Teoria e ndryshoreve të rastësishme studion fenomenet probabiliste “në statikë”, duke i konsideruar ato si disa rezultate fikse eksperimentesh. Metodat e teorisë klasike të probabilitetit janë të pamjaftueshme për të përshkruar sinjalet që pasqyrojnë fenomene të rastësishme që evoluojnë në kohë. Probleme të tilla studiohen nga një degë e veçantë e matematikës që quhet teoria e proceseve të rastësishme.
Sipas përkufizimit, një proces i rastësishëm është një lloj i veçantë funksioni, i karakterizuar nga fakti se në çdo moment të kohës vlerat që merr janë variabla të rastësishme.
Ansamblet e zbatimeve.
Kur kemi të bëjmë me sinjale përcaktuese, ne i shfaqim ato me varësi funksionale ose oshilograme. Nëse po flasim për procese të rastësishme, atëherë situata është më e ndërlikuar. Duke rregulluar vlerat e menjëhershme të një sinjali të rastësishëm në një interval të caktuar kohor, marrim vetëm një realizim të vetëm të një procesi të rastësishëm. Një proces i rastësishëm është një koleksion i pafund i realizimeve të tilla që formojnë një ansambël statistikor. Për shembull, një ansambël është një grup sinjalesh që mund të vëzhgohen njëkohësisht në daljet e gjeneratorëve të tensionit të zhurmës saktësisht të njëjtë.
Nuk është aspak e nevojshme që zbatimet e një procesi të rastësishëm të përfaqësohen nga funksione me sjellje komplekse, të parregullt në kohë. Shpesh është e nevojshme të merren parasysh proceset e rastësishme të formuara, për shembull, nga të gjitha llojet e sinjaleve harmonike, në të cilat një nga tre parametrat është një ndryshore e rastësishme që merr një vlerë të caktuar në çdo zbatim. Natyra e rastësishme e një sinjali të tillë qëndron në pamundësinë e përcaktimit të vlerës së këtij parametri paraprakisht, përpara eksperimentit.
Proceset e rastësishme të formuara nga realizimet që varen nga një numër i kufizuar parametrash zakonisht quhen procese të rastësishme kuazi-përcaktuese.
Dendësia e probabilitetit të proceseve të rastësishme.
Le të jetë një proces i rastësishëm, i dhënë nga një ansambël realizimesh, një moment arbitrar në kohë. Duke fiksuar vlerat e marra në zbatime individuale, ne kryejmë një seksion kryq njëdimensional të një procesi të rastësishëm të caktuar dhe vëzhgojmë një ndryshore të rastësishme. Dendësia e probabilitetit të tij quhet densiteti i probabilitetit njëdimensional të procesit në momentin e kohës.
Sipas përkufizimit, sasia është probabiliteti që realizimet e procesit të rastësishëm në momentin kohor të marrin vlera që qëndrojnë në interval.
Informacioni që mund të nxirret nga dendësia njëdimensionale është i pamjaftueshëm për të gjykuar natyrën e zhvillimit të realizimeve të një procesi të rastësishëm në kohë. Shumë më tepër informacion mund të merret duke pasur dy seksione të një procesi të rastësishëm në momente të papërputhshme kohore. llogarit probabilitetin e një ngjarjeje që zbatimi i një procesi të rastësishëm në të zhvillohet në një lagje të vogël të një pike dhe për - në një lagje të vogël të pikës
Një përgjithësim natyror është seksioni -dimensional i një procesi të rastësishëm që çon në densitetin e probabilitetit -dimensional
Dendësia shumëdimensionale e probabilitetit të një procesi të rastësishëm duhet të plotësojë kushtet e zakonshme të vendosura mbi densitetin e probabilitetit të një koleksioni variablash të rastësishëm (shih § 6.2). Për më tepër, vlera nuk duhet të varet nga rendi në të cilin janë vendosur argumentet e tij (kushti i simetrisë).
Ndonjëherë, në vend të densitetit të probabilitetit -dimensionale, është e përshtatshme të përdoret funksioni karakteristik -dimensional, i cili lidhet me densitetin përkatës nga transformimi Furier:
Përshkrimi i vetive të proceseve të rastësishme duke përdorur densitet të probabilitetit shumëdimensional të lartë mund të jetë shumë i detajuar. Megjithatë, gjatë kësaj rruge shpesh hasen vështirësi serioze matematikore.
Funksioni moment i proceseve të rastësishme.
Më pak të detajuara, por, si rregull, mjaft të kënaqshme në kuptimin praktik, karakteristikat e proceseve të rastësishme mund të merren duke llogaritur momentet e atyre variablave të rastësishëm që vërehen në seksionet kryq të këtyre proceseve. Meqenëse, në rastin e përgjithshëm, këto momente varen nga argumentet kohore, ato quhen funksione momenti.
Për inxhinierinë statistikore të radios, tre funksione momentale të rendit më të ulët kanë rëndësinë më të madhe, të quajtura funksioni i pritjes matematikore, variancës dhe korrelacionit.
Vlera e pritshme
është vlera mesatare e procesit X (t) në kohën aktuale; mesatarizimi kryhet në të gjithë ansamblin e realizimeve të procesit.
Dispersion
bën të mundur gjykimin e shkallës së shpërndarjes së vlerave të menjëhershme të marra nga realizimet individuale në një seksion fiks t, në raport me vlerën mesatare.
Momenti qendror 2D
quhet funksion korrelacioni i një procesi të rastësishëm Ky funksion moment karakterizon shkallën e lidhjes statistikore të atyre variablave të rastësishëm që vërehen kur krahasojmë formulat (6.37), (6.38), vërejmë se kur seksionet tërthore kombinohen, funksioni i korrelacionit është numerikisht e barabartë me variancën:
Proceset stokastike stacionare.
Pra, është zakon të quhen procese të rastësishme, karakteristikat statistikore të të cilave janë të njëjta në të gjitha seksionet.
Ata thonë se një proces i rastësishëm është i palëvizshëm në kuptimin e ngushtë; nëse ndonjë prej densitetit të probabilitetit të tij -dimensional është i pandryshueshëm në lidhje me zhvendosjen kohore
Nëse i kufizojmë kërkesat në mënyrë që pritshmëria matematikore dhe varianca e procesit të mos varen nga koha, dhe funksioni i korrelacionit varet vetëm nga ndryshimi -, atëherë një proces i tillë i rastësishëm do të jetë i palëvizshëm në një kuptim të gjerë. Është e qartë se stacionariteti në kuptimin e ngushtë nënkupton stacionaritet në kuptimin e gjerë, por jo anasjelltas.
Siç vijon nga përkufizimi, funksioni i korrelacionit të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm është i barabartë:
Për më tepër, vlerat absolute të këtij funksioni për asnjë nuk e kalojnë vlerën e tij për:
Metoda e vërtetimit është si vijon: nga pabarazia e dukshme
vijon se
nga ku pason drejtpërdrejt pabarazia (6.41).
Shpesh është i përshtatshëm për të përdorur funksionin e korrelacionit të normalizuar
per cilin .
Për të ilustruar konceptin e një procesi stokastik stacionar, merrni parasysh dy shembuj.
Shembulli 6.5. Një proces i rastësishëm formohet nga realizimet e formës ku dihen paraprakisht, ndërsa këndi i fazës është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin -
Që nga dendësia e probabilitetit të këndit të fazës, pritja matematikore e procesit
Në mënyrë të ngjashme, ju mund të gjeni variancën:
Së fundi, funksioni i korrelacionit
Pra, ky proces i rastësishëm plotëson të gjitha kushtet që janë të nevojshme për të siguruar stacionaritet në një kuptim të gjerë.
Shembulli 6.6. Një proces i rastësishëm ka realizime të formës dhe, për më tepër, numrave të dhënë. - një ndryshore e rastësishme me një ligj të shpërndarjes arbitrare. Vlera e pritshme
do të jetë i pavarur nga koha vetëm për. Prandaj, në rastin e përgjithshëm, procesi i rastësishëm i konsideruar do të jetë jostacionar.
Pronë ergodike.
Një proces i rastësishëm i palëvizshëm quhet ergodik nëse, kur gjejmë funksionet e tij momentale, mesatarja mbi një grup statistikor mund të zëvendësohet me mesataren me kalimin e kohës. Operacioni mesatar kryhet në një zbatim të vetëm, kohëzgjatja e të cilit T teorikisht mund të jetë arbitrarisht e gjatë,
Duke treguar mesataren me kalimin e kohës me kllapa këndore, ne shkruajmë pritshmërinë matematikore të një procesi të rastësishëm ergodik:
e cila është e barabartë me komponentin konstant të zbatimit të zgjedhur.
Shpërndarja e një procesi të ngjashëm
Meqenëse sasia është fuqia mesatare e realizimit, dhe sasia është fuqia e komponentit konstant, varianca ka një kuptim vizual të fuqisë së komponentit të luhatjes së procesit ergodik.
Funksioni i korrelacionit gjendet në mënyrë të ngjashme:
Një kusht i mjaftueshëm për ergodicitetin e një procesi të rastësishëm stacionar në një kuptim të gjerë është tendenca për zero të funksionit të korrelacionit me një rritje të pakufizuar në zhvendosjen e kohës:
Është treguar në matematikë se kjo kërkesë mund të jetë disi e relaksuar. Rezulton se një proces i rastësishëm është ergodik nëse kushti Slutsky plotësohet:
Kështu, barazia (6.47) është e vlefshme për një proces harmonik me një fazë fillestare të rastësishme (shih Shembullin 6.5).
Matja e karakteristikave të proceseve të rastësishme.
Nëse një proces i rastësishëm është ergodik, atëherë realizimi i tij me gjatësi të mjaftueshme është një përfaqësues "tipik" i një ansambli statistikor. Duke studiuar këtë zbatim në mënyrë eksperimentale, mund të merrni shumë informacione që karakterizojnë këtë proces të rastësishëm.
Pajisja për matjen e densitetit të probabilitetit njëdimensional të një procesi të rastësishëm mund të kryhet si më poshtë. Dendësia e probabilitetit njëdimensional të një procesi të rastësishëm ergodik është një sasi në përpjesëtim me kohën relative të qëndrimit të realizimit të tij në nivelin ndërmjet Supozojmë se ekziston një pajisje me dy hyrje, njëra prej të cilave është e pajisur me realizimin e studiuar x (t) , dhe tjetra është një tension konstant referues, niveli i të cilit mund të rregullohet. Në daljen e pajisjes, shfaqen impulse video drejtkëndore me amplitudë konstante, fillimi dhe fundi i të cilave përcaktohen nga momentet në kohë kur vlerat aktuale të sinjalit të rastit përkojnë ose me nivelin ose me nivelin e kësaj pajisjeje. do të jetë proporcionale me densitetin e probabilitetit
Çdo pajisje treguese mjaftueshëm inerciale mund të përdoret për të matur pritshmërinë matematikore të një procesi të rastësishëm [shih. formula (6.43)].
Një pajisje që mat variancën e një procesi të rastësishëm, siç vijon nga (6.44), duhet të ketë një kondensator në hyrje që ndan komponentin DC. Hapat e mëtejshëm në procesin e matjes - kuadrimi dhe mesatarizimi me kalimin e kohës - kryhen me një voltmetër kuadratik inercial.
Parimi i funksionimit të njehsorit të funksionit të korrelacionit (korrelometri) rrjedh nga formula (6.45). Këtu, vlerat e menjëhershme të sinjalit të rastësishëm pas filtrimit të komponentit konstant, të ndarë në kanale, futen në shumëzues dhe në një nga kanalet sinjali vonohet për një kohë. Për të marrë vlerën e funksionit të korrelacionit, sinjali nga dalja e shumëzuesit përpunohet nga një njësi inerciale, e cila kryen mesataren.
Pavarësisht nga madhësia
Këtu, të njëjtat emërtime janë miratuar si në formulën (6.26). Elementet e matricës së korrelacionit të këtij procesi të rastësishëm përcaktohen nga funksioni i korrelacionit të normalizuar:
Në atë që vijon, ne shpesh do të përdorim densitetin Gaussian dydimensional
Një proces i palëvizshëm Gaussian zë një vend ekskluziv midis proceseve të tjera të rastësishme - çdo densitet i probabilitetit të tij shumëdimensional përcaktohet nga dy karakteristika: pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit.
Parashikimi analitik i proceseve shumëdimensionale.
Metoda e parametrave të përgjithësuar.
Objektiv: studimi i teknikave praktike për parashikimin e gjendjes së një objekti shumëparametër.
Informacion i shkurtër teorik:
Një ndryshim në gjendjen e sistemeve teknike mund të konsiderohet si një proces i karakterizuar nga ndryshime në një grup parametrash. Pozicioni i vektorit të gjendjes në hapësirë përcakton shkallën e performancës së sistemit. Gjendja e sistemit karakterizohet nga një vektor në hapësirën k-dimensionale, ku koordinatat e hapësirës janë k parametra të sistemit,.
Parashikimi i gjendjes reduktohet në kontrollin paraprak periodik të parametrave; përcaktim në momentet t i T 1 të monitorimit të funksionit shtetëror
Q = Q [ 
] dhe llogaritja e vlerave të funksionit të gjendjes Q në intervalin kohor T 2> T 1.
Në këtë rast, sa më tej të vendoset vektori i gjendjes nga hipersipërfaqja e vlerave të lejuara të shkallës së funksionimit Q *, aq më i lartë është funksionaliteti i sistemit që diagnostikohet. Sa më i vogël të jetë diferenca *, aq më i ulët është niveli i performancës.
Përdorimi i metodave analitike të parashikimit supozon rregullsinë e ndryshimeve në komponentët e procesit me kalimin e kohës.
Ideja e metodës së parametrave të përgjithësuar është që një proces i karakterizuar nga shumë komponentë të përshkruhet nga një funksion njëdimensional, vlerat numerike të të cilit varen nga komponentët e kontrolluar të procesit. Një funksion i tillë konsiderohet si një parametër i përgjithësuar i procesit. Në këtë rast, mund të rezultojë se parametri i përgjithësuar nuk ka një kuptim fizik specifik, por është një shprehje matematikore e ndërtuar artificialisht nga përbërësit e kontrolluar të procesit të parashikuar.
Kur përgjithësoni parametrat që karakterizojnë shkallën e funksionimit të sistemeve teknike, është e nevojshme të zgjidhen detyrat e mëposhtme:
Përcaktimi i vlerave relative të parametrave parësorë;
Vlerësimi i rëndësisë së parametrit parësor për vlerësimin e gjendjes së objektit;
Ndërtimi i një shprehje matematikore për një parametër të përgjithësuar.
Përcaktimi i vlerave relative të parametrave parësorë është i nevojshëm për faktin se gjendja e një objekti mund të karakterizohet nga parametra që kanë dimensione të ndryshme. Prandaj, të gjithë parametrat parësorë të monitoruar duhet të reduktohen në një sistem të vetëm llogaritjeje, në të cilin mund të jenë të krahasueshëm. Një sistem i tillë është sistemi i llogaritjes relative pa dimension (normalizuar).
Në fakt, për çdo parametër, s = 1, 2, ..., k, mund të zgjidhni vlerën e pranueshme, *, me arritjen e së cilës objekti humbet performancën e tij, dhe vlera optimale e opt (shpesh është e barabartë me vlera nominale e n).
Le të plotësohet kushti gjatë funksionimit të objektit. Nëse 
, mjafton të futet në parametrin lokal 
dhe atëherë do të plotësohet kushti i kërkuar.
Le të shkruajmë parametrin pa dimension (normalizuar) në formën:
ku 
, dhe në 
, dhe në 
.
Kështu, duke përdorur shprehjen (1), parametri normalizohet dhe vlera e normalizuar pa dimension ndryshon me kalimin e kohës nga 1 në 0. Nga këtu, sipas vlerës, mund të gjykohet shkalla e performancës së objektit me këtë parametër. Teorikisht mund të jetë, por kjo do të thotë që në praktikë objekti është i paoperueshëm.
Ju mund të specifikoni shprehje të ndryshme të normalizuara që janë të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve të veçanta, për shembull:
etj., ku 
- përkatësisht rrymë, zero, mat. duke pritur për parametrin S -të.
Përdorimi i shprehjeve normalizuese mundëson marrjen e një grupi sasish pa dimensione që karakterizojnë gjendjen e një objekti. Sidoqoftë, në mënyrë sasiore, i njëjti ndryshim në këto vlera nuk është ekuivalent për sa i përket shkallës së ndikimit në ndryshimin e performancës së objektit, prandaj, është e nevojshme të diferencohen parametrat parësorë. Ky proces kryhet duke përdorur koeficientët e peshimit, vlerat e të cilave karakterizojnë rëndësinë e parametrave përkatës për thelbin fizik të problemit. Në këtë rast, leni parametrat e objektit 
faktorët përkatës të peshës 
plotësimi i njërit apo tjetri kriter të dhënë, dhe 
.
Shkalla e performancës së një objekti për një grup parametrash të monitoruar mund të vlerësohet duke përdorur një shprehje përgjithësuese
Ku është parametri i përgjithësuar i objektit.
Shprehja (2) është një mesatare lineare. Nga përkufizimi i parametrit të përgjithësuar rezulton se sa më e madhe të jetë vlera e dhe, aq më i madh është kontributi i termit (parametrit) S-të.
Një parametër i përgjithësuar mund të përcaktohet duke përdorur një shprehje të formës
,
(3)
që është mesatarja jolineare. Për një model të tillë plotësohet edhe kushti: sa më i madh dhe, aq më i madh kontributi jep termi 
në madhësi.
Në praktikë, përdoren gjithashtu forma të tjera të regjistrimit të mesatares jolineare, për shembull:
,
(4)
,
(5)
ku zgjedh në mënyrë që (5) duke i dhënë përafrimin më të mirë rezultateve të marra eksperimentalisht.
Kur merren parasysh shprehjet për një parametër të përgjithësuar, supozohej se ai nuk ndryshon shenjën, domethënë gjithmonë. Nëse është e nevojshme të merret parasysh shenja, shprehja (2) shndërrohet në formë
,
(6)
Kështu, përdorimi i një parametri të përgjithësuar bën të mundur reduktimin e problemit të parashikimit të gjendjes së një objekti shumëparametër në parashikimin e një funksioni kohor njëdimensional.
Shembull. Testet e objektit për 250 orë, në të cilat u kontrolluan 6 parametra, dhanë rezultatet e paraqitura në tabelën 1.
Tabela 1
|
I n, nom = 9,5 |
V g1. numri = 120 |
I a, nom = 2.0 |
I g3, nom = 70 | |||
Pas normalizimit të vlerave të parametrave duke përdorur shprehjen (1), tabela merr formën (tabela 2)
Tabela 2
Moduli Teknologjitë e Analizës Shumëdimensionale të Eksplorimi STATISTICA(një nga modulet e produktit STATISTIKA E avancuar) ofron një gamë të gjerë teknologjish eksplorimi duke filluar nga analiza e grupimeve deri te metodat e avancuara të pemës së klasifikimit, të kombinuara me një grup të madh mjetesh vizualizimi ndërveprues për ndërtimin e modeleve. Moduli përfshin:
Në modul Analiza Clusterështë zbatuar një grup i plotë metodash për analizën e të dhënave në grup, duke përfshirë metodat e k-means, grupimin hierarkik dhe bashkimin me dy hyrje. Të dhënat mund të vijnë si në formën e tyre origjinale ashtu edhe në formën e një matrice të distancave midis objekteve. Vëzhgimet, variablat dhe/ose vëzhgimet dhe variablat mund të grumbullohen duke përdorur masa të ndryshme të distancës (Euklidiane, Sheshi Euklidian, blloqet e qytetit (Manhattan), Chebyshev, fuqia, përqindja e mospërputhjes dhe koeficienti i korrelacionit 1 të Pearson-it) dhe rregulla të ndryshme për kombinimin (lidhjen) grupe (lidhja e vetme, e plotë, mesatarja e papeshuar dhe e ponderuar në çift për grupet, distanca e papeshuar, e ponderuar ndërmjet qendrave, metoda e Ward-it dhe të tjera).
Matricat e distancës mund të ruhen për analiza të mëtejshme në module të tjera të sistemit STATISTIKA... Kur kryen analizën e grupimit k-means, përdoruesi ka kontroll të plotë mbi vendndodhjen fillestare të qendrave të grupimit. Mund të ekzekutohen plane analizash jashtëzakonisht të mëdha: për shembull, me lidhje hierarkike (si pema), mund të punoni me një matricë prej 90 mijë distancash. Përveç rezultateve standarde të analizës së grupimeve, moduli ofron gjithashtu një grup të larmishëm statistikash përshkruese dhe metodash të avancuara diagnostikuese (skema e plotë e bashkimit me nivelet e pragut për grupimin hierarkik, tabela ANOVA për grupimin k-means). Informacioni në lidhje me përkatësinë e objekteve në grupe mund të shtohet në skedarin e të dhënave dhe të përdoret në analiza të mëtejshme. Aftësitë grafike të modulit Analiza Cluster Përfshin dendrograme të personalizueshme, parcela bashkimi me dy drejtime, parcela modelesh bashkimi, mjete grupimi k-means dhe më shumë.
Moduli Analiza e faktorëve përmban një gamë të gjerë statistikash dhe metodash të analizës së faktorëve (si dhe analizës hierarkike të faktorëve) me diagnostifikim të avancuar dhe një shumëllojshmëri të gjerë grafikësh eksplorues dhe eksplorues. Këtu mund të kryeni analizën e komponentit kryesor dhe të faktorit kryesor (të përgjithshme dhe të zhdrejtë hierarkike) në grupet e të dhënave që përmbajnë deri në 300 variabla (modelet më të mëdha mund të eksplorohen duke përdorur modulin (SEPATH)).
Analiza dhe klasifikimi i komponentit kryesor
STATISTIKA përfshin gjithashtu një program për analizën dhe klasifikimin e komponentëve kryesorë. Rezultatet e këtij programi janë vlerat vetjake (normale, kumulative dhe relative), ngarkesat e faktorëve dhe koeficientët e rezultateve të faktorëve (të cilët mund të shtohen në skedarin e të dhënave hyrëse, të shihen në piktograf dhe të rikodohen në mënyrë interaktive), si dhe disa statistika më të specializuara. dhe diagnostifikimi. Përdoruesi ka metodat e mëposhtme të rrotullimit të faktorëve: varimax, biquartimax, quartimax dhe equimax (sipas ngarkesave të normalizuara ose fillestare), si dhe rrotullime të zhdrejtë.
Hapësira e faktorëve mund të shihet pjesë-pjesë vizualisht në skica 2D ose 3D me pikat e të dhënave të shënuara; mes mjeteve të tjera grafike - grafikët "scree", lloje të ndryshme të scatterplots, histograme, grafikët e linjës, etj. Pasi të përcaktohet zgjidhja faktoriale, përdoruesi mund të llogarisë (riprodhojë) matricën e korrelacionit dhe të vlerësojë konsistencën e modelit të faktorëve duke analizuar matrica e korrelacionit të mbetur (ose matrica e variancës / kovariancës së mbetur). Si hyrje, mund të përdorni të dy të dhënat e papërpunuara dhe matricat e korrelacionit. Analiza e faktorëve konfirmues dhe analiza të tjera të lidhura mund të kryhen duke përdorur modulin Modelimi i ekuacioneve strukturore(SEPATH) nga blloku STATISTIKA Modele të Përgjithshme Lineare dhe Jolineare ku një magjistar i veçantë i analizës së faktorëve konfirmues do ta udhëheqë përdoruesin nëpër të gjitha fazat e ndërtimit të modelit.
Ky modul zbaton një grup të plotë të metodave të analizës kanonike (plotësuese të metodave të analizës kanonike të integruara në module të tjera). Mund të punoni si me skedarë të dhënash të papërpunuara ashtu edhe me matrica korrelacioni; llogariten të gjitha statistikat standarde të korrelacionit kanonik (eigenvektorët dhe eigenvalues, koeficientët e tepricës, peshat kanonike, ngarkesat, variancat, kriteret e rëndësisë për secilën prej rrënjëve, etj.), si dhe disa diagnostifikime të zgjeruara. Për çdo vëzhgim, mund të llogariten vlerat e ndryshoreve kanonike, të cilat më pas mund të shikohen në ikonat e ngulitura (dhe gjithashtu të shtohen në skedarin e të dhënave).
Ky modul përfshin një gamë të gjerë procedurash për hartimin dhe vlerësimin e mostrave të studimeve dhe pyetësorëve. Si në të gjitha modulet e sistemit STATISTIKA, grupe jashtëzakonisht të mëdha të të dhënave mund të analizohen këtu (një shkallë prej 300 pozicionesh mund të përpunohet në një thirrje programi).
Është e mundur të llogariten statistikat e besueshmërisë për të gjitha pozicionet në shkallë, të zgjidhen në mënyrë interaktive nëngrupet dhe të krahasohen ndërmjet nëngrupeve të pozicioneve duke përdorur metodën "pjesa e ndarë" ose "pjesa e ndarë". Në një telefonatë, ju mund të vlerësoni besueshmërinë e shkallës totale dhe nënshkallëve. Me fshirjen interaktive të pozicioneve, besueshmëria e shkallës që rezulton llogaritet në çast pa ri-akses në skedarin e të dhënave. Si rezultat i analizës, jepen: matricat e korrelacionit dhe statistikat përshkruese për pozicionet, alfa e Cronbach, alfa e standardizuar, korrelacioni mesatar pozicion-pozicion, një tabelë e plotë e analizës së variancës për shkallën, një grup i plotë statistikash të përbashkëta për të gjitha pozicionet (duke përfshirë koeficientët e shumëfishtë të korrelacionit), gjysmë besueshmëria e korrigjuar nga zbutja dhe korrelacioni midis dy gjysmave.
Ekziston një përzgjedhje e madhe grafikësh (përfshirë grafikët e integruar të shpërndarjes, histogramet, linjat dhe vizatimet e tjera) dhe një grup procedurash interaktive what-if për t'ju ndihmuar të hartoni shkallët. Për shembull, kur shton një numër pyetjesh në shkallë, përdoruesi mund të llogarisë besueshmërinë e pritur, ose të vlerësojë numrin e pyetjeve që duhet të shtohen në shkallë për të arritur besueshmërinë e dëshiruar. Përveç kësaj, ju mund të korrigjoni zbutjen midis shkallës aktuale dhe një dimensioni tjetër (duke pasur parasysh besueshmërinë e shkallës aktuale).
Moduli sistemeve STATISTIKA përmban zbatimin më të plotë të metodave të zhvilluara së fundi të ndërtimit dhe testimit efikas (metoda e klasifikimit të pemëve është një mënyrë e caktuar ("përsëritëse") e parashikimit të klasës së cilës i përket një objekt, bazuar në vlerat e variablave parashikues për këtë Objekt). Pemët e klasifikimit mund të ndërtohen në parashikues kategorikë ose rendorë ose në një përzierje të të dy llojeve të parashikuesve duke u degëzuar në ndryshore individuale ose në kombinimet e tyre lineare.
Moduli zbaton gjithashtu: një zgjedhje midis një kërkimi me forcë brutale të opsioneve të degëzimit (si në paketat THAID dhe CART) dhe degëzimit diskriminues; përzgjedhje e paanshme e variablave të degëve (si në paketën QUEST); duke specifikuar në mënyrë eksplicite rregullat e ndalimit (si në paketën FACT) ose krasitjen nga gjethet e pemës deri tek rrënja e saj (si në paketën CART); prerje nga fraksioni i gabimeve të klasifikimit ose nga funksioni i devijimit; masat e përgjithësuara të mirësisë në chi-katror, G-katror dhe indeks Gini. Probabilitetet e mëparshme të anëtarësimit në klasë dhe kostoja e gabimeve të klasifikimit mund të vendosen të barabarta, të vlerësohen nga të dhënat ose të vendosen manualisht.
Përdoruesi mund të vendosë gjithashtu shumësinë e kontrollit të kryqëzuar gjatë ndërtimit të pemës dhe për vlerësimin e gabimit, parametrin e rregullit SE, numrin minimal të objekteve në kulmin e prerjes, farën për gjeneruesin e numrave të rastësishëm dhe parametrin alfa për përzgjedhjen të variablave. Grafikat e integruara ndihmojnë në eksplorimin e të dhënave hyrëse dhe dalëse.
Ky modul përmban një zbatim të plotë të metodave për analiza të thjeshta dhe shumëdimensionale të korrespondencave, është e mundur të analizohen tabela me përmasa shumë të mëdha. Programi pranon llojet e mëposhtme të skedarëve të të dhënave: skedarë që përmbajnë variabla të kategorizuara, të cilat përdoren për të ndërtuar një matricë kontingjente (klasifikimi i kryqëzuar); skedarët e të dhënave që përmbajnë tabela të frekuencës (ose çdo masë tjetër të korrespondencës, marrëdhënies, ngjashmërisë, çrregullimit, etj.) dhe variabla kodesh që përcaktojnë (numërojnë) qelizat e tabelës hyrëse; skedarët e të dhënave që përmbajnë frekuenca (ose masa të tjera të konformitetit). Për shembull, një përdorues mund të krijojë dhe analizojë drejtpërdrejt një tabelë frekuencash. Përveç kësaj, në rastin e analizës së korrespondencës me shumë variacione, është e mundur të specifikohet drejtpërdrejt matrica Bert si hyrje.
Në këtë proces, programi llogarit tabela të ndryshme, duke përfshirë një tabelë me përqindje sipas rreshtit, sipas kolonës dhe përqindjes së totalit, vlerat e pritshme, ndryshimet midis vlerave të pritura dhe të vëzhguara, devijimet e standardizuara dhe kontributet në statistikën chi-square. Të gjitha këto statistika mund të vizatohen në histograme 3D dhe të shikohen duke përdorur një teknikë të dedikuar të shtresimit dinamik.
Në modul Llogariten eigenvlerat dhe eigenvektorët e përgjithësuar dhe prodhohet një grup standard vlerash diagnostikuese, duke përfshirë vlerat njëjës, eigenvalutat dhe një pjesë të inercisë që i atribuohet çdo matjeje. Përdoruesi mund të zgjedhë numrin e matjeve ose të vendosë një prag për përqindjen maksimale kumulative të inercisë.
Programi llogarit koordinatat standarde për pikat e rreshtit dhe pikat e kolonave. Përdoruesi mund të zgjedhë midis standardizimit sipas profilit të rreshtit, sipas profilit të kolonës, sipas profilit të rreshtit dhe kolonës ose standardizimit kanonik. Për çdo dimension dhe për secilën pikë rresht dhe pikë kolone, programi llogarit vlerat e inercisë, cilësisë dhe kosinusit ** 2. Për më tepër, përdoruesi mund të shfaqë (në dritaren e rezultateve) matricat e vektorëve të përgjithësuar njëjës. Si çdo të dhënë nga dritarja e punës, këto matrica janë të disponueshme për përpunim duke përdorur programe në gjuhë STATISTIKA Visual Basic, për shembull, për të përdorur çdo metodë jo standarde për llogaritjen e koordinatave.
Përdoruesi mund të llogarisë koordinatat dhe statistikat përkatëse (cilësia dhe kosinusi ** 2) për pikat shtesë (-kolona ose -linja) dhe të krahasojë rezultatet me pikat origjinale të rreshtit dhe pikat e kolonës. Pikat shtesë mund të përdoren në analizën e përputhjes me shumë variacione. Përveç histogrameve 3D, të cilat mund të llogariten për të gjitha tabelat, përdoruesi mund të shfaqë grafikun e vlerave vetjake, grafikët një-, dy- dhe tre-dimensionale për pikat e rreshtave dhe pikat e kolonave. Pikat e rreshtit dhe pikat e kolonave mund të shfaqen njëkohësisht në të njëjtën tabelë, së bashku me çdo pikë shtesë (çdo lloj pike përdor një ngjyrë të ndryshme dhe shënues unik, në mënyrë që pikat e ndryshme të dallohen lehtësisht në grafikët). Të gjitha pikat kanë shënues, dhe përdoruesi ka aftësinë të vendosë madhësinë e shënuesit.
Në modul është zbatuar një grup i plotë i metodave të shkallëzimit (jometrik) shumëdimensional. Këtu mund të analizoni matricat e ngjashmërisë, dallimeve dhe korrelacioneve ndërmjet variablave, dhe dimensioni i hapësirës së shkallëzimit mund të arrijë 9. Konfigurimi fillestar mund të llogaritet nga programi (duke përdorur analizën e komponentit kryesor) ose të specifikohet nga përdoruesi. Madhësia e stresit dhe koeficienti i tjetërsimit minimizohen duke përdorur një procedurë të veçantë përsëritëse.
Përdoruesi ka aftësinë të vëzhgojë përsëritjet dhe të monitorojë ndryshimet në këto vlera. Konfigurimi përfundimtar mund të shihet në tabelën e rezultateve, si dhe në grafikët e shpërndarjes 2D dhe 3D në hapësirën e shkallës me pika të shënuara të objektit. Rezultatet janë: stresi i pa standardizuar (F), faktori i stresit të Kruskal S dhe faktori i përjashtimit. Niveli i marrëveshjes mund të vlerësohet duke përdorur parcelat Shepard (me "d me një kapak" dhe "d me një yll"). Si të gjitha rezultatet e analizave në sistem STATISTIKA, konfigurimi përfundimtar mund të ruhet si një skedar të dhënash.
Moduli përmban një zbatim të plotë të metodave të analizës diskriminuese hap pas hapi duke përdorur funksione diskriminuese. STATISTIKA përfshin gjithashtu një modul Modelet e Përgjithshme të Analizës Diskriminuese (GDA) për t'iu përshtatur modeleve ANOVA / ANCOVA të variablave të varur kategorike ose për të kryer lloje të ndryshme analizash (p.sh. zgjedhje më e mirë e parashikimeve, profilizimi i probabiliteteve të pasme).
Programi ju lejon të kryeni analiza me përfshirjen ose përjashtimin hap pas hapi të variablave ose të futni në blloqet e variablave të përcaktuara nga përdoruesi i modelit. Përveç grafikëve dhe statistikave të shumta që përshkruajnë funksionin ndarës (diskriminues), programi përmban gjithashtu një grup të madh mjetesh dhe statistikash për klasifikimin e vëzhgimeve të vjetra dhe të reja (për të vlerësuar cilësinë e modelit). Rezultatet janë: Statistikat Wilkes lambda për çdo variabël, lambda private, statistikat F për përfshirje (ose përjashtim), nivelet e rëndësisë p, vlerat e tolerancës dhe katrori i koeficientit të korrelacionit të shumëfishtë. Programi kryen një analizë të plotë kanonike dhe kthen të gjitha vlerat e veçanta (në formë të drejtpërdrejtë dhe kumulative), nivelet e rëndësisë së tyre p, koeficientët e funksionit diskriminues (kanonik) (në formë të drejtpërdrejtë dhe të standardizuar), koeficientët e matricës strukturore (faktori). ngarkesat), vlerat mesatare të funksionit diskriminues dhe peshat diskriminuese për secilin objekt (ato mund të shtohen automatikisht në skedarin e të dhënave).
Mbështetja grafike e integruar përfshin: histogramet e peshave kanonike për secilin grup (dhe të përbashkëta në të gjitha grupet), grafikët e veçantë të shpërndarjes për çiftet e ndryshoreve kanonike (që tregojnë se cilit grup i përket secili vëzhgim), një grup i madh grafikësh të kategorizuar (të shumëfishta). , duke ju lejuar të eksploroni shpërndarjen dhe marrëdhëniet midis variablave të varur për grupe të ndryshme (përfshirë: grafikët e shumëfishtë si grafikët, histogramet, grafikët e shpërndarjes dhe grafikët e probabilitetit normal) dhe shumë më tepër.
Në modul ju gjithashtu mund të llogaritni funksionet standarde të klasifikimit për secilin grup. Rezultatet e klasifikimit të rasteve mund të shfaqen në aspektin e distancave të Mahalanobis, probabiliteteve të pasme dhe vetë rezultateve të klasifikimit, dhe vlerat e funksionit diskriminues për rastet individuale (vlerat kanonike) mund të shihen në piktografe të përgjithshme dhe shumëdimensionale të tjera. diagramet e disponueshme direkt nga tabelat e rezultateve. Të gjitha këto të dhëna mund të shtohen automatikisht në skedarin aktual të të dhënave për analiza të mëtejshme. Ju gjithashtu mund të shfaqni matricën e klasifikimit përfundimtar, e cila tregon numrin dhe përqindjen e rasteve të klasifikuara saktë. Ekzistojnë opsione të ndryshme për vendosjen e probabiliteteve a priori të përkatësisë në klasa, si dhe kushte përzgjedhjeje që ju lejojnë të përfshini ose përjashtoni vëzhgime të caktuara nga procedura e klasifikimit (për shembull, për të kontrolluar më pas cilësinë e tij në një mostër të re).
Modelet e Përgjithshme të Analizës Diskriminuese (GDA)
Moduli STATISTIKA Modelet e Përgjithshme të Analizës Diskriminuese (GDA)është një aplikacion dhe një shtesë Modele të përgjithshme lineare për të klasifikuar detyrat. Ashtu si moduli Analiza diskriminuese GDA lejon që të kryhen analiza rutinë sekuenciale diskriminuese. GDA paraqet problemin e analizës diskriminuese si një rast të veçantë të modelit të përgjithshëm linear dhe në këtë mënyrë ofron teknologji të reja analitike të përdoruesve jashtëzakonisht të dobishme.
Ashtu si me analizën diskriminuese konvencionale, GDA ju lejon të zgjidhni kategoritë e dëshiruara të variablave të varur. Në analizë, grupet e elementeve shkruhen si variabla tregues, dhe të gjitha metodat GRM mund të aplikohen lehtësisht. Një shumëllojshmëri e gjerë statistikash të mbetura GRM dhe GLM janë të disponueshme në dialogun e rezultateve të GDA.
GDA ofron një sërë mjetesh të fuqishme për nxjerrjen e të dhënave dhe kërkimin e aplikuar. GDA llogarit të gjitha rezultatet standarde të analizës diskriminuese, duke përfshirë koeficientët e funksionit diskriminues, rezultatet e analizës kanonike (koeficientët e standardizuar dhe të papërpunuar, testet e hapave të rrënjëve kanonike, etj.), statistikat e klasifikimit (duke përfshirë distancën e Mahalanobis, probabilitetet e pasme, klasifikimin e vëzhgimeve në analizat e vlefshme, matricat e keqklasifikimit etj.). Për më shumë informacion mbi veçoritë unike të GDA
Një proces i rastësishëm stacionar shumëdimensional përkufizohet si një grup procesesh të ndërlidhura të rastësishme të palëvizshme dhe të palëvizshme. 
... Një proces i tillë zakonisht shënohet si një vektor kolonë i rastësishëm, në varësi të kohës:
.
Proceset stokastike shumëdimensionale përdoren për të përshkruar sistemet shumëdimensionale (shumëkanale). Në këtë seksion, ne shqyrtojmë problemin e modelimit dixhital të proceseve normale shumëdimensionale stacionare të rastit. Rezultati i zgjidhjes së këtij problemi, si në rastin njëdimensional, është një algoritëm që bën të mundur formimin e realizimeve diskrete shumëdimensionale të një procesi të caktuar në një kompjuter dixhital. -procesi i rastësishëm normal stacionar i vazhdueshëm dimensional zakonisht specifikohet ose në formën e matricës së tij të korrelacionit
ose në formën e një matrice spektrale
ku -
funksionet e autokorrelacionit (at) dhe ndër-korrelacionit (at) të proceseve të rastësishme - Transformimi Furier i. Për më tepër, që nga 
, elementet dhe matrica spektrale janë të konjuguara komplekse,
.
Proceset e rastësishme normale shumëdimensionale diskrete përcaktohen në mënyrë të ngjashme me ato të vazhdueshme duke përdorur matrica korrelacioni dhe spektrale (35, 70)
ku 
, dhe 
.
Është e nevojshme të formulohet problemi i modelimit dixhital të një procesi normal shumëdimensional të rastësishëm si më poshtë. Është dhënë një korrelacion ose matricë spektrale e një procesi të rastësishëm. Kërkohet gjetja e një algoritmi për formimin e realizimeve diskrete të një procesi të rastësishëm me vetitë e specifikuara të korrelacionit (spektrale) në një kompjuter dixhital.
Për të zgjidhur këtë problem, ne do të përdorim, si më parë, idenë e një filtri linear të formësimit. Në këtë rast, ne po flasim për sintezën e një filtri shumëdimensional të formësimit.
Një filtër i linjës së matur përcaktohet si një sistem dinamik linear me hyrje dhe dalje. Nëse 
- veprimi i hyrjes dhe 
është përgjigja e sistemit, atëherë lidhja ndërmjet hyrjes dhe daljes së filtrit linear të vazhdueshëm -dimensional përshkruhet duke përdorur matricën e transferimit në formë
ku 
dhe -
imazhet e sinjaleve hyrëse dhe dalëse, përkatësisht, në kuptimin e transformimit të Laplasit; 
-
matrica e transferimit të filtrit -dimensionale, në të cilën elementet janë funksionet e transferimit të kanaleve - hyrja - -dalja.
Lidhja hyrëse-dalëse në filtrat linearë me dimensione diskrete përshkruhet në mënyrë të ngjashme:
,
ku dhe - imazhe në kuptimin e transformimit diskret Laplace të sinjaleve hyrëse dhe dalëse; - matrica e transferimit të një filtri diskrete - dimensionale.
Diagrami bllok i një filtri shumëdimensional duke përdorur një filtër dydimensional si shembull është paraqitur në Fig. 2.9, sipas të cilit
(2.107)
Shohim se secili prej sinjaleve dalëse dhe është shuma e operatorëve linearë nga sinjalet hyrëse dhe. Marrëdhënie të ngjashme ekzistojnë në rastin e përgjithshëm. Ky është identifikimi i matricave të transferimit.
Lëreni ndikimin në hyrjen e një filtri linear -dimensional të jetë një zhurmë e bardhë -dimensionale, d.m.th., një proces i rastësishëm me një matricë korrelacioni të formës
për kohë të vazhdueshme dhe
për kohë diskrete, ku 
- funksioni delta. -zhurma e bardhë dimensionale përkufizohet këtu si një grup procesesh të rastësishme të ndërlidhura të pavarura.
Mund të tregohet (shih, për shembull,) se kur ekspozohet ndaj zhurmës së bardhë, matrica spektrale e procesit në dalje - një filtër dimensional për kohën e vazhdueshme dhe diskrete, përkatësisht, lidhet me matricën e transferimit të filtrit nga marrëdhëniet
(2.108)
ku simboli tregon matricën e transpozuar.
Prandaj, për të marrë një proces të rastësishëm -dimensional me një matricë të caktuar spektrale, është e nevojshme të kalohet zhurma e bardhë -dimensionale përmes filtrit të formësimit -dimensionale, matrica e transferimit të së cilës plotëson ekuacionet (2.108). Për të gjetur matricën e transferimit për një matricë të caktuar spektrale, kërkohet që kjo e fundit të ndahet në dy faktorë të formës (2.108). Kjo procedurë quhet faktorizim i matricës spektrale. Mund të zbatohet duke përdorur algoritme të njohura.
Filtrimi me shumë variacione i zhurmës së bardhë është mjaft i thjeshtë: secili komponent një proces i rastësishëm në daljen e një filtri -dimensionale me një matricë transferimi merret duke përmbledhur mbi përbërësit 
procesi i hyrjes, i filtruar nga filtra njëdimensionale me funksione transferimi [shih. formula (2.107)]. Algoritmet e filtrimit njëdimensional janë diskutuar më sipër.
Me këtë metodë modelimi, dy mënyra janë të mundshme: 1) një matricë e dhënë spektrale e një procesi të rastësishëm me dimensione të vazhdueshme mund të faktorizohet drejtpërdrejt për të marrë matricën e transferimit të një filtri të formësimit të vazhdueshëm, dhe më pas, duke përdorur metodat e sakta ose të përafërta të diskretimit të filtra të vazhdueshëm të përshkruar më sipër, filtrim me shumë variacione të zhurmës së bardhë të vazhdueshme; 2) për një matricë të caktuar spektrale të një procesi të vazhdueshëm dimensional, duke përdorur transformimin -, mund të gjendet matrica spektrale e procesit të rastësishëm diskret përkatës (shih § 2.3), pastaj, me anë të faktorizimit, të gjendet funksioni i transferimit të formësimit diskret filtroni dhe më pas kryeni filtrimin shumëdimensional të zhurmës së bardhë diskrete.
Vështirësitë më të mëdha hasen në faktorizimin e matricave spektrale. Aktualisht, janë zhvilluar algoritme për faktorizimin vetëm të matricave spektrale racionale, domethënë ato matrica, elementët e të cilave janë funksione racionale të pjesshme të argumenteve ose.
Le të përshkruajmë, duke lënë anash provat, një nga algoritmet për faktorizimin e matricave spektrale racionale, të marra nga.
Le të jepet një matricë spektrale racionale
.
Matrica mund të reduktohet në formë
nga transformimet e mëposhtme.
1. Përcaktohet renditja e matricës, atëherë një nga minoret e rendit kryesor ndodhet në këndin e sipërm të majtë të matricës.
2. Matrica është reduktuar në një formë diagonale. Për ta bërë këtë, rreshti i parë i shumëzuar me - shtohet në rreshtin e th të matricës, pastaj kolona e parë shumëzohet me; merret matrica
, (2.109)
ku elementet e matricës
kanë formën
(2.110)
Të njëjtat transformime kryhen me matricën si me matricën origjinale 
... Vazhdimi i këtij procesi në hapin e thtë jep matricën diagonale
sikurse 
.
3. Gjeni matricën ndihmëse
elementet e të cilit janë si më poshtë:
(2.111)
ku përcaktohen nga relacionet e përsëritjes
(2.112)
4. Gjeni polinome ndihmëse
ku 
- zero polinomesh 
të shtrirë në gjysmë-rrafshin e poshtëm, të numëruar aq herë sa shumëfishimi i tyre maksimal dhe janë emëruesit e funksioneve thyesore-racionale që janë elementë të matricës:
.
5. Me metodën e konsideruar në § 2.9, pika 2, funksionet thyesore-racionale
janë paraqitur në formë
,
ku polinomet dhe nuk kanë zero në gjysmërrafshin e poshtëm.
Kjo përfundon procesin e faktorizimit. Matrica përfundimtare e transferimit të filtrit të formësimit shkruhet në formë
(2.113)
Këtu ne përshkruajmë një algoritëm për faktorizimin e matricave spektrale racionale të proceseve të vazhdueshme shumëdimensionale. Faktorizimi i matricave spektrale të proceseve diskrete kryhet në mënyrë të ngjashme, vetëm në vend të rrënjëve të vendosura në gjysmërrafshin e poshtëm, merren rrënjët e vendosura në rrethin e njësisë.
Shembulli 1. Le të jepet një proces i rastësishëm me qendër stacionare dydimensionale të vazhdueshme me një matricë korrelacioni
, (2.114)
ku janë disa konstante pozitive, dhe 
.
Matrica e korrelacionit që i përgjigjet matricës spektrale (2.114) ka formën
, (2.115)
ku 
dhe 
- momentet e autokorrelacionit dhe ndërlidhjes së proceseve dhe përkatësisht; - koeficienti i ndërlidhjes së proceseve dhe momenteve koinciduese. Koeficientët dhe janë në këtë rast gjerësia (në nivelin 0.5) të spektrit të energjisë 
dhe spektri i ndërsjellë i energjisë i proceseve dhe.
Kërkohet faktorizimi i matricës spektrale (2.114) për të marrë matricën e transferimit të filtrit të formësimit.
Ne do të kryejmë procedurën e faktorizimit hap pas hapi në përputhje me algoritmin e mësipërm të faktorizimit.
1. Në këtë rast, rangu i matricës spektrale.
2. Duhet një hap për të sjellë matricën në diagonale. Nga formula (2.109) dhe (2.110), marrim
.
3. Në përputhje me shprehjet (2.111) dhe (2.112), matrica ndihmëse ka formën
4. Në rastin në shqyrtim, duhet të gjeni vetëm një polinom ndihmës. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni rrënjët e emëruesit të elementit të matricës, domethënë rrënjët e polinomit. Këto rrënjë janë të barabarta
Prandaj,
.
5. Në fazën përfundimtare kërkohet faktorizimi i funksioneve thyesore-racionale
Në këtë rast, rrënjët e numëruesve dhe emëruesve të funksioneve racionale thyesore dhe janë të lehta për t'u llogaritur. Duke përdorur rrënjët që shtrihen në gjysmërrafshin e sipërm (rrënjët me pjesë imagjinare pozitive), marrim edhe për ndryshoren:
.
Në fig. 2.9 tregon një bllok diagram të një filtri të formësimit dydimensional, në daljen e të cilit formohet një proces i rastësishëm dydimensional me karakteristikat e kërkuara spektrale nëse zhurma e bardhë vepron në hyrjen e filtrit. Duke zëvendësuar filtrin e vazhdueshëm dydimensional me filtrin diskret përkatës, marrim një algoritëm për gjenerimin në një kompjuter dixhital realizime diskrete të një procesi normal dydimensional të rastësishëm, dmth. funksionet auto- dhe ndërlidhëse të formës (2.115).
Në një qasje tjetër për sintezën e filtrit të formësimit, së pari duhet gjetur matrica spektrale e procesit të rastësishëm shumëdimensional diskret përkatës. Në shembullin në shqyrtim, kjo matricë ka formën
Dhe matricat (2.116).
Shembulli i shqyrtuar tregon se faktorizimi i matricave spektrale është relativisht i lehtë nëse mund të gjejmë në mënyrë analitike zerot e polinomeve përkatëse. Kur faktorizonim matricën spektrale të një procesi të vazhdueshëm dydimensional, kjo nuk ishte e vështirë, pasi për të përcaktuar zero kërkohej të zgjidheshin vetëm ekuacionet kuadratike dhe bikuadratike. Gjatë faktorizimit të matricës spektrale të një procesi dydimensional diskret, kishte ekuacione kuadratike dhe një ekuacion kthimi të shkallës së katërt, i cili gjithashtu pranon një zgjidhje analitike.
Në raste të tjera, më të ndërlikuara, zerot e polinomit nuk mund të gjenden gjithmonë në mënyrë analitike. Në këto raste, ata përdorin metoda numerike për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së parë. Në përgjithësi, procesi i faktorizimit mund të zbatohet në një kompjuter dixhital si një program standard. Për këtë qëllim, përveç atij të dhënë këtu, mund të përdoren edhe algoritme të tjera faktorizimi.
Duhet të theksohet se të gjithë algoritmet ekzistuese për faktorizimin e matricave spektrale, në përgjithësi, janë shumë të mundimshme.
