Фрактальна графіка
Фрактальна графіка ґрунтується на математичних обчисленнях. Базовим елементом фрактальної графіки є математична формула, тобто жодних об'єктів у пам'яті комп'ютера не зберігається і зображення будується виключно за рівняннями. У такий спосіб будують як найпростіші регулярні структури, так і складні ілюстрації, що імітують природні ландшафти та тривимірні об'єкти.
Програми фрактальної графіки
Програма Art Dabbler
Знайомство з основами фрактальної графіки найкраще розпочати з пакету Art Dabbler. Цей редактор (створений фірмою Fractal Design, а тепер належить Corel) фактично є усіченим варіантом програми Painter. Це чудова програма для навчання не тільки комп'ютерної графіки, але насамперед азам малювання. Малий обсяг пам'яті (для його встановлення необхідно всього 10 Мбайт), а також простий інтерфейс, доступний навіть дитині, дозволяють використовувати його в шкільній програмі. Як і растровий редактор MS Paint, фрактальний редактор Art Dabbler особливо ефективний на початковому етапі освоєння комп'ютерної графіки.
Головна увага розробниками пакету Art Dabbler була приділена двом факторам:
Створення спрощеного інтерфейсу, основним елементом якого є коробки інструментальних наборів (називаються тут висувними ящиками);
Можливості використання пакета як навчальної програми. Для реалізації цієї мети в комплект поставки пакету поряд із самою програмою включений самовчитель "Вчися малювати" та навчальний фільм на компакт-диску. Уроки малювання, що пропонуються в них, дозволяють крок за кроком спостерігати за процесом створення досвідченими художниками кольорових зображень засобами пакету Art Dabbler.
Рядок меню включає шість пунктів: стандартні для більшості програм - File, Edit і Help, а також Effects, Options і Tutors, які присутні в більшості графічних програм і не потребують додаткових коментарів.
Art Dabbler надає набір ефектів (меню Effects), які можуть бути використані для зміни або спотворення зображень. Наприклад, ефект Texturize створює текстури паперу, полотна тощо, розширюючи творчі здібності художника.
Слід зазначити, що в Art Dabbler висувними ящиками називаються всі інструментальні засоби так само, як, наприклад, Photoshop аналогічні засоби називаються палітрами, а в CorelDRAW - докерами. У них зберігаються пензлі, олівці, гумка та інші інструменти, для активізації яких достатньо натиснути відповідну піктограму. На передніх стінках ящиків відображається невелика кількість кнопок і ручка, натиснувши яку користувач отримує доступ до всього набору здійснюваних через нього операцій завдяки додатковим кнопкам, що відкриваються.
Програма Ultra Fractal
Ultra Fractal – найкраще рішення для створення унікальних фрактальних зображень професійної якості. Пакет відрізняється дружнім інтерфейсом, багато елементів якого нагадують інтерфейс Photoshop (що спрощує вивчення), та супроводжується неймовірно докладною та чудово ілюстрованою документацією із серією туторіалів, у яких поетапно розглядаються всі аспекти роботи з програмою. Ultra Fractal представлений двома редакціями: Standard Edition та розширеною Animation Edition, можливості якої дозволяють не тільки генерувати фрактальні зображення, а й створювати анімацію на їх основі. Створені зображення можна візуалізувати у високій роздільній здатності, придатній для поліграфії, та зберегти у власному форматі програми або в одному з популярних фрактальних форматів. Візуалізовані зображення також можуть бути експортовані в один із растрових графічних форматів (jpg, bmp, png та psd), а готові фрактальні анімації - в AVI-формат.
Принцип створення фрактальних зображень досить традиційний, найпростіше - скористатися однією з формул, що додаються в поставці (зорієнтуватися щодо можливого виду генерованого за обраною формулою зображення допоможе вбудований браузер), а потім підредагувати параметри формули бажаним чином. А якщо експеримент виявився невдалим, то останні дії легко скасувати. Готових фрактальних формул дуже багато, і їх кількість може бути розширено шляхом скачування нових формул із сайту програми. Підготовлені користувачі можуть спробувати щастя і у створенні власної формули, для чого в пакеті є вбудований текстовий редактор з підтримкою базових шаблонів, що базуються на стандартних конструкціях мови програмування фрактальних формул.
Однак не варто думати, що таїнство фрактального зображення криється лише вдалою формулою. Не менш важливими є й інші аспекти. Наприклад, колірна настройка, яка передбачає вибір варіанта забарвлення та точне налаштування її параметрів. Налаштування кольору реалізовано на рівні солідних графічних пакетів, наприклад, градієнти можна створювати та налаштовувати самостійно, коригуючи безліч параметрів, включаючи напівпрозорість, та зберігати їх у бібліотеці для подальшого використання. Застосування шарів з можливістю зміни режимів їх змішування та коригуванням напівпрозорості дозволяє генерувати багатошарові фрактали і за рахунок накладання фрактальних зображень один на одного досягати унікальних ефектів. Використання масок непрозорості забезпечує маскування певних областей зображення. Фільтри трансформації дозволяють виконувати щодо виділених фрагментів зображення різноманітні перетворення: масштабувати, дзеркально відбивати, обрізати за шаблоном, спотворювати за допомогою завихрення чи брижів, розмножувати за принципом калейдоскопа тощо.
Програма Fractal Explorer
Fractal Explorer - програма для створення зображень фракталів та тривимірних атракторів із досить вражаючими можливостями. Має інтуїтивно зрозумілий класичний інтерфейс, який може бути налаштований відповідно до користувальницьких уподобань, і підтримує стандартні формати фрактальних зображень (*.frp; *.frs; *.fri; *.fro; *.fr3, *.fr4 та ін.) . Готові фрактальні зображення зберігаються у форматі *.frs і можуть бути експортовані в один із растрових графічних форматів (jpg, bmp, png та gif), а фрактальні анімації зберігаються як AVI-файли.
Генерація фракталів можлива двома способами - на основі базових фрактальних зображень, побудованих за формулами, що входять у поставку, або з нуля. Перший варіант дозволяє отримати цікаві результати порівняно просто, адже вибрати відповідну формулу нескладно, тим більше, що зручний файловий браузер дозволить оцінити якість фракталу з бази ще до створення на його основі фрактального зображення. У отриманого таким шляхом фрактального зображення можна змінити палітру кольорів, додати до нього фонове зображення і визначити режим змішування фрактального і фонового шарів, а також ступінь прозорості фрактального шару. Потім можна буде піддати фрактальне зображення трансформації, за необхідності масштабувати, визначити розміри зображення та провести рендеринг. Створення зображення з нуля набагато складніше і передбачає вибір одного із двох способів. Можна вибрати тип фракталу майже зі 150 варіантів. А потім вже перейти до зміни різноманітних параметрів: налаштування палітри, фону та ін. А можна спробувати створити свою користувальницьку формулу, скориставшись вбудованим компілятором. Перед рендерингом готового зображення може знадобитися проведення автоматичної корекції колірного балансу та/або ручної корекції яскравості, контрастності та насиченості.
Програма ChaosPro
ChaosPro - один з кращих безкоштовних генераторів фрактальних зображень, за допомогою якого нескладно створити безліч дивовижних по красі фрактальних зображень. Програма має дуже простий і зручний інтерфейс і поряд з можливістю автоматичної побудови фракталів дозволяє повністю керувати цим процесом за рахунок зміни великої кількості налаштувань (кількість ітерацій, палітра кольорів, ступінь розмиття, особливості проектування, розмір зображення та ін.). Крім того, зображення можуть бути багатошаровими (режимом змішування шарів можна керувати) і до них можна застосувати цілу серію фільтрів. Всі зміни, що накладаються на фрактали, що відразу будуються, тут же відображаються у вікні перегляду. Створені фрактал можуть бути збережені у власному форматі програми, або в одному з основних фрактальних типів завдяки наявності вбудованого компілятора. Або експортовані в растрові зображення або 3D-об'єкти (якщо було отримано тривимірне представлення фрактала).
У списку можливостей програми:
Точне налаштування кольору, що забезпечує плавні градієнтні переходи кольорів один в одного;
Одночасна побудова кількох фракталів у різних вікнах;
Можливість створення анімації на основі фрактальних зображень з визначенням ключових анімаційних фаз, які можуть відрізнятися за будь-яким змінним параметром: кутами повороту та обертання, колірними параметрами тощо;
створення тривимірних уявлень фракталів на основі звичайних двовимірних зображень;
Підтримка багатьох стандартних форматів фрактальних зображень, зображення яких можуть бути імпортовані та відредаговані в середовищі ChaosPro.
Програма Apophysis
Apophysis – цікавий інструмент для генерації фракталів на основі базових фрактальних формул. Створені за готовими формулами фрактали можна редагувати та невпізнанно змінювати, регулюючи різноманітні параметри. Так, наприклад, у редакторі їх можна трансформувати, або змінивши трикутники, що лежать в основі фракталів, або застосувавши сподобався метод перетворення: хвилеподібне спотворення, перспективу, розмиття по Гауссу та ін. Потім варто поекспериментувати з квітами, вибравши один з базових варіантів градієнтної заливки. Список вбудованих заливок досить значний, і при необхідності можна автоматично підібрати найбільш підходящу заливку до наявного растрового зображення, що актуально, наприклад, при створенні фрактального фону в тому ж стилі, що й інші зображення проекту. При необхідності легко підрегулювати гаму і яскравість, змінити фон, масштабувати фрактальний об'єкт і уточнити його розташування на фоні. Можна також піддати результат різноманітним мутаціям у потрібному стилі. Після закінчення слід задати розміри кінцевого фрактального зображення та записати його візуалізований варіант у вигляді графічного файлу (jpg, bmp, png).
Програма Mystica
Mystica - універсальний генератор унікальних фантастичних двовимірних та тривимірних зображень та текстур, які надалі можна використовувати у різних проектах, наприклад як реальні текстури для Web-сторінок, фонів Робочого столу або фантастичних фонових зображень, які можуть бути задіяні, наприклад, при оформленні дитячих книг. Пакет відрізняється нестандартним і досить складним інтерфейсом і може працювати у двох режимах: Sample (орієнтований на новачків та містить мінімум налаштувань) та Expert (призначений для професіоналів). Створювані зображення можуть мати будь-який розмір і експортуватися в популярні графічні 2D-формати. Прямо з вікна програми їх можна відправити електронною поштою, опублікувати в Html-галереї або створити на їх основі відеоролик у форматах divx, mpeg4 та ін. .
Генерація зображень здійснюється на основі закладених у пакеті фрактальних формул, а система підготовки зображення багаторівнева і включає дуже докладну настройку кольорів, можливість найпростіших трансформацій елементів, що генеруються, і масу інших перетворень. У тому числі застосування фільтрів, зміна освітлення, коригування колірної гами, яскравості і контрастності, зміна використаного під час генерації матеріалу, додавання до зображення " хаотичних " структур тощо.
Тривимірна графіка (3D)
Скрізь, від реклами та динамічних заставок до моделювання катастроф, застосовуються тривимірна комп'ютерна графіка та анімація. Сьогодні тривимірна графіка здатна за лічені дні здійснити спецефекти, які за допомогою фізичних моделей, прозорої фотографії та оптичних принтерів ще нещодавно створювалися місяцями. Вже не треба витрачати тисячі людино-годин на побудову моделей, які потрібно встановити на сцені, висвітлити, відзняти і скомбінувати з рештою учасників епізоду. Достатньо посадити одну людину за PC, щоб створити спецефекти, що дають повне відчуття реальності.
Сучасний світ немислимий без 3D-технологій. Адже тривимірна графіка чула на свою адресу чимало закидів у повній нездатності. Дивно згадати, що тривимірна комп'ютерна графіка колись мала іронічну назву «вирішення у пошуках проблеми».
Метод тривимірної графіки сьогодні творить дива: стало можливим знімати телепередачі виключно за допомогою комп'ютерних моделей. «Живий» ведучий вільно переміщається всередині сцени, при моделюванні якої використано виключно тривимірну графіку, ходить навколо об'єктів і може взаємодіяти з ними.
Але зараз тривимірна комп'ютерна графіка дозволяє милуватися подібними ефектами не лише на екранах телевізорів - наша студія застосує новітні досягнення у цій галузі для вирішення поточних презентаційних завдань. Навіть звичайна презентація проекту може стати саме такою інтерактивною зйомкою, якщо задіяна не лише тривимірна графіка та анімація, а й програма Quest3D. Рівень, якого досягає тривимірна графіка подібних презентацій, також не поступається найкращим ігровим продуктам.
Вже не телевізійний персонаж, а Ви самі зможете «пройтися» графічними сходами або відкрити двері віртуального будинку - так само, як це відбувається з користувачем комп'ютерної гри. Сама картинка активно «реагуватиме» на Ваші дії, змінюючись залежно від них. Такий рівень реалістичності ще недавно був недоступний, але цифрові технології не стоять на місці, а тривимірна графіка безперервно вдосконалюється, враховуючи все більш складні запити сучасного дизайну. Загляньте у світ майбутнього з нами – тривимірна комп'ютерна графіка наблизить вас до нього!
растровий графіка редактор векторний тривимірний
Математика буквально пронизана гармонією, і фрактальна графіка - пряме тому підтвердження. Наука є при створенні кожного її елемента, тому вона відображає всю красу.
Творець фрактальної геометрії, професор Мальдерброт, писав у своїх книгах, що розглянута графіка є не просто повторюваними зображеннями. Це - структура будь-якої істоти чи об'єкта планети, живого і неживого. Наприклад, ДНК є основою, однією інтеграцією. Але якщо код починає повторюватись, тоді з'являється людина.
Основи фрактальної графіки
Що таке фрактальна графіка? Це одна чи кілька кожна з яких подібна до іншої. Тобто зображення складається з однакових частин.
Саме слово "фрактал" може вживатися, якщо фігура має одну або декілька з цих властивостей:
- Нетривіальна структура. Коли розглядається невелика деталь всього зображення, фрагмент схожий з усім малюнком. Збільшення масштабу не призводить до погіршення. Зображення завжди залишається однаково складним.
- Кожна частина малюнка є самоподібною.
- Є математична розмірність.
- Будується за допомогою повторення.
Багато об'єктів природного чи штучного походження наділяються властивостями фракталів. До них відносяться кровоносні системи людини та тварини, крони та коріння дерев тощо.
Фрактальна комп'ютерна графіка стає популярною тому, що досягти краси та реалістичності можна за допомогою простої побудови за допомогою відповідного обладнання. Потрібно лише задати правильну математичну формулу та вказати кількість повторень.
Як створити елемент фрактальної графіки?
Створення фрактальної графіки відрізнятиметься залежно від її класифікації: геометрична, алгебраїчна чи стохастична. Незважаючи на різницю, результат завжди буде однаковим. Оскільки фрактальна графіка починається з геометрії, слід розглянути її створення на відповідному прикладі:
- Задають умову. Це фігура, на основі якої будуватиметься все зображення.
- Встановлюють процедуру. Вона перетворює умову.
- Отримують геометричний фрактал.
Зазвичай нульова умова представляється як трикутника.
Щоб побудувати зображення, потрібно застосувати дві процедури. По-перше, DrawTriangle. Вона будує трикутник за точками, заданими користувачем. По-друге, DrawGenerator. Вона вказує на кількість точок. Кожна процедура може повторюватися кілька разів або довго. Для визначення цього показника використовується чисельний аргумент n.
Інші дії з фрактальною графікою
Після того, як елемент фрактальної графіки був створений, з ним можна робити різні додаткові дії:
- Повороти та розтягнення. Так збільшуються окремі деталі малюнка, або приймають потрібну користувачеві форму.
- Групування об'єктів. Зазвичай ця функція застосовується, щоб призначити необхідний масштаб.
- Перетворення кольорів. Зображення можна пофарбувати у будь-який відтінок, задати тон.
- Зміна форми всього об'єкта чи окремих деталей.
Потрібно пам'ятати, що зображення фрактальної графіки зрештою передбачити неможливо. Коли трикутник занадто збільшується, перегляд буде нереальним, користувач побачить тільки чорне вікно. Коли бажану текстуру виявлено, всі зміни з нею потрібно проводити в мінімальному порядку, постійно зберігаючи допустимий варіант.
Програми для створення
Немає такої людини, яку б не приваблювала фрактальна графіка. Програми, що беруть участь у її створенні, представлені у великій кількості. Тому треба розібратися у найбільш підходящих для новачків.
Продукт Art Dabbler є найкращим варіантом, якщо користувач раніше не мав справу з його податками. Тут можна лише освоїти графіку, а й навчитися малювати на комп'ютері. До інших переваг слід віднести невелику кількість пам'яті, що займається, і інтуїтивно зрозумілий інтерфейс.
Інша програма – Ultra Fractal. Вона вже орієнтована на роботу професіоналів, новачкам складно буде розібратися в ній. Інтерфейс тут досить складний, але виробники виконали його з прикладу звичайного Photoshop. Якщо користувач мав справу з цією програмою, то в кнопках швидко розбереться. Особливість Ultra Fractal полягає в тому, що тут виконується не тільки фрактальна графіка в якості стандартного і звичайного зображення, але і анімація. Формули для складання додаються, але при необхідності користувач зможе задіяти свою.
Існуючі формати
Формати фрактальної графіки визначають форму та спосіб зберігання файлових даних. Деякі з них включають великий обсяг інформації. Тому їх потрібно стискати. Причому робити це за допомогою архівування, а у файлі. Якщо правильно його вибрати, стиснення буде відбуватися автоматично. Існує кілька алгоритмів цієї процедури.
Якщо перед користувачем аплікація, більшість якої витримана одному кольорі, то розумно використовувати формати BMP і PCX. Тут замінюється послідовність повторюваних величин.
Діаграму, яка дуже рідко, але використовується у фрактальній графіці, логічно помістити в TIFF або GIF.
Частина форматів є універсальною. Тобто їх можна переглянути в більшості редакторів. Але якщо користувачеві важлива якісна, тоді потрібно застосовувати оригінальну програму.
Формати фракталів не підтримуються браузерами. Саме тому здійснюється їхнє перетворення, якщо є необхідність завантажити на той чи інший сайт.
Сфера застосування
Застосування фрактальної графіки можна назвати практично повсюдним. Понад те, ця область постійно розширюється. На даний момент можна відзначити такі області:
- Комп'ютерна графіка. Реалістично зображуються рельєфи та природні об'єкти. Це застосовується у створенні комп'ютерних ігор.
- Аналіз фондових ринків. Фрактали тут використовуються для того, щоб наголосити на повтореннях, які згодом зіграють трейдерам на руку.
- Природні науки. У фізиці за допомогою фрактальної графіки моделюються нелінійні процеси. У біології вона визначає будову кровоносної системи.
- щоб зменшити обсяг інформації.
- Створення децентралізованої мережі. За допомогою фракталів вдається забезпечити безпосереднє підключення, а не через центральне регулювання. Тому мережа стає стійкішою.
На даний момент практикується застосування фракталів у виробництві різного обладнання. Наприклад, вже запущено конвеєр зі створення антен, що добре приймають сигнали.
приклади
Приклади фрактальної графіки поширені від примітивних до дуже складних елементів, що повторюються. Унікальною особливістю даного типу є те, що малюнок можна скласти виключно з оклику або
Стандартними, але щодо складними прикладами комп'ютерної фрактальної графіки є хмари, гори, морські узбережжя тощо. Їх часто використовують під час створення ігор.
Найпростішим прикладом можна назвати криву Коха. По-перше, вона не має конкретної довжини, і її називають нескінченною. По-друге, тут повністю відсутня гладкість. Тому неможливо збудувати дотичну.
Плюси і мінуси
Своє поширення нещодавно набула фрактальна графіка. її надто розмиті, оскільки відсутня нормальна теоретична база. Термінологія та принципи її використання до кінця не вивчені, незважаючи на те, що вони дієві та робітники.
Переваги фрактальної графіки полягають у кількох факторах:
- Невеликий розмір у масштабному малюнку.
- Немає кінця масштабуванню, складність картинки можна збільшувати нескінченно.
- Немає іншого такого ж інструмента, що дозволить створювати складні фігури.
- Реалістичність.
- Простота у створенні робіт.
Недоліки фрактальної графіки також є. По-перше, без комп'ютера тут не обійтися. Причому чим довша кількість повторень, тим більше завантажується процесор. Відповідно, тільки якісне комп'ютерне обладнання здатне впоратися із побудовою складних зображень.
По-друге, є обмеження у вихідних математичних постатях. Деякі зображення створити за допомогою фракталів не вдасться.
Подібності та відмінності між фракталом та вектором
Векторна та фрактальна графіка дуже різняться між собою:
- За кодуванням зображень. Вектор використовує контури різних геометричних фігур, фрактал - математичну формулу, в основі якої лежить трикутник.
- Застосування. Вектор використовують всюди, де потрібно отримати чіткий контур. Фрактальна графіка більш спеціалізована, вона знайшла своє застосування у математиці та мистецтві.
- За аналогами. Векторними аналогами є слайди чи функції на графіках. У фракталів це - сніжинки чи кристали.
Незважаючи на різноманіття відмінностей, ці два види графіки поєднує якість зображення. Воно залишається незмінним, незалежно від рівня масштабування.
Тривимірна, векторна, растрова, фрактальна графіка схожі на одному - всі вони широко використовуються у вирішенні різних комп'ютерних завдань. Щоб отримати справді якісне зображення, потрібно задіяти кожну з них.
Унікальні особливості фракталів
Графіка фрактальна не має аналогів. Вона унікальна у своєму роді. По-перше, одна її невелика ділянка може розповісти відразу про весь малюнок або зображення. Інформація про весь фрактал доступна, т.к. він є самоподібним.
У центрі будь-якого зображення, що відноситься до даного типу графіки, знаходиться рівносторонній трикутник. Решта деталей малюнка є або його частинами, або зменшеними/збільшеними копіями. Тобто у складанні зображення бере участь один конкретний елемент.
Щоб використовувати фрактальну графіку, не потрібні об'єкти, що зберігаються в пам'яті комп'ютера. Приступити до створення можна, маючи під рукою лише математичну формулу.
Висновок
Графіка фрактальна дуже реалістична. Відбувається це тому, що її деталі та елементи постійно зустрічаються в оточенні людини – гори, хмари, морські береги, різні природні явища. Частина з них залишається постійно в тому самому стані, на зразок дерев, кам'янистих ділянок. Інші ж безперервно змінюються, як мерехтливе вогняне полум'я або кров, що рухається судинами.
Розвиток фрактальних технологій на сьогоднішній день – одна з прогресуючих галузей науки. Вона використовується не лише у комп'ютерній графіці. Можливо, якщо вченим вдасться докопатися до їхньої суті, людина почне краще розуміти цей світ.
У лісах фрактальної графіки
Дмитро Шахов, фрілансер, м.Москва
Фрактали привертають увагу, заворожують, гіпнотизують. Однак багато хто вважає, що такі зображення просто візерунки, які хороші лише на екрані монітора або як прикладні допоміжні засоби для оформлення різної поліграфічної продукції. При цьому мало хто здогадується, що простота ця тільки здається. Насправді фрактальна графіка досить складна і є результатом злиття математики та мистецтва. Сьогодні фрактали — один з найперспективніших видів комп'ютерної графіки, що швидко розвиваються.
Перш ніж перейти до розгляду фрактальної графіки, розглянемо, у чому суть комп'ютерної або «машинної» графіки, а також загальноприйняту класифікацію комп'ютерної графіки (Computer Graphics, CG). Це поняття з'явилося відносно недавно, у 60-х роках минулого століття, коли було винайдено електронні обчислювальні пристрої. Термін «комп'ютерна графіка» трактується у різних джерелах по-різному. Деякі визначають його як область інформатики, що займається питаннями отримання різних зображень (малюнки, креслення, мультиплікації) на комп'ютері. Комп'ютерна графіка охоплює всі види та форми представлення зображень, доступні для людського сприйняття на екрані монітора або у вигляді копії на зовнішньому носії (папері, тканині, кіноплівці тощо). В інших джерелах комп'ютерна графіка називається спеціальною областю інформатики, що вивчає методи та засоби створення та обробки зображень за допомогою програмно-апаратних обчислювальних комплексів.
У широкому значенні слова комп'ютерна графіка - це все, для чого використовується візуальне, образне середовище відображення на моніторі. Якщо звузити поняття до практичного використання, то під комп'ютерною графікою можна мати на увазі процес створення, обробки та виведення різноманітних зображень за допомогою комп'ютера.
Залежно від способу формування зображень комп'ютерна графіка поділяється на растрову, векторну та фрактальну (рис. 1).
Основним та найменшим елементом растрового зображення є точка. Коли зображення знаходиться в програмному середовищі на екрані, воно називається пікселем. Кожен піксел растрового зображення має дві характеристики: розміщення та колір. Чим більша кількість пікселів і менше їх розміри, тим краще виглядає зображення. Великі обсяги даних – це основна проблема під час використання растрових зображень. Другий недолік растрових зображень пов'язаний із неможливістю їх збільшення для розгляду деталей. Оскільки зображення складається з точок, збільшення зображення призводить до того, що ці точки стають більшими і нагадують мозаїку, а отже, додаткових деталей у цьому випадку розглянути не вдається. Більше того, збільшення точок растру візуально спотворює зображення та робить його зернистим. Цей ефект називається пікселізацією.
Мал. 1. Типи комп'ютерної графіки: а - растрова; б - векторна; в - фрактальна
У векторній графіці основним елементом зображення є лінія (не важливо, пряма чи крива). Зрозуміло, в растровій графіці теж існують лінії, але вони розглядаються як комбінації точок. Для кожної точки лінії в растрової графіці відводиться одна або кілька осередків пам'яті (що більше кольорів можуть мати точки, тим більше осередків їм виділяється). Відповідно, чим довша растрова лінія, тим більше пам'яті вона займає. У векторній графіці обсяг пам'яті, займаний лінією, залежить від розмірів лінії, оскільки лінія представляється як формули, а точніше, як кількох параметрів. Що б ми не робили з цією лінією, змінюються лише її параметри, що зберігаються в осередках пам'яті. Кількість комірок для будь-якої лінії залишається незмінною.
Мал. 2. Приклад фрактальності в природі – капуста Романеску
Зображення у векторному форматі легко редагується: його можна втрат масштабувати, повертати, деформувати. Імітація тривимірності у векторній графіці теж простіше, ніж у растрової. Справа в тому, що кожне перетворення фактично виконується так: старе зображення (або фрагмент) стирається, а замість нього будується нове. Математичне опис векторного малюнка залишається тим самим — змінюються лише значення деяких змінних, наприклад коефіцієнтів.
Фрактальна графіка відносно молода порівняно з растрової та векторної графіки. Основою фрактальної графіки є фрактальна геометрія, що дозволяє математично описувати різні види неоднорідностей, що у природі. Поняття «фрактал», «фрактальна геометрія» та «фрактальна графіка» з'явилися наприкінці 1970-х. Слово «фрактал» утворене від латинського fractus і означає «що складається із фрагментів». Воно було запропоновано математиком Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом у 1977 році книги The Fractal Geometry of Nature Бенуа Мандельброта. Визначення фракталу, дане Мандельбротом: фрактал називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні до цілого. Самоподібність - одна з основних властивостей фракталів. Таким чином, фрактальна графіка — це вид комп'ютерної графіки, в якій тією чи іншою мірою використовуються самоподібні структури (простіше, фрактали). Далі ми поговоримо про те, що таке самоподібність і де в природі зустрічаються фрактали.
Що мається на увазі під самоподібністю? Капуста Романеску з Італії — найхарактерніший приклад фрактального об'єкта у природі. Капустяні нирки у неї наростають у вигляді певної спіралі (рис. 2), яка називається логарифмічною, а число капустяних нирок збігається з числом Фібоначчі. Числа Фібоначчі - це елементи числової послідовності 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 468 …, у якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Свою назву вони здобули на честь середньовічного математика Леонардо Пізанського (відомого як Фібоначчі). Кожна частина елементів капусти Романеску має таку ж форму, як і весь качан. Ця властивість повторюється з регулярністю у різних масштабах. Насправді ця капуста є природним фракталом. Тобто як би ми не збільшували фрактал, після кожного кроку ми побачимо ту саму форму, що характерна для даного фракталу загалом. Таким чином, із фракталами тісно пов'язані ще два поняття — ітерація та рекурсія. Рекурсія – процес повторення елементів самоподібним чином. Ітерація – спрощено кажучи – повторне застосування будь-якої математичної операції.
Насправді фрактальні властивості має дуже багато природних об'єктів — просто мало хто про це замислюється. Ви можете милуватися хмарами на небі, хвилями прибою, що набігають, ходити лісом — і навіть не підозрювати, що в основі цієї краси лежить математика! Так Так! Дослідження фрактальних властивостей природних об'єктів почав проводити ще Бенуа Мандельброт. Виявляється, попри всю складність природних об'єктів, чимало їх у принципі описуються досить простими математичними формулами. Хоча у чистому вигляді фрактали у природі немає. Те, що ми спостерігаємо, це так звані стохастичні фрактали. Тобто такі фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційному процесі випадково змінювати будь-які його параметри. «Чистий» фрактал можна наближати до нескінченності, оскільки він має нескінченну рекурсію, а ось про стохастичні фрактали цього сказати не можна.
Слід зазначити, що слово "фрактал" не є математичним терміном і не має загальноприйнятого суворого математичного визначення. Воно може вживатися, коли розглянута фігура має будь-які з наступних властивостей:
- має нетривіальну структуру в усіх масштабах - цим фрактал відрізняється від регулярних фігур (таких як коло, еліпс, графік гладкої функції): якщо ми розглянемо невеликий фрагмент регулярної фігури в дуже великому масштабі, то він буде схожим на фрагмент прямий. Для фрактал збільшення масштабу не веде до спрощення структури, тому на всіх шкалах ми побачимо однаково складну картину;
- є самоподібною або приблизно самоподібною;
- має дробову метричну розмірність або метричну розмірність, що перевищує топологічну.
Крім того, для побудови фрактала необхідно враховувати початковий стан і формулу, що його описує, — так зване вихідне безліч, яке пропускається через якийсь механізм, що викликає його відображення і додає відображене безліч до вихідного. Цей процес називається ітерацією. Таким чином, після кількох подібних щодо простих операцій виходить дуже складне зображення. У процесі отримання фрактала важливі два моменти: вихідна множина та механізм перетворення. Залежно від алгоритму побудови фрактали діляться на лінійні та нелінійні.
Алгоритми побудови лінійних фракталів визначаються лінійними функціями. Вони самоподібність присутній у найпростішому варіанті: кожна частина повторює ціле.
Нелінійні фрактали задаються нелінійною функцією зростання, тобто рівняннями ступеня вище за першу. У них самоподібність буде складнішою: будь-яка частина є вже не точною, а деформованою копією цілого.
Один із найпростіших прикладів лінійного фракталу – крива Коха (1904 рік, німецький математик Хельга фон Кох).
Існує проста рекурсивна процедура (отримання самоподібних частин фракталу) формування фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ламану з кінцевим числом ланок, що називається генератором. Далі замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ламаною, подібною до генератора). У ламаною, що вийшла, знову замінимо кожен відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, отримаємо в межах фрактальну криву. На рис. 3 наведено кілька кроків цієї процедури для кривої Коха.
Одним із перших нелінійних фракталів описав французький математик Гастон Жюліа ще в 1918 році. Але в його роботі були відсутні зображення досліджених ним множин і термін «фрактал».
У наш час комп'ютери дозволили отримати зображення множин Жюліа (мал. 4 а), які разом із безліччю Мандельброта (рис. 4 б) є нині найвідомішими квадратичними фрактальними структурами.
Обидва типи фракталів виникають у результаті реалізації на комплексній площині найпростішого нелінійного алгоритму.
Тут основою методу побудови зображень покладено принцип успадкування від про батьків геометричних властивостей об'єктів-спадкоємців. Побудова фрактального малюнка здійснюється за яким-небудь алгоритмом або шляхом автоматичної генерації зображень за допомогою обчислень за конкретними формулами. Зміна значень алгоритмів або коефіцієнтів у формулах призводить до модифікації цих зображень. Головною перевагою фрактальної графіки є те, що у файлі фрактального зображення зберігаються лише алгоритми та формули.
Фрактал - об'єкт, окремі елементи якого успадковують властивості батьківських структур. Оскільки детальніший опис елементів меншого масштабу відбувається за простим алгоритмом, описати такий об'єкт можна лише кількома математичними рівняннями.
Фрактали дозволяють описувати цілі класи зображень, для детального опису яких потрібно мало пам'яті. У той же час фрактали слабко застосовні до зображень поза цими класами.
Програмні засоби роботи з фрактальної графікою призначені для автоматичної генерації зображень шляхом математичних розрахунків. Саме тому фрактальна графіка не визнається ні комп'ютерними, ні звичайними художниками через те, що нібито тут за людину все робить програма. Насправді процес роботи з фрактальною графікою хоч і автоматизований, проте повністю творчий: комбінуючи формули і змінюючи змінні, можна добиватися дивовижних результатів і втілювати найсміливіші мистецькі задуми. Створення фрактальної художньої композиції полягає не в малюванні чи оформленні, а програмуванні.
Змінюючи та комбінуючи забарвлення фрактальних фігур, можна моделювати образи живої та неживої природи (наприклад, гілки дерева або сніжинки), а також складати з отриманих фігур «фрактальну» композицію. Фрактальна графіка, як і векторна і тривимірна, є обчислюваної. Її головна відмінність у тому, що зображення будується за рівнянням або системою рівнянь. Тому для виконання всіх обчислень у пам'яті комп'ютера нічого, крім формули, не потрібно зберігати.
Тільки змінивши коефіцієнти рівняння, можна отримати зовсім інше зображення. Ця ідея знайшла застосування у комп'ютерній графіці завдяки компактності математичного апарату, який буде необхідний її реалізації. Так, за допомогою кількох математичних коефіцієнтів можна задати лінії та поверхні дуже складної форми.
У машинній графіці фрактальна геометрія є незамінною при генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Фактично, завдяки фрактальній графіці знайдено спосіб ефективної реалізації складних неевклідових об'єктів, образи яких дуже схожі на природні. Власне тому цій статті і дано таку назву. Багато природних об'єктів мають фрактальні властивості, тому їх легко створювати на комп'ютері за допомогою фрактальної графіки. Наприклад, розробки комп'ютерної гри немає потреби щоразу заново малювати ліс, гори, хмари тощо. Ці об'єкти мають самоподібність, а отже, можуть бути легко згенеровані програмними засобами на основі математичних формул. Додаючи або змінюючи деякі параметри вихідної формули, можна досягти дивного розмаїття природних об'єктів, що отримуються. Фрактали на екрані комп'ютера - це візерунки, побудовані самим комп'ютером за заданою програмою. Крім фрактального живопису існують фрактальні анімація та музика.
На закінчення хотілося б відзначити таке: фрактальна графіка — один із найнезвичайніших і найперспективніших напрямів у комп'ютерній графіці. Результати, які можна отримати з її допомогою, вражають уяву навіть найдосвідченіших поціновувачів комп'ютерного мистецтва. Так, зображення, створювані за допомогою програм-фракталогенераторів, часом містять зовсім фантастичні та незвичайні пейзажі (рис. 5), які навіть не снилися художникам-сюрреалістам. І навпаки, за допомогою фрактальної графіки можна з дивовижною точністю зобразити те, що ми бачимо в навколишньому світі. Воістину світ фракталів дивовижний!
Далі буде.
Чому фратали такі гарні?
Так казково, чарівно, хвилююче гарні. Математика вся пронизана красою та гармонією, тільки цю красу треба побачити. Ось як пише сам Мандельброт у своїй книзі "The Fractal Geometry of Nature"-"Чому геометрію часто називають холодною і сухою? Одна з причин лежить в її нездатності описати форму хмар, гір або дерев. Хмари – це не сфери, гори – не кути , Лінія узбережжя - не коло, кора не гладка, а блискавка не пряма лінія ... "Фрактальна графіка - це не просто безліч зображень, що самоповторюються, це модель структури і принципу будь-якого сущого. Все наше життя представлене фракталами. Взяти, наприклад, ДНК, це лише основа, одна ітерація, а при повторенні… з'являється людина! І таких прикладів багато. Не можна не відзначити широке застосування фракталів у комп'ютерних іграх, де рельєфи місцевості найчастіше є фрактальними зображеннями на основі тривимірних моделей комплексних множин та броунівського руху. Фрактальна графіка необхідна скрізь, і розвиток "фрактальних технологій" - це одне з важливих завдань на сьогоднішній день. Фрактали навколо нас всюди, і в контурах гір, і в звивистій лінії морського берега. Деякі з фракталів безперервно змінюються, подібно до хмар, що рухаються, або мерехтливого полум'я, у той час як інші, подібно до дерев або наших судинних систем, зберігають структуру, набуту в процесі еволюції. Х.О.Пайген та П.Х Ріхтер.
При фрактальному підході хаос ... перестає бути синонімом безладдя і знаходить тонку структуру. Фрактальна наука ще дуже молода, і її чекає велике майбутнє. Краса фракталів далеко не вичерпана і ще подарує нам чимало шедеврів - тих, які насолоджують око, і тих, які приносять справжню насолоду розуму.
Концепція фрактал і фрактальної графіки.
Геометрія, що з'явилися в кінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Слово фрактал утворене від латинського fractus і в перекладі означає, що складається з фрагментів. Воно було запропоновано Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом у 1977 році книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature.У його роботах використані наукові результати інших учених, які працювали в період 1875-1925 років в тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф Але тільки в наш час вдалося об'єднати їх роботи в єдину систему.Роль фракталів у машинній графіці сьогодні досить велика.Вони приходять на допомогу, наприклад, коли потрібно, за допомогою декількох коефіцієнтів, задати лінії та поверхні дуже складної форми. машинної графіки, фрактальна геометрія незамінна при генерації штучних хмар, гір, поверхні моря.Фактично знайдений спосіб легкого уявлення складних неевклідових об'єктів, образи яких дуже схожі на природні.Однією з основних властивостей фракталів є самоподібність. Визначення фракталу, дане Мандельбротом, звучить так: "Фракту лом називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні до цілого"
