Ndryshimi i ndryshores në një integral të pacaktuar përdoret për të gjetur integrale në të cilat njëri prej funksioneve është derivat i një funksioni tjetër. Le të jetë një $ \int f(x) dx $ integrale, le të bëjmë zëvendësimin $ x=\phi(t) $. Vini re se funksioni $ \phi(t) $ është i diferencueshëm, kështu që ne mund të gjejmë $ dx = \phi"(t) dt $.
Tani ne zëvendësojmë $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ në integral dhe marrim se:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Ky është formula për ndryshimin e një ndryshoreje në një integral të pacaktuar.
Algoritmi i metodës së zëvendësimit të variablave
Kështu, nëse problemit i jepet një integral i formës: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Këshillohet që ndryshorja të zëvendësohet me një të re: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$
Pas kësaj, integrali do të paraqitet në një formë që mund të merret lehtësisht me metodat bazë të integrimit: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$
Mos harroni të ktheni gjithashtu variablin e zëvendësuar në $x$.
Shembuj zgjidhjesh
| Shembulli 1 |
|
Gjeni integralin e pacaktuar duke përdorur metodën e ndryshimit të ndryshores: $$ \int e^(3x) dx $$ |
| Zgjidhje |
|
Ne e zëvendësojmë variablin në integral me $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Integrali i eksponencialit është ende i njëjtë sipas tabelës së integrimit, megjithëse në vend të $ x $ shkruhet $ t $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Nëse nuk mund ta zgjidhni problemin tuaj, atëherë na dërgoni atë. Ne do të ofrojmë zgjidhje të detajuar. Ju do të jeni në gjendje të shikoni ecurinë e llogaritjes dhe të merrni informacion. Kjo do t'ju ndihmojë të merrni notën tuaj nga mësuesi juaj në kohën e duhur! |
| Përgjigju |
| $$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ |
Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri.
Detyrat edukative:
- t'i mësojë nxënësit të përdorin metodën e integrimit me zëvendësim;
- të vazhdojë të zhvillojë aftësi në përdorimin e integrimit të funksioneve;
- të vazhdojë të zhvillojë një interes për matematikën përmes zgjidhjes së problemeve;
- të kultivojë një qëndrim të ndërgjegjshëm ndaj procesit të të mësuarit, të rrënjos ndjenjën e përgjegjësisë për cilësinë e njohurive, të ushtrojë vetëkontroll mbi procesin e zgjidhjes dhe hartimit të ushtrimeve;
- kujtoni se vetëm përdorimi i ndërgjegjshëm i algoritmeve për llogaritjen e integralit të pacaktuar do t'i lejojë studentët të zotërojnë në mënyrë cilësore temën që studiohet.
Ofrimi i klasave:
- tabela e formulave bazë të integrimit;
- kartat e detyrave për punë testuese.
Studenti duhet të dijë: algoritmi për llogaritjen e integralit të pacaktuar duke përdorur metodën e zëvendësimit.
Studenti duhet të jetë i aftë: zbatojnë njohuritë e marra në llogaritjen e integraleve të pacaktuar.
Motivimi i veprimtarisë njohëse të studentëve.
Mësuesi/ja raporton se përveç metodës së integrimit të drejtpërdrejtë, ekzistojnë metoda të tjera për llogaritjen e integraleve të pacaktuara, njëra prej të cilave është metoda e zëvendësimit. Kjo është metoda më e zakonshme e integrimit të një funksioni kompleks, që konsiston në transformimin e integralit duke kaluar në një variabël tjetër integrimi.
Ecuria e mësimit
I. Koha e organizimit.
II. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.
Sondazh frontal:
III. Përsëritja e njohurive bazë të nxënësve.
1) Përsëriteni tabelën e formulave bazë të integrimit.
2) Përsëritni se çfarë është metoda e integrimit të drejtpërdrejtë.
Integrimi i drejtpërdrejtë është një metodë integrimi në të cilën një integral i caktuar reduktohet në një ose më shumë integrale tabelore me anë të transformimeve identike të integrantit dhe aplikimit të vetive të integralit të pacaktuar.
IV. Mësimi i materialit të ri.
Nuk është gjithmonë e mundur të llogaritet një integral i caktuar me integrim të drejtpërdrejtë, dhe ndonjëherë kjo shoqërohet me vështirësi të mëdha. Në këto raste përdoren teknika të tjera. Një nga teknikat më efektive është metoda e zëvendësimit ose zëvendësimit të ndryshores së integrimit. Thelbi i kësaj metode është se duke futur një variabël të ri integrimi është e mundur të reduktohet një integral i caktuar në një integral të ri, i cili është relativisht i lehtë për t'u marrë drejtpërdrejt. Nëse pas ndryshimit të ndryshores integrali bëhet më i thjeshtë, atëherë qëllimi i zëvendësimit është arritur. Integrimi me metodën e zëvendësimit bazohet në formulën
Le të shqyrtojmë këtë metodë.
Algoritmi i llogaritjesintegral i pacaktuar sipas metodës së zëvendësimit:
- Përcaktoni se në cilin integral tabele është reduktuar ky integral (pasi të transformoni fillimisht integranin, nëse është e nevojshme).
- Përcaktoni cilën pjesë të integrandit të zëvendësoni me një ndryshore të re dhe shkruani këtë zëvendësim.
- Gjeni diferencialet e të dy pjesëve të rekordit dhe shprehni diferencialin e ndryshores së vjetër (ose një shprehje që përmban këtë diferencial) në terma të diferencialit të ndryshores së re.
- Bëni një zëvendësim nën integralin.
- Gjeni integralin që rezulton.
- Si rezultat, bëhet një zëvendësim i kundërt, d.m.th. shkoni te ndryshorja e vjetër. Është e dobishme të kontrolloni rezultatin me diferencim.
Le të shohim shembuj.
Shembuj. Gjeni integralet:
1) )4
Le të prezantojmë zëvendësimin:
Duke e diferencuar këtë barazi, kemi:
V. Zbatimi i njohurive gjatë zgjidhjes së shembujve tipikë.
VI. Zbatim i pavarur i njohurive, aftësive dhe aftësive.
opsioni 1
Gjeni integralet:
Opsioni 2
Gjeni integralet:
VII. Duke përmbledhur mësimin.
VIII. Detyre shtepie:
G.N. Yakovlev, pjesa 1, §13.2, paragrafi 2, nr. 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)
Metoda bazohet në formulën e mëposhtme: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, ku x = j(t) është një funksion i diferencueshëm në intervalin në shqyrtim.
Dëshmi. Le të gjejmë derivatet në lidhje me ndryshoren t nga ana e majtë dhe e djathtë e formulës.
Vini re se në anën e majtë ka një funksion kompleks, argumenti i ndërmjetëm i të cilit është x = j(t). Prandaj, për ta diferencuar atë në lidhje me t, ne fillimisht diferencojmë integralin në lidhje me x, dhe më pas marrim derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me t.
(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)
Derivat nga ana e djathtë:
(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)
Meqenëse këto derivate janë të barabarta, si pasojë e teoremës së Lagranzhit, ana e majtë dhe e djathtë e formulës që vërtetohet ndryshojnë nga një konstante e caktuar. Meqenëse vetë integralet e pacaktuara përcaktohen deri në një term konstant të pacaktuar, kjo konstante mund të hiqet nga shënimi përfundimtar. E provuar.
Një ndryshim i suksesshëm i ndryshores ju lejon të thjeshtoni integralin origjinal, dhe në rastet më të thjeshta, ta zvogëloni atë në një tabelë. Në aplikimin e kësaj metode bëhet dallimi ndërmjet metodave të zëvendësimit linear dhe jolinear.
a) Le të shqyrtojmë metodën e zëvendësimit linear duke përdorur një shembull.
Shembulli 1.. Le të jetë t = 1 – 2x, atëherë
dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt
Duhet të theksohet se ndryshorja e re nuk ka nevojë të shkruhet në mënyrë eksplicite. Në raste të tilla, ata flasin për transformimin e një funksioni nën shenjën diferenciale ose për futjen e konstantave dhe ndryshoreve nën shenjën diferenciale, d.m.th. O zëvendësimi i nënkuptuar i ndryshores.
Shembulli 2. Për shembull, le të gjejmë òcos(3x + 2)dx. Sipas vetive të diferencialit
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), pastaj òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.
Në të dy shembujt e konsideruar, zëvendësimi linear t = kx + b (k ¹ 0) është përdorur për të gjetur integralet.
Në rastin e përgjithshëm, teorema e mëposhtme është e vlefshme.
Teorema e zëvendësimit linear. Le të jetë F(x) ndonjë antiderivativ i funksionit f(x). Atëherë òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, ku k dhe b janë disa konstante, k ¹ 0.
Dëshmi.
Sipas përcaktimit të integralit, òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Le të marrim faktorin konstant k jashtë shenjës integrale: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Tani mund të ndajmë anën e majtë dhe të djathtë të barazisë me k dhe të marrim pohimin që duhet vërtetuar deri në përcaktimin e termit konstant.
Kjo teoremë thotë se nëse në përkufizimin e integralit ò f(x)dx = F(x) + C në vend të argumentit x zëvendësojmë shprehjen (kx + b), kjo do të çojë në shfaqjen e një shtesë. faktori 1/k përballë antiderivativit.
Duke përdorur teoremën e provuar, zgjidhim shembujt e mëposhtëm.
Shembulli 3.
Le ta gjejmë. Këtu kx + b = 3 – x, d.m.th. k = -1, b = 3. Pastaj
Shembulli 4.
Le ta gjejmë. Këtu kx + b = 4x + 3, d.m.th. k = 4, b = 3. Pastaj
Shembulli 5.
Le ta gjejmë. Këtu kx + b = -2x + 7, d.m.th. k = -2, b = 7. Pastaj
.
Shembulli 6. Le ta gjejmë. Këtu kx + b = 2x + 0, d.m.th. k = 2, b = 0.
.
Le të krahasojmë rezultatin e marrë me shembullin 8, i cili u zgjidh me metodën e zbërthimit. Duke zgjidhur të njëjtin problem duke përdorur një metodë tjetër, morëm përgjigjen 
. Le të krahasojmë rezultatet: . Kështu, këto shprehje ndryshojnë nga njëra-tjetra me një term konstant, d.m.th. Përgjigjet e marra nuk kundërshtojnë njëra-tjetrën.
Shembulli 7. Ne do të gjejmë 
. Le të zgjedhim një katror të përsosur në emërues.
Në disa raste, ndryshimi i një ndryshoreje nuk e redukton integralin drejtpërdrejt në një tabelar, por mund të thjeshtojë zgjidhjen, duke bërë të mundur përdorimin e metodës së zgjerimit në një hap pasues.
Shembulli 8. Për shembull, le të gjejmë. Zëvendësojmë t = x + 2, pastaj dt = d(x + 2) = dx. Pastaj
,
ku C = C 1 – 6 (kur zëvendësojmë shprehjen (x + 2) në vend të t, në vend të dy termave të parë marrim ½x 2 -2x – 6).
Shembulli 9. Le ta gjejmë. Le të jetë t = 2x + 1, pastaj dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.
Le të zëvendësojmë shprehjen (2x + 1) me t, të hapim kllapat dhe të japim të ngjashme.
Vini re se në procesin e transformimeve ne kaluam në një term tjetër konstant, sepse grupi i termave konstante mund të hiqet gjatë procesit të transformimit.
b) Le të shqyrtojmë metodën e zëvendësimit jolinear duke përdorur një shembull.
Shembulli 1.. Le të jetë t = - x 2 . Më pas, dikush mund të shprehë x në terma t, pastaj të gjejë një shprehje për dx dhe të zbatojë një ndryshim të ndryshores në integralin e dëshiruar. Por në këtë rast është më e lehtë të bësh gjërat ndryshe. Le të gjejmë dt = d(-x 2) = -2xdx. Vini re se shprehja xdx është një faktor i integrandit të integralit të dëshiruar. Le ta shprehim nga barazia që rezulton xdx = - ½ dt. Pastaj
= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C
Le të shohim disa shembuj të tjerë.
Shembulli 2. Le ta gjejmë. Le t = 1 - x 2 . Pastaj
Shembulli 3. Le ta gjejmë. Le t = . Pastaj
;
Shembulli 4. Në rastin e zëvendësimit jolinear, është gjithashtu i përshtatshëm të përdoret zëvendësimi i nënkuptuar i ndryshores.
Për shembull, le të gjejmë. Le të shkruajmë xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (zëvendësuar në mënyrë implicite nga ndryshorja t = 3 - 2x 2). Pastaj
Shembulli 5. Ne do të gjejmë 
. Këtu ne prezantojmë gjithashtu një variabël nën shenjën diferenciale: 
(zëvendësimi i nënkuptuar t = 3 + 5x 3). Pastaj
Shembulli 6. Le ta gjejmë. Sepse ,
Shembulli 7. Le ta gjejmë. Që atëherë
Le të shohim disa shembuj në të cilët bëhet e nevojshme të kombinohen zëvendësime të ndryshme.
Shembulli 8. Ne do të gjejmë 
. Le
t = 2x + 1, pastaj x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.
Shembulli 9. Ne do të gjejmë 
. Le
t = x - 2, pastaj x = t + 2; dx = dt.
Integrimi me ndryshim të ndryshores (metoda e zëvendësimit) është një nga metodat më të zakonshme për gjetjen e integraleve.
Qëllimi i prezantimit të një variabli të ri është të thjeshtojë integrimin. Opsioni më i mirë është zëvendësimi i një ndryshoreje dhe marrja e një integrali tabelor në lidhje me variablin e ri. Si të përcaktoni se çfarë zëvendësimi duhet të bëhet? Aftësitë vijnë me përvojë. Sa më shumë shembuj të zgjidhen, aq më shpejt zgjidhen ata të ardhshëm. Në fazën fillestare ne përdorim arsyetimin e mëposhtëm:
Kjo eshte. nëse nën shenjën integrale shohim prodhimin e ndonjë funksioni f(x) dhe derivatin e tij f '(x), atëherë ky funksion f(x) duhet të merret si një ndryshore e re t, pasi diferenciali dt=f '(x )dx ekziston tashmë.
Le të shohim se si funksionon metoda e zëvendësimit të variablave duke përdorur shembuj specifikë.
Llogaritni integralet duke përdorur metodën e zëvendësimit të ndryshoreve:
Këtu 1/(1+x²) është derivati i funksionit arctan x. Prandaj, ne marrim arctan x si ndryshore të re t. Më pas, ne do të përdorim:
Pasi të kemi gjetur integralin e t, kryejmë zëvendësimin e kundërt:
Nëse e marrim sinusin si t, atëherë duhet të ketë edhe derivatin e tij, kosinusin (deri në shenjë). Por nuk ka kosinus në integrand. Por nëse marrim eksponentin si t, gjithçka funksionon:
Për të marrë diferencialin e dëshiruar dt, ndryshoni shenjën në numërues dhe përpara integralit:
(Këtu (ln(cosx))' - . )
Zëvendësimi i një polinomi ose. Këtu është një polinom i shkallës, për shembull, shprehja është një polinom i shkallës.
Le të themi se kemi një shembull:
Le të përdorim metodën e zëvendësimit të variablave. Për çfarë mendoni se duhet marrë? E drejta,.
Ekuacioni bëhet:
Ne kryejmë një ndryshim të kundërt të variablave:
Le të zgjidhim ekuacionin e parë:
Le të vendosim e dyta ekuacioni:
… Çfarë do të thotë kjo? E drejtë! Se nuk ka zgjidhje.
Kështu, morëm dy përgjigje - ; .
A e kuptoni se si të përdorni metodën e zëvendësimit të ndryshoreve për një polinom? Praktikoni ta bëni këtë vetë:
E vendosur? Tani le të kontrollojmë pikat kryesore me ju.
Ju duhet ta merrni atë.
Marrim shprehjen:
Duke zgjidhur një ekuacion kuadratik, gjejmë se ai ka dy rrënjë: dhe.
Zgjidhja e ekuacionit të parë kuadratik është numrat dhe
Zgjidhja e ekuacionit të dytë kuadratik - numrat dhe.
Përgjigju: ; ; ;
Le ta përmbledhim
Metoda e zëvendësimit të variablave ka llojet kryesore të zëvendësimeve të variablave në ekuacione dhe pabarazi:
1. Zëvendësimi i fuqisë, kur marrim si disa të panjohura, të ngritura në një fuqi.
2. Zëvendësimi i një polinomi, kur marrim për një shprehje të tërë që përmban një të panjohur.
3. Zëvendësimi thyesor-racional, kur marrim ndonjë relacion që përmban një ndryshore të panjohur.
E rëndësishme këshilloj kur futni një ndryshore të re:
1. Zëvendësimi i variablave duhet të bëhet menjëherë, në rastin e parë.
2. Ekuacioni për një ndryshore të re duhet të zgjidhet deri në fund dhe vetëm atëherë të kthehet në të panjohurën e vjetër.
3. Kur ktheheni në të panjohurën origjinale (dhe në të vërtetë gjatë gjithë zgjidhjes), mos harroni të kontrolloni rrënjët për ODZ.
Një ndryshore e re futet në mënyrë të ngjashme, si në ekuacione ashtu edhe në pabarazi.
Le të shohim 3 probleme
Përgjigjet për 3 probleme
1. Le, pastaj shprehja merr formën.
Meqenëse, mund të jetë edhe pozitive edhe negative.
Përgjigje:
2. Lë, atëherë shprehja merr formën.
nuk ka zgjidhje sepse...
Përgjigje:
3. Duke grupuar marrim:
Lëreni atëherë shprehja të marrë formën
.
Përgjigje:
ZËVENDËSIMI I NDRYSHOREVE. NIVELI MESATAR.
Zëvendësimi i variablave- kjo është futja e një të panjohure të re, në lidhje me të cilën ekuacioni ose pabarazia ka një formë më të thjeshtë.
Unë do të listoj llojet kryesore të zëvendësimeve.
Zëvendësimi i fuqisë
Zëvendësimi i fuqisë.
Për shembull, duke përdorur një zëvendësim, një ekuacion bikuadratik reduktohet në një kuadratik: .
Në pabarazi gjithçka është e ngjashme.
Për shembull, ne bëjmë një zëvendësim në mosbarazimin dhe marrim një pabarazi kuadratike: .
Shembull (vendosni vetë):
Zgjidhja:
Ky është një ekuacion thyesor-racional (përsëriteni), por zgjidhja e tij duke përdorur metodën e zakonshme (reduktimi në një emërues të përbashkët) është i papërshtatshëm, pasi do të marrim një ekuacion të shkallës, kështu që përdoret një ndryshim i ndryshoreve.
Çdo gjë do të bëhet shumë më e lehtë pasi të zëvendësoni: . Pastaj:
Tani le ta bëjmë zëvendësimi i kundërt:
Përgjigje: ; .
Zëvendësimi i një polinomi
Zëvendësimi i një polinomi ose.
Këtu është një polinom i shkallës, d.m.th. shprehja e formës
(për shembull, shprehja është një polinom i shkallës, domethënë).
Zëvendësimi më i përdorur për trinomin kuadratik është: ose.
Shembull:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Dhe përsëri, përdoret zëvendësimi i variablave.
Atëherë ekuacioni do të marrë formën:
Rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik janë: dhe.
Kemi dy raste. Le të bëjmë një zëvendësim të kundërt për secilën prej tyre:
Kjo do të thotë se ky ekuacion nuk ka rrënjë.
Rrënjët e këtij ekuacioni janë: i.
Përgjigju. .
Zëvendësimi thyesor-racional
Zëvendësimi thyesor-racional.
dhe janë polinome të shkallëve dhe, përkatësisht.
Për shembull, kur zgjidhen ekuacionet reciproke, domethënë ekuacionet e formës
zakonisht përdoret zëvendësimi.
Tani do t'ju tregoj se si funksionon.
Është e lehtë të kontrollosh se çfarë nuk është rrënja e këtij ekuacioni: në fund të fundit, nëse e zëvendësojmë atë në ekuacion, marrim atë që kundërshton kushtin.
Le ta ndajmë ekuacionin në:
Le të rigrupojmë:
Tani bëjmë një zëvendësim: .
E bukura e saj është se kur kuadroni produktin e dyfishtë të termave, x zvogëlohet:
Nga kjo rrjedh se.
Le të kthehemi te ekuacioni ynë:
Tani mjafton të zgjidhet ekuacioni kuadratik dhe të bëhet zëvendësimi i kundërt.
Shembull:
Zgjidheni ekuacionin: .
Zgjidhja:
Kur barazia nuk qëndron, pra. Le ta ndajmë ekuacionin në:
Ekuacioni do të marrë formën:
Rrënjët e saj:
Le të bëjmë një zëvendësim të kundërt:
Le të zgjidhim ekuacionet që rezultojnë:
Përgjigje: ; .
Një shembull tjetër:
Zgjidh pabarazinë.
Zgjidhja:
Me zëvendësim të drejtpërdrejtë jemi të bindur se nuk përfshihet në zgjidhjen e kësaj pabarazie. Ndani numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me:
Tani zëvendësimi i ndryshores është i dukshëm: .
Atëherë pabarazia do të marrë formën:
Ne përdorim metodën e intervalit për të gjetur y:
para të gjithëve, sepse
para të gjithëve, sepse
Pra, pabarazia është ekuivalente me sa vijon:
para të gjithëve sepse...
Kjo do të thotë se pabarazia është ekuivalente me sa vijon: .
Pra, pabarazia rezulton të jetë e barabartë me agregatin:
Përgjigje:.
Zëvendësimi i variablave- një nga metodat më të rëndësishme për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive.
Së fundi, unë do t'ju jap disa këshilla të rëndësishme:
ZËVENDËSIMI I NDRYSHOREVE. PËRMBLEDHJE DHE FORMULA BAZË.
Zëvendësimi i variablave- një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive komplekse, e cila ju lejon të thjeshtoni shprehjen origjinale dhe ta çoni atë në një formë standarde.
Llojet e zëvendësimit të variablave:
- Zëvendësimi i fuqisë: merret si një i panjohur, i ngritur në një fuqi - .
- Zëvendësimi fraksional-racional:çdo lidhje që përmban një ndryshore të panjohur merret si - , ku dhe janë polinome të shkallëve n dhe m, përkatësisht.
- Zëvendësimi i një polinomi: e gjithë shprehja që përmban të panjohurën merret si - ose, ku është një polinom i shkallës.
Pas zgjidhjes së një ekuacioni/pabarazie të thjeshtuar, është e nevojshme të bëhet një zëvendësim i kundërt.
