Počnimo proučavati temu" Neodređeni integral", a detaljno ćemo analizirati i primjere rješenja najjednostavnijih (i ne tako jednostavnih) integrala. Kao i obično, ograničićemo se na minimum teorije, koji se nalazi u brojnim udžbenicima, a naš zadatak je da naučimo kako da rešavamo integrale.

Šta trebate znati da biste uspješno savladali gradivo? Da biste se nosili sa integralnim računom, morate biti u stanju pronaći derivate na minimumu, na srednjem nivou. Neće biti gubljenje iskustva ako imate nekoliko desetina, ili još bolje, stotine nezavisno pronađenih derivata ispod vašeg pojasa. U najmanju ruku, ne biste trebali biti zbunjeni zadacima razlikovanja najjednostavnijih i najčešćih funkcija.

Reklo bi se, kakve veze imaju derivati ​​ako je članak o integralima?! Evo u čemu je stvar. Činjenica je da su pronalaženje izvoda i nalaženje neodređenih integrala (diferencijacija i integracija) dvije međusobno inverzne radnje, kao što su sabiranje/oduzimanje ili množenje/dijeljenje. Dakle, bez vještine i ikakvog iskustva u pronalaženju derivata, nažalost, ne možete ići naprijed.

S tim u vezi biće nam potrebni sljedeći nastavni materijali: Tabela derivata I Tabela integrala.

Koja je poteškoća u učenju neodređenih integrala? Ako u derivatima postoji striktno 5 pravila diferencijacije, tablica derivacija i prilično jasan algoritam akcija, onda je u integralima sve drugačije. Postoje desetine metoda i tehnika integracije. A, ako je inicijalno pogrešno odabran metod integracije (tj. ne znate kako to riješiti), onda možete bukvalno danima "bockati" integral, poput prave slagalice, pokušavajući uočiti razne tehnike i trikove. Nekima se čak i sviđa.

Inače, od studenata (bez humanističkih smerova) dosta često smo čuli mišljenje poput: „Nikada me nije zanimalo da rešavam granicu ili derivaciju, ali integrali su sasvim druga stvar, fascinantno je, uvek postoji želja da se “hakuje” složeni integral.” . Stani. Dosta je bilo crnog humora, pređimo na ove vrlo neodređene integrale.

Pošto postoji mnogo načina da se to riješi, gdje bi onda čajnik trebao početi proučavati neodređene integrale? U integralnom računu, po našem mišljenju, postoje tri stuba ili neka vrsta „osovine“ oko koje se sve ostalo okreće. Prije svega, trebali biste dobro razumjeti najjednostavnije integrale (ovaj članak).

Zatim morate detaljno proraditi lekciju. OVO JE NAJVAŽNIJA TEHNIKA! Možda čak i najvažniji članak od svih članaka o integralima. I treće, svakako biste trebali pročitati metoda integracije po dijelovima, budući da integriše široku klasu funkcija. Ako savladate barem ove tri lekcije, onda više nećete imati dvije. Možda će vam biti oprošteno što niste znali integrali trigonometrijskih funkcija, integrali razlomaka, integrali frakciono-racionalnih funkcija, integrali iracionalnih funkcija (korijeni), ali ako “upadnete u probleme” sa metodom zamjene ili metodom integracije po dijelovima, onda će to biti jako, jako loše.

Dakle, počnimo jednostavno. Pogledajmo tabelu integrala. Kao i kod izvedenica, primjećujemo nekoliko pravila integracije i tablicu integrala nekih elementarnih funkcija. Bilo koji tablični integral (i zaista svaki neodređeni integral) ima oblik:

Hajde da odmah shvatimo oznake i termine:

– integralna ikona.

– funkcija integranda (napisana slovom “s”).

– ikona diferencijala. O čemu se radi, pogledaćemo vrlo brzo. Glavna stvar je da je prilikom pisanja integrala i tokom rješavanja važno da ne izgubite ovu ikonu. Biće primetna mana.

– izraz integranda ili “punjenje” integrala.

– antiderivativ funkcija.

– . Nema potrebe da se previše opterećujete terminima; najvažnije je da se u bilo kom neodređenom integralu odgovoru dodaje konstanta.

Rješavanje neodređenog integrala znači pronalaženjemnoge primitivne funkcije iz datog integrala

Pogledajmo ponovo unos:

Pogledajmo tabelu integrala.

Šta se dešava? Imamo lijevi dio pretvoriti u na druge funkcije: .

Hajde da pojednostavimo našu definiciju:

Riješiti neodređeni integral - to znači TRANSFORMIRAJTE ga u nedefinisanu (do konstantnu) funkciju , koristeći neka pravila, tehnike i tabelu.

Uzmimo, na primjer, integral tablice . Šta se desilo? Simbolička notacija evoluirala je u mnoge primitivne funkcije.

Kao iu slučaju derivacija, da bismo naučili kako pronaći integrale, nije potrebno biti svjestan šta je integralna ili antiderivativna funkcija sa teorijske tačke gledišta. Dovoljno je jednostavno izvršiti transformacije prema nekim formalnim pravilima. Dakle, u slučaju Uopće nije potrebno razumjeti zašto se integral pretvara u . Ovu i druge formule možete uzeti zdravo za gotovo. Svi koriste struju, ali malo ljudi razmišlja o tome kako elektroni putuju kroz žice.

Budući da su diferencijacija i integracija suprotne operacije, za svaki antiderivat koji je ispravno pronađen vrijedi sljedeće:

Drugim riječima, ako razlikujete tačan odgovor, tada morate dobiti originalnu funkciju integranda.

Vratimo se na isti integral tablice .

Hajde da provjerimo valjanost ove formule. Uzimamo derivaciju desne strane:

je originalna funkcija integranda.

Usput, postalo je jasnije zašto se konstanta uvijek dodjeljuje funkciji. Kada se diferencira, konstanta se uvijek pretvara u nulu.

Riješiti neodređeni integral- to znači pronaći gomila svima antiderivate, a ne samo jednu funkciju. U primjeru tablice koji se razmatra, , , , itd. – sve ove funkcije su rješenja integrala. Rješenja ima beskonačno mnogo, pa ćemo to ukratko zapisati:

Stoga je bilo koji neodređeni integral prilično lako provjeriti. Ovo je neka kompenzacija za veliki broj integrala različitih tipova.

Idemo dalje na razmatranje konkretnih primjera. Počnimo, kao u proučavanju derivacije, s dva pravila integracije:

– konstantno C može (i treba) biti izbačen iz predznaka integrala.

– integral zbira (razlike) dvije funkcije jednak je zbiru (razlici) dvaju integrala. Ovo pravilo važi za bilo koji broj termina.

Kao što vidite, pravila su u osnovi ista kao i za derivate. Ponekad se zovu svojstva linearnosti integral.

Primjer 1

Pronađite neodređeni integral.

.

Izvršite provjeru.

Rješenje: Pogodnije ga je pretvoriti kao.

(1) Primijenite pravilo . Zaboravljamo da zapišemo ikonu diferencijala dx ispod svakog integrala. Zašto ispod svake? dx– ovo je punopravni množitelj. Ako to detaljno opišemo, prvi korak bi trebao biti napisan ovako:

.

(2) Prema pravilu pomeramo sve konstante izvan predznaka integrala. Napominjemo da je u prošlom mandatu tg 5 je konstanta, mi to također vadimo.

Osim toga, u ovom koraku pripremamo korijene i moći za integraciju. Na isti način kao i kod diferencijacije, korijeni moraju biti predstavljeni u obliku . Pomjerite korijene i potencije koji se nalaze u nazivniku prema gore.

Bilješka: Za razliku od derivacija, korijene u integralima ne treba uvijek svesti na oblik , i pomjerite stepene prema gore.

Na primjer, - ovo je gotov tablični integral, koji je već izračunat prije vas, i sve vrste kineskih trikova poput potpuno nepotrebno. Isto tako: – ovo je također tablični integral; nema smisla predstavljati razlomak u obliku . Pažljivo proučite tabelu!

(3) Svi naši integrali su tabelarni. Transformaciju provodimo pomoću tablice koristeći formule: , And

za funkciju snage - .

Treba napomenuti da je tablični integral poseban slučaj formule za funkciju stepena: .

Konstantno C dovoljno je dodati jednom na kraju izraza

(umjesto da ih stavljamo iza svakog integrala).

(4) Dobiveni rezultat zapisujemo u kompaktnijem obliku, kada su sve potencije u obliku

opet ih predstavljamo u obliku korijena, a stepene s negativnim eksponentom resetujemo nazad u nazivnik.

Ispitivanje. Da biste izvršili provjeru, potrebno je razlikovati primljeni odgovor:

Dobio original integrand, tj. integral je pravilno pronađen. Ono od čega su plesali je ono čemu su se i vratili. Dobro je kada se priča sa integralom završi ovako.

S vremena na vrijeme postoji malo drugačiji pristup provjeri neodređenog integrala, kada se iz odgovora ne uzima derivacija, već diferencijal:

.

Kao rezultat, dobijamo ne integrand funkciju, već integrand izraz.

Nemojte se plašiti koncepta diferencijala.

Diferencijal je izvod pomnožen sa dx.

Međutim, nama nisu važne teorijske suptilnosti, već šta dalje s ovim diferencijalom. Diferencijal se otkriva na sljedeći način: ikona d uklonimo ga, stavimo prost sa desne strane iznad zagrade, dodamo faktor na kraj izraza dx :

Primljen original integrand, odnosno integral je pravilno pronađen.

Kao što vidite, diferencijal se svodi na pronalaženje derivacije. Drugi način provjere mi se manje sviđa, jer moram dodatno nacrtati velike zagrade i povući ikonu diferencijala dx do kraja provjere. Mada je ispravnije, ili „uglednije” ili tako nešto.

U stvari, bilo je moguće šutjeti o drugom načinu provjere. Poenta nije u metodi, već u činjenici da smo naučili da otvaramo diferencijal. Opet.

Diferencijal se otkriva na sljedeći način:

1) ikona d ukloniti;

2) desno iznad zagrade stavljamo crtu (oznaka izvedenice);

3) na kraju izraza dodjeljujemo faktor dx .

Na primjer:

Zapamtite ovo. Ova tehnika će nam uskoro trebati.

Primjer 2

.

Kada pronađemo neodređeni integral, UVIJEK pokušavamo provjeritiŠtaviše, postoji velika prilika za to. Nisu sve vrste zadataka u višoj matematici dar sa ove tačke gledišta. Nema veze što provjere često nisu potrebne u testnim zadacima; niko i ništa vas ne sprečava da to uradite na nacrtu. Izuzetak se može napraviti samo kada nema dovoljno vremena (na primjer, tokom testa ili ispita). Ja lično uvijek provjeravam integrale, a nedostatak provjere smatram hakerskim poslom i loše obavljenim zadatkom.

Primjer 3

Pronađite neodređeni integral:

. Izvršite provjeru.

Rješenje: Analizirajući integral, vidimo da pod integralom imamo proizvod dvije funkcije, pa čak i eksponencijaciju cijelog izraza. Nažalost, na polju integralne bitke br dobro i udobno formule za integraciju proizvoda i količnika kao: ili .

Stoga, kada je dat proizvod ili količnik, uvijek ima smisla vidjeti da li je moguće transformirati integrand u zbir? Primjer koji se razmatra je slučaj kada je to moguće.

Prvo ćemo predstaviti kompletno rješenje, komentari će biti ispod.

Dobio original integrand, što znači da je integral ispravno pronađen.

Tokom testiranja, uvijek je preporučljivo funkciju “upakirati” u njen izvorni oblik, u ovom slučaju je izvaditi iz zagrada i primijeniti skraćenu formulu množenja u suprotnom smjeru: .

Primjer 4

Pronađite neodređeni integral

Izvršite provjeru.

Ovo je primjer da sami riješite. Odgovor i kompletno rješenje nalaze se na kraju lekcije.

Primjer 5

Pronađite neodređeni integral

. Izvršite provjeru.

U ovom primjeru, integrand je razlomak. Kada vidimo razlomak u integrandu, prva pomisao bi trebala biti pitanje: „Da li je moguće nekako riješiti ovaj razlomak, ili ga barem pojednostaviti?“

Primećujemo da imenilac sadrži jedan koren od „X“. Onaj u polju nije ratnik, što znači da možemo podijeliti brojilac sa nazivnikom, član po član:

Ne komentarišemo akcije sa razlomkom, jer se o njima mnogo puta govorilo u člancima o derivaciji funkcije.

Ako ste još uvijek zbunjeni primjerom kao što je

i ni u kom slučaju ne izlazi tačan odgovor,

Također imajte na umu da rješenju nedostaje jedan korak, odnosno primjena pravila , . Obično, uz određeno iskustvo u rješavanju integrala, ova pravila se smatraju očiglednom činjenicom i nisu detaljno opisana.

Primjer 6

Pronađite neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer da sami riješite. Odgovor i kompletno rješenje nalaze se na kraju lekcije.

U općenitom slučaju, s razlomcima u integralima, nije sve tako jednostavno; dodatni materijal o integraciji razlomaka nekih vrsta može se pronaći u članku: Integracija nekih razlomaka. Ali, prije nego što pređete na gornji članak, morate se upoznati s lekcijom: Metoda zamjene u neodređenom integralu. Poenta je da je podvođenje funkcije pod diferencijalnu ili varijabilnu metodu zamjene ključna tačka u proučavanju teme, budući da se nalazi ne samo "u čistim zadacima na metodu zamjene", već i u mnogim drugim vrstama integrala.

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje:

Primjer 4: Rješenje:

U ovom primjeru koristili smo skraćenu formulu množenja

Primjer 6: Rješenje:

Riječ "integral" dolazi od latinskog integralis - integral. Ovo ime je predloženo u 17. veku. učenik velikog Leibniza (a takođe i izvanrednog matematičara) I. Bernoullija. Šta je integral u modernom smislu? U nastavku ćemo pokušati dati sveobuhvatan odgovor na ovo pitanje.

Istorijska pozadina za nastanak koncepta integrala

Početkom 17. vijeka. Vodeći naučnici su razmatrali veliki broj fizičkih (prvenstveno mehaničkih) problema u kojima je bilo potrebno proučavati zavisnost jednih veličina od drugih. Najočigledniji i najhitniji problemi bili su određivanje trenutne brzine neravnomjernog kretanja tijela u bilo kojem trenutku i inverzni problem pronalaženja udaljenosti koju je tijelo prešlo u određenom vremenskom periodu tokom takvog kretanja. Danas već znamo šta je integral brzine kretanja - to je pređeni put. Ali razumijevanje kako to izračunati, znajući brzinu u svakom trenutku, nije se pojavilo odmah.

Najprije, iz razmatranja takvih ovisnosti fizičkih veličina, na primjer, putanje od brzine, formiran je matematički koncept funkcije y = f(x). Proučavanje svojstava različitih funkcija dovelo je do rođenja matematičke analize. Naučnici su aktivno tražili načine za proučavanje svojstava različitih funkcija.

Kako je došlo do izračunavanja integrala i izvoda?

Nakon što je Descartes stvorio temelje analitičke geometrije i pojavu mogućnosti grafičkog prikaza funkcionalnih ovisnosti u osi kartezijanskog koordinatnog sistema, istraživači su se suočili s dva velika nova problema: kako nacrtati tangentu na krivu liniju u bilo kojoj tački i kako pronaći površinu figure ograničenu odozgo ovom krivom i pravim linijama paralelno sa koordinatnim osa. Neočekivano, pokazalo se da je prvi od njih ekvivalentan pronalaženju trenutne brzine, a drugi je ekvivalentan pronalaženju prijeđenog puta. Na kraju krajeva, tokom neravnomjernog kretanja bilo je prikazano u kartezijanskim koordinatnim osama „udaljenost“ i „vrijeme“ nekom zakrivljenom linijom.

Genije Lajbnica i Njutna sredinom 17. veka. stvorene su metode koje su omogućile rješavanje oba ova problema. Pokazalo se da je za povlačenje tangente na krivu u nekoj tački potrebno pronaći vrijednost takozvane derivacije funkcije koja opisuje ovu krivu u njenoj tački koja se razmatra, a ta vrijednost se ispostavi da je jednaka na brzinu promjene funkcije, odnosno u odnosu na zavisnost “puta od brzine” same trenutne brzine tijela.

Da bi se pronašla površina ograničena krivom linijom, bilo je potrebno izračunati određeni integral koji je dao njegovu tačnu vrijednost. Derivat i integral su osnovni pojmovi diferencijalnog i integralnog računa, koji su osnova savremene matematičke analize – najvažnije grane više matematike.

Područje ispod zakrivljene linije

Dakle, kako odrediti njegovu tačnu vrijednost? Pokušajmo detaljno, od samih osnova, otkriti proces njegovog izračunavanja kroz integral.

Neka je f funkcija kontinuirana na intervalu. Razmotrimo krivu y = f(x), prikazanu na donjoj slici. Kako pronaći površinu područja ograničene krivuljom), osom x i linijama x = a i x = b? To jest, područje zasjenjene figure na slici.

Najjednostavniji slučaj je kada je f konstantna funkcija; odnosno, kriva je horizontalna linija f(X) = k, gdje je k konstanta i k ≥ 0, kao što je prikazano na donjoj slici.

U ovom slučaju, površina ispod krive je samo pravougaonik sa visinom k ​​i širinom (b - a), pa je površina definisana kao: k · (b - a).

Površine nekih drugih jednostavnih figura, kao što su trokut, trapez i polukrug, date su formulama iz planimetrije.

Površina ispod bilo koje kontinuirane krive y = f(x) je data određenim integralom, koji se piše na isti način kao i običan integral.

Riemann sum

Prije nego što uronimo u detaljan odgovor na pitanje šta je integral, istaknimo neke osnovne ideje.

Prvo, područje ispod krivulje se dijeli na određeni broj n vertikalnih pruga dovoljno male širine Δx. Zatim se svaka okomita traka zamjenjuje vertikalnim pravokutnikom visine f(x), širine Δx i površine f(x)dx. Sljedeći korak je formiranje sume površina svih ovih pravougaonika, koji se naziva Riemannov zbir (pogledajte slike ispod).

Kada crtamo naše pravokutnike širine Δx, možemo uzeti njihovu visinu jednaku vrijednosti funkcije na lijevoj ivici svake trake, tj. krajnje lijeve tačke njihovih gornjih kratkih stranica širine Δx ležat će na krivulji. Štaviše, u dijelu gdje funkcija raste i njena kriva je konveksna, svi pravokutnici su ispod ove krive, odnosno njihov zbir će sigurno biti manji od tačne površine ispod krive u ovom dijelu (vidi sliku ispod). Ova metoda aproksimacije naziva se lijevostrana.

U principu, mogu se nacrtati aproksimativni pravokutnici tako da krajnje desne tačke njihovih gornjih kratkih stranica širine Δx leže na krivulji. Tada će oni biti iznad krive, a aproksimacija površine u ovom dijelu bit će veća od njene tačne vrijednosti, kao što je prikazano na donjoj slici. Ova metoda se zove desnoruka.

Ali možemo uzeti i visinu svakog od aproksimirajućih pravougaonika, koja je jednostavno jednaka nekoj vrijednosti funkcije u proizvoljnoj tački x* i unutar odgovarajuće trake Δx i (vidi sliku ispod). U ovom slučaju možda nećemo uzeti ni istu širinu svih pruga.

Sastavimo Riemannov zbir:

Prijelaz sa Riemannove sume na definitivni integral

U višoj matematici dokazana je teorema koja kaže da ako, s neograničenim povećanjem broja n aproksimirajućih pravokutnika, njihova najveća širina teži nuli, onda Rimanov zbir A n teži određenoj granici A. Broj A je isto za bilo koju metodu formiranja aproksimirajućih pravougaonika i za bilo koji izbor tačaka x* i .

Vizuelno objašnjenje teoreme je dato na donjoj slici.

Pokazuje da što su pravokutnici uži, to je površina stepenaste figure bliža području ispod krive. Kada je broj pravougaonika n→∞, njihova širina je Δx i →0, a granica A zbira A n je numerički jednaka traženoj površini. Ova granica je definitivni integral funkcije f (x):

Integralni simbol, koji je modificirano kurzivno slovo S, uveo je Leibniz. J. B. Fourier je predložio postavljanje ograničenja iznad i ispod integralne notacije. Početne i krajnje vrijednosti x su jasno naznačene.

Geometrijska i mehanička interpretacija određenog integrala

Pokušajmo dati detaljan odgovor na pitanje šta je integral? Razmotrimo integral na intervalu pozitivne funkcije f(x) unutar njega i pretpostavimo da je gornja granica veća od donje a

Ako su ordinate funkcije f(x) unutra negativne, tada je apsolutna vrijednost integrala jednaka površini između ose apscise i grafika y=f(x), dok je sam integral negativan.

U slučaju jednog ili ponovljenog preseka grafika y=f(x) sa apscisom na segmentu, kao što je prikazano na slici ispod, za izračunavanje integrala potrebno je odrediti razliku u kojoj će biti minus jednaka ukupnoj površini presjeka koji se nalaze iznad ose apscise, a oduzet će biti jednak ukupnoj površini parcela koje se nalaze ispod nje.

Dakle, za funkciju prikazanu na gornjoj slici, definitivni integral od a do b će biti jednak (S1 + S3) - (S2 + S4).

Mehanička interpretacija određenog integrala usko je povezana sa geometrijskom. Vratimo se na dio “Riemann suma” i zamislimo da grafik prikazan na slikama izražava funkciju brzine v=f(t) za neravnomjerno kretanje materijalne tačke (x-osa je vremenska osa). Tada će površina bilo kojeg aproksimirajućeg pravokutnika širine Δt, koju smo konstruirali prilikom formiranja Riemannove sume, približno izražavati putanju tačke u vremenu Δt, odnosno v(t*)Δt.

Ukupan zbir površina pravougaonika na segmentu od t 1 =a do t 2 =b približno će izraziti putanju s tokom vremena t 2 - t 1, i njenu granicu, tj. integral (definisan) od a do b funkcije v = f(t ) sa dt će dati tačnu vrijednost puta s.

Diferencijal određenog integrala

Ako se vratimo na njegovu oznaku, onda je sasvim moguće pretpostaviti da je a = const, a b je specifična vrijednost neke nezavisne varijable x. Tada se određeni integral sa gornjom granicom x̃ iz određenog broja pretvara u funkciju od x̃. Ovaj integral jednak je površini figure ispod krive, označene tačkama aABb na donjoj slici.

Sa stacionarnom linijom aA i pokretnom linijom Bb, ovo područje postaje funkcija f(x̃), a priraštaji Δx̃ i dalje su nacrtani duž x-ose, a priraštaji funkcije f(x̃) su priraštaji od površina ispod krive.

Pretpostavimo da smo varijabli x̃ = b dali neki mali prirast Δx̃. Tada je prirast površine figure aABb zbir površine pravougaonika (osenčenog na slici) Bb∙Δx̃ i površine figure BDC ispod krive. Površina pravougaonika jednaka je Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, tj. linearna je funkcija prirasta nezavisne varijable. Površina figure BDC je očigledno manja od površine pravougaonika BDCK = Δx̃∙Δy, a kako Δx̃ →0 teži, ona se još brže smanjuje. To znači da je f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ diferencijal promjenljive površine aABb, tj. diferencijal određenog integrala

Iz ovoga možemo zaključiti da se izračunavanje integrala sastoji od nalaženja funkcija iz datih izraza njihovih diferencijala. Integralni račun je upravo sistem metoda za pronalaženje takvih funkcija koristeći njihove poznate diferencijale.

Fundamentalni odnos integralnog računa

Povezuje odnos između diferencijacije i integracije i pokazuje da postoji operacija inverzna diferencijaciji funkcije - njena integracija. Takođe pokazuje da ako je bilo koja funkcija f(x) kontinuirana, onda se primjenom ove matematičke operacije na nju može pronaći cijeli ansambl (skup, skup) funkcija koje su za nju antiderivativne (ili na drugi način, pronaći njen neodređeni integral ).

Neka funkcija F(x) označava rezultat integracije funkcije f(x). Korespondencija između ove dvije funkcije kao rezultat integracije druge od njih označava se na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti, kod integralnog simbola nema granica integracije. To znači da se iz određenog pretvara u neodređeni integral. Riječ “neodređeno” znači da rezultat operacije integracije u ovom slučaju nije jedna, već više funkcija. Uostalom, pored same funkcije F(x), posljednje izraze zadovoljava i bilo koja funkcija F(x)+C, gdje je C = const. To implicira da se konstantni član u ansamblu antiderivata može proizvoljno specificirati.

Treba naglasiti da ako je integral definiran funkcijom broj, onda je neodređeni integral funkcija, tačnije, njihov skup. Termin “integracija” se koristi za definiranje operacije pronalaženja oba tipa integrala.

Osnovno pravilo integracije

To je sušta suprotnost odgovarajućem pravilu za diferencijaciju. Kako se uzimaju neodređeni integrali? Pogledat ćemo primjere ove procedure koristeći specifične funkcije.

Pogledajmo opću funkciju snage:

Kada smo to uradili sa svakim članom u izrazu funkcije koji je integrabilan (ako ima više od jednog), dodajemo konstantu na kraju. Prisjetimo se da uzimanje derivacije konstantne vrijednosti je uništava, pa će nam uzimanje integrala bilo koje funkcije dati vraćanje ove konstante. Zovemo ga C jer je konstanta nepoznata - može biti bilo koji broj! Stoga možemo imati beskonačan broj izraza za neodređeni integral.

Pogledajmo jednostavne neodređene integrale, čiji su primjeri prikazani u nastavku.

Pretpostavimo da trebamo pronaći integral funkcije:

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

Počnimo s prvim mandatom. Gledamo eksponent od 2 i povećavamo ga za 1, a zatim prvi član podijelimo sa rezultujućim eksponentom od 3. Dobijamo: 4(x 3) / 3.

Zatim gledamo sljedećeg člana i radimo isto. Pošto ima eksponent 1, rezultujući eksponent će biti 2. Dakle, ovaj član dijelimo sa 2: 2(x 2) / 2 = x 2.

Poslednji član ima faktor x, ali ga jednostavno ne vidimo. Posljednji član možemo zamisliti kao (-3x 0). Ovo je ekvivalentno (-3)∙(1). Ako koristimo pravilo integracije, dodaćemo 1 eksponentu da ga podignemo na prvi stepen, a zatim podijelimo posljednji član sa 1. Dobijamo 3x.

Ovo pravilo integracije radi za sve vrijednosti n osim n = - 1 (jer ne možemo dijeliti sa 0).

Pogledali smo najjednostavniji primjer pronalaženja integrala. Općenito, rješavanje integrala nije lak zadatak, a iskustvo stečeno u matematici je dobra pomoć.

Integralne tablice

U gornjem odeljku smo videli da se iz svake formule diferencijacije dobija odgovarajuća formula integracije. Stoga su sve njihove moguće opcije odavno dobijene i sastavljene u odgovarajuće tabele. Tabela integrala ispod sadrži formule za integraciju osnovnih algebarskih funkcija. Ove formule treba znati napamet, pamtiti ih postepeno dok se konsoliduju vježbama.

Druga tablica integrala sadrži osnovne trigonometrijske funkcije:

Kako izračunati definitivni integral

Ispostavilo se da je to učiniti, znati integrirati, odnosno pronaći neodređene integrale, vrlo jednostavno. A formula osnivača integro-diferencijalnog računa, Newtona i Leibniza, pomaže u tome

Prema njoj, izračunavanje željenog integrala se sastoji u prvoj fazi pronalaženja neodređenog, zatim izračunavanja vrijednosti pronađenog antiderivata F(x) zamjenom x, koja je prvo jednaka gornjoj granici, zatim donjoj, i, konačno, utvrđivanje razlike ovih vrijednosti. U ovom slučaju, konstantu C ne treba zapisivati. jer nestaje kada se izvrši oduzimanje.

Pogledajmo neke integrale sa detaljnim rješenjima.

Nađimo površinu površine ispod jedne polutalasne sinusoide.

Izračunajmo osenčenu površinu ispod hiperbole.

Razmotrimo sada integrale sa detaljnim rješenjem , koristeći svojstvo aditivnosti u prvom primjeru, i zamjenu posredne integracijske varijable u drugom. Izračunajmo definitivni integral razlomke racionalne funkcije:

y=(1+t)/t 3 od t=1 do t=2.

Sada ćemo pokazati kako možete pojednostaviti uzimanje integrala uvođenjem međuvarijable. Pretpostavimo da treba da izračunamo integral od (x+1) 2 .

O nepravilnim integralima

Govorili smo o određenom integralu za konačan interval funkcije f(x) kontinuirane na njemu. Ali brojni specifični problemi dovode do potrebe da se koncept integrala proširi na slučaj kada su granice (jedna ili obje) jednake beskonačnosti, ili za diskontinuiranu funkciju. Na primjer, kada se izračunavaju površine ispod krivulja koje se asimptotski približavaju koordinatnim osama. Da bi se koncept integrala proširio na ovaj slučaj, pored prelaska do granice pri izračunavanju Rimanove sume aproksimirajućih pravougaonika, izvodi se još jedan korak. Takvim dvostrukim prijelazom do granice dobija se nepravilan integral. Za razliku od toga, svi prethodno razmotreni integrali nazivaju se pravim.

Kompleksni integrali

Ovaj članak zaključuje temu neodređenih integrala i uključuje integrale za koje smatram da su prilično složeni. Lekcija je nastala na višestruke zahtjeve posjetitelja koji su izrazili želju da se teži primjeri analiziraju na sajtu.

Pretpostavlja se da je čitalac ovog teksta dobro pripremljen i da zna da primeni osnovne tehnike integracije. Lutke i ljudi koji nisu baš sigurni u integrale treba da pogledaju prvu lekciju - Neodređeni integral. Primjeri rješenja, gdje možete savladati temu gotovo od nule. Iskusniji studenti mogu se upoznati sa tehnikama i metodama integracije koje se još nisu susrele u mojim člancima.

Koji će se integrali uzeti u obzir?

Prvo ćemo razmotriti integrale s korijenima za čije rješenje se sukcesivno koristimo varijabilna zamjena I integracija po dijelovima. To jest, u jednom primjeru dvije tehnike su kombinovane odjednom. I još više.

Tada ćemo se upoznati sa zanimljivim i originalnim metoda svođenja integrala na sebe. Na ovaj način je riješeno dosta integrala.

Treće izdanje programa biće integrali složenih razlomaka, koji su u prethodnim člancima leteli pored kase.

Četvrto, analizirat će se dodatni integrali iz trigonometrijskih funkcija. Konkretno, postoje metode koje izbjegavaju dugotrajnu univerzalnu trigonometrijsku zamjenu.

(2) U funkciji integranda, dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član.

(3) Koristimo svojstvo linearnosti neodređenog integrala. U posljednjem integralu odmah stavi funkciju pod diferencijalni predznak.

(4) Uzimamo preostale integrale. Imajte na umu da u logaritmu možete koristiti zagrade umjesto modula, budući da .

(5) Vršimo obrnutu zamjenu, izražavajući "te" od direktne zamjene:

Mazohistički studenti mogu razlikovati odgovor i dobiti originalni integrand, kao što sam ja upravo učinio. Ne, ne, uradio sam ček u pravom smislu =)

Kao što vidite, tokom rješavanja morali smo koristiti čak više od dvije metode rješenja, tako da su vam za rad s takvim integralima potrebne sigurne integracijske vještine i poprilično iskustvo.

U praksi je, naravno, češći kvadratni korijen; evo tri primjera za samostalno rješavanje:

Primjer 2

Pronađite neodređeni integral

Primjer 3

Pronađite neodređeni integral

Primjer 4

Pronađite neodređeni integral

Ovi primjeri su istog tipa, tako da će kompletno rješenje na kraju članka biti samo za primjer 2; Primjeri 3-4 imaju iste odgovore. Koju zamjenu koristiti na početku odluka, mislim da je očigledno. Zašto sam izabrao primjere iste vrste? Često se nalaze u njihovoj ulozi. Češće, možda, samo nešto slično .

Ali ne uvijek, kada se ispod arktangenta, sinusa, kosinusa, eksponencijalnih i drugih funkcija nalazi korijen linearne funkcije, morate koristiti nekoliko metoda odjednom. U velikom broju slučajeva moguće je „lako sići“, odnosno odmah nakon zamjene dobije se jednostavan integral koji se lako može uzeti. Najlakši od gore predloženih zadataka je primjer 4, u kojem se, nakon zamjene, dobija relativno jednostavan integral.

Svođenjem integrala na sebe

Duhovita i lepa metoda. Pogledajmo klasike žanra:

Primjer 5

Pronađite neodređeni integral

Ispod korijena je kvadratni binom, a pokušaj integracije ovog primjera može satima zadati glavobolju čajniku. Takav integral se uzima u dijelovima i svodi na sebe. U principu, nije teško. ako znaš kako.

Označimo integral koji se razmatra latiničnim slovom i započnemo rješenje:

Integrirajmo po dijelovima:

(1) Pripremite funkciju integranda za dijeljenje pojam.

(2) Pojam funkcije integranda dijelimo po članu. Možda nije svima jasno, ali opisat ću to detaljnije:

(3) Koristimo svojstvo linearnosti neodređenog integrala.

(4) Uzmite posljednji integral (“dugi” logaritam).

Pogledajmo sada sam početak rješenja:

I za kraj:

Šta se desilo? Kao rezultat naših manipulacija, integral je sveden na sebe!

Hajde da izjednačimo početak i kraj:

Pomaknite se na lijevu stranu sa promjenom predznaka:

I pomeramo ih na desnu stranu. Kao rezultat:

Konstantu je, strogo govoreći, trebalo dodati ranije, ali sam je dodao na kraju. Toplo preporučujem da pročitate o čemu je ovdje riječ:

Bilješka: Još strožije, završna faza rješenja izgleda ovako:

ovako:

Konstanta se može preimenovati pomoću . Zašto se može preimenovati? Jer on to i dalje prihvata bilo koji vrijednosti, te u tom smislu nema razlike između konstanti i.
Kao rezultat:

Sličan trik sa stalnim renotiranjem se široko koristi u diferencijalne jednadžbe. I tamo ću biti strog. I tu dopuštam takvu slobodu samo da vas ne bih zbunio nepotrebnim stvarima i da bih pažnju usmjerio upravo na samu metodu integracije.

Primjer 6

Pronađite neodređeni integral

Još jedan tipičan integral za nezavisno rešenje. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Bit će razlika s odgovorom u prethodnom primjeru!

Ako ispod kvadratnog korijena postoji kvadratni trinom, onda se rješenje u svakom slučaju svodi na dva analizirana primjera.

Na primjer, razmotrite integral . Sve što trebate je prvo odaberite cijeli kvadrat:
.
Zatim se vrši linearna zamjena, koja radi "bez ikakvih posljedica":
, što rezultira integralom . Nešto poznato, zar ne?

Ili ovaj primjer, s kvadratnim binomom:
Odaberite cijeli kvadrat:
I, nakon linearne zamjene, dobijamo integral, koji se također rješava pomoću algoritma o kojem je već bilo riječi.

Pogledajmo još dva tipična primjera kako svesti integral na sebe:
– integral eksponencijala pomnožen sa sinusom;
– integral eksponencijala pomnožen kosinusom.

U navedenim integralima po dijelovima morat ćete integrirati dva puta:

Primjer 7

Pronađite neodređeni integral

Integrand je eksponencijal pomnožen sa sinusom.

Integriramo po dijelovima dva puta i svodimo integral na sebe:

Kao rezultat dvostruke integracije po dijelovima, integral je sveden na sebe. Izjednačavamo početak i kraj rješenja:

Pomeramo ga na lijevu stranu s promjenom predznaka i izražavamo naš integral:

Spreman. Istovremeno je preporučljivo češljati desnu stranu, tj. izvadite eksponent iz zagrada, a sinus i kosinus stavite u zagrade „prelijepim“ redoslijedom.

Vratimo se sada na početak primjera, tačnije, na integraciju po dijelovima:

Eksponent smo označili kao. Postavlja se pitanje: da li eksponent treba uvijek biti označen sa ? Nije potrebno. Zapravo, u razmatranom integralu fundamentalno nije bitno, šta mislimo pod , mogli smo ići drugim putem:

Zašto je to moguće? Pošto se eksponencijal pretvara u sebe (i tokom diferencijacije i integracije), sinus i kosinus se međusobno pretvaraju (opet, i tokom diferencijacije i integracije).

Odnosno, možemo označiti i trigonometrijsku funkciju. Ali, u razmatranom primjeru, to je manje racionalno, jer će se pojaviti razlomci. Ako želite, možete pokušati riješiti ovaj primjer koristeći drugu metodu; odgovori se moraju podudarati.

Primjer 8

Pronađite neodređeni integral

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Prije nego što odlučite, razmislite o tome što je u ovom slučaju povoljnije označiti kao , eksponencijalnu ili trigonometrijsku funkciju? Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I, naravno, ne zaboravite da je većinu odgovora u ovoj lekciji prilično lako provjeriti diferencijacijom!

Razmatrani primjeri nisu bili najsloženiji. U praksi su integrali češći gdje je konstanta i u eksponentu iu argumentu trigonometrijske funkcije, na primjer: . Mnogi ljudi će se zbuniti u takvom integralu, a često se i sam zbunim. Činjenica je da postoji velika vjerovatnoća pojavljivanja razlomaka u otopini, a vrlo je lako nepažnjom nešto izgubiti. Osim toga, postoji velika vjerovatnoća greške u predznacima; imajte na umu da eksponent ima predznak minus, a to unosi dodatnu poteškoću.

U završnoj fazi rezultat je često ovako:

Čak i na kraju rješenja, trebali biste biti izuzetno oprezni i pravilno razumjeti razlomke:

Integriranje složenih razlomaka

Polako se približavamo ekvatoru lekcije i počinjemo razmatrati integrale razlomaka. Opet, nisu svi super složeni, samo što su iz ovog ili onog razloga primjeri bili malo "off topic" u drugim člancima.

Nastavljamo s temom korijena

Primjer 9

Pronađite neodređeni integral

U nazivniku ispod korijena nalazi se kvadratni trinom plus “dodatak” u obliku “X” izvan korijena. Integral ovog tipa može se riješiti korištenjem standardne zamjene.

Odlučujemo:

Zamjena je ovdje jednostavna:

Pogledajmo život nakon zamjene:

(1) Nakon zamjene, članove pod korijenom svodimo na zajednički nazivnik.
(2) Vadimo ga ispod korena.
(3) Brojilac i imenilac se smanjuju za . U isto vrijeme, pod korijenom, preuredio sam pojmove u prikladnom redoslijedu. Uz određeno iskustvo, koraci (1), (2) se mogu preskočiti usmenim izvođenjem komentiranih radnji.
(4) Dobijeni integral, kako se sjećate iz lekcije Integracija nekih razlomaka, odlučuje se metoda potpune kvadratne ekstrakcije. Odaberite cijeli kvadrat.
(5) Integracijom dobijamo običan “dugački” logaritam.
(6) Vršimo obrnutu zamjenu. Ako u početku , onda natrag: .
(7) Završna radnja ima za cilj ispravljanje rezultata: pod korijenom ponovo dovodimo članove u zajednički nazivnik i vadimo ih ispod korijena.

Primjer 10

Pronađite neodređeni integral

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ovdje je konstanta dodana na samo "X", a zamjena je skoro ista:

Jedino što trebate dodatno učiniti je izraziti "x" od zamjene koja se izvodi:

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Ponekad u takvom integralu može postojati kvadratni binom ispod korijena, to ne mijenja metodu rješenja, bit će još jednostavnije. Osjetite razliku:

Primjer 11

Pronađite neodređeni integral

Primjer 12

Pronađite neodređeni integral

Kratka rješenja i odgovori na kraju lekcije. Treba napomenuti da je primjer 11 upravo takav binomni integral, o čijoj metodi rješenja se raspravljalo na času Integrali iracionalnih funkcija.

Integral nerazložljivog polinoma 2. stepena na stepen

(polinom u nazivniku)

Ređa vrsta integrala, ali se ipak susreće u praktičnim primjerima.

Primjer 13

Pronađite neodređeni integral

No, vratimo se na primjer sa sretnim brojem 13 (iskreno, nisam točno pogodio). Ovaj integral je također jedan od onih koji mogu biti prilično frustrirajući ako ne znate kako riješiti.

Rješenje počinje umjetnom transformacijom:

Mislim da svi već razumiju kako podijeliti brojilac sa nazivnikom član po član.

Dobijeni integral se uzima u delovima:

Za integral oblika ( – prirodni broj) izvodimo rekurentno formula za smanjenje:
, Gdje – integral za stepen niži.

Provjerimo valjanost ove formule za riješeni integral.
U ovom slučaju: , , koristimo formulu:

Kao što vidite, odgovori su isti.

Primjer 14

Pronađite neodređeni integral

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Otopina uzorka koristi gornju formulu dva puta uzastopno.

Ako je ispod diplome nedjeljiv kvadratni trinom, tada se rješenje svodi na binom izolacijom savršenog kvadrata, na primjer:

Šta ako postoji dodatni polinom u brojiocu? U ovom slučaju se koristi metoda neodređenih koeficijenata, a funkcija integranda se proširuje u zbir razlomaka. Ali u mojoj praksi postoji takav primjer nikad sreo, pa sam propustio ovaj slučaj u članku Integrali frakciono-racionalnih funkcija, sada ću to preskočiti. Ako još uvijek naiđete na takav integral, pogledajte udžbenik - tamo je sve jednostavno. Mislim da nije preporučljivo uključivati ​​materijale (čak i one jednostavne), čija je vjerovatnoća susreta nula.

Integracija složenih trigonometrijskih funkcija

Pridjev "složen" za većinu primjera je opet u velikoj mjeri uvjetovan. Počnimo s tangentama i kotangensima velikih snaga. Sa stanovišta korištenih metoda rješavanja, tangenta i kotangens su gotovo ista stvar, pa ću više govoriti o tangenti, podrazumijevajući da prikazana metoda rješavanja integrala vrijedi i za kotangens.

U gornjoj lekciji koju smo pogledali univerzalna trigonometrijska supstitucija za rješavanje određene vrste integrala trigonometrijskih funkcija. Nedostatak univerzalne trigonometrijske zamjene je što njena upotreba često rezultira glomaznim integralima sa teškim proračunima. A u nekim slučajevima se može izbjeći univerzalna trigonometrijska zamjena!

Razmotrimo još jedan kanonski primjer, integral od jednog podijeljenog sa sinusom:

Primjer 17

Pronađite neodređeni integral

Ovdje možete koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu i dobiti odgovor, ali postoji racionalniji način. Dat ću kompletno rješenje sa komentarima za svaki korak:

(1) Koristimo trigonometrijsku formulu za sinus dvostrukog ugla.
(2) Izvodimo umjetnu transformaciju: podijelimo u nazivniku i pomnožimo sa .
(3) Koristeći dobro poznatu formulu u nazivniku, pretvaramo razlomak u tangentu.
(4) Dovodimo funkciju pod diferencijalni predznak.
(5) Uzmite integral.

Nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 18

Pronađite neodređeni integral

Napomena: Prvi korak bi trebao biti korištenje formule za smanjenje i pažljivo izvršite radnje slične prethodnom primjeru.

Primjer 19

Pronađite neodređeni integral

Pa, ovo je vrlo jednostavan primjer.

Kompletna rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Mislim da sada niko neće imati problema sa integralima:
i tako dalje.

Koja je ideja metode? Ideja je da se koriste transformacije i trigonometrijske formule za organizovanje samo tangenta i tangentnog izvoda u integrand. Odnosno, govorimo o zamjeni: . U primjerima 17-19 zapravo smo koristili ovu zamjenu, ali su integrali bili toliko jednostavni da smo prošli s ekvivalentnom akcijom – podvođenjem funkcije pod diferencijalni predznak.

Slično razmišljanje, kao što sam već spomenuo, može se izvesti za kotangens.

Postoji i formalni preduvjet za primjenu gornje zamjene:

Zbir potencija kosinusa i sinusa je negativan cijeli parni broj, Na primjer:

za integral – negativan cijeli broj PAR broj.

! Bilješka : ako integrand sadrži SAMO sinus ili SAMO kosinus, tada se integral uzima i za negativan neparni stepen (najjednostavniji slučajevi su u primjerima br. 17, 18).

Pogledajmo nekoliko značajnijih zadataka zasnovanih na ovom pravilu:

Primjer 20

Pronađite neodređeni integral

Zbir potencija sinusa i kosinusa: 2 – 6 = –4 je negativan cijeli broj PARAN broj, što znači da se integral može svesti na tangente i njegov izvod:

(1) Transformirajmo imenilac.
(2) Koristeći dobro poznatu formulu, dobijamo .
(3) Transformirajmo imenilac.
(4) Koristimo formulu .
(5) Funkciju dovodimo pod diferencijalni predznak.
(6) Vršimo zamjenu. Iskusniji učenici možda neće izvršiti zamjenu, ali je ipak bolje zamijeniti tangentu jednim slovom - manji je rizik od zabune.

Primjer 21

Pronađite neodređeni integral

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Držite se, prvenstvena kola uskoro počinju =)

Često integrand sadrži "mašu":

Primjer 22

Pronađite neodređeni integral

Ovaj integral u početku sadrži tangentu, što odmah vodi do već poznate misli:

Vještačku transformaciju na samom početku i preostale korake ostavljam bez komentara, jer je o svemu već bilo riječi.

Nekoliko kreativnih primjera za vlastito rješenje:

Primjer 23

Pronađite neodređeni integral

Primjer 24

Pronađite neodređeni integral

Da, u njima, naravno, možete smanjiti snage sinusa i kosinusa i koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu, ali rješenje će biti mnogo efikasnije i kraće ako se provodi kroz tangente. Potpuno rješenje i odgovori na kraju lekcije

Svođenje na tabelarni oblik ili metoda direktne integracije. Koristeći identične transformacije integranda, integral se svodi na integral na koji su primenljiva osnovna pravila integracije i moguće je koristiti tabelu osnovnih integrala.

Primjer

Vježbajte. Pronađite integral $\int 2^(3 x-1) d x$

Rješenje. Iskoristimo svojstva integrala i svedemo ovaj integral na tabelarni oblik.

$\int 2^(3 x-1) d x=\int 2^(3 x) \cdot 2^(-1) d x=\frac(1)(2) \int\left(2^(3)\ desno)^(x) d x=$

$=\frac(1)(2) \int 8^(x) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

Odgovori.$\int 2^(3 x-1) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

link →

2. Ulazak pod znakom diferencijala

3. Integracija promjenom varijable

Integracija promjenom varijable ili metoda zamjene. Neka je $x=\phi(t)$, pri čemu funkcija $\phi(t)$ ima neprekidnu derivaciju $\phi^(\prime)(t)$, i postoji korespondencija jedan prema jedan između varijable $x$ i $t$. Tada je jednakost tačna

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^(\prime)(t) \cdot d t$

Definitivni integral zavisi od integracione varijable, tako da ako se izvrši promena varijabli, onda se morate vratiti na originalnu integracijsku varijablu.

Primjer

Vježbajte. Pronađite integral $\int \frac(d x)(3-5 x)$

Rješenje. Zamenimo nazivnik promenljivom $t$ i svedemo originalni integral na tabelarni.

$=-\frac(1)(5) \ln |t|+C=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Odgovori.$\int \frac(d x)(3-5 x)=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Više o ovoj metodi rješavanja integrala pročitajte na linku →

4. Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima naziva se integracija prema formuli

$\int u d v=u v-\int v d u$

Kada pronađete funkciju $v$ iz njenog diferencijala $d v$, možete uzeti bilo koju vrijednost integracijske konstante $C$, pošto ona nije uključena u konačni rezultat. Stoga, radi pogodnosti, uzet ćemo $C=0$ .

Korištenje formule integracije po dijelovima preporučljivo je u slučajevima kada diferencijacija pojednostavljuje jedan od faktora, dok integracija ne komplikuje drugi.

Primjer

Vježbajte. Pronađite integral $\int x \cos x d x$

Rješenje. U originalnom integralu izolujemo funkcije $u$ i $v$, a zatim vršimo integraciju po dijelovima.

$=x \sin x+\cos x+C$

Odgovori.$\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Antiderivat F(x) funkcije f(x) je funkcija čiji je izvod jednak f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Gdje Δ - interval u kojem je ova jednačina zadovoljena.

Skup svih antiderivata naziva se neodređenim integralom:
,
gdje je C konstanta nezavisna od varijable x.

Osnovne formule i metode integracije

Tabela integrala

Krajnji cilj izračunavanja neodređenih integrala je da se kroz transformacije svede dati integral na izraz koji sadrži najjednostavnije ili tabelarne integrale.
Vidi Tabelu integrala >>>

Pravilo za integraciju suma (razlike)

Premještanje konstante izvan predznaka integrala

Neka je c konstanta nezavisna od x. Tada se može izvaditi iz predznaka integrala:

Varijabilna zamjena

Neka je x funkcija varijable t, x = φ(t), tada
.
Ili obrnuto, t = φ(x) ,
.

Koristeći promjenu varijable, ne možete samo izračunati jednostavne integrale, već i pojednostaviti izračunavanje složenijih.

Pravilo integracije po dijelovima

Integracija razlomaka (racionalne funkcije)

Hajde da uvedemo notaciju. Neka P k (x), Q m (x), R n (x) označavaju polinome stepena k, m, n, respektivno, u odnosu na varijablu x.

Razmotrimo integral koji se sastoji od razlomka polinoma (tzv. racionalna funkcija):

Ako je k ≥ n, tada prvo morate odabrati cijeli dio razlomka:
.
Integral polinoma S k-n (x) izračunava se pomoću tablice integrala.

Ostaje integral:
, gdje m< n .
Da bi se to izračunalo, integrand se mora razložiti na jednostavne razlomke.

Da biste to učinili, morate pronaći korijene jednadžbe:
Q n (x) = 0 .
Koristeći dobijene korijene, trebate predstaviti nazivnik kao proizvod faktora:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Ovdje je s koeficijent za x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Nakon toga razbijte razlomak u njegov najjednostavniji oblik:

Integracijom dobijamo izraz koji se sastoji od jednostavnijih integrala.
Integrali oblika

svode se na tabelarnu supstituciju t = x - a.

Razmotrimo integral:

Transformirajmo brojilac:
.
Zamjenom u integrand, dobijamo izraz koji uključuje dva integrala:
,
.
Prvi se zamjenom t = x 2 + ex + f svodi na tabelarni.
Drugo, prema formuli redukcije:

svodi se na integral

Smanjimo njegov imenilac na zbir kvadrata:
.
Zatim zamjenom, integral

je takođe tabelarno.

Integracija iracionalnih funkcija

Hajde da uvedemo notaciju. Neka R(u 1, u 2, ..., u n) znači racionalnu funkciju varijabli u 1, u 2, ..., u n. To je
,
gdje su P, Q polinomi u varijablama u 1, u 2, ..., u n.

Frakciona linearna iracionalnost

Razmotrimo integrale oblika:
,
gdje su racionalni brojevi, m 1, n 1, ..., m s, n s su cijeli brojevi.
Neka je n zajednički imenitelj brojeva r 1, ..., r s.
Tada se integral svodi na integral racionalnih funkcija zamjenom:
.

Integrali iz diferencijalnih binoma

Razmotrimo integral:
,
gdje su m, n, p racionalni brojevi, a, b realni brojevi.
Takvi se integrali svode na integrale racionalnih funkcija u tri slučaja.

1) Ako je p cijeli broj. Zamjena x = t N, gdje je N zajednički imenitelj razlomaka m i n.
2) If - cijeli broj. Zamjena a x n + b = t M, gdje je M imenilac broja p.
3) If - cijeli broj. Zamjena a + b x - n = t M, gdje je M imenilac broja p.

Ako nijedan od tri broja nije cijeli broj, tada se, prema Čebiševljevom teoremu, integrali ovog tipa ne mogu izraziti konačnom kombinacijom elementarnih funkcija.

U nekim slučajevima, prvo je korisno svesti integral na pogodnije vrijednosti m i p. To se može učiniti pomoću redukcijskih formula:
;
.

Integrali koji sadrže kvadratni korijen kvadratnog trinoma

Ovdje razmatramo integrale oblika:
,

Ojlerove zamene

Takvi se integrali mogu svesti na integrale racionalnih funkcija jedne od tri Eulerove zamjene:
, za a > 0;
, za c > 0 ;
, gdje je x 1 korijen jednačine a x 2 + b x + c = 0. Ako ova jednadžba ima realne korijene.

Trigonometrijske i hiperboličke zamjene

Direktne metode

U većini slučajeva, Eulerove zamjene rezultiraju dužim proračunima od direktnih metoda. Koristeći direktne metode, integral se svodi na jedan od oblika navedenih u nastavku.

Tip I

Integral forme:
,
gdje je P n (x) polinom stepena n.

Takvi integrali se nalaze metodom neodređenih koeficijenata koristeći identitet:

Diferencirajući ovu jednačinu i izjednačavajući lijevu i desnu stranu, nalazimo koeficijente A i.

Tip II

Integral forme:
,
gdje je P m (x) polinom stepena m.

Zamjena t = (x - α) -1 ovaj integral se svodi na prethodni tip. Ako je m ≥ n, tada bi razlomak trebao imati cijeli broj.

III tip

Treći i najkompleksniji tip:
.

Ovdje trebate izvršiti zamjenu:
.
Nakon čega će integral dobiti oblik:
.
Zatim, konstante α, β moraju biti odabrane tako da koeficijenti za t postanu nula:
B = 0, B 1 = 0.
Tada se integral razlaže u zbir integrala dva tipa:
;
,
koji su integrisani, respektivno, supstitucijama:
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Opšti slučaj

Integracija transcendentalnih (trigonometrijskih i eksponencijalnih) funkcija

Napomenimo unaprijed da su metode koje su primjenjive za trigonometrijske funkcije primjenjive i na hiperboličke funkcije. Iz tog razloga, nećemo posebno razmatrati integraciju hiperboličkih funkcija.

Integracija racionalnih trigonometrijskih funkcija cos x i sin x

Razmotrimo integrale trigonometrijskih funkcija oblika:
,
gdje je R racionalna funkcija. Ovo također može uključivati ​​tangente i kotangense, koje treba pretvoriti pomoću sinusa i kosinusa.

Prilikom integracije takvih funkcija, korisno je imati na umu tri pravila:
1) ako je R( cos x, sin x) pomnoženo sa -1 od promjene predznaka prije jedne od veličina cos x ili sin x, onda je korisno drugu od njih označiti sa t.
2) ako je R( cos x, sin x) ne mijenja se zbog promjene znaka u isto vrijeme prije cos x I sin x, onda je korisno staviti tg x = t ili krevetac x = t.
3) zamjena u svim slučajevima dovodi do integrala racionalnog razlomka. Nažalost, ova zamjena rezultira dužim proračunima od prethodnih, ako je primjenjivo.

Proizvod funkcija stepena cos x i sin x

Razmotrimo integrale oblika:

Ako su m i n racionalni brojevi, onda je jedna od zamjena t = sin x ili t = cos x integral se svodi na integral diferencijalnog binoma.

Ako su m i n cijeli brojevi, tada se integrali izračunavaju integracijom po dijelovima. Ovo proizvodi sljedeće formule redukcije:

;
;
;
.

Integracija po dijelovima

Primjena Ojlerove formule

Ako je integrand linearan u odnosu na jednu od funkcija
cos ax ili sinax, tada je zgodno primijeniti Ojlerovu formulu:
e iax = cos ax + isin ax(gdje je i 2 = - 1 ),
zamjenjujući ovu funkciju sa e iax i isticanje pravog (prilikom zamjene cos ax) ili imaginarni dio (prilikom zamjene sinax) iz dobijenog rezultata.

Reference:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.