Počnimo proučavati temu " Neodređeni integral", a također ćemo detaljno analizirati primjere rješenja najjednostavnijih (i ne tako jednostavnih) integrala. Kao i obično, ograničit ćemo se na minimum teorije koji se nalazi u brojnim udžbenicima, a zadatak nam je naučiti rješavati integrale.

Što je potrebno znati za uspješno svladavanje gradiva? Kako biste se nosili s integralnim računom, morate biti u mogućnosti pronaći derivacije na minimalnoj razini, na srednjoj razini. Neće biti gubitak iskustva ako iza sebe imate nekoliko desetaka, ili još bolje, stotina neovisno pronađenih derivata. U najmanju ruku, ne bi vas trebali zbuniti zadaci razlikovanja najjednostavnijih i najčešćih funkcija.

Čini se, kakve veze imaju izvodnice ako je članak o integralima?! Evo u čemu je stvar. Činjenica je da su nalaženje izvodnica i nalaženje neodređenih integrala (diferencijacija i integracija) dvije međusobno obrnute radnje, poput zbrajanja/oduzimanja ili množenja/dijeljenja. Dakle, bez vještine i bilo kakvog iskustva u pronalaženju derivata, nažalost, ne možete ići naprijed.

U tom smislu trebat će nam sljedeći nastavni materijali: Tablica izvedenica I Tablica integrala.

Koja je poteškoća u učenju neodređenih integrala? Ako u derivatima postoji strogo 5 pravila diferencijacije, tablica derivata i prilično jasan algoritam radnji, onda je u integralima sve drugačije. Postoje deseci integracijskih metoda i tehnika. A, ako je metoda integracije u početku pogrešno odabrana (tj. ne znate kako riješiti), tada možete "bockati" integral doslovno danima, poput prave slagalice, pokušavajući uočiti razne tehnike i trikove. Nekima se to čak i sviđa.

Inače, često smo od studenata (nehumanističkih smjerova) čuli mišljenje poput: “Nikada me nije zanimalo rješavanje limesa ili derivacije, ali integrali su sasvim druga stvar, to je fascinantno, uvijek postoji želja za “hakiranjem” složenog integrala.” . Stop. Dosta crnog humora, prijeđimo na ove same neodređene integrale.

Budući da postoji mnogo načina da se to riješi, gdje bi onda čajnik trebao početi proučavati neodređene integrale? U integralnom računu, po našem mišljenju, postoje tri stupa ili neka vrsta “osovine” oko koje se sve ostalo vrti. Prije svega, trebali biste dobro razumjeti najjednostavnije integrale (ovaj članak).

Zatim morate detaljno proraditi lekciju. OVO JE NAJVAŽNIJA TEHNIKA! Možda čak i najvažniji članak od svih članaka o integralima. I treće, svakako biste trebali pročitati metoda integracije po dijelovima, budući da integrira široku klasu funkcija. Ako svladaš barem ove tri lekcije, onda više nećeš imati dvije. Možda će vam biti oprošteno što niste znali integrali trigonometrijskih funkcija, integrali razlomaka, integrali razlomačko-racionalnih funkcija, integrali iracionalnih funkcija (korijeni), ali ako "upadnete u probleme" s metodom zamjene ili metodom integracije po dijelovima, onda će biti vrlo, vrlo loše.

Dakle, počnimo jednostavno. Pogledajmo tablicu integrala. Kao i kod izvodnica, uočavamo nekoliko pravila integracije i tablicu integrala nekih elementarnih funkcija. Svaki tablični integral (i zapravo svaki neodređeni integral) ima oblik:

Odmah shvatimo oznake i pojmove:

– integralna ikona.

– funkcija integranda (pisana slovom “s”).

– ikona diferencijala. Vrlo brzo ćemo vidjeti što je to. Glavna stvar je da prilikom pisanja integrala i tijekom rješenja važno ne izgubiti ovu ikonu. Bit će primjetan nedostatak.

– izraz integranda ili “popunjavanje” integrala.

– antiderivativan funkcija.

– . Nema potrebe da se previše opterećujemo pojmovima; najvažnije je da se u svakom neodređenom integralu odgovoru doda konstanta.

Rješavanje neodređenog integrala znači pronalaženjemnoge primitivne funkcije iz zadanog integranda

Pogledajmo ponovno unos:

Pogledajmo tablicu integrala.

Što se događa? Imamo lijeve dijelove pretvoriti u na druge funkcije: .

Pojednostavimo našu definiciju:

Riješite neodređeni integral - to znači PRETVORITI ga u nedefiniranu (do konstante) funkciju , koristeći neka pravila, tehnike i tablicu.

Uzmimo, na primjer, integral tablice . Što se dogodilo? Simbolička notacija razvila se u mnoge primitivne funkcije.

Kao i u slučaju derivacija, da bi se naučilo pronaći integrale, nije potrebno biti svjestan što je integral ili antiderivativna funkcija s teorijske točke gledišta. Dovoljno je jednostavno provesti transformacije prema nekim formalnim pravilima. Dakle, u slučaju Uopće nije potrebno razumjeti zašto se integral pretvara u . Ovu i druge formule možete uzeti zdravo za gotovo. Svi koriste električnu energiju, ali malo ljudi razmišlja o tome kako elektroni putuju kroz žice.

Budući da su diferencijacija i integracija suprotne operacije, za svaku antiderivaciju koja je točno pronađena vrijedi sljedeće:

Drugim riječima, ako diferencirate točan odgovor, tada morate dobiti izvornu funkciju integranda.

Vratimo se istom tabličnom integralu .

Provjerimo valjanost ove formule. Uzimamo izvod desne strane:

je izvorna funkcija integranda.

Usput, postalo je jasnije zašto se konstanta uvijek dodjeljuje funkciji. Kada se diferencira, konstanta se uvijek okreće na nulu.

Riješite neodređeni integral- znači pronaći gomila svatko antiderivati, a ne samo jedna funkcija. U primjeru tablice koji razmatramo, , , itd. – sve ove funkcije su rješenja integrala. Rješenja je beskonačno mnogo, pa ćemo to ukratko zapisati:

Stoga je bilo koji neodređeni integral prilično lako provjeriti. Ovo je neka kompenzacija za veliki broj integrala različitih tipova.

Prijeđimo na konkretne primjere. Počnimo, kao u proučavanju derivata, s dva pravila integracije:

- konstantno C mogu (i trebaju) izbaciti iz integralnog predznaka.

– integral zbroja (razlike) dviju funkcija jednak je zbroju (razlici) dvaju integrala. Ovo pravilo vrijedi za bilo koji broj pojmova.

Kao što vidite, pravila su u osnovi ista kao i za izvedenice. Ponekad se zovu svojstva linearnosti sastavni.

Primjer 1

Nađi neodređeni integral.

.

Izvršite provjeru.

Riješenje: Pogodnije je pretvoriti ga kao.

(1) Primijenite pravilo . Zaboravljamo zapisati ikonu diferencijala dx ispod svakog integrala. Zašto ispod svake? dx– ovo je punopravni multiplikator. Ako ga detaljno opišemo, prvi korak bi trebao biti napisan ovako:

.

(2) Prema pravilu sve konstante premjestimo preko predznaka integrala. Napominjemo da je u prošlom terminu tg 5 je konstanta, također je izbacujemo.

Osim toga, u ovom koraku pripremamo korijene i moći za integraciju. Na isti način kao kod diferencijacije, korijeni moraju biti predstavljeni u obliku . Pomaknite korijene i potencije koji se nalaze u nazivniku prema gore.

Bilješka: Za razliku od izvoda, korijene u integralima ne treba uvijek svesti na oblik , i pomaknite stupnjeve prema gore.

Na primjer, - ovo je gotovi tablični integral, koji je već izračunat prije vas, i sve vrste kineskih trikova poput potpuno nepotrebno. Također: – ovo je također tablični integral, nema svrhe predstavljati razlomak u obliku . Pažljivo proučite tablicu!

(3) Svi naši integrali su tablični. Transformaciju provodimo pomoću tablice pomoću formula: , I

za funkciju snage - .

Treba napomenuti da je tablični integral poseban slučaj formule za funkciju snage: .

Konstantno C dovoljno je jednom dodati na kraju izraza

(a ne stavljati ih iza svakog integrala).

(4) Dobiveni rezultat zapisujemo u kompaktnijem obliku, kada su sve potencije oblika

opet ih predstavljamo u obliku korijena, a potencije s negativnim eksponentom vraćamo u nazivnik.

Ispitivanje. Da biste izvršili provjeru potrebno je razlikovati primljeni odgovor:

Dobio original integrand, tj. integral je točno nađen. Ono iz čega su plesali, to su se vratili. Dobro je kad priča s integralom ovako završi.

S vremena na vrijeme postoji nešto drugačiji pristup provjeri neodređenog integrala, kada se iz odgovora ne uzima derivacija, već diferencijal:

.

Kao rezultat, ne dobivamo funkciju integranda, već izraz integranda.

Nemojte se bojati koncepta diferencijala.

Diferencijal je izvod pomnožen s dx.

Međutim, ono što nam je važno nisu teorijske suptilnosti, već što dalje učiniti s ovim diferencijalom. Razlika se otkriva na sljedeći način: ikona d uklonimo ga, stavimo osnovnu oznaku desno iznad zagrade, dodamo faktor na kraj izraza dx :

Dobiven original integrand, odnosno integral je točno nađen.

Kao što vidite, diferencijal se svodi na pronalaženje derivacije. Druga metoda provjere mi se manje sviđa, jer moram dodatno nacrtati velike zagrade i povući ikonu diferencijala dx do kraja provjere. Iako je ispravnije, ili “uglednije” ili tako nešto.

Zapravo, o drugom načinu provjere moglo se šutjeti. Nije stvar u metodi, nego u tome što smo naučili otvoriti diferencijal. Opet.

Razlika se otkriva na sljedeći način:

1) ikona d ukloniti;

2) desno iznad zagrade stavljamo crtu (oznaka izvedenice);

3) na kraju izraza pridružujemo faktor dx .

Na primjer:

Zapamtite ovo. Ova tehnika će nam trebati vrlo brzo.

Primjer 2

.

Kada nađemo neodređeni integral, UVIJEK pokušavamo provjeritiŠtoviše, postoji velika prilika za to. Nisu sve vrste problema u višoj matematici dar s ove točke gledišta. Nema veze što provjere često nisu potrebne u ispitnim zadacima; nitko i ništa vas ne sprječava da to radite na nacrtu. Iznimka se može napraviti samo kada nema dovoljno vremena (npr. tijekom kolokvija ili ispita). Ja osobno uvijek provjeravam integrale, a izostanak provjere smatram hakerskim poslom i loše odrađenim zadatkom.

Primjer 3

Nađi neodređeni integral:

. Izvršite provjeru.

Rješenje: Analizirajući integral, vidimo da pod integralom imamo umnožak dviju funkcija, pa čak i stepenovanje cijelog izraza. Nažalost, na polju integralnog bitka Ne dobro i udobno formule za integraciju umnoška i kvocijenta kao: ili .

Stoga, kada je dan umnožak ili kvocijent, uvijek ima smisla vidjeti je li moguće transformirati integrand u zbroj? Primjer koji razmatramo je slučaj kada je to moguće.

Prvo ćemo predstaviti cjelovito rješenje, komentari će biti ispod.

Dobio original integrand, što znači da je integral točno pronađen.

Tijekom testiranja, uvijek je preporučljivo "spakirati" funkciju u izvorni oblik, u ovom slučaju, izvaditi je iz zagrada i primijeniti skraćenu formulu množenja u suprotnom smjeru: .

Primjer 4

Nađi neodređeni integral

Izvršite provjeru.

Ovo je primjer za vas da sami riješite. Odgovor i potpuno rješenje nalaze se na kraju lekcije.

Primjer 5

Nađi neodređeni integral

. Izvršite provjeru.

U ovom primjeru, integrand je razlomak. Kada vidimo razlomak u integrandu, prva pomisao bi trebala biti pitanje: "Je li moguće nekako se riješiti ovog razlomka ili ga barem pojednostaviti?"

Primjećujemo da nazivnik sadrži jedan korijen od "X". Onaj koji je na terenu nije ratnik, što znači da možemo podijeliti brojnik s nazivnikom po pojam:

Ne komentiramo radnje s frakcijskim potencijama, jer su o njima više puta raspravljano u člancima o izvodu funkcije.

Ako ste još uvijek zbunjeni takvim primjerom kao što je

i ni u kom slučaju ne izlazi točan odgovor,

Također imajte na umu da rješenju nedostaje jedan korak, naime primjena pravila , . Obično, s određenim iskustvom u rješavanju integrala, ova se pravila smatraju očitom činjenicom i ne opisuju se detaljno.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer za vas da sami riješite. Odgovor i potpuno rješenje nalaze se na kraju lekcije.

U općem slučaju, s razlomcima u integralima, nije sve tako jednostavno, dodatni materijal o integraciji razlomaka nekih vrsta može se pronaći u članku: Integriranje nekih razlomaka. No, prije nego prijeđete na gornji članak, morate se upoznati s lekcijom: Metoda supstitucije u neodređenom integralu. Poanta je da je podvođenje funkcije pod diferencijalnu ili varijabilnu metodu zamjene ključna stvar u proučavanju teme, jer se nalazi ne samo "u čistim zadacima na metodi zamjene", već iu mnogim drugim vrstama integrala.

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje:

Primjer 4: Rješenje:

U ovom smo primjeru koristili formulu skraćenog množenja

Primjer 6: Rješenje:

Riječ "integral" dolazi od latinske riječi integralis - sastavni. Ovo je ime predloženo u 17. stoljeću. učenik velikog Leibniza (i također izvanrednog matematičara) I. Bernoullija. Što je integral u modernom smislu? U nastavku ćemo pokušati dati iscrpan odgovor na ovo pitanje.

Povijesna pozadina nastanka pojma integrala

Početkom 17.st. Vodeći znanstvenici bavili su se velikim brojem fizikalnih (prije svega mehaničkih) problema u kojima je bilo potrebno proučavati ovisnost jednih veličina o drugima. Najočitiji i gorući problemi bili su određivanje trenutne brzine neravnomjernog gibanja tijela u bilo kojem trenutku u vremenu i obrnuti problem pronalaženja udaljenosti koju je tijelo priješlo tijekom određenog vremenskog razdoblja tijekom takvog gibanja. Danas već znamo što je integral brzine kretanja - to je prijeđena udaljenost. Ali razumijevanje kako to izračunati, znajući brzinu u svakom trenutku vremena, nije se pojavilo odmah.

Isprva je iz razmatranja takvih ovisnosti fizikalnih veličina, primjerice puta o brzini, nastao matematički koncept funkcije y = f(x). Proučavanje svojstava različitih funkcija dovelo je do rođenja matematičke analize. Znanstvenici su aktivno tražili načine proučavanja svojstava različitih funkcija.

Kako je došlo do izračunavanja integrala i derivacija?

Nakon što je Descartes stvorio temelje analitičke geometrije i pojavio se mogućnost grafičkog prikazivanja funkcionalnih ovisnosti u osi Kartezijevog koordinatnog sustava, istraživači su se suočili s dva velika nova problema: kako povući tangentu na zakrivljenu liniju u bilo kojoj točki i kako pronaći površinu figure ograničene gore ovom krivuljom i ravnim linijama.paralelno s koordinatnim osima. Neočekivano se pokazalo da je prvi od njih ekvivalentan pronalaženju trenutne brzine, a drugi je ekvivalentan pronalaženju prijeđene udaljenosti. Uostalom, tijekom neravnomjernog kretanja bilo je prikazano u Kartezijevim koordinatnim osima "udaljenost" i "vrijeme" nekom zakrivljenom linijom.

Genij Leibniza i Newtona sredinom 17. stoljeća. stvorene su metode koje su omogućile rješavanje oba ova problema. Ispostavilo se da je za crtanje tangente na krivulju u točki potrebno pronaći vrijednost takozvane derivacije funkcije koja opisuje tu krivulju u njezinoj točki koja se razmatra, a ta se vrijednost ispostavlja jednakom na brzinu promjene funkcije, tj. u odnosu na ovisnost "put o brzini" sama trenutna brzina tijela.

Za pronalaženje površine ograničene zakrivljenom linijom bilo je potrebno izračunati određeni integral, koji je dao njegovu točnu vrijednost. Derivacija i integral temeljni su pojmovi diferencijalnog i integralnog računa koji su temelj suvremene matematičke analize – najvažnije grane visoke matematike.

Područje ispod zakrivljene linije

Dakle, kako odrediti njegovu točnu vrijednost? Pokušajmo detaljno, od samih osnova, otkriti proces njegovog izračunavanja kroz integral.

Neka je f funkcija kontinuirana na intervalu. Razmotrimo krivulju y = f(x), prikazanu na donjoj slici. Kako pronaći područje područja ograničenog krivuljom), x-osi i linijama x = a i x = b? Odnosno, područje osjenčane figure na slici.

Najjednostavniji slučaj je kada je f konstantna funkcija; to jest, krivulja je vodoravna linija f(X) = k, gdje je k konstanta i k ≥ 0, kao što je prikazano na slici ispod.

U ovom slučaju, površina ispod krivulje je samo pravokutnik visine k i širine (b - a), pa je površina definirana kao: k · (b - a).

Površine nekih drugih jednostavnih likova, kao što su trokut, trapez i polukrug, dane su formulama iz planimetrije.

Površina ispod bilo koje kontinuirane krivulje y = f(x) dana je određenim integralom, koji se piše na isti način kao i obični integral.

Riemannova suma

Prije nego što se upustimo u detaljan odgovor na pitanje što je integral, istaknimo neke osnovne ideje.

Najprije je površina ispod krivulje podijeljena na određeni broj n okomitih pruga dovoljno male širine Δx. Zatim se svaka okomita pruga zamjenjuje okomitim pravokutnikom visine f(x), širine Δx i površine f(x)dx. Sljedeći korak je formiranje zbroja površina svih ovih pravokutnika, koji se naziva Riemannov zbroj (vidi slike ispod).

Kada crtamo svoje pravokutnike širine Δx, njihovu visinu možemo uzeti jednakom vrijednosti funkcije na lijevom rubu svake trake, tj. krajnje lijeve točke njihovih gornjih kraćih stranica širine Δx ležat će na krivulji. Štoviše, u dijelu gdje funkcija raste, a njena krivulja je konveksna, svi pravokutnici su ispod ove krivulje, tj. njihov zbroj će sigurno biti manji od točne površine ispod krivulje u ovom dijelu (vidi sliku ispod). Ova metoda aproksimacije naziva se lijevostrana.

U načelu se mogu crtati aproksimirajući pravokutnici tako da krajnje desne točke njihovih gornjih kraćih stranica širine Δx leže na krivulji. Tada će biti iznad krivulje, a aproksimacija površine u ovom dijelu bit će veća od točne vrijednosti, kao što je prikazano na donjoj slici. Ova metoda se naziva desnom rukom.

Ali također možemo uzeti visinu svakog od aproksimirajućih pravokutnika, koja je jednostavno jednaka nekoj vrijednosti funkcije u proizvoljnoj točki x* i unutar odgovarajuće trake Δx i (vidi sliku ispod). U ovom slučaju možda čak nećemo uzeti istu širinu svih pruga.

Sastavimo Riemannov zbroj:

Prijelaz s Riemannove sume na određeni integral

U višoj matematici dokazan je teorem koji kaže da ako uz neograničeno povećanje broja n aproksimirajućih pravokutnika njihova najveća širina teži nuli, onda Riemannov zbroj A n teži određenoj granici A. Broj A je isto za bilo koju metodu oblikovanja aproksimirajućih pravokutnika i za bilo koji izbor točaka x* i .

Vizualno objašnjenje teoreme dano je na slici ispod.

To pokazuje da što su pravokutnici uži, to je područje stepenaste figure bliže području ispod krivulje. Kada je broj pravokutnika n→∞, njihova širina je Δx i →0, a granica A zbroja A n brojčano je jednaka traženoj površini. Ova granica je određeni integral funkcije f (x):

Integralni simbol, koji je modificirano kurzivno slovo S, uveo je Leibniz. J. B. Fourier predložio je postavljanje granica iznad i ispod integralne oznake. Početna i krajnja vrijednost x jasno su naznačene.

Geometrijska i mehanička interpretacija određenog integrala

Pokušajmo dati detaljan odgovor na pitanje što je integral? Razmotrimo integral na intervalu pozitivne funkcije f(x) unutar njega i pretpostavimo da je gornja granica veća od donje a

Ako su ordinate funkcije f(x) iznutra negativne, tada je apsolutna vrijednost integrala jednaka površini između apscisne osi i grafa y=f(x), dok je sam integral negativan.

U slučaju jednog ili ponovljenog sjecišta grafa y=f(x) s apscisnom osi na segmentu , kao što je prikazano na slici ispod, za izračun integrala potrebno je odrediti razliku u kojoj će umanjenik biti jednaka ukupnoj površini odjeljaka koji se nalaze iznad osi apscise, a subtrahend će biti jednak ukupnoj površini parcela koje se nalaze ispod nje.

Dakle, za funkciju prikazanu na gornjoj slici, određeni integral od a do b bit će jednak (S1 + S3) - (S2 + S4).

Mehanička interpretacija određenog integrala usko je povezana s geometrijskom. Vratimo se na odjeljak “Riemannova suma” i zamislimo da graf prikazan na slikama izražava funkciju brzine v=f(t) za neravnomjerno gibanje materijalne točke (x-os je vremenska os). Tada će površina bilo kojeg aproksimativnog pravokutnika širine Δt, koju smo konstruirali prilikom formiranja Riemannove sume, približno izražavati putanju točke u vremenu Δt, odnosno v(t*)Δt.

Ukupni zbroj površina pravokutnika na segmentu od t 1 =a do t 2 =b približno će izraziti put s u vremenu t 2 - t 1, a njegovu granicu, tj. integral (definiran) od a do b funkcije v = f(t ) pomoću dt će dati točnu vrijednost puta s.

Diferencijal određenog integrala

Ako se vratimo na njegovu oznaku, onda je sasvim moguće pretpostaviti da je a = const, a b je određena vrijednost neke nezavisne varijable x. Tada se određeni integral s gornjom granicom x̃ iz određenog broja pretvara u funkciju od x̃. Ovaj integral jednak je površini figure ispod krivulje, označenoj točkama aABb na donjoj slici.

Sa stacionarnom linijom aA i pokretnom linijom Bb, ovo područje postaje funkcija f(x̃), a priraštaji Δx̃ i dalje su ucrtani duž x-osi, a priraštaji funkcije f(x̃) su priraštaji od površina ispod krivulje.

Pretpostavimo da smo varijabli x̃ = b dali neki mali prirast Δx̃. Tada je povećanje površine figure aABb zbroj površine pravokutnika (osjenčanog na slici) Bb∙Δx̃ i površine figure BDC ispod krivulje. Površina pravokutnika jednaka je Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, tj. linearna je funkcija prirasta nezavisne varijable. Površina figure BDC očito je manja od površine pravokutnika BDCK = Δx̃∙Δy, a kako Δx̃ →0 teži, smanjuje se još brže. To znači da je f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ diferencijal varijabilne površine aABb, tj. diferencijal određenog integrala.

Iz ovoga možemo zaključiti da se izračunavanje integrala sastoji od pronalaženja funkcija iz zadanih izraza njihovih diferencijala. Integralni račun je upravo sustav metoda za pronalaženje takvih funkcija pomoću njihovih poznatih diferencijala.

Temeljna relacija integralnog računa

Povezuje odnos između diferenciranja i integracije i pokazuje da postoji operacija inverzna diferencijaciji funkcije - njezina integracija. Također pokazuje da ako je bilo koja funkcija f(x) kontinuirana, tada se primjenom ove matematičke operacije na nju može pronaći cijeli ansambl (skup, skup) funkcija koje su antiderivativne za nju (ili na drugi način, pronaći njen neodređeni integral ).

Neka funkcija F(x) označava rezultat integracije funkcije f(x). Korespondencija između ove dvije funkcije kao rezultat integracije druge od njih označena je na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti, s integralnim simbolom nema granica integracije. To znači da se iz određenog pretvara u neodređeni integral. Riječ "neodređeno" znači da rezultat operacije integracije u ovom slučaju nije jedna, već više funkcija. Uostalom, osim same funkcije F(x), posljednje izraze zadovoljava i svaka funkcija F(x)+C, gdje je C = const. To implicira da se konstantni član u skupu antiderivacija može specificirati proizvoljno.

Treba naglasiti da ako je integral definiran funkcijom broj, onda je neodređeni integral funkcija, točnije njihov skup. Izraz "integracija" koristi se za definiranje operacije pronalaženja obje vrste integrala.

Osnovno pravilo integracije

Upravo je suprotno od odgovarajućeg pravila za razlikovanje. Kako se uzimaju neodređeni integrali? Pogledat ćemo primjere ovog postupka koristeći specifične funkcije.

Pogledajmo opću funkciju snage:

Nakon što smo to učinili sa svakim članom u izrazu funkcije koji je integrabilan (ako postoji više od jednog), dodajemo konstantu na kraju. Podsjetimo se da uzimanje derivacije konstantne vrijednosti uništava istu, pa će nam uzimanje integrala bilo koje funkcije dati obnovu ove konstante. Zovemo ga C jer je konstanta nepoznata - može biti bilo koji broj! Stoga možemo imati beskonačan broj izraza za neodređeni integral.

Pogledajmo jednostavne neodređene integrale, čiji su primjeri prikazani u nastavku.

Pretpostavimo da trebamo pronaći integral funkcije:

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

Krenimo od prvog pojma. Promatramo eksponent od 2 i povećavamo ga za 1, zatim dijelimo prvi član s dobivenim eksponentom od 3. Dobivamo: 4(x 3) / 3.

Zatim pogledamo sljedećeg člana i učinimo isto. Budući da ima eksponent 1, dobiveni eksponent bit će 2. Dakle, ovaj izraz dijelimo s 2: 2(x 2) / 2 = x 2.

Posljednji član ima faktor x, ali mi ga jednostavno ne vidimo. Posljednji član možemo zamisliti kao (-3x 0). Ovo je ekvivalentno (-3)∙(1). Ako koristimo pravilo integracije, eksponentu ćemo dodati 1 kako bismo ga podigli na prvu potenciju, a zatim posljednji član podijeliti s 1. Dobit ćemo 3x.

Ovo pravilo integracije radi za sve vrijednosti n osim n = - 1 (jer ne možemo dijeliti s 0).

Pogledali smo najjednostavniji primjer nalaženja integrala. Općenito, rješavanje integrala nije lak zadatak, a već stečeno iskustvo u matematici dobra je pomoć.

Integralne tablice

U gornjem odjeljku vidjeli smo da se iz svake formule diferenciranja dobiva odgovarajuća formula integracije. Stoga su sve njihove moguće opcije odavno dobivene i sastavljene u odgovarajuće tablice. Donja tablica integrala sadrži formule za integriranje osnovnih algebarskih funkcija. Ove formule treba znati napamet, pamtiti ih postupno dok se učvršćuju vježbama.

Druga tablica integrala sadrži osnovne trigonometrijske funkcije:

Kako izračunati određeni integral

Ispostavilo se da je to raditi, znati integrirati, odnosno pronaći neodređene integrale, vrlo jednostavno. A formula utemeljitelja integro-diferencijalnog računa, Newtona i Leibniza, pomaže u tome

Prema njemu, izračun željenog integrala sastoji se u prvoj fazi pronalaženja neodređenog, zatim izračuna vrijednosti pronađene antiderivacije F(x) zamjenom x, koji je prvo jednak gornjoj granici, zatim donjoj, i konačno određivanje razlike tih vrijednosti. U ovom slučaju konstantu C ne treba zapisivati. jer nestaje kada se izvrši oduzimanje.

Pogledajmo neke integrale s detaljnim rješenjima.

Nađimo površinu površine ispod jedne poluvalne sinusoide.

Izračunajmo osjenčanu površinu ispod hiperbole.

Razmotrimo sada integrale s detaljnim rješenjem , koristeći svojstvo aditivnosti u prvom primjeru i zamjenu srednje integracijske varijable u drugom. Izračunajmo definitivni integral frakcijske racionalne funkcije:

y=(1+t)/t 3 od t=1 do t=2.

Sada ćemo pokazati kako možete pojednostaviti uzimanje integrala uvođenjem međuvarijable. Pretpostavimo da trebamo izračunati integral od (x+1) 2 .

O nepravilnim integralima

Govorili smo o određenom integralu za konačni interval funkcije f(x) kontinuirane na njemu. Ali niz specifičnih problema dovodi do potrebe da se koncept integrala proširi na slučaj kada su limiti (jedan ili oba) jednaki beskonačnosti, ili za diskontinuiranu funkciju. Na primjer, kada se računaju površine ispod krivulja koje se asimptotski približavaju koordinatnim osima. Da bi se koncept integrala proširio na ovaj slučaj, osim graničnog prijelaza pri računanju Riemannove sume aproksimirajućih pravokutnika, učinjen je još jedan korak. Ovakvim dvostrukim prijelazom na granicu dobiva se nepravi integral. Nasuprot tome, svi gore razmotreni integrali nazivaju se vlastitim.

Kompleksni integrali

Ovaj članak zaključuje temu neodređenih integrala i uključuje integrale koje smatram prilično složenima. Lekcija je nastala na višestruke zahtjeve posjetitelja koji su izrazili želju da se teži primjeri analiziraju na stranici.

Pretpostavlja se da je čitatelj ovog teksta dobro pripremljen i da zna primijeniti osnovne tehnike integracije. Lutke i ljudi koji nisu baš sigurni u integrale neka pogledaju već prvu lekciju - Neodređeni integral. Primjeri rješenja, gdje možete svladati temu gotovo od nule. Iskusniji studenti mogu se upoznati s tehnikama i metodama integracije koje do sada nisu susrele u mojim člancima.

Koji će se integrali razmatrati?

Prvo ćemo razmotriti integrale s korijenima, za čije rješavanje sukcesivno koristimo zamjena varijable I integracija po dijelovima. To jest, u jednom primjeru dvije tehnike se kombiniraju odjednom. I još više.

Zatim ćemo se upoznati sa zanimljivim i originalnim metoda svođenja integrala na sebe. Dosta integrala se rješava na ovaj način.

Treće izdanje programa bit će integrali složenih razlomaka, koji su prošli pored blagajne u prethodnim člancima.

Četvrto, analizirat će se dodatni integrali iz trigonometrijskih funkcija. Konkretno, postoje metode koje izbjegavaju dugotrajnu univerzalnu trigonometrijsku zamjenu.

(2) U funkciji integranda dijelimo brojnik s nazivnikom član po član.

(3) Koristimo svojstvo linearnosti neodređenog integrala. U posljednjem integralu odmah staviti funkciju pod predznak diferencijala.

(4) Uzimamo preostale integrale. Imajte na umu da u logaritmu možete koristiti zagrade umjesto modula, jer .

(5) Vršimo obrnutu zamjenu, izražavajući "te" iz izravne zamjene:

Mazohistički studenti mogu diferencirati odgovor i dobiti izvorni integrand, kao što sam ja upravo učinio. Ne, ne, provjerio sam u pravom smislu =)

Kao što možete vidjeti, tijekom rješavanja smo morali koristiti čak i više od dvije metode rješavanja, tako da za rad s takvim integralima trebate pouzdane vještine integracije i prilično malo iskustva.

U praksi je, naravno, kvadratni korijen češći; evo tri primjera za samostalno rješavanje:

Primjer 2

Nađi neodređeni integral

Primjer 3

Nađi neodređeni integral

Primjer 4

Nađi neodređeni integral

Ovi primjeri su iste vrste, tako da će cjelovito rješenje na kraju članka biti samo za primjer 2; primjeri 3-4 imaju iste odgovore. Koju zamjenu koristiti na početku odluka, mislim da je očito. Zašto sam odabrao primjere iste vrste? Često se nalaze u njihovoj ulozi. Češće, možda, samo nešto slično .

Ali ne uvijek, kada ispod arktangensa, sinusa, kosinusa, eksponencijala i drugih funkcija postoji korijen linearne funkcije, morate koristiti nekoliko metoda odjednom. U nizu slučajeva moguće je "lako se riješiti", odnosno odmah nakon zamjene dobije se jednostavan integral koji se lako može uzeti. Najlakši od gore predloženih zadataka je primjer 4, u kojem se nakon zamjene dobiva relativno jednostavan integral.

Svođenjem integrala na sebe

Duhovita i lijepa metoda. Pogledajmo klasike žanra:

Primjer 5

Nađi neodređeni integral

Pod korijenom je kvadratni binom, a pokušaj integracije ovog primjera može čajniku zadati glavobolju satima. Takav se integral uzima u dijelovima i svodi na sebe. U principu, nije teško. Ako znate kako.

Označimo integral koji razmatramo latiničnim slovom i započnemo rješenje:

Integrirajmo po dijelovima:

(1) Pripremite funkciju integranda za dijeljenje član po član.

(2) Funkciju integranda dijelimo član po član. Možda neće svima biti jasno, ali opisat ću to detaljnije:

(3) Koristimo svojstvo linearnosti neodređenog integrala.

(4) Uzmite posljednji integral (“dugi” logaritam).

Sada pogledajmo sam početak rješenja:

I za kraj:

Što se dogodilo? Kao rezultat naših manipulacija, integral je reduciran na sebe!

Izjednačimo početak i kraj:

Pomaknite se ulijevo s promjenom predznaka:

I pomaknemo dva na desnu stranu. Kao rezultat:

Konstantu je, strogo govoreći, trebalo dodati ranije, ali ja sam je dodao na kraju. Toplo preporučujem da pročitate o čemu se radi ovdje:

Bilješka: Strože, završna faza rješenja izgleda ovako:

Tako:

Konstanta se može ponovno označiti s . Zašto se može prenamijeniti? Jer on to još uvijek prihvaća bilo koji vrijednosti, te u tom smislu nema razlike između konstanti i.
Kao rezultat:

Sličan trik s stalnim renotacijama naširoko se koristi u diferencijalne jednadžbe. I tu ću biti strog. I ovdje dopuštam takvu slobodu samo kako vas ne bi zbunio nepotrebnim stvarima i kako bih pozornost usmjerio upravo na sam način integracije.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral

Još jedan tipičan integral za neovisno rješenje. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Bit će razlika s odgovorom u prethodnom primjeru!

Ako se ispod kvadratnog korijena nalazi kvadratni trinom, tada se rješenje u svakom slučaju svodi na dva analizirana primjera.

Na primjer, razmotrite integral . Sve što trebate učiniti je prvo odaberite cijeli kvadrat:
.
Zatim se provodi linearna zamjena, koja radi "bez ikakvih posljedica":
, što rezultira integralom . Nešto poznato, zar ne?

Ili ovaj primjer, s kvadratnim binomom:
Odaberite cijeli kvadrat:
I, nakon linearne zamjene, dobivamo integral, koji se također rješava pomoću algoritma o kojem smo već govorili.

Pogledajmo još dva tipična primjera redukcije integrala na sebe:
– integral eksponencijala pomnoženog sa sinusom;
– integral eksponencijala pomnoženog s kosinusom.

U navedenim integralima po dijelovima morat ćete integrirati dva puta:

Primjer 7

Nađi neodređeni integral

Integrand je eksponencijal pomnožen sa sinusom.

Dvaput integriramo po dijelovima i reduciramo integral na sebe:

Kao rezultat dvostruke integracije po dijelovima, integral se reducirao na sebe. Izjednačavamo početak i kraj rješenja:

Pomaknemo ga na lijevu stranu s promjenom predznaka i izrazimo svoj integral:

Spreman. Istodobno, preporučljivo je češljati desnu stranu, tj. izvadite eksponent iz zagrada, a sinus i kosinus stavite u zagrade "lijepim" redom.

Vratimo se sad na početak primjera, točnije na integraciju po dijelovima:

Eksponent smo označili kao. Postavlja se pitanje: treba li eksponent uvijek označavati s ? Nije potrebno. Zapravo, u razmatranom integralu temeljno nema veze, što mislimo pod , mogli smo ići drugim putem:

Zašto je to moguće? Budući da se eksponencijal pretvara u sebe (i tijekom diferencijacije i integracije), sinus i kosinus se međusobno pretvaraju (opet, i tijekom diferencijacije i integracije).

Odnosno, možemo također označiti trigonometrijsku funkciju. Ali u razmatranom primjeru to je manje racionalno, jer će se pojaviti razlomci. Ako želite, možete pokušati riješiti ovaj primjer drugom metodom, odgovori se moraju podudarati.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Prije nego se odlučite, razmislite što je u ovom slučaju korisnije označiti kao , eksponencijalnu ili trigonometrijsku funkciju? Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I, naravno, ne zaboravite da je većinu odgovora u ovoj lekciji prilično lako provjeriti diferencijacijom!

Razmotreni primjeri nisu bili najsloženiji. U praksi su češći integrali gdje je konstanta i u eksponentu iu argumentu trigonometrijske funkcije, na primjer: . Mnogi će se zbuniti u takvom integralu, a i sam se često zbunim. Činjenica je da postoji velika vjerojatnost da će se razlomci pojaviti u otopini, a vrlo je lako izgubiti nešto nepažnjom. Osim toga, velika je vjerojatnost pogreške u predznacima, imajte na umu da eksponent ima predznak minus, a to predstavlja dodatnu poteškoću.

U završnoj fazi rezultat je često ovako:

Čak i na kraju rješenja, trebali biste biti izuzetno oprezni i ispravno razumjeti razlomke:

Integriranje složenih razlomaka

Polako se približavamo ekvatoru lekcije i počinjemo razmatrati integrale razlomaka. Opet, nisu svi supersloženi, samo su iz ovog ili onog razloga primjeri malo "izvan teme" u drugim člancima.

Nastavljajući temu korijena

Primjer 9

Nađi neodređeni integral

U nazivniku ispod korijena nalazi se kvadratni trinom plus "pridatak" u obliku "X" izvan korijena. Integral ovog tipa može se riješiti standardnom zamjenom.

Mi odlučujemo:

Zamjena je ovdje jednostavna:

Pogledajmo život nakon zamjene:

(1) Nakon supstitucije članove pod korijenom svodimo na zajednički nazivnik.
(2) Vadimo ga ispod korijena.
(3) Brojnik i nazivnik smanjeni su za . U isto vrijeme, ispod korijena, preuredio sam pojmove u prikladnom redoslijedu. Uz određeno iskustvo, korake (1), (2) možete preskočiti izvođenjem komentiranih radnji usmeno.
(4) Rezultirajući integral, kao što se sjećate iz lekcije Integriranje nekih razlomaka, odlučuje se metoda potpune kvadratne ekstrakcije. Odaberite cijeli kvadrat.
(5) Integracijom dobivamo obični “dugi” logaritam.
(6) Vršimo obrnutu zamjenu. Ako u početku , onda natrag: .
(7) Završna radnja je usmjerena na izravnavanje rezultata: ispod korijena ponovo dovodimo pojmove na zajednički nazivnik i vadimo ih ispod korijena.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ovdje se samom "X" dodaje konstanta, a zamjena je gotovo ista:

Jedino što dodatno trebate učiniti je izraziti “x” iz zamjene koja se provodi:

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Ponekad u takvom integralu ispod korijena može biti kvadratni binom, to ne mijenja metodu rješenja, bit će još jednostavnija. Osjeti razliku:

Primjer 11

Nađi neodređeni integral

Primjer 12

Nađi neodređeni integral

Kratka rješenja i odgovori na kraju lekcije. Treba napomenuti da je primjer 11 upravo binomni integral, o čijoj se metodi rješavanja raspravljalo u razredu Integrali iracionalnih funkcija.

Integral nerastavljivog polinoma 2. stupnja na potenciju

(polinom u nazivniku)

Rjeđi tip integrala, ali se ipak susreće u praktičnim primjerima.

Primjer 13

Nađi neodređeni integral

Ali vratimo se primjeru sa sretnim brojem 13 (iskreno, nisam dobro pogodio). Ovaj integral je također jedan od onih koji mogu biti prilično frustrirajući ako ne znate kako riješiti.

Rješenje počinje umjetnom transformacijom:

Mislim da je svima već jasno kako podijeliti brojnik nazivnikom pojam po pojam.

Rezultirajući integral uzima se u dijelovima:

Za integral oblika ( – prirodni broj) izvodimo ponavljajući formula redukcije:
, Gdje – integral stupnja niže.

Provjerimo valjanost ove formule za riješeni integral.
U ovom slučaju: , , koristimo formulu:

Kao što vidite, odgovori su isti.

Primjer 14

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Otopina uzorka koristi gornju formulu dva puta zaredom.

Ako je ispod stupnja nedjeljiv kvadratni trinom, tada se rješenje reducira na binom izdvajanjem savršenog kvadrata, na primjer:

Što ako postoji dodatni polinom u brojniku? U ovom slučaju koristi se metoda neodređenih koeficijenata, a funkcija integranda se proširuje u zbroj razlomaka. Ali u mojoj praksi postoji takav primjer nikad upoznao, pa sam propustio ovaj slučaj u članku Integrali razlomačko-racionalnih funkcija, sad ću to preskočiti. Ako još uvijek naiđete na takav integral, pogledajte udžbenik - tamo je sve jednostavno. Mislim da nije preporučljivo uključiti materijal (čak ni jednostavan), čija je vjerojatnost susreta ravna nuli.

Integriranje složenih trigonometrijskih funkcija

Pridjev "složen" za većinu je primjera opet uglavnom uvjetan. Počnimo s tangensima i kotangensima u velikim potencijama. Sa stajališta korištenih metoda rješavanja, tangens i kotangens su gotovo iste stvari, pa ću više govoriti o tangensu, implicirajući da demonstrirana metoda za rješavanje integrala vrijedi i za kotangens.

U gornjoj lekciji koju smo pogledali univerzalna trigonometrijska supstitucija za rješavanje određene vrste integrala trigonometrijskih funkcija. Nedostatak univerzalne trigonometrijske supstitucije je ta što njezina uporaba često rezultira glomaznim integralima s teškim izračunima. A u nekim slučajevima, univerzalna trigonometrijska zamjena se može izbjeći!

Razmotrimo još jedan kanonski primjer, integral jednog podijeljenog sa sinusom:

Primjer 17

Nađi neodređeni integral

Ovdje možete koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu i dobiti odgovor, ali postoji racionalniji način. Dat ću cjelovito rješenje s komentarima za svaki korak:

(1) Koristimo trigonometrijsku formulu za sinus dvostrukog kuta.
(2) Provodimo umjetnu transformaciju: Podijelimo nazivnik i pomnožimo s .
(3) Koristeći poznatu formulu u nazivniku, transformiramo razlomak u tangentu.
(4) Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala.
(5) Uzmite integral.

Nekoliko jednostavnih primjera koje možete riješiti sami:

Primjer 18

Nađi neodređeni integral

Napomena: Prvi korak trebao bi biti korištenje formule redukcije i pažljivo izvršite radnje slične prethodnom primjeru.

Primjer 19

Nađi neodređeni integral

Pa, ovo je vrlo jednostavan primjer.

Potpuna rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Mislim da sada nitko neće imati problema s integralima:
i tako dalje.

Koja je ideja metode? Ideja je koristiti transformacije i trigonometrijske formule za organiziranje samo tangenti i derivacije tangensa u integrand. Odnosno, govorimo o zamjeni: . U primjerima 17-19 zapravo smo koristili ovu zamjenu, ali integrali su bili toliko jednostavni da smo prošli s ekvivalentnom radnjom - podvođenjem funkcije pod diferencijalni predznak.

Slično razmišljanje, kao što sam već spomenuo, može se izvesti za kotangens.

Postoji i formalni preduvjet za primjenu gore navedene zamjene:

Zbroj potencija kosinusa i sinusa je negativan cijeli PARNI broj, Na primjer:

za integral – negativan cijeli PARNI broj.

! Bilješka : ako integrand sadrži SAMO sinus ili SAMO kosinus, onda se i integral uzima za negativan neparni stupanj (najjednostavniji slučajevi su u primjerima br. 17, 18).

Pogledajmo nekoliko smislenijih zadataka temeljenih na ovom pravilu:

Primjer 20

Nađi neodređeni integral

Zbroj potencija sinusa i kosinusa: 2 – 6 = –4 je negativan cijeli PARNI broj, što znači da se integral može svesti na tangente i njegovu derivaciju:

(1) Transformirajmo nazivnik.
(2) Korištenjem poznate formule dobivamo .
(3) Transformirajmo nazivnik.
(4) Koristimo formulu .
(5) Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala.
(6) Vršimo zamjenu. Iskusniji učenici možda neće izvršiti zamjenu, ali ipak je bolje zamijeniti tangentu jednim slovom - manji je rizik od zabune.

Primjer 21

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

Držite se, prvenstvene runde uskoro počinju =)

Često integrand sadrži "mešanicu":

Primjer 22

Nađi neodređeni integral

Ovaj integral u početku sadrži tangentu, što odmah dovodi do već poznate misli:

Umjetnu transformaciju ostavit ću na samom početku i preostale korake bez komentara, jer je sve već raspravljeno gore.

Nekoliko kreativnih primjera za vlastito rješenje:

Primjer 23

Nađi neodređeni integral

Primjer 24

Nađi neodređeni integral

Da, u njima, naravno, možete smanjiti ovlasti sinusa i kosinusa i koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu, ali rješenje će biti puno učinkovitije i kraće ako se provodi kroz tangente. Potpuno rješenje i odgovori na kraju lekcije

Svođenje na tablični oblik ili metoda izravne integracije. Identičnim transformacijama integranda integral se svodi na integral na koji su primjenjiva osnovna pravila integracije i moguće je koristiti tablicu osnovnih integrala.

Primjer

Vježbajte. Pronađite integral $\int 2^(3 x-1) d x$

Riješenje. Iskoristimo svojstva integrala i svedimo ovaj integral na tablični oblik.

$\int 2^(3 x-1) d x=\int 2^(3 x) \cdot 2^(-1) d x=\frac(1)(2) \int\left(2^(3)\ desno)^(x) d x=$

$=\frac(1)(2) \int 8^(x) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

Odgovor.$\int 2^(3 x-1) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

poveznica →

2. Upisivanje pod znak razlike

3. Integracija promjenom varijable

Integracija promjenom varijable ili metodom supstitucije. Neka je $x=\phi(t)$, gdje funkcija $\phi(t)$ ima kontinuiranu derivaciju $\phi^(\prime)(t)$, a postoji korespondencija jedan na jedan između varijable $x$ i $t$ . Tada je jednakost istinita

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^(\prime)(t) \cdot d t$

Određeni integral ovisi o varijabli integracije, pa ako se napravi promjena varijabli, tada se morate vratiti na izvornu varijablu integracije.

Primjer

Vježbajte. Pronađite integral $\int \frac(d x)(3-5 x)$

Riješenje. Zamijenimo nazivnik varijablom $t$ i svedimo izvorni integral na tablični.

$=-\frac(1)(5) \ln |t|+C=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Odgovor.$\int \frac(d x)(3-5 x)=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Više o ovoj metodi rješavanja integrala pročitajte na poveznici →

4. Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima naziva se integracija prema formuli

$\int u d v=u v-\int v d u$

Kada nalazite funkciju $v$ iz njenog diferencijala $d v$, možete uzeti bilo koju vrijednost integracijske konstante $C$, jer ona nije uključena u konačni rezultat. Stoga ćemo, radi praktičnosti, uzeti $C=0$ .

Korištenje formule integracije po dijelovima preporučljivo je u slučajevima kada diferencijacija pojednostavljuje jedan od faktora, dok integracija ne komplicira drugi.

Primjer

Vježbajte. Pronađite integral $\int x \cos x d x$

Riješenje. U izvornom integralu izoliramo funkcije $u$ i $v$, zatim provodimo integraciju po dijelovima.

$=x \sin x+\cos x+C$

Odgovor.$\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Antiderivacija F(x) funkcije f(x) je funkcija čija je derivacija jednaka f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Gdje Δ - interval u kojem je ova jednadžba zadovoljena.

Skup svih antiderivacija naziva se neodređeni integral:
,
gdje je C konstanta neovisna o varijabli x.

Osnovne formule i metode integracije

Tablica integrala

Konačni cilj izračunavanja neodređenih integrala je transformacijama svesti dani integral na izraz koji sadrži najjednostavnije ili tablične integrale.
Pogledajte tablicu integrala >>>

Pravilo za integriranje zbroja (razlike)

Pomicanje konstante izvan predznaka integrala

Neka je c konstanta neovisna o x. Tada se može izvaditi iz predznaka integrala:

Zamjena varijable

Neka je x funkcija varijable t, x = φ(t), tada
.
Ili obrnuto, t = φ(x) ,
.

Koristeći promjenu varijable, ne samo da možete izračunati jednostavne integrale, već i pojednostaviti izračun složenijih.

Pravilo integracije po dijelovima

Integracija razlomaka (racionalne funkcije)

Uvedimo notaciju. Neka P k (x), Q m (x), R n (x) označavaju polinome stupnjeva k, m, n, redom, s obzirom na varijablu x.

Razmotrimo integral koji se sastoji od razlomka polinoma (tzv. racionalna funkcija):

Ako je k ≥ n, tada prvo trebate odabrati cijeli dio razlomka:
.
Integral polinoma S k-n (x) izračunava se pomoću tablice integrala.

Integral ostaje:
, gdje je m< n .
Da bi se izračunao, integrand se mora rastaviti na jednostavne razlomke.

Da biste to učinili, morate pronaći korijene jednadžbe:
Q n (x) = 0 .
Koristeći dobivene korijene, trebate predstaviti nazivnik kao proizvod faktora:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Ovdje je s koeficijent za x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Nakon toga rastavite razlomak u njegov najjednostavniji oblik:

Integriranjem dobivamo izraz koji se sastoji od jednostavnijih integrala.
Integrali oblika

svode se na tabelarnu supstituciju t = x - a.

Razmotrimo integral:

Transformirajmo brojnik:
.
Zamjenom u integrand dobivamo izraz koji uključuje dva integrala:
,
.
Prvi se supstitucijom t = x 2 + ex + f svodi na tablični.
Drugo, prema formuli redukcije:

svodi se na integral

Svedimo njegov nazivnik na zbroj kvadrata:
.
Zatim supstitucijom, integral

je također tabelarno prikazan.

Integracija iracionalnih funkcija

Uvedimo notaciju. Neka R(u 1, u 2, ..., u n) znači racionalnu funkciju varijabli u 1, u 2, ..., u n. To je
,
gdje su P, Q polinomi u varijablama u 1, u 2, ..., u n.

Frakcijska linearna iracionalnost

Razmotrimo integrale oblika:
,
gdje su racionalni brojevi, m 1, n 1, ..., m s, n s su cijeli brojevi.
Neka je n zajednički nazivnik brojeva r 1, ..., r s.
Tada se integral supstitucijom reducira na integral racionalnih funkcija:
.

Integrali iz diferencijalnih binoma

Razmotrimo integral:
,
gdje su m, n, p racionalni brojevi, a, b realni brojevi.
Takvi se integrali svode na integrale racionalnih funkcija u tri slučaja.

1) Ako je p cijeli broj. Supstitucija x = t N, gdje je N zajednički nazivnik razlomaka m i n.
2) Ako - cijeli broj. Zamjena a x n + b = t M, gdje je M nazivnik broja p.
3) Ako - cijeli broj. Zamjena a + b x - n = t M, gdje je M nazivnik broja p.

Ako niti jedan od tri broja nije cijeli broj, tada se, prema Čebiševljevom teoremu, integrali ovog tipa ne mogu izraziti konačnom kombinacijom elementarnih funkcija.

U nekim slučajevima, prvo je korisno reducirati integral na prikladnije vrijednosti m i p. To se može učiniti pomoću formula redukcije:
;
.

Integrali koji sadrže kvadratni korijen kvadratnog trinoma

Ovdje razmatramo integrale oblika:
,

Eulerove zamjene

Takvi se integrali mogu svesti na integrale racionalnih funkcija jedne od tri Eulerove supstitucije:
, za a > 0;
, za c > 0 ;
, gdje je x 1 korijen jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Ako ova jednadžba ima realne korijene.

Trigonometrijske i hiperboličke supstitucije

Izravne metode

U većini slučajeva Eulerove supstitucije rezultiraju dužim izračunima od izravnih metoda. Koristeći izravne metode, integral se svodi na jedan od dolje navedenih oblika.

Tip I

Integral oblika:
,
gdje je P n (x) polinom stupnja n.

Takvi se integrali nalaze metodom neodređenih koeficijenata pomoću identiteta:

Diferenciranjem ove jednadžbe i izjednačavanjem lijeve i desne strane nalazimo koeficijente A i.

Vrsta II

Integral oblika:
,
gdje je P m (x) polinom m stupnja.

Zamjena t = (x - α) -1 ovaj integral se svodi na prethodni tip. Ako je m ≥ n, tada razlomak treba imati cjelobrojni dio.

III vrsta

Treći i najsloženiji tip:
.

Ovdje morate izvršiti zamjenu:
.
Nakon čega će integral poprimiti oblik:
.
Zatim, konstante α, β moraju biti odabrane tako da koeficijenti za t postanu nula:
B = 0, B 1 = 0.
Tada se integral rastavlja u zbir integrala dva tipa:
;
,
koji su integrirani, redom, supstitucijama:
z2 = A1t2 + C1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Opći slučaj

Integracija transcendentalnih (trigonometrijskih i eksponencijalnih) funkcija

Napomenimo unaprijed da su metode koje su primjenjive za trigonometrijske funkcije primjenjive i za hiperboličke funkcije. Iz tog razloga nećemo zasebno razmatrati integraciju hiperboličkih funkcija.

Integracija racionalnih trigonometrijskih funkcija cos x i sin x

Razmotrimo integrale trigonometrijskih funkcija oblika:
,
gdje je R racionalna funkcija. Ovo također može uključivati ​​tangente i kotangense, koje treba pretvoriti pomoću sinusa i kosinusa.

Kada integrirate takve funkcije, korisno je imati na umu tri pravila:
1) ako je R( cos x, sin x) pomnoženo s -1 od promjene predznaka ispred jedne od veličina cos x ili grijeh x, onda je korisno drugu od njih označiti s t.
2) ako je R( cos x, sin x) ne mijenja zbog promjene predznaka u isto vrijeme prije cos x I grijeh x, onda je korisno staviti tg x = t ili krevetić x = t.
3) supstitucija u svim slučajevima dovodi do integrala racionalnog razlomka. Nažalost, ova zamjena rezultira dužim izračunima od prethodnih, ako je primjenjivo.

Umnožak funkcija potencije cos x i sin x

Razmotrimo integrale oblika:

Ako su m i n racionalni brojevi, tada je jedna od zamjena t = grijeh x ili t = cos x integral se svodi na integral diferencijalnog binoma.

Ako su m i n cijeli brojevi, tada se integrali računaju integracijom po dijelovima. Ovo proizvodi sljedeće formule redukcije:

;
;
;
.

Integracija po dijelovima

Primjena Eulerove formule

Ako je integrand linearan u odnosu na jednu od funkcija
cos sjekira ili sinaks, tada je zgodno primijeniti Eulerovu formulu:
e iax = cos sjekira + isin sjekira(gdje je i 2 = - 1 ),
zamjenjujući ovu funkciju sa e iax i isticanje pravog (prilikom zamjene cos sjekira) ili zamišljenog dijela (prilikom zamjene sinaks) iz dobivenog rezultata.

Reference:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.