Limita teoretică de masă pentru stele a fost modificată. Limita unei funcții - Definiții, teoreme și proprietăți

Dedicat unuia dintre conceptele de bază ale analizei matematice - limita. Atât în ​​cazul unei secvențe numerice, cât și în cazul unei funcții reale a unei variabile reale, se investighează o aproximare nelimitată la o anumită valoare constantă a unei variabile, în funcție de o altă variabilă cu o anumită modificare a acesteia. În acest capitol, vom încerca să generalizăm conceptul de limită pentru mapările spațiilor metrice arbitrare, iar generalizarea va atinge și modul în care variabila independentă tinde către o valoare dată. 8.1. Conceptul limitei unei mapări Fie X și Y spații metrice cu metricile p și d date pe ele, respectiv, X să fie o submulțime în X cu aceeași metrică /> având un 6 X ca punct limită. Subliniem că, prin Definiția 5.9, acest punct limită pentru A poate aparține sau nu submulțimii A. Vom lua în considerare TEORIA LIMITELOR. Conceptul limitei hărții unui cartier perforat U (a) = U (a) \ (a) a unui punct dat. Fie ca domeniul de definire al mapării f: AY să includă mulțimea A. Rețineți că pentru un punct a această mapare poate să nu fie definită. Definiție 8.1. Punctul 6 € Y se numește limita hărții /: A -f Y într-un punct a de-a lungul mulțimii A și scriem b = lim f (x) sau f (x) -> b ca x -> a, dacă, oricare ar fi o vecinătate V (6) a punctului 6, există o vecinătate perforată U (a) a punctului a din X astfel încât imaginea sa pentru orice punct x ∈ Ua) PL să aparțină lui Y (6), acesta este, Când (8.1) este satisfăcută, se mai spune că funcția f (x) tinde spre b pe măsură ce x tinde de-a lungul mulțimii A spre punctul a. Definiția 8.1 este destul de generală. În funcție de ce mulțimi sunt X, Y, ACX și de ce rost are un € X, puteți obține diferite concretizări ale acestei definiții. Reamintim (vezi 5.2) că orice vecinătate a unui punct include o vecinătate e a acestui punct, iar orice vecinătate ^ este o vecinătate. Prin urmare, înlocuind în (8.1) o vecinătate arbitrară V (6) a punctului b ∈ Y cu vecinătatea sa ^ și vecinătatea punctată a punctului a ∈ X cu vecinătatea sa perforată, ajungem la următoarea notație simbolică pentru definirea limitei unei mapări, care este echivalentă cu Definiția 8.1: Pentru Y Cu R din (8.1) urmează o notație simbolică pentru definirea limitei de afișare /: (limita funcției reale):. Dacă 6 = 0 în (8.5)), atunci funcția f (x) se numește infinitezimală deoarece x tinde către punctul a ∈ X de-a lungul mulțimii A și se scrie Când YCR putem vorbi despre limitele infinite ale mapării dacă punctul 6 este unul dintre punctele infinite (+ oo sau -oo) dreapta numerică extinsă R sau uniunea lor (oo). În acest caz, vecinătatea fiecăruia dintre punctele enumerate, la alegerea unui M> O arbitrar, va lua forma Apoi din (8.1) urmează trei intrări destul de asemănătoare în forma simbolică de definiții ale limitelor infinite ale funcției:. Exemplul 8.1. Să arătăm că lim f (x) = c dacă maparea / în punctele mulțimii A ia aceeași valoare c. Într-adevăr, oricare ar fi cartierul, TEORIA LIMITELOR. Noțiunea limitei mapării V (c) a punctului c) Vx la U (a) A / (x) = c, deoarece xe A. Prin urmare, / (U (a) A) = c € V ( c), care corespunde Definiției 8.1. Să verificăm că lim / (x) = a dacă maparea / este identică, adică / (x) = x Vx 6 A. În acest caz, pentru orice vecinătate V (a), alegând U (a) = V (a) \ (a) pentru harta identităţii, obţinem care corespunde cu (8.1). În special, când A = R și a corespunde punctului infinit + oo al dreptei numerice extinse, avem: f (x) -f oo ca x + oo. Într-adevăr, pentru un M> 0 arbitrar, ca vecinătate perforată a punctului infinit + oo, este suficient să alegem mulțimea U (+ oo) = (s € R: x> M) pentru a obține f (x)> M și satisface condiția (8.7). # Dacă în Definiția 8.1 X = Y = R și submulțimea A = (a: € R: x> a), atunci ajungem la noțiunea limitei din dreapta a unei funcții reale a unei variabile reale într-un punct a , notat în 7.2 lim fix). Dacă X = Y = R Rețineți că mulțimea A poate coincide cu întreaga mulțime X. Pentru X = Y = R, acest caz din Definiția 8.1 corespunde noțiunii de limită cu două laturi a unei funcții reale a unei variabile reale, și (dacă nu există amenințare de confuzie) în loc de lim / ( x) scrieți pur și simplu lim / (x). Desigur, vorbind de lim / (x), se pot lua în considerare toate submulțimile posibile imaginabile ale lui A, dar acest lucru nu duce întotdeauna la rezultate netriviale semnificative. Deci, dacă funcția Dirichlet este considerată pe submulțimea Q С R a numerelor raționale, atunci obținem pur și simplu o funcție constantă, a cărei limită este stabilită în Exemplul 8.1. În definiția 8.1 va duce la noțiunea de limită a unei secvențe de puncte ale unui spațiu metric arbitrar Y. În acest sens, dăm următoarea definiție. Definiția 8.2. Punctul 6 € Y se numește limita unei șiruri (yn) de puncte yn din spațiul metric Y dacă, indiferent de vecinătatea V (6) CY din punctul 6, există un număr natural N astfel încât pornind de la numărul N +1 toate punctele acestei secvențe se încadrează în această vecinătate, adică TEORIA LIMITELOR. Conceptul limitei unei mapări Când (8.10) este satisfăcută, se mai spune că (yn) tinde spre punctul 6. Folosind în (8.10), în loc de o vecinătate arbitrară a punctului 6, vecinătatea sa arbitrară ^, vom avea Comparând (8.11) cu (6.28) și Definiția 6.5, concluzionăm că șirul (yn) de puncte din metrică spațiul tinde spre punctul 6 dacă succesiunea de numere ( d (yn> 6)) distanțe d (yni b) € R este infinitezimală, adică Cu alte cuvinte, studiul comportamentului secvenţelor de puncte ale unui spaţiu metric arbitrar se bazează pe studiul convergenţei secvenţelor numerice. Mai mult decât atât, limita unei mapări de spații metrice arbitrare este strâns legată de limita secvențelor. Această conexiune este stabilită prin următoarea teoremă. Teorema 8.1. Maparea /: Y are un punct 6 € Y ca limită, deoarece x tinde către punctul a de-a lungul mulțimii A dacă și numai dacă, sub maparea /, imaginea oricărei secvențe de puncte din A care tinde spre a este o secvență de puncte din Y tind spre 6, adică e. Să presupunem că punctul 6 6 Y satisface Definiția 8.1 a limitei hărții și (xn) este o succesiune arbitrară de puncte xn din A care tind spre punctul a ∈ X. Atunci, conform (8.1), indiferent de vecinătatea V ( b) CY punctul 6, există o vecinătate perforată U (a) C X a punctului a astfel încât / (u (a) PA) C V (6). Prin definiția 8.2, pornind de la un număr W + 1, toate punctele șirului (xn) care tind spre un must se află în U (a) nA, „adică, în virtutea (8.10) Atunci, pornind de la același număr, toate punctele f (xn) EY ale șirului (f (xn)) se află în V (6), ceea ce, conform Definiției 8.2, înseamnă că această secvență tinde să 6. Pentru a demonstra suficiența condiției teoremei presupunem că pentru orice succesiune (xn) de puncte xn din A care tinde spre a, șirul (f (xn)) punctelor f (xn) din Y tinde spre 6. Dacă lim f (x) φ 6, atunci aceasta ar însemna existența unui astfel de număr e> 0 încât pentru orice alegere de 8> 0 există un punct x ∈ A care îndeplinește condițiile p (x, a) și d ( f (x) y 6)> e. Pentru S> О arbitrar mic este posibil să se indice un număr natural N) astfel încât 1 / N. Atunci, pentru fiecare număr n> N, există cel puțin un punct din A, pe care îl notăm cu xn, astfel încât p (xn, ^ Astfel, șirul (xn) compus din astfel de puncte xn e Ay în virtutea (8.11). ) tinde spre a , în timp ce (f (xn)) nu tinde spre 6, ceea ce contrazice ipoteza originală.Condicția rezultată dovedește suficiența condiției teoremei.Această teoremă ne permite să formulăm o definiție echivalentă cu Definiția 8.1. Definiția 8.3. Un punct δ € Y se numește limita mapării /: A -> Y la un punct a de-a lungul mulțimii A dacă, sub mapare /, imaginea oricărei secvențe de puncte din A care tinde spre a este o succesiune de puncte de la Y tinde spre b. Formele simbolice de scriere a acestei definiții și Teorema 8.1 coincid. Exemplul 8.2. Fie X = R, A = R, a = + oo iar în mapare /: R R f (x) = cos2 Vx 6 R. Să arătăm că lim f (x) = lim cos a; nu exista. Luați secvența (a: n) = (2nm), care tinde spre + oo. Atunci cosin = cos2nm = 1, iar în virtutea lui (6.9) lim (cos xn) = 1. Dar dacă luăm șirul (xn) = ((2n + 1) n / 2), tinde și spre + oo, atunci imaginea sa converge spre zero. Acest lucru contrazice definiția 8.3 a limitei de afișare, adică limita de mai sus nu există. Luarea în considerare a secvențelor (2n (-1) n7r) și ((2n + 1) (- 1) ntr / 2) care tind spre oo duce la aceeași concluzie. Rețineți că dacă notăm atunci este legal să scriem lim cosx = 1 și limcoex = 0. # Prin compararea definițiilor 8.1 și 5.13, se poate demonstra următoarea teoremă. Teorema 8.2. Maparea /: X - + Y va fi continuă în punctul a € X dacă și numai dacă limita mapării ca x tinde către mulțimea X până la punctul a coincide cu valoarea lui / (a), adică când A Fie maparea / continuă într-un punct a din X. Atunci, prin Definiția 5.13 a unei mapări continue, indiferent de vecinătatea V (6) a punctului 6 = f (a) € Y, există o vecinătate U ( a) de la punctul a € A ) că / (U (a)) С V (6), și TEORIA LIMITELOR. Noţiunea de limită a unei mapări, deci, există şi o vecinătate perforată U (a) a punctului a, astfel încât / (U (a)) C V (b). Conform Definiției 8.1, aceasta înseamnă că (8.12) este adevărată. Invers, fie (8.12) să fie satisfăcută. Atunci, prin Definiția 8.1, pentru orice vecinătate V (b) a punctului b = f (a) există o vecinătate perforată U (a) a a astfel încât f (U (a)) C V (6). Considerăm o vecinătate U (a) = U (a) U (a). Deoarece / (a) G V (6), conform proprietăților mapării mulțimilor (vezi 2.1), avem 4 care este maparea /, prin Definiția 5.13, este continuă în punctul aeX. Având în vedere Teorema 8.2, putem formula o definiție echivalentă cu Definiția 5.13. Definiție 8.4. Maparea /: se numește continuă în punctul a 6 Xy dacă (8.12) este adevărată. Ținând cont de teoremele 8.1 și 8.2, obținem următoarea afirmație. Afirmația 8.1. Pentru ca maparea /: X -YY să fie continuă în punctul limită abX, este necesar și suficient ca imaginea de sub maparea / a oricărei secvențe de puncte din X care tind spre a să fie o secvență de puncte din Y care converg către punctul / (A). 8.2. Unele proprietăți ale limitei unei mapări Fie X și Y, ca în 8.1, să fie spații metrice, AC X și un € X un punct limită al lui A. Teorema 8.3. Dacă, deoarece x tinde către mulțimea A până la punctul a, maparea /: X Y are o limită, atunci este unică. Să presupunem că pentru x -> a maparea / are două limite 6i și 62 și 61 = 62. Atunci, la alegerea vecinătăților disjunse ale acestor puncte (V (61) flV (62) = 0), prin Definiția 8.1, punctul a are un vecinătate perforat U (a) astfel încât și, dar acest lucru este imposibil prin Definiția 2.1 a hărții. Teorema 8.4 (cu privire la limita compoziției). Dacă există limite ale hărților f: AC X și g: Y Z și ((x) φb pentru r -> a, unde Xy Y și Z sunt spații limită metrice pentru A C X și, respectiv, f (A) C Y, atunci există pentru x -> a și limita compoziției (a unei funcții compuse) .Alegeți o vecinătate arbitrară W (c) a punctului c. Apoi, prin Definiția 8.1 a limitei unei hărți, se poate găsi întotdeauna o vecinătate perforată V (6) din 6 astfel încât g (V (6) N f)