1.2 Karakteristikat spektrale të sinjaleve
Sinjalet e përdorura në inxhinierinë radio kanë një strukturë mjaft komplekse. Përshkrimi matematikor i sinjaleve të tilla është një detyrë e vështirë. Prandaj, për të thjeshtuar procedurën për analizimin e sinjaleve dhe kalimin e tyre nëpër qarqe radio, përdoret një teknikë që përfshin zbërthimin e sinjaleve komplekse në një grup modelesh matematikore të idealizuara të përshkruara nga funksionet elementare.
Analiza spektrale harmonike e sinjaleve periodike përfshin zgjerimin në një seri Furier në funksionet trigonometrike - sinuset dhe kosinuset. Këto funksione përshkruajnë lëkundjet harmonike që ruajnë formën e tyre gjatë transformimit nga pajisjet lineare (vetëm ndryshimi i amplitudës dhe fazës), gjë që bën të mundur përdorimin e teorisë së sistemeve osciluese për të analizuar vetitë e qarqeve radio.
Seria Fourier mund të përfaqësohet si
Një formë tjetër e shkrimit të serisë Fourier ka zbatim praktik
ku është spektri i amplitudës;
– spektri fazor.
Forma komplekse e serisë Fourier
Formulat e paraqitura më sipër përdoren për të marrë karakteristikat spektrale të një sinjali periodik. Për të marrë spektrin e një sinjali jo periodik, përdoren transformimet Fourier.
Transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit
Transformimi Furier i anasjelltë
Shprehjet (1.5), (1.6) janë marrëdhëniet kryesore për marrjen e karakteristikave spektrale.
1.3 Vetitë e transformimit Furier
Formulat për transformimet e drejtpërdrejta dhe të anasjellta të Furierit na lejojnë të përcaktojmë densitetin spektral S(jω) nga sinjali s(t) dhe, nëse është e nevojshme, të përcaktojmë sinjalin s(t) nga dendësia e njohur spektrale S(jω). Për të treguar këtë korrespondencë midis sinjalit dhe spektrit të tij, përdoret simboli s(t)↔ S(jω).
Duke përdorur vetitë e transformimeve Fourier, mund të përcaktoni spektrin e sinjalit të modifikuar duke transformuar spektrin e sinjalit origjinal.
Karakteristikat themelore:
1. Lineariteti
s 1 (t)↔ S 1 (jω)
s n (t)↔ S n (jω)
_____________________
Le të përdorim transformimin e drejtpërdrejtë të Furierit
Rezultati përfundimtar
Përfundim: transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit është një veprim linear dhe ka vetitë e homogjenitetit dhe aditivitetit. Prandaj, spektri i shumës së sinjaleve është i barabartë me shumën e spektrave.
2. Spektri i sinjalit i zhvendosur në kohë
s(t±t 0)↔ S c (jω)
Rezultati përfundimtar
Përfundim: një zhvendosje kohore e sinjalit me një sasi ±t 0 çon në një ndryshim në karakteristikën fazore të spektrit me një sasi ±ωt 0 . Spektri i amplitudës nuk ndryshon.
3. Ndryshimi i shkallës me kalimin e kohës
s(αt)↔ S m (jω)
Rezultati përfundimtar
Përfundim: kur një sinjal kompresohet (zgjerohet) në kohë me një numër të caktuar, spektri i tij zgjerohet (ngjesh) përgjatë boshtit të frekuencës me të njëjtën sasi, me një ulje (rritje) proporcionale të amplitudave të përbërësve të tij.
4. Spektri derivat
ds(t)/dt↔ S p (jω).
Për të përcaktuar spektrin e derivatit të sinjalit, marrim derivatin kohor të anës së djathtë dhe të majtë të transformimit të anasjelltë të Furierit:
Rezultati përfundimtar
Përfundim: spektri i derivatit të sinjalit është i barabartë me spektrin e sinjalit origjinal shumëzuar me jω. Në këtë rast, spektri i amplitudës ndryshon në proporcion me ndryshimin e frekuencës dhe një komponent konstant i shtohet karakteristikës së fazës së sinjalit origjinal, i barabartë me π/2 për ω>0 dhe i barabartë me -π/2 për ω.
5. Spektri i integralit
Le të marrim integralin e anës së djathtë dhe të majtë të transformimit të anasjelltë të Furierit
Duke krahasuar rezultatin me transformimin e anasjelltë të Furierit, marrim
Rezultati përfundimtar
Përfundim: spektri i një sinjali të barabartë me integralin e sinjalit origjinal është i barabartë me spektrin e sinjalit origjinal të ndarë me jω. Në këtë rast, spektri i amplitudës ndryshon në përpjesëtim të kundërt me ndryshimin e frekuencës dhe një komponent konstant i barabartë me π/2 në ω 0 i shtohet karakteristikës fazore të sinjalit origjinal.
6. Spektri i produktit të dy sinjaleve
s 1 (t)↔ S 1 (jω)
s 2 (t)↔ S 2 (jω)
s 1 (t) s 2 (t)↔ S pr (jω).
Le të gjejmë spektrin e produktit të dy sinjaleve duke përdorur transformimin e anasjelltë të Furierit
Rezultati përfundimtar
Përfundim: Spektri i prodhimit të dy sinjaleve është i barabartë me konvolucionin e spektrave të tyre, shumëzuar me koeficientin 1/(2π).
Gjatë llogaritjes së spektrit të sinjalit, do të përdoren vetitë e linearitetit dhe integrali i sinjalit.
1.4 Klasifikimi dhe vetitë e qarqeve radio
Metodat e analizës dhe sintezës së qarqeve të ndryshme radio zënë një vend të madh në themelet teorike të inxhinierisë radio. Në këtë rast, një qark radio kuptohet si një grup elementësh pasivë dhe aktivë të lidhur në një mënyrë të caktuar, duke siguruar kalimin dhe shndërrimin funksional të sinjaleve. Elementet pasive janë rezistorët, kondensatorët, induktorët dhe mjetet e lidhjes së tyre. Elementët aktivë janë transistorët, tubat vakum, furnizimet me energji elektrike dhe elementë të tjerë të aftë për të gjeneruar energji dhe për të rritur fuqinë e sinjalit. Nëse ka nevojë të theksohet qëllimi funksional i qarkut, atëherë në vend të termit qark, përdoret termi pajisje. Qarqet radio të përdorura për konvertimin e sinjalit janë shumë të ndryshme në përbërjen, strukturën dhe karakteristikat e tyre. Në procesin e zhvillimit të tyre dhe kërkimit analitik, përdoren modele të ndryshme matematikore që plotësojnë kërkesat e përshtatshmërisë dhe thjeshtësisë. Në përgjithësi, çdo qark radio mund të përshkruhet nga një marrëdhënie e formalizuar që përcakton transformimin e sinjalit hyrës x(t) në dalje y(t), i cili mund të përfaqësohet simbolikisht si
ku T është një operator që tregon rregullin me të cilin konvertohet sinjali i hyrjes.
Kështu, një grup i operatorit T dhe dy grupe X = (), Y = () sinjalesh në hyrje dhe dalje të qarkut mund të shërbejnë si një model matematikor i një qarku inxhinierik radio në mënyrë që
Nga lloji i shndërrimit të sinjaleve hyrëse në sinjale dalëse, d.m.th. Në bazë të llojit të operatorit T, qarqet radio klasifikohen.
1. Një qark radio është linear nëse operatori T është i tillë që qarku i plotëson kushtet e aditivitetit dhe homogjenitetit.
Është karakteristikë që transformimi linear i një sinjali të çfarëdo forme nuk shoqërohet me shfaqjen në spektrin e sinjalit dalës të komponentëve harmonikë me frekuenca të reja, d.m.th. transformimi linear nuk çon në pasurimin e spektrit të sinjalit.
2. Një qark radio është jolinear nëse operatori T nuk siguron që të plotësohen kushtet e aditivitetit dhe homogjenitetit. Funksionimi i qarqeve të tilla përshkruhet me ekuacione diferenciale jolineare, d.m.th. ekuacione, të paktën një koeficient i të cilit është funksion i sinjalit të hyrjes ose derivateve të tij. Qarqet jolineare nuk e plotësojnë parimin e mbivendosjes. Kur analizohet kalimi i sinjaleve përmes një qarku jolinear, rezultati përcaktohet si përgjigja ndaj vetë sinjalit. Nuk mund të zbërthehet në sinjale më të thjeshta. Në të njëjtën kohë, qarqet jolineare kanë një veti shumë të rëndësishme - ato pasurojnë spektrin e sinjalit. Kjo do të thotë se gjatë transformimeve jolineare, në spektrin e sinjalit dalës shfaqen komponentë harmonikë me frekuenca që nuk ishin në spektrin e sinjalit hyrës. Është gjithashtu e mundur që të shfaqen komponentë me frekuenca të barabarta me kombinimin e frekuencave të komponentëve harmonikë të spektrit të sinjalit hyrës. Kjo veti e qarqeve jolineare ka çuar në përdorimin e tyre për zgjidhjen e një klase të gjerë problemesh që lidhen me gjenerimin dhe shndërrimin e sinjaleve. Strukturisht, qarqet lineare përmbajnë vetëm elementë linearë, të cilët gjithashtu përfshijnë elementë jolinearë që veprojnë në mënyrë lineare (në seksionet lineare të karakteristikave të tyre). Qarqet lineare janë përforcues që veprojnë në modalitet linear, filtra, linja të gjata, linja vonese, etj. Qarqet jolineare përmbajnë një ose më shumë elementë jolinearë. Qarqet jolineare përfshijnë gjeneratorët, detektorët, modulatorët, shumëzuesit dhe konvertuesit e frekuencës, kufizuesit, etj.
Për të thjeshtuar metodat për zgjidhjen e problemeve të analizës së qarkut, sinjalet përfaqësohen si një shumë e funksioneve të caktuara.
Ky proces justifikohet nga koncepti i një serie të përgjithësuar Furier. Në matematikë është vërtetuar se çdo funksion që plotëson kushtet e Dirichlet mund të përfaqësohet si një seri:
Për të përcaktuar, shumëzojeni anën e majtë dhe të djathtë të serisë me dhe merrni integralin e anës së majtë dhe të djathtë:
për intervalin në të cilin plotësohen kushtet e ortogonalitetit.
Është e qartë se kemi marrë një shprehje për serinë e përgjithësuar Fourier:
Le të zgjedhim një lloj funksioni specifik për zgjerimin serik të sinjalit. Si funksion i tillë, ne zgjedhim një sistem funksionesh ortogonal:
Për të përcaktuar serinë, ne llogarisim vlerën:
Kështu, marrim:
Grafikisht, kjo seri paraqitet në formën e dy grafikëve të komponentëve harmonikë të amplitudës.
Shprehja që rezulton mund të përfaqësohet si:
Ne morëm formën e dytë të regjistrimit të serisë trigonometrike të Furierit. Grafikisht, kjo seri paraqitet në formën e dy grafikëve - spektrit amplitudë dhe fazor.
Le të gjejmë formën komplekse të serisë Fourier për këtë përdorim formulat e Euler-it:
Grafikisht, spektri në këtë formë përfaqësohet në boshtin e frekuencës në interval.
Është e qartë se spektri i një sinjali periodik, i shprehur në formë komplekse ose amplitude, është diskret. Kjo do të thotë që spektri përmban komponentë me frekuenca
Karakteristikat spektrale të një sinjali jo periodik
Meqenëse një sinjal i vetëm konsiderohet si një sinjal jo periodik në inxhinierinë radio, për të gjetur spektrin e tij do ta imagjinojmë sinjalin si periodik me një pikë. Le të përdorim transformimin e serisë Fourier për këtë periudhë. Ne marrim për:
Analiza e shprehjes që rezulton tregon se në , amplituda e komponentëve bëhet infinititale dhe ato janë të vendosura vazhdimisht në boshtin e frekuencës. Pastaj, për të dalë nga kjo situatë, ne do të përdorim konceptin e densitetit spektral:
Duke zëvendësuar shprehjen që rezulton në serinë komplekse Fourier, marrim:
Më në fund marrim:
Këtu është dendësia spektrale, dhe vetë shprehja është transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit. Për të përcaktuar një sinjal nga spektri i tij, përdoret transformimi i anasjelltë i Furierit:
Vetitë e transformimit të Furierit
Nga formulat e transformimeve të drejtpërdrejta dhe të anasjellta të Furierit, është e qartë se nëse sinjali ndryshon, atëherë spektri i tij do të ndryshojë. Karakteristikat e mëposhtme vendosin varësinë e spektrit të sinjalit të ndryshuar, nga spektri i sinjalit përpara ndryshimeve.
1) Vetia e linearitetit të transformimit Furier
Ne zbuluam se spektri i shumës së sinjaleve është i barabartë me shumën e spektrave të tyre.
2) Spektri i një sinjali të zhvendosur në kohë
Ne zbuluam se kur sinjali zhvendoset, spektri i amplitudës nuk ndryshon, por vetëm spektri fazor ndryshon nga sasia
3) Ndryshimi i shkallës kohore
pra kur sinjali zgjerohet (ngushtohet) disa herë, spektri i këtij sinjali ngushtohet (zgjerohet).
4) Spektri i kompensuar
5) Spektri i derivatit të sinjalit
Le të marrim derivatin e anës së majtë dhe të djathtë të transformimit të anasjelltë të Furierit.
Shohim që spektri i derivatit të sinjalit është i barabartë me spektrin e sinjalit origjinal të shumëzuar me, domethënë ndryshon spektri i amplitudës dhe spektri fazor ndryshon me.
6) Spektri i integralit të sinjalit
Le të marrim integralin e anës së majtë dhe të djathtë të transformimit të anasjelltë të Furierit.
Ne shohim se spektri i derivatit të sinjalit është i barabartë me spektrin e sinjalit origjinal të ndarë me,
7) Spektri i produktit të dy sinjaleve
Kështu, spektri i produktit të dy sinjaleve është i barabartë me konvolucionin e spektrave të tyre shumëzuar me koeficientin
8) Veti e dualitetit
Kështu, nëse një spektër korrespondon me një sinjal, atëherë një sinjal, forma e të cilit përputhet me spektrin e mësipërm, korrespondon me një spektër, forma e të cilit përputhet me sinjalin e mësipërm.
Forma e karakteristikës së amplitudës-frekuencës nuk është gjë tjetër veçse një imazh spektral i një frekuence të zbehur. sinusoidale sinjal. Përveç kësaj, siç dihet, karakteristika e transmetimit amplitudë-frekuencë e një qarku të vetëm lëkundës elektrik ka një formë të ngjashme.
Marrëdhënia midis formës së përgjigjes amplitudë-frekuencë të pajisjeve të caktuara dhe vetive të sinjalit studiohet në bazat e inxhinierisë elektrike teorike dhe inxhinierisë teorike të radios. Shkurtimisht, ajo që duhet të na interesojë tani nga kjo është sa vijon.
Karakteristika amplitudë-frekuencë e qarkut oshilator përkon në skicë me imazhin e spektrit të frekuencës së sinjalit që ndodh gjatë ngacmimit të goditjes së këtij qarku oscilues. Për të ilustruar këtë pikë, është paraqitur Fig. 1-3, e cila tregon një sinusoid të amortizuar që ndodh kur një goditje aplikohet në qarkun oscilues. Ky sinjal jepet në kohë O m ( A) dhe spektrale ( b) imazh.
Oriz. 1-3
Sipas degës së matematikës të quajtur transformime spektralo-kohore, imazhet spektrale dhe kohore të të njëjtit proces që ndryshon në kohë janë sinonime, ato janë ekuivalente dhe identike me njëra-tjetrën. Kjo mund të krahasohet me përkthimin e të njëjtit koncept nga një gjuhë në tjetrën. Kushdo që e njeh këtë degë të matematikës do të thotë se figurat 1-3 A dhe 1-3 b janë të barasvlershme me njëra-tjetrën. Për më tepër, imazhi spektral i këtij sinjali i marrë gjatë ngacmimit të goditjes së sistemit oscilues (qarku oscilues) është në të njëjtën kohë gjeometrikisht i ngjashëm me karakteristikën amplitudë-frekuencë të këtij qarku.
Është e lehtë të shihet se grafiku ( b) në figurën 1-3 është gjeometrikisht i ngjashëm me grafikun 3 në Fig. 1-1. Kjo do të thotë, duke parë se si rezultat i matjeve është marrë një grafik 3 , e trajtova menjëherë jo vetëm si një karakteristikë amplitudë-frekuencë e zbehjes së zërit në shkëmbinjtë e çatisë, por edhe si dëshmi e pranisë së një sistemi oscilues në masën shkëmbore.
Nga njëra anë, prania e sistemeve oshiluese në shkëmbinjtë e vendosur në çatinë e një miniere nëntokësore nuk më ngriti asnjë pyetje, sepse është e pamundur të merret një sinjal sinusoidal (ose, me fjalë të tjera, harmonik) në mënyra të tjera. Nga ana tjetër, nuk kisha dëgjuar kurrë për praninë e sistemeve osciluese në shtresat e tokës.
Për të filluar, le të kujtojmë përkufizimin e një sistemi oshilator. Një sistem oshilator është një objekt që i përgjigjet një efekti goditjeje (pulsi) me një sinjal harmonik të amortizuar. Ose, me fjalë të tjera, është një objekt që ka një mekanizëm për shndërrimin e një impulsi (ndikimi) në një valë sinus.
Parametrat e një sinjali sinusoidal të amortizuar janë frekuenca f 0 dhe faktori i cilësisë P , vlera e së cilës është në përpjesëtim të zhdrejtë me koeficientin e zbutjes. Siç mund të shihet nga Fig. 1-3, të dy këta parametra mund të përcaktohen nga imazhet kohore dhe spektrale të këtij sinjali.
Transformimet spektralo-kohore janë një degë e pavarur e matematikës dhe një nga përfundimet që duhet të nxjerrim nga njohuritë e këtij seksioni, si dhe nga forma e karakteristikës amplitudë-frekuencë të përçueshmërisë së zërit të një mase shkëmbore, e paraqitur në Fig. 1-1 (lakorja 3), është se vetitë akustike të masës shkëmbore në studim shfaqnin vetinë e një sistemi oscilues.
Ky përfundim është plotësisht i qartë për këdo që është i njohur me transformimet spektralo-kohore, por është kategorikisht i papranueshëm për ata që janë të përfshirë profesionalisht në akustikën e mediave të ngurta, eksplorimin sizmik ose gjeofizikën në përgjithësi. Ndodh që ky material të mos jepet në kursin e studimit për studentët e këtyre specialiteteve.
Siç dihet, në kërkimin sizmik përgjithësisht pranohet se i vetmi mekanizëm që përcakton formën e një sinjali sizmik është përhapja e fushës së dridhjeve elastike sipas ligjeve të optikës gjeometrike, reflektimi i saj nga kufijtë që shtrihen në trashësinë e tokës. dhe interferenca ndërmjet komponentëve individualë të sinjalit. Besohet se forma e sinjaleve sizmike përcaktohet nga natyra e ndërhyrjes midis shumë sinjaleve të vogla jehone, domethënë reflektimeve nga shumë kufij të vegjël të vendosur në vargmalin malor. Për më tepër, besohet se duke përdorur ndërhyrje është e mundur të merret një sinjal i çdo forme.
Po, kjo është e gjitha e vërtetë, por fakti i çështjes është se një sinjal harmonik (përfshirë zbutur harmonik) është një përjashtim. Është e pamundur të merret me ndërhyrje.
Një valë sinusale është një tullë informacioni elementare që nuk mund të zbërthehet në komponentë më të thjeshtë, sepse një sinjal më i thjeshtë se vala sinus nuk ekziston në natyrë. Kjo është arsyeja pse, nga rruga, seria Fourier është një koleksion termash sinusoidale. Duke qenë një element informacioni elementar, i pandashëm, një sinusoid nuk mund të merret me shtimin (ndërhyrjen) e ndonjë komponenti tjetër, madje edhe më të thjeshtë.
Një sinjal harmonik mund të merret në një mënyrë dhe të vetme - domethënë, duke ndikuar në sistemin oscilues. Me një efekt shoku (pulsi) në sistemin oscilator, shfaqet një sinusoid i lagur, dhe me ekspozim periodik ose zhurmë, shfaqet një sinusoid i pamposhtur. Dhe për këtë arsye, duke parë që karakteristika e amplitudës-frekuencës së një objekti të caktuar është gjeometrikisht e ngjashme me imazhin spektral të një sinjali harmonik të amortizuar, nuk është më e mundur të trajtohet ky objekt si diçka tjetër veçse një sistem oscilues.
Përpara se të bëja matjet e mia të para në minierë, unë, si të gjithë njerëzit e tjerë që punojnë në fushën e akustikës së mediave të ngurta dhe të kërkimit sizmik, isha i bindur se nuk kishte dhe nuk mund të kishte asnjë sistem oscilues në masën shkëmbore. Sidoqoftë, pasi zbulova një karakteristikë të tillë të amplitudës-frekuencës së zbutjes, thjesht nuk kisha më të drejtën të qëndroja me këtë mendim.
Kryerja e matjeve të ngjashme me ato të përshkruara më sipër kërkon shumë punë intensive dhe përpunimi i rezultateve të këtyre matjeve kërkon shumë kohë. Prandaj, duke parë se natyra e përçueshmërisë së zërit të masivit shkëmbor është një sistem oscilues, kuptova se duhet të përdor një skemë tjetër matjeje, e cila përdoret në studimin e sistemeve osciluese dhe që ne e përdorim edhe sot e kësaj dite. Sipas kësaj skeme, burimi i sinjalit të tingullit është një ndikim pulsues (goditës) në masën shkëmbore, dhe marrësi është një marrës sizmik, i projektuar posaçërisht për kryerjen e matjeve sizmike spektrale. Treguesi dhe qarku i përpunimit të sinjalit sizmik lejon që ai të vëzhgohet si në kohë ashtu edhe në formë spektrale.
Duke zbatuar këtë skemë matjeje në të njëjtën pikë të gërmimit nëntokësor si në matjen tonë të parë, u bindëm se kur goditet në masën shkëmbore të çatisë, sinjali që shfaqet në këtë rast ka në të vërtetë formën e një sinusoidi të lagur, i ngjashëm. me atë të paraqitur në Fig. 1 -3 a, dhe imazhi i tij spektral është i ngjashëm me grafikun e paraqitur në Fig. 1-3 b.
Më shpesh, ndodh që një sinjal sizmik të përmbajë jo një, por disa komponentë harmonikë. Sidoqoftë, pavarësisht se sa përbërës harmonikë ka, të gjithë lindin vetëm për shkak të pranisë së një numri korrespondues të sistemeve osciluese.
Studimet e përsëritura të sinjaleve sizmike të marra në kushte të ndryshme - si në punimet nëntokësore, ashtu edhe në sipërfaqen e tokës, dhe në kushtet e mbulesës sedimentare dhe në studimin e shkëmbinjve kristalorë të bazamentit - kanë treguar se në të gjitha rastet e mundshme të sinjaleve nuk është marrë si rezultat i pranisë së sistemeve osciluese, dhe si rezultat i proceseve të ndërhyrjes, nuk ekziston.
Imazhet Furier - koeficientët kompleks të serisë Fourier F(j w k) sinjal periodik (1) dhe dendësia spektrale F(j w) sinjal jo periodik (2) - kanë një sërë pronash të përbashkëta.
1. Lineariteti . Integrale (1) Dhe (2) kryejnë një transformim linear të funksionit f(t). Prandaj, imazhi Fourier i një kombinimi linear funksionesh është i barabartë me një kombinim të ngjashëm linear të imazheve të tyre. Nëse f(t) = a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t), Kjo F(j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), ku F 1 (j w) dhe F 2 (j w) - Imazhet Furier të sinjaleve f 1 (t) Dhe f 2 (t), respektivisht.
2. Vonesa (ndryshoni origjinën e kohës për funksionet periodike) . Merrni parasysh sinjalin f 2 (t), u ndalua për një kohë t 0 në lidhje me sinjalin f 1 (t), me të njëjtën formë: f 2 (t) = f 1 (t – t 0). Nëse sinjali f 1 ka një foto F 1 (j w), pastaj imazhi Furier i sinjalit f 2 të barabarta F 2 (j w) = = . Duke shumëzuar dhe pjesëtuar me , ne grupojmë termat si më poshtë:
Meqenëse integrali i fundit është i barabartë me F 1 (j w), atëherë F 2 (j w) = e -j w t 0 F 1 (j w) . Kështu, kur sinjali vonohet për një kohë t 0 (ndryshim në origjinën e kohës), moduli i densitetit të tij spektral nuk ndryshon, dhe argumenti zvogëlohet me vlerën w t 0, proporcionale me kohën e vonesës. Prandaj, amplituda e spektrit të sinjalit nuk varet nga pika e referencës, dhe fazat fillestare kur vonohen nga t 0 ulje me w t 0 .
3. Simetria . Me të vërtetë f(t) imazh F(j w) ka simetri të konjuguar: F(– j w) = . Nëse f(t) është një funksion çift, atëherë Im F(j w) = 0; për funksionin tek Re F(j w) = 0. Moduli | F(j w)| dhe pjesa reale e Re F(j w) - funksionet çift të frekuencës, argumenti arg F(j w) dhe Im F(j w) - tek.
4. Diferencimi . Nga formula e transformimit të drejtpërdrejtë, duke u integruar sipas pjesëve, marrim lidhjen midis imazhit të derivatit të sinjalit f(t) me një imazh të vetë sinjalit
Për një funksion absolutisht të integrueshëm f(t) termi jointegral është i barabartë me zero, dhe, për rrjedhojë, për , dhe integrali i fundit përfaqëson imazhin Furier të sinjalit origjinal F(j w) . Prandaj, imazhi Furier i derivatit df/dt lidhet me imazhin e vetë sinjalit nga relacioni j w F(j w) - kur diferencohet një sinjal, imazhi i tij Furier shumëzohet me j w. E njëjta marrëdhënie është e vërtetë edhe për koeficientët F(j w k), të cilat përcaktohen nga integrimi brenda kufijve të fundëm nga - T/2 deri në + T/2. Në të vërtetë, produkti brenda kufijve të duhur
Meqenëse për shkak të periodicitetit të funksionit f(T/2) = f(– T/2), a = = = (– 1) k, atëherë në këtë rast termi jointegral zhduket, dhe formula është e vlefshme
ku shigjeta simbolikisht tregon veprimin e transformimit direkt të Furierit. Kjo lidhje përgjithësohet në diferencim të shumëfishtë: për n derivatin e kemi: d n f/dt n (j w) n F(j w).
Formulat rezultuese na lejojnë të gjejmë imazhin Furier të derivateve të një funksioni nga spektri i tij i njohur. Përdorimi i këtyre formulave është gjithashtu i përshtatshëm në rastet kur, si rezultat i diferencimit, arrijmë në një funksion, imazhi i Furierit të të cilit mund të llogaritet më thjeshtë. Keshtu nese f(t) është një funksion linear pjesë-pjesë, pastaj derivat i tij df/dtështë pjesërisht konstante, dhe për të integrali i transformimit të drejtpërdrejtë mund të gjendet në mënyrë elementare. Për të marrë karakteristikat spektrale të integralit të funksionit f(t) imazhi i tij duhet të ndahet në j w.
5. Dualiteti i kohës dhe frekuencës . Një krahasim i integraleve të transformimeve të Furierit të drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë të çon në përfundimin për simetrinë e tyre të veçantë, e cila bëhet më e dukshme nëse formula e transformimit të anasjelltë rishkruhet duke lëvizur faktorin 2p në anën e majtë të barazisë:
Për sinjal f(t), që është një funksion i barabartë i kohës f(– t) = f(t), kur dendësia spektrale F(j w) - sasi reale F(j w) = F(w), të dy integralet mund të rishkruhen në formën trigonometrike të transformimit të kosinusit Furier:
Me zëvendësim të ndërsjellë t dhe w integrale të shndërrimeve të drejtpërdrejta dhe të anasjellta shndërrohen në njëri-tjetrin. Nga kjo rrjedh se nëse F(w) paraqet dendësinë spektrale të një funksioni të barabartë të kohës f(t), pastaj funksioni 2p f(w) është dendësia spektrale e sinjalit F(t). Për funksionet tek f(t) [f(t) = – f(t)] dendësia spektrale F(j w) thjesht imagjinare [ F(j w) = jF(w)]. Në këtë rast, integralet e Furierit reduktohen në formën e shndërrimeve të sinusit, nga ku rezulton se nëse densiteti spektral jF(w) korrespondon me një funksion tek f(t), pastaj vlera j 2p f(w) paraqet dendësinë spektrale të sinjalit F(t). Kështu, grafikët e varësisë kohore të sinjaleve të klasave të treguara dhe dendësia e saj spektrale janë të dyfishta me njëri-tjetrin.
Integrale (1)
Integrale (2)
Në inxhinierinë radio, paraqitja spektrale dhe kohore e sinjaleve përdoret gjerësisht. Megjithëse sinjalet për nga natyra e tyre janë procese të rastësishme, megjithatë, zbatimet individuale të një procesi të rastësishëm dhe disa sinjale të veçanta (për shembull, matës) mund të konsiderohen funksione përcaktuese (d.m.th., të njohura). Këto të fundit zakonisht ndahen në periodike dhe jo periodike, megjithëse sinjale rreptësisht periodike nuk ekzistojnë. Një sinjal quhet periodik nëse plotëson kushtin
në një interval kohor, ku T është një vlerë konstante e quajtur periudhë, dhe k është çdo numër i plotë.
Shembulli më i thjeshtë i një sinjali periodik është një lëkundje harmonike (ose shkurt harmonike).
ku është amplituda, = është frekuenca, është frekuenca rrethore, është faza fillestare e harmonikës.
Rëndësia e konceptit të harmonikëve për teorinë dhe praktikën e inxhinierisë radio shpjegohet nga një sërë arsyesh:
- sinjalet harmonike ruajnë formën dhe frekuencën e tyre kur kalojnë nëpër qarqe elektrike lineare stacionare (për shembull, filtra), duke ndryshuar vetëm amplituda dhe fazën;
- Sinjalet harmonike gjenerohen mjaft thjesht (për shembull, duke përdorur vetë-oshilatorë LC).
Një sinjal jo periodik është një sinjal që nuk është zero gjatë një intervali kohor të fundëm. Një sinjal jo periodik mund të konsiderohet si periodik, por me një periudhë pafundësisht të gjatë. Një nga karakteristikat kryesore të një sinjali jo periodik është spektri i tij. Spektri i një sinjali është një funksion që tregon varësinë e intensitetit të harmonikëve të ndryshëm në sinjal nga frekuenca e këtyre harmonikëve. Spektri i një sinjali periodik është varësia e koeficientëve të serisë Furier nga frekuenca e harmonikëve me të cilat korrespondojnë këta koeficientë. Për një sinjal jo periodik, spektri është transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit të sinjalit. Pra, spektri i një sinjali periodik është një spektër diskret (një funksion diskret i frekuencës), ndërsa një sinjal jo periodik karakterizohet nga një spektër i vazhdueshëm (i vazhdueshëm).
Le t'i kushtojmë vëmendje faktit që spektrat diskrete dhe të vazhdueshme kanë dimensione të ndryshme. Spektri diskret ka të njëjtin dimension me sinjalin, ndërsa dimensioni i spektrit të vazhdueshëm është i barabartë me raportin e dimensionit të sinjalit me dimensionin e frekuencës. Nëse, për shembull, sinjali përfaqësohet nga një tension elektrik, atëherë spektri diskret do të matet në volt [V], dhe spektri i vazhdueshëm do të matet në volt për herc [V/Hz]. Prandaj, termi "densitet spektral" përdoret gjithashtu për një spektër të vazhdueshëm.
Le të shqyrtojmë fillimisht paraqitjen spektrale të sinjaleve periodike. Dihet nga një kurs matematike se çdo funksion periodik që plotëson kushtet e Dirichlet (një nga kushtet e nevojshme është që energjia të jetë e fundme) mund të përfaqësohet nga një seri Furier në formë trigonometrike:
ku përcakton vlerën mesatare të sinjalit gjatë periudhës dhe quhet komponent konstant. Frekuenca quhet frekuenca themelore e sinjalit (frekuenca e parë harmonike), dhe frekuencat e saj të shumta quhen harmonikë më të lartë. Shprehja (3) mund të përfaqësohet si:
Vartësitë e anasjellta për koeficientët a dhe b kanë formën
Figura 1 tregon një grafik tipik të spektrit të amplitudës së një sinjali periodik për formën trigonometrike të serisë (6):
Përdorimi i shprehjes (formula e Euler-it).
në vend të (6), ne mund të shkruajmë formën komplekse të serisë Fourier:
ku koeficienti quhet amplituda komplekse e harmonikave, vlerat e të cilave, siç vijon nga (4) dhe formula e Euler-it, përcaktohen nga shprehja:
Duke krahasuar (6) dhe (9), vërejmë se kur përdorim formën komplekse të shkrimit të serisë Fourier, vlerat negative të k na lejojnë të flasim për komponentë me "frekuenca negative". Sidoqoftë, shfaqja e frekuencave negative është formale në natyrë dhe shoqërohet me përdorimin e një shënimi kompleks për të përfaqësuar sinjalin aktual.
Atëherë në vend të (9) marrim:
ka dimensionin [amplitudë/herc] dhe tregon amplituda e sinjalit për brez prej 1 Hertz. Prandaj, ky funksion i vazhdueshëm i frekuencës S(jw) quhet densitet spektral i amplitudës komplekse ose thjesht densitet spektral. Le të vërejmë një rrethanë të rëndësishme. Duke krahasuar shprehjet (10) dhe (11), vërejmë se kur w=kwo ato ndryshojnë vetëm nga një faktor konstant, dhe
ato. amplituda komplekse e një funksioni periodik me periodë T mund të përcaktohen nga karakteristikat spektrale të një funksioni jo periodik të së njëjtës formë, të specifikuara në interval. Sa më sipër është gjithashtu e vërtetë në lidhje me modulin e densitetit spektral:
Nga kjo marrëdhënie rezulton se mbështjellja e spektrit të amplitudës së vazhdueshme të një sinjali jo periodik dhe mbështjellja e amplitudave të spektrit të linjës së një sinjali periodik përkojnë në formë dhe ndryshojnë vetëm në shkallë. Tani le të llogarisim energjinë e sinjalit jo periodik. Duke shumëzuar të dyja anët e pabarazisë (14) me s(t) dhe duke u integruar mbi kufijtë e pafundëm, marrim:
ku S(jw) dhe S(-jw) janë sasi komplekse të konjuguara. Sepse
Kjo shprehje quhet barazia e Parsevalit për një sinjal jo periodik. Ai përcakton energjinë totale të sinjalit. Nga kjo rrjedh se nuk ka asgjë më shumë se energjia e sinjalit për 1 Hz të brezit të frekuencës rreth frekuencës w. Prandaj, funksioni nganjëherë quhet densiteti i energjisë spektrale i sinjalit s(t). Tani paraqesim, pa prova, disa teorema rreth spektrave që shprehin vetitë themelore të transformimit Furier.
Duke përdorur karakteristikat spektrale, vlerësohet përbërja (spektri) i brendshëm i sinjalit. Për këtë qëllim sinjali x(t) përfaqësohet në formën e një serie të përgjithësuar Furier, duke e zgjeruar atë sipas sistemit të funksioneve bazë T k(t)
Ku S në - koeficientët konstant që pasqyrojnë kontributin e funksionit Х^(?) në formimin e vlerave të sinjalit gjatë periudhës së konsideruar kohore.
Mundësia e paraqitjes së një sinjali kompleks x(t) në formën e një shume sinjalesh të thjeshta "RDO rezulton të jetë veçanërisht e rëndësishme për sistemet dinamike lineare. Në sisteme të tilla, parimi i mbivendosjes, d.m.th. reagimi i tyre ndaj shumës së ndikimeve (sinjaleve) është i barabartë me shumën e reaksioneve ndaj secilit prej ndikimeve veç e veç. Prandaj, duke ditur përgjigjen e një sistemi linear ndaj një sinjali të thjeshtë, është e mundur, duke përmbledhur rezultatet, të përcaktohet përgjigja e tij ndaj çdo sinjali tjetër kompleks.
Përzgjedhja e funksioneve k(t) në varësi të kërkesave të saktësisë maksimale të përafrimit të sinjalit x(t) seri (7.21) me një numër minimal termash në këtë seri dhe, nëse është e mundur, duke reduktuar vështirësitë llogaritëse që dalin gjatë përcaktimit të koeficientëve të serisë S k.
Funksionet trigonometrike reale përdoren më gjerësisht si funksione bazë.
dhe funksionet komplekse eksponenciale
Analiza klasike spektrale e sinjaleve bazohet në to. Në të njëjtën kohë, është e mundur të përdoren sisteme të tjera të funksioneve bazë (funksionet e Taylor, Walsh, Laguerre, Hermite, Legendre, Chebyshev, Kotelnikov, etj. 121), gjë që në disa raste lejon, duke marrë parasysh specifikat e funksioni i përafërt x (t), zvogëloni numrin e termave të serisë (7.21) duke ruajtur gabimin e dhënë të përafrimit.
Vitet e fundit, është shfaqur një sistem i ri, shumë premtues i funksioneve bazë, i quajtur valëzimet. Ndryshe nga funksionet harmonike, ato janë në gjendje të përshtaten me veçoritë lokale të sinjalit që afrohet duke ndryshuar formën dhe vetitë e tyre. Si rezultat, bëhet e mundur që thjesht të përfaqësohen sinjale komplekse (përfshirë ato me kërcime dhe ndërprerje lokale) nga grupe valësh të një lloji ose një tjetër.
Kur përdoren funksionet e bazës trigonometrike (7.22), seria (7.21) merr formën e një serie klasike trigonometrike të Furierit
ku Q = 2п/Т - frekuenca e harmonikës themelore të serisë (Г - periudha e sinjalit); k = 1, 2, 3,... - numër i plotë; ak, bk - numra realë (koeficientët Fourier), të llogaritur duke përdorur formula
Në këto formula, si më parë (shih (7.20)), t 0 - një numër arbitrar që mund të zgjidhet për arsye lehtësie në llogaritjen e integraleve (7.25), pasi vlerat e këtyre integraleve varen nga sasia t 0 nuk varen; xT(t) - impuls bazë të sinjalit (shih Fig. 7.3, V).
Koeficient a 0 përcakton vlerën mesatare të dyfishtë (për periudhë) të sinjalit, koeficientët e mbetur a k > b k (k= 1, 2, 3, ...) - kontribut për të harmonika e serisë Fourier (7.24) në formimin e vlerave të sinjalit të menjëhershëm X(?).
Seria trigonometrike Furier (7.24) mund të shkruhet në dy forma të tjera: në formën e zgjerimit të sinusit
dhe në formën e zgjerimit të kosinusit
Ku L 0/2 = a 0/2 - komponent konstant i sinjalit; Një k - amplituda k-i harmonika e serisë, e llogaritur me formulë
Fazat fillestare të këtyre harmonikave llogariten nga relacionet
Tërësia e amplitudave të përbërësve harmonikë të një sinjali periodik (A deri në )°? =( thirrur spektri i amplitudës këtë sinjal. Grupi i fazave fillestare të këtyre komponentëve (f/^)^ =1 - spektri fazor sinjal.
Duke përdorur funksionin Dirac 5 8(?), të dy spektrat mund të përfaqësohen funksionet e rrjetës frekuencave
t.s. amplituda dhe spektri fazor i një sinjali periodik janë diskrete spektrat. Kjo dallon një sinjal periodik nga sinjalet e tjera që kanë spektra të vazhdueshëm.
Kështu, një sinjal periodik mund të përfaqësohet si një shumë harmonike (7.24). Në këtë rast, frekuenca e çdo komponenti harmonik të serisë Fourier është një shumëfish i frekuencës së harmonikës themelore?2, në varësi të periudhës së sinjalit. T.
Sa më shumë harmonikë të tillë, aq më i vogël është gabimi në përafrimin e funksionit x(t) një shumë e fundme e serisë Furier (7.24). Përjashtim bëjnë pikat e ndërprerjes së funksionit x(i). Në afërsi të pikave të tilla të ashtuquajturat Fenomeni Gibbs|2|. Sipas këtij fenomeni, në afërsi të pikave të ndërprerjes, shumat e fundme të serisë Furier
formojnë "bishte" lëkundëse, lartësia e të cilave nuk zvogëlohet me rritjen e numrit të harmonikëve të marrë parasysh të serisë Fourier. N-është afërsisht 9% e vlerës së kërcimit të funksionit x(t) në pikën e thyerjes.
Për të llogaritur amplituda dhe fazën fillestare të harmonisë së &th të një sinjali periodik, në vend të formulave (7.28) dhe (7.29), mund të përdorni formulat
Ku X t = X t (p) = L (x T (t)) indeks T e ndryshueshme X - Imazhi Laplace i pulsit të sinjalit bazë, i përcaktuar nga formula (shih Shtojcën 2)
i- njësi imagjinare; & = 0,1,2,... është një numër i plotë pozitiv. Përdorimi i këtyre formulave eliminon nevojën për llogaritjen e integraleve (7.25), gjë që thjeshton shumë llogaritjet. Le të tregojmë një shembull të një llogaritjeje të tillë.
Shembulli 7.1
Përcaktoni spektrin e amplitudës së një sinjali periodik Zgjidhje
Në Fig. 7.3, A, tregohet një grafik i një sinjali të tillë. Mund të shihet se sinjali ka një periudhë T= Unë. Rrjedhimisht, frekuenca e harmonikës themelore të serisë përkatëse Furier (7.24) është e barabartë me Q = 2p/T = 2 s -1. Marrja t 0 = 0, x T (t) = mëkat? (për 0 t 
Oriz. 73.
A - forma valore; b - spektri i amplitudës së sinjalit
Prandaj, A 0/2 = 2/p, A k= 4/i(4& 2 - 1), sch= l, ku k= 1.2, 3, d.m.th. zgjerimi i funksionit |sin(?)| në serinë trigonometrike Furier ka formën
Shënim: këtu pranohet f/, = l (dhe ns y k = 0) për shkak të përdorimit të shenjës minus para shumës së harmonikave të serisë.
Në Fig. 7.3, b tregohet spektri i amplitudës së sinjalit në fjalë. Vlera e amplitudës së harmonikës ?-të të serisë A te përfaqësohet nga një segment vertikal i gjatësisë së duhur, në bazën e të cilit tregohet numri harmonik.
Duhet pasur parasysh se amplituda A te disa harmonikë të serisë Fourier mund të jenë të barabarta me zero. Për më tepër, një ulje monotonike e amplitudave të këtyre harmonikëve me rritjen e numrit harmonik është opsionale, siç është rasti në Fig. 7.3, b.
Megjithatë, në të gjitha rastet, kushti duhet të plotësohet A te= 0, që rezulton nga
testimi i konvergjencës së serisë Fourier.
Le ta zgjidhim problemin duke përdorur formulat (7.32). Për ta bërë këtë, së pari gjejmë imazhin Laplace të pulsit bazë të sinjalit xT(t)
Zëvendësimi këtu p = ikQ = 2ik(ku i- njësi imagjinare, k= 1, 2, 3,...), marrim atë që përkon me rezultatet e mëparshme.
Në aplikimet teknike, shpesh përdoret forma komplekse e shkrimit të serisë Fourier
Në këtë rast, funksionet komplekse eksponenciale (7.23) përdoren si funksione bazë. Prandaj koeficientët S f seria (7.36) bëhet gjithëpërfshirëse. Ato llogariten duke përdorur formulën
ku, si në formulën (7.6), ndryshorja e indeksit P mund të jetë ose një numër i plotë pozitiv ose negativ.
Kur përdorni formën komplekse të serisë Fourier (7.36) spektri i amplitudës sinjal periodik x(t)është bashkësia e vlerave absolute të koeficientëve kompleks të Furierit S f
A spektri i fazave- grupi i argumenteve kryesore të këtyre koeficientëve
Sasi të shumta (ME%)^ > = _ quhet spektri i fuqisë sinjal periodik dhe grup i numrave kompleks (C f - sekuencë spektrale sinjal periodik. Janë këto tre karakteristika (spektri i amplitudës, spektri fazor dhe spektri i fuqisë) që i përkasin karakteristikave kryesore spektrale të një sinjali periodik.
Ndryshe nga amplituda dhe spektrat fazor të një sinjali periodik, të paraqitur në formën e një serie Furier trigonometrike (7.24), spektrat e të njëjtit sinjal, të ndërtuara duke përdorur koeficientët kompleks Furier (7.37), rezultojnë të jenë dyaneshem. Kjo është pasojë e pranisë së "frekuencave negative" në (7.36) Nga.(për vlerat negative P). Këto të fundit, natyrisht, nuk ekzistojnë në realitet. Ato pasqyrojnë vetëm paraqitjen e funksionit harmonik eksponencial të përdorur në formimin e serisë komplekse Furier e~t në formën e një vektori njësi që rrotullohet në drejtim të akrepave të orës me shpejtësi këndore bashkë.
Nëse ka një imazh Laplace të pulsit bazë të një sinjali periodik X T (p) = L (x T (t)), atëherë spektri i amplitudës dhe spektri fazor i sinjalit periodik mund të llogaritet duke përdorur formulat
Algoritmet e të ashtuquajturve transformimi i shpejtë i Furierit, në sajë të së cilës është e mundur të zvogëlohet koha e llogaritjes së koeficientëve Furier aq shumë sa që spektrat e sinjaleve gjatë përpunimit të tyre të merren pothuajse në kohë reale.
Si përfundim, ne vërejmë tre vetitë më të rëndësishme të karakteristikave spektrale të një sinjali periodik.
- 1. Nëse x (t) -është një funksion çift, atëherë përbërësit imagjinarë të të gjithë koeficientëve të Furierit kompleks Im(Cw) janë të barabartë me zero dhe, përkundrazi, nëse ky funksion është tek, atëherë përbërësit realë të të gjithë koeficientëve kompleks Furier Re(C№) janë të barabartë. në zero.
- 2. Në pikën e ndërprerjes së llojit të parë t = t r funksione x(t) shuma e serive Furier S(t) e barabartë me gjysmën e shumës së vlerave kufizuese të funksionit ndërsa argumenti i afrohet pikës së thyerjes t = t r majtas dhe djathtas, d.m.th.
shënim: nëse vlerat e funksionit x(€) në skajet +G) të pulsit të bazës xT(t) nuk janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë me vazhdimin periodik të pulsit këto pika bëhen pika ndërprerjeje të llojit të parë.
3. Fuqitë e sinjalit periodik në domenet e kohës dhe frekuencës janë të barabarta me njëra-tjetrën, d.m.th.
Ky raport shpreh Teorema e Parsevalit.
Prania e "frekuencave negative" në formulën (7.36) nQ.(për y
