Llogaritja e proceseve kalimtare në qarqet elektrike lineare me metodën e variablave të gjendjes
Kjo është metoda më universale për llogaritjen e qarqeve jolineare dhe jolineare. Metoda përdoret për llogaritjen e qarqeve të rendit të lartë kur përdorimi i metodave të tjera të llogaritjes është jopraktik ose praktikisht i pamundur. Metoda e variablave të gjendjes bazohet në zgjidhjen e ekuacioneve të gjendjes (të rendit të parë) të shkruara në formën Cauchy. Për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve të rendit të parë, janë zhvilluar metoda numerike që bëjnë të mundur automatizimin e llogaritjes së proceseve kalimtare me kompjuter. Kështu, metoda e variablave të gjendjes është një nga llogaritjet e proceseve kalimtare, e fokusuar kryesisht në përdorimin e kompjuterëve.
Për një qark linear me parametra të grumbulluar konstante, rryma e secilës degë, tensioni midis terminaleve, ngarkesa në pllaka, kondensatori, etj. mund të gjenden si zgjidhje e ekuacionit diferencial të hartuar për këtë rrymë, tension, ngarkesa, etj., duke përjashtuar rrymat dhe sforcimet e tjera nga sistemi i ekuacioneve Kirchhoff:
Prezantimi i variablave
Ekuacioni (1.1) redukton në një sistem ekuivalent ekuacionesh diferenciale të rendit të parë:
(1.2)
Këtu variablat, të cilët quhen variabla të gjendjes, janë ndryshorja X dhe derivatet e saj. Supozohet se qarku ka vetëm burime të pavarura dhe nuk përmban seksione induktive dhe qarqe kapacitive. Përndryshe, shkrimi i ekuacioneve bëhet shumë më i vështirë.
1. Formimi i ekuacioneve të variablave të gjendjes
Gjendja energjetike e qarkut, dhe rrjedhimisht procesi kalimtar në çdo qark, përcaktohet nga energjia e fushës magnetike të ruajtur në induktancë dhe energjia e fushës elektrike të ruajtur në kapacitete. Rezervat e energjisë në elementet reaktive përcaktojnë rrymat në induktancat dhe tensionet e kapaciteteve, d.m.th. ato përcaktojnë gjendjen energjetike të qarkut dhe për këtë arsye merren si variabla të gjendjes së pavarur.
Çdo sistem ekuacionesh që përcakton gjendjen e qarkut quhet ekuacione të gjendjes. Rrymat në elementët induktivë 
dhe tensioni në elementët kondensativ 
paraqesin kushte fillestare të pavarura 
zinxhirë dhe duhet të njihen ose të llogariten. Nëpërmjet tyre shprehen sasitë e dëshiruara gjatë procesit të tranzicionit.
Burimet operative të energjisë quhen zakonisht sasi hyrëse 
, dhe vlerat e dëshiruara (rrymat dhe tensionet) - vlerat e daljes 
.
Për zinxhir me n rryma të pavarura 
dhe streset 
ende duhet pyetur n kushtet fillestare të pavarura. Për operacionet me një numër të madh variablash, përdoren metodat e llogaritjes së matricës.
Shkurtimisht, ekuacionet diferenciale të gjendjes që përshkruajnë qarkun sipas ligjeve të Kirchhoff janë shkruar në formën e matricës:
, (1.3)
ku X është një vektor kolone (me madhësi n x 1) të variablave të gjendjes arbitrare; V - vektori i kolonës (madhësia m x 1) i ndikimeve të jashtme (EMF dhe rrymat e burimit); A - matricë katrore e rendit n (bazë); B - matrica e lidhjes ndërmjet hyrjeve të qarkut dhe variablave të gjendjes (madhësia n x m). Elementet e këtyre matricave përcaktohen nga topologjia dhe parametrat e qarkut 
,m - numri i hyrjeve, n - numri i variablave të gjendjes.
Për vlerat e daljes (nëse nuk përcaktohen rrymat në induktancat dhe tensionet në elementët kondensativ), është e nevojshme të shtoni një ekuacion tjetër në formën e matricës:
(1.4)
ku Y është një vektor - një kolonë e rrymave dhe tensioneve të dëshiruara në dalje (dimensionet 1 x 1), 1 - numri i daljeve; C - matrica e lidhjes së variablave të gjendjes me daljet e qarkut (n x 1); D - matrica e lidhjes direkte të hyrjeve dhe daljeve të qarkut (madhësia 1 x m). Elementet e matricave varen nga topologjia dhe vlerat e parametrave të qarkut 
.
Sistemi i ekuacioneve të matricës
;
(1.5)
mund të paraqitet në formën e një bllok diagrami (Fig. 1.3).
1.1. Përpilimi i ekuacioneve të gjendjes së qarkut
metoda e mbivendosjes
Le të jepet diagrami i qarkut pas ndërrimit
Supozojmë se janë dhënë variablat e gjendjes. Qarku në shqyrtim (Fig. 2) zëvendësohet pas ndërrimit nga një ekuivalent (Fig. 3), për të cilin rryma e dhënë 
përfaqësuar nga një burim aktual 
, tension i specifikuar 
burimi i tensionit 
.
Duke aplikuar metodën e mbivendosjes (zgjidhen drejtimet pozitive), shkruajmë sforcimet 
dhe rrymave 
(së pari merrni parasysh veprimin e burimit 
pastaj 
dhe burime të mëtejshme që veprojnë në qark).
Nga veprimi 
:
;
;
nga veprimi 
:
;
;
nga veprimi e:
;
,
dhe rryma totale 
dhe tensioni.
(1.6)
Duke pasur parasysh se 
dhe 
marrim
d.m.th., e shkruajmë ekuacionin (1.7) në formë matrice
(1.8)
1.2. Përpilimi i ekuacioneve të gjendjes së qarkut duke përdorur
Ligjet e Kirchhoff-it
Ekuacionet (1.7) mund të merren gjithashtu nga ekuacionet Kirchhoff duke përjashtuar rrymat dhe tensionet e elementeve rezistente. Sipas ligjeve Kirchhoff, ne i shkruajmë ekuacionet për qarkun (shih Fig. 2) në formën
(1.9)
Le të zgjidhim ekuacionin e parë të sistemit në lidhje me 
, në të tretën, duke marrë parasysh se 
, relativisht 
. Pastaj
(1.10)
Variablat 
dhe 
janë variablat e gjendjes për qarkun në fjalë. Në anën e djathtë të sistemit (1.10) ka një variabël 
,
jo një variabël i pavarur shtetëror. Për ta eliminuar atë, ne rishkruajmë ekuacionin e dytë të sistemit (1.9) në formë
(1.11)
dhe vendoseni këtu 
.
Vlera aktuale e marrë nga (1.11)
(1.12)
le të zëvendësojmë në sistemin (1.10).
Merrni një sistem ekuacionesh në variablat e gjendjes 
për qarkun në studim
(1.13)
ku X, X, V, A, B i përgjigjen sistemit të ekuacioneve (1.7).
Lëreni në shembullin në shqyrtim që kërkohet të përcaktohen rrymat 
dhe 
. Rrjedhimisht 
dhe 
do të jenë sasitë dalëse të qarkut dhe ato duhet të paraqiten në formë 
,
.Rryma 
tashmë të përcaktuara në formën e kërkuar (1.12), dhe rryma 
.Pastaj sistemi i dytë i ekuacioneve në variablat e gjendjes 
do të marrë formën
(1.14)
Në formën e matricës, sistemi i ekuacioneve (1.14) mund të shkruhet si
(1.15)
Në një rast të veçantë, nëse variablat e prodhimit janë variabla të gjendjes 
atëherë matrica C merr formën e një matrice diagonale, dhe elementet e matricës D janë të barabarta me zero.
Ekuacionet e gjendjes zgjidhen në kompjuter me metoda numerike.
Studioni materialin teorik në literaturën arsimore:; dhe përgjigjuni pyetjeve të mëposhtme:
1. Cilat variabla në një qark elektrik zakonisht merren si variabla të gjendjes?
2. Sa sisteme ekuacionesh përbëjnë kur zgjidhet problema me metodën e variablave të gjendjes?
3. Çfarë varësish vendosen në sistemin e parë dhe të dytë të ekuacioneve gjatë zgjidhjes së problemit me metodën e variablave të gjendjes?
4. Cili nga dy sistemet është sistem ekuacionesh diferenciale, algjebrike?
5. Cilat metoda përdoren për të marrë ekuacionet e gjendjes dhe ekuacionet e parametrave të prodhimit?
Gjatë llogaritjes së procesit kalimtar duke përdorur metodën e ndryshores së gjendjes, rekomandohet rendi i mëposhtëm:
1. Zgjidhni variablat e gjendjes. Në qarqet e propozuara për llogaritje, këto janë tensione në elementët kapacitiv dhe rryma në mbështjellje induktive.
2. Hartoni një sistem ekuacionesh diferenciale për derivatet e para të variablave të gjendjes.
Për ta bërë këtë, përshkruani qarkun pas ndërrimit duke përdorur ligjet e Kirchhoff dhe zgjidhni atë në lidhje me derivatet e parë të variablave të gjendjes dhe në varësi të variablave dhe burimeve emf. (në skemat e propozuara, burimi emf është i vetmi).
Në formën e matricës, ky sistem i ekuacioneve diferenciale të rendit të parë do të duket si:
, (8.1)
ku është kolona e derivateve, ;
X– vektori - kolona e variablave të gjendjes.
Në zinxhirë të rendit të dytë:
është një matricë katrore e rendit n përcaktohet nga topologjia e qarkut elektrik dhe parametrat e elementeve të tij. Në zinxhirët e rendit të dytë, kjo matricë ka rendin 2´2.
Matrica është një matricë drejtkëndore e rendit, ku n- renditja e zinxhirit.
Matrica - kolona - përcaktohet nga burimet emf. dhe burimet e rrymave të qarkut dhe quhet vektori i vlerave hyrëse.
3. Hartoni një sistem ekuacionesh algjebrike për ndryshoret e dëshiruara, të cilat quhen fundjavë. Këto janë rryma në çdo degë të qarkut (përveç rrymës) dhe tensione në çdo element të qarkut (përveç tensionit). Ekuacionet algjebrike që rezultojnë vendosin marrëdhënie midis variablave të daljes, nga njëra anë, dhe variablave të gjendjes dhe burimeve të tensionit dhe rrymës në qark, nga ana tjetër. Në formën e matricës, ky sistem ekuacionesh algjebrike ka formën
,
ku është vektori i vlerave të daljes;
– matricat e përcaktuara nga topologjia e qarkut elektrik, parametrat e elementeve të tij dhe numri i variablave të kërkuar.
Ekuacionet e gjendjes mund të quhen çdo sistem ekuacionesh që përcaktojnë mënyrën e qarkut. Në një kuptim më të ngushtë, është një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të parë të zgjidhura në lidhje me derivatet.
Metoda e variablave të gjendjes është analiza e një qarku bazuar në zgjidhjen e ekuacioneve të gjendjes (të rendit të parë) të shkruara në formën Cauchy. Kështu, metoda e variablave të gjendjes është një nga metodat për llogaritjen e proceseve kryesisht kalimtare. Më tej, supozohet se qarku ka vetëm burime të pavarura dhe nuk përmban seksione induktive dhe qarqe kapacitive. Përndryshe, shkrimi i ekuacioneve bëhet shumë më i vështirë.
Për një qark linear me parametra të grumbulluar konstante, rryma e secilës degë, voltazhi midis terminaleve të zgjedhur, ngarkesa në pllakat e kondensatorit, etj. mund të gjenden gjithmonë si zgjidhje për ekuacionin diferencial të përpiluar për këtë rrymë, tension, ngarkesë. , etj. (për shembull, duke përjashtuar rrymat dhe tensionet e tjera nga sistemi i ekuacioneve Kirchhoff):
Duke futur variabla, ky ekuacion reduktohet në një sistem ekuivalent të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë:
Këtu variablat, të cilët quhen variabla të gjendjes, janë ndryshorja x dhe derivatet e saj.
Siç e dini, procesi kalimtar në çdo qark, me përjashtim të parametrave të tij (vlerat r, L, C, M) dhe burimeve të funksionimit, përcaktohet nga kushtet fillestare të pavarura (t \u003d 0) - rrymat në elementët induktivë dhe tensionet mbi elementët kapacitiv, të cilët duhet të njihen ose të llogariten. Nëpërmjet tyre shprehen vlerat e dëshiruara gjatë procesit të tranzicionit. Ata gjithashtu përcaktojnë gjendjen energjetike të qarkut. Prandaj, këshillohet të zgjidhni rrymat dhe tensionet si variabla të gjendjes. Burimet vepruese mund të quhen sasi hyrëse 
, vlerat e dëshiruara - prodhimi 
. Për një qark me n rryma dhe tensione të pavarura, duhet të specifikohen n kushte fillestare më të pavarura.
Shkurtimisht, ne shkruajmë ekuacionet diferenciale të gjendjes në formën e matricës si më poshtë:
ose më të shkurtër
ku X është një matricë kolone (me madhësi n x 1) e variablave të gjendjes (vektori i variablave të gjendjes); F - matricë-kolona (madhësia m x 1) EMF dhe rrymat e burimit (shqetësimet e jashtme); A - matricë katrore e rendit n (bazë); B është një matricë n x m (matrica e lidhjes). Elementet e këtyre matricave përcaktohen nga topologjia dhe parametrat e qarkut.
Për vlerat e daljes (nëse nuk përcaktohen rrymat në induktiv dhe tensionet në elementët kapacitiv) në formë matrice, sistemi i ekuacioneve algjebrike ka formën
ose më të shkurtër
ku W është një matricë kolone (me madhësi l x 1); M - matrica e lidhjes (me madhësi l x n); N është matrica e lidhjes (me madhësi l x m).
Elementet e matricave varen nga topologjia dhe parametrat e qarkut. Për ekuacionet e gjendjes, janë zhvilluar edhe algoritme kompjuterike për formimin bazuar në topologjinë dhe vlerat e parametrave.
Ekuacionet në formën e matricës (14.91) mund të shkruhen, për shembull, duke përdorur metodën e mbivendosjes. Për të marrë varësi ndërmjet derivateve të variablave të gjendjes, d.m.th. 
dhe variablat e gjendjes , si dhe rrymat EMF dhe burimi që veprojnë në qark, do të supozojmë se janë dhënë variablat e gjendjes. Qarku në shqyrtim, për shembull në Fig. 14.41, a, pas ndërrimit, e zëvendësojmë me një ekuivalente (Fig. 14.41.6), në të cilën çdo rrymë e dhënë përfaqësohet nga një burim aktual dhe çdo tension i dhënë përfaqësohet nga një burim tensioni (EMF). Duke aplikuar metodën e mbivendosjes (zgjidhen drejtimet pozitive), ne shkruajmë tensionet dhe rrymat (së pari, marrim parasysh veprimin e burimeve, pastaj dhe më pas burimet që veprojnë në qark):
Që atëherë
Natyrisht, ekuacionet (14.93) mund të merren edhe nga ekuacionet Kirchhoff duke përjashtuar rrymat dhe tensionet e elementeve rezistente. Megjithatë, zgjidhja e përbashkët e ekuacioneve Kirchhoff bëhet gjithnjë e më e rëndë me rritjen e numrit të degëve të zinxhirit.
Ekuacionet e gjendjes mund të formohen menjëherë në formë matrice.
Nëse nuk ka burime aktuale dhe EMF, d.m.th. F = 0, atëherë ekuacionet (14.91) thjeshtohen
dhe karakterizojnë proceset e lira në zinxhir. Zgjidhjen e shkruajmë në formë
ku X (0) - matrica-kolona e vlerave fillestare të variablave të gjendjes; - funksioni eksponencial i matricës.
Duke zëvendësuar (14.94) në (14.91c), ne sigurohemi që të marrim një identitet.
Gjatë zgjidhjes së ekuacionit (14.91) përfaqësojmë në formë
ku Ф(t) është një funksion matricor i zinxhirit. Pas diferencimit (14.95) marrim
Krahaso (14.96) me (14.91a)
dhe, duke shumëzuar me , pas integrimit gjejmë se
ku q është ndryshorja e integrimit, ose
Zëvendësoni këtë shprehje në (14.95):
Në veçanti, për t = 0 kemi 
Prandaj, zgjidhja për variablat e gjendjes shkruhet si
(reaksioni i zinxhirit është i barabartë me shumën e reaksioneve në hyrjen zero dhe në gjendjen fillestare zero).
Kjo zgjidhje mund të merret edhe duke aplikuar metodën e operatorit për llogaritjen e kalimtareve, e cila është konsideruar në seksion.
Vlerat e daljes mund të gjenden nga (14.92).
Nëse gjendja e qarkut vendoset jo në t = 0, por në , atëherë në (14.97) termi i parë shkruhet si më poshtë: , dhe kufiri i poshtëm i integralit nuk është 0, por t.
Vështirësia kryesore e llogaritjes qëndron në llogaritjen e funksionit eksponencial të matricës. Një nga mënyrat është kjo: së pari gjejmë eigenvlerat l të matricës A, d.m.th. rrënjët e ekuacionit
ku 1 është matrica e identitetit të rendit n, të cilat përcaktohen nga ekuacioni
ku janë elementet e matricës A.
Vlerat vetjake përkojnë me rrënjët e ekuacionit karakteristik të qarkut.
Eksponenti i matricës, argumenti i të cilit është matrica At, e rendit n, mund të përfaqësohet nga një numër i kufizuar n termash. Nëse vlerat vetjake janë të ndryshme, atëherë
ku janë funksionet e kohës; 
etj.
Më në fund, duke përcaktuar nga (14.100), nga (14.99) gjejmë dhe më pas X (t) me (14.97).
Shembulli 14.6. Përcaktoni rrymën në qark në fig. 14.42 pas kalimit në .
Zgjidhje. Ne zgjedhim drejtimet pozitive të rrymave në elementët induktivë, pra variablat e gjendjes dhe rrymën. Kushtet fillestare të pavarura: . Ekuacionet diferenciale të qarkut
Duke eliminuar rrymën, marrim ekuacionet për derivatet e variablave të gjendjes:
dmth sipas (14.91)
dhe matrica-kolona e vlerave fillestare
Le të llogarisim vlerat vetjake; nga (14.98)
ku . Nëse barazojmë me zero përcaktuesin kryesor të ekuacioneve me variablat e gjendjes, atëherë marrim të njëjtat vlera 
.
Koeficientët ak i gjejmë me (14.100), d.m.th., nga sistemi i ekuacioneve
Vlerat aktuale të llogaritura në momente 
sekonda për një interval kohor prej 0 - 0,1 s, në fund të të cilit rryma ndryshon nga gjendja e qëndrueshme me më pak se 1,5%, janë dhënë në tabelë. 14.1. Gjatë llogaritjes, numrat shkruheshin me 8 shifra dhe në të gjitha formulat e dhëna në shembull dhe në tabelë. 14.1 tregohen me rrumbullakim.
Tabela 14.1
Nëse midis n vlerave vetjake të matricës A ka q shumëfish, atëherë për n - q rrënjë të ndryshme, përpilohet sistemi (14.100), dhe për q shumëfishat, ekuacionet merren pas llogaritjes së derivateve të parë q - 1 në lidhje me te të dyja pjesët e ekuacionit me rrënjën, d.m.th.
Bazat > Bazat teorike të inxhinierisë elektrike
Metoda e variablave të gjendjes
Ekuacionet e gjendjesmund të quhet çdo sistem ekuacionesh që përcaktojnë regjimin e qarkut. Në një kuptim më të ngushtë, është një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të parë të zgjidhura në lidhje me derivatet.
Metoda e variablave të gjendjes është analiza e një qarku bazuar në zgjidhjen e ekuacioneve të gjendjes (të rendit të parë) të shkruara në formën Cauchy. Kështu, metoda e variablave të gjendjes është një nga metodat për llogaritjen e proceseve kryesisht kalimtare. Më tej, supozohet se qarku ka vetëm burime të pavarura dhe nuk përmban seksione induktive dhe qarqe kapacitive. Përndryshe, shkrimi i ekuacioneve bëhet shumë më i vështirë.
Për një qark linear me parametra të grumbulluar konstante, rryma e secilës degë, voltazhi midis terminaleve të zgjedhur, ngarkesa në pllakat e kondensatorit, etj. mund të gjenden gjithmonë si zgjidhje për ekuacionin diferencial të përpiluar për këtë rrymë, tension, ngarkesë. , etj. (për shembull, duke përjashtuar rrymat dhe tensionet e tjera nga sistemi i ekuacioneve Kirchhoff):
Prezantimi i variablaveky ekuacion reduktohet në një sistem ekuivalent ekuacionesh diferenciale të rendit të parë:
Këtu quhen ndryshoretvariablat e gjendjes, janë ndryshorja x dhe derivatet e saj.
Siç e dini, procesi kalimtar në çdo qark, përveç parametrave të tij (vlerat r , L, C, M) dhe burimet aktive[
e(t) dhe J(t)], përcaktohet nga kushtet fillestare të pavarura (t = 0) - rrymat në elementet induktivedhe tensionet në elementët kondensativ, të cilat duhet të njihen ose të llogariten. Nëpërmjet tyre shprehen vlerat e dëshiruara gjatë procesit të tranzicionit. Ata gjithashtu përcaktojnë gjendjen energjetike të qarkut. Prandaj, këshillohet të zgjidhni rrymat si variabla të gjendjes dhe stresi . Burimet vepruese mund të quhen sasi hyrëse
, vlerat e dëshiruara - prodhimi
. Për një zinxhir me n rryma të pavarura dhe streset ende duhet pyetur n kushtet fillestare të pavarura.
Shkurtimisht, ne shkruajmë ekuacionet diferenciale të gjendjes në formën e matricës si më poshtë:
ose më të shkurtër
ku X është një matricë kolone (me madhësi n x 1) variablat e gjendjes (vektori i variablave të gjendjes); F - matricë-kolona (madhësia m x 1) EMF dhe rrymat e burimit (shqetësimet e jashtme); A është një matricë katrore e rendit n (kryesore); B - matrica e madhësisë n x m (matrica e lidhjes). Elementet e këtyre matricave përcaktohen nga topologjia dhe parametrat e qarkut.
Për vlerat e daljes (nëse nuk përcaktohen rrymat në induktiv dhe tensionet në elementët kapacitiv) në formë matrice, sistemi i ekuacioneve algjebrike ka formën
ose më të shkurtër
ku W është një matricë kolone (me madhësi l x 1 ); M - matrica e komunikimit (me madhësi l x n ); N - matrica e lidhjes (me madhësi l x m ).
Elementet e matricave varen nga topologjia dhe parametrat e qarkut. Për ekuacionet e gjendjes, janë zhvilluar edhe algoritme kompjuterike për formimin bazuar në topologjinë dhe vlerat e parametrave.
Ekuacionet në formën e matricës (14.91) mund të shkruhen, për shembull, duke përdorur metodën e mbivendosjes. Për të marrë varësi ndërmjet derivateve të variablave të gjendjes, d.m.th.
dhe variablat e gjendjes, si dhe rrymat EMF dhe burimi që veprojnë në qark, do të supozojmë se janë dhënë variablat e gjendjes. Qarku në shqyrtim, për shembull në Fig. 14.41, a, pas ndërrimit, ne do të zëvendësojmë atë ekuivalentin (Fig. 14.41.6), në të cilën çdo rrymë e dhënëpërfaqësuar nga një burim aktual,
dhe çdo tension të dhënë- Burimi i tensionit (EMF). Duke aplikuar metodën e mbivendosjes (zgjidhen drejtimet pozitive), shkruajmë sforcimet dhe rrymave (së pari marrim parasysh veprimin e burimeve pastaj dhe burime të tjera që veprojnë në qark):
Që atëherë
Natyrisht, ekuacionet (14.93) mund të merren edhe nga ekuacionet Kirchhoff duke përjashtuar rrymat dhe tensionet e elementeve rezistente. Megjithatë, zgjidhja e përbashkët e ekuacioneve Kirchhoff bëhet gjithnjë e më e rëndë me rritjen e numrit të degëve të zinxhirit.
Ekuacionet e gjendjes mund të formohen menjëherë në formë matrice.
Nëse nuk ka burime aktuale dhe EMF, d.m.th. F = 0, atëherë ekuacionet (14.91) thjeshtohen
dhe karakterizojnë proceset e lira në zinxhir. Zgjidhjen e shkruajmë në formë
ku X (0) - matrica-kolona e vlerave fillestare të variablave të gjendjes; - funksioni eksponencial i matricës.
Duke zëvendësuar (14.94) në (14.91c), ne sigurohemi që të marrim një identitet.
Nëzgjidhjen e ekuacionit (14.91) e paraqesim në formën
ku Ф(t ) është një funksion matricor i zinxhirit. Pas diferencimit (14.95) marrim
Krahaso (14.96) me (14.91a)
dhe duke shumëzuar me , pas integrimit konstatojmë se
ku q është ndryshorja e integrimit, ose
Zëvendësoni këtë shprehje në (14.95):
Në veçanti, për t = 0 kemi
Prandaj, zgjidhja për variablat e gjendjes shkruhet si
(reaksioni i zinxhirit është i barabartë me shumën e reaksioneve në hyrjen zero dhe në gjendjen fillestare zero).
Kjo zgjidhje mund të merret edhe duke aplikuar metodën e operatorit për llogaritjen e kalimtareve, e cila është konsideruar në seksion.
Vlerat e daljes mund të gjenden nga (14.92).
Nëse gjendja e qarkut specifikohet jo në t = 0, por në, atëherë në (14.97) termi i parë shkruhet si më poshtë:, dhe kufiri i poshtëm i integralit nuk është 0, por t .
Vështirësia kryesore e llogaritjes qëndron në llogaritjen e funksionit eksponencial të matricës. Një nga mënyrat është kjo: së pari gjejmë eigenvalues l matricat A, d.m.th., rrënjët e ekuacionit
ku 1 është matrica e identitetit të rendit n të cilat përcaktohen nga ekuacioni
ku - Elementet e matricës A.
Eigenvlerat përkojnë me rrënjëtekuacioni karakteristik i qarkut.
Eksponenti i matricës, argumenti i të cilit është matrica A t , e cila ka rendin n , e përfaqësuar me një numër të fundëm n kushtet. Nëse vlerat vetjake janë të ndryshme, atëherë
ku - funksionet e kohës;
etj.
Tjetra për të përcaktuarpërpiloni një sistem algjebrik n ekuacione
Së fundi, duke përcaktuarnga (14.100), nga (14.99) gjejmëdhe pastaj X (t) nga (14.97).
Shembulli 14.6. Përcaktoni rrymën në qark në Fig. 14.42 pas kalimit në.
Zgjidhje. Zgjedhja e drejtimeve pozitive të rrymavenë elementët induktivë, pra variablat e gjendjes dhe rrymën. Kushtet fillestare të pavarura:. Ekuacionet diferenciale të qarkut
Duke përjashtuar rrymën , marrim ekuacione për derivatet e variablave të gjendjes:
dmth sipas (14.91)
dhe matrica-kolona e vlerave fillestare
Le të llogarisim vlerat vetjake; nga (14.98)
ku . Nëse barazojmë me zero përcaktuesin kryesor të ekuacioneve me variablat e gjendjes, atëherë marrim të njëjtat vlera
.
Koeficientët ak i gjejmë me (14.100), d.m.th., nga sistemi i ekuacioneve
Vlerat aktuale llogaritur në momente
sekonda për një interval kohor prej 0 - 0,1 s, në fund të të cilit rryma ndryshon nga gjendja e qëndrueshmemë pak se 1.5% janë dhënë në tabelë. 14.1. Gjatë llogaritjes, numrat shkruheshin me 8 shifra dhe në të gjitha formulat e dhëna në shembull dhe në tabelë. 14.1 tregohen me rrumbullakim.
Tabela 14.1
0,005 |
0,010 |
0,015 |
0,020 |
0,025 |
0,030 |
0,035 |
0,040 |
0,045 |
0,050 |
|
1,079 |
1,213 |
1,343 |
1,455 |
1,550 |
1,628 |
1,692 |
1,746 |
1,790 |
1,827 |
|
0,055 |
0,060 |
0,065 |
0,070 |
0,075 |
0,080 |
0,085 |
0,090 |
0,095 |
0,100 |
|
, pastaj për n - q rrënjë të ndryshme, përpilohet sistemi (14.100) dhe për q fitohen ekuacione të shumëfishta pas llogaritjes së derivateve të para q - 1 në lidhje menga të dyja anët e ekuacionit me rrënjë, d.m.th. 
Nëse ka vetëm një burim të EMF (ose rrymë) në qark, që përfaqëson një kërcim të vetëm 1( t ), pra F(t)=1(t ), dhe kushtet fillestare janë zero, atëherë zgjidhja (14.97) mund të shkruhet si
Për vlerat e daljes sipas (14.92a), marrim Këto do të jenë funksionet e tranzicionit të zinxhirit h(t). Funksionet e tranzicionit të pulsit k(t ) përcaktohen nga (14.84) ose (14.85).Një mënyrë më e përgjithshme për të llogaritur funksionin eksponencial të matricës është ta paraqesim atë si një seri të pafundme por seria konvergjon ngadalë për t të mëdha. Kur kufizohet në një numër të kufizuar termash, llogaritja reduktohet në shumëzimin dhe mbledhjen e matricave. Operacione të tilla janë në softuerin matematikor të kompjuterit. Një metodë e njohur për llogaritjen e një funksioni eksponencial të matricës bazuar në kriterin Silverst. Ekuacionet e gjendjes së qarqeve, rendi i të cilave është më shumë se dy ose tre, janë më të lehta për t'u zgjidhur jo me metoda analitike, por me metoda numerike, të cilat bëjnë të mundur automatizimin e llogaritjes në rastin e përdorimit të një kompjuteri. |
Metoda e ndryshores së gjendjes (e njohur ndryshe si metoda e hapësirës së gjendjes) bazohet në dy ekuacione të shkruara në formë matrice.
Struktura e ekuacionit të parë përcaktohet nga fakti se ai lidh matricën e derivateve të herës së parë të variablave të gjendjes me matricat e vetë variablave të gjendjes dhe ndikimet e jashtme dhe, të cilat konsiderohen e. d.s. dhe rrymat burimore.
Ekuacioni i dytë është në strukturën e tij algjebrike dhe lidh matricën e vlerave të prodhimit y me matricat e variablave të gjendjes dhe ndikimet e jashtme u.
Duke përcaktuar variablat e gjendjes, ne vërejmë vetitë e mëposhtme
1. Si variabla të gjendjes në qarqet elektrike, duhet zgjedhur rrymat në induktancat dhe tensionet në kapacitetet, dhe jo në të gjitha induktancat dhe jo në të gjitha kapacitetet, por vetëm për ato të pavarura, d.m.th. ato që përcaktojnë rendin e përgjithshëm të sistemit të ekuacioneve diferenciale. të qarkut.
2. Ekuacionet diferenciale të qarkut në lidhje me variablat e gjendjes shkruhen në formë kanonike, d.m.th., ato paraqiten si të zgjidhura në lidhje me derivatet e para të variablave të gjendjes në lidhje me kohën.
Vini re se vetëm kur rrymat k në induktancat e pavarura dhe tensionet në kapacitetet e pavarura zgjidhen si variabla të gjendjes, ekuacioni i parë i metodës së variablave të gjendjes do të ketë strukturën e treguar më sipër.
Nëse rrymat në degët me kapacitete ose rrymat në degët me rezistenca, si dhe tensionet në induktancat ose tensionet në rezistencë, zgjidhen si variabla të gjendjes, atëherë ekuacioni i parë i metodës së variablave të gjendjes mund të përfaqësohet edhe në formë kanonike, d.m.th. të zgjidhura në lidhje me derivatet e parë në lidhje me kohën këto madhësi. Sidoqoftë, struktura e anëve të tyre të djathtë nuk do të korrespondojë me përkufizimin e dhënë më sipër, pasi ato do të përfshijnë gjithashtu matricën e derivateve të parë të ndikimeve të jashtme.
3. Numri i variablave të gjendjes është i barabartë me rendin e sistemit të ekuacioneve diferenciale të qarkut elektrik në studim.
4. Zgjedhja e gjendjeve të rrymave dhe tensioneve si variabla është gjithashtu e përshtatshme sepse, sipas ligjeve të komutimit (§ 13-1), janë këto sasi që nuk ndryshojnë papritur në momentin e ndërrimit, d.m.th. e njëjta gjë për momentet e kohës
5. Variablat e gjendjes quhen keshtu sepse ne cdo moment kohe vendosin gjendjen energjetike te qarkut elektrik, pasi ky i fundit percaktohet nga shuma e shprehjeve.
6. Paraqitja e ekuacioneve në formë kanonike është shumë e përshtatshme gjatë zgjidhjes së tyre në kompjuterë analogë dhe për programim gjatë zgjidhjes së tyre në kompjuterë dixhitalë. Prandaj, një paraqitje e tillë është shumë e rëndësishme gjatë zgjidhjes së këtyre ekuacioneve me ndihmën e teknologjisë moderne kompjuterike.
Le të tregojmë në shembullin e qarkut në Fig. 14-14 si përbëhen ekuacionet duke përdorur metodën e ndryshores së gjendjes.
Së pari, marrim një sistem ekuacionesh diferenciale që korrespondojnë me ekuacionin e parë të matricës të metodës, dhe më pas e shkruajmë atë në formë matrice. Algoritmi për përpilimin e këtyre ekuacioneve për çdo qark elektrik është si më poshtë. Së pari, ekuacionet shkruhen sipas ligjeve të Kirchhoff-it ose sipas metodës së rrymave të lakut; më pas zgjidhen variablat e gjendjes dhe duke diferencuar ekuacionet origjinale dhe duke eliminuar variablat e tjerë, marrim
zhvillohen ekuacionet e metodës së variablave të gjendjes. Ky algoritëm është shumë i ngjashëm me atë të përdorur në metodën klasike të llogaritjes së kalimtarëve për të marrë një ekuacion diferencial që rezulton në lidhje me një nga variablat.
Në raste të veçanta, kur nuk ka qarqe kapacitiv në qark, pra qarqe, të gjitha degët e të cilave përmbajnë kapacitete dhe nuk ka nyje me degë të bashkangjitura, secila prej të cilave ka induktancë të përfshirë, mund të specifikohet një algoritëm tjetër. Pa u ndalur në të, vëmë re vetëm se bazohet në zëvendësimin e kapaciteteve nga burimet e e. d.s., induktancat - burimet e rrymës dhe aplikimi i metodës së mbivendosjes.
Për qarkun në Fig. 14-14 sipas ligjeve të Kirchhoff
(14-36)
Duke përcaktuar nga ekuacioni i parë, duke zëvendësuar në të tretën, duke zëvendësuar dhe përfaqësuar ekuacionin diferencial që rezulton në formë kanonik në lidhje me, marrim:
Duke zgjidhur ekuacionin e dytë (14-36) në lidhje me , duke zëvendësuar sipas ekuacionit të parë (14-36) dhe duke zëvendësuar , marrim:
Duke shtuar termin për termin (14-38) me shumëzuar me ekuacionin (14-37) dhe duke përcaktuar nga rezultati i marrë, marrim:
Le të rishkruajmë ekuacionet (14-39) dhe (14-37) në formën e matricës:
(14-4°)
ku për qarkun në shqyrtim kemi:
(14-42a)
Në rastin e përgjithshëm, ekuacioni i parë i metodës së ndryshores së gjendjes në formën e matricës mund të shkruhet si
(14-43)
Matricat A dhe B në qarqet lineare varen vetëm nga parametrat e qarkut, d.m.th., ato janë vlera konstante. Në të njëjtën kohë, A është një matricë katrore e rendit dhe quhet matrica kryesore e qarkut, matrica B është përgjithësisht drejtkëndore, e madhësisë quhet matricë e lidhjes midis hyrjes së qarkut dhe ndryshoreve të gjendjes, matricat janë kolonë matricat ose vektorët e variablave të gjendjes (madhësia dhe shqetësimet e jashtme (madhësia)
Në shembullin në shqyrtim, matrica B doli të ishte katrore e rendit të dytë, pasi numri i variablave të gjendjes është i barabartë me numrin e shqetësimeve të jashtme.
Le të kalojmë në përpilimin e ekuacionit të dytë të metodës.Çdo nga madhësitë mund të zgjidhet si rezultat. Merrni, për shembull, si rezultat tre sasi
Vlerat e tyre do të shkruhen përmes variablave të gjendjes dhe shqetësimeve të jashtme direkt nga ekuacionet (14 36)
(14-44)
ose në formë matrice
ose shkurtuar
(14-46)
ku për qarkun në shqyrtim
dhe në rastin e përgjithshëm, ekuacioni i dytë i metodës së variablave të gjendjes
Matricat C dhe D varen vetëm nga parametrat e qarkut. Në rastin e përgjithshëm, këto janë matrica drejtkëndore, përkatësisht, të madhësive, dhe C quhet matrica e lidhjes së variablave të gjendjes me daljen e qarkut, matrica e lidhjes së drejtpërdrejtë të hyrjes dhe daljes së qarkut (ose sistemit) .
Për një numër sistemesh fizike, D është një matricë zero dhe termi i dytë në (14-48) zhduket, pasi nuk ka të menjëhershme lidhje direkte ndërmjet hyrjes dhe daljes së sistemit.
Nëse marrim, për shembull, rrymën i dhe tensionin si variabla të gjendjes dhe paraqesim ekuacionet diferenciale për to në formë kanonike, atëherë (duke hequr të gjitha transformimet e ndërmjetme) ekuacionet e para të metodës në formën e matricës do të duket kështu:
Kështu, në të vërtetë, ekuacioni i parë i metodës së variablave të gjendjes do të ketë formën (14-43) në formën e matricës vetëm kur zgjedh rrymën dhe tensionin si variabla të gjendjes.
Duke iu kthyer zgjidhjes së ekuacionit diferencial të matricës (14-43), para së gjithash, vërejmë se ajo thjeshtohet veçanërisht nëse matrica bazë katrore A e rendit është diagonale. Pastaj të gjitha ekuacionet diferenciale lineare (14-43) janë të shkëputura, d.m.th. derivatet e variablave të gjendjes varen secili vetëm nga ndryshorja e gjendjes së tyre.
Le të shqyrtojmë fillimisht zgjidhjen e ekuacionit diferencial të matricës johomogjene lineare (14-43) me metodën e operatorit. Për ta bërë këtë, ne e transformojmë atë sipas Laplace:
dhe matrica-kolona e vlerave fillestare të variablave të gjendjes, d.m.th.
(14-53)
të cilat nuk ndryshojnë papritur në momentin e ndërrimit, janë të dhëna dhe të barabarta me vlerat e tyre në moment
Le të rishkruajmë (14-51):
ku është matrica e identitetit të rendit .
Për të marrë një matricë të imazheve të variablave të gjendjes, ne i shumëzojmë të dyja pjesët (14-54) në të majtë me matricën e anasjelltë
Duke iu kthyer origjinaleve duke përdorur transformimin e anasjelltë të Laplace, marrim:
Nga metoda e operatorit dihet se
Për analogji, duke shkruar transformimin e anasjelltë të Laplasit në formë matrice, do të kemi:
ku është matrica e tranzicionit e gjendjes së sistemit, e quajtur ndryshe themelore.
Kështu, origjinalin e termit të parë e gjejmë në anën e djathtë (14-56)
Matrica e anasjelltë përcaktohet duke ndarë matricën e bashkuar ose reciproke me përcaktuesin e matricës kryesore:
ku është ekuacioni
(14-61)
është ekuacioni karakteristik i qarkut në studim.
Origjinali i termit të dytë në anën e djathtë (14-56) gjendet duke përdorur teoremën e konvolucionit në formën e matricës
nëse vihet
Pastaj bazuar në (14-62)-(14-64)
dhe zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të matricës diferenciale johomogjene (14-43) bazuar në (14-56), (14-59) dhe (14-65) do të duket kështu:
(14-66)
Termi i parë i anës së djathtë (14-66) përfaqëson vlerat e variablave të gjendjes ose përgjigjen e qarkut në hyrjen zero, d.m.th., me fjalë të tjera, ai përfaqëson komponentin e parë të proceseve të lira në qark për shkak të mos - zero vlerat fillestare të variablave të gjendjes së qarkut, dhe për këtë arsye është një zgjidhje e ekuacionit. Termi i dytë është përbërësi i reaksionit zinxhir në, d.m.th., në gjendjen zero të zinxhirit.
Gjendja zero e zinxhirit është gjendja e tij kur vlerat fillestare të të gjitha variablave të gjendjes janë të barabarta me zero. Me fjalë të tjera, termi i dytë (14-66) është shuma e reagimit të detyruar të zinxhirit që lind nën ndikimin e ndikimeve të jashtme dhe përbërësi i dytë i proceseve të lira.
Barazia (14-66) do të thotë që reaksioni i zinxhirit është i barabartë me shumën e reaksioneve në hyrjen zero dhe gjendjen zero.
Bazuar në (14-48) dhe (14-66) për vlerat e daljes, kemi.
Nëse gjendja e qarkut jepet jo në momentin , por në momentin , atëherë barazitë (14-66) dhe (14-67) përgjithësohen:
(14-68)
Shembulli 14-5. Për një zinxhir të degëzuar të rendit të dytë, përbëhen ekuacionet e gjendjes
në kushte fillestare jozero dhe me burimin e vetëm të e. d.s.
Gjeni variablat e gjendjes.
Zgjidhje. Le të rishkruajmë ekuacionet e gjendjes në formë matrice
Le të gjejmë së pari komponentët e parë të lirë të variablave të gjendjes në hyrjen zero. Për ta bërë këtë, ne do të kompozojmë matricën
Për të gjetur matricën shoqëruese ose reciproke, ne zëvendësojmë çdo element në matricën e mëparshme me komplementin e tij algjebrik. Marrim matricën
Ne e transpozojmë atë duke gjetur matricën e bashkuar ose reciproke:
Le të gjejmë përcaktorin e matricës
Bazuar në (14-60), matrica e anasjelltë do të jetë:
Le t'ia nënshtrojmë transformimit të Laplasit të anasjelltë, duke marrë parasysh faktin se për këtë është e nevojshme t'i nënshtrohet çdo elementi të tij transformimit të Laplasit të anasjelltë. Bazuar në (14-73), marrim matricën e tranzicionit të gjendjes së qarkut
Për shembull,
Për matricën e tranzicionit të gjendjes së sistemit, marrim:
Për komponentët e parë të lirë të variablave të gjendjes, kemi
Duke përmbledhur rezultatet e marra, gjejmë vlerat e dëshiruara të variablave të gjendjes:
Meqenëse zgjidhja e ekuacionit (14-43) është marrë më sipër dhe është dhënë me formulën (14-66), atëherë për të kontrolluar korrektësinë e zgjidhjes (14-66) dhe për ta përdorur atë për të llogaritur matricën e variablave të gjendjes, mund të së pari duke zëvendësuar drejtpërdrejt (14-66) në (14-43) sigurohuni që kjo e fundit të kthehet në identitet. Për ta bërë këtë, së pari duhet të llogaritni duke diferencuar (14-66). Duke vepruar kështu, marrim:
Tani është e lehtë të verifikohet drejtpërdrejt se (14-66) është me të vërtetë një zgjidhje e ekuacionit diferencial të matricës
Vini re se matrica e tranzicionit të gjendjes së sistemit na lejon të gjejmë në hapësirën e gjendjes, d.m.th., në hapësirën, numri i dimensioneve të së cilës është i barabartë me numrin e përbërësve të vektorit të variablave të gjendjes, lëvizjen duke filluar nga disa pozicione fillestare (në ose në ) dhe vektori përmban informacion të rëndësishëm, pasi përshkruan në të njëjtën kohë të gjitha variablat e gjendjes, d.m.th. funksionet e kohës.
