بگذارید X یک فضای Banach و A یک فضای محدود باشد عملگر خطیتعریف شده در X، با محدوده ای در فضای Banach Y. x OH و f OY* را بگذارید. سپس مقدار f(Ax) تعیین می شود و نابرابری های | f(Ax)| £ ||f ||?||تبر|| £ ||f ||?||A||?||x||.

این نابرابری ها نشان می دهد که تابع خطی j(x) که با j(x) = f(Ax) تعریف می شود، یک تابع محدود است. بنابراین، با کمک عملگر A، هر تابع محدود خطی f ОY با یک تابع خطی پیوسته j ОХ* همراه است. با تغییر عنصر f به طور کلی به دست خواهیم آورد عناصر مختلف j; بنابراین ما اپراتور را دریافت می کنیم

در Y*، با محدوده ای در فضای X* تعریف شده است. این عملگر A* با تساوی (A*f)(x) = f(Ax) با عملگر A مرتبط است. اگر نماد معرفی شده در بند 2 را برای تابع خطی f(x) = (x, f) اعمال کنیم، آنگاه ارتباط بین عملگرها متقارن به نظر می رسد:

(Ax, f)=(x, A*f). (1)

عملگر A* به طور یکتا با فرمول (1) تعیین می شود و عملگر مزدوج با عملگر A نامیده می شود.

در واقع، اگر برای همه x و y برابری ها برقرار باشد

(Ax، y) = (x، A*y) = (x، A 1 *y)،

سپس، با نتیجه 4 از قضیه هان-باناخ، نتیجه می شود که A 1 *y= A*y برای همه y، به این معنی که A*=A 1 *.

قضیه 11. عملگر الحاقی A* خطی است و .

اثبات اجازه دهید افزودنی بودن عملگر A* را ثابت کنیم. در واقع، اگر y، z ОY*، پس از استدلال فوق چنین استنباط می شود که یک عنصر منحصر به فرد (y + z)* ОX وجود دارد، به طوری که (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) برای همه x ОX.

از طرفی با استفاده از فرمول (1) داریم

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x , (y+z)*),

آن ها (y+z)* = A*x + A*y، از آنجا A*(y+z)=A*y+A*z. این امر افزودنی بودن عملگر A* را ثابت می کند. بررسی یکنواختی نیز آسان است.

برای محاسبه هنجار عملگر A*، تخمین ها را انجام می دهیم

نتیجه این است که عملگر A* محدود است و .

عملگر A* به نوبه خود دارای یک الحاقیه – A** است که با تساوی مشابه (1) تعریف می شود.

(A*y، x) = (y، A**x) (2).

اما از آنجایی که از (2) A**x به طور منحصر به فرد برای هر xОХ تعیین می شود، پس از مقایسه برابری های (1) و (2) نتیجه می شود که

(Ax, y) = (A**x, y) "хОХ, "yОY.

با نتیجه 4 از قضیه هان-باناخ، دومی به این معنی است که A**x=Ax برای تمام xÎX، یعنی. A**= A در فضای X. با اعمال نابرابری ثابت شده برای هنجار عملگر الحاقی به A* و A**، داریم ، که برابری لازم را می دهد: . قضیه ثابت شده است.

قضیه. 12. اگر A و B عملگرهای محدود خطی از فضای Banach X به فضای Banach Y باشند، آنگاه

1. (A+B)*=A*+B*

2. (λA)*= λA*

3. در فرض X = Y، برابری (AB)*=B*A* درست است.

اثبات ویژگی های فوق از روابط زیر ناشی می شوند:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B* )y)؛

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x، y) = (A(Bx)، y) = (Bx، A*y) = (x، B*(A*y)) = (x، (B*A*)y ).

قضیه ثابت شده است.

مثال 8. در فضای L 2 عملگر انتگرال فردهولم را در نظر بگیرید

با یک هسته دارای یک مربع یکپارچه. ما با استفاده از قضیه فوبینی داریم،

، جایی که

.

بنابراین، انتقال به عملگر مزدوج شامل این واقعیت است که ادغام بر روی متغیر اول انجام می شود. در حالی که در اپراتور اصلی مطابق دوم انجام می شود.

اطلاعات بیشتر در مورد موضوع 6. عملگر مزدوج. شرایط وجود عملگر مزدوج. بسته بودن اپراتور الحاقی عملگر مزدوج با عملگر محدود و هنجار آن:

1. 2. قضیه شودر در مورد تداوم کامل عملگر الحاقی. معادلات نوع اول و دوم با عملگرهای کاملا پیوسته. قضیه بسته بودن دامنه مقادیر یک اپراتور
2. 1. عملگرهای خطی در فضاهای هنجار خطی. هم ارزی پیوستگی و مرزبندی یک عملگر خطی. مفهوم هنجار یک اپراتور محدود. فرمول های مختلف برای محاسبه هنجارها. نمونه هایی از عملگرهای محدود خطی
3. 4. هسته اپراتور. معیار کرانه بودن عملگر معکوس. قضایای عملگر معکوس
4. 2. فضای عملگرهای پیوسته خطی و کامل بودن آن با توجه به همگرایی یکنواخت عملگرها
5. 5. نمونه هایی از عملگرهای معکوس. وارونگی عملگرهای شکل (I - A) و (A - C).
6. 1. عملگرهای کاملاً پیوسته و خصوصیات آنها. اپراتورهای فردهولم و هیلبرت اشمیت
7. 6. گراف عملگر و عملگرهای بسته. معیار بسته بودن قضیه گراف بسته باناخ. قضیه نقشه برداری باز

اجازه دهید خواص اضافی عملگرهای خطی مرتبط با مفهوم متعامد در فضای اقلیدسی را مطالعه کنیم. ابتدا خاصیت زیر را ثابت می کنیم: if آ و ب - اپراتورهای خط فعال در nفضای اقلیدسی بعدی V، و ( ایکس , آی ) = (ایکس , توسط ), ایکس , y V، آن آ = ب .

در واقع، برابری ( ایکس , آی ) = (ایکس , توسط ) Û ( ایکس , (آ – ب )y ) = 0 بردار ایکس = (آ – ب )y ، ما گرفتیم (( آ –ب )y , (آ – ب )y ) = ||(آ – ب )y || 2 = 0, y Vکه معادل برابری است ( آ – ب )y = 0 , y V، یعنی آ – ب = O ، یا آ = ب .

تعریف 11.1.عملگر خطی آ * تماس گرفت مزدوجاپراتور آ ، اگر

(تبر , y ) = (ایکس , آ * y ), ایکس , y V. (11.1)

این سوال به طور طبیعی مطرح می شود: برای یک اپراتور معین، انجام می دهد آ مزدوج؟

قضیه 11.1.هر اپراتور خط آ دارای یک عملگر مزدوج واحد است آ * .

اثباتبیایید در فضا انتخاب کنیم V مبنای متعارف تو 1 , تو 2 ,…, تو n. هر اپراتور خط آ : V® Vبر این اساس ماتریس مطابقت دارد آ = , من, j = 1, 2,..., n. اجازه دهید ماتریس به دست آمده از ماتریس باشد آجابجایی با عملگر خطی مطابقت دارد ب . سپس

(طلا j, تو من) = (آ 1 jتو 1 + آ 2 jتو 2 +…+ یک njتو n, تو من) = و ij;

(تو j, بو من) = (تو j, و من 1 تو 1 + و من 2 تو 2 +…+ و درتو n) = و ij.

(طلا j, تو من) = (تو j, بو من), من, j = 1, 2,..., n. (11.2)

اجازه دهید بیشتر ایکس = ایکس 1 تو 1 + ایکس 2 تو 2 +…+ x nتو nو y = در 1 تو 1 + در 2 تو 2 +…+ y nتو n- هر دو بردار از V. محصولات اسکالر را در نظر بگیرید ( تبر , y ) و ( ایکس , توسط ):

(تبر , y ) = (طلا j, تو من),

(ایکس , توسط ) = (تو j, بو من).

با مقایسه این عبارات با در نظر گرفتن برابری (11.2) و ویژگی ذکر شده در بالا، برابری ( تبر , y ) = (ایکس , توسط ), ایکس , y V، یعنی ب = آ * .

بنابراین، ثابت شده است که برای هر عملگر خطی آ در یک فضای اقلیدسی با ابعاد محدود یک عملگر مزدوج با آن وجود دارد آ *، که ماتریس آن در هر مبنای متعارف با توجه به ماتریس عملگر منتقل می شود آ . منحصر به فرد بودن اپراتور آ * از تعریف عملگر مزدوج و ویژگی ثابت شده در بالا به دست می آید.¨

بررسی اینکه اپراتور آسان است آ * به عملگر خطی مزدوج شود آ ، خطی است.

بنابراین اپراتور آ * خطی است و دارای ماتریس متناظر است آ*. بنابراین، رابطه ماتریسی مربوط به فرمول (11.1) شکل دارد

(آایکس , y ) = (ایکس , آ * y ), ایکس , y V.

عملگرهای مزدوج دارند خواص زیر:

1 درجه E * = E .

2 درجه ( آ *) * = آ .

3 درجه. ( آ + ب ) * = آ * + ب * .

4 درجه ( آ ) * = آ * , آر.

5 درجه ( AB ) * = ب * آ * .

6 درجه ( آ –1) * = (آ *) –1 .

اعتبار خواص 1-5 درجه از خواص جابجایی ماتریس ناشی می شود.

اجازه دهید اعتبار ویژگی 6° را بررسی کنیم. اجازه دهید آ -1 وجود دارد. سپس از برابری ها A.A. –1 = آ –1 آ = E و خواص 1°, 5° به این صورت است که ( A.A. –1) * = (آ –1 آ ) * = E * = = E و ( A.A. –1) * = (آ –1) * آ * , (آ –1 آ ) * = آ * (آ -1) *، یعنی آن ( آ –1) * = (آ *) -1. از اینجا ما یکی دیگر از ویژگی های مهم جابجایی ماتریس را دریافت می کنیم:

(آ –1) * = (آ *) –1 .

مثال 1.اجازه دهید آ - چرخش صفحه اقلیدسی آر 2 در هر گوشه jبا ماتریس

به صورت متعارف من , j . سپس ماتریس عملگر الحاقی در این پایه است

= .

از این رو، آ * – چرخش هواپیما توسط یک زاویه jدر جهت مخالف.·

یک عنصر غیرصفر x G V عنصر ویژه عملگر خطی A نامیده می شود: V V اگر عدد A وجود داشته باشد - یک مقدار ویژه از عملگر خطی A به طوری که مثال 1. هر چند جمله ای درجه صفر یک عنصر ویژه عملگر تمایز است. مقدار ویژه مربوطه برابر با صفر است: مثال 2. عملگر تمایز مقادیر ویژهو عناصر خود. عملگر مزدوج. عناصر خاص خود را ندارد. بگذارید چند جمله‌ای مثلثاتی a cos t + 0 sin t بعد از تمایز متناسب شود: این به این معنی است که یا، که یکسان است، آخرین تساوی برآورده می‌شود اگر و فقط اگر نتیجه این شود که a = p = 0 و، این بدان معنی است که یک چند جمله‌ای فقط می تواند صفر باشد قضیه 6. یک عدد واقعی A مقدار ویژه ای از عملگر خطی A است اگر و فقط اگر این عدد ریشه چند جمله ای مشخصه آن باشد: x(A) = 0. ضرورت. فرض کنید A مقدار ویژه عملگر A باشد. سپس یک عنصر غیرصفر x وجود دارد که برای آن Ax = Ax است. بگذارید اساس فضا باشد. سپس آخرین تساوی را می توان به شکل ماتریس معادل بازنویسی کرد یا که یکسان است، و از آنجایی که x یک عنصر مناسب است، بنابراین ستون مختصات آن x(c) غیر صفر است. این بدان معنی است که سیستم خطی (1) یک راه حل غیر صفر دارد. دومی فقط در شرایطی ممکن است که یا همان کفایت باشد. راهی برای ساختن عنصر خود فرض کنید A ریشه چند جمله ای باشد یک سیستم خطی همگن با ماتریس A(c) - AI در نظر بگیرید: با توجه به شرط (2) این سیستم دارای جواب غیر صفر است. اجازه دهید یک عنصر x را طبق قاعده بسازیم: ستون مختصات x(c) این عنصر شرط یا را برآورده می کند، که آن نیز یکسان است. دومی معادل این واقعیت است که یا به طور دقیق تر، بنابراین، x است. یک عنصر ویژه از عملگر خطی A، و A مقدار ویژه مربوطه است. اظهار نظر. برای یافتن تمام عناصر ویژه متناظر با یک مقدار ویژه A، لازم است FSR سیستم (3) ساخته شود. مثال 1. بردارهای ویژه یک عملگر خطی را که طبق قانون عمل می کند (عملگر پروجکشن) پیدا کنید (شکل 6). M اجازه دهید اعمال عملگر خطی P را بر اساس بردارها در نظر بگیریم. اجازه دهید ماتریس عملگر را بنویسیم: مقادیر ویژه و عناصر ویژه. عملگر مزدوج. بیایید یک چند جمله ای مشخصه بسازیم و ریشه های آن را پیدا کنیم. ما اجازه دهید همگن بسازیم سیستم های خطیبا ماتریس ها: به ترتیب به دست می آوریم: اجازه دهید سیستم های اساسی راه حل را برای هر یک از این سیستم ها پیدا کنیم. ما 1 داریم بنابراین، بردارهای ویژه این عملگر طرح ریزی عبارتند از: بردار k با مقدار ویژه 0 و هر بردار با مقدار ویژه مثال 2. عناصر ویژه اپراتور تمایز خطی V را که در فضای Afj چندجمله ای درجه حداکثر دو عمل می کند، بیابید: ماتریس D عملگر داده شده در مبنای I, t, O دارای چند جمله ای مشخصه شکل است -A3 دقیقاً یک ریشه A = 0 دارد. راه حل سیستم مجموعه 1,0,0 است که مربوط به چند جمله ای درجه صفر است. §5. عملگر مزدوج در فضای اقلیدسی بر روی عملگرهای خطی، می توان یک عمل - عملیات مزدوج را معرفی کرد. فرض کنید V یک فضای اقلیدسی n بعدی باشد. با هر عملگر خطی که در این فضا عمل می کند. عملگر خطی دیگر مزدوج به این عملگر به طور طبیعی مرتبط است. تعریف. یک عملگر خطی (بخوانید: "a با یک ستاره") به عملگر خطی A مزدوج گفته می شود: V -* V اگر برای هر عنصر x و y از فضای V برابری عملگر خطی A*، مزدوج باشد. به این اپراتورآه، همیشه وجود دارد. فرض کنید c = (et,..., en) قاعده فضای V باشد و A = A(c) = (o^) ماتریس عملگر خطی A بر این اساس باشد، یعنی با محاسبات مستقیم می توانیم تأیید کنیم. که برای عملگر خطی A": V -" V، تعیین شده توسط قانون برابری (1) برای هر x و y برآورده می شود. به یاد بیاورید که طبق قضیه 1، برای ساخت یک عملگر خطی، کافی است عمل آن را مشخص کنیم. در مورد عناصر اساسی.به عنوان مثال اجازه دهید در آن معرفی کنیم فضای خطیچند جمله‌ای M\ با ضرایب درجه واقعی که بالاتر از اولین عملیات ضرب اسکالر در نیست قانون بعدی. بنابراین فرض کنیم که M یک فضای اقلیدسی دو بعدی است. فرض کنید V: M\ - M\ عملگر تمایز باشد: V(a + d»f) = b. بیایید عملگر مزدوج را بسازیم. ماتریس عملگر V در این مبنا شکل دارد. سپس ماتریس عملگر مزدوج V است که طبق این قانون عمل می کند: برای یک چند جمله ای دلخواه، ویژگی های عملیات مزدوج 1 را به دست می آوریم. برای هر عملگر خطی دقیقاً یک عملگر مزدوج با آن وجود دارد. فرض کنید B و C عملگرهایی باشند که با یک عملگر معین A مزدوج شده اند. این بدان معناست که برای هر عنصر x و y از فضای V برابری ها برقرار است. نتیجه این است که مقادیر ویژه و عناصر ویژه. عملگر مزدوج. و علاوه بر این، به دلیل خودسرانه بودن انتخاب عنصر x، نتیجه می‌گیریم که عنصر Wu-Su نسبت به هر عنصر فضای V و به ویژه نسبت به خودش متعامد است. مورد دوم فقط در صورتی امکان پذیر است که By - Cy = 0 و بنابراین، By = C y. با توجه به این واقعیت که y یک عنصر دلخواه است، ما B ~ C را به دست می آوریم. 2. (a.4)* = aL*، که در آن a یک عدد واقعی دلخواه است. فرض کنید A:V -+ V و B:V -+ V عملگرهای خطی باشند. سپس Properties 2-5 به راحتی از منحصر به فرد بودن عملگر الحاقی پیروی می کنند. 6. فرض کنید c قاعده فضای V باشد. برای اینکه عملگرهای A: V V و B: V -» V به صورت متقابل مزدوج باشند، i.e. برابری های B = A"، A = B* برآورده می شوند، لازم و کافی است که ماتریس های A = A(c) و B = B(c) آنها با جابجایی از یکدیگر به دست آیند. توجه: تاکید می کنیم که خاصیت 6 فقط برای ماتریس ساخته شده بر اساس متعامد معتبر است. برای مبنای دلخواه درست نیست. 7. اگر عملگر خطی A غیر منحط باشد، عملگر A* مزدوج با آن نیز غیر منحط است و برابری برقرار است.

عملگر معکوس

فرض کنید V یک فضای خطی روی میدان P باشد، بگذارید A یک عملگر (نه لزوما خطی) باشد که در V عمل می کند.

تعریف. عملگر A معکوس نامیده می شود اگر عملگر B در V عمل کند به طوری که BA = AB = I.

تعریف. عملگر B که شرط BA = AB = I را برآورده کند معکوس A نامیده می شود و نشان داده می شود.

بنابراین، عملگر معکوس به عملگر A شرط A = A = I را برآورده می کند. برای یک عملگر معکوس A، تساوی Ax = y و y = x معادل هستند. در واقع، اجازه دهید Ax = y، سپس y = (Ax) = (A)x = Ix = x.

اگر y = x، پس

Ax = A(y) = (A)y = Iy = y.

قضیه. اگر یک عملگر خطی معکوس باشد، عملگر معکوس آن نیز خطی است.

اثبات فرض کنید A یک عملگر خطی معکوس باشد که در فضای خطی V روی فیلد P عمل می کند، A عملگر معکوس A باشد. اجازه دهید بردارها و اعداد دلخواه را در نظر بگیریم. سپس A=، A=. به دلیل خطی بودن عملگر A

از اینجا دریافت می کنیم:

= = ,

یعنی عملگر خطی است.

عملگر خطی مزدوج

اجازه دهید دو فضای واحد X، Y داده شود.

تعریف. عملگر A* که از Y تا X عمل می کند، نسبت به عملگر A مزدوج نامیده می شود که از X به Y عمل می کند، اگر برای هر بردار xH، yY برابری باشد.

(Ax, y) = (x, A*y). (1)

قضیه. برای هر عملگر خطی A یک عملگر الحاقی A* وجود دارد و فقط یک عملگر.

اثبات اجازه دهید برخی از پایه های متعارف را در X انتخاب کنیم. برای هر بردار xX، بسط داریم

اگر عملگر A* وجود داشته باشد، طبق این فرمول، برای هر بردار yY داریم

یا طبق تعریف

اما این به این معنی است که اگر عملگر A* وجود داشته باشد، تنها یک است.

عملگر A* ساخته شده به این صورت خطی است. همچنین برابری (Ax, y) = (x, A*y) را برآورده می کند. در واقع، با در نظر گرفتن متعارف بودن سیستم و با در نظر گرفتن (1)، (2)، برای هر بردار хХ، yY به دست می آوریم.

(آه، ی) = (الف) =،

(x، A*y) = (A) =

قضیه ثابت شده است.

عملگر مزدوج A* با روابط خاصی با عملگر A مرتبط است. به برخی از آنها اشاره می کنیم:

اثبات اجازه دهید یک عملگر دلخواه A و عملگر مزدوج آن A* را در نظر بگیریم. به نوبه خود، برای عملگر A* مزدوج عملگر (A*)* خواهد بود. حالا برای هر xX، yY که داریم

(y, (A*)*x) = (A*y,x) == = (y,Ax).