Prema jednadžbi (13.5), korelacijska funkcija odziva nelinearnog uređaja može se izraziti u terminima prijelazne funkcije ovog uređaja na sljedeći način:

Dvostruki integral preko je, kao što se može vidjeti iz usporedbe s jednakošću (4.25), zajednička karakteristična funkcija veličina zapisanih kao funkcija kompleksnih varijabli. posljedično,

Izraz (13.40) je glavna formula u analizi slučajnih učinaka na nelinearne uređaje metodom transformacije. Ostatak ovog poglavlja posvećen je izračunu ovog izraza za različite vrste uređaja i razne vrste radnji na njima.

U mnogim problemima, utjecaj primijenjen na ulaz sustava je zbroj korisnog signala i šuma:

gdje su funkcije uzorka statistički neovisnih probabilističkih procesa. U takvim je slučajevima zajednička karakteristična funkcija djelovanja jednaka umnošku karakterističnih funkcija signala i šuma, a jednakost (13.40) uzima

gdje je - zajednička karakteristična funkcija veličina - zajednička karakteristična funkcija veličina i

Gaussov šum na ulazu. Ako je šum na ulazu uređaja uzorak funkcije stvarnog Gaussovog probabilističkog procesa s nultim matematičkim očekivanjem, tada, prema jednakosti (8.23),

gdje funkcija korelacijskog odgovora u ovom slučaju ima oblik

Ako se sada može predstaviti kao umnožak funkcije od funkcijom ili kao zbroji takvih proizvoda, onda se dvostruki integral u posljednjem izrazu može izračunati kao proizvod integrala. Činjenica da se eksponencijalna funkcija može predstaviti u terminima proizvoda funkcija iz i proizlazi iz njezina proširenja u niz stepena

Stoga se korelacijska funkcija odziva nelinearnog uređaja kada se njegov Gaussov šum primijeni na ulaz može zapisati kao

sinusoidni signali.

Pretpostavimo sada da je signal na ulazu uređaja modulirana sinusoida, tj

gdje je funkcija uzorka niskofrekventnog probabilističkog procesa (tj. one čija je spektralna gustoća različita od nule samo u frekvencijskom rasponu uz nultu frekvenciju i uska u usporedbi s i gdje je slučajna varijabla ravnomjerno raspoređena u intervalu i čini ne ovisi o modulirajućem signalu i od šuma.Krakteristična funkcija takvog signala jednaka je

Proširujući eksponencijal na Jacobi-Engerovu formulu [izraz (13.20)], dobivamo

Ukoliko

gdje dobivamo to za amplitudno modulirani sinusni signal

Korelacijska funkcija odziva nelinearnog uređaja kada se primijeni na ulaz njegovog sinusoidnog signala i Gaussovog šuma sada se može pronaći zamjenom (13.47) u (13.45). Definirajte funkciju

gdje i korelacijske funkcije

gdje se usrednjavanje vrši na modulirajućem signalu; tada će korelacijska funkcija odgovora biti jednaka

Ako su i modulirajući signal i šum stacionarni, tada postaje izraz (13.50).

Ako je ulazni signal nemodulirani sinusni val

jer su u ovom slučaju koeficijenti konstantni i međusobno jednaki.

Komponente signala i šuma na izlazu.

Razmotrimo sada slučaj gdje ulazni šum ima oblik modulirane sinusoide. U ovom slučaju, izlazna korelacija je dana izrazom (13.52). Proširimo ovaj izraz na sljedeći način:

Pogledajmo njegove pojedinačne komponente. Prvi član odgovara konstantnoj komponenti na izlazu uređaja. Sljedeća skupina pojmova odgovara periodičnom dijelu odgovora i uglavnom je posljedica interakcije ulaznog signala sa samim sobom. Preostali članovi odgovaraju slučajnim fluktuacijama u odzivu, tj. šumu na izlazu. Oni od

ovi preostali pojmovi, za koje su uglavnom posljedica interakcije ulaznog šuma sa samim sobom, i oni za koje je interakcija signala i šuma na ulazu.

Odziv nelinearnog uređaja predstavljamo kao zbroj prosječne vrijednosti, periodičnih komponenti i slučajne komponente:

Tada se funkcija korelacijskog odgovora može zapisati kao

gdje Uspoređujući jednakosti (13.53) i (13.55), vidimo da se prosječna vrijednost odgovora i amplitude njegovih periodičnih komponenti mogu izraziti izravno u smislu koeficijenata

Osim toga, korelacijska funkcija slučajnog dijela odgovora može se zapisati kao

gdje po definiciji stavljamo u skladu s (13.50)

Treba napomenuti da su, strogo govoreći, svi ovi pojmovi funkcije procesa koji modulira ulazni signal.

Rješenje pitanja koji od pojmova u (13.62) određuju korisni izlazni signal ovisi, naravno, o namjeni nelinearnog uređaja. Ako se, na primjer, uređaj koristi kao detektor, tada je koristan niskofrekventni dio izlaznog signala. U ovom slučaju, korisni signal odgovara dijelu korelacijske funkcije definiranoj jednakošću

S druge strane, ako se uređaj koristi kao nelinearno pojačalo, onda

jer je u ovom slučaju korisna komponenta signala koncentrirana oko noseće frekvencije ulaznog signala

U ranim fazama razvoja radiotehnike, pitanje odabira najboljih signala za određene specifične primjene nije bilo previše akutno. To je bilo zbog, s jedne strane, relativno jednostavne strukture odašiljanih poruka (telegrafski paketi, emitiranje); s druge strane, praktična implementacija signala složenog oblika u kombinaciji s opremom za njihovo kodiranje, modulaciju i inverznu transformaciju u poruku pokazala se teškom za implementaciju.

Trenutno se situacija radikalno promijenila. U suvremenim radioelektroničkim kompleksima izbor signala diktira prvenstveno ne tehničke pogodnosti njihove generiranja, pretvorbe i prijema, već mogućnost optimalnog rješavanja problema predviđenih projektiranjem sustava. Kako biste razumjeli kako se javlja potreba za signalima s posebno odabranim svojstvima, razmotrite sljedeći primjer.

Usporedba signala pomaknutih u vremenu.

Okrenimo se pojednostavljenoj ideji rada pulsirajućeg radara dizajniranog za mjerenje udaljenosti do snijega. Ovdje je informacija o objektu mjerenja ugrađena u vrijednost - vremensko kašnjenje između sonde i primljenih signala. Oblici sondiranja i primljeni i signali su isti za sva kašnjenja.

Blok dijagram uređaja za obradu radarskog signala dizajniranog za određivanje raspona može izgledati kao onaj prikazan na sl. 3.3.

Sustav se sastoji od skupa elemenata koji odgađaju "referentni" odaslani signal za određena vremenska razdoblja.

Riža. 3.3. Uređaj za mjerenje vremena kašnjenja signala

Odgođeni signali, zajedno s primljenim signalom, dovode se do komparatora koji rade po principu da se signal pojavljuje na izlazu samo ako su obje ulazne oscilacije "kopije" jedna druge. Poznavajući broj kanala u kojem se događa navedeni događaj, moguće je izmjeriti kašnjenje, a time i domet do cilja.

Takav uređaj će raditi točnije, što se signal i njegova vremenski pomaknuta "kopija" više razlikuju jedni od drugih.

Tako smo dobili kvalitativno "razumijevanje o tome koji se signali mogu smatrati" dobrim" za određenu primjenu.

Osvrnimo se na točnu matematičku formulaciju postavljenog problema i pokažimo da je ovaj niz pitanja izravno povezan s teorijom energetskih spektra signala.

Autokorelacijske funkcije signala.

Za kvantitativno određivanje stupnja razlike između signala i njegove vremenski pomaknute kopije, uobičajeno je uvesti autokorelaciju (ACF) signala jednaku skalarnom umnošku signala i kopije:

U nastavku ćemo pretpostaviti da ispitivani signal ima pulsirajući karakter vremenski lokaliziran, tako da integral oblika (3.15) svakako postoji.

Izravno se vidi da na , autokorelacija funkcija postaje jednaka energiji signala:

Među najjednostavnijim svojstvima ACF-a je njegov paritet:

Doista, ako izvršimo promjenu varijabli u integralu (3.15), onda

Konačno, važno svojstvo autokorelacijske funkcije je sljedeće: za bilo koju vrijednost vremenskog pomaka, ACF modul ne prelazi energiju signala:

Ova činjenica izravno slijedi iz nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky (vidi poglavlje 1):

Dakle, ACF je predstavljen simetričnom krivuljom sa središnjim maksimumom, koji je uvijek pozitivan. U ovom slučaju, ovisno o vrsti signala, autokorelacija može imati i monotono opadajući i oscilirajući karakter.

Primjer 3.3. Pronađite ACF pravokutnog video pulsa.

Na sl. 3.4,a prikazan je pravokutni video puls amplitude U i trajanja. Ovdje je i njegova "kopija", pomaknuta u vremenu u smjeru kašnjenja za . Integral (3.15) se u ovom slučaju izračunava elementarno na temelju grafičke konstrukcije. Doista, umnožak i i je različit od nule samo unutar vremenskog intervala kada se promatra superpozicija signala. Od sl. 3.4, može se vidjeti da je ovaj vremenski interval jednak ako pomak ne prelazi trajanje impulsa. Dakle, za razmatrani signal

Graf takve funkcije je trokut prikazan na sl. 3.4b. Širina baze trokuta je dvostruko veća od trajanja impulsa.

Riža. 3.4. Pronalaženje ACF-a pravokutnog video pulsa

Primjer 3.4. Pronađite ACF pravokutnog radio impulsa.

Razmotrit ćemo radio signal oblika

Znajući unaprijed da je ACF paran, izračunavamo integral (3.15), postavljajući . Pri čemu

odakle lako dolazimo

Naravno, na , vrijednost postaje jednaka energiji ovog impulsa (vidi primjer 1.9). Formula (3.21) opisuje ACF pravokutnog radio impulsa za sve pomake koji se nalaze unutar Ako apsolutna vrijednost pomaka premašuje trajanje impulsa, tada će funkcija autokorelacije identično nestati.

Primjer 3.5. Odredite ACF niza pravokutnih video impulsa.

U radaru se široko koriste signali, koji su rafali impulsa istog oblika, koji slijede jedan za drugim u istom vremenskom intervalu. Za otkrivanje takvog paketa, kao i za mjerenje njegovih parametara, na primjer, položaja u vremenu, kreiraju se uređaji koji implementiraju algoritme za izračun ACF-a u hardveru.

Riža. 3.5. ACF paketa od tri identična video impulsa: a - paket impulsa; b - ACF graf

Na sl. 3.5, prikazan je paket koji se sastoji od tri identična pravokutna video impulsa. Također prikazuje svoju autokorelacijsku funkciju, izračunatu po formuli (3.15) (slika 3.5, b).

Jasno se vidi da je ACF maksimum postignut pri. Međutim, ako je kašnjenje višekratnik razdoblja sekvence (u našem slučaju at), promatraju se bočni režnjevi ACF-a, usporedivi po visini s glavnim režnjem. Stoga možemo govoriti o dobro poznatoj nesavršenosti korelacijske strukture ovog signala.

Autokorelacijska funkcija beskonačno proširenog signala.

Ako je potrebno uzeti u obzir periodične sekvence koje su vremenski neograničene, onda pristup proučavanju korelacijskih svojstava signala treba malo modificirati.

Pretpostavit ćemo da se takav niz dobiva iz nekog vremenski lokaliziranog, tj. impulsa, signala, kada trajanje potonjeg teži beskonačnosti. Kako bismo izbjegli divergenciju dobivenih izraza, definirajmo novi ACF kao prosječnu vrijednost skalarnog produkta signala i njegove kopije:

Ovim pristupom funkcija autokorelacije postaje jednaka prosječnoj međusobnoj snazi ​​ova dva signala.

Na primjer, ako želite pronaći ACF za kosinusni val koji je vremenski neograničen, možete upotrijebiti formulu (3.21) dobivenu za radio puls s trajanjem, a zatim prijeći na granicu uzimajući u obzir definiciju (3.22 ). Kao rezultat, dobivamo

Ovaj ACF je sam po sebi periodična funkcija; njegova je vrijednost jednaka

Odnos energetskog spektra signala i njegove autokorelacijske funkcije.

Proučavajući gradivo ovog poglavlja, čitatelj može pomisliti da metode korelacijske analize djeluju kao neke posebne tehnike koje nemaju veze s principima spektralnih proširenja. Međutim, nije. Lako je pokazati da postoji bliska veza između ACF-a i energetskog spektra signala.

Doista, u skladu s formulom (3.15), ACF je skalarni proizvod: ovdje simbol označava vremenski pomaknutu kopiju signala i ,

Okrenuvši se generaliziranoj Rayleighovoj formuli (2.42), možemo zapisati jednakost

Spektralna gustoća vremenski pomaknutog signala

Tako dolazimo do rezultata:

Kvadrat modula spektralne gustoće, kao što je poznato, je energetski spektar signala. Dakle, energetski spektar i autokorelacija povezani su Fourierovom transformacijom:

Jasno je da postoji i inverzna relacija:

Ovi rezultati su od temeljne važnosti iz dva razloga. Prvo, pokazalo se da je moguće procijeniti svojstva korelacije signala na temelju raspodjele njihove energije po spektru. Što je širina pojasa signala, to je glavni režanj autokorelacijske funkcije uži i signal je savršeniji u smislu mogućnosti točnog mjerenja trenutka njegovog početka.

Drugo, formule (3.24) i (3.26) ukazuju na način eksperimentalnog određivanja energetskog spektra. Često je prikladnije prvo dobiti funkciju autokorelacije, a zatim pomoću Fourierove transformacije pronaći energetski spektar signala. Ova tehnika je postala široko rasprostranjena u proučavanju svojstava signala pomoću brzih računala u stvarnom vremenu.

Iz toga slijedi da je interval korelacije

ispada da je manja, što je viša gornja granična frekvencija spektra signala.

Ograničenja nametnuta obliku autokorelacijske funkcije signala.

Pronađen odnos između autokorelacijske funkcije i energetskog spektra omogućuje uspostavljanje zanimljivog i na prvi pogled neočiglednog kriterija za postojanje signala zadanih korelacijskih svojstava. Činjenica je da energetski spektar bilo kojeg signala, po definiciji, mora biti pozitivan [vidi. formula (3.25)]. Ovaj uvjet neće biti zadovoljen ni za jedan izbor ACF-a. Na primjer, ako uzmemo

i onda izračunajte odgovarajuću Fourierovu transformaciju

Ova funkcija promjene predznaka ne može predstavljati energetski spektar bilo kojeg signala.

Rayleighova i Riceova distribucija karakteriziraju nepotpuno blijeđenje signala. Konkretno, oni ne daju ideju o tome kako se proces slabljenja signala odvija u vremenu. Pretpostavimo da se proces razmatra u dvije vremenske točke t I t+t, gdje je t kašnjenje. Tada je statistički odnos fadinga dan korelacijskom funkcijom, koja je definirana kako slijedi.

Pretpostavljamo da je proces koji se razmatra stacionaran. To znači da su njegovi statistički parametri kao što su srednja vrijednost, varijanca i međukorelacija neovisni o vremenu. t. Za uskopojasni proces (2.3.37) dobivamo korelacijske funkcije u obliku

Uvodimo korelacijske funkcije kvadraturnih signala:

Sada transformiramo izraz (2.3.61) u oblik

Za daljnju transformaciju (2.3.63) koristimo trigonometrijske odnose.

(2.3.64)

Kao rezultat, dobivamo

Budući da je proces stacionaran, funkcija korelacije ne bi trebala ovisiti o vremenu. Ovaj se zahtjev može ispuniti ako su drugi i četvrti član u (2.3.65) jednaki nuli, što je zauzvrat moguće ako korelacijske funkcije kvadraturnog signala zadovoljavaju sljedeće odnose:

Dakle, korelacijska funkcija stacionarnog normalnog uskopojasnog signala je

Pokažimo da je korelacijska funkcija neparna funkcija od t. Za to uzimamo u obzir to

Zamjenjujemo (2.3.68) u drugu formulu u (2.3.66) i nalazimo da

. (2.3.69)

Dakle, unakrsna korelacijska funkcija kvadraturnih signala je neparna. To implicira važan rezultat da u isto vrijeme kvadraturni signali nisu korelirani, tj. .

Razmotrimo sada korelaciju kompleksne amplitude

Po definiciji korelacijske funkcije možemo to napisati

. (2.3.71)

Funkcija je složena i ima svojstvo simetrije, t.j.

. (2.3.72)

Zamjenjujemo (2.3.70) u (2.3.71) i uzimamo u obzir (2.3.62). Tada (2.3.71) poprima oblik

Ako uzmemo u obzir (2.3.66), onda je ova formula značajno pojednostavljena:

Korelacijska funkcija (2.3.67) uskopojasnog signala i korelacijska funkcija (2.3.74) njegove kompleksne amplitude međusobno su povezane. Taj se odnos lako otkriva usporedbom (2.3.67) i (2.3.74). Kao rezultat toga, imat ćemo

Korelacijska svojstva signala usko su povezana s njegovim spektralnim svojstvima. Konkretno, spektralna gustoća snage nalazi se korištenjem Fourierove transformacije korelacijske funkcije i jednaka je

. (2.3.76)

Pokažimo da je to realna funkcija, dok je korelacijska funkcija složena. Da bismo to učinili, uzimamo kompleksnu konjugaciju iz izraza (2.3.76) i uzimamo u obzir svojstvo simetrije (2.3.72) korelacijske funkcije. Kao rezultat, dobivamo

Uspoređujući (2.3.77) s (2.3.76) imamo da . To dokazuje da je spektar kompleksne amplitude realna funkcija.

U nastavku će se pokazati da je spektar kompleksne amplitude signala koji opisuje fading u višestaznom kanalu čak i stvarna frekvencijska funkcija, t.j. . Tada korelacijska funkcija postaje stvarna. Da bismo to dokazali, zapisujemo korelaciju kao inverznu Fourierovu transformaciju spektralne gustoće snage u obliku

. (2.3.78)

Uzmimo kompleksnu konjugaciju izraza (2.3.78) i uzmimo u obzir ravnomjernost funkcije . Shvaćamo to

Uspoređujući (2.3.79) s (2.3.78) imamo da . To dokazuje da je korelacijska funkcija kompleksne amplitude s realnim spektrom kao parnom funkcijom realna funkcija.

Uzimajući u obzir valjanost korelacijske funkcije, iz (2.3.74) nalazimo da

. (2.3.80)

Koristeći (2.3.75) dobivamo uskopojasnu korelaciju signala u obliku

Sada postavimo zadatak da eksplicitno pronađemo spektar i korelacijske funkcije koje opisuju blijedi signal u višestaznom kanalu. Razmotrite ponovno dvije točke u vremenu t I t+t. Ako tijekom vremena t odašiljač, prijemnik i reflektori ne promijene svoje mjesto i zadrže svoje parametre, tada se ukupni signal u prijamniku ne mijenja. Da bi došlo do blijeđenja signala, potrebno je međusobno pomicanje odašiljača, prijemnika i (ili) rereflektora. Samo u ovom slučaju dolazi do promjene amplituda i faza signala zbranih na ulazu prijemne antene. Što se to kretanje brže događa, to brže dolazi do blijeđenja signala i stoga bi njegov spektar trebao biti širi.

Pretpostavit ćemo da se prijemnik kreće brzinom v dok odašiljač ostaje nepomičan. Ako antena odašiljača zrači harmonijski signal određene frekvencije f, tada zbog Dopplerovog efekta prijemnik registrira signal druge frekvencije. Razlika između ovih frekvencija naziva se Dopplerov pomak frekvencije. Da biste pronašli pomak frekvencije, razmotrite sl. 2.16, koji prikazuje odašiljač, prijemnik, valni vektor k ravni val i vektor v brzina prijemnika.

Riža. 2.16. Za određivanje Dopplerovog pomaka frekvencije

Zapisujemo jednadžbu jednolikog gibanja prijemnika u obliku

Tada će faza primljenog signala biti funkcija vremena

gdje je q kut između vektora brzine i valnog vektora.

Trenutačna frekvencija definirana je kao derivacija faze. Dakle, diferencirajući (2.3.83) i uzimajući u obzir da je valni broj , imat ćemo

. (2.3.84)

Kod ravnomjernog kretanja prijemnika, kao što slijedi iz (2.3.84), dolazi do pomaka frekvencije jednak

Na primjer, pretpostavimo da je brzina v=72 km/h = 20 m/s, frekvencija odašiljača f=900 MHz, a kut q=0. Valna duljina l i frekvencija f povezani brzinom svjetlosti iz omjer iz=sp. Stoga imamo da je l= c/f=0,33 m. Sada iz (2.3.85) nalazimo da je Dopplerov pomak frekvencije F D=60 Hz.

Dopplerov pomak frekvencije (2.3.85) uzima i pozitivne i negativne vrijednosti, ovisno o kutu q između vektora brzine i valnog vektora. Vrijednost Dopplerovog pomaka ne prelazi maksimalnu vrijednost jednaku fmax=v/l. Formula (2.3.85) može se prikladno predstaviti kao

. (2.3.86)

Kada ima mnogo reflektora, prirodno je pretpostaviti da su ravnomjerno raspoređeni oko prijemnika, na primjer, oko kruga, kao što je prikazano na sl. 2.17. Takav model reflektora naziva se Clarkov model.

Riža. 2.17. Položaj reflektora u Clarkovom modelu

Spektralna gustoća snage u slučaju Clarkovog modela određena je na sljedeći način. Odaberite interval frekvencije df d blizu frekvencije F D. Primljena snaga uključena u ovaj interval je . Ova snaga je posljedica Dopplerovog pomaka frekvencije (2.3.86). Disipirana snaga povezana s kutnim razmakom d q, jednak je , gdje je kutna gustoća raspršene snage. Imajte na umu da isti Dopplerov pomak F D promatrano za reflektore s kutnim koordinatama ±q. To podrazumijeva sljedeću jednakost ovlasti

Pretpostavit ćemo da je ukupna disipirana snaga jednaka jedinici i da je jednoliko raspoređena u intervalu .

Riža. 2.18. Dopplerov spektar za Jakesa fmax=10 Hz

Za određivanje korelacijske funkcije (2.3.71) kompleksne amplitude potrebno je izraz (2.3.90) dobiven za spektralnu gustoću snage zamijeniti u (2.3.78). Kao rezultat, dobivamo

Modul korelacijske funkcije (2.3.91) kompleksne amplitude za dvije maksimalne Dopplerove frekvencije fmax=10 Hz (puna krivulja) i fmax=30 Hz (isprekidana krivulja) prikazani su na sl. 2.19. Ako procijenimo vrijeme korelacije blijeđenja signala u kanalu na razini od 0,5, onda je ono jednako . Ovo daje 24 ms za fmax=10 Hz i 8 ms za fmax=30 Hz.

Riža. 2.19. Korelacijski funkcijski modul za fmax=10 i 30 Hz (puna i točkasta krivulja,
odnosno).

Općenito, Dopplerov spektar može se razlikovati od Jakesovog spektra (2.3.90). Raspon D F D, u kojem se značajno razlikuje od nule, zove se Dopplerovo raspršenje u kanalu. Budući da je povezan s Fourierovom transformacijom, onda vrijeme koherentnosti t coh kanal je vrijednost t coh»1/D F D, koji karakterizira brzinu promjene svojstava kanala.

Prilikom izvođenja (2.3.90) i (2.3.91) pretpostavljeno je da je prosječna snaga raspršenog signala jednaka jedinici. To također slijedi iz (2.3.91) i (2.3.71), budući da

Koeficijent korelacije jednak je omjeru korelacijske funkcije i prosječne snage. Stoga u ovom slučaju izraz (2.3.91) također daje koeficijent korelacije .

Iz (2.3.81) nalazimo da je funkcija korelacije uskopojasnog signala jednaka

U praksi, svojstva korelacije takvih slučajnih varijabli kao što je amplituda ALI i trenutnu snagu P=ALI 2. Te se količine obično bilježe, na primjer, na izlazu linearnog ili kvadratnog detektora. Njihova su korelacijske osobine na određeni način povezane s korelacijskim svojstvima kompleksne amplitude Z(t).

Trenutačni koeficijent korelacije snage povezan je sa složenim koeficijentom amplitudske korelacije jednostavnom relacijom oblika:

. (2.3.94)

Predstavljamo dokaz ove formule. Na temelju definicije koeficijenta korelacije možemo to napisati

, (2.3.95)

gdje je funkcija korelacije snaga.

Pretpostavimo da ne postoji deterministička komponenta signala i amplitude ALI ima Rayleighovu distribuciju. Zatim<P>=<A 2 >=2σ 2 . Količina uključena u (2.3.95) . Koristeći Rayleighov zakon raspodjele, nalazimo to

. (2.3.96)

Uzimajući u obzir (2.3.96), pronalazimo funkciju korelacije snaga iz (2.3.95) korištenjem jednostavnih algebarskih transformacija. Shvaćamo to

. (2.3.97)

Također izražavamo funkciju korelacije snaga u terminima kvadraturnih komponenti u obliku

Provodeći množenje i usrednjavanje na desnoj strani jednakosti (2.3.98), dobivamo članove, koji su sljedeći momenti četvrtog reda:

Dakle, trebamo izračunati momente četvrtog reda. Uzimamo u obzir da su kvadraturne komponente ja I P su Gaussove slučajne varijable s nultom srednjom vrijednosti i istom varijansom σ 2 i koriste dobro poznato pravilo prekida momenta četvrtog reda. Prema njemu, ako postoje četiri slučajne varijable a, b, c, I d, tada vrijedi sljedeća formula:

Primjenom ovog pravila izračunavamo momente četvrtog reda u (2.3.99). Kao rezultat toga, imat ćemo

(2.3.101)

Ako uzmemo u obzir (2.3.96), (2.3.66) i (2.3.74), tada se (2.3.98) može zapisati kao

Sada je potrebno uzeti u obzir i to . Kao rezultat, dobivamo sljedeći izraz za funkciju korelacije snage:

Uspoređujući dobivenu formulu s (2.3.97), uvjeravamo se u valjanost (2.3.94).

Za model Clarkovog kanala utvrdili smo da je koeficijent korelacije dan s (2.3.91). Uzimajući u obzir (2.3.94), koeficijent korelacije snage u slučaju Clarkovog modela bit će jednak

. (2.3.104)

Korelacijska svojstva amplitude ALI istražuju se pomoću mnogo složenijeg matematičkog aparata i ovdje se ne razmatraju. Međutim, treba napomenuti da je koeficijent korelacije amplitude ALI zadovoljava sljedeću približnu jednakost .

2.6. Korelacijsko-spektralna analiza determinističkih signala. Radiotehnički sklopovi i signali. dio I

2.6. Korelacijsko-spektralna analiza determinističkih signala

U mnogim problemima radiotehnike često postaje potrebno usporediti signal i njegovu kopiju pomaknutu za neko vrijeme. Konkretno, ova situacija se događa u radaru, gdje impuls reflektiran od cilja stiže na ulaz prijamnika s vremenskim odgodom. Usporedba ovih signala međusobno, t.j. uspostavljanje njihovog odnosa, tijekom obrade, omogućuje vam da odredite parametre kretanja mete.

Za kvantificiranje odnosa između signala i njegove vremenski pomaknute kopije, uvodi se karakteristika

, (2.57)

Koji se zove autokorelacijske funkcije(AKF).

Da bismo objasnili fizičko značenje ACF-a, dajemo primjer gdje pravokutni impuls s trajanjem i amplitudom djeluje kao signal. Na sl. 2.9 prikazuje impuls, njegovu kopiju, pomaknutu za vremenski interval i umnožak . Očito, integriranje proizvoda daje vrijednost površine pulsa, što je proizvod . Ova vrijednost, kada je fiksna, može biti predstavljena točkom u koordinatama. Kada se promijeni, dobit ćemo graf autokorelacijske funkcije.

Nađimo analitički izraz. Jer

zatim zamjenom ovog izraza u (2.57) dobivamo

. (2.58)

Ako je signal pomaknut ulijevo, onda je sličnim proračunima to lako pokazati

. (2.59)

Zatim, kombinirajući (2.58) i (2.59), dobivamo

. (2.60)

Iz razmatranog primjera možemo izvući sljedeće važne zaključke koji se odnose na proizvoljne valne oblike:

1. Autokorelacija neperiodičnih signala opada s rastom (ne nužno monotono za druge vrste signala). Očito, na ACF-u također teži nuli.

2. ACF doseže svoju maksimalnu vrijednost na . U ovom slučaju, jednaka je energiji signala. Dakle, ACF je energije karakteristika signala. Kao što se i očekivalo, na , signal i njegova kopija su potpuno korelirani (međusobno povezani).

3. Uspoređujući (2.58) i (2.59) slijedi da je ACF ravnomjerna funkcija argument , tj.

.

Važna karakteristika signala je interval korelacije. Korelacijski interval se razumije kao vremenski interval, kada se pomakne za koji signal i njegova kopija postaju nekorelirani.

Matematički, interval korelacije je određen sljedećim izrazom

,

ili pošto je parna funkcija

. (2.61)

Na sl. 2.10 prikazuje ACF signala proizvoljnog valnog oblika. Ako konstruiramo pravokutnik čija je površina jednaka površini ispod krivulje s pozitivnim vrijednostima (desna grana krivulje), čija je jedna strana jednaka , tada će druga strana odgovarati .

Pronađite interval korelacije za pravokutni impuls. Zamjenom (2.58) u (2.60) nakon jednostavnih transformacija dobivamo:

,

što slijedi iz sl. 2.9.

Po analogiji s autokorelacijskom funkcijom, procjenjuje se stupanj povezanosti dvaju signala i funkcija unakrsne korelacije(VKF)

. (2.62)

Nađimo međusobnu korelaciju dvaju signala: pravokutnog impulsa s amplitudom i trajanjem

i trokutasti puls iste amplitude i trajanja

Koristeći (2.61) i zasebno izračunavajući integrale za i , dobivamo:

Grafičke konstrukcije koje ilustriraju izračune VKF-a prikazane su na sl. 2.11

Ovdje isprekidane linije pokazuju početni (na ) položaj trokutastog impulsa.

Na izraz (2.61) pretvara se u (2.57). Iz toga slijedi da je ACF poseban slučaj CCF-a s potpuno podudarnim signalima.

Napominjemo glavna svojstva VKF-a.

1. Baš kao i funkcija autokorelacije, CCF je opadajuća funkcija argumenta. Kod VKF-a teže nuli.

2. Vrijednosti međukorelacijske funkcije za proizvoljne su vrijednosti međusobnu energiju(energija interakcije) signala i .

3. Na , međukorelacija funkcija (za razliku od autokorelacijske funkcije) ne doseže uvijek svoj maksimum.

4. Ako su signali i opisani parnim funkcijama vremena, tada je CCF također paran. Ako je barem jedan od signala opisan neparnom funkcijom, tada je i CCF neparan. Prvu tvrdnju je lako dokazati ako izračunamo CCF dvaju pravokutnih impulsa suprotnog polariteta

I

Međusobna korelacijska funkcija takvih signala

, (2.63)

je parna funkcija argumenta .

Što se tiče druge tvrdnje, razmatrani primjer izračunavanja TCF-a pravokutnih i trokutastih impulsa to dokazuje.

U nekim primijenjenim problemima radiotehnike koristi se normalizirani ACF

, (2.64)

i normalizirani VKF

, (2.65)

gdje su i vlastite energije signala i . Za vrijednost normaliziranog VKF pozvao koeficijent međukorelacije. Ako , zatim koeficijent međukorelacije

.

Očito, vrijednosti su između -1 i +1. Usporedimo li (2.65) s (1.32), tada možemo vidjeti da koeficijent međukorelacije odgovara vrijednosti kosinusa kuta između vektora i u geometrijskom prikazu signala.

Izračunajmo koeficijent međukorelacije za gornje primjere. Budući da je energija signala pravokutnog impulsa

i trokutasti puls

tada će koeficijent međukorelacije u skladu s (2.62) i (2.65) biti jednak . Što se tiče drugog primjera, za dva pravokutna impulsa iste amplitude i trajanja, ali suprotnog polariteta, .

Eksperimentalno se ACF i VKF mogu dobiti pomoću uređaja čiji je blok dijagram prikazan na Sl. 2.12

Kada se ACF ukloni, signal dolazi na jedan od ulaza množitelja, a isti signal, ali odgođen na neko vrijeme, stiže na drugi. Signal proporcionalan proizvodu , prolazi kroz operaciju integracije. Na izlazu integratora formira se napon koji je proporcionalan vrijednosti ACF pri fiksnoj . Promjenom vremena kašnjenja moguće je konstruirati ACF signala.

Za eksperimentalnu konstrukciju VKF-a signal se dovodi na jedan od ulaza množitelja, a signal se dovodi do uređaja za odgodu (ulazni krugovi su prikazani isprekidanom linijom). Inače, uređaj radi na sličan način. Imajte na umu da se opisani uređaj zove korelatora te se široko koristi u raznim radijskim sustavima za primanje i obradu signala.

Do sada smo radili korelacijske analize neperiodičnih signala s konačnom energijom. Istodobno, potreba za takvom analizom često se javlja za periodične signale, koji teoretski imaju beskonačnu energiju, ali konačnu prosječnu snagu. U ovom slučaju, ACF i CCF izračunavaju se prosječenjem tijekom razdoblja i imaju značenje prosječne snage (unutarnje ili međusobne). Dakle, ACF periodičnog signala:

, (2.66)

i međukorelacijske funkcije dvaju periodičnih signala s više razdoblja:

, (2.67)

gdje je najveća vrijednost razdoblja.

Naći autokorelacijske funkcije harmonijskog signala

,

gdje je kružna frekvencija i početna faza.

Zamjenom ovog izraza u (2.66) i izračunavanjem integrala koristeći dobro poznatu trigonometrijsku relaciju:

.

Iz razmatranog primjera možemo izvući sljedeće zaključke, koji vrijede za svaki periodični signal.

1. ACF periodičnog signala je periodična funkcija s istim periodom.

2. ACF periodičnog signala je parna funkcija argumenta.

3. Na , vrijednost je prosječna snaga koja se oslobađa pri otporu od 1 ohma i ima dimenziju.

4. ACF periodičnog signala ne sadrži informacije o početnoj fazi signala.

Također treba napomenuti da je interval korelacije periodičnog signala .

A sada izračunavamo međusobnu korelaciju dvaju harmonijskih signala iste frekvencije, ali se razlikuju po amplitudama i početnim fazama

i .

Funkcije korelacije signala koriste se za integralne kvantitativne procjene oblika signala i stupnja njihove međusobne sličnosti.

Autokorelacijske funkcije (ACF) signala (korelacijske funkcije, CF). U primjeni na determinističke signale s konačnom energijom, ACF je kvantitativna integralna karakteristika oblika signala i integral je umnoška dviju kopija signala s(t), pomaknutih jedna u odnosu na drugu za vrijeme t:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2,25)

Kao što slijedi iz ovog izraza, ACF je skalarni proizvod signala i njegove kopije u funkcionalnoj ovisnosti o vrijednosti varijable vrijednosti pomaka t. Prema tome, ACF ima fizičku dimenziju energije, a pri t = 0 vrijednost ACF-a je izravno jednaka energiji signala:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

ACF funkcija je kontinuirana i ravnomjerna. Potonje je lako provjeriti promjenom varijable t = t-t u izrazu (2.25):

B s (t) \u003d s (t-t) s (t) dt \u003d s (t) s (t-t) dt \u003d B s (-t). (2,25")

S obzirom na paritet, grafički prikaz ACF-a napravljen je samo za pozitivne vrijednosti t. U praksi se signali obično postavljaju na interval pozitivnih vrijednosti argumenata od 0-T. Znak +t u izrazu (2.25) znači da kako se vrijednosti t povećavaju, kopija signala s(t+t) pomiče se ulijevo duž t osi i prelazi 0, što zahtijeva odgovarajuće proširenje signal u područje negativnih vrijednosti argumenta. A budući da je u proračunima interval postavljanja t, u pravilu, mnogo manji od intervala postavljanja signala, praktičnije je kopiju signala pomaknuti ulijevo duž osi argumenata, t.j. primjena u izrazu (2.25) funkcije s(t-t) umjesto s(t+t).

Kako se vrijednost pomaka t povećava za konačne signale, vremensko preklapanje signala s njegovom kopijom se smanjuje i skalarni proizvod teži nuli.

Primjer. Na intervalu (0, T) naveden je pravokutni impuls čija je amplituda jednaka A. Izračunajte autokorelacijsku funkciju impulsa.

Prilikom pomicanja kopije impulsa duž t osi udesno, na 0≤t≤T, signali se preklapaju u intervalu od t do T. Točkasti proizvod:

B s (t) \u003d A 2 dt \u003d A 2 (T-t).

Prilikom pomicanja kopije impulsa ulijevo, s -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

Za |t| > T signal i njegova kopija nemaju točaka sjecišta i skalarni proizvod signala jednak je nuli (signal i njegova pomaknuta kopija postaju ortogonalni).

Sumirajući izračune, možemo napisati:

B s (t) = .

U slučaju periodičnih signala, ACF se izračunava za jedno razdoblje T, usrednjavajući skalarni proizvod i njegovu pomaknutu kopiju unutar razdoblja:

B s (t) \u003d (1 / T) s (t) s (t-t) dt.

Kod t=0, vrijednost ACF-a u ovom slučaju nije jednaka energiji, već prosječnoj snazi ​​signala unutar intervala T. ACF periodičnih signala je također periodična funkcija s istim periodom T. očito je za jednotonski harmonijski signal. Prva maksimalna vrijednost ACF-a odgovarat će t=0. Kada se kopija signala pomakne za četvrtinu perioda u odnosu na original, integrandi postaju ortogonalni jedan prema drugom (cos wo (tt) = cos (wo tp/2) º sin wot) i daju nultu vrijednost od ACF. Kada se pomakne za t=T/2, kopija signala u smjeru postaje suprotna od samog signala, a skalarni produkt doseže svoju minimalnu vrijednost. S daljnjim povećanjem pomaka, obrnuti proces povećanja vrijednosti skalarnog produkta počinje križanjem nule pri t=3T/2 i ponavljanjem maksimalne vrijednosti pri t=T=2p/wo (cos wo t-2p kopije º cos wot signala). Sličan se proces odvija i za periodične signale proizvoljnog oblika (slika 2.11).

Imajte na umu da dobiveni rezultat ne ovisi o početnoj fazi harmonijskog signala, što je tipično za sve periodične signale i jedno je od svojstava ACF-a.

Za signale dane u određenom intervalu, ACF se izračunava s normalizacijom na duljinu intervala:

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)

Autokorelacija signala može se procijeniti i funkcijom koeficijenata autokorelacije, koji se izračunavaju prema formuli (na temelju centriranih signala):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

Funkcija unakrsne korelacije (CCF) signala (cross-correlation function, CCF) pokazuje kako stupanj sličnosti oblika dvaju signala, tako i njihov relativni položaj jedan u odnosu na drugi duž koordinata (nezavisna varijabla), za što je ista formula (2.25) koristi se kao i za ACF, ali pod integralom je proizvod dva različita signala, od kojih je jedan pomaknut za vrijeme t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t + t) dt. (2,27)

Promjenom varijable t = t-t u formuli (2.4.3) dobivamo:

B 12 (t) \u003d s 1 (t-t) s 2 (t) dt \u003d s 2 (t) s 1 (t-t) dt \u003d B 21 (-t)

Riža. 2.12. Signali i VKF

Odavde slijedi da uvjet parnosti nije zadovoljen za VKF, a vrijednosti VKF-a ne moraju imati maksimum pri t = 0. To se jasno može vidjeti na Sl. 2.12, gdje su dana dva identična signala sa središtima u točkama 0,5 i 1,5. Proračun po formuli (2.27) s postupnim povećanjem vrijednosti t znači uzastopne pomake signala s2(t) ulijevo duž vremenske osi (za svaku vrijednost s1(t), vrijednosti s2 (t+t) uzimaju se za množenje integranda).

Kod t=0 signali su ortogonalni i vrijednost B 12 (t)=0. Maksimalni B 12 (t) će se uočiti kada se signal s2(t) pomakne ulijevo za vrijednost t=1, pri čemu su signali s1(t) i s2(t+t) potpuno kombinirani. Prilikom izračunavanja vrijednosti B 21 (-t), sličan se postupak izvodi uzastopnim pomicanjem signala s1(t) udesno duž vremenske osi uz postupno povećanje negativnih vrijednosti t, i, sukladno tome , vrijednosti B 21 (-t) su zrcalni (u odnosu na os t=0) prikaz vrijednosti B 12 (t), i obrnuto. Na sl. 2.13 to se može jasno vidjeti.

Riža. 2.13. Signali i VKF

Dakle, za izračunavanje punog oblika CCF-a, numerička os t mora uključivati ​​negativne vrijednosti, a promjena predznaka t u formuli (2.27) je ekvivalentna permutiranju signala.

Za periodične signale obično se ne koristi koncept CCF, s izuzetkom signala s istim periodom, na primjer, signala ulaska i izlaska iz sustava pri proučavanju karakteristika sustava.

Funkcija koeficijenata međukorelacije dvaju signala izračunava se po formuli (na temelju centriranih signala):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2,28)

Vrijednost koeficijenata međukorelacije može varirati od -1 do 1.