مجموع اعداد باینری را محاسبه کنید ایکسو y, اگر
ایکس=1010101 2
پاسخ: 3، 7، 21.
نوع 2006
تعداد صفرهای قابل توجه در نمایش باینری عدد اعشاری 126 است
پاسخ: 4).راه حل: x = 1D 16 = 11101 2، y = 111010 2 11101 2
B1
در یک سیستم اعداد با مقداری پایه، عدد 17 به صورت 101 نوشته می شود. این پایه را مشخص کنید.
پاسخ: پایه=4.راه حل: 17:4=4، باقیمانده 1، 4:4=1، باقیمانده 0. آخرین ضریب و تمام باقیمانده ها را به ترتیب معکوس بنویسید. ما 101 می گیریم
نسخه 2007
A4
چند عدد در نماد دودویی برای عدد 195 وجود دارد؟
پاسخ: 3).راه حل: 10 8 \u003d 1000 2, 1000 2 10 2 \u003d 10000 2, 10 16 \u003d 10000 2 در نتیجه جمع، 10000 2 + 10000 20000 20000
یا عبارت 10 16 + 10 8 10 2 را به سیستم اعداد اعشاری ترجمه می کنیم. گرفتن
16 + 8 2 \u003d 16 + 16 + 32 \u003d 100000 2
B1
تمام پایه های سیستم های اعداد را که با کاما از هم جدا شده اند به ترتیب صعودی نشان دهید که در آن ورودی عدد 22 به 4 ختم می شود.
پاسخ: 6، 9، 18.راه حل: برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد اعشاری به هر عدد دیگری، باید این عدد را بر یک عدد صحیح بر پایه سیستم اعداد مورد نظر تقسیم کنید. در تقسیم اول، آخرین رقم عدد مورد نظر را در باقیمانده تقسیم عدد صحیح بدست می آوریم. 4 در باقی مانده با تقسیم عدد 22 بر 6، 9، 18 به دست می آید.
نوع 2008
آ4 در نمایش دودویی عدد اعشاری 194.5 چند عدد وجود دارد؟
1) 5 2) 6 3) 3 4) 4
پاسخ: 4).راه حل: قسمت صحیح عددمهم ترین بیت از معادل باینری 194 7 است، زیرا 2 7 = 128 است. این حداکثر توان دو است که کمتر از عدد داده شده است. 194-128=66 یعنی واحد بعدی در رقم 6 قرار دارد. 66-64 \u003d 2، این یک واحد است - در رقم اول، بنابراین، در قسمت صحیح عدد، یک ها در 1، 6، 7 رقم هستند، در ارقام باقی مانده - صفر هستند. ما 11000010 2 دریافت می کنیم. قسمت کسریعدد اعشاری 0.5 برابر 0.1 2 است، زیرا یک باینری در رقم 1- اعشاری 2 -1 است، یعنی 0.5. ما 194.5 = 11000010.1 2 دریافت می کنیم
چگونه کسر اعشاری صحیح را به هر سیستم اعداد موقعیتی دیگری تبدیل کنیم؟
برای ترجمه کسر اعشاری صحیح افبه سیستم اعداد پایه qلازم است افضربدر q، در همان سیستم اعشاری نوشته شده است، سپس قسمت کسری حاصلضرب را دوباره در ضرب کنید س،و غیره، تا زمانی که جزء کسری حاصل ضرب بعدی برابر با صفر شود یا به دقت لازم در نمایش عدد برسد. افکه در q-سیستم آری نشان دادن جزء کسری یک عدد افدر سیستم اعداد جدید، دنباله ای از قسمت های کامل آثار دریافتی وجود خواهد داشت که به ترتیب دریافت شده نوشته شده و در یک تصویر به تصویر کشیده شده است. q- رقمی در صورت لزوم دقت ترجمه شماره افاست کارقام اعشاری، پس خطای مطلق محدود کننده برابر است با q -(k+1) / 2.
آ5 مجموع اعداد را محاسبه کنید ایکس و y،در ایکس = A6 16، y = 75 8 .
نتیجه را در سیستم اعداد باینری ارائه دهید.
پاسخ: 3).راه حل: ایکس = A6 16 = 10100110 2، y = 75 8 = 111101 2 10100110 2
ب1 تمام پایه های سیستم های اعداد را که با کاما از هم جدا شده اند به ترتیب صعودی نشان دهید که در آن ورودی شماره 23 به 2 ختم می شود.
پاسخ: 3، 7، 21.راه حل: برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد اعشاری به هر عدد دیگری، باید این عدد را بر یک عدد صحیح بر پایه سیستم اعداد مورد نظر تقسیم کنید. در تقسیم اول، آخرین رقم عدد مورد نظر را در باقیمانده تقسیم عدد صحیح بدست می آوریم. دو در باقی مانده با تقسیم عدد 23 بر 3، 7، 21 به دست می آید.
نوع 2009
A3با توجه به a=D7 16 , b=331 8 . کدام یک از اعداد از جانب، که در سیستم باینری نوشته شده است، شرایط را برآورده می کند آ< ج< ب?
1) 11011001 2) 11011100 3) 11010111 4) 11011000
پاسخ: 4).راه حل: a = 11010111 2
چهار رقم مهم از همه گزینه ها و اعداد پاسخ آو بیکسان هستند، بنابراین مجموع وزن های چهار رقم پایین را با هم مقایسه می کنیم. برای آ – 7 10، برای ب- 9 10، به دنبال پاسخی با عدد 8 10 در 4 رقم کم اهمیت هستیم. این 1000 2 است، یعنی پاسخ چهارم.
آ4 مجموع اعداد 43 8 و 56 16 چقدر است؟
1) 121 8 2) 171 8 3) 69 16 4) 1000001 2
پاسخ: 2).راه حل:
43 8 = 100011 2 56 16 = 1010110 2 1010110
1111001 2 = 171 8
ب3 تمام اعداد اعشاری را که با کاما از هم جدا شده اند به ترتیب صعودی مشخص کنید. تجاوز نمی کند 25 که علامت آن در سیستم چهار عددی پایه به 11 ختم می شود.
پاسخ: 5، 21راه حل: در بین اعداد اعشاری > 4 و<25 остаток 1 وقتی بر 4 تقسیم می شود (آخرین رقم یک عدد در یک سیستم اعداد با پایه 4) فقط برای اعداد 5، 9، 13، 17، 21. دو رقم آخر 11 تقسیم بر 4 - فقط برای تعداد 5 (باقيمانده 1 و ضريب 1) و عدد 21 (باقیمانده اول و دوم = 1، یعنی دو رقم آخر)
یا ساده تر:
11 4 = 4 1 + 4 0 = 5
111 4 = 4 2 + 5 = 21
1011 4 = 4 3 + 21 > 25
نوع 2010
آ1
پاسخ: 2)راه حل: a = 10011101 2
مشاهده می شود که عدد 4) مناسب نیست، بزرگتر از b، بزرگتر از a و کوچکتر از b فقط عدد 2 است.
آ4
مجموع اعداد X و Y را محاسبه کنید اگر
نتیجه را به صورت دودویی بیان کنید.
پاسخ: 4)راه حل: X=110111 2 = 67 8
X + Y \u003d 67 8 +135 8 \u003d 224 8 \u003d 10010100 2
آ11
برای انتقال پیام از طریق یک کانال ارتباطی که فقط از نمادهای A، B، C و D تشکیل شده است، از کدنویسی کاراکتر به نویسه استفاده می شود: A-00، B-11، B-010، G-011. یک پیام از طریق کانال ارتباطی منتقل می شود: WAGBGV. پیام را با این کد رمزگذاری کنید. دنباله باینری حاصل را به هگزادسیمال تبدیل کنید.
برای اینکه به طور کلی بفهمیم یک کامپیوتر چگونه فکر می کند، اجازه دهید از همان ابتدا شروع کنیم. یک کامپیوتر اساساً تعداد زیادی لوازم الکترونیکی است که به ترتیب درست کنار هم قرار گرفته اند. و الکترونیک (قبل از اینکه برنامه به آن اضافه شود) فقط یک چیز را درک می کند: روشن یا خاموش است، سیگنال وجود دارد یا سیگنال وجود ندارد.
معمولاً "سیگنال وجود دارد" با یک و "بدون سیگنال" با صفر نشان داده می شود: از این رو عبارت "کامپیوتر به زبان صفر و یک صحبت می کند."
به این زبان صفر و یک، سیستم اعداد باینری نیز می گویند - زیرا فقط دو رقم دارد. سیستم اعداد معمول ما اعشاری است، دارای ده رقم (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9). اما بسیاری دیگر وجود دارد - هشت، پنج، یازده، و هر چیز دیگری.
من و تو نداریم شمارهده، درسته؟ عدد 10 شامل دو است شماره- 1 و 0.
به همین ترتیب، در سیستم اعداد کوینری، "5" وجود نخواهد داشت، فقط 0، 1، 2، 3 و 4 وجود خواهد داشت.
بیایید در سیستم کوینری بشماریم: 0، 1، 2، 3، 4، 10 , 11, 12, 13, 14, 20 , 21, 22, 23, 24, 30 , 31, 32, 33, 34, 40 , 41, 42, 43, 44, 100 (!!!)، 101، 102 و غیره. می توان گفت که همانطور که سیستم اعداد نامیده می شود، چنین رقمی در آن وجود ندارد. در اعشار ما عدد "10" وجود ندارد، در کوینری عدد "5" (و همه آنهایی که بعد از آن هستند) وجود ندارد، در هشتی - "8" و غیره.
و در هگزادسیمال «16» مثلاً وجود دارد! بنابراین، درک سیستم هگزادسیمال برای ما حتی دشوارتر است. بیایید به صورت هگزادسیمال بشماریم:
0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F، 10 ، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 1A، 1B، 1C، 1D، 1E، 1F، 20 , 21, 22…97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0, A1, A2… F7, F8, F9, FA, FB, FC, FD, FE, FF, 100 ، 101، 102، 103، 104، 105، 106، 107، 108، 109، 10A، 10B، 10C و غیره.
با این حال، سیستم اعداد باینری نیز برای ظاهری ناآشنا عجیب به نظر می رسد:
0, 1, 10 , 11, 100 , 101, 110, 111, 1000 , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000 , 10001…
اینها اعدادی هستند که کامپیوتر در جایی در درون خود فکر می کند. اما فکر کردن با چنین اعدادی برای شخص کاملاً ناخوشایند است ، بنابراین ما اعداد را از باینری به یک سیستم اعداد راحت تر تبدیل می کنیم.
در برنامه های کامپیوتری، اغلب از سیستم های اکتال و هگزا دسیمال استفاده می شود: درک آنها برای کامپیوتر آسان است (زیرا 8=2*2*2، 16=2*2*2*2، و کامپیوتر با سیستم باینری آشنا است. از همان ابتدا) و برای مردم راحت است، زیرا به اعشار معمول نزدیک تر است.
چگونه اعداد را از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر ترجمه کنیم؟برای درک اصل، همانطور که دوست داریم با شیرینی ها برخورد خواهیم کرد.
و در مورد شیرینی ها عدد 33 را به سیستم اعداد هشتی ترجمه می کنیم. ما تصمیم خواهیم گرفت که واحدها خود آب نبات باشند و ده ها جعبه هایی هستند که هر کدام شامل ده آبنبات است. بنابراین معلوم می شود که 33 3 جعبه 10 آب نبات و 3 آب نبات دیگر در جایی در کناره است.
اما ما ثروت آب نبات خود را به اکتال تبدیل می کنیم، به این معنی که باید تمام آب نبات ها را از جعبه های 10 تایی تکان دهیم، آنها را در جعبه های 8 قرار دهیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد.
از 33، 4 جعبه اکتال کامل دریافت می کنید و 1 آب نبات به تنهایی باقی می ماند، از 33/8=4 (1 باقیمانده). یعنی 33=8* 4 +1 - بنابراین در سیستم اعداد هشتگانه شما عدد را دریافت می کنید 41 .
عدد 33 در اعشار برابر با 41 در هشتی است. این همان عدد است که به سادگی به جعبه های مختلف تجزیه می شود و به پایه های مختلف ترجمه می شود. تعداد شیرینی ها تغییری نکرده فقط جور دیگری شمردیم!
سیستم دوتایی، همانطور که قبلاً فهمیدیم، برای چشم انسان عجیب تر و غیرعادی تر است. بیایید سعی کنیم 33 را به باینری تبدیل کنیم - به اندازه 16 جعبه 2 به دست می آید! و چه باید کرد؟ نوشتن 16 به نوعی عجیب است، به یاد داشته باشید که در سیستم باینری فقط صفر و یک وجود دارد و شش مورد نیاز ما برای شانزده قطعاً نیست!
بیایید به سیستم اعشاری خود نگاه کنیم. در آن ده ها می شمردیم - 10، 20، 30، 40، 50، 60، 70، 80، 90 - و وقتی ده ده داشتیم، یک جعبه بزرگ - 100 را بیرون می آوریم.
ما 100 داریم - این 10 * 10، 1000 - 10 * 10 * 10، 10000 - 10 * 10 * 10 * 10 و غیره است. برای سیستم های اعداد دیگر دقیقاً به همین صورت عمل می کند! در سیستم اکتال 100=8*8، 1000=8*8*8; در باینری 100=2*2 و 1000=2*2*2; و در هگزادسیمال (یکی وجود دارد، یادتان هست؟) 100=16*16، 1000=16*16*16.
اینجاست که مدرک به کار می آید. اگر هنوز آنها را در مدرسه نگرفته اید، نگران نباشید، مدرک بسیار آسان است. عدد توان عددی است که در خودش چند بار ضرب می شود. یعنی 5 3 \u003d 5 * 5 * 5 ( پنجکه در سومدرجه است پنج, سهبار خود: 5*5*5)، یا 8 5 = 8*8*8*8*8 ( هشتکه در پنجمدرجه است هشت, پنجضرب در خود: 8*8*8*8*8).
اگر 10000=10*10*10*10 را در اعشار و 1000=8*8*8 را در هشتی به یاد بیاوریم، به راحتی می توانیم ببینیم که چند صفر، چند بار در خودمان ضرب می کنیم. به عبارت دیگر، تعداد کاراکترهای یک عدد منهای یک قدرتی است که پایه باید به آن افزایش یابد. در عدد 1000 چهار کاراکتر داریم، بنابراین باید ضرب کنیم 4–1 یعنی 3 بار اگر مبنا 10 باشد، هزار برابر 10 در خود سه برابر می شود: 10*10*10. اگر مبنا 8 باشد، هزار برابر 8 در خود سه برابر می شود: 8*8*8.
ما شروع به صحبت در مورد همه اینها کردیم و سعی کردیم 33 را به سیستم باینری تبدیل کنیم. به همین ترتیب، تقسیم این عدد به جعبه های 2 تایی دشوار بود. اما اگر صدها هزار ما را به خاطر بیاورید، ممکن است فکر کنید: اما در باینری 100=2*2، 1000=2*2*2، 10000=2*2*2*2 و غیره.
برای تبدیل از اعشار به باینری، به خاطر سپردن توان های دو راحت است. حتی می توان گفت بدون این ترفند با درجه، خسته، خسته و کمی دیوانه خواهیم شد. و قدرت های دو چیزی شبیه به این هستند:
حالا با نگاهی به صفحه می بینیم که 33=2 5 +1 یعنی 33=2*2*2*2*2+1. یادمان می آید - چند بار ضرب می کنیم، این همه صفر می شود - یعنی 2 * 2 * 2 * 2 * 2 ما در سیستم باینری 100000 می شود. بیایید یکی که کنار گذاشته شده را فراموش نکنیم، و معلوم می شود که 33 در اعشار برابر با 100001 در باینری است. درست و زیبا به این صورت نوشته شده است:
33 10 =100001 2
بیایید (برای اینکه خیلی خوب بفهمیم) عدد 15 را به سیستم باینری ترجمه کنیم.
- اول از همه، بیایید به جدول نگاه کنیم.
الف) نزدیکترین عدد به 15 در آن چیست؟ نه، 16 مناسب نیست، بیشتر است و به نزدیکترین که کمتر است نیاز داریم. معلوم می شود که این 8 است، یعنی 2 3 یعنی 2*2*2.
ب) هشت عدد آب نبات از 15 عدد جدا شد، 15-8 عدد باقی مانده است - هفت عدد. نزدیکترین عدد از جدول چیست؟ نه، هشت دوباره کار نمی کند، به بالا مراجعه کنید. چهار انجام خواهند داد، یعنی 2 2 ، یعنی 2*2.
ج) چهار عدد از هفت آب نبات جدا شدند، فقط 7-4 عدد باقی مانده است - سه عدد. از جدول متوجه می شویم که نزدیکترین عدد 2 است، یعنی 2 1 ، که فقط 2 است.
د) سه منهای دو - سمت چپ 1 آب نبات، نیازی به علامت نیست. وقتی باقیمانده شما از پایه کمتر است و واحد ما قطعا کمتر از دو است، لازم نیست به این نوع جداول نگاه کنید.
- همه چیزهایی را که در تبلت یافت می شود با هم جمع می کنیم: 15=2 3 + 2 2 + 2 1 + 1، همچنین این است: 15=2*2*2 + 2*2 + 2 + 1.
- در باینری 2*2*2=1000، 2*2=100، 2=10، یادتان هست؟ و 1000 + 100 + 10 + 1 یعنی 1111 بدست می آوریم.
- بنابراین،
15 10 =1111 2
وقتی فقط به تمام این مراحل نگاه می کنید، به نظر می رسد که این فقط یک روگرفت انبوهی از اعداد متفاوت نوشته شده عجیب. و گیج شدن در همه اینها برای اولین بار طبیعی است. و در دومی و در سومی. فقط سعی کنید آن را دوباره و دوباره انجام دهید - گام به گام، همانطور که در بالا نوشته شده است، و همه چیز درست خواهد شد.
و بالعکس هم کار می کند! به عنوان مثال، شماره 11010101 2 - چگونه می توان یک اعشار قابل درک از آن ایجاد کرد؟ به همین ترتیب با کمک بشقاب. از آخر برویم:
1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +0*2 3 +1*2 4 +0*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =
1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64+1*128=
1+0+4+0+16+0+64+128=213
11010101 2 = 213 10
این تقریباً نحوه درک رایانه اعدادی است که ما به آنها عادت کرده ایم.
وقتی برای اولین بار به آن نگاه می کنید، به نظر می رسد که اولاً کاملاً نامفهوم است و ثانیاً اصلاً کار نخواهد کرد. بنابراین، اکنون ما یک جادوی ریاضی کوچک با شما انجام می دهیم تا مطمئن شویم که سیستم های اعداد یک چیز واقعی هستند، مثلاً وظیفه "پانزده کلوچه به طور مساوی به پنج کودک بدهید."
پس بیایید مثالی بزنیم 15+6 و آن را در سیستم های اعداد مختلف حل کنید. واضح است که در اعشار ما 21 می شود. و مثلاً به صورت اکتال چه چیزی بیرون می آید؟
ما 15 را به سیستم اعداد هشتگانه ترجمه می کنیم. اولین قدمی که هنگام انتقال به سیستم دیگری داریم، نگاهی به جدول مدرک است. 8 2 قبلاً 64 است و قطعاً در 15 قرار نمی گیرد، بنابراین ما 8 1 را می گیریم - یعنی فقط 8. 15–8 = 7، از پایه 8 ما کمتر است، بنابراین هیچ کاری با آن انجام نمی دهیم.
پس معلوم شد که 15=8 1 +7 .
در سیستم اکتال، منطق دقیقاً مشابه است، به عنوان مثال، در باینری: 8 3 برابر است با 1000، 8 2 برابر است با 100، 8 1 برابر است با 10. معلوم شد که:
15 10 =17 8
یادآوری می کنم که مثال ما 15+6 بود. ما 15 را به سیستم هشتگانه ترجمه کرده ایم، چگونه می توانیم 6 را ترجمه کنیم؟ این پایه ما کمتر از 8 است، بنابراین پاسخ این است که آن را به حال خود رها کنید. مثال ما اکنون به این صورت است:
15 10 +6 10 =17 8 +6 8
حال به سیستم اعداد اکتالی اضافه می کنیم. چگونه انجام می شود؟ درست مانند اعشاری، اما به یاد داشته باشید که ده در اکتال هشت است، نه ده، و 8 و 9 در آن وجود ندارند.
وقتی به صورت اعشاری حساب می کنیم، اساساً این کار را انجام می دهیم:
15+6=15+5+1=20+1=21
بیایید سعی کنیم همین ترفند را در سیستم اکتال انجام دهیم:
17 8 +6 8 =17 8 +1 8 +5 8 =20 8 +5 8 =25 8
چرا 17+1؟ چون 7+1=8 و 8 ده ماست! در سیستم هشتی 7+1=10 یعنی 17+1=20. اگر در این مرحله مغز شما شروع به زدن زنگ خطر کرد و به شما گفت که اینجا مشکلی وجود دارد، به ابتدای مقاله برگردید، جایی که ما در سیستم های اعداد مختلف شمارش کردیم.
حالا مثال ما به نظر می رسد
15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8
بیایید 25 8 را به سیستم اعداد خود برگردانیم. در اعشار اگر عدد 25 را می دیدیم می توان گفت که دارای دو ده و پنج یک است. همانطور که احتمالاً قبلاً حدس زده اید، در اکتال، عدد 25 8 دو هشت و پنج یک است. یعنی 25 8 \u003d 2 * 8 + 5 \u003d 21 10.
بنابراین در اینجا مثال کامل ما است:
15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8 =21 10
دقیقاً همان 21 بود که در همان ابتدا به دست آوردیم، زمانی که به روش معمول برای خود در سیستم اعشاری 15 + 6 را می شمردیم.
قوانین حساب با این واقعیت که ما یک سیستم اعداد متفاوت را انتخاب کرده ایم تغییر نمی کند.
بنابراین، رایانه، با تبدیل همه چیز به صفر و یک، که برای ما نامفهوم و بی معنی به نظر می رسد، اطلاعاتی را که ما به آن داده ایم از دست نمی دهد و می تواند با محاسبه به شکلی که برای آن مناسب است، نتیجه را ارائه دهد و آن را به آن منتقل کند. شکلی که به آن عادت کرده ایم
موضوع: سیستم های اعداد و نمایش باینری اطلاعات در حافظه کامپیوتر.
تئوری:
الگوریتم تبدیل اعداد بین سیستم های اعشاری، باینری، هشت و هگزادسیمال
نمایش اعداد صحیح منفی در حافظه در مکمل دو:
1 راه:
1. تبدیل عدد به سیستم اعداد باینری،
2. معکوس کردن بیت ها: صفرها را به یک و یک ها را به صفر در شبکه بیت تغییر دهید.
3. 1 را به نتیجه اضافه کنید، در صورت 2 واحد، 1 را به رقم بعدی منتقل کنید.
2 راه:
1. عدد را 1 کاهش دهید و عدد را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.
2. کمی وارونگی انجام دهید.
قوانین نمایش اعداد در سیستم باینری:
1. اعداد زوج به 0 ختم می شوند، اعداد فرد به 1 ختم می شوند.
2. اعدادی که بر 4 بخش پذیر هستند به 00 ختم می شوند و غیره. اعدادی که بر 2k بخش پذیر هستند به انتها می رسند کصفرها
3. اگر عدد N متعلق به بازه 2k-1 £ N باشد< 2k, в его двоичной записи будет всего کارقام، به عنوان مثال، برای یک عدد 125 :
من. 26 = 64 پوند 125 < 128 = 27, 125 = 11111цифр)
4. اعداد به شکل 2k در سیستم باینری به صورت واحد نوشته می شوند و کبرای مثال صفرها:
5. 16 = 24 = 100002
6. اعدادی مانند 2k-1 در سیستم باینری نوشته می شوند کواحدها به عنوان مثال:
7. 15 = 24-1 = 11112
اگر نماد دودویی عدد N مشخص باشد، نماد دودویی عدد 2 N را می توان به راحتی با اضافه کردن صفر به انتها به دست آورد، به عنوان مثال:
15 = 11112, 30 = 60 = 1 120 =
I. سیستم های اعداد. A1_1.
1) عدد 8310 چگونه به صورت باینری نمایش داده می شود؟
1) 100103) 10100
راه حل (گزینه 1، تقسیم بر پایه سیستم اعدادن):
2) عدد 83 را به ترتیب بر 2 = z 3 تقسیم کنید.
راه حل (گزینه 2، بسط به مجموع توان های دو):
1) عدد را به صورت مجموع توان های دو نشان دهید: 83 = 64 + 16 + 2 + 1 = 26 + 24 + 21 + 20 Þ 3.
2) عدد 25 در سیستم باینری چگونه نمایش داده می شود؟
3) عدد 82 در سیستم باینری چگونه نمایش داده می شود؟
4) عدد 263 در سیستم اعداد اکتالی چگونه نمایش داده می شود؟
5) عدد 5678 در سیستم باینری چگونه نوشته می شود؟
6) عدد A8716 در سیستم اعداد هشتی چگونه نوشته می شود؟
7) عدد 7548 چگونه به صورت هگزادسیمال نوشته می شود؟
1) 73AEC16 4) A5616
II. چند واحد (سیستم باینری). A1_2.
1) چند عدد در نماد دودویی برای عدد 1025 وجود دارد؟
گزینه 1، ترجمه مستقیم:
1) عدد 1025 را به سیستم باینری ترجمه کنید: 1025 =
2) "1" را 2 بشمارید.
گزینه 2، بسط به مجموع توان دو:
1) عدد را به صورت مجموع توان های دو نشان دهید: 1025 = 1024 + 1 = 210 + 20،
2) چند توان مختلف از دو در مجموع وجود دارد - این تعداد "1" Þ 2.
2) در نمایش باینری عدد 195 چند عدد وجود دارد؟
3) در نمایش باینری عدد 173 چند عدد وجود دارد؟
4) در نمایش باینری عدد 64 چند عدد وجود دارد؟
5) در نمایش باینری عدد 127 چند عدد وجود دارد؟
6) در نمایش باینری عدد 48 چند صفر معنی دار وجود دارد؟
7) در نمایش دودویی عدد 254 چند صفر معنی دار وجود دارد؟
III. روابط A1_3.
1) داده شده : و . کدام یک از اعداد، نوشته شده در سیستم باینری، راضی می کند نابرابری آ < ج < ب ?
1) 110110
راه حل:
1. همه اعداد را به یک سیستم اعداد تبدیل کنید و مقایسه کنید،
2. انتخاب سیستم اعداد -
آ. حداقل عملیات انتقال،
ب سهولت تحلیل اعداد دریافتی (2)
گزینه 1 - سیستم اعشاری:
3) = 217, 2= 220, = 215, =216
4) پاسخ صحیح 216 Þ - 4 است.
گزینه 2 - سیستم باینری:
1) (هر رقم هگزادسیمال بطور جداگانهبه چهار باینری تبدیل شد تتراد،صفرهای ابتدایی را می توان حذف کرد).
2) (هر رقم هشتی بطور جداگانهتبدیل به سه باینری سه گانه، صفرهای ابتدایی را می توان حذف کرد).
3) عدد را بیت به بیت از مهم ترین رقم به کمترین رقم تجزیه و تحلیل می کنیم، قسمت های مختلف عدد br = 10012، ar = 01112 را انتخاب می کنیم، بنابراین عدد بین - 1000، پاسخ صحیح Þ 4 است.
گزینه 3 - اکتال/هگزادسیمال:
1) برای 8 - شما باید نماد دودویی اعداد از 0 تا 7 را بدانید، نماد باینری عدد را به سه گانه تقسیم می کنیم. از راست به چپ، هر سه گانه را ترجمه می کنیم بطور جداگانهبه سیستم اعشاری؛
2) برای 16 - شما باید نماد دودویی اعداد از 8 تا 15 را بدانید، نماد باینری عدد را به تتراد تقسیم می کنیم. از راست به چپ، ما هر تتراد را به یک سیستم هگزادسیمال ترجمه می کنیم. در حالی که تترادها را می توان از سیستم باینری به اعشاری،و سپس تمام اعداد بزرگتر از 9 را با حروف - A، B، C، D، E، F جایگزین کنید.
2) داده شده: https://pandia.ru/text/78/108/images/image008_14.gif" width="59" height="24 src=">..gif" width="60" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">؟
4) داده شده: https://pandia.ru/text/78/108/images/image013_7.gif" width="59" height="24 src=">..gif" width="57" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">؟
6) داده شده: https://pandia.ru/text/78/108/images/image017_4.gif" width="57" height="24 src=">..gif" width="59" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">؟
8) داده شده: https://pandia.ru/text/78/108/images/image021_4.gif" width="57" height="24 src=">..gif" width="59" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">؟
10) داده شده: https://pandia.ru/text/78/108/images/image013_7.gif" width="59" height="24 src=">..gif" width="59" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">؟
12) داده شده: https://pandia.ru/text/78/108/images/image015_4.gif" width="59" height="24 src=">..gif" width="59" height="24 src=">.gif" width="65" height="19 src=">؟
14) داده شده: https://pandia.ru/text/78/108/images/image029_3.gif" width="55" height="24 src=">. کدام یک از اعداد C نوشته شده در سیستم اعداد باینری راضی کننده است. نابرابری؟؟
19) کدام یک از اعداد کوچکتر است؟
20) کدام یک از اعداد بزرگتر است؟
IV. حافظه A1_4.
1. یک بایت برای ذخیره یک عدد صحیح امضا شده استفاده می شود. نمایش داخلی عدد (-78) شامل چند واحد است؟
انتخاب 1.
1) ما 78 را به سیستم اعداد باینری ترجمه می کنیم و "صفر" را تا 8 بیت به بیت های بالا اضافه می کنیم:
78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 0
3) یک اضافه کنید: + 1 = ;
4) در علامت گذاری عدد 4 واحد Þ جواب 2 است.
گزینه 2.
1) عدد را 1 کاهش دهید، به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید، "صفر" را تا 8 بیت به بیت های بالا اضافه کنید.
77 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 20 = 0
2) کمی وارونگی انجام دهید (0 را با 1 و 1 را با 0 در همه جا جایگزین کنید):
3) در علامت گذاری عدد 4 واحد Þ جواب 2 است.
2. یک بایت برای ذخیره یک عدد صحیح امضا شده استفاده می شود. نمایش داخلی عدد (-128) شامل چند واحد است؟
3. یک بایت برای ذخیره یک عدد صحیح امضا شده استفاده می شود. چند واحد شامل نمایش داخلی یک عدد است (-35) ?
با این ماشین حساب آنلاین می توانید اعداد کامل و کسری را از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر تبدیل کنید. راه حل مفصل همراه با توضیحات ارائه شده است. برای ترجمه، شماره اصلی را وارد کنید، پایه سیستم اعداد شماره اصلی را تنظیم کنید، پایه سیستم اعدادی را که می خواهید شماره را به آن تبدیل کنید تنظیم کنید و روی دکمه "Translate" کلیک کنید. بخش تئوری و مثال های عددی را در زیر ببینید.
نتیجه قبلاً دریافت شده است!
ترجمه اعداد صحیح و کسری از یک سیستم عددی به سیستم دیگر - نظریه، مثال ها و راه حل ها
سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره استفاده می کنیم، موقعیتی است، در حالی که سیستم رومی اینطور نیست. در سیستم های اعداد موقعیتی، موقعیت یک عدد به طور منحصر به فرد بزرگی عدد را تعیین می کند. این را با استفاده از مثال عدد 6372 در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیرید. با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:
سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نمایش داد:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
عدد 10 سیستم اعداد را تعریف می کند (در این مورد 10 است). مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.
عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری می کنیم:
سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .
به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:
C n س n + C n-1 س n-1 +...+C 1 س 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
که در آن C n یک عدد صحیح در موقعیت است n، D -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره
چند کلمه در مورد سیستم های اعداد یک عدد در سیستم اعداد اعشاری از مجموعه ای از ارقام (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9) تشکیل شده است. مجموعه ای از ارقام (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم باینری - از مجموعه ای از ارقام (0،1)، در یک سیستم اعداد هگزا دسیمال - از مجموعه ای از ارقام ( 0،1،2،3،4،5،6، 7،8،9،A،B،C،D،E،F)، که در آن A،B،C،D،E،F با اعداد 10 مطابقت دارد، 11،12،13،14،15. در جدول 1 اعداد در سیستم های اعداد مختلف نشان داده شده اند.
| میز 1 | |||
|---|---|---|---|
| نشانه گذاری | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | آ |
| 11 | 1011 | 13 | ب |
| 12 | 1100 | 14 | سی |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | اف |
تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
برای ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری، آن را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.
تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری
با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.
مثال 1. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد باینری (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
مثال2. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
مثال 3 . عدد AB572.CDF را از هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- در 15
تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه ترجمه کنید.
قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری ترجمه می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای SS باینری - بر 2، برای SS 8 رقمی - بر 8 ، برای 16 رقم - در 16 و غیره) برای به دست آوردن کل باقیمانده، کمتر از پایه SS.
مثال 4 . بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
همانطور که در شکل دیده میشود. 1، عدد 159، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 می شود. علاوه بر این، عدد 79، هنگامی که بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 می شود و غیره. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ)، یک عدد در SS باینری بدست می آوریم: 10011111 . بنابراین، می توانیم بنویسیم:
159 10 =10011111 2 .
مثال 5 . بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که یک باقیمانده عدد صحیح کمتر از 8 بدست آورید. در نتیجه، یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ) می سازیم. یک عدد در SS octal بدست آورید: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین، می توانیم بنویسیم:
615 10 =1147 8 .
مثال 6 . بیایید عدد 19673 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم متوالی عدد 19673 بر 16، باقی مانده های 4، 12، 13، 9 را به دست می آوریم. عدد هگزادسیمال ما 4CD9 است.
برای تبدیل کسرهای اعشاری صحیح (یک عدد واقعی با یک عدد صحیح صفر) به یک سیستم اعداد با پایه s، این عدد باید به طور متوالی در s ضرب شود تا زمانی که قسمت کسری به صفر خالص برسد، در غیر این صورت تعداد ارقام لازم را به دست می آوریم. اگر حاصل ضرب عددی با جزء صحیح غیر از صفر باشد، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (به ترتیب به نتیجه اضافه می شوند).
بیایید با مثال به موارد بالا نگاه کنیم.
مثال 7 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.
| 0.214 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.392 |
همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به صورت متوالی در 2 ضرب می شود. و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر با ضرب عددی با جزء صحیح صفر به دست آید، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. روند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید یا تعداد ارقام لازم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین، عدد مورد نیاز را در سیستم باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .
بنابراین، می توانیم بنویسیم:
0.214 10 =0.0011011 2 .
مثال 8 . بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.
| 0.125 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.0 |
برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری این عدد متوالی در 2 ضرب می شود در مرحله سوم 0 به دست آمد بنابراین نتیجه زیر به دست آمد:
0.125 10 =0.001 2 .
مثال 9 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.
| 0.214 | ||
| ایکس | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| ایکس | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| ایکس | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| ایکس | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| ایکس | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| ایکس | 16 | |
| 4 | 0.224 |
به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد C و B با اعداد 12 و 11 مطابقت دارند. بنابراین، داریم:
0.214 10 = 0.36C8B4 16.
مثال 10 . بیایید عدد 0.512 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هشتی ترجمه کنیم.
| 0.512 | ||
| ایکس | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| ایکس | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| ایکس | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.728 |
اخذ شده:
0.512 10 =0.406111 8 .
مثال 11 . بیایید عدد 159.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب این نتایج بدست می آوریم:
159.125 10 =10011111.001 2 .
مثال 12 . بیایید عدد 19673.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب بیشتر این نتایج به دست می آوریم.
