Pretvorite iz decimalnih u binarne primjere. Pretvaranje brojeva u binarni, heksadecimalni, decimalni, oktalni sistem brojeva

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi važan je dio mašinske aritmetike. Razmotrite osnovna pravila prevođenja.

1. Da biste binarni broj pretvorili u decimalni, potrebno ga je zapisati kao polinom koji se sastoji od proizvoda cifara broja i odgovarajućeg stepena broja 2 i izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:

Prilikom prevođenja zgodno je koristiti tabelu dvojaka:

Tabela 4. Moći 2

Primjer.

2. Za prevođenje oktalnog broja u decimalni, potrebno ga je napisati kao polinom koji se sastoji od proizvoda cifara broja i odgovarajućeg stepena broja 8, te izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:

Prilikom prevođenja zgodno je koristiti tablicu potencija osam:

Tabela 5. Moći 8

Primjer. Pretvorite broj u decimalni brojevni sistem.

3. Da bi se heksadecimalni broj preveo u decimalni, potrebno ga je napisati kao polinom koji se sastoji od proizvoda cifara broja i odgovarajućeg stepena broja 16 i izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:

Prilikom prevođenja, zgodan je za korištenje blitz moći 16:

Tabela 6. Moći 16

Primjer. Pretvorite broj u decimalni brojevni sistem.

4. Da bi se decimalni broj pretvorio u binarni sistem, on se mora sukcesivno podijeliti sa 2 sve dok ne bude ostatak manji ili jednak 1. Broj u binarnom sistemu zapisuje se kao niz posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatak podjele obrnutim redoslijedom.

Primjer. Pretvorite broj u binarni sistem brojeva.

5. Da biste decimalni broj pretvorili u oktalni sistem, on se mora sukcesivno podijeliti sa 8 sve dok ne bude ostatak manji od ili jednak 7. Broj u oktalnom sistemu zapisuje se kao niz cifara posljednjeg rezultata dijeljenja a ostatak podjele obrnutim redoslijedom.

Primjer. Pretvorite broj u oktalni brojevni sistem.

6. Da bi se decimalni broj pretvorio u heksadecimalni sistem, on se mora sukcesivno podijeliti sa 16 dok ne bude ostatak manji ili jednak 15. Broj u heksadecimalnom sistemu je zapisan kao niz cifara posljednjeg rezultata dijeljenja a ostatak podjele obrnutim redoslijedom.

Primjer. Pretvorite broj u heksadecimalni.

Napomena 1

Ako želite da konvertujete broj iz jednog brojevnog sistema u drugi, zgodnije je prvo ga konvertovati u decimalni brojevni sistem, a tek onda preneti iz decimalnog brojevnog sistema u bilo koji drugi brojevni sistem.

Pravila za pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni

U kompjuterskoj tehnologiji koja koristi mašinsku aritmetiku, konverzija brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi igra važnu ulogu. U nastavku predstavljamo osnovna pravila za takve transformacije (prevode).

Prilikom prevođenja binarnog broja u decimalni, potrebno je binarni broj predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajuće snage osnovnog broja, u ovom slučaju $2 $, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Slika 1. Tabela 1

Primjer 1

Pretvorite broj $11110101_2$ u decimalni brojevni sistem.

Rješenje. Koristeći gornju tablicu $1$ stupnjeva baze $2$, predstavljamo broj kao polinom:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 + 128 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Da biste broj pretvorili iz oktalnog u decimalni, trebate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajuće snage osnovnog broja, u ovom slučaju $8$, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Slika 2. Tabela 2

Primjer 2

Pretvorite broj $75013_8$ u decimalni brojevni sistem.

Rješenje. Koristeći gornju tablicu $2$ stupnjeva baze $8$, predstavljamo broj kao polinom:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Da biste broj pretvorili iz heksadecimalnog u decimalni, trebate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajuće snage osnovnog broja, u ovom slučaju $16$, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Slika 3. Tabela 3

Primjer 3

Pretvorite broj $FFA2_(16)$ u decimalni brojevni sistem.

Rješenje. Koristeći gornju tabelu $3$ baznih potencija od $8$, predstavljamo broj kao polinom:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Pravila za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi

• Da biste broj pretvorili iz decimalnog u binarni, on se mora sukcesivno podijeliti sa $2$ dok ne bude ostatak manji ili jednak $1$. Broj u binarnom sistemu predstavljen je kao niz posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer 4

Pretvorite broj $22_(10)$ u binarni sistem brojeva.

Rješenje:

Slika 4

$22_{10} = 10110_2$

• Da biste broj pretvorili iz decimalnog u oktalni, on se mora sukcesivno podijeliti sa $8$ dok ne bude ostatak manji ili jednak $7$. Predstavite broj u oktalnom brojevnom sistemu kao niz cifara posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer 5

Pretvorite broj $571_(10)$ u oktalni brojevni sistem.

Rješenje:

Slika 5

$571_{10} = 1073_8$

• Da biste broj pretvorili iz decimalnog u heksadecimalni, on se mora sukcesivno podijeliti sa $16$ dok ne bude ostatak manji ili jednak $15$. Izrazite broj u heksadecimalu kao niz cifara posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer 6

Pretvorite broj $7467_(10)$ u heksadecimalni brojni sistem.

Rješenje:

Slika 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Da bi se pravilan razlomak iz decimalnog brojevnog sistema pretvorio u nedecimalni, potrebno je razlomački dio pretvorenog broja pomnožiti sa osnovom sistema u koji se pretvara. Frakcija u novom sistemu biće predstavljena kao celi delovi proizvoda, počevši od prvog.

Na primjer: $0.3125_((10))$ u oktalnom obliku bi izgledalo kao $0.24_((8))$.

U ovom slučaju možete naići na problem kada konačni decimalni razlomak može odgovarati beskonačnom (periodičnom) razlomku u nedecimalnom brojevnom sistemu. U ovom slučaju, broj cifara u razlomku predstavljenom u novom sistemu zavisiće od zahtevane tačnosti. Također treba napomenuti da cijeli brojevi ostaju cijeli brojevi, a pravi razlomci ostaju razlomci u bilo kojem brojevnom sistemu.

Pravila za pretvaranje brojeva iz binarnog brojevnog sistema u drugi

• Da bi se broj pretvorio iz binarnog u oktalni, on se mora podijeliti na trijade (trostruke znamenke), počevši od najmanje značajnog broja, ako je potrebno, dodati nule najvišoj trozvuci, a zatim zamijeniti svaki trozvuk odgovarajućom oktalnom znamenkom prema tabeli 4.

Slika 7. Tabela 4

Primjer 7

Pretvorite broj $1001011_2$ u oktalni brojevni sistem.

Rješenje. Koristeći tablicu 4, prevodimo broj iz binarnog u oktalni:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Da bi se broj pretvorio iz binarnog u heksadecimalni, treba ga podijeliti na tetrade (četiri znamenke), počevši od najmanje značajne znamenke, ako je potrebno, dopuniti staru tetradu nulama, zatim svaku tetradu treba zamijeniti odgovarajućom oktalnom znamenkom prema Tabela 4.

Kalkulator vam omogućava da konvertujete cijele i razlomke iz jednog brojevnog sistema u drugi. Osnova brojevnog sistema ne može biti manja od 2 i veća od 36 (na kraju krajeva, 10 cifara i 26 latiničnih slova). Brojevi ne smiju biti duži od 30 znakova. Za unos razlomaka koristite simbol. ili, . Da konvertujete broj iz jednog sistema u drugi, unesite originalni broj u prvo polje, bazu originalnog brojevnog sistema u drugo i bazu brojevnog sistema u koji želite da konvertujete broj u treće polje, zatim kliknite na dugme "Nabavi unos".

originalni broj zabilježeno u 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 -ti brojni sistem.

Želim da dobijem zapis o broju 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ti brojni sistem.

Uzmite unos

Izvršeni prijevodi: 1237177

Sistemi brojeva

Sistemi brojeva se dijele na dva tipa: pozicioni i nije poziciono. Koristimo arapski sistem, on je pozicioni, a postoji i rimski - samo nije pozicioni. U pozicionim sistemima, pozicija cifre u broju jedinstveno određuje vrijednost tog broja. Ovo je lako razumjeti gledajući primjer nekog broja.

Primjer 1. Uzmimo broj 5921 u decimalnom brojevnom sistemu. Numerimo broj s desna na lijevo počevši od nule:

Broj 5921 može se napisati u sljedećem obliku: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Broj 10 je karakteristika koja definira sistem brojeva. Vrijednosti položaja datog broja uzimaju se kao stepeni.

Primjer 2. Razmotrimo pravi decimalni broj 1234.567. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalnog zareza lijevo i desno:

Broj 1234.567 se može napisati na sljedeći način: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 -1 + 2 6 +7 10 -3 .

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi

Najlakši način da prevedete broj iz jednog brojevnog sistema u drugi je da broj prvo pretvorite u decimalni brojevni sistem, a zatim dobijeni rezultat u traženi brojevni sistem.

Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem

Za pretvaranje broja iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni, dovoljno je numerisati njegove znamenke, počevši od nule (cifra lijevo od decimalnog zareza) slično primjerima 1 ili 2. Nađimo zbir proizvoda cifara broja po osnovici brojevnog sistema na stepen pozicije ove cifre:

1. Pretvorite broj 1001101.1101 2 u decimalni brojevni sistem.
Rješenje: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
odgovor: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Pretvorite broj E8F.2D 16 u decimalni brojevni sistem.
Rješenje: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
odgovor: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem

Za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojni sistem, cijeli i razlomački dijelovi broja moraju se prevesti odvojeno.

Pretvaranje celobrojnog dela broja iz decimalnog sistema brojeva u drugi brojni sistem

Cjelobrojni dio se prevodi iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem sukcesivnim dijeljenjem cijelog broja sa osnovom brojevnog sistema dok se ne dobije cjelobrojni ostatak, manji od baze brojevnog sistema. Rezultat prijenosa bit će zapis iz ostataka, počevši od posljednjeg.

3. Pretvorite broj 273 10 u oktalni brojevni sistem.
Rješenje: 273 / 8 = 34 i ostatak 1, 34 / 8 = 4 i ostatak 2, 4 je manji od 8, tako da je proračun završen. Zapis ostataka će izgledati ovako: 421
Ispitivanje: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , rezultat je isti. Dakle, prevod je tačan.
odgovor: 273 10 = 421 8

Razmotrimo prevođenje tačnih decimalnih razlomaka u različite sisteme brojeva.

Pretvaranje razlomka broja iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem

Podsjetimo da je pravi decimalni razlomak realni broj sa nultim celim delom. Da biste preveli takav broj u brojevni sistem sa osnovom N, potrebno je da dosljedno množite broj sa N dok se razlomački dio ne poništi ili ne dobije potreban broj cifara. Ako se tokom množenja dobije broj čiji je cijeli broj drugačiji od nule, tada se cijeli dio više ne uzima u obzir, jer se sekvencijalno unosi u rezultat.

4. Pretvorite broj 0,125 10 u binarni brojevni sistem.
Rješenje: 0,125 2 = 0,25 (0 je cijeli broj, koji će biti prva znamenka rezultata), 0,25 2 = 0,5 (0 je druga znamenka rezultata), 0,5 2 = 1,0 (1 je treća znamenka rezultata , a budući da je razlomak nula , prijevod je gotov).
odgovor: 0.125 10 = 0.001 2

Pozdrav posjetitelju stranice! Nastavljamo da proučavamo protokol IP mrežnog sloja, tačnije njegovu IPv4 verziju. Na prvi pogled tema binarni brojevi i binarni brojevni sistem nema nikakve veze sa IP protokolom, ali ako se setite da kompjuteri rade sa nulama i jedinicama, ispada da je binarni sistem i njegovo razumevanje osnova osnova, potrebno nam je naučite kako pretvoriti brojeve iz binarnog u decimalni i obrnuto: decimalni u binarni. Ovo će nam pomoći da bolje razumijemo IP protokol, kao i kako funkcioniraju mrežne maske promjenjive dužine. Hajde da počnemo!

Ukoliko ste zainteresovani za temu računarskih mreža, možete pročitati i druge zapise sa kursa.

4.4.1 Uvod

Prije nego što počnemo, vrijedi objasniti zašto je mrežnom inženjeru potrebna ova tema. Iako ste se mogli uvjeriti u njegovu neophodnost kada smo razgovarali, ali, možete reći da postoje IP kalkulatori koji uvelike olakšavaju zadatak distribucije IP adresa, izračunavanja potrebnih podmrežnih/mrežnih maski i određivanja broja mreže i broja hosta u IP adresi . Tako je, ali IP kalkulator nije uvijek pri ruci, to je razlog broj jedan. Razlog broj dva je što vam Cisco ispiti neće dati IP kalkulator i to je to. pretvaranje IP adresa iz decimalne u binarne moraćete da uradite na komadu papira, a nema tako malo pitanja gdje se to traži na ispitu/ispitima za dobijanje CCNA certifikata, bit će šteta ako ispit bude zatrpan zbog takve sitnice. I konačno, razumijevanje binarnog brojevnog sistema dovodi do boljeg razumijevanja principa rada.

Općenito, od mrežnog inženjera se ne traži da u svom umu može prevesti brojeve iz binarnog u decimalni i obrnuto. Štaviše, rijetko ko zna kako to učiniti u svojim glavama, uglavnom nastavnici raznih kurseva o računarskim mrežama pripadaju ovoj kategoriji, jer se s tim svakodnevno suočavaju. Ali sa komadom papira i olovkom, trebalo bi da naučite kako da prevodite.

4.4.2 Decimalne cifre i brojevi, cifre u brojevima

Počnimo jednostavno i razgovarajmo o binarnim znamenkama i brojevima, znate da su brojevi i brojevi dvije različite stvari. Cifra je poseban simbol za označavanje, a broj je apstraktna oznaka koja označava količinu. Na primjer, da bismo napisali da imamo pet prstiju na ruci, možemo koristiti rimske i arapske brojeve: V i 5. U ovom slučaju, pet je i broj i broj. I, na primjer, za pisanje broja 20 koristimo dvije znamenke: 2 i 0.

Ukupno u decimalnom brojevnom sistemu imamo deset cifara ili deset znakova (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), kombinovanjem kojih možemo napisati različite brojeve. Koji princip se pridržavamo kada koristimo decimalni brojevni sistem? Da, sve je vrlo jednostavno, dižemo deset na ovaj ili onaj stepen, na primjer, uzmimo broj 321. Kako se može drugačije napisati, ali ovako: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Dakle, ispada da broj 321 predstavlja tri cifre:

1. Broj 3 označava najznačajniju cifru, ili u ovom slučaju to je cifra stotina, inače njihov broj.
2. Broj 2 je na mjestu desetica, imamo dvije desetice.
3. Broj jedan je najmanje značajna cifra.

Odnosno, u ovom unosu, dvojka nije samo dvojka, već dvije desetice ili dva puta deset. Trojka nije samo trojka, već tri puta sto. Ispada takva zavisnost: jedinica svake sljedeće cifre je deset puta veća od jedinice prethodne, jer ono što je 300 je tri puta sto. Digresija o decimalnom brojevnom sistemu bila je potrebna da bi se olakšalo razumijevanje binarne.

4.4.3 Binarne cifre i brojevi i njihova notacija

U binarnom brojevnom sistemu postoje samo dvije cifre: 0 i 1. Stoga je pisanje broja u binarnom obliku često mnogo veće nego u decimalnom. Sa izuzetkom brojeva 0 i 1, nula u binarnom sistemu jednaka je nuli u decimali, a isto važi i za jedan. Ponekad, da ne bi došlo do zabune u kom je sistemu brojeva napisan broj, koriste se podindeksi: 267 10, 10100 12, 4712 8. Broj u podindeksu označava sistem brojeva.

Znakovi 0b i &(ampersand) se mogu koristiti za pisanje binarnih brojeva: 0b10111, &111. Ako u decimalnom brojevnom sistemu za izgovor broja 245 koristimo ovu konstrukciju: dvjesto četrdeset pet, onda u binarnom brojevnom sistemu, da imenujemo broj, trebamo izgovoriti broj od svake cifre, na primjer, broj 1100 u binarnom brojevnom sistemu ne treba izgovarati kao hiljadu stotina, već kao jedan, jedan, nula, nula. Pogledajmo brojeve od 0 do 10 u binarnom zapisu:

Mislim da bi logika do sada trebala biti jasna. Ako smo u decimalnom brojevnom sistemu za svaku cifru imali na raspolaganju deset opcija (od 0 do 9 uključujući), onda u binarnom brojevnom sistemu u svakoj od cifara binarnog broja imamo samo dve opcije: 0 ili 1.

Za rad sa IP adresama i maskama podmreže, dovoljni su nam prirodni brojevi u binarnom sistemu, iako nam binarni sistem omogućava da pišemo razlomke i negativne brojeve, ali to nam nije potrebno.

4.4.4 Pretvaranje brojeva iz decimalnog u binarni

Hajde da budemo bolji u tome, kako pretvoriti broj iz decimalnog u binarni. A ovdje je sve zapravo vrlo, vrlo jednostavno, iako je teško objasniti riječima, pa ću odmah dati primjer pretvaranja brojeva iz decimalnog u binarni. Uzmimo broj 61, da bismo prešli u binarni sistem, trebamo ovaj broj podijeliti sa dva i vidjeti šta se dešava u ostatku dijeljenja. I rezultat dijeljenja se opet dijeli sa dva. U ovom slučaju, 61 je dividenda, uvijek ćemo imati dvojku kao djelitelj, a kvocijent (rezultat dijeljenja) opet podijelimo sa dva, nastavljamo dijeljenje dok količnik ne bude 1, ova zadnja jedinica će biti krajnja lijeva znamenka . Slika ispod to pokazuje.

Istovremeno, imajte na umu da broj 61 nije 101111, već 111101, odnosno rezultat ispisujemo s kraja. U posljednjem nema posebnog smisla dijeljenje sa dva, jer se u ovom slučaju koristi cjelobrojno dijeljenje, a ovim pristupom ispada kao na slici 4.4.2.

Ovo nije najbrži način pretvaranja broja iz binarnog u decimalni. Imamo nekoliko akceleratora. Na primjer, broj 7 u binarnom sistemu je napisan kao 111, broj 3 kao 11, a broj 255 kao 11111111. Svi ovi slučajevi su nečuveno jednostavni. Činjenica je da su brojevi 8, 4 i 256 stepen dvojke, a brojevi 7, 3 i 255 su jedan manji od ovih brojeva. Dakle, za broj koji je za jedan manji od broja jednakog stepenu dvojke, važi jednostavno pravilo: u binarnom sistemu takav decimalni broj se zapisuje kao broj jedinica jednak stepenu dvojke. Tako, na primjer, broj 256 je dva na osmi stepen, dakle, 255 se zapisuje kao 11111111, a broj 8 je dva na treći stepen, a to nam govori da će 7 u binarnom sistemu biti zapisano kao 111. Pa, shvatite, kako napisati 256, 4 i 8 u binarnom obliku također nije teško, samo dodajte jedan: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Bilo koji od svojih rezultata možete provjeriti na kalkulatoru, a u početku je bolje to učiniti.

Kao što vidite, još nismo zaboravili kako dijeliti. A sada možemo da idemo dalje.

4.4.5 Pretvaranje brojeva iz binarnog u decimalni

Pretvaranje brojeva iz binarnog sistema je mnogo lakše nego pretvaranje iz decimalnog u binarni. Kao primjer prijevoda koristit ćemo broj 11110. Obratite pažnju na ploču ispod, ona pokazuje stepen na koji trebate podići dvojku da biste na kraju dobili decimalni broj.

Da biste dobili decimalni broj iz ovog binarnog broja, trebate svaki broj u cifre pomnožiti sa dva na stepen, a zatim dodati rezultate množenja, lakše je prikazati:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Otvorimo kalkulator i uvjerimo se da je 30 u decimalnom obliku 11110 u binarnom obliku.

Vidimo da je sve urađeno kako treba. Iz primjera se to vidi pretvaranje broja iz binarnog u decimalni broj je mnogo lakše nego vraćanje nazad. Da biste radili sa samopouzdanjem, trebate zapamtiti samo potencije dvojke do 2 8 . Radi jasnoće daću tabelu.

Ne treba nam više, jer je maksimalni mogući broj koji se može upisati u jedan bajt (8 bitova ili osam binarnih vrijednosti) 255, odnosno u svakom oktetu IP adrese ili IPv4 podmrežne maske, maksimalna moguća vrijednost je 255. Postoje polja u kojima postoje vrijednosti veće od 255, ali ih ne moramo izračunavati.

4.4.6 Sabiranje, oduzimanje, množenje binarnih brojeva i druge operacije sa binarnim brojevima

Pogledajmo sada operacije koje se mogu izvesti nad binarnim brojevima. Počnimo s jednostavnim aritmetičkim operacijama, a zatim pređimo na operacije Booleove algebre.

Binarno sabiranje

Dodavanje binarnih brojeva nije tako teško: 1+0 =1; 1+1=0 (kasnije ću dati objašnjenje); 0+0=0. Ovo su bili jednostavni primjeri gdje je korištena samo jedna cifra, pogledajmo primjere gdje je broj cifara više od jedne.
101 + 1101 u decimali je 5 + 13 = 18. Brojimo u koloni.

Rezultat je istaknut narandžastom bojom, kalkulator kaže da smo ispravno izračunali, možete provjeriti. Sada da vidimo zašto se to dogodilo, jer sam prvo napisao da je 1 + 1 = 0, ali ovo je za slučaj kada imamo samo jednu cifru, za slučajeve kada ima više cifara, 1 + 1 = 10 (ili dvije decimalno), što je logično.

Onda pogledajte šta se dešava, vršimo sabiranja po ciframa s desna na lijevo:

1. 1+1=10, upišite nulu i jedan ide na sljedeći bit.

2. U sljedećoj cifri se dobija 0+0+1=1 (ova jedinica nam je došla iz rezultata sabiranja u koraku 1).

4. Ovdje imamo jedinicu samo za drugi broj, ali ona je ovdje prenesena, tako da je 0 + 1 + 1 = 10.

5. Zalijepite sve zajedno: 10|0|1|0.

Ako je lijenost u koloni, onda računajmo ovako: 101011 + 11011 ili 43 + 27 = 70. Šta možemo ovdje, ali pogledajmo, jer nam niko ne zabranjuje transformacije, a zbir se ne mijenja od promjene mjesta termina, ovo pravilo važi i za binarni brojevni sistem.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

Možete provjeriti pomoću kalkulatora, 1000110 u binarnom obliku je 70 u decimali.

Oduzimanje binarnih brojeva

Odmah primjer za oduzimanje jednocifrenih brojeva u binarnom brojevnom sistemu, nismo govorili o negativnim brojevima, pa ne uzimamo u obzir 0-1: 1 - 0 = 1; 0 - 0 = 0; 1 - 1 = 0. Ako ima više od jedne cifre, onda je sve također jednostavno, čak i nisu potrebni stupci i trikovi: 110111 - 1000, ovo je isto kao 55 - 8. Kao rezultat, dobijamo 101111. I srce je prestalo kucati, odakle jedinica u trećoj cifri (numeracija s lijeva na desno i počinje od nule)? Da, sve je jednostavno! U drugoj cifri broja 110111 nalazi se 0, a u prvoj cifri 1 (ako pretpostavimo da numeracija cifara počinje od 0 i ide s lijeva na desno), ali se dobiva jedinica četvrte cifre dodavanjem dvije jedinice treće cifre (dobija se neka vrsta virtuelne dvije) i od ove dvojke oduzimamo jednu, koja se nalazi u nultoj cifre broja 1000, ali 2 - 1 = 1, pa, 1 je valjana cifra u binarnom brojevnom sistemu.

Množenje binarnih brojeva

Ostaje nam da razmotrimo množenje binarnih brojeva, koje se provodi pomicanjem jednog bita ulijevo. Ali prvo, pogledajmo rezultate jednocifrenog množenja: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Zapravo, sve je jednostavno, sada pogledajmo nešto složenije. Uzmimo brojeve 101001 (41) i 1100 (12). Pomnožićemo sa kolonom.

Ako iz tabele nije jasno kako se to dogodilo, pokušaću da objasnim rečima:

1. Pogodno je množiti binarne brojeve u stupcu, pa drugi faktor ispisujemo ispod prvog, ako brojevi imaju različit broj znamenki, onda će biti zgodnije ako je veći broj na vrhu.
2. Sljedeći korak je množenje svih cifara prvog broja sa najmanje značajnom znamenkom drugog broja. Rezultat množenja zapisujemo u nastavku, u ovom slučaju ga je potrebno zapisati tako da se rezultat množenja upiše ispod svake odgovarajuće znamenke.
3. Sada moramo pomnožiti sve cifre prvog broja sa sljedećom znamenkom drugog broja i rezultat napisati još jedan red ispod, ali ovaj rezultat treba pomaknuti za jednu cifru ulijevo, ako pogledate tabelu, ovo je drugi niz nula od vrha.
4. Isto morate učiniti za sljedeće cifre, svaki put pomjerajući jednu cifru ulijevo, a ako pogledate tabelu, možete reći da je jedna ćelija ulijevo.
5. Dobili smo četiri binarna broja, koje sada trebamo sabrati i dobiti rezultat. Uz to što smo nedavno razmatrali, problemi ne bi trebali nastati.

Općenito, operacija množenja nije tako teška, samo trebate malo vježbati.

Operacije Bulove algebre

U Booleovoj algebri postoje dva veoma važna koncepta: istinito (tačno) i netačno (netačno), ekvivalentni su nula i jedan u binarnom brojevnom sistemu. Operatori Bulove algebre proširuju broj dostupnih operatora na ovim vrijednostima, hajde da ih pogledamo.

Operacija "Logički I" ili I

Operacija "Logički I" ili AND je ekvivalentna množenju jednobitnih binarnih brojeva.

1 I 1 = 1; 1 I 0 = 1; 0 I 0 = 0; 0 I 1 = 0.

Rezultat "Logički I" bit će jedan samo ako su obje vrijednosti jednake jedan, u svim ostalim slučajevima bit će nula.

Operacija "Logički OR" ili OR

Operacija "Logički ILI" ili ILI radi prema sljedećem principu: ako je barem jedna vrijednost jednaka jedan, onda će rezultat biti jedan.

1 ILI 1 = 1; 1 ILI 0 = 1; 0 ILI 1 = 1; 0 ILI 0 = 0.

XOR operacija

Operacija XOR ili XOR će nam dati rezultat jedan samo ako je jedan od operanada jednak jedan, a drugi jednak nuli. Ako su oba operanda nula, bit će nula, a čak i ako su oba operanda jednaka jedan, rezultat će biti nula.

Zapišite broj u binarnom zapisu, a stepen dvojke s desna na lijevo. Na primjer, želimo da pretvorimo binarni broj 10011011 2 u decimalni. Hajde da to prvo zapišemo. Zatim zapisujemo stepene dvojke s desna na lijevo. Počnimo sa 2 0 , što je jednako "1". Povećavamo stepen za jedan za svaki sljedeći broj. Zaustavljamo se kada je broj elemenata na listi jednak broju cifara u binarnom broju. Naš primjer broja, 10011011, ima osam cifara, tako da bi lista od osam stavki izgledala ovako: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Zapišite cifre binarnog broja pod odgovarajućim stepenom dvojke. Sada samo napišite 10011011 pod 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 i 1 tako da svaka binarna znamenka odgovara vlastitoj potenciji dvojke. Krajnji desni "1" binarnog broja mora odgovarati krajnjem desnom "1" stepena dvojke, i tako dalje. Ako vam je ugodnije, možete napisati binarni broj preko stepena dvojke. Najvažnije je da se međusobno slažu.

Povežite cifre u binarnom broju sa odgovarajućim stepenom dvojke. Nacrtajte linije (s desna na lijevo) koje povezuju svaku uzastopnu cifru binarnog broja na stepen dva iznad njega. Počnite crtati linije tako što ćete prvu cifru binarnog broja povezati sa prvim stepenom dva iznad njega. Zatim povucite liniju od druge cifre binarnog broja do drugog stepena dvojke. Nastavite da povezujete svaku cifru na odgovarajući stepen dvojke. Ovo će vam pomoći da vizuelno vidite odnos između dva različita skupa brojeva.

Zapišite konačnu vrijednost svakog stepena dvojke. Prođite kroz svaku cifru binarnog broja. Ako je ovaj broj 1, upišite odgovarajući stepen dvojke ispod broja. Ako je ovaj broj 0, upišite ispod broja 0.

• Pošto "1" odgovara "1", ostaje "1". Pošto "2" odgovara "1", ostaje "2". Pošto "4" odgovara "0", postaje "0". Pošto "8" odgovara "1" postaje "8", a pošto "16" odgovara "1" postaje "16". "32" odgovara "0" i postaje "0", "64" odgovara "0" i stoga postaje "0", dok "128" odgovara "1" i postaje 128.