Тема урока: "Двоичная арифметика". Сложение двоичных чисел Двоичная арифметика вычитание

Цель работы. Научиться выполнять арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деления) с двоичными числами.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
		01=0 10=0 11=1

Задание 1. Выполните сложение чисел в двоичной системе счисления 100100111,001 2 +100111010,101 2

Методические указания.

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий разряд.

Примеры .

1) Выполнить сложение двоичных чисел X=1101, Y=111.

В приведенном примере в младшем нулевом разряде две единицы: 1+1=10 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий. В первом разряде: 0+1+1=10 (крайняя единица перенесена из нулевого разряда) дают 0 и единицу переноса в следующий. Во втором разряде 1+1+1=11(крайняя единицы перенесена из первого разряда) дают 1 и единицу переноса в следующий. В старшем третьем разряде 1 и единица переноса из предыдущего разряда дают 1+1=10.

Результат: 1101+111=10100.

2) Сложить три двоичных числа X=1101, Y=101, Z=111.

Результат: 1101+101+111=11001.

Задание 2. Выполните вычитание чисел в двоичной системе счисления: 1100110110,0011 2 – 11111110,01 2 .

Методические указания.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум единицам данного разряда, так как 10=1+1.

Примеры .

1) Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X–Y.

Результат: 10010 2 – 101 2 = 1101 2 .

Замечание. Число 100…00 2 можно представить в виде суммы

Данное разложение на слагаемые объясняет правило вычитания в столбик. Если вы занимаете 1 из ближайшего старшего разряда, тогда над всеми следующими за единицей нулями следует дописывать 1, а над крайним нулем, для которого произведен заем, 1+1 или 10.

2) Выполнить вычитание: 1100000011,011 2 – 101010111,1 2

Результат: 1100000011,011 2 – 101010111,1 2 = 110101011,111 2 .

Задание 3. Выполните умножение чисел 11001 2 и 1011100 2 в двоичной системе счисления.

Методические указания.

Правила умножения двоичных чисел такие же, как и для умножения десятичных чисел в столбик, с использованием двоичного умножения и сложения.

Пример . Найти произведение 1001 2 101 2

101

Результат: 1001 2 101 2 =101101 2 .

Задание 4. Выполните деление чисел 111101 2 и 1110 2 в двоичной системе счисления.

Методические указания.

Деление двоичных чисел производится так же, как и десятичных чисел, при этом используется двоичное умножение и вычитание.

Пример . Найти частное от деления 1100, 011 2 : 10, 01 2

Результат: 1100, 011 2 : 10, 01 2 =101, 1 2 .

Задания для самостоятельной работы

	Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X–Y , если:	Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y , если:
	Х=100101,101 2 Y=11101,11 2	X=100101,011 2 Y=110,1 2
	Х=101101,101 2 Y=1101,111 2	X=110000,11 2 Y= 2
	Х=110101,101 2 Y=11101,11 2	X=111001,0001 2 Y=1010,011 2
	Х=1101111,101 2 Y=10101,11 2	X=111011,0001 2 Y=101,01 2
	Х=1000111,11 2 Y=11101,111 2	X=111100,011 2 Y=101,11 2
	Х=1110001,101 2 Y=10011,11 2	X=110110,101 2 Y=100,11 2
	Х=1010001,101 2 Y=10011,11 2	X=100110,0001 2 Y=111,01 2
	Х=1000011,101 2 Y=10011,011 2	X=101011,111 2 Y=110,11 2
	Х=1101001, 101 2 Y=10111,11 2	X=1010110,101 2 Y=1000,01 2
	Х=1010001,101 2 Y=1111,011 2	X=111111,01 2 Y=101,1 2
	Х=101001, 101 2 Y=10111,111 2	X=1011010,101 2 , Y=111,01 2
	Х=1010111, 101 2 Y=11100,111 2	X=1000101,0011 2 , Y=110,11 2
	Х=110101,101 2 Y=1111,11 2	X=100101,011 2 , Y=110,1 2
	Х=101111,101 2 Y=1101,111 2	X=100000,1101 2 , Y=101,01 2
	Х=110101,011 2 Y=10011,11 2	Х=110111,11 2 Y=101,11 2
	Х=1001011,11 2 Y=10101,101 2	Х=100101,11 2 Y=111,01 2
	Х=100011,011 2 Y=10011,111 2	Х=100011,01 2 Y=1011,1 2
	Х=1010001,101 2 Y=1011,011 2	Х=100001,101 2 Y=1001,01 2
	Х=110001,101 2 Y=10111,11 2	Х=111001,101 2 Y=1101,11 2
	Х=1000111,011 2 Y=11111,11 2	Х=1010111,011 2 Y=111,11 2
	Х=111001, 101 2 Y=1110,111 2	Х=11100001, 101 2 Y=110,11 2
	Х=100001,101 2 Y=1111,111 2	Х=1000001,101 2 Y=1111,01 2
	Х=1011101, 101 2 Y=10111,011 2	Х=1010101, 101 2 Y=100,011 2
	Х=1111000, 101 2 Y=101111,11 2	Х=1111001, 011 2 Y=1011,11 2
	Х=1100000, 101 2 Y=1111,111 2	Х=1100011, 01 2 Y=11,111 2

Контрольные вопросы.

1. Каковы правила сложения двоичных чисел?

2. Каковы правила вычитания двоичных чисел?

3. Каковы правила умножения двоичных чисел?

4. Каковы правила вычитания двоичных чисел?

И так, мы уже знаем, что такое двоичная система исчисления. Двоичная система - это такая же полноценная система исчисления, как и хорошо всем нам знакомая десятичная. В двоичной системе, как и в любой другой системе исчисления возможны все арифметические операции, к которым мы привыкли в десятичной системе. То есть сложение, вычитание, умножение, деление. Рассмотрим, каждую из арифметических операций на конкретных примерах.

Сложение

Допустим нам нужно найти сумму двух двоичных чисел: 10011001110 + 11000101110. Как это сделать. Правила сложения двоичных чисел такие же, как и для десятичных. С той только разницей, что каждый разряд суммы может принимать только два значения - ноль или единица. Точно так же, как и в десятичной системе, для сложения чисел их удобно записать в столбик:

+		1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
		1	1	0	0	0	1	0	1	1	1	0
	1	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0

Сложение чисел нужно производить поразрядно, начиная с младшего разряда. При этом применяется следующее правило: Ноль плюс ноль получится, естественно ноль. Один плюс ноль и ноль плюс один дадут в результате один. При сложении двух единиц мы получим ноль в текущем разряде и единицу переноса в старший разряд. При сложении трех единиц (с учетом единицы переноса с предыдущего разряда) получим единицу в текущем разряде и единицу переноса. Эти правила объеденены в так называемой таблице сложения:

Пользуясь таблицей сложения проверте приведенный выше пример сложения. Попробуйте сами сложить какие нибудь числа.

Умножение

Умножение двоичных чисел, также схоже на умножение десятичных. Сейчас мы так же покажем этот процесс на примере. Вспомните, как вы умножаете два десятичных числа столбиком. Вот пример умножения двоичных чисел столбиком:

		X		1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
											1	0	1	1
				1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
+			1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
	1	1	0	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1	0

Точно так же, как и при умножении двоичных чисел, мы умножаем первое число на каждый разряд второго и записываем полученные результаты под первой чертой, одно под другим со здвигом. Затем полученные промежуточные результаты мы складываем с учетом сдвига. Однако в случае с двоичными числами имеется одно существенное отличие. Так как любой разряд двоичного числа либо ноль, либо единица, то промежуточное умножение сильно облегчается. В самом деле, любое число, умноженное на единицу, равно самому себе. Любое число, умноженное на ноль, равно нулю! Поэтому тут и вычислять то ничего не нужно. Именно по этому умножение двух двоичных чисел сводится к операциям сдвига и сложения. Это очень важно для построения вычислительных машин. Теперь ясно, что нам не нужны какие нибудь там "умножители". Для реализации операций сложения и умножения нам нужны только сумматоры и сдвиговые регистры. С их устройством вы можете познакомиться на нашем сайте.

Вычитание

Для того, что бы упростить операцию вычитания, был придуман так называемый “дополнительный код”. Можно сказать, что при помощи этого кода записываются отрицательные числа. Для того, что бы записать двоичное число в дополнительном коде, необходимо проинвертировать все его разряды а затем прибавить единицу. Инвертировать разряд двоичного числа - это, значит, заменить его содержимое на противоположное. (Ноль на единицу, а единицу на ноль). Ниже в таблице приведены примеры перевода различных чисел в дополнительный код. В каждой строке таблицы вы видите одно и то же число записаное сначала в десятичной системе исчисления, затем в двоичной системе в прямом коде, затем инвертированный прямой код, а затем в дополнительном коде.

Правила перевода числа из десятичного представления в двоичное читайте в разделе «Системы исчисления».

Правило вычитаия двух двоичных чисел гласит:
для того, что бы вычесть одно число из второго, необходимо:

• Перевести вычитаемое в дополнительный код.
• Сложить эти два числа (уменьшаемое и вычитаемое в дополнительном коде).
• При сложении перенос из самого старшего разряда не учитывать.
• Полученный результат и есть разность.

Поясним это на примере. Допустим, нам нужно найти разность между числами 13 и 5, в двоичной системе исчисления. Переведем сначала искомые числа в двоичную систему:

Число 13 берем в прямом двоичном коде (00001101).

Число 5 переводим в дополнительный двоичный код 5 (11111011).

Теперь производим сложение:

+		0	0	0	0	1	1	0	1
		1	1	1	1	1	0	1	1
	1	0	0	0	0	1	0	0	0

Перенос из самого старшего, используемого нами разряда мы отбрасываем. В результате получаем 1000.

Для проверки переведем полученный результат в десятичный вид. 1000 в двоичной системе это 8 в десятичной. Советую внимательно проверить приведенный пример в соответствии с таблицей сложения (см выше).

Умножение и деление на 2

Умножение на 2 (на 10 в двоичном коде) это частный случай умножения. Но его следует рассмотреть отдельно. Дело в том, что так же как при умножении на 10 в десятичной системе нужно просто прибавить один нолик вконце числа, так и при умножении на два в двоичной системе для получения результата нужно множимое сдвинуть на один разряд влево и добавить один ноль в младший разряд.

Двоичное	Десятичное

Аналогично происходит делениена 2. Только наоборот. Для того, что бы разделить двоичне числа на 2 (двоичное 10) нужно просто отбросить ноль в младшем разряде числа и все остальные разряды сдвинуть на один разряд вправо. Если в младшем разряде искомого числа не ноль, а единица, то это значит, что число не делится на два нацело. В этом случае возможно деление с остатком.

Примечание: Вы можете сами потренироваться в умножении на два с другими числами. О переводе из десятичного представления числа в двоичное смотри здесь.

Деление на произвольное число

Вспомним как мы делим одно число на другое в десятичной системе исчисления. Я имеется в виду деление столбиком или углом. Точно так же происходит деление в двоичной системе. Вот пример деления двух двоичных чисел:

Сначала мы записываем делимое. В данном случае это число 1000001 (в десятичном виде 65). Затем, справа от него, рисуем угол. В верхней части угла записываем делитель. В нашем случае – это 101 (десятичное 5). Затем мы начинаем находить частное по разрядно. В десятичной системе исчисления в данном случае мы подбираем, на какое число от 1 до 9 нужно умножить делитель, для того, что бы результат был бы все же меньше, чем три первые разряда делимого. Если такого числа не находится, то берут первые четыре разряда делимого. В двоичной системе исчисления любой разряд может принимать только два значения – ноль или единица. Поэтому выбор у нас гораздо меньший. Делитель можно умножать только на 1 либо на ноль. При этом в первом случае он останется неизменным, а во втором он будет равен нулю. Нам придется лишь проверять не больше ли делитель, чем число, составляющее первые три разряда делимого. Как видим первые три разряда составляют число 100, что меньше, чем 101. Поэтому берем первые четыре разряда делимого. Число, составляющее первые четыре разряда делимого (1000) естественно больше делителя. Поэтому мы записываем делитель под первыми четырьмя разрядами делимого и вычитаем эти два числа. Получаем разность 11. В первый разряд частного записываем 1.

Находим следующий разряд частного. Для этого сносим следующий разряд делимого (так же, как это делается при делении в десятичной системе). Проверяем – можно ли теперь вычесть из него 101. Число 110 больше, чем 101. Поэтому мы записываем единицу в следующий разряд частного и производим вычитание этих двух чисел. Разность равна 1.

Далее ищем третий разряд частного. Сносим еще один ноль с очередного разряда делимого. Но из числа 10 невозможно вычесть 101. 10 меньше, чем 101. Поэтому записываем в очередной разряд частного ноль и сносим последний разряд делимого. Теперь вычитание возможно. Более того, результат вычитания равен нулю. Это означает во первых, что последний разряд частного равен единице, а во вторых то, что число 1000001 поделилось на 101 без остатка. Результат деления равен 1101 (десятичное 13).

Заключение

Вы можете задаться вопросом: какова практическая ценность в знании правил двоичной арифметики. Гораздо удобнее считать в десятичном виде. Да, для человека удобнее в десятичной. Но именно эти самые правила позволили создать электронные схемы, способные производить вычисления автоматически. Если вы внимательно посмотрите на правила деления чисел, то можете увидеть, что все эти действия сводятся к сдвигу разрядов числа и вычитанию. Вычитание, как мы уже убедились ранее сводится к сложению чисел, одно из которых представлено в дополнительном коде. Сумматор легко строится на основе простейших логических элементов. Сдвиг производится при помощи сдвигового регистра. На страницах этого сайта вы найдете описание всех этих элементов вычислительных систем.

Чтобы овладеть любой системой счисления, надо уметь складывать и умножать в ней любые числа. Арифметические действия в двоичной системе счисления выполняют по тем же правилам, что и в десятичной системе, с той лишь разницей, что основание системы равно двум .

Правила двоичной арифметики

Сложение и вычитание двоичных чисел основаны на правилах этих действий в пределах одного разряда и правилах учета межразрядных переносов и займов.

Для операций сложения, вычитания и умножения используются правила, приведенные в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Правила арифметических операций

Перенос, возникающий в i -м разряде, передается в следующий (i +1)-разряд с увеличенным вдвое весом и уменьшенным вдвое значением.

Заем из (i +1)-го разряда передается в i-й разряд с уменьшенным вдвое весом и увеличенным вдвое значением.

Приведем пример сложения двух двоичных чисел. Справа показано сложение тех же чисел в десятичной системе счисления. Следует обратить внимание на то, что перенос в соседний (старший) разряд возникает в том случае, если сумма цифр данного разряда больше или равна основанию системы счисления.

При вычитании двоичных чисел (см. табл. 3.1) в данном разряде при необходимости занимается единица из соседнего (старшего) разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам данного разряда. Заем производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше цифры в том же разряде уменьшаемого. Например, при вычитании:

единица из разряда с весом 2 4 была занята в разряд с весом 2 3 ; эта единица стала там двойкой, и в разряде с весом 2 3 выполнилось вычитание 10-1 = 1; на месте разряда с весом 2 4 в уменьшаемом фактически остался нуль.

Распространение займа сразу на несколько более старших разрядов можно проследить на примере вычитания чисел 101110,001 (2) и 101,011 (2) . Записав числа друг под другом:

нетрудно заметить, что в разряде с весом 2 -2 в результате вычитания должен произойти заем из разряда с весом 2 1 . Перепишем пример с учетом фактического расположения цифр после заема и выполним вычитание. Вместо зачеркнутых цифр необходимо использовать в качестве уменьшаемого надписанные цифры. Окончательный результат (разность) составляет 101000,110 (2) .

Пример . Уменьшаемое 1000000 (2) , вычитаемое 1 (2) , разность составляет

В соответствии с правилами можно эффективно организовать последовательное умножение множимого на разряды множителя. При каждом умножении на разряд множителя, равный 1, множимое передается в сумматор с накапливающим регистром; если разряд множителя равен 0, передача множимого в сумматор блокируется. Каждый раз при передаче множимого в сумматор должен быть учтен вес очередного разряда множителя путем сдвига накапливаемого частичного произведения или множимого. Таким образом, основу устройства умножения составляет устройство сложения, к которому добавляются регистры множителя и множимого, а также цепи сдвига частичных произведений и множимого.

Операция деления выполняется путем последовательных вычитаний делителя из промежуточных остатков, а устройство деления состоит из вычитателя с накапливающим регистром, регистра частного и регистра делителя с цепями сдвига остатков или делителя.

В основном арифметические операции выполняются на одном общем устройстве, называемом арифметико-логическим устройством (АЛУ).

Старшие разряды сумматоров с наименьшими весами разрядов участвуют в операциях сложения как обычные числовые разряды, но дополнительно они выполняют функции знаковых разрядов.

• познакомить учащихся с двоичной системой счисления, указать ее недостатки и преимущества использования в вычислительной технике;
• развивать логическое мышление; формировать навыки выполнения арифметических действий с двоичными числами;
• прививать интерес к предмету.

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, программа Калькулятор.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие, проверка отсутствующих.

1. Постановка целей урока

– Сколько будет:

1000110 2 + 1010101 2 ; 100011110111 2 /101101 2;

1110001110 2 – 11010 2 ; 101101 2 * 100011 2

После предложенных ответов учащихся, комментирую и объясняю, что сегодня на уроке мы научимся правильно выполнять арифметические действия в двоичной системе счисления.

2. Человек не ведет счет в двоичной системе, т.к. она для него не удобна. А кто или что использует ее для счета и почему?

II. Изложение нового материала

Двоичная система счисления

Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления.

– Чему равно основание двоичной системы счисления? (q = 2)

– Какой вид имеет развёрнутая форма записи двоичного числа? (А 2 =а n-1 *2 n-1 + …a 0*2 0 + a -1 *2 -1 +…a -m *2 -m , где а i равно 1 или 0.)

Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих учёных. П.С.Лаплас писал о своём отношении к двоичной (бинарной) системе счисления великого математика Г.Ф.Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает всё из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа ». Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита состоящего всего из двух символов.

Двоичная арифметика.

Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами.

Все позиционные системы «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:

• справедливы одни и те же законы арифметики: коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный;
• справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
• правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Сложение.

Таблица сложения двоичных чисел проста.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Вычитание.

0 – 0 = 0
0 – 1 = 11
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведённой таблицей вычитания с учетом возможных заёмов из старших разрядов.

Умножение.

Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

При делении столбиком приходится в качестве промежуточных результатов выполнять действия умножения и вычитания.

III. Закрепление изученного

Решите задачи.

Выполните сложение:

1001001 + 10101 (ответ 1011110);
101101 + 1101101 (ответ 10011010)
11000,11 + 11010,11 (ответ 110011,1)

Выполните вычитание:

10001000 – 1110011 (ответ 10101)
1101100 – 10110110 (ответ – 1001010)
110101,101 – 1001,111 (101011,11)

Выполните умножение:

100001*111,11 (ответ : 11111111,11)
10011*1111,01 (ответ : 100100001,11)

Выполните деление:

1000000 / 1110 (ответ :100)
11101001000/111100 (ответ : 11111)

IV. Итоги урока

Оценивание работу учащихся, назвать отличившихся на уроке.

V. Домашнее задание

Выучить правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления, а так же таблицы сложения, вычитания и умножения в двоичной системе счисления.

Выполните действия:

1. 110010 + 111,01;
2. 11110000111 – 110110001;
3. 10101,101 * 111;
4. 10101110/101.

Составьте таблицы сложения и умножения в троичной и пятеричной системе счисления.