llojet e trukeve kineze si p.sh. krejtësisht të panevojshme. Po kështu: – edhe ky është një integral tabele, nuk ka kuptim të paraqesim thyesën në formë . Studioni me kujdes tabelën!

(3) Të gjitha integralet tona janë tabelare. Ne e kryejmë transformimin duke përdorur një tabelë duke përdorur formulat: , Dhe

për një funksion të energjisë - .

Duhet të theksohet se integrali i tabelës është një rast i veçantë i formulës për një funksion fuqie: .

Konstante C mjafton të shtohet një herë në fund të shprehjes

(në vend që t'i vendosim pas çdo integrali).

(4) Rezultatin e marrë e shkruajmë në një formë më kompakte, kur të gjitha fuqitë janë të formës

përsëri i përfaqësojmë në formën e rrënjëve dhe i rivendosim fuqitë me një eksponent negativ në emërues.

Ekzaminimi. Për të kryer kontrollin, duhet të dalloni përgjigjen e marrë:

Mori origjinalin integrand, pra integrali u gjet saktë. Ajo nga e cila kërcyen është ajo në të cilën ata u kthyen. Është mirë kur historia me integralin përfundon në këtë mënyrë.

Herë pas here, ekziston një qasje paksa e ndryshme për të kontrolluar një integral të pacaktuar, kur jo derivati, por diferenciali merret nga përgjigja:

.

Si rezultat, ne nuk marrim një funksion integrand, por një shprehje integrand.

Mos kini frikë nga koncepti i diferencialit.

Diferenciali është derivati ​​i shumëzuar me dx.

Megjithatë, ajo që është e rëndësishme për ne nuk janë hollësitë teorike, por çfarë të bëjmë më pas me këtë diferencial. Diferenciali shfaqet si më poshtë: ikona d e heqim, vendosim një kryetar në të djathtë mbi kllapa, shtojmë një faktor në fund të shprehjes dx :

U mor origjinali integrand, pra integrali u gjet saktë.

Siç mund ta shihni, diferenciali zbret në gjetjen e derivatit. Më pëlqen metoda e dytë e kontrollit më pak, pasi më duhet të vizatoj gjithashtu kllapa të mëdha dhe të tërhiq ikonën diferenciale dx deri në fund të kontrollit. Edhe pse është më e saktë, ose "më e respektueshme" ose diçka tjetër.

Në fakt, ishte e mundur të heshtej për metodën e dytë të verifikimit. Çështja nuk është në metodë, por në faktin se ne kemi mësuar të hapim diferencialin. Përsëri.

Diferenca zbulohet si më poshtë:

1) ikona d hiqni;

2) në të djathtë mbi kllapa vendosim një goditje (shënjimi i derivatit);

3) në fund të shprehjes caktojmë një faktor dx .

Për shembull:

Mbaje mend këte. Kjo teknikë do të na duhet shumë shpejt.

Shembulli 2

.

Kur gjejmë një integral të pacaktuar, GJITHMONË përpiqemi të kontrollojmë Për më tepër, ekziston një mundësi e madhe për këtë. Jo të gjitha llojet e problemeve në matematikën e lartë janë dhuratë nga ky këndvështrim. Nuk ka rëndësi që kontrolli shpesh nuk kërkohet në detyrat e kontrollit; askush dhe asgjë nuk ju pengon ta bëni atë në draft. Një përjashtim mund të bëhet vetëm kur nuk ka kohë të mjaftueshme (për shembull, gjatë një testi ose provimi). Personalisht, kontrolloj gjithmonë integralet, dhe mungesën e kontrollit e konsideroj si një punë hakerimi dhe një detyrë të përfunduar keq.

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar:

. Kryeni kontrollin.

Zgjidhje: Duke analizuar integralin, shohim se nën integral kemi produktin e dy funksioneve, madje edhe fuqizimin e një shprehjeje të tërë. Fatkeqësisht, në fushën e betejës integrale Nr e mirë dhe e rehatshme formulat për integrimin e produktit dhe koeficientit si: ose .

Prandaj, kur jepet një produkt ose koeficient, gjithmonë ka kuptim të shihet nëse është e mundur të shndërrohet integrani në një shumë? Shembulli në shqyrtim është rasti kur është e mundur.

Së pari, ne do të paraqesim zgjidhjen e plotë, komentet do të jenë më poshtë.

Mori origjinalin integrand, që do të thotë se integrali është gjetur saktë.

Gjatë testimit, këshillohet gjithmonë që funksioni të "paketohet" në formën e tij origjinale, në këtë rast, duke e nxjerrë atë nga kllapat dhe duke aplikuar formulën e shkurtuar të shumëzimit në drejtim të kundërt: .

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar

Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull për ju që ta zgjidhni vetë. Përgjigja dhe zgjidhja e plotë janë në fund të orës së mësimit.

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar

. Kryeni kontrollin.

Në këtë shembull, integrandi është një thyesë. Kur shohim një thyesë në integrand, mendimi i parë duhet të jetë pyetja: "A është e mundur që disi të heqim qafe këtë thyesë, ose të paktën ta thjeshtojmë atë?"

Vëmë re se emëruesi përmban një rrënjë të vetme të "X". Njëri në fushë nuk është luftëtar, që do të thotë se ne mund ta ndajmë numëruesin me emëruesin termi për termin:

Veprimet me fuqi thyesore nuk i komentojmë, pasi ato janë diskutuar shumë herë në artikuj mbi derivatin e një funksioni.

Nëse jeni akoma të hutuar nga një shembull i tillë si

dhe në asnjë rast nuk del përgjigja e saktë,

Gjithashtu vini re se zgjidhjes i mungon një hap, përkatësisht zbatimi i rregullave , . Zakonisht, me një përvojë në zgjidhjen e integraleve, këto rregulla konsiderohen një fakt i dukshëm dhe nuk përshkruhen në detaje.

Shembulli 6

Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull për ju që ta zgjidhni vetë. Përgjigja dhe zgjidhja e plotë janë në fund të orës së mësimit.

Në rastin e përgjithshëm, me fraksione në integrale, jo gjithçka është aq e thjeshtë; materiali shtesë për integrimin e fraksioneve të disa llojeve mund të gjendet në artikull: Integrimi i disa thyesave. Por, para se të kaloni në artikullin e mësipërm, duhet të njiheni me mësimin: Metoda e zëvendësimit në integral të pacaktuar. Çështja është se nënshtrimi i një funksioni nën një metodë zëvendësimi diferencial ose variabël është pika kyçe në studimin e temës, pasi ajo gjendet jo vetëm "në detyra të pastra mbi metodën e zëvendësimit", por edhe në shumë lloje të tjera integralesh.

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 2: Zgjidhja:

Shembulli 4: Zgjidhja:

Në këtë shembull kemi përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit

Shembulli 6: Zgjidhja:

Fjala "integral" vjen nga latinishtja integralis - integral. Ky emër u propozua në shekullin e 17-të. nxënës i të madhit Leibniz (dhe gjithashtu një matematikan i shquar) I. Bernoulli. Çfarë është një integral në kuptimin modern? Më poshtë do të përpiqemi t'i japim një përgjigje gjithëpërfshirëse kësaj pyetjeje.

Sfondi historik për shfaqjen e konceptit të integralit

Në fillim të shekullit të 17-të. Shkencëtarët kryesorë po shqyrtonin një numër të madh problemesh fizike (kryesisht mekanike) në të cilat ishte e nevojshme të studiohej varësia e disa sasive nga të tjerët. Problemet më të dukshme dhe urgjente ishin përcaktimi i shpejtësisë së menjëhershme të lëvizjes së pabarabartë të një trupi në çdo moment në kohë dhe problemi i kundërt i gjetjes së distancës së përshkuar nga trupi gjatë një periudhe të caktuar kohore gjatë një lëvizjeje të tillë. Sot ne tashmë e dimë se cili është integrali i shpejtësisë së lëvizjes - kjo është distanca e udhëtuar. Por të kuptuarit se si ta llogaritni atë, duke ditur shpejtësinë në çdo moment në kohë, nuk u shfaq menjëherë.

Në fillim, nga marrja në konsideratë e varësive të tilla të sasive fizike, për shembull, rruga në shpejtësi, u formua koncepti matematik i funksionit y = f (x). Studimi i vetive të funksioneve të ndryshme çoi në lindjen e analizës matematikore. Shkencëtarët kanë kërkuar në mënyrë aktive mënyra për të studiuar vetitë e funksioneve të ndryshme.

Si erdhi deri te llogaritja e integraleve dhe derivateve?

Pasi Dekarti krijoi themelet e gjeometrisë analitike dhe shfaqjen e aftësisë për të përshkruar vartësitë funksionale grafikisht në boshtet e sistemit të koordinatave karteziane, studiuesit u përballën me dy probleme të reja kryesore: si të vizatoni një tangjente në një vijë të lakuar në çdo pikë dhe si të gjejmë sipërfaqen e një figure të kufizuar më sipër nga kjo kurbë dhe drejtëza paralele me boshtet e koordinatave. Pa pritur, doli se e para prej tyre është e barabartë me gjetjen e shpejtësisë së menjëhershme, dhe e dyta është e barabartë me gjetjen e distancës së përshkuar. Në fund të fundit, gjatë lëvizjes së pabarabartë ajo u përshkrua në akset koordinative karteziane "distanca" dhe "koha" nga një vijë e lakuar.

Gjeniu i Leibniz-it dhe Njutonit në mesin e shekullit të 17-të. u krijuan metoda që bënë të mundur zgjidhjen e të dyja këtyre problemeve. Doli se për të tërhequr një tangjente në një kurbë në një pikë, është e nevojshme të gjendet vlera e të ashtuquajturit derivat të funksionit që përshkruan këtë kurbë në pikën e saj në shqyrtim, dhe kjo vlerë rezulton e barabartë në shkallën e ndryshimit të funksionit, d.m.th. në lidhje me varësinë "rruga nga shpejtësia" vetë shpejtësia e menjëhershme e trupit.

Për të gjetur zonën e kufizuar nga një vijë e lakuar, ishte e nevojshme të llogaritet një integral i caktuar, i cili jepte vlerën e tij të saktë. Derivati ​​dhe integrali janë konceptet bazë të llogaritjes diferenciale dhe integrale, të cilat janë baza e analizës moderne matematikore - dega më e rëndësishme e matematikës së lartë.

Zona nën një vijë të lakuar

Pra, si të përcaktohet vlera e saktë e tij? Le të përpiqemi të zbulojmë procesin e llogaritjes së tij përmes integralit në detaje, që nga bazat.

Le të jetë f një funksion i vazhdueshëm në interval. Konsideroni lakoren y = f(x), të paraqitur në figurën më poshtë. Si të gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga kurba), boshtin x dhe vijat x = a dhe x = b? Kjo është, zona e figurës së hijezuar në figurë.

Rasti më i thjeshtë është kur f është një funksion konstant; domethënë, kurba është një vijë horizontale f(X) = k, ku k është konstante dhe k ≥ 0, siç tregohet në figurën më poshtë.

Në këtë rast, zona nën kurbë është vetëm një drejtkëndësh me lartësi k dhe gjerësi (b - a), kështu që zona përcaktohet si: k · (b - a).

Zonat e disa figurave të tjera të thjeshta, si trekëndëshi, trapezi dhe gjysmërrethi, jepen me formula nga planimetria.

Sipërfaqja nën çdo kurbë të vazhdueshme y = f(x) jepet nga një integral i caktuar, i cili shkruhet në të njëjtën mënyrë si një integral i zakonshëm.

Shuma e Riemann

Para se të zhytemi në përgjigjen e detajuar të pyetjes se çfarë është një integral, le të theksojmë disa ide themelore.

Së pari, zona nën kurbë ndahet në një numër të caktuar n vijash vertikale me gjerësi mjaft të vogël Δx. Më pas, çdo shirit vertikal zëvendësohet nga një drejtkëndësh vertikal me lartësi f(x), gjerësi Δx dhe sipërfaqe f(x)dx. Hapi tjetër është të formoni shumën e sipërfaqeve të të gjithë këtyre drejtkëndëshave, të quajtur shuma e Riemann-it (shih fotot më poshtë).

Kur vizatojmë drejtkëndëshat tanë me gjerësi Δx, mund të marrim lartësinë e tyre të barabartë me vlerën e funksionit në skajin e majtë të çdo shiriti, d.m.th., pikat më të majta të anëve të tyre të sipërme të shkurtra me gjerësi Δx do të shtrihen në kurbë. Për më tepër, në pjesën ku funksioni rritet dhe kurba e tij është konveks, të gjithë drejtkëndëshat janë nën këtë kurbë, d.m.th. shuma e tyre sigurisht që do të jetë më e vogël se sipërfaqja e saktë nën kurbë në këtë seksion (shih figurën më poshtë). Kjo metodë e përafrimit quhet e majtë.

Në parim, mund të vizatohen drejtkëndësha të përafërt të tillë që pikat më të djathta të anëve të tyre të sipërme të shkurtra me gjerësi Δx të shtrihen në kurbë. Atëherë ato do të jenë mbi kurbë dhe përafrimi i sipërfaqes në këtë seksion do të jetë më i madh se vlera e saktë e tij, siç tregohet në figurën më poshtë. Kjo metodë quhet e djathtë.

Por ne gjithashtu mund të marrim lartësinë e secilit prej drejtkëndëshave të përafërt, e cila është thjesht e barabartë me një vlerë të funksionit në një pikë arbitrare x* i brenda shiritit përkatës Δx i (shih figurën më poshtë). Në këtë rast, ne mund të mos marrim as të njëjtën gjerësi të të gjitha shiritave.

Le të përpilojmë shumën e Riemann-it:

Kalimi nga shuma e Riemann-it në integralin e caktuar

Në matematikën e lartë, vërtetohet një teoremë që thotë se nëse, me një rritje të pakufizuar në numrin n të drejtkëndëshave të përafërt, gjerësia e tyre më e madhe tenton në zero, atëherë shuma e Rimanit A n tenton në një kufi të caktuar A. Numri A është njëjtë për çdo metodë të formimit të drejtkëndëshave të përafërt dhe për çdo zgjedhje të pikave x* i .

Një shpjegim vizual i teoremës është dhënë në figurën më poshtë.

Tregon se sa më të ngushtë të jenë drejtkëndëshat, aq më afër zonës së figurës së shkallëzuar është zona nën kurbë. Kur numri i drejtkëndëshave është n→∞, gjerësia e tyre është Δx i →0, dhe kufiri A i shumës A n është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e kërkuar. Ky kufi është integrali i caktuar i funksionit f (x):

Simboli integral, i cili është një shkronjë e modifikuar italike S, u prezantua nga Leibniz. J. B. Fourier sugjeroi vendosjen e kufijve mbi dhe poshtë shënimit integral. Vlerat fillestare dhe mbaruese të x tregohen qartë.

Interpretimi gjeometrik dhe mekanik i integralit të caktuar

Le të përpiqemi t'i japim një përgjigje të detajuar pyetjes se çfarë është një integral? Le të shqyrtojmë integralin në një interval të një funksioni pozitiv f(x) brenda tij, dhe supozojmë se kufiri i sipërm është më i madh se ai i poshtëm a

Nëse ordinatat e funksionit f(x) janë negative brenda, atëherë vlera absolute e integralit është e barabartë me sipërfaqen ndërmjet boshtit të abshisës dhe grafikut y=f(x), ndërsa vetë integrali është negativ.

Në rastin e një kryqëzimi të vetëm ose të përsëritur të grafikut y=f(x) me boshtin e abshisës në segmentin , siç tregohet në figurën më poshtë, për të llogaritur integralin është e nevojshme të përcaktohet diferenca në të cilën do të jetë minuend. e barabartë me sipërfaqen totale të seksioneve të vendosura mbi boshtin e abshisë, dhe nëntoka do të jetë e barabartë me sipërfaqen totale të parcelave të vendosura nën të.

Pra, për funksionin e paraqitur në figurën e mësipërme, integrali i caktuar nga a në b do të jetë i barabartë me (S1 + S3) - (S2 + S4).

Interpretimi mekanik i integralit të caktuar është i lidhur ngushtë me atë gjeometrik. Le të kthehemi në seksionin “Shuma e Riemann” dhe imagjinojmë se grafiku i paraqitur në figura shpreh funksionin e shpejtësisë v=f(t) për lëvizjen e pabarabartë të një pike materiale (boshti x është boshti i kohës). Atëherë zona e çdo drejtkëndëshi të përafërt me gjerësi Δt, të cilën e ndërtuam kur formuam shumën e Riemann-it, do të shprehë afërsisht rrugën e pikës në kohë Δt, përkatësisht v(t*)Δt.

Shuma totale e sipërfaqeve të drejtkëndëshave në segmentin nga t 1 =a në t 2 =b do të shprehë përafërsisht shtegun s gjatë kohës t 2 - t 1, dhe kufirin e tij, pra integralin (të përcaktuar) nga a në b i funksionit v = f(t ) nga dt do të japë vlerën e saktë të shtegut s.

Diferencial i një integrali të caktuar

Nëse i kthehemi emërtimit të saj, atëherë është mjaft e mundur të supozojmë se a = konst, dhe b është një vlerë specifike e disa ndryshoreve të pavarura x. Atëherë integrali i caktuar me një kufi të sipërm x̃ nga një numër specifik kthehet në funksion të x̃. Ky integral është i barabartë me sipërfaqen e figurës nën kurbë, e treguar nga pikat aABb në figurën më poshtë.

Me një vijë të palëvizshme aA dhe një vijë lëvizëse Bb, kjo zonë bëhet funksion i f(x̃), dhe rritja e Δx̃ ende vizatohet përgjatë boshtit x, dhe rritjet e funksionit f(x̃) janë rritjet e zona nën kurbë.

Le të supozojmë se ndryshores x̃ = b i kemi dhënë një rritje të vogël Δx̃. Pastaj rritja në zonën e figurës aABb është shuma e sipërfaqes së drejtkëndëshit (e hijezuar në figurë) Bb∙Δx̃ dhe sipërfaqes së figurës BDC nën kurbë. Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, pra është një funksion linear i rritjes së ndryshores së pavarur. Sipërfaqja e figurës BDC është padyshim më e vogël se sipërfaqja e drejtkëndëshit BDCK = Δx̃∙Δy, dhe me tendencë Δx̃ →0, ajo zvogëlohet edhe më shpejt. Kjo do të thotë se f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ është diferenciali i zonës së ndryshueshme aABb, pra diferenciali i një integrali të caktuar

Nga kjo mund të konkludojmë se llogaritja e integraleve konsiston në gjetjen e funksioneve nga shprehjet e dhëna të diferencialeve të tyre. Llogaritja integrale është pikërisht një sistem metodash për gjetjen e funksioneve të tilla duke përdorur diferencialet e tyre të njohura.

Lidhja themelore e njehsimit integral

Ai lidh marrëdhënien midis diferencimit dhe integrimit dhe tregon se ekziston një veprim i kundërt ndaj diferencimit të një funksioni - integrimi i tij. Gjithashtu tregon se nëse ndonjë funksion f(x) është i vazhdueshëm, atëherë duke zbatuar këtë operacion matematikor në të mund të gjendet një grup (bashkësi, grup) funksionesh që janë antiderivative për të (ose ndryshe, të gjendet integrali i pacaktuar i tij. ).

Le të tregojmë funksionin F(x) rezultatin e integrimit të funksionit f(x). Korrespondenca midis këtyre dy funksioneve si rezultat i integrimit të të dytit prej tyre shënohet si më poshtë:

Siç shihet, me simbolin integral nuk ka kufij të integrimit. Kjo do të thotë se nga një e caktuar shndërrohet në një integral të pacaktuar. Fjala "i pacaktuar" do të thotë se rezultati i operacionit të integrimit në këtë rast nuk është një, por shumë funksione. Në fund të fundit, përveç vetë funksionit F(x), shprehjet e fundit plotësohen edhe nga çdo funksion F(x)+C, ku C = konst. Kjo nënkupton që termi konstant në ansamblin e antiderivativëve mund të specifikohet në mënyrë arbitrare.

Duhet theksuar se nëse integrali i përcaktuar nga një funksion është një numër, atëherë integrali i pacaktuar është një funksion, ose më saktë, një grup i tyre. Termi "integrim" përdoret për të përcaktuar funksionin e gjetjes së të dy llojeve të integraleve.

Rregulli themelor i integrimit

Është saktësisht e kundërta e rregullit përkatës të diferencimit. Si merren integralet e pacaktuara? Ne do të shikojmë shembuj të kësaj procedure duke përdorur funksione specifike.

Le të shohim një funksion të përgjithshëm të fuqisë:

Pasi ta kemi bërë këtë me çdo term në shprehjen e funksionit që është i integrueshëm (nëse ka më shumë se një), shtojmë një konstante në fund. Kujtojmë se marrja e derivatit të një vlere konstante e shkatërron atë, kështu që marrja e integralit të çdo funksioni do të na japë rivendosjen e kësaj konstante. Ne e quajmë atë C sepse konstanta është e panjohur - mund të jetë çdo numër! Prandaj mund të kemi një numër të pafund shprehjesh për integralin e pacaktuar.

Le të shohim integrale të thjeshta të pacaktuara, shembujt e të cilëve tregohen më poshtë.

Supozoni se duhet të gjejmë integralin e funksionit:

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

Le të fillojmë me mandatin e parë. Ne shikojmë eksponentin e 2 dhe e rrisim atë me 1, pastaj pjesëtojmë termin e parë me eksponentin që rezulton prej 3. Marrim: 4(x 3) / 3.

Pastaj shikojmë anëtarin tjetër dhe bëjmë të njëjtën gjë. Meqenëse ka një eksponent 1, eksponenti që rezulton do të jetë 2. Pra, ne e ndajmë këtë term me 2: 2(x 2) / 2 = x 2.

Termi i fundit ka një faktor x, por ne thjesht nuk e shohim atë. Mund të mendojmë për termin e fundit si (-3x 0). Kjo është e barabartë me (-3)∙(1). Nëse përdorim rregullin e integrimit, do t'i shtojmë 1 eksponentit për ta ngritur atë në fuqinë e parë dhe pastaj do ta ndajmë termin e fundit me 1. Marrim 3x.

Ky rregull integrimi funksionon për të gjitha vlerat e n përveç n = - 1 (sepse nuk mund të pjesëtojmë me 0).

Ne shikuam shembullin më të thjeshtë të gjetjes së një integrali. Në përgjithësi, zgjidhja e integraleve nuk është një detyrë e lehtë dhe përvoja e grumbulluar tashmë në matematikë është një ndihmë e mirë.

Tabelat integrale

Në pjesën e mësipërme, pamë se nga çdo formulë diferencimi fitohet një formulë përkatëse e integrimit. Prandaj, të gjitha opsionet e tyre të mundshme janë marrë prej kohësh dhe janë përpiluar në tabela të përshtatshme. Tabela e integraleve më poshtë përmban formula për integrimin e funksioneve bazë algjebrike. Këto formula duhet të njihen përmendësh, duke i mësuar përmendësh gradualisht pasi konsolidohen me ushtrime.

Një tabelë tjetër e integraleve përmban funksionet bazë trigonometrike:

Si të llogarisim një integral të caktuar

Rezulton se ta bësh këtë, të dish të integrosh, domethënë të gjesh integrale të pacaktuara, është shumë e thjeshtë. Dhe formula e themeluesve të llogaritjes integro-diferenciale, Njutoni dhe Leibniz, ndihmon për këtë.

Sipas tij, llogaritja e integralit të dëshiruar konsiston në fazën e parë të gjetjes së të pacaktuarit, pastaj llogaritja e vlerës së antiderivativit të gjetur F(x) duke zëvendësuar x, i cili fillimisht është i barabartë me kufirin e sipërm, pastaj me atë të poshtëm. dhe, në fund, përcaktimi i diferencës së këtyre vlerave. Në këtë rast, konstantja C nuk duhet të shkruhet. sepse ajo zhduket kur kryhet zbritja.

Le të shohim disa integrale me zgjidhje të detajuara.

Le të gjejmë sipërfaqen e zonës nën një sinusoid gjysmë valë.

Le të llogarisim zonën e hijezuar nën hiperbolë.

Le të shqyrtojmë tani integralet me një zgjidhje të detajuar , duke përdorur vetinë e aditivitetit në shembullin e parë dhe zëvendësimin e një ndryshoreje të ndërmjetme integrimi në shembullin e dytë. Le të llogarisim integralin e caktuar të funksionit racional thyesor:

y=(1+t)/t 3 nga t=1 në t=2.

Tani do të tregojmë se si mund ta thjeshtoni marrjen e integralit duke futur një ndryshore të ndërmjetme. Supozojmë se duhet të llogarisim integralin e (x+1) 2 .

Rreth integraleve të pahijshme

Folëm për integralin e caktuar për një interval të fundëm të një funksioni f(x) të vazhdueshëm mbi të. Por një numër problemesh specifike çojnë në nevojën për të zgjeruar konceptin e integralit në rastin kur kufijtë (një ose të dy) janë të barabartë me pafundësinë, ose për një funksion të ndërprerë. Për shembull, kur llogariten zonat nën kthesa që afrohen asimptotikisht me boshtet koordinative. Për të zgjeruar konceptin e një integrali në këtë rast, përveç kalimit në kufi gjatë llogaritjes së shumës Riemanniane të drejtkëndëshave të përafërt, kryhet një hap më shumë. Me një kalim të tillë të dyfishtë në kufi, fitohet një integral i gabuar. Në të kundërt, të gjitha integralet e diskutuara më sipër quhen të duhura.

Integrale komplekse

Ky artikull përfundon temën e integraleve të pacaktuara dhe përfshin integrale që më duken mjaft komplekse. Mësimi u krijua me kërkesat e përsëritura të vizitorëve të cilët shprehën dëshirën e tyre që shembuj më të vështirë të analizohen në faqe.

Supozohet se lexuesi i këtij teksti është i përgatitur mirë dhe di të zbatojë teknikat bazë të integrimit. Dummies dhe njerëzit që nuk janë shumë të sigurt në integrale duhet t'i referohen mësimit të parë - Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh, ku mund ta zotëroni temën pothuajse nga e para. Studentët më me përvojë mund të njihen me teknikat dhe metodat e integrimit që nuk janë hasur ende në artikujt e mi.

Cilat integrale do të merren parasysh?

Së pari do të shqyrtojmë integrale me rrënjë, për zgjidhjen e të cilave përdorim me radhë zëvendësim i ndryshueshëm Dhe integrimi sipas pjesëve. Kjo do të thotë, në një shembull dy teknika kombinohen menjëherë. Dhe akoma më shumë.

Pastaj do të njihemi me interesante dhe origjinale metoda e reduktimit të integralit në vetvete. Mjaft integrale zgjidhen në këtë mënyrë.

Numri i tretë i programit do të jetë integrale të fraksioneve komplekse, të cilat kaluan pranë arkës në artikujt e mëparshëm.

Së katërti, do të analizohen integrale shtesë nga funksionet trigonometrike. Në veçanti, ka metoda që shmangin zëvendësimin universal trigonometrik që kërkon shumë kohë.

(2) Në funksionin e integrandit, ne e ndajmë numëruesin me emëruesin term me term.

(3) Ne përdorim vetinë e linearitetit të integralit të pacaktuar. Në integralin e fundit menjëherë vendos funksionin nën shenjën diferenciale.

(4) Marrim integralet e mbetura. Vini re se në një logaritëm mund të përdorni kllapa në vend të modulit, pasi .

(5) Ne kryejmë një zëvendësim të kundërt, duke shprehur "te" nga zëvendësimi i drejtpërdrejtë:

Nxënësit mazokistë mund të dallojnë përgjigjen dhe të marrin integrandin origjinal, siç bëra unë. Jo, jo, e bëra kontrollin në kuptimin e duhur =)

Siç mund ta shihni, gjatë zgjidhjes na është dashur të përdorim edhe më shumë se dy metoda zgjidhjeje, kështu që për t'u marrë me integrale të tilla ju nevojiten aftësi të sigurta integruese dhe mjaft përvojë.

Në praktikë, natyrisht, rrënja katrore është më e zakonshme; këtu janë tre shembuj për ta zgjidhur atë vetë:

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar

Këta shembuj janë të të njëjtit lloj, kështu që zgjidhja e plotë në fund të artikullit do të jetë vetëm për Shembullin 2; Shembujt 3-4 kanë të njëjtat përgjigje. Cili zëvendësim të përdoret në fillim të vendimeve, mendoj se është i qartë. Pse zgjodha shembuj të të njëjtit lloj? Shpesh gjenden në rolin e tyre. Më shpesh, ndoshta, diçka e tillë .

Por jo gjithmonë, kur nën funksionet arktangjente, sinus, kosinus, eksponencial dhe të tjera ka një rrënjë të një funksioni linear, duhet të përdorni disa metoda njëherësh. Në një numër rastesh, është e mundur të "zbrisni lehtë", domethënë, menjëherë pas zëvendësimit, merret një integral i thjeshtë, i cili mund të merret lehtësisht. Më e lehtë nga detyrat e propozuara më sipër është Shembulli 4, në të cilin, pas zëvendësimit, fitohet një integral relativisht i thjeshtë.

Duke e reduktuar integralin në vetvete

Një metodë e zgjuar dhe e bukur. Le të hedhim një vështrim në klasikët e zhanrit:

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar

Nën rrënjë është një binom kuadratik, dhe përpjekja për të integruar këtë shembull mund t'i japë çajnikut një dhimbje koke për orë të tëra. Një integral i tillë merret në pjesë dhe reduktohet në vetvete. Në parim, nuk është e vështirë. Nëse e dini se si.

Le të shënojmë integralin në shqyrtim me një shkronjë latine dhe të fillojmë zgjidhjen:

Le të integrojmë sipas pjesëve:

(1) Përgatitni funksionin integrand për ndarjen term pas termi.

(2) Ne e ndajmë funksionin integrand term me term. Mund të mos jetë e qartë për të gjithë, por unë do ta përshkruaj më në detaje:

(3) Ne përdorim vetinë e linearitetit të integralit të pacaktuar.

(4) Merrni integralin e fundit (logaritmi "i gjatë").

Tani le të shohim fillimin e zgjidhjes:

Dhe deri në fund:

Cfare ndodhi? Si rezultat i manipulimeve tona, integrali u reduktua në vetvete!

Le të barazojmë fillimin dhe fundin:

Lëvizni në anën e majtë me një ndryshim të shenjës:

Dhe ne i lëvizim të dy në anën e djathtë. Si rezultat:

Konstantja, në mënyrë rigoroze, duhej të ishte shtuar më herët, por e shtova në fund. Unë rekomandoj fuqimisht të lexoni se çfarë është ashpërsia këtu:

Shënim: Më rreptësisht, faza përfundimtare e zgjidhjes duket si kjo:

Kështu:

Konstanta mund të ridizajnohet nga . Pse mund të ridizajnohet? Sepse ai ende e pranon atë ndonjë vlerat, dhe në këtë kuptim nuk ka dallim ndërmjet konstanteve dhe.
Si rezultat:

Një truk i ngjashëm me renotim të vazhdueshëm përdoret gjerësisht në ekuacionet diferenciale. Dhe atje do të jem i rreptë. Dhe këtu e lejoj një liri të tillë vetëm për të mos ju ngatërruar me gjëra të panevojshme dhe për të përqendruar vëmendjen pikërisht në vetë metodën e integrimit.

Shembulli 6

Gjeni integralin e pacaktuar

Një tjetër integral tipik për zgjidhje të pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Do të ketë një ndryshim me përgjigjen në shembullin e mëparshëm!

Nëse nën rrënjën katrore ka një trinom katror, ​​atëherë zgjidhja në çdo rast zbret në dy shembuj të analizuar.

Për shembull, merrni parasysh integralin . Gjithçka që duhet të bëni është së pari zgjidhni një katror të plotë:
.
Tjetra, kryhet një zëvendësim linear, i cili bën "pa asnjë pasojë":
, duke rezultuar në integrale . Diçka e njohur, apo jo?

Ose ky shembull, me një binom kuadratik:
Zgjidhni një katror të plotë:
Dhe, pas zëvendësimit linear, marrim integralin, i cili gjithashtu zgjidhet duke përdorur algoritmin e diskutuar tashmë.

Le të shohim dy shembuj më tipikë se si të reduktohet një integral në vetvete:
– integrali i eksponencialit shumëzuar me sinus;
– integrali i eksponencialit shumëzuar me kosinusin.

Në integralet e listuara sipas pjesëve do t'ju duhet të integroni dy herë:

Shembulli 7

Gjeni integralin e pacaktuar

Integrandi është eksponenciali i shumëzuar me sinusin.

Ne integrojmë me pjesë dy herë dhe e zvogëlojmë integralin në vetvete:

Si rezultat i integrimit të dyfishtë nga pjesët, integrali u reduktua në vetvete. Ne barazojmë fillimin dhe fundin e zgjidhjes:

Ne e zhvendosim atë në anën e majtë me një ndryshim të shenjës dhe shprehim integralin tonë:

Gati. Në të njëjtën kohë, këshillohet të krehni anën e djathtë, d.m.th. hiqni eksponentin nga kllapat dhe vendosni sinusin dhe kosinusin në kllapa në një rend "të bukur".

Tani le të kthehemi në fillim të shembullit, ose më saktë, te integrimi sipas pjesëve:

Ne caktuam eksponentin si. Shtrohet pyetja: a është eksponenti që duhet të shënohet gjithmonë me ? Jo e nevojshme. Në fakt, në integralin e konsideruar në thelb nuk ka rëndësi, çfarë nënkuptojmë me , ne mund të kishim shkuar në anën tjetër:

Pse është e mundur kjo? Për shkak se eksponenciali kthehet në vetvete (si gjatë diferencimit ashtu edhe gjatë integrimit), sinusi dhe kosinusi kthehen reciprokisht në njëri-tjetrin (përsëri, si gjatë diferencimit ashtu edhe gjatë integrimit).

Kjo do të thotë, ne gjithashtu mund të shënojmë një funksion trigonometrik. Por, në shembullin e konsideruar, kjo është më pak racionale, pasi do të shfaqen thyesat. Nëse dëshironi, mund të përpiqeni ta zgjidhni këtë shembull duke përdorur metodën e dytë; përgjigjet duhet të përputhen.

Shembulli 8

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Para se të vendosni, mendoni se çfarë është më e dobishme në këtë rast të caktoni si funksion eksponencial apo trigonometrik? Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Dhe, sigurisht, mos harroni se shumica e përgjigjeve në këtë mësim janë mjaft të lehta për t'u kontrolluar me diferencim!

Shembujt e konsideruar nuk ishin më kompleksët. Në praktikë, integralet janë më të zakonshëm ku konstanta është edhe në eksponent edhe në argumentin e funksionit trigonometrik, për shembull: . Shumë njerëz do të ngatërrohen në një integral të tillë, dhe unë shpesh ngatërrohem vetë. Fakti është se ekziston një probabilitet i lartë që fraksionet të shfaqen në zgjidhje dhe është shumë e lehtë të humbasësh diçka nga pakujdesia. Për më tepër, ekziston një probabilitet i lartë i një gabimi në shenja; vini re se eksponenti ka një shenjë minus, dhe kjo sjell vështirësi shtesë.

Në fazën përfundimtare, rezultati shpesh është diçka e tillë:

Edhe në fund të zgjidhjes, duhet të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm dhe të kuptoni saktë thyesat:

Integrimi i thyesave komplekse

Dalëngadalë po i afrohemi ekuatorit të mësimit dhe fillojmë të konsiderojmë integrale të thyesave. Përsëri, jo të gjitha janë super komplekse, thjesht për një arsye ose një tjetër shembujt ishin pak "jashtë temës" në artikuj të tjerë.

Vazhdimi i temës së rrënjëve

Shembulli 9

Gjeni integralin e pacaktuar

Në emëruesin nën rrënjë ka një trinom kuadratik plus një "shtojcë" në formën e një "X" jashtë rrënjës. Një integral i këtij lloji mund të zgjidhet duke përdorur një zëvendësim standard.

Ne vendosim:

Zëvendësimi këtu është i thjeshtë:

Le të shohim jetën pas zëvendësimit:

(1) Pas zëvendësimit, ne i reduktojmë termat nën rrënjë në një emërues të përbashkët.
(2) E nxjerrim nga poshtë rrënjës.
(3) Numëruesi dhe emëruesi zvogëlohen me . Në të njëjtën kohë, nën rrënjë, i riorganizova termat në një mënyrë të përshtatshme. Me pak përvojë, hapat (1), (2) mund të anashkalohen duke kryer veprimet e komentuara me gojë.
(4) Integrali që rezulton, siç e mbani mend nga mësimi Integrimi i disa thyesave, po vendoset metoda e plotë e nxjerrjes katrore. Zgjidhni një katror të plotë.
(5) Me integrim fitojmë një logaritëm të zakonshëm “të gjatë”.
(6) Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt. Nëse fillimisht , atëherë kthehuni: .
(7) Veprimi përfundimtar synon të drejtojë rezultatin: nën rrënjë ne përsëri i sjellim termat në një emërues të përbashkët dhe i nxjerrim ato nga poshtë rrënjës.

Shembulli 10

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Këtu një konstante i shtohet vetëm "X" dhe zëvendësimi është pothuajse i njëjtë:

E vetmja gjë që duhet të bëni shtesë është të shprehni "x" nga zëvendësimi që po kryhet:

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Ndonjëherë në një integral të tillë mund të ketë një binom kuadratik nën rrënjë, kjo nuk e ndryshon metodën e zgjidhjes, do të jetë edhe më e thjeshtë. Ndjeje ndryshimin:

Shembulli 11

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 12

Gjeni integralin e pacaktuar

Zgjidhje dhe përgjigje të shkurtra në fund të orës së mësimit. Duhet të theksohet se Shembulli 11 është saktësisht integrali binom, metoda e zgjidhjes së së cilës u diskutua në klasë Integrale të funksioneve irracionale.

Integral i një polinomi të pazbërthyeshëm të shkallës së 2-të të fuqisë

(polinom në emërues)

Një lloj integrali më i rrallë, por gjithsesi i hasur në shembuj praktikë.

Shembulli 13

Gjeni integralin e pacaktuar

Por le të kthehemi te shembulli me numrin me fat 13 (sinqerisht, nuk e mora me mend saktë). Ky integral është gjithashtu një nga ato që mund të jetë mjaft frustruese nëse nuk dini si ta zgjidhni.

Zgjidhja fillon me një transformim artificial:

Unë mendoj se të gjithë tashmë e kuptojnë se si ta ndajnë numëruesin me emëruesin term pas termi.

Integrali që rezulton merret në pjesë:

Për një integral të formës ( – numri natyror) nxjerrim të përsëritura formula e reduktimit:
, Ku – integral i një shkalle më të ulët.

Le të verifikojmë vlefshmërinë e kësaj formule për integralin e zgjidhur.
Në këtë rast: , , ne përdorim formulën:

Siç mund ta shihni, përgjigjet janë të njëjta.

Shembulli 14

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhja e mostrës përdor formulën e mësipërme dy herë radhazi.

Nëse nën gradë është i pandashëm trinomi katror, ​​atëherë zgjidhja reduktohet në një binom duke izoluar katrorin e përsosur, për shembull:

Po sikur të ketë një polinom shtesë në numërues? Në këtë rast, përdoret metoda e koeficientëve të pacaktuar dhe funksioni i integrandit zgjerohet në një shumë fraksionesh. Por në praktikën time ekziston një shembull i tillë nuk u takuan kurrë, kështu që e humba këtë rast në artikull Integrale të funksioneve thyesore-racionale, do ta kaloj tani. Nëse ende hasni një integral të tillë, shikoni tekstin shkollor - gjithçka është e thjeshtë atje. Nuk mendoj se është e këshillueshme të përfshihet materiali (madje edhe i thjeshtë), probabiliteti për t'u përballur me të cilin priret në zero.

Integrimi i funksioneve komplekse trigonometrike

Mbiemri "kompleks" për shumicën e shembujve është përsëri kryesisht i kushtëzuar. Le të fillojmë me tangjentet dhe kotangjentet në fuqi të larta. Nga pikëpamja e metodave të zgjidhjes së përdorur, tangjentja dhe kotangjentja janë pothuajse e njëjta gjë, prandaj do të flas më shumë për tangjenten, duke nënkuptuar se metoda e demonstruar për zgjidhjen e integralit vlen edhe për kotangjenten.

Në mësimin e mësipërm ne shikuam zëvendësimi universal trigonometrik për zgjidhjen e një lloji të caktuar integralesh të funksioneve trigonometrike. Disavantazhi i zëvendësimit universal trigonometrik është se përdorimi i tij shpesh rezulton në integrale të rënda me llogaritje të vështira. Dhe në disa raste, zëvendësimi universal trigonometrik mund të shmanget!

Le të shqyrtojmë një shembull tjetër kanonik, integralin e njërit të ndarë me sinus:

Shembulli 17

Gjeni integralin e pacaktuar

Këtu mund të përdorni zëvendësimin universal trigonometrik dhe të merrni përgjigjen, por ka një mënyrë më racionale. Unë do të jap zgjidhjen e plotë me komente për çdo hap:

(1) Ne përdorim formulën trigonometrike për sinusin e një këndi të dyfishtë.
(2) Ne kryejmë një transformim artificial: Pjestojeni në emërues dhe shumëzoni me .
(3) Duke përdorur formulën e njohur në emërues, ne e shndërrojmë thyesën në një tangjente.
(4) E sjellim funksionin nën shenjën diferenciale.
(5) Merrni integralin.

Disa shembuj të thjeshtë për t'i zgjidhur vetë:

Shembulli 18

Gjeni integralin e pacaktuar

Shënim: Hapi i parë duhet të jetë përdorimi i formulës së reduktimit dhe kryeni me kujdes veprime të ngjashme me shembullin e mëparshëm.

Shembulli 19

Gjeni integralin e pacaktuar

Epo, ky është një shembull shumë i thjeshtë.

Plotësoni zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Unë mendoj se tani askush nuk do të ketë probleme me integralet:
e kështu me radhë.

Cila është ideja e metodës? Ideja është që të përdoren transformimet dhe formulat trigonometrike për të organizuar vetëm tangjentet dhe derivatin tangjentë në integrand. Kjo do të thotë, ne po flasim për zëvendësimin: . Në Shembujt 17-19 ne në fakt përdorëm këtë zëvendësim, por integralet ishin aq të thjeshta sa ia dolëm me një veprim ekuivalent - duke e futur funksionin nën shenjën diferenciale.

Arsyetim i ngjashëm, siç e përmenda tashmë, mund të kryhet për kotangjentën.

Ekziston gjithashtu një parakusht formal për aplikimin e zëvendësimit të mësipërm:

Shuma e fuqive të kosinusit dhe sinusit është një numër i plotë negativ BES, Për shembull:

për integralin - një numër i plotë negativ EVEN.

! shënim : nëse integrani përmban VETËM një sinus ose VETËM një kosinus, atëherë integrali merret edhe për një shkallë negative tek (rastet më të thjeshta janë në Shembujt nr. 17, 18).

Le të shohim disa detyra më kuptimplote bazuar në këtë rregull:

Shembulli 20

Gjeni integralin e pacaktuar

Shuma e fuqive të sinusit dhe kosinusit: 2 – 6 = –4 është një numër i plotë negativ EVEN, që do të thotë se integrali mund të reduktohet në tangjente dhe derivatin e tij:

(1) Le të transformojmë emëruesin.
(2) Duke përdorur formulën e njohur, marrim .
(3) Le të transformojmë emëruesin.
(4) Ne përdorim formulën .
(5) E sjellim funksionin nën shenjën diferenciale.
(6) Ne kryejmë zëvendësimin. Studentët më me përvojë mund të mos e kryejnë zëvendësimin, por është akoma më mirë të zëvendësohet tangjentja me një shkronjë - ka më pak rrezik për t'u ngatërruar.

Shembulli 21

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Prisni atje, raundet e kampionatit janë gati të fillojnë =)

Shpesh integrandi përmban një "hodgepodge":

Shembulli 22

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky integral fillimisht përmban një tangjente, e cila çon menjëherë në një mendim tashmë të njohur:

Transformimin artificial do ta lë në fillim dhe hapat e mbetur pa koment, pasi gjithçka është diskutuar tashmë më lart.

Disa shembuj krijues për zgjidhjen tuaj:

Shembulli 23

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 24

Gjeni integralin e pacaktuar

Po, në to, natyrisht, ju mund të ulni fuqitë e sinusit dhe kosinusit dhe të përdorni një zëvendësim universal trigonometrik, por zgjidhja do të jetë shumë më efikase dhe më e shkurtër nëse kryhet përmes tangjenteve. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të orës së mësimit

Reduktimi në formë tabelare ose metoda e integrimit të drejtpërdrejtë. Duke përdorur transformime identike të integrandit, integrali reduktohet në një integral për të cilin zbatohen rregullat bazë të integrimit dhe është e mundur të përdoret një tabelë e integraleve bazë.

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int 2^(3 x-1) d x$

Zgjidhje. Le të përdorim vetitë e integralit dhe ta zvogëlojmë këtë integral në formë tabelare.

$\int 2^(3 x-1) d x=\int 2^(3 x) \cdot 2^(-1) d x=\frac(1)(2) \int\left(2^(3)\ djathtas)^(x) d x=$

$=\frac(1)(2) \int 8^(x) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

Përgjigju.$\int 2^(3 x-1) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

lidhje →

2. Hyrja nën shenjën diferenciale

3. Integrimi me ndryshim të ndryshores

Integrimi me ndryshim të variablës ose metodës së zëvendësimit. Le të jetë $x=\phi(t)$, ku funksioni $\phi(t)$ ka një derivat të vazhdueshëm $\phi^(\prime)(t)$, dhe ka një korrespondencë një-për-një ndërmjet variablat $x$ dhe $t$ . Atëherë barazia është e vërtetë

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^(\prime)(t) \cdot d t$

Integrali i caktuar varet nga ndryshorja e integrimit, kështu që nëse bëhet një ndryshim i variablave, atëherë duhet të ktheheni në variablin origjinal të integrimit.

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int \frac(d x)(3-5 x)$

Zgjidhje. Le të zëvendësojmë emëruesin me ndryshoren $t$ dhe ta zvogëlojmë integralin origjinal në një tabelor.

$=-\frac(1)(5) \ln |t|+C=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Përgjigju.$\int \frac(d x)(3-5 x)=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Lexoni më shumë rreth kësaj metode të zgjidhjes së integraleve në lidhjen →

4. Integrimi sipas pjesëve

Integrimi sipas pjesëve quhet integrim sipas formulës

$\int u d v=u v-\int v d u$

Kur gjeni një funksion $v$ nga diferenciali i tij $d v$, mund të merrni çdo vlerë të konstantës së integrimit $C$, pasi nuk përfshihet në rezultatin përfundimtar. Prandaj, për lehtësi, do të marrim $C=0$ .

Përdorimi i formulës së integrimit sipas pjesëve është i këshillueshëm në rastet kur diferencimi thjeshton njërin nga faktorët, ndërsa integrimi nuk e ndërlikon tjetrin.

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int x \cos x d x$

Zgjidhje. Në integralin origjinal, ne izolojmë funksionet $u$ dhe $v$, më pas kryejmë integrimin sipas pjesëve.

$=x \sin x+\cos x+C$

Përgjigju.$\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Një antiderivativ F(x) i një funksioni f(x) është një funksion derivati ​​i të cilit është i barabartë me f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Ku Δ - intervali mbi të cilin plotësohet ky ekuacion.

Bashkësia e të gjithë antiderivativëve quhet integral i pacaktuar:
,
ku C është një konstante e pavarur nga ndryshorja x.

Formulat dhe metodat bazë të integrimit

Tabela e integraleve

Qëllimi përfundimtar i llogaritjes së integraleve të pacaktuar është, nëpërmjet transformimeve, të reduktohet një integral i caktuar në një shprehje që përmban integralet më të thjeshta ose tabelare.
Shih Tabelën e Integraleve >>>

Rregulla për integrimin e shumave (diferencat)

Lëvizja e konstantës jashtë shenjës integrale

Le të jetë c një konstante e pavarur nga x. Pastaj mund të hiqet nga shenja integrale:

Zëvendësimi i ndryshueshëm

Le të jetë x një funksion i ndryshores t, x = φ(t), atëherë
.
Ose anasjelltas, t = φ(x) ,
.

Duke përdorur një ndryshim të ndryshores, jo vetëm që mund të llogaritni integrale të thjeshta, por edhe të thjeshtoni llogaritjen e atyre më komplekse.

Rregulli i integrimit sipas pjesëve

Integrimi i thyesave (funksionet racionale)

Le të prezantojmë shënimin. Le të shënojmë P k (x), Q m (x), R n (x) polinome të shkallëve k, m, n, përkatësisht, në lidhje me ndryshoren x.

Konsideroni një integral të përbërë nga një pjesë e polinomeve (i ashtuquajturi funksion racional):

Nëse k ≥ n, atëherë së pari duhet të zgjidhni të gjithë pjesën e thyesës:
.
Integrali i polinomit S k-n (x) llogaritet duke përdorur tabelën e integraleve.

Integrali mbetet:
, ku m< n .
Për ta llogaritur atë, integrandi duhet të zbërthehet në thyesa të thjeshta.

Për ta bërë këtë ju duhet të gjeni rrënjët e ekuacionit:
Q n (x) = 0 .
Duke përdorur rrënjët e marra, duhet të përfaqësoni emëruesin si produkt i faktorëve:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Këtu s është koeficienti për x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Pas kësaj, zbërthejeni thyesën në formën e saj më të thjeshtë:

Duke integruar, marrim një shprehje të përbërë nga integrale më të thjeshta.
Integrale të formës

reduktohen në zëvendësim tabelor t = x - a.

Konsideroni integralin:

Le të transformojmë numëruesin:
.
Duke zëvendësuar në integrand, marrim një shprehje që përfshin dy integrale:
,
.
E para, me zëvendësim t = x 2 + ex + f, reduktohet në një tabelë.
Së dyti, sipas formulës së reduktimit:

reduktohet në integral

Le ta zvogëlojmë emëruesin e tij në shumën e katrorëve:
.
Pastaj me zëvendësim, integrali

është edhe tabela.

Integrimi i funksioneve irracionale

Le të prezantojmë shënimin. Le të nënkuptojmë R(u 1, u 2, ..., u n) një funksion racional të ndryshoreve u 1, u 2, ..., u n. Kjo eshte
,
ku P, Q janë polinome në variablat u 1, u 2, ..., u n.

Irracionaliteti linear thyesor

Le të shqyrtojmë integralet e formës:
,
ku janë numrat racionalë, m 1, n 1, ..., m s, n s janë numra të plotë.
Le të jetë n emëruesi i përbashkët i numrave r 1, ..., r s.
Pastaj integrali reduktohet në integralin e funksioneve racionale me zëvendësim:
.

Integrale nga binomet diferenciale

Konsideroni integralin:
,
ku m, n, p janë numra racional, a, b janë numra realë.
Integrale të tilla reduktohen në integrale të funksioneve racionale në tre raste.

1) Nëse p është një numër i plotë. Zëvendësimi x = t N, ku N është emëruesi i përbashkët i thyesave m dhe n.
2) Nëse - një numër i plotë. Zëvendësimi a x n + b = t M, ku M është emëruesi i numrit p.
3) Nëse - një numër i plotë. Zëvendësimi a + b x - n = t M, ku M është emëruesi i numrit p.

Nëse asnjë nga tre numrat nuk është një numër i plotë, atëherë, sipas teoremës së Chebyshev, integralet e këtij lloji nuk mund të shprehen me një kombinim të fundëm të funksioneve elementare.

Në disa raste, së pari është e dobishme të zvogëloni integralin në vlera më të përshtatshme m dhe p. Kjo mund të bëhet duke përdorur formulat e reduktimit:
;
.

Integrale që përmbajnë rrënjën katrore të një trinomi katror

Këtu konsiderojmë integrale të formës:
,

Zëvendësimet e Euler-it

Integrale të tilla mund të reduktohen në integrale të funksioneve racionale të njërit prej tre zëvendësimeve të Euler-it:
, për një > 0;
, për c > 0 ;
, ku x 1 është rrënja e ekuacionit a x 2 + b x + c = 0. Nëse ky ekuacion ka rrënjë reale.

Zëvendësimet trigonometrike dhe hiperbolike

Metodat e drejtpërdrejta

Në shumicën e rasteve, zëvendësimet e Euler-it rezultojnë në llogaritje më të gjata se metodat direkte. Duke përdorur metoda të drejtpërdrejta, integrali reduktohet në një nga format e listuara më poshtë.

Lloji I

Integrali i formës:
,
ku P n (x) është një polinom i shkallës n.

Integrale të tilla gjenden me metodën e koeficientëve të pacaktuar duke përdorur identitetin:

Duke e diferencuar këtë ekuacion dhe duke barazuar anën e majtë dhe të djathtë, gjejmë koeficientët A i.

Lloji II

Integrali i formës:
,
ku P m (x) është një polinom i shkallës m.

Zëvendësimi t = (x - α) -1 ky integral reduktohet në llojin e mëparshëm. Nëse m ≥ n, atëherë thyesa duhet të ketë një pjesë të plotë.

Lloji III

Lloji i tretë dhe më kompleks:
.

Këtu ju duhet të bëni një zëvendësim:
.
Pas së cilës integrali do të marrë formën:
.
Më pas, konstantet α, β duhet të zgjidhen të tilla që koeficientët për t të bëhen zero:
B = 0, B 1 = 0.
Pastaj integrali zbërthehet në shumën e integraleve të dy llojeve:
;
,
të cilat janë të integruara, përkatësisht, nga zëvendësimet:
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Rasti i përgjithshëm

Integrimi i funksioneve transcendentale (trigonometrike dhe eksponenciale).

Le të theksojmë paraprakisht se metodat që janë të zbatueshme për funksionet trigonometrike janë të zbatueshme edhe për funksionet hiperbolike. Për këtë arsye, ne nuk do të shqyrtojmë veçmas integrimin e funksioneve hiperbolike.

Integrimi i funksioneve racionale trigonometrike të cos x dhe sin x

Le të shqyrtojmë integrale të funksioneve trigonometrike të formës:
,
ku R është një funksion racional. Kjo mund të përfshijë gjithashtu tangjente dhe kotangjente, të cilat duhet të konvertohen duke përdorur sinus dhe kosinus.

Kur integroni funksione të tilla, është e dobishme të mbani parasysh tre rregulla:
1) nëse R( cos x, sin x) shumëzuar me -1 nga ndryshimi i shenjës përpara njërës prej madhësive cos x ose mëkat x, atëherë është e dobishme të shënojmë tjetrin me t.
2) nëse R( cos x, sin x) nuk ndryshon për shkak të një ndryshimi të shenjës në të njëjtën kohë më parë cos x Dhe mëkat x, atëherë është e dobishme për të vënë tg x = t ose ahur x = t.
3) zëvendësimi në të gjitha rastet çon në integralin e thyesës racionale. Fatkeqësisht, ky zëvendësim rezulton në llogaritje më të gjata se ato të mëparshme, nëse është e aplikueshme.

Produkti i funksioneve të fuqisë së cos x dhe sin x

Le të shqyrtojmë integralet e formës:

Nëse m dhe n janë numra racional, atëherë njëri nga zëvendësimet t = mëkat x ose t = cos x integrali reduktohet në integralin e binomit diferencial.

Nëse m dhe n janë numra të plotë, atëherë integralet llogariten me integrim sipas pjesëve. Kjo prodhon formulat e mëposhtme të reduktimit:

;
;
;
.

Integrimi sipas pjesëve

Zbatimi i formulës së Euler-it

Nëse integrandi është linear në lidhje me një nga funksionet
cos sëpatë ose sinax, atëherë është e përshtatshme të zbatohet formula e Euler:
e iax = cos sëpatë + isin sëpatë(ku i 2 = - 1 ),
duke e zëvendësuar këtë funksion me e iax dhe duke nxjerrë në pah atë realen (kur zëvendësohet cos sëpatë) ose pjesë imagjinare (kur zëvendësohet sinax) nga rezultati i fituar.

Referencat:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksioni i problemeve në matematikën e lartë, "Lan", 2003.