جدول 10.9 عمود بر خط و راه حل صفحه. خط و صفحه عمود، علامت و شرایط عمود بودن یک خط و صفحه

6.1 تعیین عمود بر خط و صفحه

ایده خطوط مستقیم، یا بهتر بگوییم، قطعات عمود بر صفحه، توسط قطب های عمودی ایستاده (آنها عمود بر سطح زمین هستند)، طناب کشیده ای که لامپ روی آن آویزان است (عمود بر سطح زمین است) ارائه می شود. سقف)، پایه های میز (آنها عمود بر زمین هستند). پایه عمودی در عمود بر کف است و لبه پایینی در، مجاور کف، در تمام موقعیت های در عمود بر درب است (شکل 73، الف). این خاصیت عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه را تعیین می کند.

تعریف. یک خط مستقیم را عمود بر صفحه می گویند اگر این صفحه را قطع کند و بر هر خط مستقیمی در این صفحه که از نقطه تقاطع می گذرد عمود باشد (شکل 73، ب).

برنج. 73

آنها همچنین می گویند که صفحه عمود بر خط است، یا اینکه آنها متقابلا عمود هستند. برای خطوط عمود بر یکدیگر a و صفحه a، از نامگذاری a ⊥ α یا α ⊥ a استفاده می شود.

یک پاره خط یا پرتو عمود بر یک صفحه است اگر روی خطی عمود بر آن صفحه قرار گیرد. اگر پاره ای عمود بر صفحه باشد و انتهای آن در این صفحه باشد، آن را عمود بر صفحه داده شده می گویند.

6.2 عمود و مایل

قطعه ای که دارای یک نقطه مشترک با یک صفحه است - انتهای قطعه، اما عمود بر صفحه داده شده نیست، مایل به صفحه نامیده می شود.

بگذارید یک AB عمود بر و یک AC مایل از یک نقطه A ترسیم شود، نه در صفحه a (شکل 74). قطعه BC را برجستگی AC مایل بر روی صفحه α می نامند.

برنج. 74

عمود AB کوتاهتر از AC مایل است، یعنی AB< АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

این را می‌توان به این صورت نیز گفت: عمود AB از نقطه A به صفحه α کوتاه‌ترین قسمتی است که نقطه A را به نقاط صفحه α متصل می‌کند.

خاصیت یک عمود بر کوتاهترین پاره یک ویژگی مشخصه است. این بدان معنی است که گزاره معکوس نیز صادق است: اگر AB کوتاهترین قطعه از نقطه A به صفحه α باشد، AB عمود بر صفحه α است.

اثبات بگذارید این را با تناقض ثابت کنیم. فرض کنید AB عمود بر α نباشد. سپس یک خط مستقیم a از نقطه B در صفحه α می گذرد، نه عمود بر AB (شکل 75). اجازه دهید عمود AM را از A به خط a رها کنیم. در یک مثلث قائم الزاویه AVM، ساق AM کمتر از هیپوتانوز AB: AM است< АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

برنج. 75

طول عمود، از بالاترین نقطه جسم تا قاعده آن پایین آمده، ارتفاع جسم را اندازه می گیرد. بنابراین، ارتفاع هرم طول عمودی است که از بالای هرم به صفحه قاعده آن پایین می آید، و همچنین عمود بر خود (در شکل 76، a، b قطعه RO است).

برنج. 76

6.3 درباره معنای عمود

عمود بر صفحه نقش بسیار مهمی دارد و علاوه بر این که از یک نقطه معین تا نقاط صفحه کوتاه ترین است. بیایید معنای آن را توضیح دهیم. موقعیت یک صفحه در فضا را می توان با تعیین یک خط مستقیم عمود بر آن و نقطه ای که در آن این خط مستقیم را قطع می کند مشخص کرد.

مهمترین ویژگی عمود این است که صفحه به صورت متقارن نسبت به آن قرار دارد. چه مفهومی داره؟ همه پرتوهایی که در یک صفحه معین قرار دارند زوایای مساوی با آن تشکیل می دهند - زوایای راست، اما برای یک مایل اینطور نیست (شکل 77، a). هنگام چرخش حول یک عمود، هواپیما با خودش هم تراز می شود: چرخ باید به گونه ای روی محور نصب شود که صفحه آن عمود بر محور باشد. یک مستطیل با ضلع عمود بر یک صفحه را می توان در اطراف آن ضلع چرخاند و ضلع دیگر در امتداد صفحه بلغزد. این به وضوح در درب آویزان مناسب قابل مشاهده است. اگر لبه آن عمودی نباشد، در آزادانه باز نمی شود و کف را لمس می کند.

برنج. 77

با مثال‌هایی از فیزیک، می‌توان به این نکته اشاره کرد که فشار یک مایع یا گاز روی دیواره یک ظرف عمود بر دیواره است، همانطور که فشار یک بار روی یک تکیه‌گاه عمود بر آن است (شکل 77، ب و 78، الف).

برنج. 78

عمود بر سطح در قوانین بازتاب و شکست نور ظاهر می شود. پس قانون انعکاس می گوید: «پرتو فرودی و پرتو بازتاب شده در یک صفحه با عمود بر سطح آینه در نقطه تابش قرار دارند و با آن زوایای مساوی تشکیل می دهند». "زاویه تابش" و "زاویه انعکاس" زوایای بین عمود نشان داده شده و پرتو فرودی و پرتو منعکس شده هستند (شکل 78، ب).

اما معنای اصلی عمود نقش آن در تکنولوژی و در تمام زندگی ما است.

ما را به اصطلاح با عمود احاطه کرده ایم: پایه های یک میز عمود بر کف، لبه کابینت عمود بر دیوار و غیره است.

عمود بر صفحه افقی عمود است. عمودی با یک خط شاقول بررسی می شود (عکس را ببینید). عمود بودن نقش عمده ای در ساخت و ساز دارد: طبقات بین طبقه عمود بر ستون های قاب ساختمان گذاشته می شوند.

همانطور که بعدا خواهیم دید، موازی بودن صفحات با وجود عمودهای مشترک همراه است. عمود بودن و موازی خطوط مستقیم و صفحات یک عنصر ضروری در ساخت است، بنابراین آموزه عمودها و موازی ها را می توان مبانی «هندسه ساختمان» نامید.

سوالاتی برای خودکنترلی

1. تفاوت بین عمود بر صفحه و مورب به صفحه چیست؟
2. تعریف عمود بر صفحه چیست؟
3. منظور از عمود بر صفحه چیست؟

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است گستره کامل ارائه را نشان ندهد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

کلاس: 10.

آموزش پایه:هندسه 10-11: سطوح پایه و نیمرخ / L.S. آتاناسیان و دیگران - M .: آموزش و پرورش، 2009.

این درس همراه با ارائه است، یک آزمون ساخته شده در مایکروسافت اکسل برای آزمایش کامپیوتری دانش دانش آموزان ( پیوست 1، یک ماژول آموزشی از مرکز فدرال اطلاعات و منابع آموزشی ( ضمیمه 2)، متشکل از 5 کار با سطوح دشواری مختلف. تمام وظایف این ماژول پارامتری هستند که به شما امکان می دهد وظایف جداگانه ایجاد کنید. وظایف به منظور توسعه مهارت های حل مسائل با استفاده از علامت عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه طراحی شده است. برای کار با ماژول آموزشی، باید برنامه خاصی را نصب کنید که در آن قرار دارد پیوست 3. در ارائه برای درس یک کار مستقل در مورد موضوع مورد مطالعه وجود دارد. بنابراین، مقدار مواد پیشنهادی اضافی است، که به آن اجازه می دهد تا دوز شود، بسته به سطح آمادگی کلاس متفاوت است.

نوع درس:درسی در کاربرد خلاقانه دانش

فرم رفتار:کارگاهی برای حل مسائل کلیدی

وقت صرف کردن: 45 دقیقه.

محل درس در بخش: 4 درس.

اهداف:

آموزش ها:

• "باز کردن" مفاهیم عمود و مایل به هواپیما.
• ایجاد مهارت:
  مشاهده تنظیماتی که شرایط مشخص شده را برآورده می کنند.
  برای اثبات، تعریف خط مستقیم عمود بر یک صفحه، علامت عمود بودن یک خط مستقیم و صفحه را به مسائل برای اثبات اعمال کنید.
• مهارت در حل مسائل اساسی بر روی عمودهای یک خط مستقیم و یک صفحه را توسعه دهید.

در حال توسعه:

• توسعه تخیل فضایی، تفکر منطقی؛
• توسعه استقلال دانش آموزان و نگرش خلاقانه نسبت به اجرای وظایف؛
• سازماندهی درک نتایج مطالعه موضوع و راه های دستیابی به آنها.

آموزشی:

• مطرح کردن:
  اراده و پشتکار برای دستیابی به نتایج نهایی در حل مشکلات؛
  فرهنگ اطلاعات و فرهنگ ارتباطات

مواد و روش ها:تا حدی اکتشافی، پژوهشی

اشکال سازماندهی فعالیت:کار جبهه ای، گروهی، فردی، مستقل.

تجهیزات:کلاس کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، صفحه نمایش، ارائه کامپیوتر در مورد موضوع، آزمون (پیوست 1)، کارت های کار فردی (اسلاید 9)، کارت هایی با سوالات تئوری، EER با یک کار پارامتری عملی (پیوست 2).

در طول کلاس ها

لحظه سازمانی - بررسی آمادگی کلاس برای درس.

I. بخش انگیزشی و جهت دهی.

1. به فعلیت رساندن دانش.

- امروز ما به کار روی موضوع "عمود خط و صفحه" ادامه می دهیم. در درس های گذشته، تعریف خط مستقیم عمود بر صفحه، نشانه عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه را "کشف" کردیم و ساده ترین کارها را تجزیه و تحلیل کردیم. به عنوان تکلیف، هر یک از شما یک برگه با سوالات تئوری دریافت کردید، از شما خواسته شد که پاسخ این سوالات را آماده کنید.

بیایید بررسی کنیم که چگونه با این کار کنار آمدید.

نظرسنجی حضوری وجود دارد. (اسلایدهای 6-8).

نتایج کار شفاهی خلاصه می شود، پاسخ های دانش آموزان ارزیابی می شود.

2. بیانیه تکلیف یادگیری.

امروز ما به شکل گیری توانایی به کارگیری عبارات شناخته شده در مسائل اثبات و در حل مسائل معمولی ادامه خواهیم داد.

1. مرحله بعدی کار - دو دانش آموز برای کار انفرادی روی کارت ها به هیئت فراخوانده می شوند، کار جلویی با بقیه دانش آموزان مطابق نقاشی های تمام شده انجام می شود. کارت برای کارهای فردی:

وظایف کار شفاهی روی نقاشی های تمام شده:

- بچه ها، در وظایف 4-6 ما در مورد تمایل به هواپیما صحبت می کنیم. به نظر شما منظور چیست؟

آیا در اینجا قیاسی با مفاهیم عمود بر یک خط مستقیم وجود دارد که در پلان سنجی مطالعه شده است؟

از دانشجویان دعوت می شود تا اسلاید 10 ارائه را مطالعه کرده و این مشکلات را حل کنند.

2. کار به صورت جفت - وظایف با توجه به نقشه های آماده حل می شود.

راه حل ها در حال بحث است. پاسخ های فردی دانش آموزان ارزیابی می شود.

مرحله بعدی درس اجرای یک کار عملی در رایانه، کار با ESM است.

III. بخش بازتابی-ارزیابی.

1. نتیجه کاردر درس یک تست به شکل تست است.

نتایج درس خلاصه می شود، امتیاز داده می شود.

2. تکالیف:شماره 130، 131، 145، 148. (نشان: از علامت عمود بودن خط و صفحه استفاده کنید).

در این درس، تئوری را تکرار می کنیم و به حل مسائل معمولی بر روی عمود بر خط و صفحه ادامه می دهیم.
ابتدا قضیه-خصلت عمود بودن یک خط و یک صفحه را تکرار می کنیم. و سپس با استفاده از این ویژگی مشکلات را حل خواهیم کرد.

موضوع: عمود بودن خطوط و صفحات

درس: تکرار تئوری و حل مسائل معمولی در

عمود بودن یک خط و یک صفحه (ادامه)

در این درس تئوری را که به آن پرداختیم تکرار کرده و ادامه می دهیم حل مسائل معمولی در مورد عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه.

اگر یک خط عمود بر دو خط متقاطع واقع در یک صفحه باشد، آنگاه بر آن صفحه عمود است.

اجازه دهید یک صفحه α به ما داده شود. در این صفحه دو خط مستقیم وجود دارد. پو q،تقاطع در یک نقطه O(عکس. 1). سر راست آعمود بر خط پو مستقیم q. با توجه به علامت، مستقیم آعمود بر صفحه α است، یعنی عمود بر هر خطی که در این صفحه قرار دارد.

3. وب سایت معلم ریاضی ()

1. علامت عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه را فرموله کنید.

2. دایره ای در مرکز یک نقطه داده می شود O. سر راست MOعمود بر صفحه دایره ثابت کنید که خط MOعمود بر هر شعاع دایره

3. در یک مثلث ABCارتفاع نگه داشته CH. سر راست MAعمود بر صفحه ABC. آیا خط عمود است؟ CHسطح AMV?

4. مستقیم MAعمود بر صفحه مربع ABCD. طول قطعات را پیدا کنید ام‌اس،MB, MDاگر ضلع مربع باشد الف، AM = ب.

در این مقاله در مورد عمود بودن یک خط و یک صفحه صحبت خواهیم کرد. ابتدا تعریفی از یک خط مستقیم عمود بر یک صفحه داده می شود، یک تصویر گرافیکی و یک مثال ارائه می شود و تعیین یک خط عمود بر یک صفحه نشان داده می شود. پس از آن، نشانه ای از عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه فرموله می شود. علاوه بر این، شرایطی به دست می‌آید که اثبات عمود بودن یک خط و یک صفحه را ممکن می‌سازد، زمانی که خط و صفحه توسط برخی معادلات در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه‌بعدی داده می‌شوند. در نتیجه، راه‌حل‌های دقیق مثال‌ها و مشکلات نشان داده شده است.

پیمایش صفحه.

خط و صفحه عمود بر - اطلاعات اولیه.

توصیه می کنیم ابتدا تعریف خطوط عمود بر هم را تکرار کنید، زیرا تعریف خط عمود بر صفحه از طریق عمود بودن خطوط داده می شود.

تعریف.

آنها گفتند که خط مستقیم عمود بر صفحه، اگر بر هر خطی که در این صفحه قرار دارد عمود باشد.

همچنین می توان گفت که صفحه عمود بر خط است یا خط و صفحه عمود هستند.

برای نشان دادن عمود، از نماد فرم "" استفاده کنید. یعنی اگر خط c عمود بر صفحه باشد، می توانیم به طور خلاصه بنویسیم.

به عنوان مثالی از یک خط مستقیم عمود بر یک صفحه، می توان خط مستقیمی را ذکر کرد که در امتداد آن دو دیوار مجاور یک اتاق همدیگر را قطع می کنند. این خط عمود بر صفحه و سطح سقف است. طناب در سالن بدنسازی همچنین می تواند به عنوان یک خط مستقیم عمود بر سطح کف مشاهده شود.

در خاتمه این بند از مقاله یادآور می شویم که اگر خط بر صفحه عمود باشد، زاویه بین خط و صفحه نود درجه در نظر گرفته می شود.

عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه - علامت و شرایط عمود بودن.

در عمل، اغلب این سوال مطرح می شود: "آیا خط و صفحه داده شده عمود هستند؟" برای پاسخ به آن، وجود دارد شرایط کافی برای عمود بودن یک خط و یک صفحه، یعنی چنین شرطی که تحقق آن عمود بودن خط و صفحه را تضمین می کند. این شرط کافی را علامت عمود بودن یک خط و یک صفحه می نامند. ما آن را در قالب یک قضیه تنظیم می کنیم.

قضیه.

برای اینکه یک خط معین بر یک صفحه عمود باشد، کافی است که آن خط بر دو خط متقاطع واقع در این صفحه عمود باشد.

اثبات علامت عمود بودن خط راست و صفحه را می توانید در کتاب هندسه پایه 10-11 مشاهده کنید.

هنگام حل مسائل مربوط به ایجاد عمود بر یک خط و یک صفحه، از قضیه زیر نیز اغلب استفاده می شود.

قضیه.

اگر یکی از دو خط موازی عمود بر صفحه باشد، خط دیگر نیز عمود بر صفحه است.

در مدرسه مسائل زیادی در نظر گرفته می شود که برای حل آنها از علامت عمود بودن خط مستقیم و صفحه و همچنین آخرین قضیه استفاده می شود. در اینجا به آنها نمی پردازیم. در این بخش از مقاله، به اعمال شرط لازم و کافی زیر برای عمود بودن یک خط و یک صفحه می پردازیم.

این شرط را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد.

اجازه دهید بردار جهت دهنده خط مستقیم a است و بردار معمولی هواپیما است. برای عمود بودن خط a و صفحه کافی و لازم است که و : ، جایی که t مقداری واقعی است.

اثبات این شرط لازم و کافی برای عمود بودن خط و صفحه بر اساس تعاریف بردار جهت دهنده خط و بردار عادی صفحه است.

بدیهی است که زمانی که مختصات بردار هدایت کننده خط و مختصات بردار معمولی صفحه در یک فضای ثابت در سه بعدی به راحتی یافت می شود، از این شرط برای اثبات عمود بودن یک خط و یک صفحه راحت است. . این برای مواردی صادق است که مختصات نقاطی که صفحه و خط مستقیم از آنها می گذرد، و همچنین برای مواردی که خط مستقیم توسط برخی معادلات خط مستقیم در فضا تعیین می شود و صفحه با استفاده از یک نوع معادله یک هواپیما

بیایید به چند نمونه نگاهی بیندازیم.

مثال.

ثابت کنید که یک خط عمود است و هواپیماها

راه حل.

می دانیم که اعداد موجود در مخرج معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا مختصات متناظر بردار جهت دهنده این خط مستقیم هستند. به این ترتیب، - بردار جهت مستقیم .

ضرایب متغیرهای x، y و z در معادله کلی صفحه مختصات بردار نرمال آن صفحه هستند، یعنی: بردار معمولی هواپیما است.

اجازه دهید تحقق شرط لازم و کافی برای عمود بودن یک خط و یک صفحه را بررسی کنیم.

زیرا ، سپس بردارها و با رابطه مرتبط هستند یعنی هم خط هستند. بنابراین، یک خط مستقیم عمود بر صفحه

مثال.

آیا خطوط عمود بر هم هستند؟ و هواپیما

راه حل.

اجازه دهید بردار جهت خط داده شده و بردار نرمال صفحه را پیدا کنیم تا تحقق شرط لازم و کافی برای عمود بودن خط و صفحه را بررسی کنیم.

بردار جهت مستقیم است

علائم عمود بودن:

خط عمود بر صفحه است اگر ________________________________________

خطوط مستقیم عمود هستند اگر _________________________________________________

صفحات عمود بر هم هستند اگر ________________________________________________

_______________________________________________________________________________.

وظیفه 1. یک توپ در مرکز نقطه A، مماس بر صفحه معین بسازید.

الگوریتم:

وظیفه 2. یک نقطه در فاصله 20 میلی متری از هواپیما بسازید.

الگوریتم:

وظیفه 3. فاصله یک نقطه تا یک خط را تعیین کنید.

الگوریتم:

وظیفه 4: پرتاب از دست رفته مثلث اگر زاویه را کامل کنید ATسر راست.

الگوریتم:

وظیفه 5 : مربعی با ضلع BC روی یک خط مستقیم بسازید ل.

الگوریتم:

وظیفه 6 : اگر مثلث بر صفحه داده شده عمود باشد، طرح ریزی را کامل کنید.

الگوریتم:

پرسش هایی برای خودکنترلی دانش

در چه حالتی یک زاویه قائمه بدون اعوجاج بر روی صفحه برون‌تابی قرار می‌گیرد؟

خط بیشترین شیب چیست؟

خط بیشترین شیب در یک هواپیما چیست؟

چگونه می توان زاویه شیب هواپیما را نسبت به صفحه افقی، جلویی، پروفیل برآمدگی ها تعیین کرد؟

علامت عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه از دیدگاه هندسه ابتدایی چگونه فرموله می شود؟

اگر خطی عمود بر صفحه شناخته شود، چند خط می توان در صفحه عمود بر آن رسم کرد؟

کدام دو خط متقاطع در صفحه را باید از مجموعه خطوط انتخاب کرد تا زاویه مناسبی که بین آنها و خط داده شده قرار دارد بدون اعوجاج بر روی صفحات برآمده قرار گیرد؟

بر این اساس، یک علامت عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه را از نظر هندسه توصیفی فرموله کنید.

چگونه می توان یک عمود بر صفحه در موقعیت کلی در CC ساخت؟

چگونه می توان یک خط مستقیم عمود بر صفحه بیرون زده در CC ساخت؟

در صورتی که هیچ یک از آنها موازی با این صفحه برآمده نباشد، چگونه یک زاویه قائمه بر روی صفحه پیش بینی بین خطوط متقاطع پیش بینی می شود؟

یک علامت عمود بودن خطوط مستقیم را در موقعیت کلی فرموله کنید.

یک علامت عمود بودن صفحات را فرموله کنید.

مبحث 11: روش جایگزینی صفحات طرح ریزی

چهار وظیفه اصلی هندسه توصیفی:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

در CC بدون تغییر می ماند _________________________________________________________________

________________________________________________________________________________