Matrica А -1 quhet matricë e anasjelltë në lidhje me matricën А nëse А * А -1 = Е, ku Е është matrica e njësisë së rendit të n-të. Një matricë e kundërt mund të ekzistojë vetëm për matricat katrore.
Qëllimi i shërbimit... Me ndihmën e këtij shërbimi në internet mund të gjeni komplementet algjebrike, matricën e transpozuar A T, matricën e bashkuar dhe matricën e anasjelltë. Zgjidhja kryhet direkt në faqen e internetit (online) dhe është pa pagesë. Rezultatet e llogaritjes paraqiten në një raport Word dhe në formatin Excel (d.m.th. është e mundur të kontrollohet zgjidhja). shikoni shembullin e dizajnit.
Udhëzim. Për të marrë një zgjidhje, është e nevojshme të vendosni dimensionin e matricës. Më pas, në një kuti të re dialogu, plotësoni matricën A.
Shih gjithashtu matricën e anasjelltë me metodën Jordan-Gauss
Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt
- Gjetja e matricës së transpozuar A T.
- Përkufizimi i plotësuesve algjebrikë. Zëvendësoni çdo element të matricës me plotësuesin e tij algjebrik.
- Përbërja e një matrice të anasjelltë nga shtesat algjebrike: çdo element i matricës që rezulton ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
- Përcaktoni nëse matrica është katrore. Nëse jo, atëherë nuk ka matricë inverse për të.
- Llogaritja e përcaktorit të matricës A. Nëse nuk është e barabartë me zero, vazhdojmë zgjidhjen, përndryshe, matrica e kundërt nuk ekziston.
- Përkufizimi i plotësuesve algjebrikë.
- Plotësimi i matricës bashkuese (reciproke, të bashkuar) C.
- Përbërja e një matrice të anasjelltë nga komplementet algjebrike: çdo element i matricës së bashkuar C ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
- Bëhet një kontroll: shumëzohen matricat origjinale dhe ato që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë matrica e identitetit.
Shembulli # 1. Le ta shkruajmë matricën si më poshtë:
Komplementet algjebrike.
| A 1,1 = (-1) 1 + 1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1 + 2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1 + 3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2 + 1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2 + 2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2 + 3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3 + 1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 = (-1) 3 + 2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3 + 3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Pastaj matricë e anasjelltë mund të shkruhet si:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Një tjetër algoritëm për gjetjen e matricës së kundërt
Le të japim një skemë tjetër për gjetjen e matricës së kundërt.- Gjeni përcaktorin e matricës katrore të dhënë A.
- Gjeni plotësimet algjebrike të të gjithë elementëve të matricës A.
- Komplementet algjebrike të elementeve të rreshtit i shkruajmë në kolona (transpozim).
- Ne ndajmë çdo element të matricës që rezulton me përcaktuesin e matricës A.
Një rast i veçantë: Anasjellta e matricës së identitetit E është matrica e identitetit E.
Këtu do të vazhdojmë temën e operacioneve mbi matricat e filluara në pjesën e parë dhe do të analizojmë disa shembuj në të cilët do t'ju duhet të aplikoni disa operacione në të njëjtën kohë.
Shpallja e një matrice.
Le të jetë k një numër i plotë jo negativ. Për çdo matricë katrore $ A_ (n \ herë n) $ kemi: $$ A ^ k = \ nënbrace (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (k \; herë) $$
Në këtë rast, supozojmë se $ A ^ 0 = E $, ku $ E $ është matrica e identitetit të rendit përkatës.
Shembulli nr. 4
Matrica $ A = \ majtas (\ fillojë (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ fund (array) \ djathtas) $ është dhënë. Gjeni matricat $ A ^ 2 $ dhe $ A ^ 6 $.
Sipas përkufizimit, $ A ^ 2 = A \ cdot A $, d.m.th. për të gjetur $ A ^ 2 $ ne vetëm duhet të shumëzojmë matricën $ A $ në vetvete. Operacioni i shumëzimit të matricës u konsiderua në pjesën e parë të temës, kështu që këtu thjesht do të shkruajmë procesin e zgjidhjes pa shpjegime të hollësishme:
$$ A ^ 2 = A \ cdot A = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ fund (array) \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) 1 \ cdot 1 + 2 \ cdot (-1) & 1 \ cdot 2 +2 \ cdot (-3) \\ -1 \ cdot 1 + (- 3) \ cdot (-1) & -1 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot (-3) \ fundi (vargu) \ djathtas ) = \ majtas (\ fillojë (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fund (array) \ djathtas). $$
Për të gjetur matricën $ A ^ 6 $ kemi dy opsione. Opsioni i parë: është e çuditshme të vazhdosh të shumëzosh $ A ^ 2 $ me matricën $ A $:
$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A. $$
Sidoqoftë, mund të shkoni pak më thjeshtë, duke përdorur vetinë e asociativitetit të shumëzimit të matricës. Le të vendosim kllapat në shprehjen për $ A ^ 6 $:
$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A = A ^ 2 \ cdot (A \ cdot A) \ cdot (A \ cdot A) = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2. $$
Nëse zgjidhja e metodës së parë do të kërkonte katër operacione shumëzimi, atëherë për metodën e dytë - vetëm dy. Prandaj, le të shkojmë në rrugën e dytë:
$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2 = \ majtas (\ fillimi (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fundi (array) \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ fillojë (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fund (array) \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ fillojë (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \\ = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) -1 \ cdot (-1) + (- 4) \ cdot 2 & -1 \ cdot (-4 ) + (- 4) \ cdot 7 \\ 2 \ cdot (-1) +7 \ cdot 2 & 2 \ cdot (-4) +7 \ cdot 7 \ fundi (vargu) \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ fillimi (arriti) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \ fundi ( array) \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ fillojë (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fund (array) \ djathtas) = \\ = \ majtas (\ start (array) (cc ) -7 \ cdot (-1) + (- 24) \ cdot 2 & -7 \ cdot (-4) + (- 24) \ cdot 7 \\ 12 \ cdot (-1) +41 \ cdot 2 & 12 \ cdot (-4) +41 \ cdot 7 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ fundi (vargu) \ djathtas). $$
Përgjigju: $ A ^ 2 = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fundi (vargu) \ djathtas) $, $ A ^ 6 = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ fundi (vargu) \ djathtas) $.
Shembulli nr. 5
Matricat e dhëna $ A = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ fundi (vargu) \ djathtas) $, $ B = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ fund (array) \ djathtas) $, $ C = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \ fundi (vargu) \ djathtas) $. Gjeni matricën $ D = 2AB-3C ^ T + 7E $.
Fillojmë llogaritjen e matricës $ D $ duke gjetur rezultatin e produktit $ AB $. Matricat $ A $ dhe $ B $ mund të shumëzohen, pasi numri i kolonave në matricën $ A $ është i barabartë me numrin e rreshtave në matricën $ B $. Shënojmë $ F = AB $. Në këtë rast, matrica $ F $ do të ketë tre kolona dhe tre rreshta, d.m.th. do të jetë katror (nëse ky përfundim duket jo i qartë, shihni përshkrimin e shumëzimit të matricës në pjesën e parë të kësaj teme). Le të gjejmë matricën $ F $ duke llogaritur të gjithë elementët e saj:
$$ F = A \ cdot B = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ fundi (vargu) \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ fundi (arriti) \ djathtas) \\ \ fillimi (i rreshtuar) & f_ (11) = 1 \ cdot (-9) +0 \ cdot 2 + (- 1) \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 = -7; \\ & f_ (12) = 1 \ cdot 1 + 0 \ cdot (-1) + (- 1) \ cdot (-2) +2 \ cdot 5 = 13; \\ & f_ (13) = 1 \ cdot 0 + 0 \ cdot 4 + (- 1) \ cdot 3 + 2 \ cdot 0 = -3; \\ \\ & f_ (21) = 3 \ cdot (-9 ) + (- 2) \ cdot 2 + 5 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 = -31; \\ & f_ (22) = 3 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot (-1) +5 \ cdot (-2) +0 \ cdot 5 = -5; \\ & f_ (23) = 3 \ cdot 0 + (- 2) \ cdot 4 + 5 \ cdot 3 + 0 \ cdot 0 = 7; \\ \\ & f_ (31) = - 1 \ cdot (-9) +4 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot 0 + 6 \ cdot 1 = 23; \\ & f_ (32) = - 1 \ cdot 1 + 4 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot (-2) +6 \ cdot 5 = 31; \\ & f_ (33) = - 1 \ cdot 0 + 4 \ cdot 4 + (- 3) \ cdot 3 + 6 \ cdot 0 = 7. \ fundi (në linjë) $$
Pra, $ F = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ fundi (vargu) \ djathtas) $. Le të shkojmë më tej. Matrica $ C ^ T $ është transpozimi i matricës $ C $, d.m.th. $ C ^ T = \ majtas (\ fillojë (vargu) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ fundi (arrethi) \ djathtas) $. Sa i përket matricës $ E $, kjo është matrica e identitetit. Në këtë rast, rendi i kësaj matrice është tre, d.m.th. $ E = \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ fundi (vargu) \ djathtas) $.
Në parim, mund të vazhdojmë të ecim hap pas hapi, por është më mirë të shqyrtojmë shprehjen e mbetur në tërësinë e saj, pa u shpërqendruar nga veprimet ndihmëse. Në fakt, na mbeten vetëm veprimet e shumëzimit të matricave me një numër, si dhe veprimet e mbledhjes dhe zbritjes.
$$ D = 2AB-3C ^ T + 7E = 2 \ cdot \ majtas (\ fillojë (arriti) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ fundi (arriti) \ djathtas) -3 \ cdot \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ fundi (arriti) \ djathtas) +7 \ cdot \ majtas (\ fillimi (arriti) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ fundi (vargu) \ djathtas) $$
Ne i shumëzojmë matricat në anën e djathtë të barazisë me numrat përkatës (d.m.th., 2, 3 dhe 7):
$$ 2 \ cdot \ majtas (\ fillojë (arriti) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ fundi (vargu) \ djathtas) -3 \ cdot \ majtas (\ fillojë (arriti) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ fundi (arriti) \ djathtas) +7 \ cdot \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \\ = \ majtas (\ fillimi (arriti) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ fundi (vargu) \ djathtas) - \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ fundi (vargu) \ djathtas) + \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ fundi (array) \ djathtas) $$
Le të kryejmë hapat e fundit: zbritja dhe mbledhja:
$$ \ majtas (\ fillimi (arriti) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ fundi (vargu) \ djathtas) - \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ fundi (vargu) \ djathtas) + \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \\ = \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6-9 + 0 \\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ fundi (vargu) \ djathtas). $$
Problemi u zgjidh, $ D = \ majtas (\ fillimi (arriti) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ fundi (arriti) \ djathtas) $ ...
Përgjigju: $ D = \ majtas (\ fillimi (arriti) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ fundi (vargu) \ djathtas) $.
Shembulli nr. 6
Le të jetë $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $ dhe matrica $ A = \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) $. Gjeni vlerën e $ f (A) $.
Nëse $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $, atëherë me $ f (A) $ nënkuptojmë matricën:
$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E. $$
Kështu përcaktohet një polinom i një matrice. Pra, ne duhet të zëvendësojmë matricën $ A $ në shprehjen për $ f (A) $ dhe të marrim rezultatin. Meqenëse të gjitha veprimet u diskutuan në detaje më herët, atëherë këtu do të jap vetëm një zgjidhje. Nëse procesi i kryerjes së operacionit $ A ^ 2 = A \ cdot A $ nuk është i qartë për ju, atëherë ju këshilloj të shikoni përshkrimin e shumëzimit të matricës në pjesën e parë të kësaj teme.
$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E = 2A \ cdot A + 3A-9E = 2 \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ fillimi (arriti) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) +3 \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) -9 \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \\ = 2 \ majtas ( \ fill (arriti) (cc) (-3) \ cdot (-3) +1 \ cdot 5 & (-3) \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 \\ 5 \ cdot (-3) +0 \ cdot 5 & 5 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0 \ fund (array) \ djathtas) +3 \ majtas (\ fill (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fund (array) \ djathtas) -9 \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ fund (array) \ djathtas) = \\ = 2 \ majtas (\ fillojë (vargu) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \ fundi (vargu) \ djathtas) +3 \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) -9 \ majtas (\ fillimi (vargu ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \ fundi (vargu) \ djathtas) + \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \ fundi (vargu) \ djathtas) - \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ fundi (vargu) \ djathtas) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ fundi (vargu) \ djathtas). $$
Përgjigju: $ f (A) = \ majtas (\ fillimi (vargu) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ fundi (vargu) \ djathtas) $.
Si të futni formula matematikore në një faqe interneti?
Nëse ndonjëherë ju duhet të shtoni një ose dy formula matematikore në një faqe interneti, atëherë mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është siç përshkruhet në artikull: formulat matematikore futen lehtësisht në faqe në formën e fotografive që Wolfram Alpha gjeneron automatikisht. Përveç thjeshtësisë, kjo metodë e gjithanshme do të ndihmojë në përmirësimin e dukshmërisë së faqes tuaj në motorët e kërkimit. Ajo ka funksionuar për një kohë të gjatë (dhe, mendoj, do të funksionojë përgjithmonë), por është moralisht e vjetëruar.
Nëse përdorni rregullisht formula matematikore në faqen tuaj, atëherë ju rekomandoj të përdorni MathJax, një bibliotekë speciale JavaScript që shfaq shënimet matematikore në shfletuesit e internetit duke përdorur shënimin MathML, LaTeX ose ASCIIMathML.
Ka dy mënyra për të filluar përdorimin e MathJax: (1) duke përdorur një kod të thjeshtë, mund të lidhni shpejt një skript MathJax me faqen tuaj, i cili do të ngarkohet automatikisht nga një server në distancë në kohën e duhur (lista e serverëve); (2) ngarkoni skriptin MathJax nga një server në distancë në serverin tuaj dhe lidheni atë me të gjitha faqet e faqes tuaj. Metoda e dytë, e cila është më e ndërlikuar dhe kërkon kohë, do të përshpejtojë ngarkimin e faqeve të faqes suaj dhe nëse serveri mëmë MathJax për ndonjë arsye bëhet përkohësisht i padisponueshëm, kjo nuk do të ndikojë në asnjë mënyrë në faqen tuaj. Pavarësisht këtyre avantazheve, unë zgjodha metodën e parë pasi është më e thjeshtë, më e shpejtë dhe nuk kërkon aftësi teknike. Ndiqni shembullin tim dhe në 5 minuta do të mund të përdorni të gjitha veçoritë e MathJax në faqen tuaj.
Ju mund ta lidhni skriptin e bibliotekës MathJax nga një server në distancë duke përdorur dy versione të kodit të marra nga faqja kryesore e MathJax ose nga faqja e dokumentacionit:
Një nga këto variante kodi duhet të kopjohet dhe ngjitet në kodin e faqes tuaj të internetit, mundësisht midis etiketave
dhe ose menjëherë pas etiketës ... Sipas opsionit të parë, MathJax ngarkon më shpejt dhe ngadalëson faqen më pak. Por opsioni i dytë gjurmon dhe ngarkon automatikisht versionet më të fundit të MathJax. Nëse futni kodin e parë, atëherë ai do të duhet të përditësohet periodikisht. Nëse futni kodin e dytë, faqet do të ngarkohen më ngadalë, por nuk do t'ju duhet të monitoroni vazhdimisht përditësimet e MathJax.Mënyra më e lehtë për të lidhur MathJax është në Blogger ose WordPress: në pultin e faqes tuaj, shtoni një miniaplikacion të krijuar për të futur kodin JavaScript të palës së tretë, kopjoni në të versionin e parë ose të dytë të kodit të ngarkimit të paraqitur më sipër dhe vendoseni miniaplikacionin më afër fillimi i shabllonit (nga rruga, kjo nuk është aspak e nevojshme sepse skripti MathJax ngarkohet në mënyrë asinkrone). Kjo eshte e gjitha. Tani, mësoni sintaksën e shënimit MathML, LaTeX dhe ASCIIMathML dhe jeni gati të futni formulat e matematikës në faqet e internetit të faqes suaj të internetit.
Çdo fraktal ndërtohet sipas një rregulli të caktuar, i cili zbatohet vazhdimisht një numër të pakufizuar herë. Çdo kohë e tillë quhet përsëritje.
Algoritmi përsëritës për ndërtimin e sfungjerit Menger është mjaft i thjeshtë: kubi origjinal me anën 1 ndahet me plane paralele me faqet e tij në 27 kube të barabartë. Një kub qendror dhe 6 kube ngjitur hiqen prej tij. Rezultati është një grup i përbërë nga 20 kube më të vegjël të mbetur. Duke bërë të njëjtën gjë me secilin prej këtyre kubeve, marrim një grup, tashmë të përbërë nga 400 kube më të vegjël. Duke e vazhduar këtë proces pafundësisht, marrim një sfungjer Menger.
Operacioni i ngritjes në fuqinë n mund të zbatohet zyrtarisht në matricat katrore. Për këtë, n duhet të jetë një numër i plotë. Rezultati i këtij operacioni është paraqitur në tabelë. 9.1. Mund të futni operatorin për ngritjen e një matrice m në fuqinë n në të njëjtën mënyrë si për një skalar: duke klikuar butonin Raise to Power në panelin Llogaritësi ose duke shtypur<А>... Pasi të shfaqet mbajtësi i vendndodhjes, duhet të futni një vlerë të fuqisë n.
Tabela 9.1. Rezultatet e fuqizimit të matricës
0 është matrica e identitetit të dimensionit të matricës M
1 vetë matrica M
1 M -1 - matricë e kundërt e M
2,3, ... MM, (MM) M, ...
2, -3, ... M -1 M -1, (M -1 M -1) M -1, ...
Disa shembuj të fuqizimit të matricave janë paraqitur në Listën 9-15.
Listimi 9.15. Shembuj të ngritjes së një matrice katrore në një fuqi numër të plotë
Vektorizimi i vargjeve
Algjebra vektoriale e Mathcad përfshin një operator disi të pazakontë të quajtur operatori i vektorizimit. Ky operator synohet, si rregull, të punojë me vargje. Kjo ju lejon të kryeni të njëjtin lloj operacioni në të gjithë elementët e një grupi (d.m.th., një matricë ose një vektor), duke thjeshtuar kështu programimin e sytheve. Për shembull, ndonjëherë ju dëshironi të shumëzoni çdo element të një vektori me elementin përkatës të një vektori tjetër. Nuk ka një operacion të tillë drejtpërdrejt në Mathcad, por është e lehtë të realizohet duke përdorur vektorizimin (Lista 9.16). Për këtë:
· Futni shprehjen vektoriale siç tregohet në rreshtin e dytë të listimit (vini re se në këtë formë simboli i shumëzimit tregon operatorin e produktit me pika vektoriale).
· Lëvizni kursorin në mënyrë që linjat hyrëse të nxjerrin në pah të gjithë shprehjen që duhet të vektorizohet (Fig. 9.3).
Futni operatorin e vektorizimit duke klikuar butonin Vectorize në panelin Matrix (Figura 9.3), ose duke përdorur shkurtoren e tastierës
· Hyni<=>për të marrë rezultatin.
Oriz. 9.3. Operatori i vektorizimit
Listimi 9.16. Përdorimi i vektorizimit për të shumëzuar elementet e një vektori
Operatori i vektorizimit mund të përdoret vetëm me vektorë dhe matrica të së njëjtës madhësi.
Shumica e funksioneve jo specifike të Mathcad nuk kërkojnë vektorizim për të kryer të njëjtin operacion në të gjithë elementët e një vektori. Për shembull, argumenti i funksioneve trigonometrike është sipas përkufizimit një skalar. Nëse përpiqeni të llogaritni sinusin e një sasie vektoriale, Mathcad do të vektorizojë si parazgjedhje duke llogaritur sinusin e secilit element dhe duke kthyer vektorin përkatës si rezultat. Një shembull është paraqitur në Listën 9.17.
Listimi 9.17. Vektorizimi është opsional për shumicën e funksioneve të Mathcad
Veprimet simbolike në matrica
Të gjithë operatorët matricë dhe vektorë të përmendur më sipër mund të përdoren në llogaritjet simbolike. Fuqia e operacioneve simbolike qëndron në aftësinë për t'i kryer ato jo vetëm në numra specifikë, por edhe në variabla. Disa shembuj janë paraqitur në Listën 9.18.
Listimi 9.18. Shembuj të veprimeve simbolike në vektorë dhe matrica
Mos ngurroni të përdorni përpunuesin e simboleve si një referencë të fuqishme matematikore. Për shembull, kur dëshironi të rikujtoni një përkufizim nga fusha e algjebrës lineare (për shembull, rregullat për shumëzimin dhe përmbysjen e matricave tregohen në rreshtat e parë të Listimit 9.18).
Funksionet e matricës
Le të rendisim funksionet kryesore të integruara të krijuara për ta bërë më të lehtë punën me vektorët dhe matricat. Ato nevojiten për krijimin e matricave, bashkimin dhe ndarjen e një pjese të matricave, marrjen e vetive themelore të matricave, etj.
Funksionet e krijimit të matricës
Mënyra më intuitive për të krijuar një matricë ose vektor është të përdorni butonin e parë në shiritin e veglave Matrix. Sidoqoftë, në shumicën e rasteve, veçanërisht kur programoni projekte komplekse, është më i përshtatshëm të krijohen vargje duke përdorur funksione të integruara.
Përcaktimi i elementeve të matricës përmes një funksioni
Matrica (M, N, f) - Krijon një matricë me madhësi M * N, secili element i i, j i së cilës është f (i, j) (Lista 9.19).
o M - numri i linjave;
o N - numri i kolonave;
o f (i, j) është një funksion.
Listimi 9.19. Krijimi i matricës
Ekzistojnë dy funksione më specifike për krijimin e matricave, të cilat përdoren kryesisht për të përfaqësuar shpejt dhe në mënyrë efektive çdo varësi në formën e grafikëve tredimensionale (të tilla si një sipërfaqe ose një kurbë hapësinore). Të gjithë argumentet e tyre përveç të parit (funksionit) janë opsionale. Le të shqyrtojmë funksionin e parë.
СgeateSrace (F (ose f1, f2, f3), t0, t1, tgrid, fmap) - krijimi i një grupi të ndërthurur që përfaqëson koordinatat x-, y- dhe z të lakores hapësinore parametrike të dhënë nga funksioni p;
- F (t) është një funksion vektorial me tre elementë i përcaktuar parametrikisht në lidhje me një argument të vetëm t;
- f1 (t), f2 (t), f3 (t) - funksione skalare;
- t0 - kufiri i poshtëm i t (si parazgjedhje -5);
- t1 - kufiri i sipërm t (parazgjedhja 5);
- tgrid - numri i pikave të rrjetit nga ndryshorja t (si parazgjedhje 2o);
- fmap është një funksion vektorial me tre argumente që specifikon një transformim të koordinatave.
Oriz. 9.4. Përdorimi i CreateSpace me grupe të ndryshme parametrash
Një shembull i përdorimit të funksionit CreateSpace është paraqitur në Fig. 9.4. Vini re se nuk kërkohej asnjë kod shtesë për vizatimin e spirales, përveç përcaktimit të varësisë parametrike në funksionin vektorial F.
Funksioni i krijimit të një matrice për një komplot sipërfaqësor 3D funksionon saktësisht në të njëjtën mënyrë, përveç se nuk kërkon një, por dy ndryshore për të përcaktuar një sipërfaqe. Një shembull i përdorimit të tij është ilustruar në Fig. 9.5.
Oriz. 9.5. Përdorimi i funksionit CreateMesh me një grup të ndryshëm parametrash
CreateMesh (F (ose g, ose f1, f2, f3), s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - krijimi i një grupi të mbivendosur që përfaqëson koordinatat x-, y- dhe z të sipërfaqes parametrike të specifikuar nga funksioni F;
- F (s, t) është një funksion vektorial me tre elementë i përcaktuar parametrikisht në lidhje me dy argumentet s dhe t;
- g (s, t) - funksioni skalar;
- f1 (s, t), f2 (s, t), f3 (s, t) - funksionet skalare;
- s0, t0 - kufijtë e poshtëm të argumenteve s, t (si parazgjedhje -5);
- s1, t1 - kufijtë e sipërm të argumenteve s, t (parazgjedhja 5);
- sgrid, tgrid - numri i pikave të rrjetit sipas variablave s dhe t (20 si parazgjedhje);
- fmap është një funksion vektorial me tre elementë, me tre argumente që specifikon një transformim të koordinatave.
Shembuj të grupeve të ndërlidhura që krijohen nga funksionet CreateMesh dhe CreateSpace janë paraqitur në Listimin 9.20. Secila nga tre matricat e mbivendosura që përbëjnë grupin përcakton koordinatat x-, y- dhe z të pikave në sipërfaqe ose kurbë, përkatësisht.
Listimi 9.20. Rezultati i veprimit të funksioneve CreateMesh dhe CreateSpace (Fig. 9.4 - 9.5)
Krijimi i matricave të veçanta
Në Mathcad, është e lehtë të krijohen matrica të një lloji specifik duke përdorur një nga funksionet e integruara. Shembuj të përdorimit të këtyre funksioneve janë paraqitur në Listën 9.21.
Identiteti (N) - një matricë identiteti me madhësi N * N;
· Diag (v) - një matricë diagonale, në diagonalen e së cilës janë elementet e vektorit v;
Geninv (A) - krijimi i një matrice inverse (në të majtë) të matricës A;
· Rref (A) - shndërrimi i një matrice ose vektori A në një formë të shkallëzuar;
- N është një numër i plotë;
- v është një vektor;
- A është një matricë e numrave realë.
Madhësia N * M e matricës A për funksionin geninv duhet të jetë e tillë që N> M.
Listimi 9.21. Krijimi i matricave të veçanta
