Shndërroni nga shembujt dhjetorë në binar. Konvertimi i numrave në sisteme numrash binar, heksadecimal, dhjetor, oktal

Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin është një pjesë e rëndësishme e aritmetikës së makinës. Le të shqyrtojmë rregullat themelore të përkthimit.

1. Për të kthyer një numër binar në dhjetor, është e nevojshme të shkruhet në formën e një polinomi të përbërë nga prodhimet e shifrave të numrit dhe fuqia përkatëse e numrit 2 dhe të llogaritet sipas rregullave dhjetore. aritmetike:

Kur përktheni, është e përshtatshme të përdorni tabelën e fuqive të dy:

Tabela 4. Fuqitë e 2

Shembull.

2. Për të kthyer një numër oktal në dhjetor, është e nevojshme të shkruhet në formën e një polinomi të përbërë nga prodhimet e shifrave të numrit dhe fuqia përkatëse e numrit 8 dhe të llogaritet sipas rregullave dhjetore. aritmetike:

Kur përktheni, është e përshtatshme të përdorni tabelën e fuqive të tetë:

Tabela 5. Fuqitë e 8

Shembull. Shndërroni numrin në shënimin dhjetor.

3. Për të kthyer një numër heksadecimal në dhjetor, është e nevojshme të shkruhet në formën e një polinomi, i përbërë nga prodhimet e shifrave të numrit dhe fuqia përkatëse e numrit 16 dhe të llogaritet sipas rregullave dhjetore. aritmetike:

Kur përktheni, është e përshtatshme ta përdorni atë një valë fuqish prej 16:

Tabela 6. Fuqitë e 16

Shembull. Shndërroni numrin në shënimin dhjetor.

4. Për të kthyer një numër dhjetor në sistemin binar, ai duhet të pjesëtohet në mënyrë sekuenciale me 2 derisa të ketë një mbetje më të vogël ose të barabartë me 1. Një numër në sistemin binar shkruhet si një sekuencë e rezultatit të pjesëtimit të fundit dhe pjesa e mbetur të pjesëtimit në rend të kundërt.

Shembull. Shndërroni numrin në sistemin binar.

5. Për të kthyer një numër dhjetor në sistemin oktal, ai duhet të pjesëtohet në mënyrë sekuenciale me 8 derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me 7. Numri në sistemin oktal shkruhet si një sekuencë shifrash të rezultatit të pjesëtimit të fundit dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit në rend të kundërt.

Shembull. Shndërroni numrin në sistemin e numrave oktal.

6. Për të kthyer një numër dhjetor në sistemin heksadecimal, ai duhet të ndahet në mënyrë sekuenciale me 16 derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me 15. Numri në sistemin heksadecimal shkruhet si një sekuencë shifrash të rezultatit të pjesëtimit të fundit dhe pjesa e mbetur e ndarjes në rend të kundërt.

Shembull. Shndërroni numrin në shënimin heksadecimal.

Vërejtje 1

Nëse dëshironi të përktheni një numër nga një sistem numrash në tjetrin, atëherë është më e përshtatshme që fillimisht ta përktheni atë në sistemin e numrave dhjetorë, dhe vetëm atëherë nga numri dhjetor në çdo sistem tjetër numrash.

Rregullat për konvertimin e numrave nga çdo sistem numrash në dhjetor

Në llogaritje, duke përdorur aritmetikën e makinës, shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin luan një rol të rëndësishëm. Më poshtë janë rregullat bazë për shndërrime (përkthime) të tilla.

Kur konvertohet një numër binar në dhjetor, kërkohet të përfaqësohet numri binar në formën e një polinomi, secili element i të cilit përfaqësohet si produkt i shifrës së numrit dhe fuqisë përkatëse të numrit bazë, në këtë rast. 2 $, dhe më pas duhet të llogaritni polinomin sipas rregullave të aritmetikës dhjetore:

$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $

Figura 1. Tabela 1

Shembulli 1

Numri $ 11110101_2 $ konvertohet në shënim dhjetor.

Zgjidhje. Duke përdorur tabelën e mësipërme prej $ 1 $ gradë të bazës $ 2 $, ne përfaqësojmë numrin në formën e një polinomi:

$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 = 4 +1 + 12 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $

Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave oktal në dhjetor, duhet ta përfaqësoni atë si një polinom, secili element i të cilit përfaqësohet si produkt i shifrës së numrit dhe fuqisë përkatëse të numrit bazë, në këtë rast 8 dollarë. $, dhe më pas duhet të llogaritni polinomin sipas rregullave të aritmetikës dhjetore:

$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $

Figura 2. Tabela 2

Shembulli 2

Numri $ 75013_8 $ është konvertuar në shënim dhjetor.

Zgjidhje. Duke përdorur tabelën e shkallëve $ 2 $ të bazës $ 8 $, ne përfaqësojmë numrin në formën e një polinomi:

75013_8 $ = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $

Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave heksadecimal në dhjetor, është e nevojshme të përfaqësohet si një polinom, secili element i të cilit përfaqësohet si produkt i shifrës së numrit dhe fuqisë përkatëse të numrit bazë, në këtë rast $ 16 $, dhe më pas duhet të llogaritni polinomin sipas rregullave të aritmetikës dhjetore:

$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $

Figura 3. Tabela 3

Shembulli 3

Shndërroni numrin $ FFA2_ (16) $ në shënimin dhjetor.

Zgjidhje. Duke përdorur tabelën e mësipërme prej $ 3 $ shkallë të bazës $ 8 $, ne përfaqësojmë numrin si një polinom:

$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = (61044) $_

Rregullat për konvertimin e numrave nga një sistem numrash dhjetor në një tjetër

• Për të kthyer një numër nga dhjetori në binar, ai duhet të ndahet në mënyrë sekuenciale me 2 $ derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me 1 $. Një numër në sistemin binar përfaqësohet si një sekuencë e rezultatit të fundit të pjesëtimit dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit në rend të kundërt.

Shembulli 4

Shndërroni numrin $ 22_ (10) $ në shënim binar.

Zgjidhja:

Figura 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Për të kthyer një numër nga dhjetori në oktal, ai duhet të ndahet në mënyrë sekuenciale me 8 dollarë derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me 7 dollarë. Numri oktal përfaqësohet si një sekuencë shifrash të rezultatit të ndarjes së fundit dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit në rend të kundërt.

Shembulli 5

Numri $ 571_ (10) $ është konvertuar në shënim oktal.

Zgjidhja:

Figura 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Për të kthyer një numër nga dhjetori në heksadecimal, ai duhet të ndahet në mënyrë sekuenciale me 16 dollarë derisa të mbetet një mbetje më e vogël ose e barabartë me 15 dollarë. Numri në sistemin heksadecimal përfaqësohet si një sekuencë shifrash të rezultatit të fundit të pjesëtimit dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit në rend të kundërt.

Shembulli 6

Numri $ 7467_ (10) $ është konvertuar në shënim heksadecimal.

Zgjidhja:

Figura 6.

7467_ $ (10) = 1D2B_ (16) $

Për të kthyer një thyesë të saktë nga sistemi i numrave dhjetorë në një jo dhjetor, është e nevojshme të shumëzohet në mënyrë sekuenciale pjesa thyesore e numrit që do të konvertohet me bazën e sistemit në të cilin kërkohet të konvertohet. Fraksioni në sistemin e ri do të paraqitet në formën e pjesëve të tëra të punimeve, duke filluar nga e para.

Për shembull: 0,3125 $ _ ((10)) $ në oktal do të duket si 0,24 $ _ ((8)) $.

Në këtë rast, mund të hasni një problem kur një thyesë e pafundme (periodike) në një sistem numrash jo dhjetorë mund t'i korrespondojë një thyese dhjetore përfundimtare. Në këtë rast, numri i shifrave në fraksionin e paraqitur në sistemin e ri do të varet nga saktësia e kërkuar. Duhet të theksohet gjithashtu se numrat e plotë mbeten të plotë, dhe thyesat e rregullta mbeten thyesa në çdo sistem numrash.

Rregullat për konvertimin e numrave nga një sistem numrash binar në një tjetër

• Për të kthyer një numër nga një sistem numrash binar në oktal, ai duhet të ndahet në treshe (treshe shifrash), duke filluar me bitin më pak të rëndësishëm, duke plotësuar treshen më domethënëse me zero nëse është e nevojshme, pastaj duke zëvendësuar secilën treshe me shifrën oktale përkatëse. sipas tabelës 4.

Figura 7. Tabela 4

Shembulli 7

Shndërroni numrin $ 1001011_2 $ në shënimin oktal.

Zgjidhje... Duke përdorur tabelën 4, le ta kthejmë numrin nga binar në oktal:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Për të kthyer një numër nga një sistem numrash binar në heksadecimal, ai duhet të ndahet në tetradë (katër shifra), duke filluar me bitin më pak të rëndësishëm, nëse është e nevojshme, duke shtuar zero në tetradën e vjetër, pastaj zëvendësoni secilën tetradë me shifrën oktale përkatëse sipas në tabelën 4.

Llogaritësi ju lejon të konvertoni numrat e plotë dhe të pjesshëm nga një sistem numrash në tjetrin. Baza e sistemit të numrave nuk mund të jetë më e vogël se 2 dhe më shumë se 36 (10 shifra dhe 26 shkronja latine në fund të fundit). Numrat mund të jenë deri në 30 karaktere të gjatë. Përdorni simbolin për të futur numra thyesorë. ose,. Për të kthyer një numër nga një sistem në tjetrin, futni numrin origjinal në fushën e parë, bazën e sistemit origjinal të numrave në të dytën dhe bazën e sistemit të numrave në të cilin dëshironi të përktheni numrin në fushën e tretë, dhe pastaj klikoni në butonin "Merr regjistrim".

Numri origjinal regjistruar në 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 - sistemi i numrave.

Unë dua të marr një rekord të numrit në 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - sistemi i numrave.

Merrni rekord

Përkthime të mbaruara: 1237177

Sistemet e numrave

Sistemet e numrave ndahen në dy lloje: pozicionale dhe jo pozicionale... Ne përdorim sistemin arab, ai është pozicional, dhe ekziston edhe ai romak - thjesht nuk është pozicional. Në sistemet pozicionale, pozicioni i një shifre në një numër përcakton në mënyrë unike vlerën e atij numri. Kjo është e lehtë për t'u kuptuar duke marrë parasysh shembullin e një numri.

Shembulli 1... Le të marrim numrin 5921 në shënimin dhjetor. Le të numërojmë numrin nga e djathta në të majtë duke filluar nga zero:

Numri 5921 mund të shkruhet në formën e mëposhtme: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Numri 10 është një karakteristikë që përcakton sistemin e numrave. Vlerat e pozicionit të numrit të dhënë merren si gradë.

Shembulli 2... Konsideroni numrin dhjetor real 1234.567. Le ta numërojmë duke filluar nga pozicioni zero i numrit nga pika dhjetore majtas dhe djathtas:

Numri 1234.567 mund të shkruhet në formën e mëposhtme: 1234.567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0.5 + 0.06 + 0.007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 1 + 4 · 1 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.

Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin

Mënyra më e thjeshtë për të transferuar një numër nga një sistem numrash në tjetrin është përkthimi i numrit fillimisht në sistemin e numrave dhjetorë, dhe më pas, rezultati i marrë në sistemin e numrave të kërkuar.

Shndërrimi i numrave nga çdo sistem numrash në sistemin e numrave dhjetorë

Për të kthyer një numër nga çdo sistem numrash në dhjetor, mjafton të numërojmë shifrat e tij, duke filluar nga zero (vendi në të majtë të pikës dhjetore) ngjashëm me shembujt 1 ose 2. Le të gjejmë shumën e prodhimeve të shifrave të numrit sipas bazës së sistemit të numrave në fuqinë e pozicionit të kësaj shifre:

1. Shndërroni numrin 1001101.1101 2 në shënim dhjetor.
Zgjidhja: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
Përgjigje: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Konvertoni E8F.2D 16 në shënimin dhjetor.
Zgjidhja: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 3727,250
Përgjigje: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash dhjetorë në një sistem tjetër numrash

Për të kthyer numrat nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numrash, pjesët e plota dhe thyesore të numrit duhet të përkthehen veçmas.

Shndërrimi i pjesës së plotë të një numri nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numerik

E gjithë pjesa shndërrohet nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numrash duke pjesëtuar në mënyrë sekuenciale të gjithë pjesën e numrit me bazën e sistemit të numrave derisa të fitohet e gjithë mbetja, e cila është më e vogël se baza e sistemit të numrave. Rezultati i transferimit do të jetë një hyrje nga bilanci, duke filluar nga i fundit.

3. Konvertoni numrin 273 10 në sistemin e numrave oktal.
Zgjidhja: 273/8 = 34 dhe mbetja 1, 34/8 = 4 dhe mbetja 2, 4 është më e vogël se 8, kështu që llogaritjet janë të plota. Rekordi nga mbetjet do të duket kështu: 421
Ekzaminimi: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273, rezultati është i njëjtë. Kjo do të thotë që përkthimi është bërë saktë.
Përgjigje: 273 10 = 421 8

Le të shqyrtojmë përkthimin e thyesave dhjetore të sakta në sisteme të ndryshme numrash.

Shndërrimi i pjesës thyesore të një numri nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numerik

Kujtojmë se thyesa dhjetore e saktë quhet numër real me pjesë të plotë zero... Për të kthyer një numër të tillë në sistemin bazë të numrave N, duhet të shumëzoni në mënyrë sekuenciale numrin me N derisa pjesa thyesore të jetë zero ose të merret numri i kërkuar i shifrave. Nëse, gjatë shumëzimit, fitohet një numër me një pjesë të plotë që është i ndryshëm nga zero, atëherë pjesa e plotë nuk merret parasysh më tej, pasi futet në mënyrë sekuenciale në rezultat.

4. Konvertoni numrin binar 0.125 10.
Zgjidhja: 0,125 2 = 0,25 (0 është pjesa e plotë, e cila do të bëhet shifra e parë e rezultatit), 0,25 2 = 0,5 (0 është shifra e dytë e rezultatit), 0,5 2 = 1,0 (1 është shifra e tretë e rezultatit , dhe meqenëse pjesa thyesore është e barabartë me zero, atëherë përkthimi është i plotë).
Përgjigje: 0.125 10 = 0.001 2

Përshëndetje vizitor i faqes! Ne vazhdojmë të studiojmë protokollin e shtresës së rrjetit IP, ose, për të qenë më të saktë, versionin e tij IPv4. Në pamje të parë, tema numrat binar dhe sistemi i numrave binar nuk ka asnjë lidhje me protokollin IP, por nëse mbani mend që kompjuterët punojnë me zero dhe një, atëherë rezulton se sistemi binar dhe kuptimi i tij është baza e bazave, ne kemi nevojë Mësoni si të konvertoni numrat nga binar në dhjetor dhe anasjelltas: dhjetore në binar... Kjo do të na ndihmojë të kuptojmë më mirë protokollin IP dhe mënyrën se si funksionojnë maskat e rrjetit me gjatësi të ndryshueshme. Le të fillojmë!

Nëse jeni të interesuar për temën e rrjeteve kompjuterike, mund të njiheni me shënimet e tjera të kursit.

4.4.1 Hyrje

Para se të fillojmë, ia vlen të shpjegojmë pse një inxhinier rrjeti ka nevojë fare për këtë temë. Edhe pse mund të bindesh për nevojën e tij kur folëm, mund të thuash se ka kalkulatorë IP që lehtësojnë shumë detyrën e ndarjes së adresave IP, llogaritjen e maskave të nevojshme të nënrrjetit / rrjetit dhe përcaktimin e numrit të rrjetit dhe numrit të nyjës në adresën IP. Kjo është kështu, por kalkulatori IP nuk është gjithmonë pranë, kjo është arsyeja për numrin e herë. Arsyeja numër dy është se provimet Cisco nuk do t'ju japin një kalkulator IP dhe kaq. konvertimin e adresave IP nga dhjetore në binare do t'ju duhet ta bëni në një copë letre, dhe nuk janë aq pak pyetje ku kjo kërkohet në provimin / provimet për marrjen e një certifikate CCNA, do të jetë turp nëse, për shkak të një gjëje të tillë, provimi të mbingarkohet. Së fundi, të kuptuarit e sistemit binar të numrave çon në një kuptim më të mirë se si funksionon.

Në përgjithësi, një inxhinier rrjeti nuk kërkohet të jetë në gjendje të përkthejë numrat nga binar në dhjetor dhe anasjelltas mendërisht. Për më tepër, rrallë kush di ta bëjë atë mendërisht, kryesisht mësues të kurseve të ndryshme të rrjeteve kompjuterike i përkasin kësaj kategorie, pasi me këtë ballafaqohen vazhdimisht nga dita në ditë. Por me ndihmën e një fletë letre dhe një stilolapsi, duhet të mësoni se si të përktheni.

4.4.2 Shifrat dhe numrat dhjetorë, vendet në numra

Le të fillojmë thjesht dhe të flasim për numrat dhe numrat binare., ju e dini se numrat dhe numrat janë dy gjëra të ndryshme. Një numër është një simbol i veçantë për përcaktimin, dhe një numër është një shënim abstrakt që do të thotë sasi. Për shembull, për të shkruar se kemi pesë gishta në dorë, mund të përdorim numra romakë dhe arabë: V dhe 5. Në këtë rast, pesë është edhe numër edhe shifër në të njëjtën kohë. Dhe, për shembull, për të shkruar numrin 20, ne përdorim dy shifra: 2 dhe 0.

Në total, në sistemin e numrave dhjetorë kemi dhjetë shifra ose dhjetë karaktere (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), duke i kombinuar të cilët mund të shkruajmë numra të ndryshëm. Çfarë parimi udhëhiqemi duke përdorur sistemin e numrave dhjetorë? Po, gjithçka është shumë e thjeshtë, ne ngremë dhjetë në një shkallë ose në një tjetër, për shembull, le të marrim numrin 321. Si mund të shkruhet ndryshe, por kështu: 3 * 10 2 + 2 * 10 1 + 1 * 10 0 . Kështu, rezulton se numri 321 përfaqëson tre shifra:

1. Numri 3 nënkupton shifrën më domethënëse, ose në këtë rast është vendi i qindrave, përndryshe numri i tyre.
2. Numri 2 është në vendin e dhjetësheve, kemi dy dhjetëshe.
3. Shifra një i referohet shifrës më pak të rëndësishme.

Kjo do të thotë, në këtë procesverbal, një dy nuk është vetëm një dy, por dy dhjetëra ose dy herë dhjetë. Një tre nuk është vetëm një tre, por tre herë njëqind. Rezulton një varësi e tillë: njësia e secilës shifër tjetër është dhjetë herë më shumë se njësia e asaj të mëparshme, sepse ajo që është 300 është tre herë njëqind. Një digresion rreth sistemit dhjetor ishte i nevojshëm për ta bërë binarin më të lehtë për t'u kuptuar.

4.4.3 Shifrat dhe numrat binare dhe regjistrimi i tyre

Në sistemin binar, ka vetëm dy shifra: 0 dhe 1... Prandaj, paraqitja e një numri në binar është shpesh shumë më e gjatë se në dhjetor. Me përjashtim të numrave 0 dhe 1, zeroja në binar është e barabartë me zero në dhjetore dhe e njëjta është edhe për një. Ndonjëherë, për të mos ngatërruar sistemin e numrave në të cilin shkruhet numri, përdoren nën-indekset: 267 10, 10100 12, 4712 8. Numri në nën-indeks tregon sistemin e numrave.

Simbolet 0b dhe & (ampersand) mund të përdoren për të shkruar numra binarë: 0b10111, & 111... Nëse në sistemin e numrave dhjetorë, për të shqiptuar numrin 245, përdorim këtë ndërtim: dyqind e dyzet e pesë, atëherë në sistemin e numrave binar, për të emërtuar numrin, duhet të shqiptojmë një shifër nga secila shifër, p.sh. , numri 1100 në sistemin e numrave binar nuk duhet të shqiptohet si një mijë e njëqind, por si një, një, zero, zero. Le të hedhim një vështrim se si numrat nga 0 në 10 shkruhen në binar:

Unë mendoj se logjika tashmë duhet të jetë e qartë. Nëse në sistemin e numrave dhjetorë për secilën shifër kishim dhjetë opsione në dispozicion (nga 0 në 9 përfshirëse), atëherë në sistemin e numrave binar në secilën nga shifrat e një numri binar kemi vetëm dy opsione: 0 ose 1.

Për të punuar me adresat IP dhe maskat e nënrrjetit, numrat natyrorë në sistemin binar na mjaftojnë, megjithëse sistemi binar na lejon të shkruajmë numra thyesorë dhe negativë, por nuk kemi nevojë për të.

4.4.4 Shndërrimi i numrave nga dhjetori në binar

Le të merremi më mirë me Si të shndërroni një numër nga dhjetori në binar... Dhe këtu gjithçka është në të vërtetë shumë, shumë e thjeshtë, megjithëse është e vështirë të shpjegohet me fjalë, kështu që unë do të citoj menjëherë shembull i konvertimit të numrave nga dhjetori në binar... Merrni numrin 61, për të kryer konvertimin në sistemin binar, duhet ta ndajmë këtë numër me dy dhe të shohim se cila është pjesa e mbetur e pjesëtimit. Dhe rezultati i ndarjes ndahet përsëri me dy. Në këtë rast, 61 është një dividend, si pjesëtues do të kemi gjithmonë dy, dhe herësin (rezultatin e pjesëtimit) e ndajmë përsëri me dy, vazhdojmë pjesëtimin derisa të ketë 1 në herës, kjo njësi e fundit do të jetë më e majta. shifra... Figura më poshtë e tregon këtë.

Në të njëjtën kohë, vini re se numri 61 nuk është 101111, por 111101, domethënë, ne e shkruajmë rezultatin nga fundi. Nuk ka kuptim pjesëtimi i njësisë në veçantinë e fundit me dy, pasi në këtë rast përdoret ndarja me numër të plotë dhe me këtë qasje rezulton si në figurën 4.4.2.

Kjo nuk është mënyra më e shpejtë për të kthyer një numër nga binar në dhjetor.... Ne kemi disa përshpejtues. Për shembull, numri 7 në sistemin binar shkruhet si 111, numri 3 si 11 dhe numri 255 si 11111111. Të gjitha këto raste janë jashtëzakonisht të thjeshta. Fakti është se numrat 8, 4 dhe 256 janë fuqitë e dy, dhe numrat 7, 3 dhe 255 janë një më pak se këta numra. Pra, për një numër që është një më i vogël se një numër i barabartë me fuqinë dy, zbatohet një rregull i thjeshtë: në sistemin binar, një numër i tillë dhjetor shkruhet në numrin e njësheve të barabartë me fuqinë dy. Kështu, për shembull, numri 256 është dy në fuqinë e tetë, prandaj, 255 shkruhet si 11111111, dhe numri 8 është dy në fuqinë e tretë, dhe kjo na tregon se 7 në sistemin e numrave binar do të shkruhet si 111. Epo, kuptoni se si të shkruani 256, 4 dhe 8 në sistemin binar nuk është gjithashtu e vështirë, thjesht shtoni një: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Ju mund të kontrolloni ndonjë nga rezultatet tuaja në një kalkulator dhe në fillim është më mirë ta bëni këtë.

Siç mund ta shihni, ne ende nuk kemi harruar se si të ndajmë. Dhe tani ne mund të vazhdojmë.

4.4.5 Shndërrimi i numrave nga binar në dhjetor

Konvertimi i numrave nga një sistem numrash binar është shumë më i lehtë sesa konvertimi nga dhjetori në binar. Si shembull përkthimi, do të përdorim numrin 11110. Kushtojini vëmendje tabelës më poshtë, ajo tregon shkallën në të cilën ju duhet të ngrini një dy, në mënyrë që të merrni një numër dhjetor më vonë.

Për të marrë një dhjetor nga ky numër binar, duhet të shumëzoni çdo numër në shifër me dy në një fuqi, dhe më pas shtoni rezultatet e shumëzimit, është më e lehtë të tregohet:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Le të hapim kalkulatorin dhe të sigurohemi që 30 në shënimin dhjetor është 11110 në binar.

Ne shohim që gjithçka është bërë si duhet. Shembulli tregon se konvertimi i një numri nga binar në dhjetor është shumë më i lehtë sesa konvertimi i tij përsëri... Për të punuar me besim, ju vetëm duhet të mbani mend fuqitë e dy deri në 2 8. Për qartësi, unë do të jap një tabelë.

Nuk kemi nevojë për më shumë, pasi numri maksimal i mundshëm që mund të shkruhet në një bajt (8 bit ose tetë vlera binare) është 255, domethënë, në çdo oktet të adresës IP ose maskës së nënrrjetit të protokollit IPv4, vlera maksimale e mundshme është 255. Ka fusha, në të cilat ka vlera më të mëdha se 255, por nuk kemi nevojë t'i llogarisim ato.

4.4.6 Mbledhja, zbritja, shumëzimi i numrave binarë dhe veprime të tjera me numra binarë

Le të hedhim një vështrim në veprimet që mund të kryhen në numra binarë... Le të fillojmë me veprime të thjeshta aritmetike dhe më pas të kalojmë te veprimet e algjebrës së Bulit.

Shtimi binare

Shtimi i numrave binarë nuk është aq i vështirë: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 0 (do të shpjegoj më tej); 0 + 0 = 0. Këta ishin shembuj të thjeshtë ku përdorej vetëm një shifër, le të shohim shembuj ku numri i shifrave është më i madh se një.
101 + 1101 në dhjetor, kjo do të jetë 5 + 13 = 18. Le të numërojmë në një kolonë.

Rezultati është theksuar në portokalli, kalkulatori thotë që kemi llogaritur saktë, mund ta kontrolloni. Tani le të shohim pse ndodhi kjo, sepse në fillim kam shkruar se 1 + 1 = 0, por kjo është për rastin kur kemi vetëm një bit, për rastet kur ka më shumë se një bit, 1 + 1 = 10 (ose dy në dhjetor), që është logjike.

Pastaj shikoni se çfarë ndodh, ne kryejmë mbledhje me shifra nga e djathta në të majtë:

1. 1 + 1 = 10, ne shkruajmë zero, dhe një shkon në shifrën tjetër.

2. Në bitin tjetër rezulton 0 + 0 + 1 = 1 (kjo njësi na erdhi nga rezultati i mbledhjes në hapin 1).

4. Këtu kemi një njësi vetëm për numrin e dytë, por këtu ai ende transferohet, prandaj 0 + 1 + 1 = 10.

5. Ne ngjitim gjithçka së bashku: 10 | 0 | 1 | 0.

Nëse jeni dembel në një kolonë, atëherë le të numërojmë kështu: 101011 + 11011 ose 43 + 27 = 70. Si mund të bëni këtu, por le të shohim, sepse askush nuk na ndalon të bëjmë konvertime, dhe shuma nuk ndryshon nga ndryshimi i vendeve të termave, për sistemin e numrave binar vlen edhe ky rregull.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

Mund të kontrolloni me një kalkulator, 1000110 në binar është 70 në dhjetor.

Zbritja e numrave binarë

Drejtpërdrejt një shembull për zbritjen e numrave njëshifrorë në sistemin e numrave binar, nuk folëm për numra negativë, ndaj nuk marrim parasysh 0-1: 1 - 0 = 1; 0 - 0 = 0; 1 - 1 = 0. Nëse ka më shumë se një shifra, atëherë gjithçka është gjithashtu e thjeshtë, madje nuk nevojiten kolona dhe truket: 110111 - 1000, kjo është e njëjtë me 55 - 8. Si rezultat, marrim 101111. Dhe zemra pushoi së rrahuri, nga vjen ajo në shifrën e tretë (numërimi nga e majta në të djathtë dhe duke filluar nga zero)? Është e thjeshtë! Në bitin e dytë të numrit 110111 është 0, kurse në bitin e parë është 1 (nëse supozojmë se numërimi i shifrave fillon nga 0 dhe shkon nga e majta në të djathtë), por fitohet njësia e bitit të katërt. duke shtuar dy njësi të bitit të tretë (përftohet një lloj virtuali dy) dhe nga ky dy, ne zbresim një, i cili qëndron në bitin zero të numrit 1000, mirë, dhe 2 - 1 = 1, mirë dhe 1. është një shifër e vlefshme në sistemin e numrave binar.

Shumëzimi i numrave binarë

Na mbetet të marrim parasysh shumëzimin e numrave binarë, i cili zbatohet duke zhvendosur një bit majtas... Por së pari, le të shohim rezultatet e shumëzimit me një bit: 1 * 1 = 1; 1 * 0 = 0 0 * 0 = 0. Në fakt, gjithçka është e thjeshtë, tani le të shohim diçka më të ndërlikuar. Merrni numrat 101001 (41) dhe 1100 (12). Ne do të shumëzojmë me një kolonë.

Nëse nga tabela nuk është e qartë se si ndodhi, atëherë do të përpiqem të shpjegoj me fjalë:

1. Është i përshtatshëm për të shumëzuar numrat binarë në një kolonë, kështu që ne shkruajmë faktorin e dytë nën të parën, nëse numrat me një numër të ndryshëm shifrash, atëherë do të jetë më i përshtatshëm nëse numri më i madh është në krye.
2. Hapi tjetër është të shumëzoni të gjitha shifrat e numrit të parë me shifrën më pak të rëndësishme të numrit të dytë. Më poshtë shkruajmë rezultatin e shumëzimit, ndërsa është e nevojshme të shënohet në mënyrë që nën çdo bit përkatës të shkruhet rezultati i shumëzimit.
3. Tani duhet të shumëzojmë të gjitha shifrat e numrit të parë me shifrën tjetër të numrit të dytë dhe të shkruajmë rezultatin në një rresht më poshtë, por ky rezultat duhet të zhvendoset një shifër në të majtë, nëse shikoni tabelën, atëherë kjo është sekuenca e dytë e zerave nga lart.
4. E njëjta gjë duhet bërë për shifrat pasuese, çdo herë duke zhvendosur një shifër majtas, dhe nëse shikoni tabelën, mund të thoni se një qelizë në të majtë.
5. Ne kemi katër numra binarë që duhet t'i shtojmë tani dhe të marrim rezultatin. Kohët e fundit kemi rishikuar shtesën, nuk duhet të ketë probleme.

Në përgjithësi, operacioni i shumëzimit nuk është aq i vështirë, thjesht duhet të praktikoni pak.

Veprimet e algjebrës së Bulit

Ekzistojnë dy koncepte shumë të rëndësishme në algjebrën e Bulit: e vërtetë dhe e gabuar, të cilat janë ekuivalente me zero dhe një në sistemin e numrave binar. Operatorët e algjebrës Boolean zgjerojnë numrin e operatorëve të disponueshëm në këto vlera, le t'i hedhim një vështrim.

Operacioni logjik DHE ose AND

Operacioni Logical AND ose AND është ekuivalent me shumëzimin e numrave binarë njëbitësh.

1 DHE 1 = 1; 1 DHE 0 = 1; 0 DHE 0 = 0; 0 DHE 1 = 0.

Njësia në rezultatin "DHE logjike" do të jetë vetëm nëse të dyja vlerat janë të barabarta me një, në të gjitha rastet e tjera do të jetë zero.

Operacioni "Logical OR" ose OR

Operacioni "Logical OR" ose OR funksionon sipas parimit të mëposhtëm: nëse të paktën një vlerë është e barabartë me një, atëherë rezultati do të jetë një.

1 OSE 1 = 1; 1 OSE 0 = 1; 0 OSE 1 = 1; 0 OSE 0 = 0.

Operacioni XOR ose XOR

Operacioni "Exclusive OR" ose XOR do të na japë si rezultat një vetëm nëse njëri prej operandëve është i barabartë me një, dhe i dyti është i barabartë me zero. Nëse të dy operandët janë zero, do të ketë zero, dhe edhe nëse të dy operandët janë të barabartë me një, rezultati është zero.

Shkruani numrin në binar dhe fuqitë e dy nga e djathta në të majtë. Për shembull, ne duam të konvertojmë numrin binar 10011011 2 në dhjetor. Le ta shkruajmë së pari. Më pas shkruajmë fuqitë e dy nga e djathta në të majtë. Le të fillojmë me 2 0, që është e barabartë me "1". Ne e rrisim shkallën me një për çdo numër tjetër. Ne ndalojmë kur numri i elementeve në listë është i barabartë me numrin e shifrave në një numër binar. Numri ynë i shembullit, 10011011, përfshin tetë shifra, kështu që një listë me tetë elementë do të duket kështu: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Shkruani shifrat e numrit binar nën fuqitë përkatëse të dy. Tani thjesht shkruani 10011011 nën numrat 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 dhe 1 në mënyrë që çdo shifër binare të korrespondojë me fuqinë e saj prej dy. "1" më e djathta e një numri binar duhet të përputhet me "1" më të djathtë të fuqive të dy, e kështu me radhë. Nëse preferoni, mund të shkruani një numër binar mbi fuqitë e dy. Gjëja më e rëndësishme është që ato të përputhen me njëri-tjetrin.

Lidhni shifrat binare me fuqitë përkatëse të dy. Vizatoni vija (nga e djathta në të majtë) që lidhin çdo shifër pasuese në numrin binar me fuqinë e dy mbi të. Filloni të vizatoni vija duke lidhur shifrën e parë të një numri binar me fuqinë e parë prej dy mbi të. Pastaj, vizatoni një vijë nga shifra e dytë e numrit binar në fuqinë e dytë të dy. Vazhdoni të lidhni secilën shifër me fuqinë përkatëse të dy. Kjo do t'ju ndihmojë të shihni vizualisht marrëdhënien midis dy grupeve të ndryshme të numrave.

Shkruani vlerën përfundimtare të çdo fuqie të dy. Kaloni nëpër secilën shifër të numrit binar. Nëse numri është 1, shkruani fuqinë përkatëse të dyve poshtë numrit. Nëse ky numër është 0, shkruajeni nën numrin 0.

• Meqenëse "1" përputhet me "1", mbetet "1". Meqenëse "2" përputhet me "1", mbetet "2". Meqenëse "4" është "0", bëhet "0". Meqenëse "8" korrespondon me "1", bëhet "8", dhe meqenëse "16" korrespondon me "1", bëhet "16". "32" korrespondon me "0" dhe bëhet "0", "64" korrespondon me "0" dhe prandaj bëhet "0", ndërsa "128" korrespondon me "1" dhe bëhet 128.