Qual è la forma estesa di scrivere un numero. Qual è la forma estesa di scrivere un numero?

16.03.2024 Errori

La base del sistema numerico posizionale è l'intero q, che viene elevato a potenza.

La base di un sistema numerico posizionale è una sequenza di numeri, ciascuno dei quali determina l'equivalente quantitativo (peso) di un simbolo a seconda della sua posizione nel codice numerico.

Base decimale: …10 N, 10N –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – M ,…

La base di un sistema numerico posizionale arbitrario: ... qn, qn –1 , …, Q 1 , Q 0 , Q –1 , …, Q – M, …

La base in qualsiasi sistema è rappresentata come 10, ma ha un valore quantitativo diverso. Mostra quante volte cambia il valore quantitativo di una cifra quando viene spostata in una posizione adiacente. Sono possibili molti sistemi posizionali, poiché qualsiasi numero non inferiore a 2 può essere preso come base del sistema numerico.

Il nome del sistema numerico corrisponde alla sua base (decimale, binario, quinario, ecc.).

In un sistema numerico con una base Q (Q-ary number system) le unità delle cifre sono potenze successive di un numero Q, in altre parole, Q le unità di qualsiasi categoria formano un'unità della categoria successiva.

Per scrivere i numeri QÈ richiesto il sistema di numerazione -ary Q vari segni (cifre) che rappresentano i numeri 0, 1, ..., Q – 1.

Pertanto, la base di un sistema numerico posizionale è uguale al numero di simboli (segni) del suo alfabeto. Scrivere un numero Q V Q Il sistema numerico -ario ha la forma 10.

Esempio 1. Sistema di numerazione ottale.

Base: q = 8.

Alfabeto: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Numeri: ad esempio 45023.152 8 ; 751.001 8 .

Esempio 2. Sistema numerico quintuplo .

Base: Q = 5.

Alfabeto: 0, 1, 2, 3 e 4.

Numeri: ad esempio 20304 5 ; 324.035.

Esempio 3. Sistema numerico esadecimale.

Base: q = 16.

Alfabeto: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Qui solo dieci delle sedici cifre hanno la designazione generalmente accettata 0-9. Per scrivere i restanti caratteri dell'alfabeto (10, 11, 12, 13, 14 e 15), vengono solitamente utilizzate le prime cinque lettere dell'alfabeto latino.

Numeri: ad esempio В5С3,1А2 16; 355.0FA018.

Nel sistema numerico posizionale, qualsiasi numero reale può essere rappresentato nella seguente forma:

Un q = ±( UN–1× qn –1 + UN–2× qn –2 +…+ UN 0 × Q 0 + UN–1× Q –1 + UN–2× Q –2 +…+ UN –M × q–m), (1) o ±.

Qui UN - il numero stesso; Q- radice;
e io- numeri appartenenti all'alfabeto di un dato sistema numerico; P - numero di cifre intere; T - numero di cifre frazionarie di un numero.

Viene chiamata la scomposizione di un numero secondo la formula (1). modulo di iscrizione ampliato . Altrimenti, viene chiamata questa forma di registrazione polinomio O tranquillo.

Esempio 1. Numero decimale UN 10 = 5867,91 secondo la formula (1) è rappresentato come segue:

UN 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

Esempio 2. La formula (1) per il sistema numerico ottale ha la forma:

UN 8 = ±( UN–1×8 N –1 + UN–2×8 N –2 +…+ UN 0×8 0 + UN–1×8 –1 + UN–2×8 –2 +…+ Sono×8 – M),

Dove e io- numeri 0–7.

Il numero ottale A 8 = 7064.3 nella forma (1) verrà scritto come segue:

UN 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

Esempio 3. Numero quintuplo UN 5 = 2430,21 secondo la formula (1) si scriverà come segue:

UN 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.

Calcolando questa espressione, puoi ottenere l'equivalente decimale del quintuplo numero specificato: 365,44 10.

Esempio 4. Nel sistema numerico esadecimale la voce è 3 AF 16 significa:

3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

Permettere aq- numero nel sistema di base Q, ai- cifre di un dato sistema numerico presente nel record numerico UN, N+ 1 - il numero di cifre della parte intera del numero, M- numero di cifre della parte frazionaria del numero:

Forma estesa del numero UNè chiamato record nella forma:

Ad esempio, per un numero decimale:

Gli esempi seguenti mostrano la forma estesa dei numeri esadecimali e binari:

In qualsiasi sistema numerico, la sua base è scritta come 10.

Se tutti i termini nella forma estesa di un numero non decimale sono rappresentati nel sistema decimale e l'espressione risultante viene calcolata secondo le regole dell'aritmetica decimale, si otterrà un numero nel sistema decimale uguale a quello indicato. Questo principio viene utilizzato per convertire dal sistema non decimale al sistema decimale. Ad esempio, la conversione dei numeri scritti sopra nel sistema decimale viene eseguita in questo modo:

Conversione di numeri decimali in altri sistemi numerici

Conversione di numeri interi

Numero decimale intero X deve essere convertito in un sistema con una base Q: X = (UN N UN n-1... UN 1 UN 0) q. Devi trovare le cifre significative del numero: Presentiamo il numero in forma estesa ed eseguiamo la trasformazione identica:

Da questo è chiaro che UN 0 è il resto della divisione di un numero X per numero Q. L'espressione tra parentesi è il quoziente intero di questa divisione. Indichiamolo con X 1. Effettuando trasformazioni simili, otteniamo:

Quindi, UN 1 è il resto della divisione X 1 p Q. Continuando la divisione con il resto otterremo una sequenza di cifre del numero desiderato. Numero UN in questa catena di divisioni sarà l'ultimo quoziente, il più piccolo Q.

Formuliamo la regola risultante: per convertire un numero decimale intero in un sistema numerico con una base diversa, è necessario:

1) esprimere la base del nuovo sistema numerico nel sistema numerico decimale ed eseguire tutte le azioni successive secondo le regole dell'aritmetica decimale;

2) dividere in sequenza il numero dato ed i quozienti incompleti risultanti per la base del nuovo sistema numerico fino ad ottenere un quoziente incompleto minore del divisore;

3) allineare i saldi risultanti, che sono cifre di un numero nel nuovo sistema numerico, all'alfabeto del nuovo sistema numerico;

4) comporre un numero nel nuovo sistema numerico, scrivendolo partendo dall'ultimo quoziente.

Esempio 1. Converti il numero 37 10 in binario.

Per designare le cifre in un numero usiamo il simbolismo: UN 5 UN 4 UN 3 UN 2 UN 1 UN 0

Quindi: 37 10 = l00l0l 2

Esempio 2. Converti il numero decimale 315 nei sistemi ottale ed esadecimale:

Ne consegue: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Ricordiamo che 11 10 = B 16.

Frazione decimale X < 1 требуется перевести в систему с основанием Q: X = (0, UN –1 UN –2 … UN–m+1 UN–m) q. Devi trovare le cifre significative del numero: UN –1 ,UN –2 , …, UN–m .Presenta il numero in forma estesa e moltiplicalo per Q:

Da questo è chiaro che UN–1c’è tutta una parte dell’opera X per numero Q. Indichiamo con X 1 parte frazionaria del prodotto e moltiplicarla per Q:

Quindi, UN–2 è parte integrante dell’opera X 1 per numero Q. Continuando la moltiplicazione otterremo una sequenza di numeri. Ora formuliamo una regola: per convertire una frazione decimale in un sistema numerico con una base diversa, è necessario:

1) moltiplicare successivamente il numero dato e le parti frazionarie risultanti dei prodotti per la base del nuovo sistema numerico fino a quando la parte frazionaria del prodotto diventa uguale a zero o viene raggiunta la precisione richiesta per rappresentare il numero nel nuovo sistema numerico;

2) adattare le parti intere risultanti delle opere, che sono cifre del numero nel nuovo sistema numerico, all'alfabeto del nuovo sistema numerico;

3) comporre la parte frazionaria del numero nel nuovo sistema numerico, partendo dalla parte intera del primo prodotto.

Esempio 3. Converti la frazione decimale 0,1875 nei sistemi binario, ottale ed esadecimale.

Qui la colonna di sinistra contiene la parte intera dei numeri e la colonna di destra contiene la parte frazionaria.

Quindi: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Conversione di numeri misti contenente parti intere e frazionarie viene eseguito in due fasi. Le parti intere e frazionarie del numero originale vengono tradotte separatamente utilizzando algoritmi appropriati. Nella registrazione finale di un numero nel nuovo sistema numerico, la parte intera viene separata dalla parte frazionaria da una virgola (punto).

L’argomento “Sistemi numerici” è direttamente correlato alla teoria matematica dei numeri. Tuttavia, di regola, non viene studiato nei corsi di matematica scolastica. La necessità di studiare questo argomento in un corso di informatica è legata al fatto che i numeri nella memoria del computer sono rappresentati nel sistema numerico binario e i sistemi esadecimali o ottali vengono utilizzati per rappresentare esternamente il contenuto della memoria e gli indirizzi di memoria. Questo è uno degli argomenti tradizionali di un corso di informatica o programmazione. Essendo adiacente alla matematica, questo argomento contribuisce anche all'educazione matematica fondamentale degli scolari.

Per un corso di informatica, l'interesse principale è la familiarità con il sistema di numerazione binario. L'uso del sistema di numeri binari in un computer può essere considerato sotto due aspetti: 1) numerazione binaria, 2) aritmetica binaria, cioè eseguire calcoli aritmetici su numeri binari.

Numerazione binaria

Gli studenti incontrano la numerazione binaria nell'argomento "Rappresentazione del testo nella memoria del computer". Quando si parla della tabella di codifica, l'insegnante dovrebbe dire agli studenti che il codice binario interno di un simbolo è il suo numero seriale nel sistema di numerazione binario. Ad esempio, il numero della lettera S nella tabella ASCII è 83. Il codice binario a otto bit della lettera S è uguale al valore di questo numero nel sistema numerico binario: 01010011.

Calcoli binari

Secondo il principio di John von Neumann, un computer esegue calcoli nel sistema numerico binario. Nell'ambito del corso base è sufficiente limitarsi a considerare i calcoli con numeri interi binari. Per eseguire calcoli con numeri a più cifre, è necessario conoscere le regole dell'addizione e le regole della moltiplicazione dei numeri a una cifra. Queste sono le regole:

Il principio della commutabilità dell'addizione e della moltiplicazione funziona in tutti i sistemi numerici. Le tecniche per eseguire calcoli con numeri a più cifre nel sistema binario sono simili al sistema decimale. In altre parole, le procedure di addizione, sottrazione e moltiplicazione per una “colonna” e divisione per un “angolo” nel sistema binario si eseguono allo stesso modo del sistema decimale.

Diamo un'occhiata alle regole per sottrarre e dividere i numeri binari. L’operazione di sottrazione è l’inversa dell’addizione. Dalla tabella di addizione sopra riportata seguono le regole di sottrazione:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Ecco un esempio di sottrazione di numeri a più cifre:

Il risultato ottenuto può essere verificato aggiungendo la differenza con il sottraendo. Il risultato dovrebbe essere un numero decrescente.

La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
In qualsiasi sistema numerico non è possibile dividere per 0. Il risultato della divisione per 1 è uguale al dividendo. Dividere un numero binario per 10 2 sposta la cifra decimale di una posizione a sinistra, in modo simile a dividere un numero decimale per dieci. Per esempio:

La divisione per 100 sposta la virgola decimale di 2 posizioni a sinistra, ecc. Nel corso base non devi considerare esempi complessi di divisione di numeri binari a più cifre. Sebbene gli studenti capaci possano affrontarli, comprendendo i principi generali.

Rappresentare le informazioni archiviate nella memoria del computer nella sua vera forma binaria è piuttosto complicato a causa dell'elevato numero di cifre. Ciò si riferisce alla registrazione di tali informazioni su carta o alla loro visualizzazione sullo schermo. Per questi scopi è consuetudine utilizzare sistemi misti binario-ottale o binario-esadecimale.

Esiste una relazione semplice tra la rappresentazione binaria ed esadecimale di un numero. Quando si converte un numero da un sistema all'altro, una cifra esadecimale corrisponde a un codice binario a quattro cifre. Questa corrispondenza si riflette nella tabella binaria-esadecimale:

Tabella esadecimale binaria

Questa connessione si basa sul fatto che 16 = 2 4 e il numero di diverse combinazioni di quattro cifre dei numeri 0 e 1 è 16: da 0000 a 1111. Pertanto la conversione dei numeri da esadecimale a binario e viceversa viene effettuata mediante conversione formale utilizzando la tabella binario-esadecimale.

Ecco un esempio di conversione del binario a 32 bit in esadecimale:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Se viene fornita una rappresentazione esadecimale delle informazioni interne, è facile convertirla in codice binario. Il vantaggio della rappresentazione esadecimale è che è 4 volte più breve di quella binaria. Si consiglia agli studenti di memorizzare la tabella binario-esadecimale. Allora infatti per loro la rappresentazione esadecimale diventerà equivalente a quella binaria.

Nel sistema ottale binario, ciascuna cifra ottale corrisponde a una triade di cifre binarie. Questo sistema permette di ridurre di 3 volte il codice binario.

Notazione

Notazione - questo è un modo di rappresentare i numeri e le corrispondenti regole per operare sui numeri. I vari sistemi numerici esistenti nel passato e utilizzati oggi possono essere suddivisi in non posizionale E posizionale. Segni utilizzati durante la scrittura dei numeri, sono chiamati in numeri.

IN sistemi numerici non posizionali il significato di una cifra non dipende dalla sua posizione nel numero.

Un esempio di sistema numerico non posizionale è il sistema romano (numeri romani). Nel sistema romano, le lettere latine sono usate come numeri:

Esempio 1. Il numero CCXXXII è composto da duecentotre decine e due unità ed è pari a duecentotrentadue.

Nei numeri romani i numeri si scrivono da sinistra a destra in ordine decrescente. In questo caso, i loro valori vengono sommati. Se a sinistra viene scritto un numero più piccolo e a destra uno più grande, i loro valori vengono sottratti.

Esempio 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Esempio 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

IN sistemi di numeri posizionali il valore indicato da una cifra in una notazione numerica dipende dalla sua posizione. Il numero di cifre utilizzate è chiamato base del sistema numerico posizionale.

Il sistema numerico utilizzato nella matematica moderna è sistema decimale posizionale. La sua base è dieci, perché Tutti i numeri vengono scritti utilizzando dieci cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

La natura posizionale di questo sistema è facile da capire usando l'esempio di qualsiasi numero a più cifre. Ad esempio, nel numero 333, i primi tre significano tre centinaia, il secondo - tre decine, il terzo - tre unità.

Scrivere numeri in un sistema posizionale con una radice N Deve avere alfabeto da N numeri Di solito per questo N < 10 используют N i primi numeri arabi e quando N> A dieci numeri arabi vengono aggiunte 10 lettere. Ecco alcuni esempi di alfabeti di diversi sistemi:

Se è necessario indicare la base del sistema a cui appartiene un numero, a questo numero viene assegnato un pedice. Per esempio:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

In un sistema numerico con una base Q (Q-ary number system) le unità delle cifre sono potenze successive di un numero Q. Q le unità di qualsiasi categoria formano un'unità della categoria successiva. Per scrivere un numero QÈ richiesto il sistema di numerazione -ary Q vari segni (cifre) che rappresentano i numeri 0, 1, ..., Q– 1. Scrivere un numero Q V Q Il sistema numerico -ario ha la forma 10.

Forma estesa di scrittura di un numero

Forma estesa del numero UNè chiamato record nella forma:

Ad esempio, per un numero decimale:

Gli esempi seguenti mostrano la forma estesa dei numeri esadecimali e binari:

In qualsiasi sistema numerico, la sua base è scritta come 10.

Come passare dalla forma compressa di scrittura di un numero decimale alla sua forma espansa?

Risposta

Consideriamo il numero decimale 14351.1. La sua forma ridotta di notazione è così familiare che non notiamo come nella nostra mente passiamo a una notazione estesa, moltiplicando le cifre del numero per i “pesi” delle cifre e sommando i prodotti risultanti:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1.

Transizione da una forma compressa a una forma espansa

1. Guarda il numero che ti è stato dato e determina il numero delle sue cifre.

Esempio:
Scrivi 5827 in forma estesa.

Leggi il numero ad alta voce: cinquemilaottocentoventisette.

Tieni presente che questo numero ha quattro cifre. Di conseguenza, il modulo espanso conterrà quattro termini.

2. Riscrivi il numero come la somma delle sue cifre, lasciando un po' di spazio tra loro per moltiplicare ciascuna cifra per una certa cifra (ne parleremo più avanti).

Esempio:
5827 riscrivilo così:

3. Le cifre di un numero si trovano in determinate posizioni che corrispondono (da destra a sinistra) a unità, decine, centinaia, migliaia e così via. Determina il nome della posizione e il suo significato per ciascuna cifra (da destra a sinistra).

Esempio:
Poiché questo numero ha quattro cifre, è necessario determinare i nomi delle quattro posizioni (da destra a sinistra).

7 corrisponde a quelli (valore = 1 = 10 0).
2 corrisponde alle decine (valore = 10 = 10 1).
8 corrisponde a centinaia (valore = 100 = 10 2).
5 corrisponde a migliaia (valore = 1000 = 10 3).

4. Moltiplica ciascuna cifra di un dato numero per il valore della sua posizione corrispondente.

Esempio:
5 10 3 + 8 10 2 + 2 10 1 + 7 10 0

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1.1.1. Informazioni generali sui sistemi numerici

Riso. 1.1.
Segni utilizzati per scrivere numeri in vari sistemi numerici

In qualsiasi sistema numerico, le cifre vengono utilizzate per designare numeri chiamati numeri di nodo; i restanti numeri (algoritmici) si ottengono come risultato di alcune operazioni dai numeri dei nodi.

Esempio 1. Presso i babilonesi i numeri chiave erano 1, 10, 60; nel sistema numerico romano, i numeri chiave sono 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, indicati rispettivamente I, V, X, L, C, D, M.

I sistemi numerici differiscono nella scelta dei numeri nodali e nei metodi di generazione dei numeri algoritmici. Si possono distinguere i seguenti tipi di sistemi numerici:

sistemi unari;
sistemi non posizionali;
sistemi posizionali.

Il sistema più semplice e antico è il cosiddetto sistema numerico unario. Per scrivere qualsiasi numero utilizza un solo simbolo: un bastoncino, un nodo, una tacca, un ciottolo. La lunghezza di un numero in questa codifica è direttamente correlata al suo valore, il che rende questo metodo simile alla rappresentazione geometrica dei numeri sotto forma di segmenti. È il sistema unario che sta alla base dell'aritmetica, ed è proprio questo sistema che introduce ancora gli alunni della prima elementare nel mondo del conteggio. I sistemi unari sono anche chiamati sistemi di tag.

Nei sistemi numerici non posizionali, i numeri vengono formati aggiungendo i numeri dei nodi.

Esempio 2. Nell'antico sistema numerico egiziano, i numeri 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 erano designati rispettivamente come segue:

Gli stessi numeri nel sistema numerico romano sono designati come segue: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Qui i numeri algoritmici si ottengono sommando e sottraendo i numeri chiave, tenendo conto della seguente regola: ogni segno più piccolo posto a destra di quello più grande viene sommato al suo valore, e ogni segno più piccolo posto a sinistra di quello più grande viene sottratto da esso.

Un esempio di sistema numerico posizionale è il sistema numerico decimale, che siamo abituati a utilizzare nella vita di tutti i giorni, con il quale abbiamo familiarità fin dall'infanzia, in cui eseguiamo tutti i nostri calcoli. In esso, i numeri algoritmici sono formati come segue: i valori delle cifre vengono moltiplicati per i "pesi" delle cifre corrispondenti e tutti i valori risultanti vengono sommati. Questo può essere visto chiaramente nei numeri della lingua russa, ad esempio: “trecentocinque diecisette”.

La base del sistema numerico posizionale può essere qualsiasi numero naturale q > 1.

L'alfabeto del sistema decimale è costituito dai numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. L'alfabeto di un sistema numerico posizionale arbitrario con base q è costituito dai numeri 0, 1, .. ., q-1, ciascuno dei quali può essere scritto utilizzando un carattere univoco; La cifra più bassa è sempre O.

I principali vantaggi di qualsiasi sistema numerico posizionale sono la facilità di eseguire operazioni aritmetiche e il numero limitato di simboli richiesti per scrivere qualsiasi numero.

a 1 - numeri appartenenti all'alfabeto di un dato sistema numerico;

q 1 - “peso” della i-esima cifra.

Scrivere un numero utilizzando la formula (1) è chiamato forma di scrittura espansa. La forma compressa di scrittura di un numero è la sua rappresentazione nella forma ±a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 ,a -1 ...a -m 1

1 Nel seguito verranno considerati solo numeri interi positivi.

Esempio 3. Consideriamo il numero decimale 14351.1. La sua forma ridotta di notazione è così familiare che non notiamo come nella nostra mente passiamo a una notazione estesa, moltiplicando le cifre del numero per i “pesi” delle cifre e sommando i prodotti risultanti:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .

1.1.2. Sistema di numeri binari

Il sistema numerico binario è un sistema numerico posizionale con base 2. Per scrivere numeri nel sistema numerico binario, vengono utilizzate solo due cifre: 0 e 1.

Basandoci sulla formula (1) per i numeri interi binari possiamo scrivere:

Per esempio:

10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .

Questa forma di scrittura “suggerisce” la regola per convertire i numeri binari naturali nel sistema di numerazione decimale: è necessario calcolare la somma delle potenze di due corrispondenti alle unità nella forma compressa di scrittura di un numero binario.

Otteniamo dalla formula (1") la regola per convertire i numeri decimali interi nel sistema numerico binario.

Dividiamo

a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 per 2.

Il quoziente sarà uguale a

un n-1 2 n-2 + ... + un 1 ,

e il resto sarà uguale a 0.

Dividiamo nuovamente il quoziente risultante per 2, il resto della divisione sarà uguale a 1.

Se continuiamo questo processo di divisione, all'ennesimo passaggio otteniamo una serie di numeri:

a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n-1

che sono inclusi nella rappresentazione binaria del numero originale e coincidono con i resti quando viene diviso in sequenza per 2. Quando si scrive il numero originale nel sistema numerico binario, si dovrebbe tenere conto del fatto che abbiamo ottenuto i resti dalla divisione per 2 nell'ordine inverso rispetto alla disposizione delle cifre corrispondenti nella rappresentazione binaria del numero originale.

Esempio 4. Convertiamo il numero decimale 11 nel sistema numerico binario. La sequenza di azioni discussa sopra (algoritmo di traduzione) può essere rappresentata come segue:

Scrivendo i resti della divisione nella direzione indicata dalla freccia, otteniamo: 11 10 = 1011 2.

Esempio 5. Se il numero decimale è sufficientemente grande, è più conveniente scrivere l'algoritmo discusso sopra nel modo seguente:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Sistema di numerazione ottale

Il sistema numerico ottale è un sistema numerico posizionale con base 8. Per scrivere numeri nel sistema numerico ottale, vengono utilizzati i seguenti numeri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Basandoci sulla formula (1) per un numero intero ottale possiamo scrivere:

Ad esempio: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10

Pertanto, per convertire un numero ottale intero nel sistema numerico decimale, dovresti andare alla sua forma estesa e calcolare il valore dell'espressione risultante.

Per convertire un numero decimale intero nel sistema numerico ottale, è necessario dividere in sequenza il numero dato e i quozienti interi risultanti per 8 finché non si ottiene un quoziente uguale a zero. Il numero originale nel nuovo sistema di numerazione viene compilato registrando in sequenza i saldi risultanti, a partire dall'ultimo.

Esempio 6. Convertiamo il numero decimale 103 nel sistema numerico ottale.

1.1.4. Sistema numerico esadecimale

Base: q = 16.

Alfabeto: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Qui, solo dieci delle sedici cifre hanno la designazione generalmente accettata 0,..., 9. Per scrivere numeri con equivalenti quantitativi decimali 10, 11, 12, 13, 14, 15, le prime cinque lettere dell'alfabeto latino sono solitamente usato.

Pertanto, la voce 3AF16 significa:

3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

Esempio 7. Convertiamo il numero decimale 154 nel sistema numerico esadecimale.

1.1.5. La regola per convertire i numeri decimali interi nel sistema numerico con base q

Per convertire un numero decimale intero in un sistema numerico con base q:

dividere in sequenza il numero dato e i quozienti interi risultanti per la base del nuovo sistema numerico fino ad ottenere un quoziente uguale a zero;
i saldi risultanti, che sono cifre di un numero nel nuovo sistema numerico, dovrebbero essere resi conformi all'alfabeto del nuovo sistema numerico;
comporre un numero nel nuovo sistema numerico, trascrivendolo a partire dall'ultimo resto ricevuto.

Facciamo una tabella di corrispondenza tra i numeri decimali, binari, ottali ed esadecimali da 0 a 20.

La Collezione unificata di risorse educative digitali (http://school-collection.edu.ru/) contiene un'animazione interattiva “Conversione di un numero decimale in un altro sistema numerico”. Con il suo aiuto, puoi osservare la traduzione di un numero intero arbitrario da 0 a 512 in un sistema numerico posizionale, la cui base non supera 16.

Nel laboratorio virtuale "Bilancia digitale" che si trova lì, puoi imparare un altro modo per convertire i numeri decimali interi in altri sistemi numerici: il metodo delle differenze.

1.1.6. Aritmetica binaria

L'aritmetica del sistema numerico binario si basa sull'uso delle seguenti tabelle di addizione e moltiplicazione:

Esempio 8. La tabella di addizione binaria è estremamente semplice. Poiché 1 + 1 = 10, 0 rimane in questa cifra e 1 viene trasferito alla cifra successiva.

Esempio 9. L'operazione di moltiplicazione viene eseguita secondo il consueto schema utilizzato nel sistema numerico decimale, con moltiplicazione sequenziale del moltiplicando per la cifra successiva del moltiplicatore.

Pertanto, nel sistema binario, la moltiplicazione si riduce allo spostamento del moltiplicando e all'addizione.

1.1.7. Sistemi di numerazione "informatici".

La tecnologia informatica utilizza un sistema di numeri binari, che offre numerosi vantaggi rispetto ad altri sistemi:

i numeri binari sono rappresentati in un computer utilizzando elementi tecnici abbastanza semplici con due stati stabili;
la presentazione delle informazioni attraverso solo due stati è affidabile e resistente al rumore;
l'aritmetica binaria è la più semplice;
Esiste un apparato matematico che fornisce trasformazioni logiche di dati binari.

Lo scambio di informazioni tra dispositivi informatici viene effettuato trasmettendo codici binari. È scomodo per una persona utilizzare tali codici a causa della loro grande lunghezza e uniformità visiva. Pertanto, gli specialisti (programmatori, ingegneri) in alcune fasi di sviluppo, creazione e configurazione dei sistemi informatici sostituiscono i codici binari con valori equivalenti nei sistemi numerici ottali o esadecimali. Di conseguenza, la lunghezza della parola originale viene ridotta rispettivamente di tre e quattro volte. Ciò rende le informazioni più convenienti per la revisione e l'analisi.

Utilizzando la risorsa "Libro dei problemi interattivi, sezione "Sistemi numerici"" (http://school-collection.edu.ru/), puoi verificare quanto bene hai padroneggiato il materiale studiato in questo paragrafo.

Il più importante

Un sistema numerico è un sistema di segni in cui vengono adottate determinate regole per scrivere i numeri. I segni con cui vengono scritti i numeri sono chiamati cifre e la loro combinazione è chiamata alfabeto del sistema numerico.

Un sistema numerico è detto posizionale se l'equivalente quantitativo di una cifra in un numero dipende dalla sua posizione nella notazione del numero. La base di un sistema numerico posizionale è uguale al numero di cifre che compongono il suo alfabeto.

La base del sistema numerico posizionale può essere qualsiasi numero naturale q > 1.

In un sistema numerico posizionale con base q, qualsiasi numero può essere rappresentato come:

Un numero;

q - base del sistema numerico;

e i sono numeri appartenenti all'alfabeto di un dato sistema numerico;

n - numero di cifre intere;

m - il numero di cifre frazionarie del numero;

q i - "peso" della i-esima cifra.