Shtimi i matricave:
Zbritja dhe mbledhja e matricave reduktohet në veprimet përkatëse në elementet e tyre. Operacioni i mbledhjes së matricës prezantuar vetëm për matricat të njëjtën madhësi, d.m.th matricat, në të cilën numri i rreshtave dhe kolonave është përkatësisht i barabartë. Shuma e matricave A dhe B quhen matricë C, elementet e të cilit janë të barabartë me shumën e elementeve përkatëse. С = А + В c ij = a ij + b ij dallimi i matricave.
Shumëzimi i një matrice me një numër:
Operacioni i shumëzimit (pjestimit) të matricës e çdo madhësie me një numër arbitrar reduktohet në shumëzimin (pjestimin) e secilit element matricat me atë numër. Produkti i matricës Dhe numri k quhet matricë B, e tillë që
b ij = k × a ij. В = k × A b ij = k × a ij. Matricë- A = (-1) × A quhet e kundërta matricë A.
Vetitë e mbledhjes së matricës dhe shumëzimit të matricës me një numër:
Operacionet e shtimit të matricës dhe shumëzimi i matricës në një numër kanë këto veti: 1. A + B = B + A; 2.A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5,1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , ku А, В dhe С janë matrica, α dhe β janë numra.
Shumëzimi i matricës (produkti i matricës):
Operacioni i shumëzimit të dy matricave futet vetëm për rastin kur numri i kolonave të të parit matricatështë e barabartë me numrin e rreshtave të sekondës matricat. Produkti i matricës Dhe m × n në matricë Në n × p, quhet matricë Me m × p të tillë që me ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a në × b nk, d.m.th., gjeni shumën e prodhimeve të elementeve të rreshtit i - të matricat Dhe në elementet përkatëse të kolonës j-të matricat B. Nëse matricat A dhe B janë katror me të njëjtën madhësi, atëherë produktet AB dhe BA ekzistojnë gjithmonë. Është e lehtë të tregohet se A × E = E × A = A, ku A është katror matricë, E - njësi matricë të njëjtën madhësi.
Karakteristikat e shumëzimit të matricës:
Shumëzimi i matricës jo komutative, d.m.th. AB ≠ BA edhe nëse të dyja veprat janë të përcaktuara. Megjithatë, nëse për ndonjë matricat raporti AB = BA është i kënaqur, atëherë i tillë matricat quhen ndërrim. Shembulli më tipik është një i vetëm matricë e cila është e pandryshueshme me ndonjë tjetër matricë të njëjtën madhësi. Permutacioni mund të jetë vetëm katror matricat të njëjtin rend. A × E = E × A = A
Shumëzimi i matricës posedon këto veti: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. Përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë. Vetitë përcaktuese.
Përcaktori i matricës rendit të dytë, ose përcaktues Rendi i dytë quhet një numër që llogaritet me formulën:
Përcaktori i matricës rendit të tretë, ose përcaktues të rendit të tretë, thirret një numër, i cili llogaritet me formulën:
Ky numër paraqet shumën algjebrike të gjashtë termave. Çdo term përmban saktësisht një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë matricat... Çdo term përbëhet nga një produkt i tre faktorëve.
Shenjat me të cilat anëtarët përcaktues i matricës përfshihen në formulë gjetja e përcaktorit të matricës Rendi i tretë mund të përcaktohet duke përdorur skemën e mësipërme, e cila quhet rregulli i trekëndëshave ose rregulli Sarrus. Tre termat e parë merren me shenjë plus dhe përcaktohen nga figura e majtë, dhe tre termat e tjerë merren me shenjën minus dhe përcaktohen nga figura e djathtë.
Përcaktoni numrin e termave për të gjetur përcaktues i matricës, në shumën algjebrike, mund të llogarisni faktorialin: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Vetitë e përcaktorëve të matricës
Karakteristikat e përcaktuesve të matricës:
Prona # 1:
Përcaktori i një matrice nuk do të ndryshojë nëse rreshtat e tij zëvendësohen me kolona, çdo rresht me një kolonë me të njëjtin numër dhe anasjelltas (Transpozoni). | A | = | A | T
Përfundim:
Kolonat dhe rreshtat përcaktues i matricës janë të barabarta, prandaj vetitë e natyrshme në rreshta plotësohen edhe për kolonat.
Prona # 2:
Kur ndërroni 2 rreshta ose kolona përcaktor i një matrice do të ndryshojë shenjën duke ruajtur vlerën absolute, d.m.th.:
Prona # 3:
Përcaktori i një matrice të kesh dy rreshta identikë është e barabartë me zero.
Prona # 4:
Faktori i përbashkët i elementeve të çdo rreshti përcaktues i matricës mund të hiqet nga shenja përcaktues.
Pasojat nga vetitë # 3 dhe # 4:
Nëse të gjithë elementët e një rreshti të caktuar (rresht ose kolonë) janë proporcional me elementët përkatës të një rreshti paralel, atëherë i tillë përcaktor i një matriceështë zero.
Prona # 5:
përcaktues i matricës e barabartë me zero, pastaj vetë përcaktor i një matriceështë zero.
Prona # 6:
Nëse të gjithë elementët e çdo rreshti ose kolone përcaktues paraqiten si një shumë prej 2 termash, atëherë përcaktues matricat mund të paraqitet si shuma e 2 përcaktuesit sipas formulës:
Prona # 7:
Nëse në ndonjë rresht (ose kolonë) përcaktues shtoni elementet përkatëse të një rreshti (ose kolone) tjetër, të shumëzuar me të njëjtin numër, më pas përcaktor i një matrice nuk do të ndryshojë madhësinë e saj.
Një shembull i aplikimit të vetive për llogaritje përcaktues i matricës:
Pra, në mësimin e mëparshëm, diskutuam rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e matricave. Këto janë operacione kaq të thjeshta saqë shumica e studentëve i kuptojnë ato fjalë për fjalë në fluturim.
Megjithatë, ju gëzoheni herët. Falas ka mbaruar - le të kalojmë te shumëzimi. Unë do t'ju paralajmëroj menjëherë: shumëzimi i dy matricave nuk është aspak shumëzimi i numrave në qeliza me të njëjtat koordinata, siç mund të mendoni. Gjithçka është shumë më argëtuese këtu. Dhe ju duhet të filloni me përkufizimet paraprake.
Matricat konsistente
Një nga karakteristikat më të rëndësishme të një matrice është madhësia e saj. Ne kemi folur tashmë për këtë njëqind herë: shënimi $ A = \ majtas [m \ herë n \ djathtas] $ do të thotë që matrica përmban saktësisht $ m $ rreshta dhe $ n $ kolona. Ne kemi diskutuar tashmë se si të mos ngatërrojmë rreshtat me kolonat. Tani diçka tjetër është e rëndësishme.
Përkufizimi. Matricat e formës $ A = \ majtas [m \ herë n \ djathtas] $ dhe $ B = \ majtas [n \ herë k \ djathtas] $, në të cilat numri i kolonave në matricën e parë është i njëjtë me numri i rreshtave në të dytën, quhen konsistente.
Edhe një herë: numri i kolonave në matricën e parë është i barabartë me numrin e rreshtave në të dytën! Nga këtu marrim dy përfundime njëherësh:
- Renditja e matricave është e rëndësishme për ne. Për shembull, matricat $ A = \ majtas [3 \ herë 2 \ djathtas] $ dhe $ B = \ majtas [2 \ herë 5 \ djathtas] $ janë të qëndrueshme (2 kolona në matricën e parë dhe 2 rreshta në të dytën), por anasjelltas - matricat $ B = \ majtas [2 \ herë 5 \ djathtas] $ dhe $ A = \ majtas [3 \ herë 2 \ djathtas] $ - nuk përputhen më (5 kolonat në matricën e parë janë si 3 rreshta në të dytën).
- Konsistenca është e lehtë për t'u kontrolluar nëse i shkruani të gjitha dimensionet njëra pas tjetrës. Për shembull nga paragrafi i mëparshëm: "3 2 2 5" - në mes janë të njëjtët numra, kështu që matricat janë konsistente. Por "2 5 3 2" - nuk janë konsistente, sepse në mes ka numra të ndryshëm.
Për më tepër, kapiteni i dukshmërisë duket se lë të kuptohet se matricat katrore të së njëjtës madhësi $ \ majtas [n \ herë n \ djathtas] $ janë gjithmonë të qëndrueshme.
Në matematikë, kur rendi i numërimit të objekteve është i rëndësishëm (për shembull, në përkufizimin e mësipërm, renditja e matricave është e rëndësishme), shpesh flitet për çifte të renditura. Ne u takuam me ta në shkollë: Unë mendoj se është e pamend që koordinatat $ \ majtas (1; 0 \ djathtas) $ dhe $ \ majtas (0; 1 \ djathtas) $ vendosin pika të ndryshme në aeroplan.
Pra: koordinatat janë edhe çifte të renditura që përbëhen nga numra. Por asgjë nuk e pengon krijimin e një çifti të tillë matricash. Atëherë mund të themi: "Një çift i renditur i matricave $ \ majtas (A; B \ djathtas) $ është i qëndrueshëm nëse numri i kolonave në matricën e parë është i njëjtë me numrin e rreshtave në të dytën."
Epo, çfarë?
Përkufizimi i shumëzimit
Konsideroni dy matrica të përputhura: $ A = \ majtas [m \ herë n \ djathtas] $ dhe $ B = \ majtas [n \ herë k \ djathtas] $. Dhe përcaktoni operacionin e shumëzimit për ta.
Përkufizimi. Prodhimi i dy matricave të përputhura $ A = \ majtas [m \ herë n \ djathtas] $ dhe $ B = \ majtas [n \ herë k \ djathtas] $ është një matricë e re $ C = \ majtas [m \ herë k \ djathtas] $, elementet e të cilit llogariten me formulën:
\ [\ fillojë (drejtoj) & ((c) _ (i; j)) = ((a) _ (i; 1)) \ cdot ((b) _ (1; j)) + ((a) _ (i; 2)) \ cdot ((b) _ (2; j)) + \ ldots + ((a) _ (i; n)) \ cdot ((b) _ (n; j)) = \\ & = \ shuma \ limitet_ (t = 1) ^ (n) (((a) _ (i; t)) \ cdot ((b) _ (t; j))) \ fundi (rreshtoj) \]
Një produkt i tillë shënohet në një mënyrë standarde: $ C = A \ cdot B $.
Ata që e shohin këtë përkufizim për herë të parë kanë dy pyetje njëherësh:
- Çfarë është kjo lojë e ashpër?
- Pse është kaq e vështirë?
Epo, së pari gjërat e para. Le të fillojmë me pyetjen e parë. Çfarë nënkuptojnë të gjithë këta tregues? Dhe si të mos gaboheni kur punoni me matrica reale?
Para së gjithash, vini re se një rresht i gjatë për llogaritjen e $ ((c) _ (i; j)) $ (Vendova posaçërisht një pikëpresje midis indekseve për të mos u ngatërruar, por në përgjithësi ato nuk kanë nevojë të vendosen - Unë vetë u lodha duke shtypur formulën në përkufizim) në të vërtetë zbret në një rregull të thjeshtë:
- Merrni rreshtin $ i $ th në matricën e parë;
- Merrni kolonën $ j $ th në matricën e dytë;
- Marrim dy sekuenca numrash. Ne i shumëzojmë elementet e këtyre sekuencave me të njëjtat numra dhe më pas shtojmë produktet që rezultojnë.
Ky proces është i lehtë për t'u kuptuar nga fotografia:
Skema e shumëzimit të dy matricave Edhe një herë: rregullojmë rreshtin $ i $ në matricën e parë, kolonën $ j $ në matricën e dytë, shumëzojmë elementet me të njëjtat numra dhe më pas shtojmë produktet që rezultojnë - marrim $ ((c) _ (ij )) $. Dhe kështu për të gjitha $ 1 \ le i \ le m $ dhe $ 1 \ le j \ le k $. ato. gjithsej do të ketë $ m \ herë k $ "perversione" të tilla.
Në fakt, ne kemi hasur tashmë në shumëzimin e matricës në kurrikulën shkollore, vetëm në një formë shumë të cunguar. Le të jepen vektorët:
\ [\ fillojë (drejtoj) & \ vec (a) = \ majtas (((x) _ (a)); ((y) _ (a)); ((z) _ (a)) \ djathtas); \\ & \ shigjetë djathtas (b) = \ majtas (((x) _ (b)); ((y) _ (b)); ((z) _ (b)) \"djathtas). \\ \ fundi (drejtoj) \]
Atëherë produkti i tyre skalar do të jetë saktësisht shuma e produkteve në çift:
\ [\ shigjetë e sipërme (a) \ herë \ shigjetë e sipërme (b) = ((x) _ (a)) \ cdot ((x) _ (b)) + ((y) _ (a)) \ cdot ((y ) _ (b)) + ((z) _ (a)) \ cdot ((z) _ (b)) \]
Në thelb, në vitet kur pemët ishin më të gjelbra dhe qielli më i ndritshëm, ne thjesht shumëzuam vektorin e rreshtit $ \ shigjeta e sipërme (a) $ me vektorin e kolonës $ \ shigjeta e sipërme (b) $.
Asgjë nuk ka ndryshuar sot. Vetëm se tani ka më shumë nga këta vektorë dhe kolona rreshtash.
Por mjaft teori! Le të hedhim një vështrim në shembujt e jetës reale. Dhe le të fillojmë me rastin më të thjeshtë - matricat katrore.
Shumëzimi i matricave katrore
Detyra 1. Kryeni shumëzimin:
\ [\ majtas [\ fillojë (vargu) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
Zgjidhje. Pra, kemi dy matrica: $ A = \ majtas [2 \ herë 2 \ djathtas] $ dhe $ B = \ majtas [2 \ herë 2 \ djathtas] $. Është e qartë se ato janë konsistente (matricat katrore me të njëjtën madhësi janë gjithmonë konsistente). Prandaj, ne kryejmë shumëzimin:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & \ majtas [\ fillojë (grumbullim) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillimi (vargu) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] = \ majtas [\ fillimi (rrjedhja) (* (35) (r)) 1 \ cdot \ majtas (-2 \ djathtas) +2 \ cdot 3 & 1 \ cdot 4 + 2 \ cdot 1 \\ -3 \ cdot \ majtas (-2 \ djathtas) +4 \ cdot 3 & -3 \ cdot 4 + 4 \ cdot 1 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fundi (vargu) \ djathtas]. \ fundi (radhis) \]
Kjo eshte e gjitha!
Përgjigja: $ \ majtas [\ fillojë (vargu) (* (35) (r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] $.
Detyra 2. Kryeni shumëzimin:
\ [\ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ fund (matricë) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (matricë) (* (35) (r)) 9 dhe 6 \\ -3 & -2 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
Zgjidhje. Përsëri përputhen matricat, kështu që ne kryejmë veprimet e mëposhtme: \ [\]
\ [\ fillojë (drejtoj) & \ majtas [\ fill (matricë) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ fund (matricë) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (matricë) (* (35) ( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ fundi (array) \ djathtas] = \ majtas [\ fillojë (array) (* (35) (r)) 1 \ cdot 9 + 3 \ cdot \ majtas (-3 \ djathtas) & 1 \ cdot 6 + 3 \ cdot \ majtas (-2 \ djathtas) \\ 2 \ cdot 9 + 6 \ cdot \ majtas (-3 \ djathtas) & 2 \ cdot 6 + 6 \ cdot \ majtas (-2 \ djathtas) \\\ fundi (vargu) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fillojë (matrica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] ... \ fundi (radhis) \]
Siç mund ta shihni, ne morëm një matricë të mbushur me zero
Përgjigje: $ \ majtas [\ fillimi (matrica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] $.
Nga shembujt e dhënë, është e qartë se shumëzimi i matricës nuk është një veprim aq i vështirë. Të paktën për matricat 2 me 2 katrore.
Gjatë llogaritjeve, ne përpiluam një matricë të ndërmjetme, ku shkruanim drejtpërdrejt se cilët numra përfshihen në këtë ose atë qelizë. Kjo është pikërisht ajo që duhet të bëni kur zgjidhni probleme reale.
Karakteristikat themelore të produktit të matricës
Me pak fjalë. Shumëzimi i matricës:
- Jo-komutativ: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $ në përgjithësi. Ka, sigurisht, matrica të veçanta për të cilat barazia $ A \ cdot B = B \ cdot A $ (për shembull, nëse $ B = E $ është matrica e identitetit), por në shumicën dërrmuese të rasteve kjo nuk funksionon ;
- Associative: $ \ majtas (A \ cdot B \ djathtas) \ cdot C = A \ cdot \ majtas (B \ cdot C \ djathtas) $. Këtu nuk ka opsione: matricat që qëndrojnë pranë njëra-tjetrës mund të shumëzohen pa u shqetësuar se çfarë është në të majtë dhe në të djathtë të këtyre dy matricave.
- Shpërndarëse: $ A \ cdot \ majtas (B + C \ djathtas) = A \ cdot B + A \ cdot C $ dhe $ \ majtas (A + B \ djathtas) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $ (për shkak të moskomutativitetit të produktit, duhet të shkruajmë veçmas shpërndarjen në të djathtë dhe në të majtë.
Dhe tani - gjithçka është e njëjtë, por më në detaje.
Shumëzimi i matricës është shumë i ngjashëm me shumëzimin klasik të numrave. Por ka dallime, më e rëndësishmja prej të cilave është ajo Shumëzimi i matricës është përgjithësisht jokomutativ.
Shqyrtoni përsëri matricat nga problemi 1. Ne tashmë e dimë produktin e tyre të drejtpërdrejtë:
\ [\ majtas [\ fillojë (vargu) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] = \ majtas [\ fillimi (rrjedhja) (* (35) (r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
Por nëse i ndërrojmë matricat, marrim një rezultat krejtësisht të ndryshëm:
\ [\ majtas [\ fillimi (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ fundi (array) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ fundi (arriti) \ djathtas] = \ majtas [\ fillimi (matrica) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ fundi (matrica ) \ djathtas] \]
Rezulton se $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $. Veç kësaj, operacioni i shumëzimit është përcaktuar vetëm për matricat $ A = \ majtas [m \ herë n \ djathtas] $ dhe $ B = \ majtas [n \ herë k \ djathtas] $, por askush nuk garanton se ato do të mbeten të qëndrueshme Nëse i ndërroni ato. Për shembull, matricat $ \ majtas [2 \ herë 3 \ djathtas] $ dhe $ \ majtas [3 \ herë 5 \ djathtas] $ janë mjaft të pajtueshme në rendin e treguar, por të njëjtat matrica $ \ majtas [3 \ herë 5 \ djathtas] $ dhe $ \ majtas [2 \ herë 3 \ djathtas] $, të shkruara në rend të kundërt, nuk përputhen më. Trishtim. :(
Midis matricave katrore të një madhësie të caktuar $ n $ ka gjithmonë nga ato që japin të njëjtin rezultat si kur shumëzohen në rendin përpara dhe të kundërt. Si të përshkruani të gjitha matricat e tilla (dhe sa në përgjithësi) është një temë për një mësim të veçantë. Ne nuk do të flasim për këtë sot. :)
Sidoqoftë, shumëzimi i matricës është shoqërues:
\ [\ majtas (A \ cdot B \ djathtas) \ cdot C = A \ cdot \ majtas (B \ cdot C \ djathtas) \]
Prandaj, kur duhet të shumëzoni disa matrica në një rresht në të njëjtën kohë, nuk është aspak e nevojshme ta bëni atë menjëherë: është mjaft e mundur që disa matrica ngjitur të japin një rezultat interesant kur shumëzohen. Për shembull, një matricë null, si në problemin 2, të diskutuar më sipër.
Në problemet reale, më shpesh ju duhet të shumëzoni matricat katrore me madhësi $ \ majtas [n \ herë n \ djathtas] $. Bashkësia e të gjitha matricave të tilla shënohet me $ ((M) ^ (n)) $ (d.m.th., shënimi $ A = \ majtas [n \ herë n \ djathtas] $ dhe \ do të thotë e njëjta gjë), dhe duhet të përmbajë matricën $ E $, e cila quhet matricë identiteti.
Përkufizimi. Një matricë identiteti me madhësi $ n $ është një matricë e tillë $ E $ që për çdo matricë katrore $ A = \ majtas [n \ herë n \ djathtas] $ vlen barazia e mëposhtme:
Një matricë e tillë duket gjithmonë e njëjtë: ka një në diagonalen kryesore dhe zero në të gjitha qelizat e tjera.
\ [\ fillojë (rreshtojë) & A \ cdot \ majtas (B + C \ djathtas) = A \ cdot B + A \ cdot C; \\ & \ majtas (A + B \ djathtas) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C. \\ \ fundi (drejtoj) \]
Me fjalë të tjera, nëse ju duhet të shumëzoni një matricë me shumën e dy të tjerave, atëherë mund ta shumëzoni atë me secilën prej këtyre "dy të tjerave" dhe më pas shtoni rezultatet. Në praktikë, zakonisht duhet të kryejmë operacionin e kundërt: vërejmë të njëjtën matricë, e vendosim jashtë kllapave, kryejmë mbledhje dhe në këtë mënyrë thjeshtojmë jetën tonë. :)
Shënim: për të përshkruar shpërndarjen, duhej të shkruanim dy formula: ku shuma është në faktorin e dytë dhe ku shuma është në të parën. Kjo është pikërisht për faktin se shumëzimi i matricës është jokomutativ (dhe në përgjithësi, në algjebrën jokomutative ka shumë lloj-lloj shakash që as nuk ju vijnë ndërmend kur punoni me numra të zakonshëm). Dhe nëse, për shembull, duhet ta përshkruani këtë pronë në provim, atëherë sigurohuni që të shkruani të dyja formulat, përndryshe mësuesi mund të zemërohet pak.
Mirë, këto ishin të gjitha përralla me matricë katrore. Po ato drejtkëndëshe?
Rasti i matricave drejtkëndore
Por asgjë - gjithçka është e njëjtë si me ato katrore.
Detyra 3. Kryeni shumëzimin:
\ [\ majtas [\ fill (matrica) \ fill (matricë) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ fund (matricë) & \ fillim (matricë) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ fund (matricë) \ \\ fund (matricë) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fill (array) (* (35) (r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ fund (array) \ djathtas] \]
Zgjidhje. Kemi dy matrica: $ A = \ majtas [3 \ herë 2 \ djathtas] $ dhe $ B = \ majtas [2 \ herë 2 \ djathtas] $. Le të shkruajmë numrat që tregojnë madhësitë me radhë:
Siç mund ta shihni, dy numrat qendrorë përkojnë. Kjo do të thotë që matricat janë të qëndrueshme dhe ato mund të shumëzohen. Dhe në dalje marrim matricën $ C = \ majtas [3 \ herë 2 \ djathtas] $:
\ [\ fillojë (rreshtoj) & \ majtas [\ fill (matricë) \ fillim (matricë) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ fund (matricë) & \ fillim (matricë) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \ fund (matricë) \\\ fund (matricë) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fill (matricë) (* (35) (r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ fund (arresë) \ djathtas] = \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r)) 5 \ cdot \ majtas (-2 \ djathtas) +4 \ cdot 3 & 5 \ cdot 5 + 4 \ cdot 4 \\ 2 \ cdot \ majtas (-2 \ djathtas) +5 \ cdot 3 & 2 \ cdot 5 + 5 \ cdot 4 \\ 3 \ cdot \ majtas (-2 \ djathtas) +1 \ cdot 3 & 3 \ cdot 5 + 1 \ cdot 4 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ fundi (vargu) \ djathtas]. \ fundi (radhis) \]
Gjithçka është e qartë: matrica përfundimtare ka 3 rreshta dhe 2 kolona. Krejt në vetvete $ = \ majtas [3 \ herë 2 \ djathtas] $.
Përgjigja: $ \ majtas [\ fillojë (grupi) (* (35) (r)) \ fillojë (array) (* (35) (r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\ fundi (vargu) & \ fill (matricë) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ fund (matricë) \\\ fund (matricë) \ djathtas] $.
Tani le të shqyrtojmë një nga detyrat më të mira të trajnimit për ata që sapo kanë filluar të punojnë me matricat. Në të, është e nevojshme jo vetëm të shumëzohen disa dy tabela, por së pari të përcaktohet: a lejohet një shumëzim i tillë?
Problemi 4. Gjeni të gjitha prodhimet e mundshme në çift të matricave:
\\]; $ B = \ majtas [\ fill (matrica) \ fill (matrica) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\ fund (matrica) & \ fill (matrica) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ fundi (matrica) \\\ fundi (matrica) \ djathtas] $; $ C = \ majtas [\ fillojë (matrica) 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ fund (matricë) \ djathtas] $.
Zgjidhje. Së pari, le të shkruajmë madhësitë e matricave:
\; \ B = \ majtas [4 \ herë 2 \ djathtas]; \ C = \ majtas [2 \ herë 2 \ djathtas] \]
Marrim se matrica $ A $ mund të përputhet vetëm me matricën $ B $, pasi numri i kolonave në $ A $ është 4, dhe vetëm $ B $ ka këtë numër rreshtash. Prandaj, ne mund të gjejmë produktin:
\\ cdot \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ fundi (arriti) \ djathtas] = \ majtas [\ fillojë (vargu) (* (35) (r)) - 10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
I sugjeroj lexuesit të kryejë hapat e ndërmjetëm në mënyrë të pavarur. Do të vërej vetëm se është më mirë të përcaktoni madhësinë e matricës që rezulton paraprakisht, përpara çdo llogaritjeje:
\\ cdot \ majtas [4 \ herë 2 \ djathtas] = \ majtas [2 \ herë 2 \ djathtas] \]
Me fjalë të tjera, ne thjesht heqim koeficientët "transit" që siguruan konsistencën e matricave.
Çfarë opsionesh të tjera ka? Sigurisht, ju mund të gjeni $ B \ cdot A $, sepse $ B = \ majtas [4 \ herë 2 \ djathtas] $, $ A = \ majtas [2 \ herë 4 \ djathtas] $, kështu që çifti i renditur $ \ majtas (B ; A \ djathtas) $ është konsistente dhe dimensioni i produktit do të jetë:
\\ cdot \ majtas [2 \ herë 4 \ djathtas] = \ majtas [4 \ herë 4 \ djathtas] \]
Shkurtimisht, prodhimi do të jetë matrica $ \ majtas [4 \ herë 4 \ djathtas] $, koeficientët e së cilës llogariten lehtësisht:
\\ cdot \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] = \ majtas [\ fillojë (grupi) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
Natyrisht, ju mund të pajtoni një tjetër $ C \ cdot A $ dhe $ B \ cdot C $ - kjo është e gjitha. Prandaj, ne thjesht shkruajmë punimet që rezultojnë:
Ishte e lehtë. :)
Përgjigje: $ AB = \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] $; $ BA = \ majtas [\ fillojë (grumbullim) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] $; $ CA = \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] $; $ BC = \ majtas [\ fillojë (grumbullim) (* (35) (r)) 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] $.
Në përgjithësi, unë rekomandoj që ta bëni vetë këtë detyrë. Dhe një detyrë tjetër e ngjashme, e cila është në detyrat e shtëpisë. Këto mendime në dukje të thjeshta do t'ju udhëheqin nëpër të gjithë hapat kryesorë në shumëzimin e matricës.
Por historia nuk mbaron me kaq. Le të kalojmë në raste të veçanta të shumëzimit. :)
Vektorët e rreshtave dhe vektorët e kolonave
Një nga veprimet më të zakonshme të matricës është shumëzimi me një matricë me një rresht ose një kolonë.
Përkufizimi. Një vektor kolone është një matricë $ \ majtas [m \ herë 1 \ djathtas] $, d.m.th. i përbërë nga disa rreshta dhe vetëm një kolonë.
Një vektor rresht është një matricë $ \ majtas [1 \ herë n \ djathtas] $, d.m.th. i përbërë nga një rresht dhe disa kolona.
Në fakt, ne i kemi takuar tashmë këto objekte. Për shembull, një vektor i zakonshëm 3D nga stereometria $ \ shigjeta e sipërme (a) = \ majtas (x; y; z \ djathtas) $ nuk është asgjë më shumë se një vektor rreshti. Nga pikëpamja teorike, nuk ka pothuajse asnjë ndryshim midis rreshtave dhe kolonave. Duhet të jeni të kujdesshëm vetëm kur koordinoni me matricat e shumëzuesit përreth.
Detyra 5. Kryeni shumëzimin:
\ [\ majtas [\ fillojë (vargu) (* (35) (r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (vargu) (* (35) (r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
Zgjidhje. Para nesh është prodhimi i matricave të përputhura: $ \ majtas [3 \ herë 3 \ djathtas] \ cdot \ majtas [3 \ herë 1 \ djathtas] = \ majtas [3 \ herë 1 \ djathtas] $. Le të gjejmë këtë punë:
\ [\ majtas [\ fillojë (vargu) (* (35) (r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ fundi (arriti) \ djathtas] = \ majtas [\ fillojë (array) (* (35 ) (r)) 2 \ cdot 1+ \ majtas (-1 \ djathtas) \ cdot 2 + 3 \ cdot \ majtas (-1 \ djathtas) \\ 4 \ cdot 1 + 2 \ cdot 2 + 0 \ cdot 2 \ \ -1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 2 + 1 \ cdot \ majtas (-1 \ djathtas) \\\ fundi (vargu) \ djathtas] = \ majtas [\ fillimi (arriti) (* (35) (r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
Përgjigje: $ \ majtas [\ fillojë (arresi) (* (35) (r)) - 3 \\ 8 \\ 0 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] $.
Detyra 6. Kryeni shumëzimin:
\ [\ majtas [\ fillojë (rrjedhja) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\ fundi (array) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
Zgjidhje. Përsëri, gjithçka është dakord: $ \ majtas [1 \ herë 3 \ djathtas] \ cdot \ majtas [3 \ herë 3 \ djathtas] = \ majtas [1 \ herë 3 \ djathtas] $. Ne numërojmë punën:
\ [\ majtas [\ fillojë (rrjedhja) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\ fundi (array) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] = \ majtas [\ fillimi (arriti) (* (35) ( r)) 5 & -19 & 5 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
Përgjigje: $ \ majtas [\ fillojë (matrica) 5 & -19 & 5 \\\ fund (matricë) \ djathtas] $.
Siç mund ta shihni, kur shumëzojmë vektorin e rreshtit dhe vektorin e kolonës me një matricë katrore, gjithmonë marrim një rresht ose kolonë me të njëjtën madhësi në dalje. Ky fakt ka shumë aplikime - nga zgjidhja e ekuacioneve lineare deri te të gjitha llojet e transformimeve të koordinatave (të cilat në fund të fundit gjithashtu reduktohen në sisteme ekuacionesh, por le të mos flasim për gjëra të trishtueshme).
Unë mendoj se gjithçka ishte e qartë këtu. Le të kalojmë në pjesën e fundit të mësimit të sotëm.
Shpallja e një matrice
Ndër të gjitha operacionet e shumëzimit, fuqizimi meriton vëmendje të veçantë - kjo është kur ne e shumëzojmë të njëjtin objekt në vetvete disa herë. Matricat nuk bëjnë përjashtim, ato gjithashtu mund të ngrihen në shkallë të ndryshme.
Punime të tilla janë gjithmonë të qëndrueshme:
\\ cdot \ majtas [n \ herë n \ djathtas] = \ majtas [n \ herë n \ djathtas] \]
Dhe ato përcaktohen në të njëjtën mënyrë si gradat e zakonshme:
\ [\ fillojë (radhis) & A \ cdot A = ((A) ^ (2)); \\ & A \ cdot A \ cdot A = ((A) ^ (3)); \\ & \ underbrace (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (n) = ((A) ^ (n)). \\ \ fundi (drejtoj) \]
Në shikim të parë, gjithçka është e thjeshtë. Le të shohim se si duket në praktikë:
Problemi 7. Ngrini matricën në fuqinë e treguar:
$ ((\ majtas [\ fillimi (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas]) ^ (3)) $
Zgjidhje. Epo në rregull, le të ndërtojmë. Së pari, le të vendosim në katror:
\ [\ fill (rreshtoj) & ((\ majtas [\ fill (matricë) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas]) ^ (2)) = \ majtas [\ fillojë (matricë ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fillojë (arrit) (* (35) (r)) 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 & 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 1 \\ 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 & 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot 1 \\\ fund (array) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fillojë (rrjedhje) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ fundi (vargu) \ djathtas] \ fundi (rreshtoj) \]
\ [\ fillojë (rreshtojë) & ((\ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas]) ^ (3)) = ((\ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas]) ^ (3)) \ cdot \ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund ( matricë) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ fundi (arriti) \ djathtas] \ cdot \ majtas [ \ fill (matricë) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fill (matricë) (* (35) (r)) 1 & 3 \\ 0 dhe 1 \\\ fundi (arriti) \ djathtas] \ fundi (rreshtoj) \]
Kjo eshte e gjitha.:)
Përgjigje: $ \ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] $.
Problemi 8. Ngrini matricën në fuqinë e treguar:
\ [((\ majtas [\ fillimi (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas]) ^ (10)) \]
Zgjidhje. Vetëm mos qani tani për faktin se "diploma është shumë e madhe", "bota nuk është e drejtë" dhe "mësuesit i kanë humbur fare brigjet". Në fakt, gjithçka është e lehtë:
\ [\ fill (rreshtoj) & ((\ majtas [\ fill (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas]) ^ (10)) = ((\ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas]) ^ (3)) \ cdot ((\ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas]) ^ (3)) \ cdot ((\ majtas [\ fillim (matricë) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas]) ^ (3)) \ cdot \ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas] = \\ & = \ majtas (\ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillim (matricë) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas] \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ majtas [ \ fillimi (matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas ] \ djathtas) = \\ & = \ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] \ fundi (rreshtoj) \ ]
Vini re se në rreshtin e dytë kemi përdorur shumëzimin e asociativitetit. Në fakt, ne e përdorëm atë në detyrën e mëparshme, por atje ishte e nënkuptuar.
Përgjigje: $ \ majtas [\ fillimi (matrica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] $.
Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të vështirë në ngritjen e një matrice në një fuqi. Shembulli i fundit mund të përmblidhet:
\ [((\ majtas [\ fillojë (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matricë) \ djathtas]) ^ (n)) = \ majtas [\ fillojë (matricë) (* (35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \]
Ky fakt është i lehtë për t'u vërtetuar përmes induksionit matematik ose shumëzimit të drejtpërdrejtë. Sidoqoftë, nuk është gjithmonë e mundur të kapni modele të tilla kur ngriheni në një fuqi. Prandaj, kini kujdes: shpesh është më e lehtë dhe më e shpejtë të shumëzoni disa matrica "përpara" sesa të kërkoni disa rregullsi atje.
Në përgjithësi, mos kërkoni kuptimin më të lartë atje ku nuk ekziston. Si përfundim, merrni parasysh ngritjen në një fuqi të një matrice më të madhe - sa $ \ majtas [3 \ herë 3 \ djathtas] $.
Problemi 9. Ngrini matricën në fuqinë e treguar:
\ [((\ majtas [\ fillimi (matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fundi (matrica) \ djathtas]) ^ (3)) \]
Zgjidhje. Le të mos kërkojmë modele. Ne punojmë shumë:
\ [((\ majtas [\ fillojë (matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fundi (matrica) \ djathtas]) ^ (3)) = (( \ majtas [\ fillojë (matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fundi (matrica) \ djathtas]) ^ (2)) \ cdot \ majtas [\ fillojë (matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] \]
Së pari, le të vendosim në katror këtë matricë:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & ((\ majtas [\ fillojë (matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fund (matricë) \ djathtas]) ^ ( 2)) = \ majtas [\ fillojë (matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (matrica ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fillojë (arriti) (* (35) (r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ fundi (arriti) \ djathtas] \ fundi (radhis) \]
Tani le të bëjmë kubike:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & ((\ majtas [\ fillojë (matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fund (matricë) \ djathtas]) ^ ( 3)) = \ majtas [\ fillimi (arriti) (* (35) (r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ fundi (arriti) \ djathtas] \ cdot \ majtas [\ fillojë (matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] = \\ & = \ majtas [\ fillojë ( grup) (* (35) (r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ fundi (vargu) \ djathtas] \ fundi (radhis) \]
Kjo eshte e gjitha. Problemi është zgjidhur.
Përgjigje: $ \ majtas [\ fillojë (matrica) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ fundi (matrica) \ djathtas] $.
Siç mund ta shihni, sasia e llogaritjeve është rritur, por kuptimi nuk ka ndryshuar fare. :)
Ky mësim mund të përfundojë. Herën tjetër do të shqyrtojmë operacionin e kundërt: do të kërkojmë për faktorët origjinalë duke përdorur produktin ekzistues.
Siç e keni menduar tashmë, ne do të flasim për matricën e kundërt dhe metodat e gjetjes së saj.
