Për përcaktuesit e rendit të katërt dhe më të lartë, zakonisht përdoren metoda llogaritëse të ndryshme nga përdorimi i formulave të gatshme si për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë. Një nga metodat për llogaritjen e përcaktuesve të rendit më të lartë është përdorimi i një përfundimi të teoremës së Laplace (vetë teorema mund të gjendet, për shembull, në librin e A.G. Kurosh "Kursi i Algjebrës së Lartë"). Kjo përfundim na lejon të zgjerojmë përcaktorin në elementë të një rreshti ose kolone të caktuar. Në këtë rast, llogaritja e përcaktorit të rendit të n-të reduktohet në llogaritjen e n përcaktuesve të rendit (n-1). Prandaj një transformim i tillë quhet reduktim i rendit të përcaktorit. Për shembull, llogaritja e përcaktorit të rendit të katërt zbret në gjetjen e katër përcaktorëve të rendit të tretë.
Le të themi se na është dhënë një matricë katrore e rendit të n-të, d.m.th. $A=\majtas(\fillimi(vargu) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \fund (array) \djathtas)$. Përcaktori i kësaj matrice mund të llogaritet duke e zgjeruar atë me rresht ose kolonë.
Le të rregullojmë një rresht, numri i të cilit është $i$. Pastaj përcaktori i matricës $A_(n\herë n)$ mund të zgjerohet mbi rreshtin e zgjedhur të i-të duke përdorur formulën e mëposhtme:
\fillimi(ekuacioni) \Delta A=\shuma\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(në)A_(në) \fund(ekuacion)
$A_(ij)$ tregon komplementin algjebrik të elementit $a_(ij)$. Për informacion të detajuar rreth këtij koncepti, unë rekomandoj të shikoni temën Plotësimet algjebrike dhe minorat. Shënimi $a_(ij)$ tregon elementin e matricës ose përcaktorit të vendosur në kryqëzimin e rreshtit të i-të të kolonës j-të. Për informacion më të plotë, mund të shikoni temën e Matricës. Llojet e matricave. Termat bazë.
Le të themi se duam të gjejmë shumën $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Cila frazë mund të përshkruajë hyrjen $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Mund të themi këtë: kjo është shuma e një në katror, dy në katror, tre në katror, katër në katror dhe pesë në katror. Ose mund ta themi më shkurt: kjo është shuma e katrorëve të numrave të plotë nga 1 në 5. Për ta shprehur shumën më shkurt, mund ta shkruajmë duke përdorur shkronjën $\sum$ (kjo është shkronja greke "sigma") .
Në vend të $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ ne mund të përdorim shënimin e mëposhtëm: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Shkronja $i$ quhet indeksi përmbledhës, dhe numrat 1 (vlera fillestare $i$) dhe 5 (vlera përfundimtare $i$) quhen kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të përmbledhjes përkatësisht.
Le të deshifrojmë hyrjen $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$ në detaje. Nëse $i=1$, atëherë $i^2=1^2$, kështu që termi i parë i kësaj shume do të jetë numri $1^2$:
$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+\ldots $$
Numri tjetër i plotë pas një është dy, kështu që duke zëvendësuar $i=2$, marrim: $i^2=2^2$. Shuma tani do të jetë:
$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+\ldots $$
Pas dy, numri tjetër është tre, kështu që duke zëvendësuar $i=3$ do të kemi: $i^2=3^2$. Dhe shuma do të duket si kjo:
$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$
Kanë mbetur vetëm dy numra për të zëvendësuar: 4 dhe 5. Nëse zëvendësoni $i=4$, atëherë $i^2=4^2$, dhe nëse zëvendësoni $i=5$, atëherë $i^2=5 ^2$. Vlerat $i$ kanë arritur kufirin e sipërm të përmbledhjes, kështu që termi $5^2$ do të jetë i fundit. Pra, shuma përfundimtare është tani:
$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$
Kjo shumë mund të llogaritet thjesht duke shtuar numrat: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2=55$.
Për praktikë, provoni të shkruani dhe të llogaritni shumën e mëposhtme: $\sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)$. Indeksi i përmbledhjes këtu është shkronja $k$, kufiri i poshtëm i mbledhjes është 3 dhe kufiri i sipërm i mbledhjes është 8.
$$ \sum\ limits_(k=3)^(8)(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$
Një analog i formulës (1) ekziston gjithashtu për kolonat. Formula për zgjerimin e përcaktorit në kolonën j është si më poshtë:
\fillim(ekuacion) \Delta A=\shuma\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \fund(ekuacion)
Rregullat e shprehura me formulat (1) dhe (2) mund të formulohen si më poshtë: përcaktori është i barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të një rreshti ose kolone të caktuar nga plotësimet algjebrike të këtyre elementeve. Për qartësi, merrni parasysh përcaktuesin e rendit të katërt, të shkruar në formë të përgjithshme:
$$\Delta=\majtas| \fille(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) & a_(14) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) & a_(24) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) & a_(34) \\ a_(41) & a_(42) & a_(43) & a_(44) \\ \fund(arrit) \djathtas| $$
Le të zgjedhim një kolonë arbitrare në këtë përcaktor. Le të marrim, për shembull, kolonën numër 4. Le të shkruajmë formulën për zbërthimin e përcaktorit mbi kolonën e katërt të zgjedhur:
Në mënyrë të ngjashme, duke zgjedhur, për shembull, rreshtin e tretë, marrim një dekompozim për këtë rresht:
Shembulli nr. 1
Llogaritni përcaktorin e matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \djathtas)$ duke përdorur zgjerimin në rreshtin e parë dhe kolonën e dytë.
Duhet të llogarisim përcaktuesin e rendit të tretë $\Delta A=\left| \fillim(array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end (array) \djathtas|$. Për ta zgjeruar atë përgjatë vijës së parë, duhet të përdorni formulën. Le ta shkruajmë këtë zgjerim në formë të përgjithshme:
$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13). $$
Për matricën tonë $a_(11)=5$, $a_(12)=-4$, $a_(13)=3$. Për të llogaritur shtesat algjebrike $A_(11)$, $A_(12)$, $A_(13)$, do të përdorim formulën nr. 1 nga tema në . Pra, plotësimet algjebrike të kërkuara janë:
\fillimi(lidhur) & A_(11)=(-1)^2\cdot \majtas| \fillim(array) (cc) 2 & -1 \\ 0 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_(12)=( -1)^3\cdot \majtas| \fillim(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_( 13)=(-1)^4\cdot \majtas| \fillim(array) (cc) 7 & 2 \\ 9 & 0 \end(array) \djathtas|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \fund (në linjë)
Si i gjetëm plotësimet algjebrike? Shfaq Fshih
Duke zëvendësuar të gjitha vlerat e gjetura në formulën e shkruar më sipër, marrim:
$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)=5\cdot(8)+(-4) \cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$
Siç mund ta shihni, ne kemi reduktuar procesin e gjetjes së përcaktorit të rendit të tretë në llogaritjen e vlerave të tre përcaktorëve të rendit të dytë. Me fjalë të tjera, ne kemi ulur rendin e përcaktorit origjinal.
Zakonisht në raste kaq të thjeshta ata nuk e përshkruajnë zgjidhjen në detaje, duke gjetur veçmas shtesat algjebrike dhe vetëm më pas duke i zëvendësuar ato në formulën për llogaritjen e përcaktorit. Më shpesh, ata thjesht vazhdojnë të shkruajnë formulën e përgjithshme derisa të merret përgjigja. Kështu do ta rregullojmë përcaktorin në kolonën e dytë.
Pra, le të fillojmë të zgjerojmë përcaktorin në kolonën e dytë. Nuk do të kryejmë llogaritje ndihmëse, thjesht do të vazhdojmë formulën derisa të marrim përgjigjen. Ju lutemi vini re se në kolonën e dytë një element është i barabartë me zero, d.m.th. $a_(32)=0$. Kjo sugjeron që termi $a_(32)\cdot A_(32)=0\cdot A_(23)=0$. Duke përdorur formulën për zgjerim në kolonën e dytë, marrim:
$$ \Delta A= a_(12)\cdot A_(12)+a_(22)\cdot A_(22)+a_(32)\cdot A_(32)=-4\cdot (-1)\cdot \ majtas| \fillimi(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \djathtas|+2\cdot \majtas| \fillim(array) (cc) 5 & 3 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$
Përgjigja është marrë. Natyrisht, rezultati i zgjerimit në kolonën e dytë përkonte me rezultatin e zgjerimit në rreshtin e parë, pasi ne po zgjeronim të njëjtën përcaktor. Vini re se kur u zgjeruam në kolonën e dytë, bëmë më pak llogaritje sepse një element i kolonës së dytë ishte zero. Në bazë të konsideratave të tilla ata përpiqen për zbërthim të zgjedhin kolonën ose rreshtin që përmban më shumë zero.
Përgjigju: $\Delta A=134$.
Shembulli nr. 2
Llogaritni përcaktorin e matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas)$ duke përdorur zgjerimin në rreshtin ose kolonën e zgjedhur.
Për dekompozim, është më e dobishme të zgjidhni rreshtin ose kolonën që përmban më shumë zero. Natyrisht, në këtë rast ka kuptim të zgjerohet përgjatë vijës së tretë, pasi përmban dy elementë të barabartë me zero. Duke përdorur formulën, ne shkruajmë zgjerimin e përcaktorit përgjatë vijës së tretë:
$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34). $$
Meqenëse $a_(31)=-5$, $a_(32)=0$, $a_(33)=-4$, $a_(34)=0$, atëherë formula e shkruar më sipër do të jetë:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33). $$
Le të kthehemi te plotësimet algjebrike $A_(31)$ dhe $A_(33)$. Për t'i llogaritur ato, ne do të përdorim formulën nr. 2 nga tema kushtuar përcaktuesve të rendit të dytë dhe të tretë (në të njëjtin seksion ka shembuj të detajuar të zbatimit të kësaj formule).
\fillimi(lidhur) & A_(31)=(-1)^4\cdot \majtas| \fillim(array) (cccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas|=10;\\ & A_(33)=( -1)^6\cdot \majtas| \fillim(array) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \djathtas|=-34. \fund (në linjë)
Duke zëvendësuar të dhënat e marra në formulën për përcaktorin, do të kemi:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33)=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$
Në parim, e gjithë zgjidhja mund të shkruhet në një rresht. Nëse i kaloni të gjitha shpjegimet dhe llogaritjet e ndërmjetme, atëherë zgjidhja do të shkruhet si më poshtë:
$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34)= \\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \majtas| \fillim(array) (cccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \majtas| \fillim(array) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \djathtas|=-5\cdot 10-4\cdot ( -34)=86. $$
Përgjigju: $\Delta A=86$.
Gjatë zgjidhjes së problemeve në matematikën e lartë, lind nevoja shumë shpesh njehsoni përcaktorin e një matrice. Përcaktori i një matrice shfaqet në algjebër lineare, gjeometri analitike, analizë matematikore dhe degë të tjera të matematikës së lartë. Kështu, është thjesht e pamundur të bëhet pa aftësinë e zgjidhjes së përcaktuesve. Gjithashtu, për vetë-testim, mund të shkarkoni falas një kalkulator përcaktues; ai nuk do t'ju mësojë se si të zgjidhni përcaktuesit në vetvete, por është shumë i përshtatshëm, pasi është gjithmonë e dobishme të dini përgjigjen e saktë paraprakisht!
Unë nuk do të jap një përkufizim të rreptë matematikor të përcaktorit dhe, në përgjithësi, do të përpiqem të minimizoj terminologjinë matematikore; kjo nuk do ta bëjë më të lehtë për shumicën e lexuesve. Qëllimi i këtij artikulli është t'ju mësojë se si të zgjidhni përcaktuesit e rendit të dytë, të tretë dhe të katërt. I gjithë materiali paraqitet në një formë të thjeshtë dhe të arritshme, madje edhe një çajnik i plotë (bosh) në matematikën e lartë, pasi të studiohet me kujdes materiali, do të jetë në gjendje të zgjidhë saktë përcaktuesit.
Në praktikë, më shpesh mund të gjeni një përcaktues të rendit të dytë, për shembull: dhe një përcaktues të rendit të tretë, për shembull: 
.
Përcaktori i rendit të katërt 
Gjithashtu nuk është një antike dhe do t'i arrijmë në fund të mësimit.
Shpresoj që të gjithë të kuptojnë sa vijon: Numrat brenda përcaktorit jetojnë më vete dhe nuk bëhet fjalë për ndonjë zbritje! Numrat nuk mund të ndërrohen!
(Në veçanti, është e mundur të kryhen rirregullime në çift të rreshtave ose kolonave të një përcaktori me një ndryshim në shenjën e tij, por shpesh kjo nuk është e nevojshme - shikoni mësimin tjetër Vetitë e përcaktorit dhe ulja e rendit të tij)
Kështu, nëse jepet ndonjë përcaktues, atëherë Ne nuk prekim asgjë brenda saj!
Emërtimet: Nëse jepet një matricë 
, atëherë shënohet përcaktorja e saj . Gjithashtu shumë shpesh përcaktori shënohet me një shkronjë latine ose greqisht.
1)Çfarë do të thotë të zgjidhësh (gjeni, zbuloni) një përcaktor? Të llogaritësh përcaktorin do të thotë të gjesh NUMRIN. Pikëpyetjet në shembujt e mësipërm janë numra krejtësisht të zakonshëm.
2) Tani mbetet për të kuptuar SI ta gjeni këtë numër? Për ta bërë këtë, ju duhet të zbatoni disa rregulla, formula dhe algoritme, të cilat do të diskutohen tani.
Le të fillojmë me përcaktorin "dy" me "dy":
KJO DUHET TË KUJTOHET, të paktën gjatë studimit të matematikës së lartë në një universitet.
Le të shohim një shembull menjëherë:
Gati. Gjëja më e rëndësishme është TË MOS KONTROHENI NË SHENJA.
Përcaktues i një matrice tre-nga-tre mund të hapet në 8 mënyra, 2 prej tyre janë të thjeshta dhe 6 janë normale.
Le të fillojmë me dy mënyra të thjeshta
Ngjashëm me përcaktuesin dy-nga-dy, përcaktori tre-nga-tre mund të zgjerohet duke përdorur formulën:
Formula është e gjatë dhe është e lehtë të bësh një gabim për shkak të pakujdesisë. Si të shmangni gabimet e bezdisshme? Për këtë qëllim, u shpik një metodë e dytë e llogaritjes së përcaktorit, e cila në fakt përkon me të parën. Quhet metoda Sarrus ose metoda e "shiritave paralelë".
Në fund të fundit është që në të djathtë të përcaktorit, caktoni kolonën e parë dhe të dytë dhe vizatoni me kujdes linjat me laps:
Shumëzuesit e vendosur në diagonalet "e kuqe" përfshihen në formulë me një shenjë "plus".
Shumëzuesit e vendosur në diagonalet "blu" përfshihen në formulë me një shenjë minus:
Shembull:
Krahasoni dy zgjidhjet. Është e lehtë të shihet se kjo është e njëjta gjë, vetëm në rastin e dytë faktorët e formulës janë riorganizuar pak, dhe, më e rëndësishmja, gjasat për të bërë një gabim është shumë më pak.
Tani le të shohim gjashtë mënyrat normale për të llogaritur përcaktorin
Pse normale? Sepse në shumicën dërrmuese të rasteve, kualifikuesit duhet të zbulohen në këtë mënyrë.
Siç e keni vënë re, përcaktori tre-nga-tre ka tre kolona dhe tre rreshta.
Mund ta zgjidhni përcaktorin duke e hapur nga çdo rresht ose nga çdo kolonë.
Kështu, ekzistojnë 6 metoda, në të gjitha rastet duke përdorur i njëjti lloj algoritmi.
Përcaktori i matricës është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve të rreshtit (kolonës) nga plotësimet algjebrike përkatëse. E frikshme? Gjithçka është shumë më e thjeshtë; ne do të përdorim një qasje jo-shkencore, por të kuptueshme, të arritshme edhe për një person larg matematikës.
Në shembullin tjetër do të zgjerojmë përcaktorin në rreshtin e parë.
Për këtë na duhet një matricë e shenjave: . Është e lehtë të vërehet se shenjat janë rregulluar në një model shahu.
Kujdes! Matrica e shenjave është shpikja ime. Ky koncept nuk është shkencor, nuk ka nevojë të përdoret në hartimin përfundimtar të detyrave, ai vetëm ju ndihmon të kuptoni algoritmin për llogaritjen e përcaktorit.
Së pari do të jap zgjidhjen e plotë. Ne marrim përsëri përcaktorin tonë eksperimental dhe kryejmë llogaritjet:
Dhe pyetja kryesore: SI ta merrni këtë nga përcaktori "tre nga tre": 
?
Pra, përcaktorja "tre nga tre" zbret në zgjidhjen e tre përcaktorëve të vegjël, ose siç quhen gjithashtu, MINOROV. Unë rekomandoj të mbani mend termin, veçanërisht pasi është i paharrueshëm: i vogël - i vogël.
Pasi zgjidhet metoda e zbërthimit të përcaktorit në rreshtin e parë, është e qartë se gjithçka rrotullohet rreth saj:
Elementet zakonisht shikohen nga e majta në të djathtë (ose nga lart poshtë nëse një kolonë është zgjedhur)
Le të shkojmë, së pari merremi me elementin e parë të rreshtit, domethënë me një:
1) Nga matrica e shenjave shkruajmë shenjën përkatëse: 
2) Pastaj shkruajmë vetë elementin: 
3) MENDORSH kapërceni rreshtin dhe kolonën në të cilën shfaqet elementi i parë: 
Katër numrat e mbetur formojnë përcaktorin "dy nga dy", i cili quhet E MIRE të një elementi (njësie) të dhënë.
Le të kalojmë te elementi i dytë i rreshtit.
4) Nga matrica e shenjave shkruajmë shenjën përkatëse:
5) Më pas shkruani elementin e dytë: 
6) MENDORSH kapërceni rreshtin dhe kolonën në të cilën shfaqet elementi i dytë: 
Epo, elementi i tretë i rreshtit të parë. Pa origjinalitet:
7) Nga matrica e shenjave shkruajmë shenjën përkatëse: 
8) Shkruani elementin e tretë: 
9) MENDORSH kapërceni rreshtin dhe kolonën që përmban elementin e tretë: 
Katër numrat e mbetur i shkruajmë në një përcaktor të vogël.
Veprimet e mbetura nuk paraqesin ndonjë vështirësi, pasi ne tashmë dimë të numërojmë përcaktuesit dy nga dy. MOS U HUTUAR NE SHENJA!
Në mënyrë të ngjashme, përcaktori mund të zgjerohet në çdo rresht ose në çdo kolonë. Natyrisht, në të gjashtë rastet përgjigja është e njëjtë.
Përcaktori katër nga katër mund të llogaritet duke përdorur të njëjtin algoritëm.
Në këtë rast, matrica jonë e shenjave do të rritet:
Në shembullin e mëposhtëm kam zgjeruar përcaktorin sipas kolonës së katërt:
Si ndodhi, përpiquni ta kuptoni vetë. Më shumë informacion do të vijë më vonë. Nëse dikush dëshiron të zgjidhë përcaktorin deri në fund, përgjigja e saktë është: 18. Për praktikë, është më mirë të zgjidhet përcaktorja me ndonjë kolonë ose rresht tjetër.
Të praktikosh, të zbulosh, të bësh llogaritë është shumë e mirë dhe e dobishme. Por sa kohë do të shpenzoni për kualifikimin e madh? A nuk ka një mënyrë më të shpejtë dhe më të besueshme? Unë ju sugjeroj të njiheni me metodat efektive për llogaritjen e përcaktorëve në mësimin e dytë - Vetitë e një përcaktori. Ulja e renditjes së përcaktorit.
BEJ KUJDES!
Përkufizimi 1. 7. Të mitur elementi i një përcaktori është një përcaktues i marrë nga një element i caktuar duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën në të cilën shfaqet elementi i zgjedhur.
Përcaktimi: elementi i zgjedhur i përcaktorit, minorja e tij.
Shembull. Për 
Përkufizimi 1. 8. Komplement algjebrik elementi i përcaktorit quhet minor i tij nëse shuma e indekseve të këtij elementi i+j është numër çift, ose numri i kundërt i minorit nëse i+j është tek, d.m.th. 
Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të llogaritur përcaktuesit e rendit të tretë - të ashtuquajturin zgjerim të rreshtit ose kolonës. Për ta bërë këtë, ne vërtetojmë teoremën e mëposhtme:
Teorema 1.1. Përcaktori është i barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të ndonjë prej rreshtave ose kolonave të tij dhe plotësimeve algjebrike të tyre, d.m.th.
ku i=1,2,3.
Dëshmi.
Le të vërtetojmë teoremën për rreshtin e parë të përcaktorit, pasi për çdo rresht ose kolonë tjetër mund të kryhet arsyetim i ngjashëm dhe të merret i njëjti rezultat.
Le të gjejmë plotësimet algjebrike të elementeve të rreshtit të parë:
Kështu, për të llogaritur përcaktorin, mjafton të gjejmë plotësimet algjebrike të elementeve të çdo rreshti ose kolone dhe të llogarisim shumën e prodhimeve të tyre me elementët përkatës të përcaktorit.
Shembull. Le të llogarisim përcaktorin duke përdorur zgjerimin në kolonën e parë. Vini re se në këtë rast nuk ka nevojë të kërkoni, pasi, rrjedhimisht, ne do të gjejmë dhe 
Prandaj,
Përcaktuesit e urdhrave më të lartë.
Përkufizimi 1. 9. përcaktor i rendit të n-të
ka një shumë n! anëtarët 
secila prej të cilave korrespondon me një nga n! grupe të renditura të marra nga r permutacionet në çift të elementeve nga bashkësia 1,2,…,n.
Vërejtje 1. Vetitë e përcaktorëve të rendit të tretë vlejnë edhe për përcaktorët e rendit të ntë.
Vërejtje 2. Në praktikë, përcaktuesit e rendit të lartë llogariten duke përdorur zgjerimin e rreshtit ose kolonës. Kjo na lejon të ulim renditjen e përcaktorëve të llogaritur dhe përfundimisht ta reduktojmë problemin në gjetjen e përcaktorëve të rendit të tretë.
Shembull. Le të llogarisim përcaktorin e rendit të katërt 
duke përdorur zgjerimin përgjatë kolonës së 2-të. Për ta bërë këtë, ne do të gjejmë:
Prandaj,
Teorema e Laplasit- një nga teoremat e algjebrës lineare. Është emërtuar sipas matematikanit francez Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), i cili vlerësohet për formulimin e kësaj teoreme në 1772, megjithëse një rast i veçantë i kësaj teoreme për zbërthimin e një përcaktori në një rresht (kolona) ishte i njohur për Leibniz. .
lustër e vogla përcaktohet si më poshtë:
Deklarata e mëposhtme është e vërtetë.
Numri i minorave mbi të cilët merret shuma në teoremën e Laplace është i barabartë me numrin e mënyrave për të zgjedhur kolonat nga , domethënë koeficienti binomial.
Meqenëse rreshtat dhe kolonat e matricës janë ekuivalente në lidhje me vetitë e përcaktorit, teorema e Laplace mund të formulohet për kolonat e matricës.
Zgjerimi i përcaktorit në një rresht (kolona) (Përfundimi 1)
Një rast i veçantë i njohur gjerësisht i teoremës së Laplace është zgjerimi i përcaktorit në një rresht ose kolonë. Kjo ju lejon të përfaqësoni përcaktuesin e një matrice katrore si shumën e produkteve të elementeve të çdo rreshti ose kolone të saj dhe plotësuesit e tyre algjebrikë.
Lë të jetë një matricë katrore e madhësisë . Le të jepet edhe një numër rreshti ose numri i kolonës së matricës. Pastaj përcaktori mund të llogaritet duke përdorur formulat e mëposhtme.
ALGEBRA
1. MATRICAT DHE PËRCAKTORËT. Përkufizimet e përcaktorit dhe vetitë e tij themelore. Teorema mbi zbërthimin e përcaktorit në elementet e një rreshti (kolone). Kriteri i kthyeshmërisë së matricës.
Përcaktues ose përcaktor i rendit të n-tëështë një numër i shkruar në formë
dhe llogaritet nga numrat e dhënë (real ose kompleks) - elementet e përcaktorit - sipas ligjit të mëposhtëm:
,
shtrihet në të gjitha llojet e permutacioneve të ndryshme 
nga numrat. Numri është i barabartë me numrin e transpozimeve që duhen bërë për të kaluar nga ndërrimi kryesor në ndërrim n- urdhri . Puna 
thirrur anëtar i përcaktorit.
Përcaktori është i barabartë me shumën e produkteve të të gjithë elementëve të rreshtit (ose kolonës) arbitrare të tij nga plotësimet e tyre algjebrike. Me fjalë të tjera, d zgjerohet në elementë të rreshtit të i-të
d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )
ose kolona e j-të
d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).
Në veçanti, nëse të gjithë, përveç një elementi të një rreshti (ose kolone) janë zero, atëherë përcaktori është i barabartë me atë element të shumëzuar me plotësimin e tij algjebrik.
Dëshmi.
Le të verifikojmë vlefshmërinë e teoremës duke përdorur shembullin e zgjerimit të përcaktorit të rendit të tretë, për shembull, në rreshtin e parë. Sipas teoremës, ky zgjerim do të ketë formën: D= = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = (duke marrë parasysh përkufizimin e A ij marrim) = =a 11 (-1) 2 M 11 + a 12 (- 1) 3 M 12 + a 13 (-1) 4 M 13 = a 11 - a 12 + a 13 = a 11 (a 22 ×a 33 - a 23 ×a 32) - a 12 (a 21 ×a 33 - a 23 ×a 31) + a 13 (a 21 ×a 32 - a 22 ×a 31) = a 11 ×a 22 ×a 33 + a 12 ×a 23 ×a 31 + a 13 ×a 21 ×a 32 - a 13 ×a 22 ×a 31 - a 12 ×a 21 ×a 33 - a 11 ×a 23 ×a 32 = (sipas rregullit të trekëndëshave) = = D. Një rezultat i ngjashëm fitohet kur zgjerohet përcaktorja përgjatë ndonjë rreshti (kolone). Fin.
Pasoja. Nëse në rreshtin i-të (kolona j) të përcaktorit D ka vetëm një element jozero a ij ¹ 0, atëherë rezultati i zbërthimit të përcaktorit përgjatë kësaj rreshti (kolona) do të jetë shprehja D = a ij ×A ij.
Përcaktuesit e rendit të n-të plotësojnë vetitë e mëposhtme:
1) Kur transpozoni një përcaktor, vlera e tij nuk ndryshon (d.m.th., vlera e përcaktorit nuk ndryshon kur zëvendësoni rreshtat e tij me kolona me të njëjtët numra).
Dëshmi:
D = = = a 11 ×a 22 - a 12 ×a 21
N.B. Rrjedhimisht, rreshtat dhe kolonat e përcaktorit janë të barabarta, kështu që vetitë e tij mund të formulohen dhe vërtetohen ose për rreshta ose për kolona.
2) Kur çdo dy rreshta (kolona) të përcaktorit rirregullohen, shenja e tij ndryshon në të kundërtën.
Dëshmi:
D = = a 11 ×a 22 - a 12 ×a 21 = - (a 12 ×a 21 - a 11 ×a 22) = -
3) Një përcaktor me dy rreshta (kolona) identike është e barabartë me zero.
Dëshmi. Le të ketë përcaktorja D dy rreshta identike. Nëse i ndërrojmë ato, atëherë, nga njëra anë, vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë, pasi rreshtat janë të njëjtë, dhe nga ana tjetër, përcaktori duhet ndryshojmë shenjën e saj në të kundërtën me vetinë 2. Kështu, kemi: D = -D Þ D = 0.
4) Faktori i përbashkët i elementeve të çdo rreshti (kolone) mund të merret përtej shenjës së përcaktorit.
Dëshmi:
D= = la 11 ×a 22 - la 12 ×a 21 = l(a 11 ×a 22 - a 12 ×a 21) = l.
Përfundim: D = = l×m.
N.B. Rregulli për shumëzimin e një përcaktori me një numër. Për të shumëzuar një përcaktor me një numër, ju nevojiten të gjithë elementët e një lloji një rreshtat (kolonat) e tij shumëzuar me këtë numër.
5) Një përcaktor me një rresht (kolona) zero është i barabartë me zero.
Dëshmi. Me vetinë 4, marrim faktorin e përbashkët l = 0 të elementeve të rreshtit zero (kolona) përtej shenjës së përcaktorit. Ne marrim 0×D = 0.
6) Një përcaktor me dy ose më shumë rreshta (kolona) proporcionale është e barabartë me zero.
Dëshmi. Nëse e marrim koeficientin e proporcionalitetit të dy rreshtave (kolonave) l≠0 nga shenja e përcaktorit, marrim një përcaktor me dy rreshta (kolona) identike, të barabartë me zero për nga vetia 3.
7) Nëse çdo element i ndonjë rreshti (kolone) të përcaktorit përfaqësohet në
forma e shumës së k termave, atëherë një përcaktor i tillë është i barabartë me shumën e k përcaktorëve në të cilin elementët e kësaj rreshti (kolona) zëvendësohen me termat përkatës, dhe të gjithë elementët e tjerë janë të njëjtë me ato të përcaktorit origjinal. .
Dëshmi:
D= 
= (a 11 + b 11)a 22 - (a 12 + b 12)a 21 = (a 11 a 22 - a 12 a 21) + (b 11 a 22 - b 12 a 21) = = + .
Def. Rreshti i n-të i një përcaktori quhet një kombinim linear i rreshtave të tij të mbetur (n-1) nëse mund të përfaqësohet si shuma e produkteve të këtyre rreshtave me numrat përkatës l 1, l 2, ..., l n - 1. Për shembull, në përcaktorin
Rreshti i tretë është një kombinim linear i dy rreshtave të parë.
N.B. Një kombinim linear quhet i parëndësishëm nëse ka "l i = 0. Përndryshe, një kombinim linear quhet jo i parëndësishëm (nëse $l i ¹ 0).
8 a) Nëse një rresht (kolona) i një përcaktori është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të tjera të tij, atëherë një përcaktor i tillë është i barabartë me zero.
Vërtetim: D =
8 b) Vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë nëse elementet përkatëse të ndonjë rreshti (kolone) tjetër të përcaktorit, të shumëzuar me të njëjtin numër, i shtohen elementeve të cilitdo prej rreshtave (kolonave) të tij.
Dëshmi:
Le të jetë D= Þ (në rreshtin e parë i shtohet rreshti i dytë i shumëzuar me numrin l) Þ
9) Shuma e produkteve të elementeve të çdo rreshti (kolone) të përcaktorit nga plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse të çdo rreshti (kolone) tjetër të përcaktorit është e barabartë me zero, domethënë = 0 (nëse i ≠ j) Për shembull, le
Pastaj a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = 0, pasi elementet e rreshtit të parë të përcaktorit shumëzohen me plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse të rreshtit të 2-të.
Dëshmi:
a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = a 11 ×(-1) 2+1 + a 12 ×(-1) 2+2 + a 13 ×(-1) 2+3 =
=(ky është zgjerimi përgjatë rreshtit të parë të përcaktorit (-1)× = 0)= 0.
Nëse përcaktorja është D10, atëherë nga vetia 8 b) është gjithmonë e mundur të "zerosh" rreshtin i-të (kolona j-të) në elementin e vetëm jozero dhe të zgjerosh përcaktorin përgjatë kësaj rreshti (kolona). Duke zbatuar këtë operacion numrin e kërkuar të herë, është gjithmonë e mundur të merret një përcaktor i rendit të dytë nga përcaktori i rendit të n-të.
Ushtrimi. Llogaritni përcaktorin duke e zbërthyer në elemente të ndonjë rreshti ose ndonjë kolone.
Zgjidhje. Le të kryejmë fillimisht transformime elementare në rreshtat e përcaktorit, duke bërë sa më shumë zero të jetë e mundur në rresht ose në kolonë. Për ta bërë këtë, së pari zbresim nëntë të tretat nga rreshti i parë, pesë të tretat nga e dyta dhe tre të tretat nga e katërta, marrim:
Le të zbërthejmë përcaktuesin që rezulton në elementët e kolonës së parë:
Ne gjithashtu do të zgjerojmë përcaktuesin e rendit të tretë që rezulton në elementët e rreshtit dhe kolonës, pasi kemi marrë më parë zero, për shembull, në kolonën e parë. Për ta bërë këtë, zbritni dy rreshtat e dytë nga rreshti i parë dhe rreshtin e dytë nga i treti:
Përgjigju. 
12. Slough i rendit të 3-të
1. Rregulli i trekëndëshit
Skematikisht, ky rregull mund të përshkruhet si më poshtë:
Prodhimi i elementeve në përcaktorin e parë që lidhen me vija të drejta merret me shenjë plus; në mënyrë të ngjashme, për përcaktorin e dytë, prodhimet përkatëse merren me shenjën minus, d.m.th.
2. Sundimi i Sarrus
Në të djathtë të përcaktorit, shtoni dy kolonat e para dhe merrni produktet e elementeve në diagonalen kryesore dhe në diagonalet paralele me të me një shenjë plus; dhe produktet e elementeve të diagonales dytësore dhe diagonaleve paralele me të, me shenjën minus:
3. Zgjerimi i përcaktorit në një rresht ose kolonë
Përcaktorja është e barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të rreshtit të përcaktorit dhe të plotësimeve algjebrike të tyre. Zakonisht zgjidhet rreshti/kolona që përmban zero. Rreshti ose kolona përgjatë së cilës kryhet dekompozimi do të tregohet me një shigjetë.
Ushtrimi. Duke u zgjeruar përgjatë rreshtit të parë, llogarisni përcaktorin
Zgjidhje.
Përgjigju. 
4. Reduktimi i përcaktorit në formë trekëndore
Duke përdorur shndërrimet elementare mbi rreshta ose kolona, përcaktori reduktohet në një formë trekëndore dhe më pas vlera e tij, sipas vetive të përcaktorit, është e barabartë me prodhimin e elementeve në diagonalen kryesore.
Shembull
Ushtrimi. Llogaritni përcaktorin 
duke e sjellë atë në një formë trekëndore.
Zgjidhje. Së pari bëjmë zero në kolonën e parë nën diagonalen kryesore. Të gjitha transformimet do të jenë më të lehta për t'u kryer nëse elementi është i barabartë me 1. Për ta bërë këtë, ne do të ndërrojmë kolonën e parë dhe të dytë të përcaktorit, e cila, sipas vetive të përcaktorit, do të bëjë që ai të ndryshojë shenjën e tij në e kundërt:
