Tensiunile sunt caracterizate printr-o valoare numerică și o direcție, adică tensiunea este un vector înclinat la un unghi sau altul față de secțiunea luată în considerare.
Fie ca o forță F să acționeze într-un punct M al oricărei secțiuni a corpului pe o zonă mică A la un anumit unghi față de zonă (Fig. 63, a). Împărțind această forță F la aria A, găsim efortul mediu care apare în punctul M (Fig. 63, b):
Tensiunile adevărate în punctul M sunt determinate în timpul trecerii la limită
Cantitatea de vector R numit tensiune deplină la punct.
tensiune maximă R poate fi descompus în componente: de-a lungul normalei (perpendiculare) la locul A și tangențial la acesta (Fig. 63, c).
Componenta tensiunii de-a lungul normalei se numește tensiune normală într-un punct dat în secțiune și este notă cu litera greacă (sigma); componenta tangenţială se numeşte efort de forfecare şi se notează cu litera greacă (tau).
Tensiunea normală direcționată departe de secțiune este considerată pozitivă, îndreptată către secțiune - negativă.
Tensiunile normale apar atunci când, sub acțiunea forțelor externe, particulele situate pe ambele părți ale secțiunii tind să se îndepărteze unele de altele sau să se apropie unele de altele. Tensiunile de forfecare apar atunci când particulele tind să se miște unele față de altele în planul de secțiune.
Efortul de forfecare poate fi descompus de-a lungul axelor de coordonate în două componente și (Fig. 1.6, c). Primul indice la arată care axă este perpendiculară pe secțiune, al doilea - paralel cu care axă acționează tensiunea. Dacă direcția efortului de forfecare nu contează în calcule, aceasta este desemnată fără indici.
Există o relație între tensiunea totală și componentele sale
Tensiunea la care are loc distrugerea materialului sau apar deformari plastice vizibile se numeste efort limitator.
După cum sa menționat mai sus, forțele interne care acționează într-o anumită secțiune din partea părții aruncate a corpului pot fi reduse la vectorul principal și momentul principal. Fixează un punct Mîn secțiunea luată în considerare cu un vector normal unitar n. În vecinătatea acestui punct, selectăm o zonă mică F. Principalul vector al forțelor interne care acționează pe acest site va fi notat cu P(Fig. 1 A). Cu o scădere a dimensiunii site-ului, respectiv
Fig.1. Compoziția vectorului de stres.
a) vectorul de efort total b) vectorul normal și de forfecare
vectorul principal și momentul principal al forțelor interne scad, iar momentul principal scade într-o măsură mai mare. În limita la , obținem
Limita analogă pentru momentul principal este zero. Vectorul introdus în acest fel p n numit vector de stres într-un punct. Acest vector depinde nu numai de forțele externe care acționează asupra corpului și de coordonatele punctului considerat, ci și de orientarea în spațiul locului. F, caracterizat prin vector P. Mulțimea tuturor vectorilor de stres într-un punct M pentru toate direcțiile vectoriale posibile P determină starea de stres în acel punct.
În general, direcția vectorului de stres p n nu se potrivește cu direcția vectorului normal P. Proiecția vectorului n pe direcția vectorului n se numește efort normal, iar proiecția pe planul care trece prin punctul M și ortogonală cu vectorul n , efort de forfecare(Fig. 1 b).
Dimensiunea tensiunii este egală cu raportul dintre dimensiunea forței și dimensiunea ariei. În sistemul internațional de unități SI, tensiunile sunt măsurate în pascali: 1 Pa \u003d 1 N / m 2.
Sub acțiunea forțelor externe, odată cu apariția tensiunilor, are loc o modificare a volumului corpului și a formei acestuia, adică corpul este deformat. În acest caz, se disting stările inițiale (nedeformate) și finale (deformate) ale corpului.
Raportăm corpul neformat la sistemul de coordonate carteziene Oxyz(Fig. 2). Poziția unui punct Mîn acest sistem de coordonate este determinat de vectorul rază r(x, y, z).În starea deformată, punctul M va ocupa o noua pozitie M / , caracterizat prin vectorul rază r" (x, y, z). Vector u=r"r numit vector, deplasare puncte M. Proiecții vectoriale u pe axele de coordonate se determină componentele vectorului deplasare u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z), diferențe egale ale coordonatelor carteziene ale punctului corpului după și înainte de deformare.
O mișcare în care poziția relativă a punctelor corpului nu se modifică nu este însoțită de deformații. În acest caz, se spune că corpul se mișcă ca un întreg rigid (deplasare liniară în spațiu sau rotație în jurul unui punct). Pe de altă parte, deformarea asociată cu o schimbare a formei unui corp și a volumului acestuia este imposibilă fără a-și muta punctele.
Fig.2. Compoziția vectorului de mișcare
Deformările corpului se caracterizează printr-o modificare a poziției relative a punctelor corpului înainte și după deformare. Luați în considerare, de exemplu, ideea Mși un punct apropiat de el N, distanța dintre ele în starea neformată de-a lungul direcției vectorului s va fi notată cu (Fig. 2). În starea deformată a punctului Mși N mutați într-o nouă poziție (puncte M"și N), distanța dintre care se va nota cu s". limita de raport
numit deformare liniară relativă la punct Mîn direcţia vectorului s, Fig.3. Luând în considerare trei direcții reciproc perpendiculare, de exemplu, de-a lungul axelor de coordonate Ooh, oohși Oz, obținem trei componente ale deformațiilor liniare relative care caracterizează modificarea volumului corpului în procesul de deformare.
Pentru a descrie deformațiile asociate cu o schimbare a formei corpului, luați în considerare punctul Mși două puncte aproape de ea Nși R, situat în starea neformată în direcția a doi vectori reciproc ortogonali s 1și s2. Distanțele dintre puncte vor fi notate cu și (Fig. 4). În starea deformată, poziția punctelor va fi notată cu M", N"și R”. Unghiul dintre segmente M"N"și DOMNUL"în cazul general va fi diferit de cel direct. La , schimbarea unghiului dintre două direcții ortogonale înainte de a se numește deformare deformare unghiulară. După cum se poate observa din fig. 4, deformația unghiulară este suma a două unghiuri și este asociată cu rotația segmentelor MN"și DOMNUL"„în. planul format de vectori s 1și s2, cu privire la acești vectori. Dacă sunt dați trei vectori reciproc ortogonali, direcționați de-a lungul axelor de coordonate, atunci există trei deformații unghiulare și , care împreună cu trei deformații liniare , și determina complet starea deformată în punct.
Fig.3. Compoziția de deformare liniară 
Orez. patru. Compoziția deformației unghiulare
STARE DE STRESS LA UN PUNT. TENSOR DE TENSIUNE
Vector de stres p n este un obiect fizic având o lungime, o direcție și un punct de atașare. În acest sens, are proprietăți vectoriale. Cu toate acestea, acest obiect are unele proprietăți care nu sunt tipice pentru vectori. În special, mărimea și direcția vectorului de stres depind de orientarea vectorului n normale ale unui element de suprafață infinitezimal dF. Mulțimea tuturor perechilor posibile de vectori n, r n la un punct defineste stare tensionatăîn acest moment. Cu toate acestea, pentru o descriere completă a stării de stres într-un punct, nu este nevoie să specificați un set infinit de direcții vectoriale. n, este suficient să se determine vectorii de stres pe trei zone elementare reciproc perpendiculare. Tensiunile pe pad-urile orientate în mod arbitrar pot fi exprimate în termenii acestor trei vectori de stres. Pe viitor, lectorul schimbă în mod deliberat orientarea coordonatelor. Deci axa aceea Z axa longitudinală a fasciculului și Xși Y coordonatele oricărui punct al secțiunii sale transversale.
Să trecem prin punct M trei plane reciproc perpendiculare cu vectori normali ale căror direcții coincid cu direcțiile axelor de coordonate. Zonele elementare sunt formate din secțiuni suplimentare paralele cu planurile originale și distanțate de acestea prin distanțe infinitezimale dx, dy, dz. Ca urmare, în vecinătatea punctului M obținem un paralelipiped infinit de mic, a cărui suprafață este formată din zone elementare dF x=dydz, dF n==dxdz, dF i=dxdy. Vectori de stres p x , py , pz, care operează pe site-uri elementare sunt prezentate în fig. 5.
Să descompunăm fiecare vector de stres în componente de-a lungul axelor de coordonate (Fig. 6). Fiecare site are unul tensiune normală , , , unde indicele denotă direcția vectorului normal către locație și două tensiuni de forfecare cu doi indici, dintre care primul indică direcția de acțiune a componentei de stres, al doilea indică direcția vectorului normal spre amplasament.
Orez. 5. Starea de echilibru a unui paralelipiped infinit mic 
Fig.6. Componentele tensoarelor stării de stres
Setul de nouă componente ale tensiunii (trei pe fiecare dintre cele trei zone reciproc perpendiculare) este un anumit obiect fizic numit tensor de stres la punct. Un tensor poate fi reprezentat ca o matrice prin ordonarea adecvată a celor nouă componente:
Pentru componentele tensorului tensiunii, se acceptă în general următoarea regulă semnului: o componentă este considerată pozitivă dacă, pe un loc cu o normală exterioară pozitivă (adică, îndreptată de-a lungul uneia dintre axele de coordonate), această componentă este îndreptată către direcția pozitivă a axa corespunzătoare. Pe fig. 6, toate componentele tensorului tensiunii sunt prezentate ca pozitive. Pe locurile cu o normală externă negativă (fețele paralelipipedului nu sunt vizibile în figurile 5 și 6), componenta pozitivă este îndreptată în direcția opusă. Tensiunile pe trei zone reciproc ortogonale cu direcții negative ale normalelor caracterizează, de asemenea, starea de stres în punct. Aceste tensiuni, care sunt componente ale tensorului tensiunii, sunt definite în mod similar tensiunilor pe zone cu o normală pozitivă. Ele sunt notate cu aceleași simboluri și au o direcție pozitivă opusă celei prezentate în Fig. 6.
Voltaj numită intensitatea acțiunii forțelor interne într-un punct al corpului, adică stresul este o forță internă pe unitate de suprafață. Prin natura sa, stresul este cel care apare pe suprafețele interne de contact dintre părțile corpului. Tensiunea, precum și intensitatea sarcinii de suprafață exterioară, sunt exprimate în unități de forță per unitate de suprafață: Pa \u003d N / m 2 (MPa \u003d 10 6 N / m 2, kgf / cm 2 \u003d 98 066 Pa ≈ 10 5 Pa, tf / m 2 etc.).
Selectați o zonă mică ∆A. Notăm forța internă care acționează asupra acesteia ca ∆\vec(R). Tensiunea medie totală pe acest site \vec(р) = ∆\vec(R)/∆A . Să găsim limita acestui raport la ∆A \to 0 . Aceasta va fi tensiunea deplină pe această zonă (punct) a corpului.
\textstyle \vec(p) = \lim_(\Delta A \to 0) (\Delta\vec(R)\over \Delta A)
Tensiunea totală \vec p, precum și rezultanta forțelor interne aplicate pe aria elementară, este o mărime vectorială și poate fi descompusă în două componente: perpendiculară pe aria luată în considerare - efort normal σ nși tangențială la șantier - efort de forfecare \tau_n. Aici n este normalul zonei selectate.
Efortul de forfecare, la rândul său, poate fi descompus în două componente paralele cu axele de coordonate X y, asociat cu secțiunea transversală - \tau_(nx), \tau_(ny). În denumirea tensiunii de forfecare, primul indice indică normala locului, al doilea indice indică direcția efortului de forfecare.
$$\vec(p) = \left[\matrix(\sigma _n \\ \tau _(nx) \\ \tau _(nx)) \right]$$
Rețineți că în cele ce urmează ne vom ocupa în principal nu de solicitarea totală \vec p , ci de componentele sale σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz) . În cazul general, pe amplasament pot apărea două tipuri de tensiuni: σ normală și tangenţială τ .
Tensor de stres
La analizarea tensiunilor din vecinătatea punctului luat în considerare, un element volumetric infinitezimal (un paralelipiped cu laturi dx, dy, dz), pe fiecare față din care, în general, acționează trei solicitări, de exemplu, pentru o față perpendiculară pe axa x (locul x) - σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz)Componentele tensiunii de-a lungul a trei fețe perpendiculare ale elementului formează un sistem de tensiuni descris de o matrice specială - tensor de stres
$$ T _\sigma = \left[\matrix(
\sigma _x & \tau _(yx) & \tau _(zx) \\
\tau _(xy) & \sigma _y & \tau _(zy) \\ \tau _(xz) & \tau _(yz) & \sigma _z
)\dreapta]$$
Aici, prima coloană reprezintă componentele tensiunii de la plăcuțe,
normală la axa x, a doua și a treia axelor y și respectiv z.
La rotirea axelor de coordonate care coincid cu normalele fețelor selectate
element, componentele tensiunii se modifică. Prin rotirea elementului selectat în jurul axelor de coordonate, se poate găsi o astfel de poziție a elementului la care toate eforturile de forfecare pe fețele elementului sunt egale cu zero.
Se numește zona în care eforturile de forfecare sunt egale cu zero site-ul principal .
Stresul normal la locul principal se numește stresul principal
Se numește normalul site-ului principal axa principală a tensiunii .
În fiecare punct, pot fi desenate trei platforme principale reciproc perpendiculare.
Când axele de coordonate sunt rotite, componentele tensiunii se schimbă, dar starea de efort-deformare a corpului (SSS) nu se modifică.
Forțele interne sunt rezultatul aducerii în centrul secțiunii transversale a forțelor interne aplicate zonelor elementare. Tensiunile sunt o măsură care caracterizează distribuția forțelor interne pe o secțiune.
Să presupunem că știm tensiunea în fiecare zonă elementară. Apoi poți scrie:
Forța longitudinală pe șantier dA: dN = σ z dA
Forța tăietoare de-a lungul axei x: dQ x = \tau (zx) dA
Forța tăietoare de-a lungul axei y: dQ y = \tau (zy) dA
Momente elementare despre axele x,y,z: $$\begin(array)(lcr) dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \ tau _(zy) dA \cdot x - \tau _(zx) dA \cdot y \end(array)$$
După integrarea pe suprafața secțiunii transversale, obținem:
Adică, fiecare forță internă este rezultatul total al acțiunii tensiunilor pe întreaga secțiune transversală a corpului.
Ca măsură a intensității forțelor interne distribuite pe secțiuni, tensiunile sunt forțele pe unitatea de suprafață a secțiunii. Selectați în apropierea punctului B platformă mică Δ F(Fig. 3.1). Lăsa Δ R este rezultanta forțelor interne care acționează pe acest loc. Apoi valoarea medie a forțelor interne pe unitatea de suprafață Δ F site-ul luat în considerare va fi egal cu:
Orez. 3.1. Tensiunea medie pe amplasament
Valoare pm numit medie tensiune. Caracterizează intensitatea medie a forțelor interne. Reducerea dimensiunii zonei, în limita pe care o ajungem
Valoare p se numește stresul adevărat sau pur și simplu stresul într-un punct dat dintr-o secțiune dată.
Unitatea de tensiune este pascal, 1 Pa \u003d 1 N / m 2. Deoarece valorile reale ale tensiunii vor fi exprimate în numere foarte mari, ar trebui utilizate mai multe valori unitare, de exemplu MPa (megapascal) 1 MPa \u003d 10 6 N / m 2.
Tensiunile, ca și forțele, sunt mărimi vectoriale. În fiecare punct al secțiunii corpului tensiune maximă p poate fi descompus în două componente (Fig. 3.2):
1) o componentă normală planului de secțiune. Această componentă se numește tensiune normalăși notat σ ;
2) o componentă situată (în planul secțiunii. Această componentă se notează τ și a sunat efort de forfecare. Efortul tangențial, în funcție de forțele care acționează, poate avea orice direcție în planul de secțiune. Pentru confort τ reprezintă sub forma a două componente în direcţia axelor de coordonate. Denumirile acceptate ale tensiunilor nu sunt prezentate nici în fig. 3.2
Tensiunea normală are un indice care indică la ce axă de coordonate este paralelă tensiunea. Tensiunea normală de întindere este considerată pozitivă, compresivă - negativă.. Denumirile tensiunilor de forfecare au doi indici: primul dintre ei indică care axă este paralelă cu normala aria de acțiune a unei tensiuni date, iar al doilea indică ce axă este paralelă efortul în sine. Descompunerea tensiunii totale în tensiuni normale și tangenţiale are un anumit sens fizic. Stresul normal apare atunci când particulele unui material tind să se îndepărteze unele de altele sau, dimpotrivă, să se apropie. Tensiunile de forfecare sunt asociate cu forfecarea particulelor de material de-a lungul planului de secțiune.
Orez. 3.2. Descompunerea vectorului de stres total
Dacă tăiați mental în jurul unui punct al corpului un element sub forma unui cub infinitezimal, atunci, în cazul general, tensiunile prezentate în Fig. 3.3. Setul de tensiuni pe toate zonele elementare care pot fi trasate prin orice punct al corpului numit stare de stres la un punct dat.
Să calculăm suma momentelor tuturor forțelor elementare care acționează asupra elementului (Fig. 3.3), în raport cu axele de coordonate, deci, de exemplu, pentru axa Xținând cont de echilibrul elementului, avem:
