حد نظری جرم ستاره ای تغییر کرده است. حد یک تابع - تعاریف، قضایا و خواص

اختصاص به یکی از مفاهیم اساسی تجزیه و تحلیل ریاضی- به حد. هم در مورد یک دنباله عددی و هم در مورد یک تابع واقعی از یک متغیر واقعی، یک رویکرد نامحدود به مقدار ثابت معینی از یک متغیر که برای یک تغییر معین به متغیر دیگری وابسته است، مطالعه می‌شود. در این فصل ما سعی خواهیم کرد مفهوم حد را برای نگاشت فضاهای متریک دلخواه تعمیم دهیم، و تعمیم نیز بر نحوه تمایل یک متغیر مستقل به یک مقدار معین تأثیر خواهد گذاشت. 8.1. مفهوم حد یک نقشه برداری X و Y باشند فضاهای متریک با معیارهای p و d که به ترتیب روی آنها داده شده است، X زیرمجموعه ای در X با همان متریک /> است که نقطه حدی آن 6 X است. اجازه دهید تاکید کنیم که به موجب تعریف 5.9، این نقطه حد برای A ممکن است به زیر مجموعه A تعلق داشته باشد یا نباشد. ما نظریه محدودیت ها را در نظر خواهیم گرفت. مفهوم حد یک نقشه برداری از یک محله سوراخ شده U(a) = U(a) \ (a) یک نقطه داده شده. اجازه دهید دامنه تعریف نگاشت /: A Y شامل مجموعه A باشد. توجه داشته باشید که برای نقطه a ممکن است این نگاشت تعریف نشده باشد. تعریف 8.1. نقطه 6 € Y را حد نگاشت /: A -f Y در نقطه a روی مجموعه A می گویند و b = lim f(x) یا f(x) -> b را برای x - ^a می نویسیم، اگر ، هر همسایگی V(6) از نقطه 6 باشد، یک همسایگی سوراخ شده U(a) از نقطه a در X وجود دارد به طوری که تصویر آن برای هر نقطه از نقطه a متعلق به V(6) است، یعنی. هنگامی که (8.1) ارضا شد، همچنین می گوییم که تابع f(x) به b میل می کند همانطور که x از مجموعه A به نقطه a می رود. تعریف 8.1 کاملاً کلی است. بسته به اینکه X، Y، ACX چه مجموعه هایی هستند و نقطه X یورو چیست، می توانیم مشخصات متفاوتی از این تعریف به دست آوریم. به یاد بیاورید (نگاه کنید به 5.2) که هر همسایگی یک نقطه شامل یک محله الکترونیکی از این نقطه است و هر ^-محله یک محله است. بنابراین، با جایگزینی در (8.1) یک همسایگی دلخواه V (6) از نقطه b b Y با ^-همسایگی آن و همسایگی سوراخ شده نقطه a € X - با محله سوراخ شده آن، به نماد نمادین زیر برای تعریف می رسیم. از حد یک نگاشت، معادل تعریف 8.1: برای Y با R از (8.1) یک نماد نمادین برای تعریف حد نگاشت /: (حد یک تابع واقعی): . اگر در (8.5) 6 = 0)، تابع f(x) بی نهایت کوچک نامیده می شود زیرا x روی مجموعه A به نقطه a € X میل می کند و نوشته می شود وقتی Y C R می توانیم در مورد محدودیت های بی نهایت نگاشت صحبت کنیم اگر نقطه 6 باشد. یکی از نقاط نامتناهی (+oo یا -oo) خط عددی توسعه یافته R یا اتحادیه آنها (oo) است. در این حالت، همسایگی هر یک از نقاط فهرست شده، هنگام انتخاب یک M > O دلخواه، شکل خواهد گرفت سپس از (8.1) سه نماد کاملاً مشابه به شکل نمادین برای تعاریف حدود نامتناهی یک تابع دنبال می‌شود: مثال 8.1. اجازه دهید نشان دهیم که lim f(x) = c اگر نگاشت / در نقاط مجموعه A همان مقدار c را بگیرد. در واقع، محله هر چه که باشد، نظریه حدود. مفهوم حد نگاشت V(c) یک نقطه c) Vx به U (a) Π A /(x) = c، زیرا xe A. بنابراین /(U (a) Π A) = c € V ج) که با تعریف 8 مطابقت دارد. 1. اجازه دهید مطمئن شویم که lim /(x) = a، اگر نگاشت / یکسان است، i.e. /(i) = x Vx 6 A. در این مورد، برای هر محله V(a)، هنگام انتخاب U(a) = = V(a) \ (a) برای نقشه هویت، به دست می آوریم که با (8.1) مطابقت دارد. ). به طور خاص، زمانی که A = R و a با نقطه بینهایت +oo خط عددی توسعه یافته مطابقت دارد، داریم: /(x) -f oo برای x +oo. در واقع، برای M> 0 دلخواه، کافی است مجموعه U (+oo) = (s € R: x > M) را به عنوان یک همسایگی سوراخ شده از نقطه بینهایت +oo انتخاب کنید تا /(x) > M و ارضای شرط (8.7). اگر در تعریف 8.1 X = Y = R و زیر مجموعه A = = (a: € R: x > a)، به مفهوم حد سمت راست تابع واقعی یک متغیر واقعی در نقطه می رسیم. a، نشان داده شده در 7.2 lim fix). اگر X = Y = R توجه داشته باشید که مجموعه A می تواند با کل مجموعه X منطبق باشد. برای X = Y = R، این مورد در تعریف 8.1 با مفهوم حد دو طرفه یک تابع واقعی از یک متغیر واقعی مطابقت دارد. و (اگر خطر سردرگمی وجود نداشته باشد) به جای lim /( x) به سادگی lim /(x) را می نویسند. البته، در مورد lim /(x)، می توان تمام زیرمجموعه های قابل تصور A را در نظر گرفت، اما این همیشه به نتایج غیر پیش پا افتاده معنی دار منجر نمی شود. بنابراین، اگر تابع دیریکله روی زیرمجموعه Q C R اعداد گویا در نظر گرفته شود، به سادگی یک تابع ثابت بدست می آوریم که حد آن در مثال 8.1 تعیین شده است. تعریف 8.1 منجر به مفهوم حد دنباله ای از نقاط یک فضای متریک دلخواه Y می شود. در ارتباط با این، ما تعریف زیر را ارائه می دهیم. تعریف 8.2. نقطه 6 € Y حد دنباله ای (yn) از نقاط yn فضای متریک Y نامیده می شود اگر همسایگی V(6) C Y نقطه 6 هرچه باشد، عدد طبیعی N وجود داشته باشد به طوری که از عدد شروع شود. N + 1، تمام نقاط این دنباله در این مجاورت قرار می گیرند، یعنی. نظریه حدود. مفهوم حد یک نگاشت زمانی که (8.10) ارضا شود، همچنین می گوییم که (yn) به نقطه 6 تمایل دارد. با استفاده از (8.10) به جای یک همسایگی دلخواه نقطه 6، همسایگی دلخواه ^- آن را مقایسه می کنیم ( 8.11) با (6.28) و تعریف 6.5، نتیجه می گیریم که دنباله (yn) نقاط yn فضای متریک به نقطه 6 تمایل دارد اگر دنباله عددی (d(yn> 6)) از فواصل d(yni b) € R بی نهایت کوچک است، یعنی به عبارت دیگر، مطالعه رفتار دنباله ای از نقاط در یک فضای متریک دلخواه بر اساس مطالعه همگرایی دنباله های عددی است. علاوه بر این، حد نگاشت فضاهای متریک دلخواه ارتباط نزدیکی با حد توالی دارد. این ارتباط با قضیه زیر برقرار می شود. قضیه 8.1. نگاشت /:Y نقطه 6 € Y را به عنوان حد خود دارد زیرا x از مجموعه A به نقطه a می رود اگر و فقط اگر، در زیر نقشه /، تصویر هر دنباله ای از نقاط از A که به a تمایل دارد دنباله ای از یک باشد. نقاط از Y به 6 میل دارند، یعنی e. فرض کنید که نقطه 6 b Y تعریف 8.1 از حد نگاشت را برآورده می کند و (x№) دنباله ای دلخواه از نقاط xn از A است که به نقطه a € X می رود. سپس، طبق (8.1)، هر همسایگی V است. (ب) C Y نقطه 6، یک محله سوراخ شده U(a) C X از نقطه a وجود دارد که /(u(a)PA) C V(6). طبق تعریف 8.2، U(a)nA باید با شروع از مقداری W + 1 شامل تمام نقاط دنباله (xn) باشد که به a تمایل دارند، یعنی. توسط (8.10) سپس با شروع از همان عدد، تمام نقاط f(xn) E Y دنباله (f(xn)) در V(6) قرار دارند که طبق تعریف 8.2 به این معنی است که این دنباله به سمت 6 میل می کند. برای اثبات کفایت شرایط قضیه، فرض می کنیم که برای هر دنباله (xn) از نقاط xn از A که به a تمایل دارند، دنباله (f(xn)) نقاط f(xn) از Y به 6 میل می کند. lim f(x) φ 6، پس این به معنای وجود یک عدد e > 0 است به طوری که برای هر انتخاب 8 > 0 یک نقطه x € A وجود دارد که شرایط p(x, a) و d(f( را برآورده می کند. x)y 6) > e برای S > O به طور دلخواه شما می توانید یک عدد طبیعی N) را مشخص کنید به طوری که 1 /N . سپس برای هر عدد n > N حداقل یک نقطه از A وجود دارد که آن را xn نشان می‌دهیم، به طوری که p(xn, ^ بنابراین، دنباله (xn) متشکل از چنین نقاطی xn 6 Ay به موجب (8.11) تمایل دارد به a، در حالی که (/(xn)) به 6 تمایل ندارد، و این با فرض اصلی در تضاد است € Y را حد نگاشت /: A. -> Y در یک نقطه a توسط مجموعه A می نامند اگر در زیر نگاشت /، تصویر هر دنباله ای از نقاط از A که به a تمایل دارند دنباله ای از نقاط Y باشد. شکل های نمادین این تعریف و قضیه 8.2 منطبق بر R, A = R, a = +oo هستند. f(x) = lim cos a (2nm)، که به +oo تمایل دارد، سپس cosin = cos2nm = 1، و توسط (6.9) lim (cos xn) = 1. اگر دنباله (xn) را بگیریم. 2n + 1)n/2)، همچنین به +oo تمایل دارد، سپس تصویر آن به صفر همگرا می شود. این در تضاد با تعریف 8.3 از حد نقشه برداری است. محدودیت فوق وجود ندارد. در نظر گرفتن دنباله هایی که به oo (2n(-1)n7r) و ((2n+1)(-1)nr/2) تمایل دارند به همین نتیجه می رسد. توجه داشته باشید که اگر علامت گذاری کنیم، نوشتن lim cosx = 1 و limcoex = 0 قانونی است. # با مقایسه تعاریف 8.1 و 5.13، قضیه زیر را می توان اثبات کرد. قضیه 8.2. نگاشت /: X -+Y در نقطه a € X پیوسته خواهد بود اگر و تنها در صورتی که حد نگاشت به عنوان x از مجموعه X تا نقطه a با مقدار /(a) منطبق باشد، یعنی. هنگامی که A اجازه دهید نگاشت / در نقطه a در X پیوسته باشد. سپس، طبق تعریف 5.13 یک نگاشت پیوسته، همسایگی V(6) نقطه 6 = /(a) € Y هر چه باشد، چنین همسایگی U وجود دارد. (الف) نقطه a € A) که /(U(a)) C V(6)، و نظریه حدود. مفهوم حد یک نگاشت به این معنی است که یک همسایگی سوراخ شده U(a) نقطه a نیز وجود دارد که /(U(a)) C V(b). طبق تعریف 8.1، این به این معنی است که (8.12) درست است. برعکس، بگذارید (8.12) راضی شود. سپس، طبق تعریف 8.1، برای هر همسایگی V (b) از نقطه b = /(a) یک همسایگی سوراخ شده U(a) از نقطه a وجود دارد به طوری که /(U(a)) C V(6). همسایگی U(a) = U(a) U (a) را در نظر بگیرید. از آنجایی که /(a) G V(6)، با توجه به ویژگی های نگاشت مجموعه (نگاه کنید به 2.1)، ما 4 داریم یعنی. نگاشت /، طبق تعریف 5.13، در نقطه aeX پیوسته است. با در نظر گرفتن قضیه 8.2، می توانیم تعریفی معادل تعریف 5.13 را فرموله کنیم. تعریف 8.4. نگاشت /: گفته می شود که در نقطه a 6 Xy پیوسته است اگر (8.12) درست باشد. با در نظر گرفتن قضایای 8.1 و 8.2، عبارت زیر را به دست می آوریم. بیانیه 8.1. برای تداوم نگاشت /: X -Y Y در نقطه حدی abX، لازم و کافی است که تصویر زیر نگاشت / هر دنباله ای از نقاط از X که به a تمایل دارند، دنباله ای از نقاط همگرا از Y به نقطه باشد. /(آ). 8.2. برخی از ویژگی‌های حد یک نگاشت X و Y، مانند 8.1، فضاهای متریک باشند، AC X و X € نقطه حد مجموعه A باشند. قضیه 8.3. اگر، همانطور که x در امتداد مجموعه A به نقطه a تمایل دارد، نگاشت /: X Y یک حد دارد، پس منحصر به فرد است. فرض کنید که برای x -> a، نگاشت / دارای دو حد 6i و 62 و 61 φ 62 است. سپس، هنگام انتخاب همسایگی های مجزای این نقاط (V(61)flV(62) = 0)، طبق تعریف 8.1، نقطه a دارای یک محله U(a) سوراخ شده است که و، و این به دلیل تعریف 2.1 نقشه برداری غیرممکن است. قضیه 8.4 (در حد ترکیب). اگر محدودیت‌هایی برای نقشه‌های f وجود داشته باشد: AC X و g: Y Z، با ((x)φL به عنوان r - ^a، که در آن Xy Y و Z به ترتیب فضاهای متریک نقاط حد هستند، برای A C X و f(A) C Y، سپس برای x -> a و حد ترکیب (یک تابع مختلط) وجود دارد. اجازه دهید یک همسایگی دلخواه W (c) از نقطه c را انتخاب کنیم. سپس، با تعریف 8.1 از حد یک نقشه برداری، همیشه می توان یک محله سوراخ شده V(6) از نقطه 6 را پیدا کرد به طوری که d(V(6) Π f)