Ky term ka kuptime të tjera, shih Interpolation. Për funksionin, shih: Interpolant.

Interpolimi, interpolimi (nga lat. interpolis - « i lëmuar, i përtërirë, i përtërirë; konvertuar"") - në matematikën llogaritëse, një metodë për gjetjen e vlerave të ndërmjetme të një sasie nga një grup ekzistues diskret i vlerave të njohura. Termi "interpolim" u përdor për herë të parë nga John Vallis në traktatin e tij Arithmetic of the Infinite (1656).

Në analizën funksionale, interpolimi i operatorëve linearë është një seksion që i konsideron hapësirat Banach si elementë të një kategorie të caktuar.

Shumë prej atyre që merren me llogaritjet shkencore dhe inxhinierike shpesh duhet të punojnë me grupe vlerash të marra në mënyrë empirike ose me kampionim të rastësishëm. Si rregull, në bazë të këtyre grupeve, kërkohet të ndërtohet një funksion mbi të cilin vlerat e tjera të marra mund të bien me saktësi të lartë. Një detyrë e tillë quhet përafrim. Interpolimi është një lloj përafrimi në të cilin kurba e funksionit të ndërtuar kalon saktësisht nëpër pikat e disponueshme të të dhënave.

Ekziston gjithashtu një problem afër interpolimit, i cili konsiston në përafrimin e një funksioni kompleks me një funksion tjetër më të thjeshtë. Nëse një funksion i caktuar është shumë i ndërlikuar për llogaritjet produktive, mund të përpiqeni të llogarisni vlerën e tij në disa pika dhe të ndërtoni, domethënë të ndërfusni, një funksion më të thjeshtë prej tyre. Sigurisht, përdorimi i një funksioni të thjeshtuar nuk ju lejon të merrni të njëjtat rezultate të sakta siç do të jepte funksioni origjinal. Por në disa klasa problemesh, fitimi në thjeshtësinë dhe shpejtësinë e llogaritjeve mund të tejkalojë gabimin që rezulton në rezultate.

Duhet të përmendim gjithashtu një lloj interpolimi matematikor krejtësisht të ndryshëm, i njohur si "interpolimi i operatorit". Punimet klasike mbi interpolimin e operatorëve përfshijnë teoremën Riesz-Thorin dhe teoremën Marcinkiewicz, të cilat janë baza për shumë vepra të tjera.

Përkufizimet

Konsideroni një sistem pikash jo të rastësishme x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) nga disa domene D ( \splaystyle D) . Le të dihen vlerat e funksionit f (\displaystyle f) vetëm në këto pika:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldpiks ,N.)

Problemi i interpolimit është gjetja e një funksioni F (\displaystyle F) nga një klasë e caktuar funksionesh të tillë që

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldpiks ,N.)

• Quhen pikat x i (\displaystyle x_(i)). nyjet e interpolimit, dhe tërësia e tyre është rrjeti i interpolimit.
• Çiftet (x i, y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) quhen pikat e të dhënave ose pikat bazë.
• Dallimi midis vlerave "të afërta" Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - hapi i rrjetit të interpolimit. Mund të jetë edhe e ndryshueshme edhe konstante.
• Funksioni F (x) (\displaystyle F(x)) - funksioni interpolues ose interpolant.

Shembull

1. Le të themi se kemi një funksion tabele si ai më poshtë që, për vlera të shumta të x (\displaystyle x), përcakton vlerat përkatëse të f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolimi na ndihmon të zbulojmë se çfarë vlere mund të ketë një funksion i tillë në një pikë të ndryshme nga pikat e specifikuara (për shembull, kur x = 2,5).

Deri më sot, ka shumë metoda të ndryshme të interpolimit. Zgjedhja e algoritmit më të përshtatshëm varet nga përgjigjet e pyetjeve: sa e saktë është metoda e zgjedhur, sa është kostoja e përdorimit të saj, sa i qetë është funksioni i interpolimit, sa pika të dhënash kërkon, etj.

2. Gjeni një vlerë të ndërmjetme (me interpolim linear).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+ (\frac ((6378-6000))(8000-6000)(8000-19) 15.5)) (1)) = 16.1993)

Në gjuhët e programimit

Një shembull i interpolimit linear për funksionin y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Përdoruesi mund të fusë një numër midis 1 dhe 10.

Fortran

program interpol numër i plotë i x real x, y, xv, yv, yv2 dimension x(10) dimensioni y(10) thirr prisv(x, i) thirr func(x, y, i) shkruaj(*,*) "fut numrin: "lexo(*,*) xv nëse ((xv >= 1).dhe.(xv xv)) atëherë yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) fundi if end do fund nenprogrami

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); ob double, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2"); system("echo Enter numri: "); cin >> ob; system("echo Për shembull 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Metodat e interpolimit

Interpolimi i fqinjit më të afërt

Metoda më e thjeshtë e interpolimit është interpolimi i fqinjit më të afërt.

Interpolimi nga polinomet

Në praktikë, interpolimi me polinome përdoret më shpesh. Kjo është kryesisht për shkak të faktit se polinomet janë të lehta për t'u llogaritur, është e lehtë për të gjetur analitikisht derivatet e tyre dhe grupi i polinomeve është i dendur në hapësirën e funksioneve të vazhdueshme (teorema e Weierstrass).

• Interpolimi linear
• Formula e interpolimit të Njutonit
• Metoda e diferencës së fundme
• IMN-1 dhe IMN-2
• Polinom i Lagranzhit (polinom i interpolimit)
• Skema e Aitken
• funksioni spline
• splin kub

Interpolimi i kundërt (duke llogaritur x të dhënë y)

• Polinom i Lagranzhit
• Interpolimi i anasjelltë sipas formulës së Njutonit
• Interpolimi invers i Gausit

Interpolimi i funksioneve me shumë variabla

• Interpolimi bilinear
• Interpolimi bikubik

Metoda të tjera të interpolimit

• Interpolimi racional
• Interpolimi trigonometrik

Konceptet e ndërlidhura

• Ekstrapolimi - metoda për gjetjen e pikave jashtë një intervali të caktuar (zgjatja e kurbës)
• Përafrim - metoda për ndërtimin e kthesave të përafërta

Interpolimi i kundërt

në klasën e funksioneve nga hapësira C2 grafët e të cilëve kalojnë nëpër pikat e vargut (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Vendimi. Ndër të gjitha funksionet që kalojnë nëpër pikat e referencës (xi, f(xi)) dhe i përkasin hapësirës së përmendur, është spline kub S(x) që plotëson kushtet kufitare S00(a) = S00(b) = 0. që siguron ekstremin (minimum) funksional I(f).

Shpesh në praktikë ekziston problemi i kërkimit të vlerës së dhënë të funksionit të vlerës së argumentit. Ky problem zgjidhet me metoda të interpolimit të kundërt. Nëse funksioni i dhënë është monoton, atëherë mënyra më e lehtë për të kryer interpolimin prapa është zëvendësimi i funksionit me një argument dhe anasjelltas dhe më pas interpolimi. Nëse funksioni i dhënë nuk është monoton, atëherë kjo teknikë nuk mund të përdoret. Më pas, pa ndryshuar rolet e funksionit dhe argumentit, shkruajmë këtë apo atë formulë interpolimi; duke përdorur vlerat e njohura të argumentit dhe, duke supozuar se funksioni është i njohur, ne zgjidhim ekuacionin që rezulton në lidhje me argumentin.

Vlerësimi i termit të mbetur gjatë përdorimit të metodës së parë do të jetë i njëjtë si me interpolimin e drejtpërdrejtë, vetëm derivatet e funksionit të drejtpërdrejtë duhet të zëvendësohen me derivatet e funksionit të anasjelltë. Le të vlerësojmë gabimin e metodës së dytë. Nëse na jepet një funksion f(x) dhe Ln (x) është polinomi i interpolimit të Lagranzhit i ndërtuar për këtë funksion mbi nyjet x0, x1, x2, . . . , xn, atëherë

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Supozoni se duhet të gjejmë një vlerë x¯ të tillë që f (¯x) = y¯ (y¯ është dhënë). Do të zgjidhim ekuacionin Ln (x) = y¯ . Le të marrim një vlerë x¯. Duke zëvendësuar ekuacionin e mëparshëm, marrim:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Duke aplikuar formulën Langrange, marrim
(x¯ − x¯) f0 (η) =
ku η është midis x¯ dhe x¯. Nëse është një interval që përmban x¯ dhe x¯ dhe min

nga shprehja e fundit vijon:

|x¯ − x¯| 6 m1 (n + 1)! |$n (x¯)| .

Në këtë rast, natyrisht, supozohet se e kemi zgjidhur saktësisht ekuacionin Ln (x) = y¯.

Përdorimi i interpolimit për tabelimin

Teoria e interpolimit ka aplikime në përpilimin e tabelave të funksioneve. Pasi ka marrë një problem të tillë, matematikani duhet të zgjidhë një numër pyetjesh përpara se të fillojë llogaritjet. Duhet të zgjidhet formula me të cilën do të kryhen llogaritjet. Kjo formulë mund të ndryshojë nga një vend në tjetrin. Zakonisht, formulat për llogaritjen e vlerave të funksioneve janë të rënda dhe për këtë arsye ato përdoren për të marrë disa vlera referencë dhe më pas, me nëntabelë, ato e trasjnë tabelën. Formula që jep vlerat e referencës së funksionit duhet të sigurojë saktësinë e kërkuar të tabelave, duke marrë parasysh nëntabelën e mëposhtme. Nëse dëshironi të përpiloni tabela me një hap konstant, atëherë së pari duhet të përcaktoni hapin e tij.

Kthehu E para E para e mëparshmja Tjetër Indeksi i kapërcimit të fundit

Më shpesh, tabelat e funksioneve përpilohen në mënyrë që interpolimi linear (d.m.th., interpolimi duke përdorur dy termat e parë të formulës Taylor) është i mundur. Në këtë rast, afati i mbetur do të duket si

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Këtu ξ i përket intervalit ndërmjet dy vlerave tabelare ngjitur të argumentit në të cilin ndodhet x, dhe t është midis 0 dhe 1. Produkti t(t − 1) merr modulin më të madh

vlera në t = 12. Kjo vlerë është e barabartë me 14. Kështu që,

Duhet mbajtur mend se pranë këtij gabimi - gabimi i metodës, në llogaritjen praktike të vlerave të ndërmjetme, do të ndodhë ende një gabim i parikuperueshëm dhe gabim rrumbullakimi. Siç e pamë më herët, gabimi fatal në interpolimin linear do të jetë i barabartë me gabimin e vlerave të tabeluara të funksionit. Gabimi i rrumbullakimit do të varet nga mjetet llogaritëse dhe nga programi i llogaritjes.

Kthehu E para E para e mëparshmja Tjetër Indeksi i kapërcimit të fundit

Indeksi i lëndës

diferencat e ndara të rendit të dytë, 8 të rendit të parë, 8

spine, 15

nyjet e interpolimit, 4

Kthehu E para E para e mëparshmja Tjetër Indeksi i kapërcimit të fundit

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Si të bëjmë interpolimin

Formula për interpolimin e të dhënave tabelare

Përdoret në hapin e dytë, kur sasia e NXR (Q, t) nga gjendja është e ndërmjetme ndërmjet 100 t dhe 300 t.

(Përjashtim: nëse Q është e barabartë me 100 ose 300 sipas kushtit, atëherë nuk nevojitet interpolimi).

y o- Sasia juaj fillestare e NHR nga gjendja, në ton

(korrespondon me shkronjën Q)

y 1 – më i vogël

(nga tabelat 11-16, zakonisht 100).

y 2 – më shumë më afër vlerës suaj të sasisë së NCR, në ton

(nga tabelat 11-16, zakonisht 300).

x 1 y 1 (x 1 ndodhet përballë y 1 ), km.

x 2 - vlera tabelare e thellësisë së përhapjes së një reje me ajër të kontaminuar (G t), përkatësisht y 2 (x 2 ndodhet përballë y 2 ), km.

x 0 - vlera e dëshiruar G t përkatëse y o(sipas formulës).

Shembull.

NCR - klor; Q = 120 t;

Lloji i SVSP (shkalla e rezistencës vertikale të ajrit) - përmbysja.

Per te gjetur G t- vlera tabelare e thellësisë së përhapjes së resë së ajrit të kontaminuar.

Ne shikojmë në tabelat 11-16 dhe gjejmë të dhëna që përputhen me gjendjen tuaj (klor, përmbysje).

Tabela e përshtatshme 11.

Zgjedhja e vlerave y 1 , y 2, x 1 , x 2 . E rëndësishme - marrim shpejtësinë e erës 1 m / s., marrim temperaturën - 20 ° C.

Zëvendësoni vlerat e zgjedhura në formulë dhe gjeni x 0 .

E rëndësishme - llogaritja është e saktë nëse x 0 do të ketë një vlerë diku në mes x 1 , x 2 .

1.4. Formula e interpolimit të Lagranzhit

Algoritmi i propozuar nga Lagranzhi për ndërtimin e interpolimit

funksionet sipas tabelave (1) parashikon ndërtimin e polinomit të interpolimit Ln(x) në formën

Natyrisht, plotësimi i kushteve (11) për (10) përcakton përmbushjen e kushteve (2) të deklaratës së problemit të interpolimit.

Polinomet li(x) shkruhen si më poshtë

Vini re se asnjë faktor i vetëm në emëruesin e formulës (14) nuk është i barabartë me zero. Pasi të keni llogaritur vlerat e konstantave ci, mund t'i përdorni ato për të llogaritur vlerat e funksionit të interpoluar në pikat e dhëna.

Formula polinomiale e interpolimit të Lagranzhit (11), duke marrë parasysh formulat (13) dhe (14), mund të shkruhet si

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Organizimi i llogaritjeve manuale sipas formulës së Lagranzhit

Zbatimi i drejtpërdrejtë i formulës së Lagranzhit çon në një numër të madh llogaritjesh të të njëjtit lloj. Për tabelat me dimensione të vogla, këto llogaritje mund të kryhen si me dorë ashtu edhe në mjedisin softuer.

Në fazën e parë, ne konsiderojmë algoritmin e llogaritjeve të kryera me dorë. Në të ardhmen, të njëjtat llogaritje duhet të përsëriten në mjedis

Microsoft Excel ose OpenOffice.org Calc.

Në fig. 6 tregon një shembull të tabelës së burimit të një funksioni të interpoluar të përcaktuar nga katër nyje.

Fig.6. Tabela që përmban të dhënat fillestare për katër nyjet e funksionit të interpoluar

Në kolonën e tretë të tabelës, ne shkruajmë vlerat e koeficientëve qi të llogaritur me formula (14). Më poshtë është një regjistrim i këtyre formulave për n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Hapi tjetër në zbatimin e llogaritjeve manuale është llogaritja e vlerave li(x) (j=0,1,2,3), të kryera nga formula (13).

Le të shkruajmë këto formula për versionin e tabelës që po shqyrtojmë me katër nyje:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Le të llogarisim vlerat e polinomeve li(xj) (j=0,1,2,3) dhe t'i shkruajmë në qelizat e tabelës. Vlerat e funksionit Ycalc(x), sipas formulës (11), do të merren si rezultat i përmbledhjes së vlerave të li(xj) në rreshta.

Formati i tabelës, i cili përfshin kolonat e vlerave të llogaritura li(xj) dhe një kolonë vlerash Ycalc(x), është paraqitur në Fig.8.

Oriz. 8. Tabela me rezultatet e llogaritjeve manuale të kryera nga formula (16), (17) dhe (11) për të gjitha vlerat e argumentit xi

Pasi të keni përfunduar formimin e tabelës së treguar në Fig. 8, me formulat (17) dhe (11) është e mundur të llogaritet vlera e funksionit të interpoluar për çdo vlerë të argumentit X. Për shembull, për X=1 ne llogarisim vlerat li (1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)=0,2966.

Duke përmbledhur vlerat e li(1) marrim vlerën Yinterp(1)=3.1463.

1.4.2. Zbatimi i algoritmit të interpolimit me formulat e Lagranzhit në mjedisin e programit Microsoft Excel

Zbatimi i algoritmit të interpolimit fillon, si në llogaritjet manuale, duke shkruar formula për llogaritjen e koeficientëve qi. 9 tregon kolonat e tabelës me vlerat e dhëna të argumentit, funksionin e interpoluar dhe koeficientët qi. Në të djathtë të kësaj tabele janë formulat që shkruhen në qelizat e kolonës C për të llogaritur vlerat e koeficientëve qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Oriz. 9 Tabela e koeficientëve qi dhe formulat e llogaritjes

Pas futjes së formulës q0 në qelizën C2, ajo tërhiqet përmes qelizave nga C3 në C5. Pas kësaj, formulat në këto qeliza korrigjohen në përputhje me (16) në formën e treguar në Fig. nëntë.

Ycalc (xi),

Duke zbatuar formulat (17), ne shkruajmë formula për llogaritjen e vlerave li(x) (i=0,1,2,3) në qelizat e kolonave D, E, F dhe G. Në qelizën D2 për të llogaritur vlerën l0(x0), shkruajmë formulën:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

marrim vlerat l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Formati i lidhjes $A2 ju lejon të shtrini formulën përgjatë kolonave E, F, G për të formuar formula llogaritëse për llogaritjen e li(x0) (i=1,2,3). Zvarritja e një formule mbi një rresht nuk e ndryshon indeksin e kolonës së argumenteve. Për të llogaritur li(x0) (i=1,2,3) pas tërheqjes së formulës l0(x0) është e nevojshme të korrigjohen ato sipas formulave (17).

Në kolonën H vendosim formulat Excel për mbledhjen e li(x) sipas formulës

(11) algoritmi.

Në fig. 10 tregon një tabelë të zbatuar në mjedisin e programit Microsoft Excel. Shenjë e saktësisë së formulave të shkruara në qelizat e tabelës dhe veprimet llogaritëse të kryera janë matrica diagonale që rezulton li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), duke përsëritur rezultatet e treguara në Fig. 8, dhe një kolonë vlerash që përputhen me vlerat e funksionit të interpoluar në nyjet e tabelës origjinale.

Oriz. 10. Tabela e vlerave li(xj) (j=0,1,2,3) dhe Ycalc(xj)

Për të llogaritur vlerat në disa pika të ndërmjetme, mjafton

Në qelizat e kolonës A, duke filluar nga qeliza A6, futni vlerat e argumentit X për të cilin dëshironi të përcaktoni vlerat e funksionit të interpoluar. Theksoj

në rreshtin e fundit (5) të tabelës së qelizave nga l0(xn) në Ycalc(xn) dhe shtrini formulat e shkruara në qelizat e zgjedhura në rreshtin që përmban të fundit

vlerën e dhënë të argumentit x.

Në fig. 11 tregon një tabelë në të cilën llogaritet vlera e funksionit në tri pika: x=1, x=2 dhe x=3. Një kolonë shtesë me numrat e rreshtave të tabelës së të dhënave burimore është futur në tabelë.

Oriz. 11. Llogaritja e vlerave të funksioneve të interpoluara duke përdorur formulat e Lagranzhit

Për një qartësi më të madhe të shfaqjes së rezultateve të interpolimit, ne do të ndërtojmë një tabelë që përfshin një kolonë vlerash të argumentit X të renditur në rend rritës, një kolonë të vlerave fillestare të funksionit Y(X) dhe një kolonë.

Më tregoni se si të përdor formulën e interpolimit dhe cilën në zgjidhjen e problemeve në termodinamikë (inxhinieri e nxehtësisë)

Ivan Shestakoviç

Interpolimi më i thjeshtë, por shpesh jo mjaftueshëm i saktë është linear. Kur tashmë keni dy pika të njohura (X1 Y1) dhe (X2 Y2) dhe ju duhet të gjeni vlerat Y të ditës së disa X që është midis X1 dhe X2. Atëherë formula është e thjeshtë.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Nga rruga, kjo formulë funksionon edhe për vlerat X jashtë intervalit X1..X2, por kjo tashmë quhet ekstropolim dhe, në një distancë të konsiderueshme nga ky interval, jep një gabim shumë të madh.
Ka shumë dyshekë të tjerë. metodat e interpolimit - Unë ju këshilloj të lexoni tekstin ose të gërmoni nëpër internet.
Metoda e interpolimit grafik gjithashtu nuk përjashtohet - vizatoni me dorë një grafik përmes pikave të njohura dhe gjeni Y nga grafiku për X-në e kërkuar. ;)

Novelë

Ju keni dy kuptime. Dhe afërsisht varësia (lineare, kuadratike, ..)
Grafiku i këtij funksioni kalon nëpër dy pikat tuaja. Ju duhet një vlerë diku në mes. Epo, shprehu!
Për shembull. Në tabelë, në një temperaturë prej 22 gradë, presioni i avullit të ngopur është 120,000 Pa, dhe në 26, 124,000 Pa. Pastaj në një temperaturë prej 23 gradë 121000 Pa.

Interpolimi (koordinatat)

Ekziston një rrjet koordinativ në hartë (imazh).
Ka disa pika kontrolli të njohura (n>3) që kanë dy vlera x, y - koordinatat në pixel dhe koordinatat në metra.
Është e nevojshme të gjenden vlerat e ndërmjetme të koordinatave në metra, duke ditur koordinatat në piksel.
Interpolimi linear nuk është i përshtatshëm - shumë gabim jashtë vijës.
Si kjo: (Xc - koordinata në metra nga x, Xp - koordinata në pixel për x, Xc3 - vlera e dëshiruar nga x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Si të gjeni të njëjtën formulë për gjetjen e Xc dhe Yc, duke pasur parasysh jo dy (si këtu), por N pika referimi të njohura?

Joka fier ulet

Duke gjykuar nga formulat e shkruara, a përkojnë boshtet e sistemeve të koordinatave në piksele dhe metra?
Kjo do të thotë, Xp -> Xc është interpoluar në mënyrë të pavarur dhe Yp -> Yc është interpoluar në mënyrë të pavarur. Nëse jo, atëherë duhet të përdorni interpolimin dydimensional Xp,Yp->Xc dhe Xp,Yp->Yc, gjë që e ndërlikon disi detyrën.
Më tej, supozohet se koordinatat Xp dhe Xc janë të lidhura nga njëfarë varësie.
Nëse natyra e varësisë dihet (ose supozohet, për shembull, supozojmë se Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), atëherë është e mundur të merren parametrat e kësaj varësie (për të dhënën varësia a, b, c) duke përdorur analizën e regresionit (Metoda katrorët më të vegjël). Në këtë metodë, nëse specifikoni një varësi të caktuar Xc(Xp), mund të merrni një formulë për parametrat e varësisë nga të dhënat e referencës. Kjo metodë lejon, në veçanti, gjetjen e një marrëdhënie lineare që i përshtatet më së miri një grupi të dhënash të caktuar.
Disavantazhi: Në këtë metodë, koordinatat Xc të marra nga të dhënat e pikave të kontrollit Xp mund të ndryshojnë nga ato të dhëna. Si për shembull, vija e drejtë e përafrimit e tërhequr nëpër pikat eksperimentale nuk kalon saktësisht nëpër vetë këto pika.
Nëse kërkohet një përputhje e saktë dhe natyra e varësisë është e panjohur, duhet të përdoren metodat e interpolimit. Më i thjeshti matematikisht është polinomi i interpolimit të Lagranzhit, që kalon saktësisht nëpër pikat e referencës. Megjithatë, për shkak të shkallës së lartë të këtij polinomi me një numër të madh pikash kontrolli dhe cilësi të dobët të interpolimit, është më mirë të mos përdoret. Avantazhi është formula relativisht e thjeshtë.
Është më mirë të përdoret interpolimi spline. Thelbi i kësaj metode është se në çdo seksion midis dy pikave fqinje, varësia në studim ndërpolohet nga një polinom dhe kushtet e butësisë shkruhen në pikat e bashkimit të dy intervaleve. Avantazhi i kësaj metode është cilësia e interpolimit. Disavantazhet - është pothuajse e pamundur të nxirret një formulë e përgjithshme, duhet të gjesh koeficientët e polinomit në çdo seksion algoritmikisht. Një tjetër disavantazh është vështirësia e përgjithësimit në interpolimin 2D.

Ekziston një situatë kur ju duhet të gjeni rezultate të ndërmjetme në një grup vlerash të njohura. Në matematikë, kjo quhet interpolim. Në Excel, kjo metodë mund të përdoret si për të dhëna tabelare ashtu edhe për vizatimin e grafikëve. Le të hedhim një vështrim në secilën nga këto metoda.

Kushti kryesor në të cilin mund të zbatohet interpolimi është që vlera e dëshiruar duhet të jetë brenda grupit të të dhënave dhe të mos shkojë përtej kufirit të tij. Për shembull, nëse kemi një grup argumentesh 15, 21 dhe 29, atëherë kur gjejmë një funksion për argumentin 25, mund të përdorim interpolim. Dhe për të gjetur vlerën përkatëse për argumentin 30 - jo më. Ky është ndryshimi kryesor midis kësaj procedure dhe ekstrapolimit.

Metoda 1: Interpolimi për të dhënat tabelare

Para së gjithash, merrni parasysh përdorimin e interpolimit për të dhënat që ndodhen në një tabelë. Për shembull, le të marrim një grup argumentesh dhe vlerat përkatëse të funksionit të tyre, raporti i të cilave mund të përshkruhet me një ekuacion linear. Këto të dhëna janë vendosur në tabelën e mëposhtme. Duhet të gjejmë funksionin përkatës për argumentin 28 . Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është me operatorin PARASHIKIM.

Metoda 2: ndërthurja e një grafiku duke përdorur cilësimet e tij

Procedura e interpolimit mund të përdoret gjithashtu kur vizatoni një funksion. Është e rëndësishme në rast se në tabelën në bazë të së cilës është ndërtuar grafiku, vlera përkatëse e funksionit nuk tregohet për një nga argumentet, si në imazhin më poshtë.

Siç mund ta shihni, grafiku është korrigjuar dhe hendeku është hequr duke përdorur interpolim.

Metoda 3: Interpolimi grafik me një funksion

Ju gjithashtu mund të interpoloni grafikun duke përdorur funksionin special ND. Ai kthen vlera null në qelizën e specifikuar.

Mund ta bëni edhe më të lehtë pa vrapuar Funksioni Wizard, por thjesht përdorni tastierën për të futur një vlerë në një qelizë boshe "#N/A" pa thonjëza. Por tashmë varet se si është më i përshtatshëm për cilin përdorues.

Siç mund ta shihni, në programin Excel, mund të interpoloni si të dhëna tabelare duke përdorur funksionin PARASHIKIM, si dhe grafika. Në rastin e fundit, kjo mund të bëhet duke përdorur cilësimet e grafikut ose duke përdorur funksionin ND, duke shkaktuar një gabim "#N/A". Zgjedhja se cila metodë të përdoret varet nga deklarata e problemit, si dhe nga preferencat personale të përdoruesit.

Udhëzim

Shpesh, gjatë kryerjes së kërkimit empirik, duhet të merret me një grup vlerash të marra nga kampionimi i rastësishëm. Nga kjo seri vlerash, kërkohet të ndërtohet një grafik i funksionit, në të cilin vlerat e tjera të marra do të futen me saktësi maksimale. Kjo metodë, ose më mirë zgjidhja e këtij problemi, është një përafrim kurbë, d.m.th. zëvendësimi i disa objekteve ose dukurive nga të tjera, mbyllet në parametrin origjinal. Interpolimi, nga ana tjetër, është një lloj përafrimi. Interpolimi i kurbës është procesi me të cilin një kurbë funksioni e përshtatur kalon nëpër pikat e disponueshme të të dhënave.

Ekziston një problem shumë afër interpolimit, thelbi i të cilit do të jetë përafrimi i funksionit kompleks origjinal me një funksion tjetër, shumë më të thjeshtë. Nëse një funksion i veçantë është shumë i përshtatshëm për llogaritjet, atëherë mund të përpiqeni të llogarisni vlerën e tij në disa pika dhe të ndërtoni (ndërtoni) një funksion më të thjeshtë bazuar në ato të marra. Megjithatë, funksioni i thjeshtuar nuk do t'ju lejojë të merrni të dhëna aq të sakta dhe të besueshme sa do të jepte funksioni origjinal.

Interpolimi nëpërmjet binomit algjebrik, ose interpolimit linear
Në terma të përgjithshëm: ekziston një interpolim i disa funksioneve të dhëna f(x), i cili merr vlerën në pikat x0 dhe x1 të segmentit, nga binomi algjebrik P1(x) = ax + b. Nëse jepen më shumë se dy vlera funksioni, atëherë funksioni linear i dëshiruar zëvendësohet nga një funksion linear pjesë-pjesë, secila pjesë e funksionit shtrihet midis dy vlerave të funksionit të dhëna në këto pika në segmentin e interpoluar.

Interpolimi i diferencës së fundme
Kjo metodë është një nga metodat më të thjeshta dhe më të përdorura të interpolimit. Thelbi i tij është zëvendësimi i koeficientëve diferencialë të ekuacionit me koeficientët e diferencës. Ky veprim do të na lejojë të vazhdojmë me zgjidhjen e ekuacionit diferencial me anë të analogut të diferencës së tij, me fjalë të tjera, të ndërtojmë skemën e tij të diferencës së fundme.

Ndërtimi i një funksioni spline
Një spline në modelimin matematik është një funksion i dhënë pjesë-pjesë, i cili, me funksione që kanë një më të thjeshtë në çdo element ndarje të domenit të tij të përkufizimit. Një spline nga një variabël ndërtohet duke e ndarë domenin e përkufizimit në një numër të fundëm segmentesh, për më tepër, në secilën prej të cilave splineja do të përkojë me disa polinom algjebrikë. Shkalla maksimale e përdorur është spline.
Funksionet spline për specifikimin dhe përshkrimin e sipërfaqeve në sisteme të ndryshme modelimi kompjuterik.

Interpolimi. Prezantimi. Deklarata e përgjithshme e problemit

Kur zgjidhen probleme të ndryshme praktike, rezultatet e hulumtimit përpilohen në formën e tabelave që tregojnë varësinë e një ose më shumë sasive të matura nga një parametër përcaktues (argument). Tabelat e tilla zakonisht paraqiten në formën e dy ose më shumë rreshtave (kolonave) dhe përdoren për të formuar modele matematikore.

Funksionet e dhëna në tabela në modelet matematikore zakonisht shkruhen në tabela të formës:

Y1 (X)	Y(X0)	Y(X1)		Y (Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y (Xn)

Informacioni i kufizuar i ofruar nga tabela të tilla, në disa raste, kërkon marrjen e vlerave të funksioneve Y j (X) (j=1,2,…,m) në pikat X që nuk përkojnë me pikat nodale të tabelës. X i (i=0,1,2,… ,n). Në raste të tilla, është e nevojshme të përcaktohet një shprehje analitike φ j (X) për të llogaritur vlerat e përafërta të funksionit të hetuar Y j (X) në pikat e specifikuara në mënyrë arbitrare X. Funksioni φ j (X) i përdorur për të përcaktuar vlerat e përafërta të funksionit Y j (X) quhet funksion i përafërt (nga latinishtja approximo - afrohet). Afërsia e funksionit të përafërt φ j (X) me funksionin e përafërt Y j (X) sigurohet nga zgjedhja e algoritmit përkatës të përafrimit.

Ne do të bëjmë të gjitha konsideratat dhe përfundimet e mëtejshme për tabelat që përmbajnë të dhënat fillestare të një funksioni të hetuar (dmth. për tabelat me m=1 ).

1. Metodat e interpolimit

1.1 Paraqitja e problemit të interpolimit

Më shpesh, për të përcaktuar funksionin φ(X), përdoret një deklaratë, e quajtur deklarata e problemit të interpolimit.

Në këtë deklaratë klasike të problemit të interpolimit, kërkohet të përcaktohet një funksion analitik i përafërt φ(X) vlerat e të cilit në pikat nodale X i përputhen me vlerat Y(X i ) të tabelës origjinale, d.m.th. kushtet

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n)

Funksioni i përafërt φ(X) i ndërtuar në këtë mënyrë bën të mundur marrjen e një përafrimi mjaft të afërt me funksionin e interpoluar Y(X) brenda intervalit të vlerave të argumentit [X 0 ; X n ], e përcaktuar nga tabela. Kur vendosni vlerat e argumentit X, jo në pronësi këtë interval, detyra e interpolimit konvertohet në detyrën e ekstrapolimit. Në këto raste, saktësia

vlerat e marra gjatë llogaritjes së vlerave të funksionit φ(X) varen nga distanca e vlerës së argumentit X nga X 0 nëse X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

Në modelimin matematik, funksioni i interpolimit mund të përdoret për të llogaritur vlerat e përafërta të funksionit në studim në pikat e ndërmjetme të nënintervaleve [Х i; Xi+1]. Një procedurë e tillë quhet vulë tavoline.

Algoritmi i interpolimit përcaktohet me metodën e llogaritjes së vlerave të funksionit φ(X). Zbatimi më i thjeshtë dhe më i dukshëm i funksionit të interpolimit është zëvendësimi i funksionit të hetuar Y(X) në intervalin [X i ; Х i+1 ] nga një segment vije që lidh pikat Y i , Y i+1 . Kjo metodë quhet metoda lineare e interpolimit.

1.2 Interpolimi linear

Me interpolim linear, vlera e funksionit në pikën X, e vendosur midis nyjeve X i dhe X i+1, përcaktohet nga formula e një vije të drejtë që lidh dy pika ngjitur të tabelës.

Y(X) = Y(Xi)+	Y(Xi + 1) − Y(Xi)	(X − Xi) (i= 0,1,2, ...,n),
	Xi+ 1− Xi

Në fig. 1 tregon një shembull të një tabele të marrë si rezultat i matjeve të një vlere të caktuar Y(X) . Rreshtat e tabelës burimore janë të theksuara. Në të djathtë të tabelës ka një grafik shpërndarjeje që korrespondon me këtë tabelë. Ngjeshja e tabelës bëhet për shkak të llogaritjes me formulë

(3) vlerat e funksionit që përafrohen në pikat Х që korrespondojnë me mespikat e nënintervaleve (i=0, 1, 2, ... , n ).

Fig.1. Tabela e ngjeshur e funksionit Y(X) dhe diagrami përkatës i tij

Kur merret parasysh grafiku në Fig. 1 mund të shihet se pikat e marra si rezultat i ngjeshjes së tabelës duke përdorur metodën e interpolimit linear shtrihen në segmentet e linjës që lidhin pikat e tabelës origjinale. Saktësia lineare

interpolimi, në thelb varet nga natyra e funksionit të interpoluar dhe nga distanca ndërmjet nyjeve të tabelës X i, , X i+1.

Është e qartë se nëse funksioni është i qetë, atëherë, edhe me një distancë relativisht të madhe ndërmjet nyjeve, grafiku i ndërtuar duke lidhur pikat me segmente të drejtëza bën të mundur vlerësimin e saktë të natyrës së funksionit Y(X). Nëse funksioni ndryshon mjaft shpejt dhe distancat midis nyjeve janë të mëdha, atëherë funksioni linear i interpolimit nuk lejon marrjen e një përafrimi mjaftueshëm të saktë me funksionin real.

Funksioni i interpolimit linear mund të përdoret për një analizë të përgjithshme paraprake dhe vlerësim të saktësisë së rezultateve të interpolimit, të cilat më pas përftohen me metoda të tjera më të sakta. Një vlerësim i tillë bëhet veçanërisht i rëndësishëm në rastet kur llogaritjet kryhen me dorë.

1.3 Interpolimi me polinom kanonik

Metoda e interpolimit të një funksioni me një polinom kanonik bazohet në ndërtimin e një funksioni interpolues si një polinom në formën [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

Koeficientët me i të polinomit (4) janë parametra të interpolimit të lirë, të cilët përcaktohen nga kushtet e Lagranzhit:

Pn (xi)= Yi, (i= 0, 1, ..., n)

Duke përdorur (4) dhe (5), shkruajmë sistemin e ekuacioneve

	Cx+ cx2				C xn = Y
	Cx+ cx2				Cxn
			Cx2			C xn = Y

Vektori i zgjidhjes me i (i = 0, 1, 2, …, n ) i sistemit të ekuacioneve algjebrike lineare (6) ekziston dhe mund të gjendet nëse nuk ka nyje që përputhen midis nyjeve i. Përcaktori i sistemit (6) quhet përcaktor Vandermonde1 dhe ka një shprehje analitike [2].

1 Përcaktori i Vandermonde quhet përcaktor

Është zero nëse dhe vetëm nëse xi = xj për disa. (Material nga Wikipedia - enciklopedia e lirë)

Për të përcaktuar vlerat e koeficientëve me i (i = 0, 1, 2, ... , n)

ekuacionet (5) mund të shkruhen në formën e matricës vektoriale

A* C=Y,

ku A është matrica e koeficientëve të përcaktuar nga tabela e fuqive të vektorit të argumentit X= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

C është një vektor kolone i koeficientëve i (i = 0, 1, 2, ..., n), dhe Y është një vektor kolone i vlerave Y i (i = 0, 1, 2, ..., n) të interpoluar funksionin në nyjet e interpolimit.

Zgjidhja e këtij sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare mund të merret me një nga metodat e përshkruara në [3]. Për shembull, sipas formulës

С = A− 1 Y,

ku A -1 është matrica e anasjelltë e matricës A. Për të marrë matricën e kundërt A -1, mund të përdorni funksionin INV(), i cili përfshihet në grupin e funksioneve standarde të programit Microsoft Excel.

Pasi të përcaktohen vlerat e koeficientëve me i, duke përdorur funksionin (4), vlerat e funksionit të interpoluar mund të llogariten për çdo vlerë të argumenteve.

Le të shkruajmë matricën A për tabelën e paraqitur në figurën 1, pa marrë parasysh rreshtat që kondensojnë tabelën.

Fig.2 Matrica e sistemit te ekuacioneve per njehsimin e koeficienteve te polinomit kanonik

Duke përdorur funksionin MOBR(), marrim matricën A -1 të kundërt me matricën A (Fig. 3). Më pas, sipas formulës (9), marrim vektorin e koeficientëve С=(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T të paraqitur në fig. 4.

Për të llogaritur vlerat e polinomit kanonik në qelizën e kolonës Y kanonike që korrespondon me vlerat 0, ne prezantojmë formulën e transformuar në formën e mëposhtme, që korrespondon me rreshtin zero të sistemit (6)

=((((c 5	* x 0 + c 4 ) * x 0 + c 3 ) * x 0 + c 2 ) * x 0 + c 1 ) * x 0 + c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Në vend që të shkruani "c i" në formulën e futur në qelizën e tabelës Excel, duhet të ketë një referencë absolute për qelizën përkatëse që përmban këtë koeficient (shih Fig. 4). Në vend të "x 0" - një referencë relative për kolonën X të kolonës (shih Fig. 5).

Y kanonike (0) e vlerës që përputhet me vlerën në qelizën Y lin (0) . Kur tërhiqni një formulë të shkruar në një qelizë kanonike Y (0), vlerat e Y kanonike (i) duhet gjithashtu të përputhen, që korrespondojnë me pikat e nyjës së origjinalit.

tabelat (shih Fig. 5).

Oriz. 5. Diagrame të ndërtuara sipas tabelave të interpolimit linear dhe kanonik

Krahasimi i grafikëve të funksioneve të ndërtuara sipas tabelave të llogaritura duke përdorur formulat e interpolimit linear dhe kanonik, ne shohim në një numër nyjesh të ndërmjetme një devijim të konsiderueshëm të vlerave të marra nga formulat e interpolimit linear dhe kanonik. Është më e arsyeshme të gjykohet saktësia e interpolimit bazuar në marrjen e informacionit shtesë rreth natyrës së procesit që modelohet.

Ky është një kapitull nga libri i Bill Jelen.

Sfida: Disa probleme të projektimit inxhinierik kërkojnë përdorimin e tabelave për të llogaritur vlerat e parametrave. Për shkak se tabelat janë diskrete, projektuesi përdor interpolim linear për të marrë një vlerë të ndërmjetme parametri. Tabela (Fig. 1) përfshin lartësinë mbi tokë (parametri i kontrollit) dhe shpejtësinë e erës (parametri i llogaritur). Për shembull, nëse duhet të gjeni shpejtësinë e erës që korrespondon me një lartësi prej 47 metrash, atëherë duhet të aplikoni formulën: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 m / s.

Shkarkoni shënimin në ose format, shembuj në format

Po sikur të ketë dy parametra kontrolli? A është e mundur të kryhen llogaritjet me një formulë të vetme? Tabela (Fig. 2) tregon vlerat e presionit të erës për lartësi dhe hapësira të ndryshme strukturash. Kërkohet të llogaritet presioni i erës në një lartësi prej 25 metrash dhe një hapësirë ​​prej 300 metrash.

Zgjidhja: Ne e zgjidhim problemin duke zgjeruar metodën e përdorur për rastin me një parametër kontrolli. Bëni sa më poshtë.

Filloni me tabelën e paraqitur në fig. 2. Shtoni qelizat burimore për lartësinë dhe hapësirën në J1 dhe J2 respektivisht (Figura 3).

Oriz. 3. Formulat në qelizat J3:J17 shpjegojnë se si funksionon mega formula

Për lehtësinë e përdorimit të formulave, përcaktoni emrat (Fig. 4).

Ndiqni punën e formulës duke lëvizur në mënyrë sekuenciale nga qeliza J3 në qelizën J17.

Me zëvendësim të kundërt vijues, mblidhni formulën mega. Kopjoni tekstin e formulës nga qeliza J17 në J19. Zëvendësoni referencën për J15 në formulë me vlerën në qelizën J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. etj. Rezultati do të jetë një formulë e përbërë nga 984 karaktere, të cilat nuk mund të perceptohen në këtë formë. Mund ta shihni në skedarin e bashkangjitur excel. Nuk jam i sigurt nëse këto mega-formula janë të dobishme për t'u përdorur.

Përmbledhje: Interpolimi linear përdoret për të marrë një vlerë të ndërmjetme të një parametri nëse vlerat tabelare jepen vetëm për kufijtë e diapazonit; propozohet një metodë llogaritjeje e bazuar në dy parametra kontrolli.