Kjo temë do të mbulojë veprime të tilla si shtimi dhe zbritja e matricave, shumëzimi i një matrice me një numër, shumëzimi i një matrice me një matricë dhe transpozimi i një matrice. Të gjitha simbolet e përdorura në këtë faqe janë marrë nga tema e mëparshme.
Mbledhja dhe zbritja e matricave.
Shuma e $A+B$ e matricave $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe $B_(m\herë n)=(b_(ij))$ quhet matrica $C_(m \herë n) =(c_(ij))$, ku $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\overline( 1,n) $.
Një përkufizim i ngjashëm është paraqitur për diferencën e matricave:
Dallimi midis matricave $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dhe $B_(m\times n)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m\herë n)=( c_(ij))$, ku $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\mbi linjë (1, n)$.
Shpjegim për hyrjen $i=\overline(1,m)$: show\hide
Shënimi "$i=\overline(1,m)$" do të thotë se parametri $i$ ndryshon nga 1 në m. Për shembull, shënimi $i=\overline(1,5)$ tregon se parametri $i$ merr vlerat 1, 2, 3, 4, 5.
Vlen të theksohet se veprimet e mbledhjes dhe zbritjes përcaktohen vetëm për matricat me të njëjtën madhësi. Në përgjithësi, mbledhja dhe zbritja e matricave janë operacione që janë të qarta në mënyrë intuitive, sepse në thelb nënkuptojnë vetëm mbledhjen ose zbritjen e elementeve përkatës.
Shembulli nr. 1
Janë dhënë tre matrica:
$$ A=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)\;\; B=\left(\fillimi(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas); \;\; F=\left(\fillimi(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \djathtas). $$
A është e mundur të gjendet matrica $A+F$? Gjeni matricat $C$ dhe $D$ nëse $C=A+B$ dhe $D=A-B$.
Matrica $A$ përmban 2 rreshta dhe 3 kolona (me fjalë të tjera, madhësia e matricës $A$ është $2\herë 3$), dhe matrica $F$ përmban 2 rreshta dhe 2 kolona. Madhësitë e matricave $A$ dhe $F$ nuk përputhen, kështu që nuk mund t'i shtojmë ato, d.m.th. operacioni $A+F$ nuk është i përcaktuar për këto matrica.
Madhësitë e matricave $A$ dhe $B$ janë të njëjta, d.m.th. Të dhënat e matricës përmbajnë një numër të barabartë rreshtash dhe kolonash, kështu që operacioni i mbledhjes është i zbatueshëm për to.
$$ C=A+B=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)+ \left(\fille(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas)=\\= \left(\fillim(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \djathtas)= \majtas(\fillimi(vargu) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \djathtas) $$
Le të gjejmë matricën $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \djathtas)- \left(\fille(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \djathtas)=\\= \left(\fille(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \djathtas)= \majtas(\fillim(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end (array) \djathtas) $$
Përgjigju: $C=\left(\fillim(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \djathtas)$, $D=\left(\fille(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \djathtas)$.
Shumëzimi i një matrice me një numër.
Prodhimi i matricës $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ me numrin $\alpha$ është matrica $B_(m\herë n)=(b_(ij))$, ku $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\overline(1,n)$.
E thënë thjesht, shumëzimi i një matrice me një numër të caktuar do të thotë të shumëzosh çdo element të një matrice të caktuar me atë numër.
Shembulli nr. 2
Matrica është dhënë: $ A=\left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas)$. Gjeni matricat $3\cdot A$, $-5\cdot A$ dhe $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\fille(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas) =\majtas(\fille( grup) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \djathtas)= \left(\fille(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \djathtas).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\fillim (vargu) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas) =\ majtas(\fillimi(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \djathtas)= \majtas(\fillimi(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \fund (array) \djathtas). $$
Shënimi $-A$ është një shënim stenografi për $-1\cdot A$. Kjo do të thotë, për të gjetur $-A$ ju duhet të shumëzoni të gjithë elementët e matricës $A$ me (-1). Në thelb, kjo do të thotë që shenja e të gjithë elementëve të matricës $A$ do të ndryshojë në të kundërtën:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\fille(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \djathtas)= \ majtas(\fillimi(grupi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \fund(array) \djathtas) $$
Përgjigju: $3\cdot A=\left(\fille(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \djathtas);\; -5\cdot A=\left(\fillim(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \djathtas);\; -A=\left(\fillim(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \djathtas)$.
Produkti i dy matricave.
Përkufizimi i këtij operacioni është i rëndë dhe, në shikim të parë, i paqartë. Prandaj, së pari do të tregoj një përkufizim të përgjithshëm, dhe më pas do të analizojmë në detaje se çfarë do të thotë dhe si të punojmë me të.
Prodhimi i matricës $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ nga matrica $B_(n\times k)=(b_(ij))$ është matrica $C_(m\herë k )=(c_( ij))$, për të cilin çdo element $c_(ij)$ është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatës të rreshtit të i-të të matricës $A$ sipas elementeve të j -kolona e matricës $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\mbi vijë (1,m), j=\mbi vijë (1,n).$$
Le të shohim shumëzimin e matricës hap pas hapi duke përdorur një shembull. Sidoqoftë, duhet të vini re menjëherë se jo të gjitha matricat mund të shumëzohen. Nëse duam të shumëzojmë matricën $A$ me matricën $B$, atëherë së pari duhet të sigurohemi që numri i kolonave të matricës $A$ është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës $B$ (matrica të tilla shpesh quhen rënë dakord). Për shembull, matrica $A_(5\herë 4)$ (matrica përmban 5 rreshta dhe 4 kolona) nuk mund të shumëzohet me matricën $F_(9\herë 8)$ (9 rreshta dhe 8 kolona), pasi numri e kolonave të matricës $A $ nuk është e barabartë me numrin e rreshtave të matricës $F$, d.m.th. $4\neq 9 $. Por ju mund ta shumëzoni matricën $A_(5\herë 4)$ me matricën $B_(4\herë 9)$, pasi numri i kolonave të matricës $A$ është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës $ B$. Në këtë rast, rezultati i shumëzimit të matricave $A_(5\herë 4)$ dhe $B_(4\herë 9)$ do të jetë matrica $C_(5\herë 9)$, që përmban 5 rreshta dhe 9 kolona:
Shembulli nr. 3
Matricat e dhëna: $ A=\left(\fillim(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \fund (array) \djathtas)$ dhe $ B=\majtas(\fillim(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \fund (array) \djathtas) $. Gjeni matricën $C=A\cdot B$.
Së pari, le të përcaktojmë menjëherë madhësinë e matricës $C$. Meqenëse matrica $A$ ka madhësi $3\herë 4$, dhe matrica $B$ ka madhësi $4\herë 2$, atëherë madhësia e matricës $C$ është: $3\herë 2$:
Pra, si rezultat i produktit të matricave $A$ dhe $B$, ne duhet të marrim një matricë $C$, të përbërë nga tre rreshta dhe dy kolona: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \fund (array) \djathtas)$. Nëse emërtimi i elementeve ngre pyetje, atëherë mund të shikoni temën paraprake: “Matricat. Llojet e matricave. Termat bazë”, në fillim të së cilës shpjegohet emërtimi i elementeve të matricës. Qëllimi ynë: të gjejmë vlerat e të gjithë elementëve të matricës $C$.
Le të fillojmë me elementin $c_(11)$. Për të marrë elementin $c_(11)$, duhet të gjeni shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të parë të matricës $A$ dhe kolonës së parë të matricës $B$:
Për të gjetur vetë elementin $c_(11)$, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së parë të matricës $B$, d.m.th. elementi i parë tek i pari, i dyti tek i dyti, i treti tek i treti, i katërti tek i katërti. Ne përmbledhim rezultatet e marra:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Le të vazhdojmë zgjidhjen dhe të gjejmë $c_(12)$. Për ta bërë këtë, do t'ju duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë të matricës $A$ dhe kolonës së dytë të matricës $B$:
Ngjashëm me atë të mëparshëm, kemi:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Të gjithë elementët e rreshtit të parë të matricës $C$ janë gjetur. Le të kalojmë në rreshtin e dytë, i cili fillon me elementin $c_(21)$. Për ta gjetur atë, do t'ju duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të dytë të matricës $A$ dhe kolonës së parë të matricës $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Ne gjejmë elementin tjetër $c_(22)$ duke shumëzuar elementet e rreshtit të dytë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Për të gjetur $c_(31)$, shumëzoni elementet e rreshtit të tretë të matricës $A$ me elementët e kolonës së parë të matricës $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
Dhe së fundi, për të gjetur elementin $c_(32)$, do t'ju duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të tretë të matricës $A$ me elementët përkatës të kolonës së dytë të matricës $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Të gjithë elementët e matricës $C$ janë gjetur, gjithçka që mbetet është të shkruhet se $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( grup) \djathtas)$ . Ose, për të shkruar të plotë:
$$ C=A\cdot B =\majtas(\fillimi(arriti) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \fund(array) \djathtas)\cdot \left(\fillim(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \fund (array) \djathtas) =\left(\fillimi(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \djathtas). $$
Përgjigju: $C=\left(\fillim(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \djathtas)$.
Nga rruga, shpesh nuk ka asnjë arsye për të përshkruar në detaje vendndodhjen e secilit element të matricës së rezultatit. Për matricat, madhësia e të cilave është e vogël, mund ta bëni këtë:
Vlen gjithashtu të theksohet se shumëzimi i matricës është jokomutativ. Kjo do të thotë se në rastin e përgjithshëm $A\cdot B\neq B\cdot A$. Vetëm për disa lloje matricash, të cilat quhen e perndryshueshme(ose lëvizje), barazia $A\cdot B=B\cdot A$ është e vërtetë. Është e bazuar pikërisht në moskomutativitetin e shumëzimit që ne duhet të tregojmë saktësisht se si e shumëzojmë shprehjen me një matricë të caktuar: në të djathtë ose në të majtë. Për shembull, fraza "shumizoni të dyja anët e barazisë $3E-F=Y$ me matricën $A$ në të djathtë" do të thotë që dëshironi të merrni barazinë e mëposhtme: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Transpozuar në lidhje me matricën $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ është matrica $A_(n\herë m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, për elementet të cilët $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
E thënë thjesht, për të marrë një matricë të transpozuar $A^T$, duhet të zëvendësoni kolonat në matricën origjinale $A$ me rreshtat përkatës sipas këtij parimi: kishte një rresht të parë - do të ketë një kolonë të parë ; kishte një rresht të dytë - do të ketë një kolonë të dytë; kishte një rresht të tretë - do të ketë një kolonë të tretë dhe kështu me radhë. Për shembull, le të gjejmë matricën e transpozuar në matricën $A_(3\fish 5)$:
Prandaj, nëse matrica origjinale kishte një madhësi prej $3\fish 5$, atëherë matrica e transpozuar ka një madhësi prej $5\herë 3 $.
Disa veti të veprimeve në matrica.
Këtu supozohet se $\alpha$, $\beta$ janë disa numra dhe $A$, $B$, $C$ janë matrica. Për katër vetitë e para tregova emra; pjesa tjetër mund të emërtohet në analogji me katër të parat.
- $A+B=B+A$ (komutativiteti i mbledhjes)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociativiteti i mbledhjes)
- $(\alfa+\beta)\cdot A=\alfa A+\beta A$ (shpërndarja e shumëzimit me një matricë në lidhje me mbledhjen e numrave)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alfa A+\alfa B$ (shpërndarja e shumëzimit me një numër në lidhje me mbledhjen e matricës)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alfa\beta)A=\alfa(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, ku $E$ është matrica e identitetit të rendit përkatës.
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, ku $O$ është një matricë zero e madhësisë së duhur.
- $\majtas(A^T \djathtas)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\majtas(\alfa A \djathtas)^T=\alfa A^T$
Në pjesën tjetër, ne do të shqyrtojmë funksionin e ngritjes së një matrice në një fuqi të plotë jo-negative, dhe gjithashtu do të zgjidhim shembuj në të cilët është e nevojshme të kryhen disa operacione në matrica.
Viti i 1-re, matematika e larte, studion matricat dhe veprimet themelore mbi to. Këtu sistematizojmë operacionet bazë që mund të kryhen me matrica. Ku të filloni të njiheni me matricat? Sigurisht, nga gjërat më të thjeshta - përkufizimet, konceptet themelore dhe operacionet e thjeshta. Ju sigurojmë se matricat do të kuptohen nga të gjithë ata që i kushtojnë të paktën pak kohë!
Përkufizimi i matricës
Matricëështë një tabelë elementësh drejtkëndëshe. Epo, në terma të thjeshtë - një tabelë me numra.
Në mënyrë tipike, matricat shënohen me shkronja të mëdha latine. Për shembull, matricë A , matricë B e kështu me radhë. Matricat mund të jenë të madhësive të ndryshme: drejtkëndëshe, katrore, dhe ka edhe matrica rreshtash dhe kolonash të quajtura vektorë. Madhësia e matricës përcaktohet nga numri i rreshtave dhe kolonave. Për shembull, le të shkruajmë një matricë drejtkëndore të madhësisë m në n , Ku m – numri i rreshtave dhe n - numri i kolonave.
Artikujt për të cilët i=j (a11, a22, .. ) formojnë diagonalen kryesore të matricës dhe quhen diagonale.
Çfarë mund të bëni me matricat? Shto/Zbris, shumëzohen me një numër, shumohen mes tyre, transpozoj. Tani për të gjitha këto operacione bazë në matrica në rend.
Veprimet e mbledhjes dhe zbritjes së matricës
Le t'ju paralajmërojmë menjëherë se mund të shtoni vetëm matrica me të njëjtën madhësi. Rezultati do të jetë një matricë me të njëjtën madhësi. Shtimi (ose zbritja) e matricave është e thjeshtë - ju vetëm duhet të shtoni elementet e tyre përkatëse . Le të japim një shembull. Le të kryejmë mbledhjen e dy matricave A dhe B të madhësisë dy nga dy.
Zbritja kryhet me analogji, vetëm me shenjën e kundërt.
Çdo matricë mund të shumëzohet me një numër arbitrar. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni çdo element të tij me këtë numër. Për shembull, le të shumëzojmë matricën A nga shembulli i parë me numrin 5:
Operacioni i shumëzimit të matricës
Jo të gjitha matricat mund të shumëzohen së bashku. Për shembull, ne kemi dy matrica - A dhe B. Ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën vetëm nëse numri i kolonave të matricës A është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B. Në këtë rast çdo element i matricës rezultuese, i vendosur në rreshtin i-të dhe kolonën j-të, do të jetë i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatës në rreshtin i-të të faktorit të parë dhe kolonës j-të të i dyti. Për të kuptuar këtë algoritëm, le të shkruajmë se si shumëzohen dy matrica katrore:
Dhe një shembull me numra realë. Le të shumëzojmë matricat:
Operacioni i transpozimit të matricës
Transpozimi i matricës është një operacion ku ndërrohen rreshtat dhe kolonat përkatëse. Për shembull, le të transpozojmë matricën A nga shembulli i parë:
Përcaktues matricë
Përcaktor, ose përcaktor, është një nga konceptet bazë të algjebrës lineare. Njëherë e një kohë, njerëzit vinin me ekuacione lineare dhe pas tyre duhej të dilnin me një përcaktues. Në fund, ju takon juve të merreni me gjithë këtë, pra, shtytja e fundit!
Përcaktori është një karakteristikë numerike e një matrice katrore, e cila nevojitet për të zgjidhur shumë probleme.
Për të llogaritur përcaktuesin e matricës më të thjeshtë katrore, duhet të llogaritni ndryshimin midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.
Përcaktori i një matrice të rendit të parë, domethënë i përbërë nga një element, është i barabartë me këtë element.
Po sikur matrica të jetë tre me tre? Kjo është më e vështirë, por ju mund ta menaxhoni atë.
Për një matricë të tillë, vlera e përcaktorit është e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të diagonales kryesore dhe produkteve të elementeve që shtrihen në trekëndëshat me faqe paralele me diagonalen kryesore, nga e cila prodhohet produkti i zbriten elementet e diagonales dytësore dhe produkti i elementeve që shtrihen në trekëndëshat me faqen e diagonales dytësore paralele.
Për fat të mirë, në praktikë është e rrallë e nevojshme të llogariten përcaktuesit e matricave të madhësive të mëdha.
Këtu shikuam operacionet bazë mbi matricat. Natyrisht, në jetën reale nuk mund të hasni asnjëherë as edhe një aluzion të një sistemi matricë ekuacionesh, ose, përkundrazi, mund të hasni në raste shumë më komplekse kur vërtet duhet të grumbulloni trurin tuaj. Pikërisht për raste të tilla ekzistojnë shërbime profesionale studentore. Kërkoni ndihmë, merrni një zgjidhje cilësore dhe të detajuar, shijoni suksesin akademik dhe kohën e lirë.
Shtimi i matricës:
Zbritja dhe mbledhja e matricave reduktohet në veprimet përkatëse në elementet e tyre. Operacioni i mbledhjes së matricës hyrë vetëm për matricat të njëjtën madhësi, d.m.th matricat, në të cilat numri i rreshtave dhe kolonave është përkatësisht i barabartë. Shuma e matricave A dhe B quhen matricë C, elementet e të cilit janë të barabartë me shumën e elementeve përkatëse. C = A + B c ij = a ij + b ij Përcaktuar në mënyrë të ngjashme dallimi i matricës.
Shumëzimi i një matrice me një numër:
Operacioni i shumëzimit (pjestimit) të matricës e çdo madhësie me një numër arbitrar reduktohet në shumëzimin (pjestimin) e secilit element matricat për këtë numër. Produkt matricë Dhe numri k quhet matricë B, e tillë që
b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matricë- A = (-1) × A quhet e kundërta matricë A.
Vetitë e shtimit të matricave dhe shumëzimit të një matrice me një numër:
Operacionet e shtimit të matricës Dhe shumëzimi i matricës mbi një numër kanë këto veti: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , ku A, B dhe C janë matrica, α dhe β janë numra.
Shumëzimi i matricës (produkti i matricës):
Operacioni i shumëzimit të dy matricave futet vetëm për rastin kur numri i kolonave të të parit matricat e barabartë me numrin e rreshtave të sekondës matricat. Produkt matricë Dhe m×n në matricë Në n×p, i quajtur matricë Me m×p të tillë që me ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a në × b nk , d.m.th., gjendet shuma e produkteve të elementeve të rreshtit të i-të. matricat Dhe tek elementët përkatës të kolonës j matricat B. Nëse matricat A dhe B janë katrorë me të njëjtën madhësi, atëherë prodhimet AB dhe BA ekzistojnë gjithmonë. Është e lehtë të tregohet se A × E = E × A = A, ku A është katror matricë, E - njësi matricë të njëjtën madhësi.
Vetitë e shumëzimit të matricës:
Shumëzimi i matricës jo komutative, d.m.th. AB ≠ BA edhe nëse të dy produktet janë të përcaktuara. Megjithatë, nëse për ndonjë matricat marrëdhënia AB=BA është e kënaqur, atëherë e tillë matricat quhen komutative. Shembulli më tipik është një i vetëm matricë, i cili udhëton me ndonjë tjetër matricë të njëjtën madhësi. Vetëm ato katrore mund të jenë të pandryshueshme matricat të të njëjtit rend. A × E = E × A = A
Shumëzimi i matricës ka këto veti: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. Përcaktuesit e rendit të 2-të dhe të tretë. Vetitë e përcaktorëve.
Përcaktues matricë rendit të dytë, ose përcaktues Rendi i dytë është një numër që llogaritet me formulën:
Përcaktues matricë rendit të tretë, ose përcaktues Rendi i tretë është një numër që llogaritet me formulën:
Ky numër paraqet një shumë algjebrike të përbërë nga gjashtë terma. Çdo term përmban saktësisht një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë matricat. Çdo term përbëhet nga produkti i tre faktorëve.
Shenjat me të cilat anëtarët përcaktues i matricës të përfshira në formulë gjetja e përcaktorit të matricës renditja e tretë mund të përcaktohet duke përdorur skemën e dhënë, e cila quhet rregulla e trekëndëshave ose rregulla e Sarrusit. Tre termat e parë merren me një shenjë plus dhe përcaktohen nga figura e majtë, dhe tre termat e tjerë merren me shenjën minus dhe përcaktohen nga figura e djathtë.
Përcaktoni numrin e termave për të gjetur përcaktues i matricës, në një shumë algjebrike, mund të llogarisni faktorialin: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Vetitë e përcaktorëve të matricës
Vetitë e përcaktuesve të matricës:
Prona #1:
Përcaktues matricë nuk do të ndryshojë nëse rreshtat e tij zëvendësohen me kolona, çdo rresht me një kolonë me të njëjtin numër dhe anasjelltas (Transpozimi). |A| = |A| T
Pasoja:
Kolonat dhe rreshtat përcaktues i matricës janë të barabarta, prandaj vetitë e natyrshme në rreshta plotësohen edhe për kolonat.
Prona #2:
Kur riorganizoni 2 rreshta ose kolona përcaktues matricë do të ndryshojë shenjën në të kundërtën, duke ruajtur vlerën absolute, d.m.th.
Prona #3:
Përcaktues matricë të kesh dy rreshta identikë është e barabartë me zero.
Prona #4:
Faktori i përbashkët i elementeve të çdo serie përcaktues i matricës mund të merret si shenjë përcaktues.
Pasojat nga pronat nr. 3 dhe nr. 4:
Nëse të gjithë elementët e një serie të caktuar (rreshti ose kolona) janë proporcionale me elementët përkatës të një serie paralele, atëherë përcaktues matricë e barabartë me zero.
Prona #5:
përcaktues i matricës atëherë janë të barabarta me zero përcaktues matricë e barabartë me zero.
Prona #6:
Nëse të gjithë elementët e një rreshti ose kolone përcaktues paraqitet si një shumë prej 2 termash, atëherë përcaktues matricat mund të përfaqësohet si shuma e 2 përcaktuesit sipas formulës:
Prona #7:
Nëse në ndonjë rresht (ose kolonë) përcaktues shtoni elementet përkatëse të një rreshti (ose kolone) tjetër, të shumëzuar me të njëjtin numër, më pas përcaktues matricë nuk do të ndryshojë vlerën e saj.
Shembull i përdorimit të vetive për llogaritje përcaktues i matricës:
Pra, në mësimin e mëparshëm shikuam rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e matricave. Këto janë operacione kaq të thjeshta saqë shumica e studentëve i kuptojnë ato fjalë për fjalë menjëherë.
Megjithatë, ju gëzoheni herët. Falas ka mbaruar - le të kalojmë te shumëzimi. Unë do t'ju paralajmëroj menjëherë: shumëzimi i dy matricave nuk është aspak shumëzim i numrave në qeliza me të njëjtat koordinata, siç mund të mendoni. Gjithçka është shumë më argëtuese këtu. Dhe ne do të duhet të fillojmë me përkufizimet paraprake.
Matricat e përputhura
Një nga karakteristikat më të rëndësishme të një matrice është madhësia e saj. Ne kemi folur tashmë për këtë njëqind herë: shënimi $A=\left[ m\times n \right]$ do të thotë që matrica ka saktësisht rreshta $m$ dhe kolona $n$. Ne kemi diskutuar gjithashtu tashmë se si të mos ngatërrojmë rreshtat me kolonat. Diçka tjetër është e rëndësishme tani.
Përkufizimi. Matricat e formës $A=\left[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\left[n\herë k \djathtas]$, në të cilat numri i kolonave në matricën e parë përkon me numrin e rreshtave në të dytën, quhen konsistente.
Edhe një herë: numri i kolonave në matricën e parë është i barabartë me numrin e rreshtave në të dytën! Nga këtu marrim dy përfundime njëherësh:
- Renditja e matricave është e rëndësishme për ne. Për shembull, matricat $A=\left[ 3\herë 2 \djathtas]$ dhe $B=\majtas[ 2\herë 5 \djathtas]$ janë të qëndrueshme (2 kolona në matricën e parë dhe 2 rreshta në të dytën) , por anasjelltas — matricat $B=\left[ 2\herë 5 \djathtas]$ dhe $A=\left[ 3\herë 2 \djathtas]$ nuk janë më konsistente (5 kolonat në matricën e parë nuk janë 3 rreshta në të dytën).
- Konsistenca mund të kontrollohet lehtësisht duke shkruar të gjitha dimensionet njëra pas tjetrës. Duke përdorur shembullin nga paragrafi i mëparshëm: "3 2 2 5" - ka numra identikë në mes, kështu që matricat janë të qëndrueshme. Por "2 5 3 2" nuk janë konsistente, pasi ka numra të ndryshëm në mes.
Përveç kësaj, Captain Obviousness duket se lë të kuptohet se matricat katrore të së njëjtës madhësi $\majtas[n\herë n \djathtas]$ janë gjithmonë të qëndrueshme.
Në matematikë, kur rendi i renditjes së objekteve është i rëndësishëm (për shembull, në përkufizimin e diskutuar më sipër, renditja e matricave është e rëndësishme), shpesh flasim për çifte të renditura. Ne i takuam ata në shkollë: Mendoj se është e paqartë që koordinatat $\left(1;0 \djathtas)$ dhe $\left(0;1 \djathtas)$ përcaktojnë pika të ndryshme në aeroplan.
Pra: koordinatat janë edhe çifte të renditura që përbëhen nga numra. Por asgjë nuk ju pengon të bëni një palë të tillë nga matricat. Atëherë mund të themi: "Një çift i renditur i matricave $\left(A;B \djathtas)$ është i qëndrueshëm nëse numri i kolonave në matricën e parë është i njëjtë me numrin e rreshtave në të dytën."
Epo, çfarë?
Përkufizimi i shumëzimit
Konsideroni dy matrica konsistente: $A=\majtas[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\majtas[n\herë k \djathtas]$. Dhe ne përcaktojmë operacionin e shumëzimit për ta.
Përkufizimi. Prodhimi i dy matricave të përputhura $A=\majtas[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\majtas[n\herë k \djathtas]$ është matrica e re $C=\majtas[ m\herë k \ djathtas] $, elementët e të cilit llogariten duke përdorur formulën:
\[\filloj(rreshtoj) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+(a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\shuma\limits_(t=1)^(n)((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \fund(radhis)\]
Një produkt i tillë shënohet në mënyrën standarde: $C=A\cdot B$.
Ata që e shohin këtë përkufizim për herë të parë kanë menjëherë dy pyetje:
- Çfarë lloj loje e ashpër është kjo?
- Pse është kaq e vështirë?
Epo, së pari gjërat e para. Le të fillojmë me pyetjen e parë. Çfarë nënkuptojnë të gjithë këta tregues? Dhe si të mos bëni gabime kur punoni me matrica reale?
Para së gjithash, vërejmë se rreshti i gjatë për llogaritjen e $((c)_(i;j))$ (Vendova posaçërisht një pikëpresje midis indekseve për të mos u ngatërruar, por nuk ka nevojë t'i vendosni ato i përgjithshëm - Unë vetë u lodha duke shtypur formulën në përkufizim) në të vërtetë zbret në një rregull të thjeshtë:
- Merrni rreshtin $i$th në matricën e parë;
- Merrni kolonën $j$th në matricën e dytë;
- Marrim dy sekuenca numrash. Ne i shumëzojmë elementet e këtyre sekuencave me të njëjtët numra dhe më pas shtojmë produktet që rezultojnë.
Ky proces është i lehtë për t'u kuptuar nga fotografia:
Skema e shumëzimit të dy matricave Edhe një herë: rregullojmë rreshtin $i$ në matricën e parë, kolonën $j$ në matricën e dytë, shumëzojmë elementët me të njëjtët numra dhe më pas shtojmë produktet që rezultojnë - marrim $((c)_(ij))$ . Dhe kështu me radhë për të gjitha $1\le i\le m$ dhe $1\le j\le k$. Ato. Gjithsej do të ketë $m\herë k$ të tilla "perversione".
Në fakt, shumëzimin e matricës tashmë e kemi hasur në kurrikulën shkollore, vetëm në një formë shumë të reduktuar. Le të jepen vektorët:
\[\fillim(lidhoj) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \djathtas); \\ & \mbidrejtë shigjetë(b)=\majtas(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \djathtas). \\ \fund (radhis)\]
Atëherë produkti i tyre skalar do të jetë saktësisht shuma e produkteve në çift:
\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]
Në thelb, kur pemët ishin më të gjelbra dhe qiejt ishin më të shndritshëm, ne thjesht shumëzonim vektorin e rreshtit $\overrightarrow(a)$ me vektorin e kolonës $\overrightarrow(b)$.
Asgjë nuk ka ndryshuar sot. Vetëm se tani ka më shumë nga këta vektorë rreshtash dhe kolonash.
Por mjaft teori! Le të shohim shembuj të vërtetë. Dhe le të fillojmë me rastin më të thjeshtë - matricat katrore.
Shumëzimi i matricës katrore
Detyra 1. Kryeni shumëzimin:
\[\ majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \left[ \fillimi(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ fund (arresë) \djathtas]\]
Zgjidhje. Pra, kemi dy matrica: $A=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]$ dhe $B=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]$. Është e qartë se ato janë konsistente (matricat katrore me të njëjtën madhësi janë gjithmonë konsistente). Prandaj, ne kryejmë shumëzimin:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \fillim(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\fund (array) \djathtas]\cdot \majtas[ \ Fillim(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\fund (array) \djathtas]=\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1\cdot \majtas(-2 \djathtas)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \majtas(-2 \djathtas)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cpika 1 \\\ fund (grumbullim) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fund(array)\djathtas]. \fund (radhis)\]
Kjo eshte e gjitha!
Përgjigje: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \djathtas]$.
Detyra 2. Kryeni shumëzimin:
\[\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\fund(matrica) \djathtas]\cdot \left[ \fillimi(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ fund (array) \djathtas]\]
Zgjidhje. Përsëri, matrica konsistente, kështu që ne kryejmë veprimet e mëposhtme:\[\]
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \fillim(matricë) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\fund(matricë) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillim(matricë)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ fund (array) \djathtas]=\ majtas[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ majtas(-3 \djathtas) & 1\cdot 6+3\cdot \majtas(-2 \djathtas) \\ 2\cdot 9+6\cdot \majtas(-3 \djathtas) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \djathtas) \\\end (array) \djathtas]= \\ & =\left[ \fillimi(matrica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas ] . \fund (radhis)\]
Siç mund ta shihni, rezultati është një matricë e mbushur me zero
Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas]$.
Nga shembujt e mësipërm është e qartë se shumëzimi i matricës nuk është një operacion aq i ndërlikuar. Të paktën për matricat 2 me 2 katrore.
Në procesin e llogaritjeve, ne përpiluam një matricë të ndërmjetme, ku përshkruam drejtpërdrejt se cilët numra përfshihen në një qelizë të veçantë. Kjo është pikërisht ajo që duhet bërë kur zgjidhen problemet reale.
Karakteristikat themelore të produktit të matricës
Me pak fjalë. Shumëzimi i matricës:
- Jo-komutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$ në rastin e përgjithshëm. Ka, sigurisht, matrica të veçanta për të cilat barazia $A\cdot B=B\cdot A$ (për shembull, nëse $B=E$ është matrica e identitetit), por në shumicën dërrmuese të rasteve kjo nuk funksionon ;
- Në mënyrë asociative: $\left(A\cdot B \djathtas)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \djathtas)$. Këtu nuk ka opsione: matricat ngjitur mund të shumëzohen pa u shqetësuar se çfarë është në të majtë dhe në të djathtë të këtyre dy matricave.
- Në mënyrë distributive: $A\cdot \left(B+C \djathtas)=A\cdot B+A\cdot C$ dhe $\left(A+B \djathtas)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (për shkak të moskomutativitetit të produktit, është e nevojshme të specifikoni veçmas shpërndarjen djathtas dhe majtas.
Dhe tani - gjithçka është e njëjtë, por më në detaje.
Shumëzimi i matricës është në shumë mënyra i ngjashëm me shumëzimin klasik të numrave. Por ka dallime, më e rëndësishmja prej të cilave është ajo Shumëzimi i matricës është, në përgjithësi, jokomutativ.
Le të shohim përsëri matricat nga problemi 1. Ne tashmë e dimë produktin e tyre të drejtpërdrejtë:
\[\ majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \left[ \fillimi(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ fund (array) \djathtas]=\ majtas[ \fillim(rrjedhje)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fund (array) \djathtas]\]
Por nëse i ndërrojmë matricat, marrim një rezultat krejtësisht të ndryshëm:
\[\ majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \left[ \fillimi(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ fund (array) \djathtas]=\ majtas[ \fillimi (matrica) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ fund (matricë )\djathtas]\]
Rezulton se $A\cdot B\ne B\cdot A$. Përveç kësaj, operacioni i shumëzimit është përcaktuar vetëm për matricat konsistente $A=\left[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\left[n\herë k \djathtas]$, por askush nuk ka garantuar që ato do të mbeten konsistente.nëse ndërrohen. Për shembull, matricat $\left[ 2\herë 3 \djathtas]$ dhe $\left[ 3\herë 5 \djathtas]$ janë mjaft të qëndrueshme në rendin e specifikuar, por të njëjtat matrica $\left[ 3\herë 5 \right] $ dhe $\left[ 2\herë 3 \djathtas]$ të shkruara në rend të kundërt nuk janë më konsistente. E trishtueshme. :(
Midis matricave katrore të një madhësie të caktuar $n$ do të ketë gjithmonë ato që japin të njëjtin rezultat si kur shumëzohen në rend të drejtpërdrejtë dhe në rend të kundërt. Si të përshkruani të gjitha matricat e tilla (dhe sa ka në përgjithësi) është një temë për një mësim të veçantë. Ne nuk do të flasim për këtë sot. :)
Sidoqoftë, shumëzimi i matricës është shoqërues:
\[\majtas(A\cdot B \djathtas)\cdot C=A\cdot \majtas(B\cdot C \djathtas)\]
Prandaj, kur duhet të shumëzoni disa matrica në një rresht në të njëjtën kohë, nuk është aspak e nevojshme ta bëni atë menjëherë: është mjaft e mundur që disa matrica ngjitur, kur shumëzohen, të japin një rezultat interesant. Për shembull, një matricë zero, si në problemin 2 të diskutuar më sipër.
Në problemet reale, më shpesh ne duhet të shumëzojmë matricat katrore me madhësi $\left[n\herë n \djathtas]$. Bashkësia e të gjitha matricave të tilla shënohet me $((M)^(n))$ (d.m.th., hyrjet $A=\left[n\herë n \djathtas]$ dhe \ nënkuptojnë të njëjtën gjë), dhe do të domosdoshmërisht përmbajnë matricën $E$, e cila quhet matricë identiteti.
Përkufizimi. Një matricë identiteti me madhësi $n$ është një matricë $E$ e tillë që për çdo matricë katrore $A=\left[n\herë n \djathtas]$ barazia vlen:
Një matricë e tillë duket gjithmonë e njëjtë: ka një në diagonalen e saj kryesore, dhe zero në të gjitha qelizat e tjera.
\[\fillim(rreshtoj) & A\cdot \majtas(B+C \djathtas)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \majtas(A+B \djathtas)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \fund (rreshtoj)\]
Me fjalë të tjera, nëse ju duhet të shumëzoni një matricë me shumën e dy të tjerave, mund ta shumëzoni atë me secilën prej këtyre "dy të tjerave" dhe më pas shtoni rezultatet. Në praktikë, zakonisht duhet të kryejmë operacionin e kundërt: vërejmë të njëjtën matricë, e nxjerrim atë nga kllapat, kryejmë mbledhjen dhe në këtë mënyrë thjeshtojmë jetën tonë. :)
Shënim: për të përshkruar shpërndarjen, duhej të shkruanim dy formula: ku shuma është në faktorin e dytë dhe ku shuma është në të parën. Kjo ndodh pikërisht sepse shumëzimi i matricës është jokomutativ (dhe në përgjithësi, në algjebër jokomutative ka shumë gjëra argëtuese që as nuk ju vijnë ndërmend kur punoni me numra të zakonshëm). Dhe nëse, për shembull, duhet ta shkruani këtë pronë në një provim, atëherë sigurohuni që të shkruani të dyja formulat, përndryshe mësuesi mund të zemërohet pak.
Mirë, këto ishin të gjitha përralla rreth matricave katrore. Po ato drejtkëndëshe?
Rasti i matricave drejtkëndore
Por asgjë - gjithçka është e njëjtë si me ato katrore.
Detyra 3. Kryeni shumëzimin:
\[\majtas[ \fillimi(matrica) \fillimi(matrica) 5 \\ 2 \\ 3 \\\fund (matrica) & \fillimi (matrica) 4 \\ 5 \\ 1 \\\fundi (matrica) \ \\ fund (matricë) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\fund (array) \djathtas]\]
Zgjidhje. Kemi dy matrica: $A=\majtas[ 3\herë 2 \djathtas]$ dhe $B=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]$. Le të shkruajmë numrat që tregojnë madhësitë me radhë:
Siç mund ta shihni, dy numrat qendrorë përkojnë. Kjo do të thotë që matricat janë konsistente dhe mund të shumëzohen. Për më tepër, në dalje marrim matricën $C=\left[ 3\herë 2 \djathtas]$:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \fillim(matricë) \fillim(matricë) 5 \\ 2 \\ 3 \\\fund(matricë) & \fillim(matricë) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \fund (matricë) \\\ fund (matricë) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\fund (array) \djathtas]=\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \djathtas)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \djathtas)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \djathtas)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\fund (array) \djathtas]. \fund (radhis)\]
Gjithçka është e qartë: matrica përfundimtare ka 3 rreshta dhe 2 kolona. Mjaft $=\majtas[ 3\herë 2 \djathtas]$.
Përgjigja: $\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) \fillimi(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\fund(array) & \fillimi(matrica) 41 \\ 30 \\ 19 \\\fundi(matrica) \\\fundi(array) \djathtas]$.
Tani le të shohim një nga detyrat më të mira të trajnimit për ata që sapo kanë filluar të punojnë me matricat. Në të nuk duhet vetëm të shumëzoni disa dy tableta, por së pari të përcaktoni: a lejohet një shumëzim i tillë?
Problemi 4. Gjeni të gjitha prodhimet e mundshme në çift të matricave:
\\]; $B=\majtas[ \fillimi(matrica) \fillimi(matrica) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\fund (matrica) & \fillimi (matrica) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\fund (matricë) \\\fund (matricë) \djathtas]$; $C=\majtas[ \fillimi(matrica)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\fund(matrica) \djathtas]$.
Zgjidhje. Së pari, le të shkruajmë madhësitë e matricave:
\;\ B=\majtas[ 4\herë 2 \djathtas];\ C=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]\]
Ne zbulojmë se matrica $A$ mund të rakordohet vetëm me matricën $B$, pasi numri i kolonave të $A$ është 4, dhe vetëm $B$ e ka këtë numër rreshtash. Prandaj, ne mund të gjejmë produktin:
\\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\fund (array) \djathtas]=\ majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\fund(array) \djathtas]\]
I sugjeroj lexuesit të plotësojë hapat e ndërmjetëm në mënyrë të pavarur. Do të vërej vetëm se është më mirë të përcaktoni madhësinë e matricës që rezulton paraprakisht, madje edhe para çdo llogaritjeje:
\\cdot \majtas[ 4\herë 2 \djathtas]=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]\]
Me fjalë të tjera, ne thjesht heqim koeficientët "transit" që siguruan konsistencën e matricave.
Cilat opsione të tjera janë të mundshme? Sigurisht, mund të gjendet $B\cdot A$, pasi $B=\left[ 4\herë 2 \djathtas]$, $A=\majtas[ 2\herë 4 \djathtas]$, kështu që çifti i renditur $\ majtas(B ;A \djathtas)$ është konsistente dhe dimensioni i produktit do të jetë:
\\cdot \majtas[ 2\herë 4 \djathtas]=\majtas[ 4\herë 4 \djathtas]\]
Shkurtimisht, prodhimi do të jetë një matricë $\majtas[ 4\herë 4 \djathtas]$, koeficientët e së cilës mund të llogariten lehtësisht:
\\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\fund (array) \djathtas]=\ majtas[ \fillimi(grupi)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ fund (array) \djathtas]\]
Natyrisht, ju gjithashtu mund të bini dakord për $C\cdot A$ dhe $B\cdot C$ - dhe kjo është ajo. Prandaj, ne thjesht shkruajmë produktet që rezultojnë:
Ishte e lehtë. :)
Përgjigje: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\fund(array) \djathtas]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \djathtas]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \djathtas]$.
Në përgjithësi, unë rekomandoj ta bëni vetë këtë detyrë. Dhe një detyrë tjetër e ngjashme që është në detyrat e shtëpisë. Këto mendime në dukje të thjeshta do t'ju ndihmojnë të praktikoni të gjitha fazat kryesore të shumëzimit të matricës.
Por historia nuk mbaron me kaq. Le të kalojmë në raste të veçanta të shumëzimit. :)
Vektorët e rreshtave dhe vektorët e kolonave
Një nga veprimet më të zakonshme të matricës është shumëzimi me një matricë që ka një rresht ose një kolonë.
Përkufizimi. Një vektor kolone është një matricë me madhësi $\majtas[ m\herë 1 \djathtas]$, d.m.th. i përbërë nga disa rreshta dhe vetëm një kolonë.
Një vektor rresht është një matricë me madhësi $\left[ 1\times n \djathtas]$, d.m.th. i përbërë nga një rresht dhe disa kolona.
Në fakt, ne i kemi hasur tashmë këto objekte. Për shembull, një vektor i zakonshëm tredimensional nga stereometria $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ nuk është gjë tjetër veçse një vektor rreshti. Nga pikëpamja teorike, nuk ka pothuajse asnjë ndryshim midis rreshtave dhe kolonave. Ju vetëm duhet të jeni të kujdesshëm kur koordinoni me matricat e shumëzuesit përreth.
Detyra 5. Kryeni shumëzimin:
\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\fund (vargu) \djathtas] \cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\fund (array) \djathtas]\]
Zgjidhje. Këtu kemi produktin e matricave të përputhura: $\majtas[ 3\herë 3 \djathtas]\cdot \majtas[ 3\herë 1 \djathtas]=\majtas[ 3\herë 1 \djathtas]$. Le të gjejmë këtë pjesë:
\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\fund (vargu) \djathtas] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \djathtas]=\majtas[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\majtas(-1 \djathtas)\cdot 2+3\cdot \majtas(-1 \djathtas) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \majtas(-1 \djathtas) \\\fund(array) \djathtas]=\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ fund (array) \djathtas]\]
Përgjigje: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \djathtas]$.
Detyra 6. Kryeni shumëzimin:
\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ fund (arrit) \djathtas]\]
Zgjidhje. Përsëri gjithçka është dakord: $\majtas[ 1\herë 3 \djathtas]\cdot \majtas[ 3\herë 3 \djathtas]=\majtas[ 1\herë 3 \djathtas]$. Ne numërojmë produktin:
\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\fund(array) \djathtas]=\majtas[ \fillimi(array)(*(35)( ) r)) 5 & -19 & 5 \\\ fund (array) \djathtas]\]
Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica) 5 & -19 & 5 \\\fund (matrica) \djathtas]$.
Siç mund ta shihni, kur shumëzojmë një vektor rreshti dhe një vektor kolone me një matricë katrore, dalja rezulton gjithmonë në një rresht ose kolonë me të njëjtën madhësi. Ky fakt ka shumë aplikime - nga zgjidhja e ekuacioneve lineare deri te të gjitha llojet e transformimeve të koordinatave (të cilat në fund të fundit gjithashtu zbresin në sisteme ekuacionesh, por le të mos flasim për gjëra të trishtueshme).
Unë mendoj se gjithçka ishte e qartë këtu. Le të kalojmë në pjesën e fundit të mësimit të sotëm.
Shpërndarja e matricës
Ndër të gjitha operacionet e shumëzimit, fuqizimi meriton vëmendje të veçantë - kjo është kur ne e shumëzojmë të njëjtin objekt në vetvete disa herë. Matricat nuk bëjnë përjashtim; ato gjithashtu mund të ngrihen në fuqi të ndryshme.
Punime të tilla gjithmonë bien dakord:
\\cdot \majtas[ n\herë n \djathtas]=\majtas[n\herë n \djathtas]\]
Dhe ato përcaktohen saktësisht në të njëjtën mënyrë si gradat e zakonshme:
\[\fillim(lidhoj) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \fund (radhis)\]
Në shikim të parë, gjithçka është e thjeshtë. Le të shohim se si duket kjo në praktikë:
Detyra 7. Ngrini matricën në fuqinë e treguar:
$((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(3))$
Zgjidhje. Epo në rregull, le të ndërtojmë. Fillimisht, le ta vendosim në katror:
\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(2))=\majtas[ \fillimi(matrica ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \djathtas]\cdot \ majtas[ \fillimi (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillim(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\fund(array) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ fund (array) \djathtas] \fund (rreshtoj)\]
\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(3))=((\majtas[ \filloj (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matrica) \djathtas]) ^ (3))\cdot \ majtas[ \fillimi (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund( matricë) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillim(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\fund (array) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillim(matricë) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matricë) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillim(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 dhe 1 \\\ fund (array) \djathtas] \fund (rreshtoj)\]
Kjo eshte e gjitha.:)
Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas]$.
Problemi 8. Ngrini matricën në fuqinë e treguar:
\[((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(10))\]
Zgjidhje. Vetëm mos qani tani për faktin se "diploma është shumë e madhe", "bota nuk është e drejtë" dhe "mësuesit kanë humbur plotësisht brigjet e tyre". Në fakt është e lehtë:
\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(10))=((\majtas[ \filloj (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matrica) \djathtas]) ^ (3))\cdot ((\ majtas[ \fillimi (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund(matrica) \djathtas])^(3))\cdot ((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas])^(3))\ cdot \left[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]= \\ & =\left(\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas] \djathtas)\cdot \majtas(\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas ] \djathtas)= \\ & =\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\fund (matricë) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\fund (matricë) \djathtas] \fund (radhis)\ ]
Vini re se në rreshtin e dytë kemi përdorur asociativitetin e shumëzimit. Në fakt, ne e përdorëm atë në detyrën e mëparshme, por ishte e nënkuptuar atje.
Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]$.
Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në ngritjen e një matrice në fuqi. Shembulli i fundit mund të përmblidhet:
\[((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(n))=\majtas[ \fillimi(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ fund (array) \djathtas]\]
Ky fakt është i lehtë për t'u vërtetuar përmes induksionit matematik ose shumëzimit të drejtpërdrejtë. Sidoqoftë, nuk është gjithmonë e mundur të kapni modele të tilla kur ngriheni në një fuqi. Prandaj, kini kujdes: shpesh shumëzimi i disa matricave "rastësisht" rezulton të jetë më i lehtë dhe më i shpejtë sesa të kërkoni një lloj modelesh.
Në përgjithësi, mos kërkoni kuptim më të lartë atje ku nuk ka. Si përfundim, le të shqyrtojmë fuqizimin e një matrice më të madhe - sa $\majtas[ 3\herë 3 \djathtas]$.
Problemi 9. Ngrini matricën në fuqinë e treguar:
\[((\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^(3))\]
Zgjidhje. Le të mos kërkojmë modele. Ne punojmë përpara:
\[((\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^(3))=(( \ majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^(2))\cdot \ majtas[ \fillimi (matricë)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fund (matricë) \djathtas]\]
Së pari, le të vendosim në katror këtë matricë:
\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^( 2))=\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund(matrica) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(matrica ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fund(matrica) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ fund (array) \djathtas] \fund (rreshtoj)\]
Tani le ta bëjmë kubike:
\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^( 3))=\majtas[ \fillimi(grupi)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ fundi (vargu) \djathtas] \cdot \majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund(matrica) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi( grup)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ fund (array) \djathtas] \fund (radhis)\]
Kjo eshte e gjitha. Problemi është zgjidhur.
Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\fund (matrica) \djathtas]$.
Siç mund ta shihni, vëllimi i llogaritjeve është bërë më i madh, por kuptimi nuk ka ndryshuar fare. :)
Kjo përfundon mësimin. Herën tjetër do të shqyrtojmë operacionin e kundërt: duke përdorur produktin ekzistues do të kërkojmë faktorët origjinalë.
Siç e keni menduar tashmë, ne do të flasim për matricën e kundërt dhe metodat për gjetjen e saj.
