Matematička matrica je tablica uređenih elemenata. Veličina ove tablice određena je brojem redaka i stupaca u njoj. Što se tiče rješenja matrica, oni se nazivaju ogromnim brojem operacija koje se izvode na tim istim matricama. Matematičari razlikuju nekoliko vrsta matrica. Za neke od njih vrijede opća pravila za odluku, dok za druge ne vrijede. Na primjer, ako matrice imaju istu dimenziju, onda se mogu zbrajati, a ako se slažu jedna s drugom, onda se mogu množiti. Imperativ je pronaći determinantu za rješavanje bilo koje matrice. Osim toga, matrice se transponiraju i u njima se nalaze minori. Pa pogledajmo kako riješiti matrice.
Postupak rješavanja matrice
Prvo zapisujemo zadane matrice. Brojimo koliko redaka i stupaca imaju. Ako je broj redaka i stupaca isti, tada se takva matrica naziva kvadratna. Kad bi se svaki element matrice pokazao je nula, tada je takva matrica nula. Sljedeće što radimo je pronaći glavnu dijagonalu matrice. Elementi takve matrice nalaze se od donjeg desnog kuta do gornjeg lijevog. Druga dijagonala u matrici je sekundarna. Sada morate transponirati matricu. Da biste to učinili, potrebno je zamijeniti elemente retka u svakoj od dvije matrice odgovarajućim elementima stupca. Na primjer, element ispod a21 bit će element a12, ili obrnuto. Tako bi se nakon ovog postupka trebala pojaviti potpuno drugačija matrica.
Ako matrice imaju potpuno istu dimenziju, onda se mogu lako dodati. Da bismo to učinili, uzimamo prvi element prve matrice a11 i dodajemo ga sa sličnim elementom u drugoj matrici b11. Zapisujemo rezultat koji će biti na istoj poziciji, samo u novoj matrici. Sada na isti način dodajte sve ostale elemente matrice dok ne dobijete novu potpuno drugačiju matricu. Pogledajmo još nekoliko načina kako riješiti matrice.
Opcije matrice
Također možemo odrediti jesu li matrice konzistentne. Da bismo to učinili, moramo usporediti broj redaka u prvoj matrici s brojem stupaca u drugoj matrici. Ako se pokaže da su jednaki, možete ih pomnožiti. Da bismo to učinili, u paru pomnožimo element retka jedne matrice s istim elementom stupca druge matrice. Tek nakon toga bit će moguće izračunati zbroj rezultirajućih radova. Na temelju toga, početni element matrice koji treba dobiti kao rezultat bit će jednak g11 = a11 * b11 + a12 * b21 + a13 * b31 +… + a1m * bn1. Nakon što su svi proizvodi dodani i pomnoženi, možete ispuniti rezultirajuću matricu.
Također je moguće, prilikom rješavanja matrica, pronaći njihove determinante i za svaku determinantu. Ako je matrica kvadratna i ima dimenziju 2 puta 2, tada se determinanta može naći kao razlika svih proizvoda elemenata glavne i sekundarne dijagonale. Ako je matrica već trodimenzionalna, tada se determinanta može pronaći primjenom sljedeće formule. D = a11 * a22 * a33 + a13 * a21 * a32 + a12 * a23 * a31 - a21 * a12 * a33 - a13 * a22 * a31 - a11 * a32 * a23.
Da biste pronašli minor zadanog elementa, trebate precrtati stupac i red u kojem se ovaj element nalazi. Zatim pronađite determinantu ove matrice. Bit će to odgovarajući maloljetnik. Slična metoda matrice odlučivanja razvijena je prije nekoliko desetljeća kako bi se poboljšala pouzdanost rezultata dijeljenjem problema na podprobleme. Dakle, rješavanje matrica nije tako teško ako znate osnovnu matematiku.
Matrice. Radnje na matricama. Svojstva operacija nad matricama. Vrste matrica.
Matrice (i, sukladno tome, matematički dio - matrična algebra) važni su u primijenjenoj matematici, jer vam omogućuju da u prilično jednostavnom obliku zapišete značajan dio matematičkih modela objekata i procesa. Izraz "matrica" datira iz 1850. godine. Matrice se prvi put spominju u staroj Kini, kasnije među arapskim matematičarima.
Matrica A = A mn reda m * n se zove pravokutna tablica brojeva koja sadrži m - redaka i n - stupaca.
Elementi matrice a ij, za koje se i = j nazivaju dijagonala i oblik glavna dijagonala.
Za kvadratnu matricu (m = n), glavnu dijagonalu čine elementi a 11, a 22, ..., a nn.
Jednakost matrica.
A = B ako redoslijed matrica A i B su isti i a ij = b ij (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n)
Radnje na matricama.
1. Zbrajanje matrica - operacija element po element
2. Oduzimanje matrica - operacija element po element
3. Umnožak matrice brojem - operacija po elementima
4. Množenje A * B matrice prema pravilu red po stupac(broj stupaca matrice A mora biti jednak broju redaka matrice B)
A mk * B kn = C mn sa svakim elementom s ij matrice C mn jednak je zbroju umnožaka elemenata i-tog retka matrice A odgovarajućim elementima j-tog stupca matrice B, t.j.
Pokažimo operaciju množenja matrice na primjeru
5. Eksponencijacija
m> 1 je pozitivan cijeli broj. A je kvadratna matrica (m = n) tj. relevantno samo za kvadratne matrice
6. Transponiranje matrice A. Transponirana matrica je označena sa A T ili A "
Redovi i stupci se zamjenjuju
Primjer
Svojstva matrične operacije
(A + B) + C = A + (B + C)
λ (A + B) = λA + λB
A (B + C) = AB + AC
(A + B) C = AC + BC
λ (AB) = (λA) B = A (λB)
A (BC) = (AB) C
(λA) "= λ (A)"
(A + B) "= A" + B "
(AB) "= B" A "
Vrste matrica
1. Pravokutni: m i n- proizvoljnih pozitivnih cijelih brojeva
2. Kvadrat: m = n
3. Matrični niz: m = 1... Na primjer, (1 3 5 7) - u mnogim praktičnim problemima takva se matrica naziva vektor
4. Stupac matrice: n = 1... na primjer
5. Dijagonalna matrica: m = n i a ij = 0, ako i ≠ j... na primjer
6. Matrica jedinica: m = n i
7. Nulta matrica: a ij = 0, i = 1,2, ..., m
j = 1,2, ..., n
8. Trokutasta matrica: svi elementi ispod glavne dijagonale su 0.
9. Simetrična matrica: m = n i a ij = a ji(odnosno, postoje jednaki elementi na mjestima simetričnim u odnosu na glavnu dijagonalu), i stoga A "= A
Na primjer,
10. Kosi simetrična matrica: m = n i a ij = -a ji(odnosno, suprotni elementi nalaze se na mjestima simetričnim u odnosu na glavnu dijagonalu). Posljedično, na glavnoj dijagonali postoje nule (budući da je za i = j imamo a ii = -a ii)
To je jasno, A "= - A
11. Hermitova matrica: m = n i a ii = -ã ii (ã ji- složeno - konjugirano na a ji, tj. ako A = 3 + 2i, zatim kompleksni konjugat à = 3-2i)
Ovo je koncept koji generalizira sve moguće operacije izvedene s matricama. Matematička matrica je tablica elemenata. O stolu gdje m linije i n stupcima, kažu da ova matrica ima dimenziju m na n.
Opći prikaz matrice:
Za matrična rješenja morate razumjeti što je matrica i znati njezine glavne parametre. Glavni elementi matrice:
- Glavna dijagonala sastavljena od elemenata a 11, a 22 ... ..mn.
- Bočna dijagonala sastavljena od elemenata a 1n, a 2n-1 ... ..a m1.
Glavne vrste matrica:
- Kvadrat je matrica u kojoj je broj redaka = broj stupaca ( m = n).
- Nula - gdje su svi elementi matrice = 0.
- Transponirana matrica - Matrica V koji je dobiven iz izvorne matrice A zamjenom redaka stupcima.
- Pojedinačni - svi elementi glavne dijagonale = 1, svi ostali = 0.
- Inverzna matrica je matrica koja, kada se pomnoži s izvornom matricom, rezultira matricom identiteta.
Matrica može biti simetrična oko glavne i bočne dijagonale. Odnosno, ako a 12 = a 21, a 13 = a 31,… .a 23 = a 32…. a m-1n = a mn-1, tada je matrica simetrična oko glavne dijagonale. Samo kvadratne matrice mogu biti simetrične.
Metode rješavanja matrica.
Gotovo sve metode matričnog rješenja treba pronaći njegovu odrednicu n-. reda i većina ih je prilično glomazna. Postoje i drugi, racionalniji načini za pronalaženje determinante 2. i 3. reda.
Pronalaženje determinanti drugog reda.
Za izračunavanje determinante matrice A 2. reda, potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti umnožak elemenata sekundarne dijagonale:
Metode pronalaženja determinanti trećeg reda.
Ispod su pravila za pronalaženje determinante 3. reda.
Pojednostavljeno pravilo trokuta, kao jedno od metode rješavanja matrica, može se prikazati na ovaj način:
Drugim riječima, umnožak elemenata u prvom kvalifikatoru koji su povezani ravnim linijama uzima se sa znakom "+"; također, za 2. odrednicu - odgovarajući proizvodi se uzimaju sa znakom "-", odnosno prema sljedećoj shemi:
Na rješavanje matrica Sarrusovim pravilom, desno od determinante dodaju se prva 2 stupca i umnožak odgovarajućih elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama koje su joj paralelne uzimaju se sa znakom "+"; i umnožak odgovarajućih elemenata bočne dijagonale i dijagonala koje su joj paralelne, sa znakom "-":
Dekompozicija determinanti po retku ili stupcu pri rješavanju matrica.
Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata niza determinante njihovim algebarskim nadopunama. Obično odaberite redak/stupac u kojem se nalaze nule. Linija ili stupac duž kojeg se provodi dekompozicija bit će označen strelicom.
Svođenje determinante na trokutasti oblik pri rješavanju matrica.
Na rješavanje matrica metodom svođenja determinante u trokutasti oblik rade na sljedeći način: najjednostavnijim transformacijama na retke ili stupce determinanta postaje trokutasta i tada će njezina vrijednost, u skladu sa svojstvima determinante, biti jednaka umnošku elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali.
Laplaceov teorem za rješavanje matrica.
Kod rješavanja matrica Laplaceovim teoremom potrebno je izravno poznavati sam teorem. Laplaceov teorem: Neka Δ je odrednica n th red. Biramo bilo koju k redovi (ili stupci), pod uvjetom k≤ n - 1... U ovom slučaju, zbroj proizvoda svih maloljetnika k reda sadržane u odabranom k redaka (stupca), na njihovom algebarskom komplementu bit će jednaka determinanti.
Rješenje inverzne matrice.
Redoslijed radnji za inverzna matrična rješenja:
- Odredite je li data matrica kvadratna. Ako je odgovor negativan, postaje jasno da za njega ne može postojati inverzna matrica.
- Računanje algebarskih komplemenata.
- Sastavljamo savezničku (međusobnu, pridruženu) matricu C.
- Inverznu matricu sastavljamo od algebarskih komplementa: svi elementi adjuntne matrice C podijeljeno determinantom početne matrice. Rezultirajuća matrica bit će željena inverzna matrica u odnosu na zadanu.
- Provjeravamo obavljeni posao: množimo početnu matricu i rezultirajuću matricu, rezultat bi trebao biti matrica identiteta.
Rješenje matričnih sustava.
Za rješenja matričnih sustava najčešće se koristi Gaussova metoda.
Gaussova metoda je standardni način rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) i sastoji se u tome da se varijable sukcesivno eliminiraju, tj. elementarnim promjenama sustav jednadžbi dovodi do ekvivalentnog sustava trokutastog oblika i od on, uzastopno, počevši od potonjeg (po broju), pronalazi svaki element sustava.
Gaussova metoda je najsvestraniji i najbolji alat za pronalaženje rješenja za matrice. Ako sustav ima beskonačan skup rješenja ili je sustav nekompatibilan, onda se ne može riješiti Cramerovim pravilom i matričnom metodom.
Gaussova metoda također podrazumijeva izravne (svođenje proširene matrice na stepenasti oblik, tj. dobivanje nula ispod glavne dijagonale) i inverzne (dobivanje nula iznad glavne dijagonale proširene matrice) pomake. Pomak naprijed je Gaussova metoda, obrnuto je Gauss-Jordan metoda. Gauss-Jordanova metoda razlikuje se od Gaussove metode samo po redoslijedu eliminacije varijabli.
Matrice su u matematici jedan od najvažnijih predmeta od praktične važnosti. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutni stol ...". Ovu ekskurziju ćemo započeti iz malo drugačijeg kuta.
Telefonski imenici bilo koje veličine i s bilo kojim brojem pretplatničkih podataka nisu ništa drugo do matrice. Takve matrice izgledaju ovako:
Jasno je da svi mi koristimo takve matrice gotovo svaki dan. Ove matrice dolaze u različitim brojevima redaka (razlikuju se kao imenik koji izdaje telefonska tvrtka, a koji može sadržavati tisuće, stotine tisuća ili čak milijune redaka i novu bilježnicu koju ste upravo započeli s manje od deset redaka) i stupaca (imenik neke bilo koje organizacije, koji može sadržavati stupce kao što su pozicija i broj ureda, te isti vaš adresar, gdje ne smije biti nikakvih podataka, osim naziva, pa tako ima samo dva stupca - ime i broj telefona).
Bilo koje matrice se mogu zbrajati i množiti, kao i druge operacije na njima, ali nema potrebe za zbrajanjem i množenjem telefonskih imenika, od toga nema nikakve koristi, a osim toga, možete kretati umom.
Ali jako puno matrica se može i treba zbrajati i množiti i tako rješavati razne hitne probleme. U nastavku su primjeri takvih matrica.
Matrice u kojima su stupci rezultat jedinica proizvoda određene vrste, a redovi su godine u kojima se bilježi izlaz ovog proizvoda:
Moguće je dodati matrice ovog tipa, u kojima se uzima u obzir proizvodnja sličnih proizvoda različitih poduzeća, kako bi se dobili zbirni podaci za industriju.
Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jednog stupca, u kojem su retki prosječni trošak određene vrste proizvoda:
Matrice zadnje dvije vrste mogu se množiti, a rezultat je matrica reda koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.
Matrice, osnovne definicije
Pravokutna tablica koja se sastoji od brojeva smještenih u m linije i n kolone se zove mn-matrica (ili jednostavno matrica ) i piše se ovako:
(1)
U matrici (1) brojevi se nazivaju svojim elementi (kao u determinanti, prvi indeks označava broj retka, drugi označava stupac na čijem se sjecištu nalazi element; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).
Matrica se zove pravokutan , ako .
Ako m = n, tada se matrica zove kvadrat , a broj n je njegov uredno .
Determinanta kvadratne matrice A naziva se determinanta čiji su elementi elementi matrice A... Označeno je simbolom | A|.
Kvadratna matrica se zove neposebne (ili nedegenerirani , nejednina ) ako njegova determinanta nije nula, i poseban (ili degenerirati , jednina ) ako je njegova determinanta nula.
Matrice se nazivaju jednak ako imaju isti broj redaka i stupaca i svi podudarni elementi su isti.
Matrica se zove null ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Nulta matrica će biti označena simbolom 0 ili .
Na primjer,
Matrica redaka (ili mala slova ) zove se 1 n-matrica, i kolona-matrica (ili stupasti ) – m 1-matrica.
Matrica A"koji se dobiva iz matrice A zamjena redaka i stupaca u njemu se zove transponirano s obzirom na matricu A... Dakle, za matricu (1), transponirana matrica je
Prijelaz na matrični rad A"transponirano u odnosu na matricu A naziva se transpozicija matrice A... Za mn-matrica transponirana je nm-matrica.
Matrica transponirana u odnosu na matricu je A, to je
(A")" = A .
Primjer 1. Pronađite Matrix A"transponirano u odnosu na matricu
i saznati jesu li determinante izvorne i transponirane matrice jednake.
Glavna dijagonala kvadratna matrica naziva se imaginarna linija koja povezuje njegove elemente, u kojoj su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .
Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli naziva se dijagonala ... Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Među njima može biti jednako nuli.
Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju različitom od nule, a svi ostali jednaki nuli naziva se skalarna matrica .
Jedinična matrica naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, jedinična matrica trećeg reda je matrica
Primjer 2. Zadane matrice:
Riješenje. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trokuta, nalazimo
Determinanta matrice B izračunavamo po formuli 
To lako pronalazimo 
Stoga matrice A i nisu singularni (nedegenerirani, nesingularni) i matrica B- poseban (degeneriran, jednina).
Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedan.
Riješite sami problem matrice, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 3. Zadane matrice
,
,
Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerirani, nesingularni).
Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju
U obliku matrica, strukturirani podaci o određenom objektu se jednostavno i prikladno bilježe. Matrični modeli kreirani su ne samo za pohranu ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje raznih problema s tim podacima pomoću linearne algebre.
Dakle, dobro poznati matrični model gospodarstva je input-output model, koji je uveo američki ekonomist ruskog podrijetla Vasilij Leontijev. Ovaj se model temelji na pretpostavci da je cijeli proizvodni sektor gospodarstva raščlanjen nčiste industrije. Svaka od industrija proizvodi proizvode samo jedne vrste, a različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog takve podjele rada između industrija, postoje međusektorske veze, čije je značenje da se dio proizvodnje svake industrije prenosi u druge industrije kao proizvodni resurs.
Obim proizvodnje i-ta industrija (mjerena određenom mjernom jedinicom), koja je proizvedena tijekom izvještajnog razdoblja, označava se kroz i naziva se punim outputom i industrija. Zgodno je smjestiti probleme n-redak komponente matrice.
Broj jedinica proizvoda i industrije koju treba potrošiti j-th industrija za proizvodnju jedinice svoje proizvodnje označava se i naziva koeficijent izravnih troškova.
Upute
Postavljeni broj stupaca i redaka dimenzija matrice... Na primjer, dimenzija yu 5x6 ima 5 redaka i 6 stupaca. Općenito, dimenzija matrice napisano kao m × n, gdje m označava broj redaka, n - stupaca.
Ako niz ima dimenzija m × n, može se pomnožiti s n × l nizom. Broj stupaca prvi matrice mora biti jednak broju redaka drugog, inače operacija množenja neće biti definirana.
Dimenzija matrice označava broj jednadžbi u sustavu i broj varijabli. Broj redaka je isti kao i broj jednadžbi, a svaki stupac ima svoju varijablu. Rješenje sustava linearnih jednadžbi "zapisuje" se u operacijama na matricama. Zahvaljujući matričnom sustavu snimanja, mogući su sustavi višeg reda.
Ako je broj redaka jednak broju stupaca, matrica je kvadratna. U njemu se mogu razlikovati glavna i bočna dijagonala. Glavni ide od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta, bočni - od gornjeg desnog do donjeg lijevog.
Nizovi dimenzija m × 1 ili 1 × n su vektori. Također, bilo koji red i bilo koji stupac proizvoljne tablice može se predstaviti kao vektor. Za takve su matrice definirane sve operacije nad vektorima.
U programiranju se za pravokutnu tablicu postavljaju dva indeksa, od kojih jedan prolazi kroz cijeli red, a drugi duljinu stupca. U ovom slučaju, ciklus za jedan indeks se stavlja unutar ciklusa za drugi, zbog čega se sekvencijalni prijelaz cijele dimenzije matrice.
Matrice je učinkovit način predstavljanja brojčanih informacija. Rješenje bilo kojeg sustava linearnih jednadžbi može se zapisati u obliku matrice (pravokutnik sastavljen od brojeva). Sposobnost množenja matrica jedna je od najvažnijih vještina koja se poučava u kolegiju Linearna algebra u visokom obrazovanju.
Trebat će vam
- Kalkulator
Upute
Da biste provjerili ovaj uvjet, najlakši način je korištenje sljedećeg algoritma - zapišite dimenziju prve matrice kao (a * b). Nadalje, dimenzija druge je (c * d). Ako su b = c - matrice razmjerne, mogu se množiti.
Zatim izvršite samo množenje. Zapamtite – kada pomnožite dvije matrice, dobit ćete matricu. Odnosno, problem množenja se svodi na problem pronalaženja novog, s dimenzijom (a * d). U SI, problem množenja matrice je sljedeći:
void matrixmult (int m1 [n], int m1_row, int m1_col, int m2 [n], int m2_row, int m2_col, int m3 [n], int m3_row, int m3_col)
(za (int i = 0; i< m3_row; i++)
za (int j = 0; j< m3_col; j++)
m3 [i] [j] = 0;
za (int k = 0; k< m2_col; k++)
za (int i = 0; i< m1_row; i++)
za (int j = 0; j< m1_col; j++)
m3 [i] [k] + = m1 [i] [j] * m2 [j] [k];
}
Jednostavno rečeno, nova matrica je zbroj proizvoda elemenata retka prve matrice s elementima stupca druge matrice. Ako ste element treće matrice s brojem (1; 2), tada trebate jednostavno pomnožiti prvi red prve matrice s drugim stupcem druge. Da biste to učinili, smatrajte da je početni iznos nula. Zatim pomnožite prvi element prvog retka s prvim elementom drugog stupca, dodajte vrijednost zbroju. Učinite ovo: pomnožite i-ti element prvog retka s i-tim elementom drugog stupca i dodajte rezultate zbroju dok se red ne završi. Ukupni iznos bit će potrebni element.
Nakon što ste pronašli sve elemente treće matrice, zapišite je. Našli ste raditi matrice.
Izvori:
- Glavni matematički portal Rusije u 2019
- kako pronaći umnožak matrica u 2019
Matematička matrica je uređena tablica elemenata. Dimenzija matrice određuje se brojem njegovih redaka m i stupaca n. Pod matričnim rješenjem podrazumijeva se skup generalizirajućih operacija koje se izvode nad matricama. Postoji nekoliko vrsta matrica, za neke od njih brojne operacije nisu primjenjive. Postoji operacija zbrajanja za matrice iste dimenzije. Umnožak dviju matrica nalazi se samo ako su konzistentne. Za bilo koje matrice odrednica je određena. Također, matrica se može transponirati i odrediti minor njenih elemenata.
Upute
Zapišite zadatke. Odredite njihove dimenzije. Da biste to učinili, izbrojite broj stupaca n i redaka m. Ako za jednog matrice m = n, matrica se smatra kvadratnom. Ako svi elementi matrice jednako nuli - matrica je nula. Odredite glavnu dijagonalu matrica. Njegovi elementi nalaze se iz gornjeg lijevog kuta matrice dolje desno. Drugo, obrnuta dijagonala matrice je strana.
Transponirajte matrice. Da biste to učinili, zamijenite elemente svakog retka elementima stupca u odnosu na glavnu dijagonalu. Element a21 postat će element a12 matrice i obrnuto. Kao rezultat, iz svakog izvora matrice dobivate novu transponiranu matricu.
Presavijte dano matrice ako imaju istu dimenziju m x n. Da biste to učinili, uzmite prvi matrice a11 i preklopite ga sličnim elementom b11 drugi matrice... Napišite rezultat dodavanja novom na istom mjestu. Zatim zbrojite elemente a12 i b12 obje matrice. Dakle, popunite sve retke i stupce zbrajanja matrice.
Odrediti je li dano matrice dosljedan. Da biste to učinili, usporedite broj redaka n u prvom matrice a broj stupaca m sekunde matrice... Ako su jednaki, napravite matrični umnožak. Da biste to učinili, pomnožite svaki element linije u parovima s prvim matrice na odgovarajući element drugog stupca matrice... Zatim pronađite zbroj tih proizvoda. Dakle, prvi element rezultirajućeg matrice g11 = a11 * b11 + a12 * b21 + a13 * b31 + ... + a1m * bn1. Pomnožite i zbrojite sve proizvode i popunite dobivenu matricu G.
Pronađite odrednicu ili determinantu za svaku datu matrice... Za matrice druge dimenzije 2 puta 2 determinanta se nalazi kao umnožak elemenata glavne i sekundarne dijagonale matrice... Za trodimenzionalno matrice determinanta: D = a11 * a22 * a33 + a13 * a21 * a32 + a12 * a23 * a31 - a21 * a12 * a33 - a13 * a22 * a31 - a11 * a32 * a23.
Izvori:
- matricu kako riješiti
Matrice su skup redaka i stupaca, na čijem se presjeku nalaze matrični elementi. Matriceširoko se koriste za rješavanje raznih jednadžbi. Jedna od osnovnih algebarskih operacija na matricama je zbrajanje matrice. Kako dodati matrice?
Upute
Mogu se presavijati samo jednodimenzionalne matrice. Ako jedna ima m redaka i n stupaca, onda i druga matrica mora imati m redaka i n stupaca. Provjerite jesu li matrice koje ćete slagati ujednačene.
Ako su prikazane matrice iste veličine, odnosno dopuštaju algebarsku operaciju zbrajanja, tada je za matrica iste veličine. Da biste to napravili, trebate u parovima zbrojiti sve elemente od dva koja se nalaze na istim mjestima.Uzmite prvu matricu koja se nalazi u prvom redu i prvom stupcu. Dodajte ga elementu druge matrice na istom mjestu. Primljeno unesite u element prvog retka stupca ukupne matrice. Ponovite ovu operaciju sa svim elementima.
Dodavanje tri ili više matrica svodi se na dodavanje dvije matrice. Na primjer, da biste pronašli zbroj matrica A + B + C, prvo pronađite zbroj matrica A i B, a zatim dodajte dobivenu matricu C.
Videi sa sličnim sadržajem
Na prvi pogled nerazumljive matrice zapravo i nisu tako komplicirane. Široku praktičnu primjenu nalaze u ekonomiji i računovodstvu. Matrice izgledaju kao tablice, a svaki stupac i redak sadrže broj, funkciju ili bilo koju drugu vrijednost. Postoji nekoliko vrsta matrica.
Upute
Da biste naučili matricu, upoznajte se s njezinim osnovnim konceptima. Definirajući elementi matrice su njezine dijagonale - i bočna. Glavni počinje od elementa u prvom redu, prvom stupcu, i nastavlja se do elementa u zadnjem stupcu, posljednjem redu (to jest, ide slijeva na desno). Bočna dijagonala počinje obrnuto u prvom redu, ali u zadnjem stupcu, i nastavlja se na element koji ima koordinate prvog stupca i zadnjeg retka (ide s desna na lijevo).
Kako biste prešli na sljedeće definicije i algebarske operacije nad matricama, proučite vrste matrica. Najjednostavniji od njih su kvadrat, jedinica, nula i inverzni. Broj stupaca i redaka je isti. Transponirana matrica, nazovimo je B, dobiva se iz matrice A zamjenom stupaca redcima. U jednom su svi elementi glavne dijagonale jedinice, a ostali nule. A u nuli, čak su i elementi dijagonala jednaki nuli. Inverzna matrica je ona na kojoj izvorna matrica dolazi u jedinični oblik.
Također, matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu ili bočnu os. To jest, element s koordinatama a (1; 2), gdje je 1 broj retka, a 2 stupac, jednak je a (2; 1). A (3; 1) = A (1; 3) i tako dalje. Matrice dosljedne su one u kojima je broj stupaca jedne jednak broju redaka druge (takve se matrice mogu množiti).
Glavne radnje koje se mogu izvesti s matricama su zbrajanje, množenje i pronalaženje determinante. Ako su matrice iste veličine, odnosno imaju isti broj redaka i stupaca, onda se mogu dodati. Potrebno je dodati elemente koji se nalaze na istim mjestima u matricama, odnosno dodati a (m; n) sa u (m; n), gdje su m i n odgovarajuće koordinate stupca i retka. Prilikom zbrajanja matrica vrijedi glavno pravilo običnog aritmetičkog zbrajanja – kada se mijenjaju mjesta članova, zbroj se ne mijenja. Dakle, ako umjesto jednostavnog elementa a
