Polaganje ispita i ne samo...
Čudno je da u školama na časovima informatike učenicima obično pokazuju najsloženiji i najnezgodniji način prevođenja brojeva iz jednog sistema u drugi. Ova metoda se sastoji u sekvencijalnom dijeljenju originalnog broja bazom i prikupljanju ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Na primjer, trebate pretvoriti broj 810 10 u binarni sistem:
Rezultat se piše obrnutim redoslijedom odozdo prema gore. Ispada 81010 = 11001010102
Ako trebate pretvoriti prilično velike brojeve u binarni sistem, tada ljestve podjele poprimaju veličinu višespratnice. I kako sakupiti sve jedinice sa nulama i ne propustiti nijednu?
Program USE u računarstvu uključuje nekoliko zadataka vezanih za prevođenje brojeva iz jednog sistema u drugi. Po pravilu se radi o konverziji između 8- i 16-arnog sistema i binarnog. To su sekcije A1, B11. Ali postoje i problemi sa drugim brojevnim sistemima, kao što je u odeljku B7.
Za početak, podsjetimo se dvije tabele koje bi bilo dobro znati napamet onima koji za buduću profesiju izaberu informatiku.
Tabela potencija broja 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Lako se dobija množenjem prethodnog broja sa 2. Dakle, ako se ne sjećate svih ovih brojeva, nije teško izvući ostatak na pamet od onih kojih se sjećate.
Tabela binarnih brojeva od 0 do 15 sa heksadecimalnim prikazom:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Vrijednosti koje nedostaju je također lako izračunati dodavanjem 1 poznatim vrijednostima.
Integer Translation
Dakle, počnimo sa direktnim pretvaranjem u binarni sistem. Uzmimo isti broj 810 10 . Ovaj broj trebamo rastaviti na pojmove jednake stepenu dvojke.
- Tražimo najbližu potenciju od dva do 810, ne prelazeći je. Ovo je 29 = 512.
- Oduzmite 512 od 810, dobijamo 298.
- Ponavljajte korake 1 i 2 dok ne ostane 1 ili 0.
- Dobili smo ga ovako: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
Metoda 1: Rasporedite 1 prema ciframa koje su indikatori pojmova pokazali. U našem primjeru, to su 9, 8, 5, 3 i 1. Ostala mjesta će biti nule. Dakle, dobili smo binarni prikaz broja 810 10 = 1100101010 2 . Jedinice su na 9., 8., 5., 3. i 1. mjestu, računajući s desna na lijevo od nule.
Metoda 2: Hajde da zapišemo članove kao stepene dva jedan ispod drugog, počevši od najveće.
810 =
A sada da sastavimo ove korake, kao da je lepeza presavijena: 1100101010.
To je sve. Usput se jednostavno rješava i problem „koliko jedinica ima u binarnom prikazu broja 810?“.
Odgovor je onoliko koliko je pojmova (potencija dvojke) u ovoj predstavi. 810 ima 5.
Sada je primjer jednostavniji.
Prevedemo broj 63 u 5-redni brojevni sistem. Najbliži stepen od 5 do 63 je 25 (kvadrat 5). Kocka (125) će već biti puno. To jest, 63 leži između kvadrata od 5 i kocke. Zatim biramo koeficijent za 5 2 . Ovo je 2.
Dobijamo 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .
I, konačno, vrlo laki prijevodi između 8- i 16-decimalnih sistema. Pošto je njihova baza stepen dvojke, prevođenje se vrši automatski, jednostavnom zamjenom cifara njihovim binarnim prikazom. Za oktalni sistem, svaka cifra se zamjenjuje sa tri binarne cifre, a za heksadecimalni sistem sa četiri. U ovom slučaju, sve vodeće nule su potrebne, osim najznačajnije znamenke.
Prevedemo broj 547 8 u binarni sistem.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Još jedan, na primjer 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Prevedemo broj 7368 u heksadecimalni sistem. Prvo napišite brojeve po troje, a zatim ih podijelite na četiri od kraja: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Pretvorimo broj C25 16 u sistem od 8. Prvo zapisujemo brojeve u četiri, a zatim ih dijelimo na tri od kraja: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Sada razmislite o ponovnom pretvaranju u decimale. Nije teško, glavna stvar je da ne napravite greške u proračunima. Broj dekomponujemo u polinom sa osnovnim stepenima i koeficijentima na njima. Zatim sve množimo i dodajemo. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 \u003d 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 = 474 .
Prijevod negativnih brojeva
Ovdje morate uzeti u obzir da će broj biti prikazan u dodatnom kodu. Da biste preveli broj u dodatni kod, morate znati konačnu veličinu broja, odnosno u šta želimo da ga upišemo - u bajt, u dva bajta, u četiri. Najznačajnija cifra broja označava znak. Ako postoji 0, onda je broj pozitivan, ako je 1, onda negativan. Na lijevoj strani, broj je dopunjen bitom znaka. Ne uzimamo u obzir brojeve bez predznaka, oni su uvijek pozitivni, a najznačajnija znamenka u njima se koristi kao informativna.
Da biste negativan broj pretvorili u komplement dva, trebate konvertirati pozitivan broj u binarni, zatim promijeniti nule u jedinice i jedinice u nule. Zatim dodajte 1 rezultatu.
Dakle, prevedemo broj -79 u binarni sistem. Broj će nam uzeti jedan bajt.
Prevedemo 79 u binarni sistem, 79 = 1001111. Dodamo nule lijevo na veličinu bajta, 8 bita, dobijemo 01001111. Mijenjamo 1 u 0 i 0 u 1. Dobijemo 10110000. Rezultatu dodamo 1, dobijamo odgovor 10110001. Usput, odgovaramo na USE pitanje „koliko jedinica ima u binarnom prikazu broja -79?“. Odgovor je 4.
Dodavanjem 1 inverznom broju eliminiše se razlika između reprezentacija +0 = 00000000 i -0 = 11111111. U komplementarnom kodu dva, biće napisano isto 00000000.
Prevođenje razlomaka brojeva
Razlomci se prevode obrnutim putem od dijeljenja cijelih brojeva bazom, što smo razmatrali na samom početku. Odnosno, uzastopnim množenjem novom bazom sa sakupljanjem celih delova. Cjelobrojni dijelovi dobiveni množenjem se prikupljaju, ali ne učestvuju u sljedećim operacijama. Množe se samo razlomci. Ako je originalni broj veći od 1, tada se cijeli broj i razlomak prevode odvojeno, a zatim lijepe zajedno.
Prevedemo broj 0,6752 u binarni sistem.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Proces se može nastaviti dugo dok ne dobijemo sve nule u razlomku ili dok se ne postigne potrebna tačnost. Zaustavimo se za sada na 6. znaku.
Ispada 0,6752 = 0,101011.
Ako je broj 5,6752, onda bi u binarnom obliku bio 101,101011.
Hajde da analiziramo jednu od najvažnijih tema u računarstvu -. U školskom planu i programu je otkriveno prilično „skromno“, najvjerovatnije zbog manjka sati predviđenih za to. Znanje o ovoj temi, posebno o prevod brojevnih sistema, preduslov su za uspješno polaganje ispita i upis na univerzitete na odgovarajućim fakultetima. U nastavku, koncepti kao što su pozicione i nepozicione sisteme brojeva, dati su primjeri ovih brojevnih sistema, pravila za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva, regularnih decimalnih razlomaka i mješovitih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sistem, pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni, pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog brojevnog sistema u binarni sistem brojeva predstavljeno. Ispiti sadrže veliki broj zadataka na ovu temu. Sposobnost njihovog rješavanja jedan je od zahtjeva za kandidate. Uskoro: Za svaku temu sekcije, pored detaljnog teorijskog materijala, biće predstavljene gotovo sve moguće opcije zadataka za samostalno učenje. Osim toga, imat ćete priliku besplatno preuzeti gotova detaljna rješenja za ove zadatke sa usluge hostinga datoteka, koja ilustruju različite načine da dobijete pravi odgovor.
pozicioni brojevni sistemi.
Nepozicioni sistemi brojeva- sistemi brojeva u kojima kvantitativna vrijednost cifre ne zavisi od njenog položaja u broju.
Nepozicioni sistemi brojeva uključuju, na primjer, rimski, gdje umjesto brojeva postoje latinična slova.
| I | 1 (jedan) |
| V | 5 (pet) |
| X | 10 (deset) |
| L | 50 (pedeset) |
| C | 100 (sto) |
| D | 500 (petsto) |
| M | 1000 (hiljadu) |
Ovdje slovo V znači 5, bez obzira na njegovu lokaciju. Međutim, vrijedno je napomenuti da iako je rimski numerički sistem klasičan primjer nepozicionog numeričkog sistema, on nije potpuno nepozicionalan, jer. manji broj prije nego što se od njega oduzme veći:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
pozicioni brojevni sistemi.
Pozicioni sistemi brojeva- sistemi brojeva u kojima kvantitativna vrijednost cifre zavisi od njenog položaja u broju.
Na primjer, ako govorimo o decimalnom brojevnom sistemu, onda u broju 700 broj 7 znači "sedam stotina", ali ista cifra u broju 71 znači "sedam desetica", au broju 7020 - "sedam hiljada" .
Svaki pozicioni brojevni sistem ima svoje baza. Baza je prirodni broj veći ili jednak dva. Jednako je broju cifara koje se koriste u ovom brojevnom sistemu.
- Na primjer:
- Binarno- pozicijski brojevni sistem sa osnovom 2.
- kvartar- pozicioni brojevni sistem sa bazom 4.
- petostruko- pozicijski brojevni sistem sa bazom 5.
- oktalno- pozicijski brojevni sistem sa bazom 8.
- Heksadecimalni- pozicijski brojevni sistem sa bazom 16.
Za uspješno rješavanje zadataka na temu "Brajevi sistemi", učenik mora znati napamet korespondenciju binarnih, decimalnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva do 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Korisno je znati kako se brojevi dobijaju u ovim brojevnim sistemima. To možete pogoditi u oktalnom, heksadecimalnom, ternarnom i drugom pozicioni brojevni sistemi sve se dešava slično nama poznatom decimalnom sistemu:
Jedan se dodaje broju i dobija se novi broj. Ako mjesto jedinica postane jednako osnovici brojevnog sistema, povećavamo broj desetica za 1, i tako dalje.
Ova "tranzicija jednog" je upravo ono što plaši većinu učenika. U stvari, sve je prilično jednostavno. Prijelaz se događa ako cifra jedinica postane jednaka baza brojevnog sistema, povećavamo broj desetica za 1. Mnogi, sećajući se starog dobrog decimalnog sistema, odmah se zbune u pražnjenju i u ovom prelazu, jer su decimalne i, na primer, binarne desetice različite stvari.
Dakle, snalažljivi učenici imaju "svoje metode" (iznenađujuće ... rade) kada ispunjavaju, na primjer, tablice istinitosti, čiji su prvi stupci (vrijednosti varijabli) u stvari ispunjeni binarnim brojevima u rastućem redoslijedu. .
Na primjer, pogledajmo unos brojeva oktalni sistem: Prvom broju (0) dodajemo 1, dobijamo 1. Zatim dodajemo 1 na 1, dobijamo 2, itd. do 7. Ako 7 dodamo jedan, dobijamo broj jednak osnovici brojevnog sistema, tj. 8. Zatim trebate povećati cifru desetice za jedan (dobijamo oktalnu deseticu - 10). Slijede, očigledno, brojevi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
pravila za konverziju iz jednog brojevnog sistema u drugi.
1 Pretvorite cjelobrojne decimalne brojeve u bilo koji drugi brojevni sistem.
Broj se mora podijeliti sa nova baza brojeva. Prvi ostatak dijeljenja je prva najmanje značajna znamenka novog broja. Ako je količnik dijeljenja manji ili jednak novoj bazi, tada se (količnik) mora ponovo podijeliti novom bazom. Dijeljenje se mora nastaviti sve dok ne dobijemo količnik manji od nove baze. Ovo je najviša znamenka novog broja (morate zapamtiti da, na primjer, u heksadecimalnom sistemu slova slijede iza 9, odnosno ako ste u ostatku dobili 11, trebate to napisati kao B).
Primjer ("podjela uglom"): Hajde da prevedemo broj 173 10 u oktalni brojevni sistem.
Dakle, 173 10 \u003d 255 8
2 Pretvaranje tačnih decimalnih razlomaka u bilo koji drugi brojni sistem.
Broj se mora pomnožiti sa novom bazom brojevnog sistema. Cifra koja je prešla u cijeli broj je najviša znamenka razlomka novog broja. da bi se dobila sljedeća znamenka, razlomak rezultujućeg proizvoda mora se ponovo pomnožiti s novom bazom brojevnog sistema dok ne dođe do prijelaza na cijeli broj. Nastavljamo množenje sve dok razlomak ne postane jednak nuli, ili dok ne dostignemo tačnost navedenu u zadatku ("... izračunaj s tačnošću od, na primjer, dvije decimale").
Primjer: Prevedemo broj 0,65625 10 u oktalni brojevni sistem.
Metode za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi.
Prevođenje brojeva iz jednog pozicionog brojevnog sistema u drugi: prevođenje cijelih brojeva.
Da biste pretvorili cijeli broj iz jednog brojevnog sistema s osnovom d1 u drugi s osnovom d2, morate uzastopno podijeliti ovaj broj i rezultirajuće količnike sa d2 osnovom novog sistema sve dok količnik ne bude manji od baze d2. Posljednji količnik je najviša cifra broja u novom brojevnom sistemu sa osnovom d2, a brojevi koji slijede su ostaci od dijeljenja, ispisani obrnutim redoslijedom od njihovog prijema. Izvršiti aritmetičke operacije u brojevnom sistemu u kojem je napisan prevedeni broj.
Primjer 1. Pretvorite broj 11(10) u binarni brojevni sistem.
Odgovor: 11(10)=1011(2).
Primjer 2. Pretvorite broj 122(10) u oktalni brojevni sistem.
Odgovor: 122(10)=172(8).
Primjer 3. Pretvorite broj 500(10) u heksadecimalni brojni sistem.
Odgovor: 500(10)=1F4(16).
Prevođenje brojeva iz jednog pozicionog brojevnog sistema u drugi: prevođenje pravih razlomaka.
Da biste konvertovali pravi razlomak iz brojevnog sistema sa osnovom d1 u sistem sa osnovom d2, potrebno je dosledno množiti originalni razlomak i razlomke dobijenih proizvoda sa osnovom novog brojevnog sistema d2. Tačan razlomak broja u novom brojevnom sistemu sa osnovom d2 formira se kao celi brojevi dobijenih proizvoda, počevši od prvog.
Ako prijevod rezultira razlomkom u obliku beskonačnog ili divergentnog niza, proces se može završiti kada se postigne potrebna tačnost.
Prilikom prevođenja mješovitih brojeva potrebno je prevesti cijeli i razlomački dio odvojeno u novi sistem prema pravilima za prevođenje cijelih brojeva i pravih razlomaka, a zatim oba rezultata spojiti u jedan mješoviti broj u novom brojevnom sistemu.
Primjer 1. Pretvorite broj 0,625(10) u binarni brojevni sistem.
Odgovor: 0,625(10)=0,101(2).
Primjer 2. Pretvorite broj 0,6 (10) u oktalni brojevni sistem.
Odgovor: 0,6(10)=0,463(8).
Primjer 2. Pretvorite broj 0,7(10) u heksadecimalni.
Odgovor: 0.7(10)=0.B333(16).
Pretvorite binarne, oktalne i heksadecimalne brojeve u decimalne.
Da biste broj P-arnog sistema pretvorili u decimalni, morate koristiti sljedeću formulu za proširenje:
anan-1…a1a0=anPn+ an-1Pn-1+…+ a1P+a0 .
Primjer 1. Pretvorite broj 101.11(2) u decimalni brojevni sistem.
Odgovor: 101,11(2)= 5,75(10) .
Primjer 2. Pretvorite broj 57,24(8) u decimalni brojevni sistem.
Odgovor: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Primjer 3. Pretvorite broj 7A,84(16) u decimalni brojevni sistem.
Odgovor: 7A,84(16)= 122.515625(10) .
Pretvaranje oktalnih i heksadecimalnih brojeva u binarne i obrnuto.
Za pretvaranje broja iz oktalnog u binarni, svaka cifra ovog broja mora biti napisana kao trocifreni binarni broj (trijada).
Primjer: Zapišite broj 16.24(8) u binarnom obliku.
Odgovor: 16,24(8)= 1110,0101(2) .
Da biste binarni broj ponovo pretvorili u oktalni brojevni sistem, morate originalni broj podijeliti na trozvuke lijevo i desno od decimalnog zareza i svaku grupu predstaviti kao broj u oktalnom brojevnom sistemu. Ekstremne nepotpune trozvuke upotpunjuju se nulama.
Primjer: Zapišite broj 1110.0101(2) u oktalnom obliku.
Odgovor: 1110.0101(2)= 16.24(8) .
Za konvertovanje broja iz heksadecimalnog sistema brojeva u binarni, svaka cifra ovog broja mora biti napisana kao četvorocifreni binarni broj (tetrada).
Primjer: zapišite broj 7A,7E(16) u binarnom brojevnom sistemu. 
Odgovor: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .
Napomena: Beznačajne nule lijevo za cijele brojeve i desno za razlomke se ne bilježe.
Da biste binarni broj ponovo pretvorili u heksadecimalni brojevni sistem, morate originalni broj podijeliti na tetrade lijevo i desno od decimalnog zareza i svaku grupu predstaviti kao broj u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Ekstremne nepotpune trozvuke upotpunjuju se nulama.
Primjer: napišite broj 1111010.0111111(2) u heksadecimalnom obliku.
Rezultat je već primljen!
Sistemi brojeva
Postoje pozicioni i nepozicioni sistemi brojeva. Arapski brojevni sistem koji koristimo u svakodnevnom životu je pozicioni, dok rimski nije. U pozicionim brojevnim sistemima, pozicija broja jednoznačno određuje veličinu broja. Razmotrite ovo na primjeru broja 6372 u decimalnom brojevnom sistemu. Numerimo ovaj broj s desna na lijevo počevši od nule:
Tada se broj 6372 može predstaviti na sljedeći način:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
Broj 10 definira sistem brojeva (u ovom slučaju to je 10). Vrijednosti položaja datog broja uzimaju se kao stepeni.
Razmotrimo pravi decimalni broj 1287.923. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalnog zareza lijevo i desno:
Tada se broj 1287.923 može predstaviti kao:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .
Općenito, formula se može predstaviti na sljedeći način:
C n s n + C n-1 s n-1 +...+C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
gdje je C n cijeli broj na poziciji n, D -k - razlomak na poziciji (-k), s- sistem brojeva.
Nekoliko riječi o brojevnim sistemima Broj u decimalnom brojevnom sistemu sastoji se od skupa cifara (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), u oktalnom brojevnom sistemu se sastoji od skup cifara (0,1, 2,3,4,5,6,7), u binarnom sistemu - iz skupa cifara (0.1), u heksadecimalnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), pri čemu A,B,C,D,E,F odgovaraju brojevima 10,11, 12,13,14,15 U tabeli 1 brojevi su predstavljeni u različitim brojevnim sistemima.
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notacija | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Za prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi, najlakši način je da prvo broj pretvorite u decimalni brojevni sistem, a zatim ga iz decimalnog brojevnog sistema prevedete u traženi brojevni sistem.
Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem
Koristeći formulu (1), možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem.
Primjer 1. Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Primjer2. Pretvorite broj 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:
Primjer 3 . Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalne u decimalni SS. Rješenje:
Evo A-zamijenjeno sa 10, B- u 11, C- u 12, F- u 15.
Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem
Da biste brojeve iz decimalnog brojevnog sistema pretvorili u drugi brojevni sistem, potrebno je da odvojeno prevedete celobrojni deo broja i razlomak broja.
Cjelobrojni dio broja se prevodi iz decimalnog SS u drugi brojevni sistem - uzastopnim dijeljenjem cijelog dijela broja sa osnovom brojevnog sistema (za binarni SS - sa 2, za 8-cifreni SS - sa 8, za 16-cifrenu - za 16, itd. ) da biste dobili cijeli ostatak, manji od baze SS.
Primjer 4 . Prevedemo broj 159 iz decimalnog SS u binarni SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kao što se može vidjeti sa sl. 1, broj 159, kada se podijeli sa 2, daje količnik 79, a ostatak je 1. Nadalje, broj 79, kada se podijeli sa 2, daje količnik 39, a ostatak je 1, i tako dalje. Kao rezultat toga, konstruiranjem broja od ostatka dijeljenja (s desna na lijevo), dobijamo broj u binarnom SS: 10011111 . Stoga možemo napisati:
159 10 =10011111 2 .
Primjer 5 . Pretvorimo broj 615 iz decimalnog SS u oktalni SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Prilikom pretvaranja broja iz decimalnog SS u oktalni SS, potrebno je da broj uzastopno podijelite sa 8 dok ne dobijete cijeli broj manji od 8. Kao rezultat, gradimo broj od ostatka dijeljenja (s desna na lijevo) dobiti broj u oktalnom SS: 1147 (vidi sliku 2). Stoga možemo napisati:
615 10 =1147 8 .
Primjer 6 . Prevedemo broj 19673 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kao što se vidi sa slike 3, uzastopnim dijeljenjem broja 19673 sa 16, dobili smo ostatke 4, 12, 13, 9. U heksadecimalnom brojevnom sistemu, broj 12 odgovara C, broj 13 - D. Dakle, naš heksadecimalni broj je 4CD9.
Da bismo konvertovali tačne decimalne razlomke (realan broj sa celim delom nula) u brojevni sistem sa osnovom s, ovaj broj se mora sukcesivno množiti sa s dok razlomak ne bude čista nula, ili dobijemo traženi broj cifara. Ako množenje rezultira brojem s cijelim dijelom koji nije nula, tada se ovaj cijeli dio ne uzima u obzir (oni su sekvencijalno uključeni u rezultat).
Pogledajmo gore navedeno s primjerima.
Primjer 7 . Prevedemo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kao što se može vidjeti na slici 4, broj 0,214 se sukcesivno množi sa 2. Ako je rezultat množenja broj čiji je cijeli broj različit od nule, tada se cijeli dio piše zasebno (lijevo od broja), a broj je zapisan cijelim dijelom nula. Ako se pri množenju dobije broj s cijelim dijelom nula, tada se nula upisuje lijevo od njega. Proces množenja se nastavlja sve dok se ne dobije čista nula u razlomku ili dok se ne dobije potreban broj znamenki. Upisujući podebljane brojeve (slika 4) od vrha do dna, dobijamo traženi broj u binarnom sistemu: 0. 0011011 .
Stoga možemo napisati:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Primjer 8 . Prevedemo broj 0,125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Da bi se broj 0,125 pretvorio iz decimalnog SS u binarni, ovaj broj se sukcesivno množi sa 2. U trećoj fazi je dobijeno 0. Dakle, dobijen je sljedeći rezultat:
0.125 10 =0.001 2 .
Primjer 9 . Prevedemo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Slijedeći primjere 4 i 5, dobijamo brojeve 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ali u heksadecimalnom SS, brojevi C i B odgovaraju brojevima 12 i 11. Dakle, imamo:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Primjer 10 . Prevedemo broj 0,512 iz decimalnog brojevnog sistema u oktalni SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
dobio:
0.512 10 =0.406111 8 .
Primjer 11 . Prevedemo broj 159.125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 4) i razlomak broja (Primjer 8). Kombinacijom ovih rezultata dobijamo:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Primjer 12 . Prevedemo broj 19673.214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 6) i razlomak broja (Primjer 9). Daljnjim kombinovanjem ovih rezultata dobijamo.
