Studenti e scolari: libri, matematica, topologia. Caratteristiche della topologia ad anello

Un insieme è detto spazio topologico quando è data una certa famiglia dei suoi aperti che soddisfa gli assiomi. Ci sono molti modi per definire la struttura di uno spazio topologico su un insieme: dalla "topologia anti-discreta (= banale)" discreta a quella non-Hausdorff incollando tutti i punti insieme.

I concetti base della teoria degli insiemi (insieme, funzione, ordinali e cardinali, assioma di scelta, lemma di Zorn, ecc.) non sono oggetto di topologia generale, ma sono attivamente utilizzati da esso. La topologia generale include seguenti sezioni: proprietà degli spazi topologici e loro mappature, operazioni sugli spazi topologici e loro mappature, classificazione degli spazi topologici.

La topologia generale include la teoria della dimensione.

Storia

La topologia generale è nata alla fine del XIX secolo. e prese forma in una scienza matematica indipendente all'inizio del XX secolo. I lavori fondamentali si devono a F. Hausdorff, A. Poincaré, P.S. Aleksandrov, P.S. Uryson, L. Brouwer. In particolare, è stato risolto uno dei principali problemi della topologia generale: trovare le condizioni necessarie e sufficienti per la metrizzabilità di uno spazio topologico.

Lo sviluppo più rapido della topologia generale come branca indipendente della conoscenza ha avuto luogo a metà del XX secolo, mentre all'inizio del XXI secolo. piuttosto, è una disciplina ausiliaria che "serve" con il suo apparato concettuale molte aree della matematica: topologia, analisi funzionale, analisi complessa, teoria dei grafi, ecc.

Guarda anche

Osservazioni

• Il concetto di limite di una funzione, introdotto nella topologia generale, può essere ulteriormente generalizzato nell'ambito della teoria degli spazi pseudotopologici.

Letteratura

• P.S. Aleksandrov, V.V. Fedorchuk, V.I. Zaitsev Punti chiave nello sviluppo della topologia della teoria degli insiemi
• Aleksandrov P.S. Introduzione alla teoria degli insiemi e alla topologia generale - Mosca: Nauka, 1977
• Arkhangelsky A.V., Ponomarev V.I. Fondamenti di topologia generale in problemi ed esercizi - Mosca: Nauka, 1974
• Bourbaki N. Elementi di matematica. Topologia generale. Strutture di base - Mosca: Nauka, 1968
• Kelly J.L. Topologia generale - Mosca: Nauka, 1968
• Engelking R. Topologia generale - Mosca: Mir, 1986
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Topologia elementare. Libro di testo in compiti (russo, inglese)

Fondazione Wikimedia. 2010.

• Gulag
• spazio topologico

Guarda cos'è "Topologia generale" in altri dizionari:

TOPOLOGIA GENERALE- una branca della geometria dedicata allo studio della continuità e del passaggio al limite a quel livello naturale di generalità, che è determinato dalla natura di questi concetti. I concetti iniziali di una teoria degli oggetti sono i concetti di uno spazio topologico e un continuo ... ... Enciclopedia della matematica

algebra generale- (anche algebra astratta, algebra superiore) una branca della matematica che studia i sistemi algebrici (a volte chiamati anche strutture algebriche) come gruppi, anelli, campi, insiemi parzialmente ordinati, reticoli e anche ... ... Wikipedia

topologia- Da non confondere con la topografia. Questo termine ha altri significati, vedi Topologia (disambigua). Il nastro di Möbius è di superficie ... Wikipedia

topologia- (dal greco. topos luogo e... logica (Vedi... Logia) una parte della geometria dedicata allo studio del fenomeno della continuità (espressa, ad esempio, nel concetto di limite). manifestazioni di continuità in matematica e vasta gamma diverso ... ... Grande Enciclopedia Sovietica

topologia Zariski- Questo articolo dovrebbe essere wikificato. Si prega di compilarlo secondo le regole di formattazione dell'articolo. La topologia di Zariski nella geometria algebrica è una topologia speciale che riflette l'algebrica in ... Wikipedia

TOPOLOGIA- una branca della matematica che si occupa dello studio delle proprietà di figure (o spazi) che si conservano sotto deformazioni continue, come trazione, compressione o flessione. La deformazione continua è una deformazione della figura, in cui non ... ... Enciclopedia di Collier

Punto comune (matematica)- Questo termine ha altri significati, vedi Punto comune. Un punto comune è un punto in uno spazio topologico, la cui chiusura coincide con l'intero spazio. Uno spazio topologico che ha un punto comune è irriducibile ... ... Wikipedia

topologia- Distribuzione fisica o logica dei nodi di rete. La topologia fisica definisce i collegamenti fisici (collegamenti) tra i nodi. Una topologia logica descrive le possibili connessioni tra i nodi di rete. Nelle reti locali, i tre più comuni ... ... Guida tecnica per traduttori

TOPOLOGIA- in senso lato, l'area della matematica che studia la topologia. proprietà decomp. stuoia. e fisico oggetti. Intuitivo, topologico includono proprietà stabili e di alta qualità che non cambiano con la deformazione. Stuoia. formalizzazione dell'idea di topologico. proprietà ... ... Enciclopedia fisica

Teoria generale dei sistemi- (teoria dei sistemi) un concetto scientifico e metodologico per lo studio degli oggetti che sono sistemi. È strettamente correlato all'approccio sistemico ed è la concretizzazione dei suoi principi e metodi. La prima versione della teoria generale dei sistemi era ... ... Wikipedia

libri

• Topologia generale. Strutture di base, N. Bourbaki. Questa nuova edizione ha fatto abbastanza grande numero modifiche nei dettagli; inoltre, l'intero piano di Ch. I e II al fine di disporre il materiale nel miglior accordo con le idee generali ...

Disponibile con licenza Standard o Advanced.

La topologia è un insieme di regole che, insieme a strumenti e tecnologie di modifica, consentono di modellare in modo più accurato le relazioni geometriche in un geodatabase. In ArcGIS, la topologia viene applicata tramite una serie di regole che definiscono il modo in cui le feature sono auto-localizzate nello spazio geografico e tramite una serie di strumenti di modifica che vengono applicati allo stesso modo alle feature con geometria condivisa. La topologia è memorizzata in un geodatabase come una o più relazioni che definiscono come le feature in una o più feature class condividono la geometria. Le caratteristiche che partecipano alla topologia appartengono a classi semplici feature - la topologia non cambia la definizione di una feature class, ma serve piuttosto come descrizione della relazione spaziale di queste feature.

Perché è necessaria la topologia?

Per molto tempo, la topologia è stata elemento chiave GIS per la gestione dei dati e il controllo della loro integrità. In generale, il modello di dati topologici gestisce le relazioni spaziali rappresentando oggetti spaziali (oggetti punto, linea e area) sotto forma di primitive topologiche schematiche: nodi, facce e bordi. Queste primitive, la relazione tra di esse, così come con gli oggetti di cui rappresentano i confini, sono determinate dalla mappatura della geometria delle caratteristiche in un grafico di elementi topologici.

La topologia viene utilizzata principalmente per il controllo della qualità dei dati con relazioni spaziali e aiuta anche nella compilazione. In molti casi, la topologia viene utilizzata anche per analizzare le relazioni spaziali, ad esempio per rimuovere i confini tra poligoni adiacenti che hanno lo stesso valore di attributo o per aprire un percorso attraverso una rete di elementi grafici topologici.

La topologia viene utilizzata anche per modellare l'integrazione della geometria tra più classi diverse oggetti spaziali. Questa operazione viene talvolta definita integrazione verticale delle classi di caratteristiche.

In che modo le feature nella topologia condividono la geometria

Le feature possono condividere la geometria all'interno di una topologia. Di seguito sono riportati esempi di funzioni adiacenti:

• Le aree possono utilizzare confini comuni(topologia poligonale).
• Gli oggetti lineari possono condividere elementi comuni punti finali(topologia degli archi e dei nodi).

Inoltre, la geometria condivisa può essere condivisa tra le feature class utilizzando la topologia del geodatabase. Ad esempio:

• Gli elementi di linea possono condividere segmenti comuni.
• Gli oggetti dell'area possono essere combinati con altri oggetti dell'area. Ad esempio, terra può essere piegato in quarti.
• Gli elementi lineari possono avere vertici che corrispondono agli elementi puntiformi (topologia nodale).
• Gli oggetti punto possono essere combinati con oggetti linea (eventi punto).

Nota:

I lotti vengono spesso gestiti utilizzando semplici classi di entità geografiche e topologia di geodatabase, poiché è necessario un insieme di classi di entità geografiche per modellare lotti, confini, punti d'angolo e punti di controllo seguire le regole di corrispondenza. Un altro modo per gestire i lotti consiste nell'utilizzare un set di dati sui lotti che fornisce automaticamente questi livelli. Il dataset delle particelle gestisce la sua topologia interna, quindi non è necessario mantenere la topologia del geodatabase o eseguire alcuna modifica topologica sui layer utilizzati dalle particelle.

La differenza chiave tra i grafici modellati come oggetti semplici, e i lotti nel set di dati del lotto è che i confini del lotto nel set di lotti (linee nel set di dati del lotto) non sono comuni - ogni lotto contiene set completo linee di confine; le linee di particelle adiacenti si sovrappongono e coincidono tra loro.

Tuttavia, i dataset dei lotti possono partecipare a una topologia di geodatabase; lì le linee di confine sovrapposte hanno geometrie diverse, le linee sono divise e il grafico della topologia è costruito come al solito.

Due tipi: oggetti ed elementi di topologia

Un layer poligono può essere descritto e utilizzato:

• Come insiemi di caratteristiche geografiche (punti, linee e poligoni)
• Come grafico di elementi topologici (nodi, spigoli, facce e loro relazioni).

Ciò significa che ci sono due opzioni per lavorare con oggetti spaziali: in un caso, lavori con oggetti spaziali che hanno coordinate specificate e nell'altro - con oggetti rappresentati sotto forma di un grafico ordinato di elementi topologici.

Evoluzione della copertura nella topologia del geodatabase

Nota:

La lettura di questa sezione non è necessaria per lavorare con la topologia del geodatabase. Tuttavia, leggi questa sezione se sei interessato alla storia e all'evoluzione della topologia nei geodatabase.

Origine dei termini "arco-nodo" e "georelazionale"

I rivestimenti ArcInfo Workstation hanno una lunga storia di utilizzo e hanno dimostrato l'importanza della topologia per garantire l'integrità spaziale dei dati.

Il modello dei dati di copertura contiene i seguenti elementi.

I confini delle caratteristiche e i punti in copertura sono stati archiviati in diversi file principali gestiti da ArcInfo Workstation. Un file "ARC" conteneva una geometria di contorno di linee o poligoni sotto forma di bordi topologici chiamati "archi". Il file LAB conteneva feature punto che venivano usate come punti di partenza per disegnare poligoni o come feature punto individuali come i pozzi. Altri file sono stati utilizzati per definire e mantenere le relazioni topologiche tra i bordi dei poligoni.

Ad esempio, il file "PAL" ("Elenco archi-poligono") conteneva l'ordine e la direzione degli archi di ciascun poligono. Utilizzando la logica programmatica in ArcInfo Workstation, le coordinate di ciascun poligono sono state assemblate allo scopo di visualizzare, analizzare e interrogare i dati. L'elenco ordinato contenuto nel file PAL è stato utilizzato per trovare e assemblare le coordinate dei bordi memorizzate in File ARC... I poligoni sono stati assemblati secondo necessità durante il lavoro.

Il modello di rivestimento presentava diversi vantaggi:

• Lei ha usato struttura semplice per la memorizzazione della topologia.
• Ti ha permesso di digitalizzare e salvare gli archi una volta, che sono stati poi utilizzati da più funzioni.
• Potrebbe visualizzare poligoni di dimensioni molto grandi (con migliaia di punti coordinati), perché erano rappresentati come un insieme di spigoli (cioè "archi")
• La struttura di archiviazione per la topologia di copertura era intuitiva. I suoi file di topologia fisica erano facilmente comprensibili dagli utenti di ArcInfo Workstation.

Versione precedente:

Un fatto storico interessante: la combinazione di Arc con il gestore di tabelle Info ha dato vita al nome del prodotto ArcInfo Workstation, da cui si sono evoluti tutti i successivi prodotti Arc della famiglia di prodotti Esri: ArcInfo, ArcIMS, ArcGIS, ecc.

I rivestimenti presentavano anche diversi svantaggi:

• Alcune operazioni sono state lente a causa della necessità di assemblare un gran numero di oggetti al volo. Questo include tutti i poligoni e oggetti compositi come regioni (un termine per poligoni multiparte) e percorsi (linee composte).
• Le caratteristiche topologiche (come poligoni, regioni e percorsi) non erano pronte per l'uso fino alla creazione della topologia di copertura. Se i bordi sono stati modificati, l'intera topologia ha richiesto la ricostruzione. (Nota: alla fine è stata utilizzata un'elaborazione parziale, che ha consentito di ricostruire solo le parti modificate della topologia di copertura). Fondamentalmente, quando si modificavano le feature in una topologia, era necessario utilizzare un algoritmo di analisi geometrica per ricostruire le relazioni topologiche, indipendentemente dal modello di archiviazione dei dati utilizzato.
• Le coperture non consentivano la modifica multiutente. Poiché era necessario mantenere il grafico della topologia sincronizzato con la geometria della feature, solo un utente alla volta poteva modificare la topologia. Gli utenti dovevano dividere la copertura in parti per l'editing simultaneo. Ciò ha consentito ai singoli utenti di “chiudere” e modificare la propria parte di dati. Per utilizzare l'intero set di dati, gli utenti dovevano copiare i propri pezzi nel livello dati composito. In altre parole, i set di dati affettati che hanno modificato non potevano essere immediatamente utilizzati in condivisione... In primo luogo, dovevano essere convertiti, il che significava tempo e lavoro aggiuntivi.

Shapefile e memorizzazione semplice della geometria

All'inizio degli anni '80, i rivestimenti erano visti come un miglioramento significativo rispetto ai sistemi di linee e poligoni legacy, in cui i poligoni venivano archiviati come anelli chiusi. In questi sistemi legacy, tutte le coordinate delle feature sono state memorizzate insieme alla geometria di quelle feature. Prima della copertura e di ArcInfo Workstation, venivano utilizzate queste semplici strutture poligonali e lineari. Questa struttura dati era semplice ma aveva svantaggio significativo"Doppie frontiere digitalizzate". Quelli. nella geometria di ogni poligono che ha facce comuni, sono state memorizzate due copie di coordinate per parcelle adiacenti. Lo svantaggio principale era che Software Il GIS all'epoca non poteva gestire l'integrità dei bordi condivisi. Inoltre, il costo dell'archiviazione delle informazioni era molto elevato, ogni byte doveva essere salvato. All'inizio degli anni '80, un disco rigido da 300 MB aveva circa le dimensioni di lavatrice e costa $ 30.000. La memorizzazione di due o più serie di coordinate era costosa e il calcolo richiedeva molto tempo macchina. Pertanto, l'utilizzo di una topologia di copertura presentava vantaggi reali.

A metà degli anni '90, quando il costo dello spazio su disco è diminuito e la potenza di calcolo è aumentata, è cresciuto l'interesse per le strutture geometriche semplici. Allo stesso tempo, i set di dati GIS sono diventati sempre più accessibili e gli utenti GIS hanno iniziato a passare dalla compilazione dei dati primari all'elaborazione e all'analisi dei dati.

Gli utenti volevano migliorare le prestazioni quando si lavora con i dati (ad esempio, non aspettare il calcolo della geometria del poligono, che era richiesto in questo momento, ma ottieni le coordinate dei poligoni il più rapidamente possibile). La disponibilità della geometria completa si è dimostrata più efficiente. Migliaia di utenti GIS hanno creato grande quantità set di dati disponibili.

Esri ha sviluppato e pubblicato il formato shapefile in questo periodo. Gli shapefile utilizzavano un modello molto semplice per memorizzare le coordinate delle caratteristiche. Ogni shapefile rappresentava una classe di entità geografiche (punto, linea o poligono) e utilizzava un semplice modello di memorizzazione per le coordinate delle entità. Gli shapefile sono stati facilmente creati da coperture e altri formati GIS. Sono diventati rapidamente il formato de facto, diffuso e ancora in uso oggi.

Alcuni anni dopo, ArcSDE ha introdotto un semplice modello di archiviazione dati in tabelle. database relazionali dati. Una tabella delle caratteristiche può memorizzare una singola caratteristica come stringa, insieme alle informazioni sulla sua geometria e attributi.

Di seguito è mostrato un esempio di tale tabella contenente poligoni di stato. Ogni riga rappresenta uno stato. La colonna della forma contiene la geometria del poligono per ogni stato.

Questo modello semplice gli oggetti spaziali sono adatti al motore di elaborazione SQL. Utilizzando i database relazionali, l'aumento del volume dei dati e del numero di utenti non ha comportato un degrado delle prestazioni. Abbiamo iniziato a utilizzare RDBMS per gestire i dati GIS.

Gli shapefile sono diventati onnipresenti e, grazie ad ArcSDE, questo semplice motore di archiviazione della geometria è diventato il modello di archiviazione principale per le funzionalità negli RDBMS. (Nel tentativo di garantire l'interoperabilità dei dati, Esri ha assunto un ruolo di primo piano nella creazione delle specifiche di geometria semplice OGC e ISO.)

La memorizzazione di oggetti semplici presentava vantaggi distinti:

• La geometria completa di ogni feature è contenuta in una riga. Nessun assemblaggio richiesto.
• La struttura dei dati (schema fisico) è molto semplice e non solo è veloce ma anche scalabile.
• Facilità di scrittura di un'interfaccia.
• Facilità di interazione. Consente di creare facilmente convertitori per il trasferimento di dati in un formato geometrico semplice da un gran numero di altri formati e viceversa. Gli shapefile sono stati ampiamente utilizzati come formato di archiviazione dei dati e come formato di scambio.

Uno dei loro svantaggi era l'incapacità di utilizzare la topologia per mantenere l'integrità dei dati quando si lavora con oggetti semplici... Di conseguenza, gli utenti hanno utilizzato un modello di dati per la modifica e l'archiviazione (copertura) e un altro per l'elaborazione (shapefile o livelli ArcSDE).

Gli utenti hanno iniziato ad adottare questo approccio ibrido per la modifica e l'utilizzo dei dati. Ad esempio, gli utenti possono modificare i dati in coperture, file CAD o altri formati. Quindi, potrebbero convertire i dati in file di forma per l'uso di mappe. Quindi, nonostante il fatto che la struttura degli oggetti semplici sia diventata formato conveniente uso diretto, non supportava l'editing topologico e la gestione della geometria condivisa. I database diretti potrebbero utilizzare una struttura semplice, ma per la modifica è stata utilizzata una forma topologica diversa. Questo è stato utile quando si lavora con i dati. Ma, allo stesso tempo, i dati sono diventati obsoleti, avevano bisogno di essere aggiornati. Questo schema ha funzionato, ma c'è stato un ritardo nell'aggiornamento delle informazioni. In conclusione: nessuna topologia.

GIS richiedeva un motore di archiviazione delle caratteristiche che utilizzasse una geometria delle caratteristiche semplice e consentisse di utilizzare la topologia insieme a tale struttura di dati. Ciò significava che gli utenti sarebbero stati finalmente in grado di combinare i vantaggi di entrambi gli approcci: un modello di dati transazionale che consente query sulla topologia, co-authoring e controllo dell'integrità dei dati e un motore di archiviazione semplice e altamente scalabile basato su una geometria semplice.

Questo modello di dati si è dimostrato semplice, veloce ed efficiente. lei permette modifica diretta e lavoro simultaneo qualsiasi numero di utenti.

Topologia dell'area di lavoro in ArcGIS

In effetti, la topologia implica più di un semplice modello di archiviazione. La topologia include:

• Un modello di dati completo (oggetti, regole di integrità, strumenti di modifica e validazione, un meccanismo topologico-geometrico che consente di elaborare dataset di qualsiasi dimensione e complessità, nonché un insieme di operatori topologici, metodi di visualizzazione e strumenti di query building).
• Il formato di archiviazione aperto utilizza una serie di record tipici per denotare oggetti semplici e un'interfaccia topologica per la creazione di query, la ricerca di elementi della topologia e l'elaborazione delle relazioni spaziali tra di essi (ovvero, ricerca di regioni contigue e dei loro bordi comuni, spostamento lungo linee collegate).
• La capacità di interagire con oggetti spaziali (punti, linee e poligoni), elementi topologici (nodi, bordi, facce) e le loro relazioni.
• Un meccanismo in grado di supportare:
  • Set di dati molto grandi contenenti milioni di funzionalità.
  • Modifica ed elaborazione simultanee da parte di più utenti.
  • Geometria della caratteristica pronta all'uso e sempre disponibile.
  • Mantenere l'integrità e il comportamento topologico.
  • Un sistema ad azione rapida che scala con il numero di utenti ed editori.
  • Un sistema flessibile e semplice.
  • Un sistema che sfrutta il meccanismo SQL relazionale DBMS e ambiente di transazione.
  • Un sistema che supporta la modifica multiutente, le transazioni lunghe, l'archiviazione storica e la replica.

Nella topologia del geodatabase, il processo di convalida determina le coordinate condivise degli elementi (sia all'interno della stessa classe di elementi che tra classi). L'algoritmo di clustering fornisce corrispondenza esatta coordinate comuni. Le coordinate condivise vengono memorizzate come parte della geometria semplice di ciascuna feature.

Ciò fornisce una ricerca rapida e scalabile per le caratteristiche topologiche (nodi, bordi e facce). Un ulteriore vantaggio sta lavorando con il motore SQL RDBMS e la gestione delle transazioni.

Quando si modificano o si aggiornano i dati, le nuove funzionalità possono essere utilizzate subito dopo essere state aggiunte. Le aree aggiornate della mappa, chiamate "aree modificate", sono etichettate in ciascuna feature class. In qualsiasi momento, gli utenti possono eseguire l'analisi topologica e la convalida delle aree modificate. La ricostruzione è necessaria solo per la topologia delle aree modificate, il che riduce i tempi di elaborazione.

Di conseguenza, le primitive topologiche (nodi, bordi e facce), le relazioni tra di esse e le caratteristiche che comprendono possono essere rapidamente scoperte e assemblate. Questa topologia presenta i seguenti vantaggi:

• La geometria semplice viene utilizzata per memorizzare le funzioni. Il modello di archiviazione è aperto, efficiente e scalabile per grandi volumi e più utenti.
• Il Simple Object Data Model è transazionale e multiutente. I precedenti modelli di dati topologici non erano scalabili e presentavano gravi limitazioni per il lavoro multiutente.
• La topologia del geodatabase supporta completamente tutte le lunghe capacità di dati transazionali e con versione del geodatabase. La topologia del geodatabase non ha bisogno di essere divisa per il lavoro multiutente; gli utenti possono modificare il database topologico allo stesso tempo, anche le proprie versioni delle stesse caratteristiche.
• Le classi di funzioni possono contenere molto un gran numero di oggetti (centinaia di milioni), mentre le loro prestazioni non diminuiscono.
• Questa soluzione topologica è additiva. In genere, è possibile aggiungere la topologia a uno schema esistente di classi di entità geografiche correlate nello spazio. In alternativa, potrebbe essere necessario ricreare lo schema che può utilizzare primitive topologiche e caricare i dati spaziali esistenti al suo interno.
• Per modificare la geometria e lavorare con i dati, di norma è sufficiente un modello.
• Ciò è reso possibile utilizzando l'Open Geospatial Consortium e le specifiche ISO per memorizzare la geometria di tutte le caratteristiche.
• La modellazione dei dati è più naturale perché si basa su feature personalizzate (come appezzamenti, strade, tipi di suolo e bacini idrografici) anziché su primitive topologiche (nodi, bordi e facce). Gli utenti iniziano a operare con categorie di integrità dei dati in relazione a oggetti reali e non controllano l'integrità delle primitive topologiche. Ad esempio, come dovrebbero comportarsi questi appezzamenti di terreno? Questo approccio semplifica la modellazione di tutti i tipi di caratteristiche geografiche. Semplifica la comprensione delle caratteristiche del mondo reale: strade, tipi di suolo, distretti di censimento, binari ferroviari, foreste, paesaggi, ecc.
• Una topologia di geodatabase fornisce lo stesso contenuto delle versioni precedenti della topologia, sia che si memorizzi un grafico a linee topologiche e si calcoli la geometria dell'elemento (come nelle coperture) sia che si memorizzi la geometria dell'elemento e si calcoli la topologia e le relazioni (come nei set di dati) geodati).

Nei casi in cui gli utenti preferiscono memorizzare primitive topologiche, possono creare tabelle e inserire topologia e relazioni in esse per varie operazioni analitiche e per lo scambio di dati (ad esempio, se è necessario inserire informazioni in Oracle Spatial, che memorizza tabelle di primitive topologiche ).

In pratica, la soluzione di topologia ArcGIS funziona. Scala senza sacrificare le prestazioni, sia in termini di volume di dati che di numero di utenti. Consente di utilizzare un'ampia gamma di strumenti di convalida e modifica per creare e manipolare la topologia in un geodatabase. Include strumenti di modellazione dei dati potenti e flessibili che consentono agli utenti di creare sistemi flessibili che operano sia a livello di file che di database relazionale e utilizzano un numero qualsiasi di schemi.

La topologia generale occupa un posto speciale tra le aree della topologia. Attualmente, la topologia generale ha raggiunto quel livello più naturale di generalità che consente di presentare principi, concetti e costruzioni topologici con la massima trasparenza e, allo stesso tempo, fornire loro la più ampia applicabilità possibile in altri rami della matematica.

La topologia generale è un campo della matematica che studia le proprietà geometriche generali che vengono conservate sotto mappature continue e uno a uno.

Insieme all'algebra, la topologia generale costituisce la base del moderno metodo della teoria degli insiemi in matematica.

Gli spazi e le loro mappature continue sono oggetti di studio della topologia generale determinati assiomaticamente. Lo spazio topologico è inteso come un insieme di oggetti di natura arbitraria, chiamati punti, in cui si distingue un certo sistema di sottoinsiemi, chiamati insiemi aperti di spazio. Questo sistema dovrebbe includere tutto lo spazio e l'insieme vuoto e contenere, insieme a due insiemi qualsiasi, la loro intersezione e insieme a qualsiasi insieme di insiemi, un insieme che è la loro unione.

Lo sviluppo della topologia generale è stato significativamente influenzato dall'introduzione di P.S. Aleksandrov, il concetto di compattezza. Aleksandrov e Uryson hanno creato la teoria degli spazi compatti. Gli spazi bicompatti sono uno dei principali oggetti di ricerca in topologia generale e sono attualmente al centro dell'attenzione dei matematici. Stanno giocando ruolo importante nella teoria delle dimensioni, nella teoria dell'omologia e in altri rami della topologia, e sono di primaria importanza anche nell'analisi funzionale. Qualsiasi spazio completamente regolare è un sottoinsieme di uno spazio di Hausdorff compatto.

Attualmente, la definizione più comune di spazio compatto è la seguente: uno spazio è detto compatto se da qualsiasi copertura aperta di questo spazio si può scegliere un numero finito di insiemi di copertura.

In letteratura si possono trovare altre classi di spazi affini a quelli bicompatti, ad esempio pseudocompatto, quasicompatto. Gli spazi compatti occupano il posto principale tra loro e svolgono lo stesso ruolo nella topologia generale degli spazi compatti nella classe degli spazi metrizzabili.

Inoltre, la topologia generale è dedicata allo studio dei concetti di continuità, nonché di altri concetti come la compattezza o la separabilità, in quanto tali, senza ricorrere ad altri strumenti.

4. Spazio topologico

Lo spazio topologico è l'oggetto principale dello studio della topologia. Il concetto di spazio topologico può essere visto come una generalizzazione del concetto di figura geometrica, in cui astraiamo da proprietà come la dimensione o la posizione esatta di parti di una figura nello spazio e ci concentriamo solo sulla posizione relativa delle parti. Gli spazi topologici sorgono naturalmente in quasi tutti i rami della matematica.

Quindi, uno spazio topologico è definito attraverso un sistema di insiemi aperti per mezzo di assiomi. Naturalmente, questo stesso concetto si basa sui concetti generali preliminari di "spazio" e "insieme aperto".

Nella matematica moderna, lo spazio è definito come un insieme astratto di oggetti arbitrari, per i quali viene specificata una certa operazione, realizzando una relazione nota tra gli elementi dello spazio. La base per costruire una teoria di questo o quello spazio astratto è, da un lato, il concetto matematico generale di insieme, che è inteso come un insieme arbitrario di oggetti (elementi), e dall'altro, le relazioni strutturali stabilite in un certo modo tra questi oggetti.

Sia dato un insieme X. Un insieme T dei suoi sottoinsiemi si dice topologia su X se sono soddisfatte le seguenti proprietà:

Tutti X e l'insieme vuoto appartengono a T,

L'unione di una famiglia arbitraria di insiemi appartenenti a T appartiene a T,

L'intersezione di due insiemi appartenenti a T appartiene a T.

L'insieme X insieme alla topologia T definita su di esso è detto spazio topologico. I sottoinsiemi di X appartenenti a T sono detti insiemi aperti.

La necessità di sviluppare un approccio generale al concetto di spazio è sorta molto tempo fa - alla fine dell'ultimo e all'inizio di questo secolo. In connessione con lo sviluppo della teoria delle funzioni di una variabile reale e analisi funzionale sorsero altri oggetti - spazi funzionali e loro sottoinsiemi - per il cui studio erano richiesti anche i concetti ei metodi della topologia generale.

Attualmente, i metodi di ricerca topologica sono utilizzati non solo nell'analisi, ma anche in molti altri rami della matematica. Il ruolo dei metodi topologici nelle equazioni differenziali è significativo. Come risultato della sintesi di idee di topologia generale e analisi funzionale, è nata la teoria degli spazi vettoriali topologici. Gli spazi topologici astratti possono sorgere in modi inaspettati e sono applicati in un'ampia varietà di aree della matematica.

Il concetto ormai generalmente accettato di uno spazio topologico non è sorto immediatamente. Gli spazi metrici apparsi in precedenza, che fino ad oggi sono un argomento importante per lo studio della topologia generale, non potevano soddisfare i matematici.

Le prime definizioni abbastanza generali di uno spazio topologico sono state date nei lavori di Frechet, Riesz e Hausdorff. La definizione di uno spazio topologico è stata infine formulata dal matematico polacco K. Kuratovsky e P.S. Aleksandrov.

Per definire una certa topologia su un insieme X, non è necessario indicare direttamente tutti i sottoinsiemi della famiglia Ω. C'è un altro modo molto conveniente per costruire una topologia usando il concetto di base.

L'insieme β degli aperti dello spazio (X, Ω) si chiama topologia di base o spazio di base(X, Ω) se un qualsiasi aperto non vuoto dello spazio topologico (X, Ω) può essere rappresentato come l'unione di un insieme di insiemi appartenenti a β. In particolare, X è uguale all'unione di tutti gli insiemi di basi.

Teorema 1.9.

La collezione β di aperti della topologia Ω è la base di questa topologia se e solo se, per ogni aperto U Ω e per ogni punto х U, esiste un insieme V β tale che х V U.

Prova. Sia β la base della topologia Ω. U è un aperto arbitrario della famiglia Ω, х è un punto arbitrario dell'insieme U. Allora, per definizione di base, l'insieme, dove è una famiglia di insiemi appartenenti alla collezione β. Poiché x U, allora esiste un indice α 0 J tale che x V α0 β, e V α0 U. Viceversa, se U è un aperto arbitrario della famiglia Ω, allora per ogni punto x U esiste un insieme V x β tale che x V x U. Si verifica direttamente che l'unione di tutti tali V x coincide con U:. Quindi, qualsiasi aperto della famiglia Ω è l'unione di un insieme di insiemi appartenenti a β. Quindi, è, per definizione, la base della topologia Ω.

Il teorema è dimostrato.

Un sistema di sottoinsiemi S α da X si chiama copertura X se l'unione coincide con X. Si chiama una copertura S aprire se ogni S α è aperto nello spazio (X, Ω).

In particolare, la base dello spazio (X, Ω) è una copertura aperta di X. Tuttavia, non tutte le coperture di X possono servire come base per una topologia su X.

Sorge la domanda: se esiste una copertura di X, allora in quali condizioni può essere costruita una topologia su X in modo che questa famiglia sia la base di questa topologia? Il seguente teorema risponde a questa domanda.

Teorema 1.10.

Permettere . Una copertura β = è una base di qualche topologia su X se e solo se, per ogni V α da β, ogni V β da β, e per ogni punto x V α V β, esiste un V γ β tale che x V (V α V β).

Prova. Sia β = la base dello spazio (X, Ω). Poiché β Ω, in virtù dell'assioma c) di uno spazio topologico, l'intersezione di due insiemi qualsiasi della collezione β è un aperto, cioè V α V β Ω. Quindi, per il Teorema 1.9, per ogni punto х V α V β esiste V γ β tale che x V γ (V α V β).

Viceversa, sia il rivestimento soddisfare la condizione del teorema. Definiamo una famiglia Ω costituita da un insieme vuoto e da tutte le possibili unioni di insiemi da . Dimostriamo che la famiglia costruita Ω soddisfa gli assiomi a) - c) di uno spazio topologico. L'assioma a) è ovvio: l'insieme vuoto entra in Ω per ipotesi, e l'insieme appartiene a come unione di tutti gli insiemi da β. Verifichiamo l'assioma b). Sia una famiglia di insiemi, dove U α Ω per ogni indice α di J. Ogni insieme U α è l'unione di un insieme di insiemi da β: dove V α, γ β per ogni indice α J e ogni indice γ G. Allora, cioè... l'insieme è l'unione di qualche raccolta di insiemi da e, quindi, appartiene alla famiglia Ω. Per verificare l'assioma c), è sufficiente mostrare che l'intersezione di due insiemi qualsiasi U, da . appartiene a . Rappresentiamo gli insiemi U nella forma seguente: dove V γ β per ogni γ G, δ β per ogni δ D. Consideriamo l'intersezione. Innanzitutto, assicuriamoci che ogni insieme della forma V γ δ appartenga a Ω. Infatti, per ogni punto x V γ δ, per l'ipotesi del teorema, esiste un insieme W x β tale che x W x V γ δ. Pertanto, l'insieme V γ δ =. L'uguaglianza ottenuta mostra che l'insieme V γ δ Ω è l'unione di alcune famiglie di insiemi della collezione β. Pertanto, l'insieme U è l'unione di qualche famiglia di insiemi appartenenti a Ω, e quindi, per l'assioma b), U Ω. Quindi, la famiglia Ω soddisfa gli assiomi a) - c) di uno spazio topologico, cioè è una topologia su X, e il rivestimento β è, per definizione, una base per .

Il teorema è dimostrato.

Si noti che nella dimostrazione del Teorema 1.10 è indicato un metodo per costruire una topologia su X se è dato un ricoprimento β che soddisfi le condizioni del teorema.

È possibile costruire una topologia su X se viene data una copertura arbitraria? La risposta a questa domanda è data dal seguente teorema.

Teorema 1.11.

Sia un ricoprimento arbitrario dell'insieme X. Allora la famiglia di tutte le possibili intersezioni finite di elementi da S costituisce la base di qualche topologia su X.

Prova. Verifichiamo che la copertura dove K è un sottoinsieme finito arbitrario di I soddisfa il criterio di base. Notando che l'intersezione di due elementi qualsiasi della famiglia β è ancora un elemento della famiglia β, applichiamo il Teorema 1.10: per ogni insieme U α, V β appartenente a β, poniamo V γ = V α V β. Allora V γ β come intersezione di un numero finito di insiemi da S. Quindi, per ogni punto х V α V β abbiamo: х V γ = (V α V β). Quindi, per il Teorema 1.10, è una base di una certa topologia su X.

Il teorema è dimostrato.

La famiglia γ degli aperti dello spazio (X, Ω) si chiama topologia pre-baseΩ se la famiglia β, costituita da tutte le possibili intersezioni finite di insiemi da , costituisce la base della topologia Ω.

Il Teorema 1.11 afferma che ogni copertura dell'insieme X è una prebase di qualche topologia su X.

Ovviamente, ogni base di uno spazio è anche la sua prebase. In genere, una topologia ha molte basi e pre-basi. La preferenza può essere data all'uno o all'altro di essi, a seconda del problema da risolvere.