Информационный расчёт системы. Восстановление непрерывного сигнала

Теорема Котельникова точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром. На рис. 4.15 показаны некоторые варианты финитных спектров.

Однако спектры реальных информационных сигналов бесконечны (рис. 4.16). В этом случае теорема Котельникова справедлива с погрешностью.

Погрешность дискретизации определяется энергией спектральных составляющих сигнала, лежащих за пределами частоты
(рис. 4.16).

.

Вторая причина возникновения погрешностей - неидеальность восстанавливающего ФНЧ.

Таким образом? погрешность дискретизации и восстановления непрерывного сигнала определяется следующими причинами:

Спектры реальных сигналов не финитны.

АЧХ реальных ФНЧ неидеальны.

Рис.4.17. Структурная схема RC-фильтра

Например, если в качестве ФНЧ использовать RC-фильтр (рис.4.17), то восстановленный сигнал на его выходе будет иметь вид, представленный на рис.4.18.

Импульсная реакция RC-фильтра равна:

.

Вывод: чем выше
и чем ближе характеристики ФНЧ к идеальным, тем ближе восстановленный сигнал к исходному.

4.6. Квантование сообщений. Ошибки квантования

Итак показано, что передачу практически любых сообщений
можно свести к передаче их отсчетов, или чисел
, следующих друг за другом с интервалом дискретности
. Тем самым непрерывное (бесконечное ) множество возможных значений сообщения
заменяетсяконечным числом его дискретных значений
. Однако сами эти числа имеют непрерывную шкалу уровней (значений), то есть принадлежат опять же континуальному множеству. Дляабсолютно точного представления таких чисел, к примеру, в десятичной (или двоичной) форме, необходимо теоретически бесконечное число разрядов. Вместе с тем, на практике нет необходимости в абсолютно точном представлении значений
, как и любых чисел вообще.

Во-первых, сами источники сообщений обладают ограниченным динамическим диапазоном и вырабатывают исходные сообщения с определенным уровнем искажений и ошибок. Этот уровень может быть большим или меньшим, но абсолютной точности воспроизведения достичь невозможно.

Во-вторых, передача сообщений по каналам связи всегда производится в присутствии различного рода помех. Поэтому, принятое (воспроизведенное) сообщение (оценка сообщения
) всегда в определенной степени отличается от переданного, то есть на практикеневозможна абсолютно точная передача сообщений при наличии помех в канале связи.

Наконец, сообщения передаются для их восприятия и использования получателем. Получатели же информации - органы чувств человека, исполнительные механизмы и т.д. - также обладают конечной разрешающей способностью, то есть не замечают незначительной разницы между абсолютно точным и приближенным значениями воспроизводимого сообщения. Порог чувствительности к искажениям также может быть различным, но он всегда есть.

С учетом этих замечаний процедуру дискретизации сообщений можно продолжить, а именно подвергнуть отсчеты
квантованию.

Процесс квантования состоит в замене непрерывного множества значений отсчетов дискретным множеством
. Тем самым точные значения чисел
заменяются их приблизительными (округленными до ближайшего разрешенного уровня) значениями. Интервал между соседними разрешенными уровнями, или уровнями квантования,
называетсяшагом квантования .

Различают равномерное и неравномерное квантование. В большинстве случаев применяется и далее подробно рассматривается равномерное квантование (рис. 4.19), при котором шаг квантования постоянный: ; однако иногда определенное преимущество дает неравномерное квантование, при котором шаг квантования разный для различных (рис. 4.20).

Квантование приводит к искажению сообщений. Если квантованное сообщение, полученное в результате квантования отсчета
, обозначить как , то

где - разность между истинным значением элементарного сообщения и квантованным сообщением (ближайшим разрешенным уровнем) , называемая ошибкой квантования, или шумом квантования . Шум квантования оказывает на процесс передачи информации по существу такое же влияние, как и помехи в канале связи. Помехи, так же как и квантование, приводят к тому, что оценки , получаемые на приемной стороне системы связи, отличаются на некоторую величину от истинного значения.

Поскольку квантование сообщений приводит к появлению ошибок и потере некоторой части информации, можно определить цену таких потерь
и среднюю величину ошибки, обусловленной квантованием:

Чаще всего в качестве функции потерь (цены потерь) используется квадратичная функция вида

В этом случае мерой ошибок квантования служит дисперсия этих ошибок. Для равномерного
-уровневого квантования с шагом дисперсия ошибок квантования определяется следующим образом:

Абсолютное значение ошибки квантования не превосходит половины шага квантования , и тогда при достаточно большом числе уровней квантования
и малой величине плотность распределения вероятностей ошибок квантования
можно считать равномерной на интервале + … -:

В результате величина ошибки квантования определится соотношением

и соответствующим выбором шага квантования может быть сделана сколь угодно малой или сведена к любой наперед заданной величине.

Относительно требуемой точности передачи отсчетов сообщений можно высказать те же соображения, что и для ошибок временной дискретизации: шумы квантования или искажения, обусловленные квантованием, не имеют существенного значения, если эти искажения меньше ошибок, обусловленных помехами и допустимых техническими условиями.

Если функция x(t), удовлетворяющая условиям Дирихле и обладающая спектром с граничной частотой, дискретизирована циклически, с периодом, то она может быть восстановлена по этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности. (сек) (Гц).

Представление сигнала посредством выборок. Теорема В.А.Котельникова

Как мы уже говорили, при оцифровывании сигнала делаются выборки, при этом, для получения значения сигнала применяют дискретизацию и квантование. В ряде случаев, моменты взятия выборок устанавливаются на оси времени случайно, при этом информация о форме сигнала теряется. По случайным выборкам мы можем определить только плотность распределения вероятностей. Таким образом, случайные выборки дают нам статистическую информацию о величине входного сигнала. Это означает, что таким способом мы можем измерить среднеквадратическое и пиковое значения входного сигнала, определить диапазон принимаемых им значений, но форму сигнала и его спектр мы определить не сможем.

Во многих случаях взятие выборок сигнала осуществляется в равноотстоящие моменты времени. Тогда важно решить вопрос о том, как много выборок надо брать в единицу времени, чтобы иметь возможность достаточно полно описать непрерывный по времени сигнал. Ответ на этот вопрос даёт теорема В.А.Котельникова. В иностранной технической литературе Вы можете столкнуться с другим названием этой теоремы, которая трактуется как теорема Шеннона о выборках.

В этой теореме утверждается, что для восстановления без ошибок исходного сигнала по его выборочным значениям, взятым через равные промежутки времени, частота взятия выборок должна более, чем вдвое превосходить частоту самой высокочастотной составляющей, присутствующей в непрерывном входном сигнале. Строго говоря, текст теоремы В.А.Котельникова звучит следующим образом:

Условие Дирихле означает, что функция ограничена, кусочно непрерывна и имеет ограниченное число экстремумов.

Особенностью сигнала, дискретизированного в соответствие с теоремой Котельникова является то, что он может быть восстановлен с помощью фильтра нижних частот. Следовательно, если дискретизированный с шагом сигнал х(t)дискр. подать на вход идеального фильтра с верхней границей пропускания , то на выходе получается восстановленный без погрешностей непрерывный сигнал х(t) (Рис)

Рис.. Схема дискретизации и восстановления сигнала

Рассмотрим передачу нескольких сигналов по одной линии связи, для этого их необходимо дискретизировать. Эта операция реализуется с помощью коммутатора, затем информация передаётся по линии связи и далее, зная частоту работы коммутатора, мы можем восстановить её на другом конце линии связи (рис.). Частота опроса коммутатора должна быть n, где n - число измерительных преобразователей.

Теорема Котельникова позволяет производить преобразования аналогового сигнала в цифровой, необходимый для его дальнейшей обработки с помощью средств вычислительной техники. Выбор шага дискретизации по Котельникову гарантирует сохранность в дискретном представлении сигнала, всей информации о его спектральном составе. Для преобразования аналогового сигнала в цифровой используют АЦП. Частота дискретизации АЦП в соответствии с теоремой Котельникова , где - верхняя граничная частота сигнала.

Рис. Передача информации по одной линии связи

При обратном цифро-аналоговом преобразовании роль фильтра нижних частот выполняет микросхема ЦАП. Число разрядов АЦП и ЦАП преобразования определяют точность передачи амплитуды сигнала, т.к. определяют уровни дискретизации амплитуды сигнала. Таким образом, в компьютер поступает информация о сигнале в виде точек.

Рис. Дискретизация сигнала после АЦП

Обычно микросхемы АЦП выпускаются в одном корпусе с коммутаторами на n каналов. При этом в паспорте регламентируется частота опроса, которая может использоваться как для опроса n каналов, так и для опроса 1 канала. Ввод в компьютер информации производится через последовательный порт, например в стандарте RS-232.

В связи с этим проектант в каждом конкретном случае принимает решение об использовании нужной микросхемы с необходимым числом каналов, необходимой частотой опроса и числом разрядов АЦП преобразования.

Следует отметить, что дополнять измерительную схему фильтром нижних частот не всегда удобно, кроме того, наличие такого фильтра приводит к фазовым искажениям сигнала. От этих недостатков свободно восстановление сигнала методом простейшей интерполяции.

При этом методе полученные точки просто соединяются между собой отрезками прямых линий. Очевидно, что в этом случае плавные участки, близкие к прямым линиям, восстанавливаются с малыми погрешностями, а максимальная погрешность восстановления получается на участках с максимальной кривизной (рис.).

Известно, что любую кривую x(t) на некотором участке можно разложить по степеням t, т. е. описать многочленом. В простейшем случае, используя лишь первые члены разложения, участок кривой между отсчетами можно представить в виде параболы, тогда погрешность линейной интерполяции будет представлять собой разность между этой параболой и ее хордой, соединяющей смежные отсчеты. Как известно, парабола имеет наибольшее отклонение от хорды в середине интервала интерполяции t 0 с абсолютным значением (D m на рис.)

где - значение второй производной процесса х(t) т. е. оценка его кривизны. Отсюда максимальное значение погрешности восстановления наблюдается на участках кривой с наибольшей кривизной (в области максимумов и минимумов процесса предст. на рис.).

Если нас интересует не абсолютная погрешность D m , а ее приведенное значение , где x k - предел измерений, то можно определить максимальный допустимый период дискретизации t ц при котором погрешность восстановления не будет превышать g m :

Так как любую сложную кривую можно разложить на ряд гармонических составляющих, то определим необходимый период дискретизации для синусоидального процесса. При x(t)=x k sinwt оценка текущей кривизны , а ее максимальное значение . Отсюда необходимый период дискретизации для синусоидального процесса

(3)

Соотношение (3) воспринимается более наглядно, если его помощью вычислить число точек п, приходящихся на каждый период Т синусоидального процесса:

(4)

Это соотношение дает:

Таким образом, для восстановления синусоидального процесса с максимальной погрешностью 1 % при равномерной дискретизации необходимо иметь 22 отсчета на период процесса, но для представления с погрешностью 0,1% нужно не менее 70 отсчетов на каждый период, а для g m =20% достаточно пяти отсчетов на период.

Исходя из соотношения (4), можно подсчитать минимальный период или максимальную частоту процесса, который может быть зарегистрирован с заданной максимальной погрешностью g m . Данные о максимальных погрешностях при использовании некоторых приёмов и средств приведены в табл. и свидетельствуют о том, что без использования специальных средств могут быть зарегистрированы лишь очень медленные процессы (с периодом 0,2-2 с).

Выражая g m из выражения (3) или (4) получаем

(5)

т. е. динамическая погрешность восстановления g m возрастает е квадратом частоты восстанавливаемого процесса.

На практике чаще всего приходится измерять существенно несинусоидальные процессы, содержащие гармонические составляющие или высокочастотные составляющие шумов, помех или наводок. В этих случаях динамическая погрешность восстановления процесса по дискретным отсчетам резко возрастает, о чем исследователь должен всегда помнить.

Рассмотрим это свойство погрешности восстановления на конкретном примере. Так, в табл. указано, что при использовании АЦП с периодом дискретизации t ц =30 мкс исследуемый процесс с частотой f 1 =500 Гц восстанавливается с g m 1 »0,1%. Действительно, рассчитывая g m 1 по формуле (5), получаем

что часто можно считать достаточно высокой точностью восстановления. Однако если в кривой этого процесса содержится дополнительно еще 10-я гармоника с частотой f 10 =5000 Гц и амплитудой в 0,1 основной волны, она будет восстанавливаться с относительной погрешностью g m 10 , в 100 раз большей, чем g m 1 , т. е. равной 10%. Правда, так как амплитуда этой гармоники в 10 раз меньше амплитуды основной волны, то приведенное значение этой погрешности составит лишь g m 10 =1% Тем не менее результирующая погрешность восстановления всего процесса будет в 10 раз (!) больше, чем погрешность восстановления g m 1 =0,1% процесса, не содержащего этой высокочастотной составляющей.

Погрешность восстановления для основной волны и ее гармоник является систематической (она всегда отрицательна, см. рис. и приводит к уменьшению восстанавливаемой амплитуды кривой), однако если высокочастотная составляющая вызвана шумом или другими помехами и не синхронна с основной волной, то и погрешность восстановления оказывается случайной и наблюдается в виде случайного разброса отсчетов.

При ручной регистрации наблюдений подобный разброс данных будет сразу замечен экспериментатором и он примет соответствующее решение о ходе эксперимента. Рассмотренное явление особенно опасно при автоматическом вводе данных в компьютер и подчеркивает крайнюю важность метрологического анализа динамических погрешностей в этом случае.

Однако в связи с постоянным увеличением быстродействия компьютеров этот способ дискретизации и восстановления становится очень привлекательным.

5.5 Фильтрация сигналов

Операция выделения из спектра сигнала определенной полосы частот называется фильтрацией. Фильтры подразделяются на фильтры низких частот (а), фильтры высоких частот (б) и полосовые фильтры (в).

Рис. Виды фильтров.

Фильтры низких частот (а), фильтры высоких частот (б), полосовые фильтры (в)

Простейшие аналоговые фильтры состоят из R-C цепочек, для увеличения крутизны фильтры делают многозвенными.

Цифровая фильтрация заключается в том, что сигнал x(t) пропускают через математический фильтр, в котором реализуется требуемая характеристика.

5.6 Модуляция и детектирование

Воздействие измерительного сигнала x(t) на какой-либо стационарный сигнал называют модуляцией.

В качестве стационарного сигнала, называемого носителем, выбирают синусоидальное колебание

и последовательность импульсов

Выделение из модулированного сигнала составляющей, пропорциональной измеряемому сигналу, называется детектированием.

Синусоидальное колебание (6) определяется амплитудой , частотой , и фазой . Все эти величины можно модулировать. В результате получаем амплитудную модуляцию АМ, частотную модуляцию ЧМ и фазовую модуляцию ФМ.

Рис. Виды модуляций

Модуляцию можно характеризовать как умножение модулируемой величины y(t) на множитель 1+mx(t) , где х(t) - модулирующая функция такая, что , а m - глубина модуляции, причем 0