Sistemi i numrave (CC) është një grup teknikash për emërtimin dhe shkrimin e numrave. Në çdo SS, disa numra përdoren për të paraqitur numra, të cilët quhen numra bazë, dhe të gjithë numrat e tjerë fitohen si rezultat i disa veprimeve në numrat bazë. Në botën moderne, paraqitja më e zakonshme e numrave është 0.. .9.
SS ndryshojnë në zgjedhjen e numrave bazë dhe rregullat për formimin e numrave të mbetur prej tyre. Për shembull, në SS romake, ato themelore janë: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000) dhe të tjerët. fitohen me mbledhje dhe zbritje të numrave bazë. Në SS romake, çdo shenjë numerike ka të njëjtin kuptim, domethënë, vlera e një shenje numerike nuk varet nga vendndodhja e saj në regjistrimin e numrave: 146 –CXLVI.
Ky SS është jo pozicional. Është i përshtatshëm për të shkruar numra të vegjël në të. Por është e papërshtatshme për të kryer operacione në një numër të madh.
5.1. Sistemet e numrave pozicional
SS-të e pozicionit aktualisht përdoren për të paraqitur numrat. SS quhet pozicional nëse vlera e secilës shifër (pesha e saj) ndryshon në varësi të pozicionit (pozicionit) të saj në sekuencën e shifrave që përfaqësojnë numrin.
Numri i shifrave të përdorura për të paraqitur numrat në SS pozicionale quhet baza e tij, domethënë nëse përdoren shifra K, atëherë baza e SS është K. Numri në SS pozicional mund të përfaqësohet si më poshtë:
Pozicionet e rinumëruara në këtë mënyrë quhen shifra. Secila nga shifrat merr njërën nga vlerat 
.K përdoret për të përcaktuar sasinë e çdo shifre të një numri. Kjo do të thotë, numri i k-ary SS mund të përfaqësohet si një polinom:
Shembuj të sistemeve të numrave pozicional:
Veprimet aritmetike në çdo SS pozicionale kryhen sipas të njëjtave rregulla si në SS dhjetore, pasi të gjitha bazohen në rregullat për kryerjen e veprimeve me polinomet përkatëse. Në këtë rast përdoren tabelat e mbledhjes dhe shumëzimit, të cilat zhvillohen për një bazë të caktuar CC.
Tabelat e mbledhjes dhe shumëzimit në SS binare janë:
Për paraqitjen fizike të numrave, kërkohen elementë që mund të jenë në një nga disa gjendje të qëndrueshme. Numri i këtyre gjendjeve duhet të jetë i barabartë me bazën e SS-së së marrë, atëherë secili shtet do të përfaqësojë shifrën përkatëse nga alfabeti i SS-së së dhënë. Për të zbatuar sistemin dhjetor SS, do t'ju duhen elementë me 10 gjendje të qëndrueshme. Më të thjeshtat nga pikëpamja e zbatimit teknik janë elementët me dy pozicione që mund të jenë në një nga dy gjendjet e qëndrueshme, për shembull, një stafetë elektromagnetike (gjendjet "e mbyllur" - "e hapur"), një sipërfaqe feromagnetike (e magnetizuar - e demagnetizuar) , një ndërprerës tranzistor, etj. Njëra nga këto gjendje mund të caktohet me numrin –0 dhe tjetra - me 1.
Ka përfitime të tjera që lidhen me SS-në binar. Siguron imunitet maksimal ndaj zhurmës në procesin e transmetimit të informacionit. Është jashtëzakonisht e thjeshtë për të kryer veprime aritmetike dhe logjike. Falë kësaj, SS binar është bërë standardi në informatikë moderne.
Disavantazhi i një CC binar është numri i madh i biteve në kodin binar.
Rezultati tashmë është marrë!
Sistemet e numrave
Ekzistojnë sisteme numrash pozicionalë dhe jopozicionalë. Sistemi i numrave arab që përdorim në jetën e përditshme është pozicional, por ai romak jo. Në sistemet e numërimit pozicional, pozicioni i një numri përcakton në mënyrë unike madhësinë e numrit. Le ta shohim këtë duke përdorur numrin dhjetor 6372 si shembull. Le ta numërojmë këtë numër nga e djathta në të majtë duke filluar nga zero:
Atëherë numri 6372 mund të përfaqësohet si më poshtë:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Numri 10 përcakton sistemin e numrave (në këtë rast, është 10). Vlerat e pozicionit të numrit të dhënë merren si gradë.
Konsideroni numrin dhjetor real 1287.923. Le ta numërojmë duke filluar nga pozicioni zero i numrit nga pika dhjetore majtas dhe djathtas:
Atëherë numri 1287.923 mund të përfaqësohet si:
1287,923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 + 30 10 -3.
Në përgjithësi, formula mund të përfaqësohet si më poshtë:
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
ku Ц n është një numër i plotë në pozicion n, Д -k - numri thyesor në pozicionin (-k), s- sistemi i numrave.
Disa fjalë për sistemet e numrave Numri në sistemin e numrave dhjetor përbëhet nga shumë shifra (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), në sistemin e numrave oktal - nga grupi i numrat (0,1, 2,3,4,5,6,7), në sistemin binar të numrave - nga grupi i shifrave (0,1), në sistemin heksadecimal të numrave - nga grupi i numrave (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), ku A, B, C, D, E, F korrespondojnë me numrat 10,11 Janë paraqitur numrat ,12,13,14,15 në sisteme të ndryshme numrash.
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Shënimi | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin
Për të kthyer numrat nga një sistem numrash në një tjetër, mënyra më e lehtë është që fillimisht të konvertohet numri në sistemin e numrave dhjetorë, dhe më pas, nga sistemi i numrave dhjetorë, ta përktheni atë në sistemin e numrave të kërkuar.
Shndërrimi i numrave nga çdo sistem numrash në sistemin e numrave dhjetorë
Duke përdorur formulën (1), ju mund të konvertoni numrat nga çdo sistem numrash në sistemin e numrave dhjetorë.
Shembull 1. Shndërroni numrin 1011101.001 nga shënimi binar (SS) në SS dhjetore. Zgjidhja:
1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Shembull2. Konvertoni 1011101.001 nga sistemi i numrave oktal (SS) në SS dhjetore. Zgjidhja:
Shembull 3 ... Shndërroni numrin AB572.CDF nga baza heksadecimal në SS dhjetore. Zgjidhja:
Këtu A-zëvendësuar me 10, B- në 11, C- në 12, F- deri në 15.
Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash dhjetorë në një sistem tjetër numrash
Për të kthyer numrat nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numrash, duhet të përktheni veçmas pjesën e plotë të numrit dhe pjesën thyesore të numrit.
E gjithë pjesa e numrit transferohet nga SS dhjetore në një sistem tjetër numerik - duke e ndarë në mënyrë sekuenciale të gjithë pjesën e numrit me bazën e sistemit të numrave (për një SS binar - me 2, për një SS 8-vjeçare - me 8, për një 16-ar - me 16, etj.) ) derisa të merret një mbetje e tërë, më pak se CC bazë.
Shembull 4 ... Le ta kthejmë numrin 159 nga SS dhjetore në SS binar:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Siç shihet nga Fig. 1, numri 159 kur pjesëtohet me 2 jep herësin 79 dhe mbetja 1. Më tej, numri 79 kur pjesëtohet me 2 jep herësin 39 dhe mbetja 1 etj. Si rezultat, pasi kemi ndërtuar një numër nga pjesa e mbetur e ndarjes (nga e djathta në të majtë), marrim numrin në SS binar: 10011111 ... Prandaj, mund të shkruajmë:
159 10 =10011111 2 .
Shembull 5 ... Le ta kthejmë numrin 615 nga SS dhjetore në SS oktal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Kur konvertoni një numër nga SS dhjetore në SS oktal, duhet ta ndani në mënyrë sekuenciale numrin me 8 derisa të merrni një mbetje të plotë më pak se 8. Si rezultat, ndërtimi i numrit nga mbetjet e pjesëtimit (nga e djathta në të majtë). marrim numrin në SS oktal: 1147 (shih Fig. 2). Prandaj, mund të shkruajmë:
615 10 =1147 8 .
Shembull 6 ... Shndërroni numrin 19673 nga SS dhjetore në heksadecimal SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Siç mund të shihet nga figura 3, duke pjesëtuar në mënyrë sekuenciale 19673 me 16, kemi marrë mbetjet 4, 12, 13, 9. Në sistemin heksadecimal, numri 12 korrespondon me C, numri 13 me D. Prandaj, numri ynë heksadecimal është 4CD9.
Për të kthyer thyesat dhjetore të sakta (një numër real me një pjesë të plotë zero) në bazën s, ky numër duhet të shumëzohet në mënyrë sekuenciale me s derisa të fitohet një zero e pastër në pjesën thyesore, ose të marrim numrin e kërkuar të shifrave. Nëse gjatë shumëzimit fitohet një numër me një pjesë të plotë të ndryshme nga zero, atëherë kjo pjesë e plotë nuk merret parasysh (ato i shtohen rezultatit në mënyrë sekuenciale).
Le të shqyrtojmë sa më sipër me shembuj.
Shembull 7 ... Shndërroni numrin 0,214 nga SS dhjetore në binar.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Siç mund të shihet nga Fig. 4, numri 0.214 shumëzohet në mënyrë sekuenciale me 2. Nëse shumëzimi rezulton në një numër jozero me një pjesë të plotë, atëherë pjesa e plotë shkruhet veçmas (në të majtë të numrit) dhe numri shkruhet me një pjesë të plotë zero. Nëse, gjatë shumëzimit, fitohet një numër me një pjesë të plotë zero, atëherë zero shkruhet në të majtë të tij. Procesi i shumëzimit vazhdon derisa të fitohet një zero e pastër në pjesën thyesore, ose të merret numri i kërkuar i shifrave. Duke shkruar numrat me shkronja të zeza (Fig. 4) nga lart poshtë, marrim numrin e kërkuar në sistemin e numrave binar: 0. 0011011 .
Prandaj, mund të shkruajmë:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Shembull 8 ... Le ta kthejmë numrin 0.125 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS binar.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Për të kthyer numrin 0.125 nga SS dhjetore në binar, ky numër shumëzohet në mënyrë sekuenciale me 2. Në fazën e tretë, doli 0. Prandaj, u mor rezultati i mëposhtëm:
0.125 10 =0.001 2 .
Shembull 9 ... Le ta kthejmë numrin 0.214 nga SS dhjetore në heksadecimal SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Duke ndjekur shembujt 4 dhe 5, marrim numrat 3, 6, 12, 8, 11, 4. Por në heksadecimal SS, numrat 12 dhe 11 korrespondojnë me numrat C dhe B. Prandaj, kemi:
0,214 10 = 0,36C8B4 16.
Shembull 10 ... Konvertimi i numrit dhjetor në dhjetor SS 0.512.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Marrë:
0.512 10 =0.406111 8 .
Shembull 11 ... Shndërrimi i numrit 159.125 nga SS dhjetor në Binar. Për ta bërë këtë, ne përkthejmë veçmas pjesën e plotë të numrit (Shembulli 4) dhe pjesën e pjesshme të numrit (Shembulli 8). Më tej, duke kombinuar këto rezultate, marrim:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Shembull 12 ... Shndërrimi i numrit 19673.214 nga SS dhjetor në heksadecimal. Për ta bërë këtë, ne përkthejmë veçmas pjesën e plotë të numrit (Shembulli 6) dhe pjesën e pjesshme të numrit (Shembulli 9). Më tej, duke kombinuar këto rezultate, marrim.
Paraqitja e numrave dhe komandave në një kompjuter(INFlesson5.doc).
Ideja për të shprehur numrat në dhjetë shenja, duke u dhënë atyre, përveç kuptimit në formë, edhe kuptimit në vend, është aq e thjeshtë saqë është e vështirë të kuptosh se sa e mahnitshme është pikërisht për shkak të kësaj thjeshtësie. Sa e vështirë është të arrish te kjo metodë, e shohim në shembullin e gjenive më të mëdhenj të dijerisë greke, Arkimedit dhe Apolonit, të cilëve kjo ide mbeti e fshehur.
Pierre Simon Laplace
Duke studiuar mënyrat e paraqitjes së informacionit numerik, është e nevojshme të njiheni me rregullat për përkthimin e një paraqitjeje të një numri në një tjetër, të përpiqeni të kuptoni pse i njëjti numër në situata të ndryshme duhet të përfaqësohet ndryshe. Një pjesë e veçantë e teorisë së numrave "Sistemet numerike" merret me metodat e paraqitjes së numrave.
Një koncept tjetër i rëndësishëm është prezantuar - sistemi i numrave. Pse është e nevojshme? Çfarë është kjo gjithsesi? Sistemet e numrave janë sisteme të krijuara nga njeriu. Sisteme të tilla quhen artificiale Ndryshe nga natyrore sistemet e krijuara nga natyra. Sistemet natyrore (natyrore) përfshijnë galaktikat, sistemin tonë diellor, njeriun në tërësi, etj. Sistemet artificiale përfshijnë qytetet, fabrikat, sistemin arsimor, gjuhët kombëtare, domethënë gjithçka që bëhet nga njerëzit.
Sistemet artificiale mund të ndahen në
materiali: makina, aeroplanë, shtëpi, qytete, diga, etj .;
publike , pra shoqata të ndryshme njerëzish: parlamenti, sistemi arsimor publik, klubi i shahut, etj.;
informative: gjuhët kombëtare, rrjeti kompjuterik Interneti, sistemet e numrave etj.
Çdo sistem artificial është krijuar me një qëllim të caktuar. Mund të argumentohet se më i miri është sistemi artificial që siguron më së miri arritjen e qëllimit të krijimit të tij.
Qëllimi i krijimit të një sistemi numrash është zhvillimi i mënyrës më të përshtatshme për të shkruar numrat. Sistemi i numrave ju lejon të shfaqni në një formë kompakte informacion sasior për objektet dhe manipulojini ato duke përdorur rregulla mjaft të thjeshta.
Nëntë numrat e parë natyrorë i shënojmë me karaktere të veçanta:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Bëni të njëjtën gjë me të gjithë numrat që hasen në praktikë, d.m.th. do të ishte e papërshtatshme të caktoheshin të gjithë numrat që hasen me shenja të veçanta. Edhe nëse nevojat tona do të kufizoheshin në numërimin brenda një mijë, do të ishte e nevojshme të mësojmë përmendësh një mijë karaktere të veçanta. Natyrisht, për një kohë të gjatë njerëzit filluan të zgjedhin një ose një rresht tjetër të "çelësave", numrave bazë dhe t'i tregojnë ato vetëm me shenja të veçanta.
Sistemet e numrave janë një shpikje gjeniale e njerëzimit. Për të raportuar se sot është dy mijë e shtatë në gjuhën natyrore, më duhet të përdor 16 karaktere (duke përjashtuar hapësirat). Duke përdorur gjuhën e numrave, mund të përshkruani të njëjtën gjë me katër karaktere. Rezulton se numrat përfaqësojnë kodet e fjalëve përkatëse, gjë që vërtetohet edhe nga fakti se numri i vitit, i shkruar me fjalë dhe me numra, lexohet nga ne në të njëjtën mënyrë. Numrat në gjuhë të ndryshme natyrore shqiptohen ndryshe, dhe shënimi i tyre dhe rregullat për kryerjen e veprimeve aritmetike mbi to janë të njëjta.
Koncepti i numrit është thelbësor si për matematikën ashtu edhe për shkencën kompjuterike. Por nëse në matematikë vëmendja më e madhe i kushtohet metodave të përpunimit të numrave, atëherë për shkencën kompjuterike është e pamundur të injorohen metodat e paraqitjes së numrave, pasi janë ato që përcaktojnë burimet e nevojshme të memories, shpejtësinë dhe gabimin e llogaritjeve.
1. Shënimi- kjo është një mënyrë për të shfaqur numrat dhe rregullat përkatëse për veprimet në numra.
Sistemet e ndryshme të numrave që kanë ekzistuar më parë dhe që përdoren në kohën tonë mund të ndahen në jo pozicionale dhe pozicionale.
1.1 Sistemet e numrave jopozicionalë.
Egjiptianët e lashtë përdornin sisteme numrash jopozicionalë,
Grekët, Romakët dhe disa popuj të tjerë të lashtësisë. Në sistemet e numrave jopozicionalë, vlera që ajo (shenja) tregon nuk varet nga pozicioni i shenjës në shënimin e numrit.
Deri tek ne ka ardhur sistemi romak i numrave (numrat romakë), i cili në disa raste përdoret ende në numërim (shekulli, vëllimi, kapitulli i librit). Në sistemin romak, shkronjat latine përdoren si numra:
1 5 10 50 100 500 1000
Për shembull, numri CCXXXII është shuma e dyqind, tre dhjetësheve dhe dy njësive dhe është e barabartë me dyqind e tridhjetë e dy.
Në numrat romakë, numrat shkruhen nga e majta në të djathtë në rend zbritës. Në këtë rast, vlerat e tyre shtohen. Nëse një numër më i vogël shkruhet në të majtë dhe një më i madh në të djathtë, atëherë vlerat e tyre zbriten.
VI = 5 + 1 = 6, dhe IV = 5 - 1 = 4.
MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.
Sistemet e numrave jopozicionalë ishin pak a shumë të përshtatshëm për të kryer mbledhje dhe zbritje, por aspak të përshtatshme për shumëzim dhe pjesëtim.
1.2 Sistemet e numrave pozicional (PSS).
Sistemet e numrave pozicional janë të përshtatshëm në atë që ju lejojnë të shkruani numra të mëdhenj në mënyrë arbitrare duke përdorur një numër të vogël shifrash. Algoritmet mjaft të thjeshta për kryerjen e veprimeve aritmetike mbi numrat janë një avantazh i rëndësishëm i sistemeve të numrave pozicional.
Në sistemet e numërimit pozicional, vlera e shënuar me një shifër në shënimin e një numri varet nga pozicioni i tij.
Numri i shifrave të përdorura quhet bazë PSS.
Sistemi i numrave i përdorur në matematikën moderne është sistemi dhjetor pozicional. Baza e tij është dhjetë, pasi çdo numër shkruhet duke përdorur dhjetë shifra:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Shumë prej nesh i lidhin këto ikona, të njohura që nga fëmijëria, me konceptin e "numrit". Megjithatë, ne mund të përdorim çdo ikonë si numra. Dhe numrat nuk duhet të jenë dhjetë.
Megjithëse sistemi dhjetor zakonisht quhet arab, ai e ka origjinën në Indi, në shekullin e 5-të. Në Evropë, ata mësuan për këtë sistem në shekullin XII nga traktatet shkencore arabe, të cilat u përkthyen në latinisht. Kjo shpjegon emrin "numrat arabë".
Lloji pozicional i sistemit dhjetor është i lehtë për t'u kuptuar për çdo numër shumëshifror. Për shembull, në numrin 333, shifra e parë do të thotë treqind, e dyta - tre dhjetëra, e treta - tre njësi. I njëjti numër, në varësi të pozicionit në shënimin e numrave, tregon vlera të ndryshme.
333 = 3 100 + 3 10 + 3.
Çdo numër dhjetor mund të përfaqësohet si shuma e prodhimeve të shifrave përbërëse të tij me fuqitë përkatëse të dhjetësheve. E njëjta gjë vlen edhe për thyesat dhjetore.
26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .
Kjo ju lejon të konvertoni numrat me bazë jo të barabartë me 10 në paraqitjen dhjetore.
Për të kryer një përkthim të tillë, është e nevojshme të shënohet numri origjinal si shuma e produkteve të shifrave të numrit me shkallët përkatëse të bazës dhe të llogaritet vlera e shprehjes numerike që rezulton sipas rregullave dhjetore. aritmetike.
1.432.32 5 → A 10.
432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =
2.DF, 4A 16 → A 10
DF, 4A 16 = 13 * 16 1 + 15 * 16 0 + 4 * 16 -1 + A * 16 -2 = 208 + 15 +
Numri dhjetë nuk është baza e vetme e mundshme për një sistem pozicionor. Matematikani i famshëm rus NN Luzin e shprehu kështu: "Përparësitë e sistemit dhjetor nuk janë matematikore, por zoologjike. Nëse nuk do të kishim dhjetë gishta, por tetë, atëherë njerëzimi do të përdorte sistemin oktal".
Për të shkruar numra në një sistem pozicionor me një rrënjë n (n- përcaktimi i bazës së MSS) duhet të ketë alfabeti nga n shifra. Zakonisht për këtë, me n ≤ 10 përdorni n numrat e parë arabë, dhe për n> 10 Shkronjat latine u shtohen dhjetë numrave arabë.
Këtu janë shembuj të alfabeteve të disa sistemeve:
Baza e sistemit të cilit i përket një numër tregohet nga një nënshkrim i atij numri.
1011001 2, 3671 8, 3B8F 16.
1.3 Shndërrimi i numrave dhjetorë në MSS me bazë jo të barabartë me 10.
1.3.1 Përkthimi i numrave të plotë.
Baza e sistemit të ri të numrave shprehet në sistem dhjetor
numrat dhe të gjitha veprimet pasuese duhet të kryhen në sistemin e numrave dhjetorë;
Kryen në mënyrë sekuenciale pjesëtimin e numrit të dhënë dhe herësit jo të plotë që rezultojnë në bazë të sistemit të ri të numrave derisa të marrim një herës jo të plotë më të vogël se pjesëtuesi;
Mbetjet që rezultojnë, të cilat janë shifrat e një numri në sistemin e ri të numrave, duhet të sillen në përputhje me alfabetin e sistemit të ri të numrave;
Ndërtoni një numër në sistemin e ri të numrave, duke e shkruar atë, duke filluar nga herësi i fundit.
1.3.2 Përkthimi i numrave thyesorë.
Të shprehë bazën e sistemit të ri të numrave në sistemin dhjetor dhe të kryejë të gjitha veprimet e mëpasshme në sistemin e numrave dhjetorë;
Shumëzoni në mënyrë sekuenciale numrin e dhënë dhe pjesët thyesore që rezultojnë të prodhimeve në bazë të sistemit të ri të numrave derisa pjesa thyesore e produktit të bëhet e barabartë me zero ose të arrihet saktësia e kërkuar e paraqitjes së numrave në sistemin e ri të numrave;
Pjesët e plota të produkteve që rezultojnë janë shifra të një numri në sistemin e ri të numrave, përputhen me alfabetin e sistemit të ri të numrave;
Hartoni pjesën thyesore të numrit në sistemin e ri të numrave, duke filluar nga e gjithë pjesa e prodhimit të parë.
Shembuj të përkthimit të numrave dhjetorë specifikë janë paraqitur në Shtojcën 1.
Shtojca 1.
Faqja © 2015-2019
Të gjitha të drejtat u përkasin autorëve të tyre. Kjo faqe nuk pretendon autorësinë, por ofron përdorim falas.
Data e krijimit të faqes: 2016-02-16
Konceptet themelore të sistemeve të numrave
Një sistem numrash është një grup rregullash dhe teknikash për të shkruar numra duke përdorur një grup karakteresh dixhitale. Numri i shifrave të nevojshme për të regjistruar një numër në sistem quhet baza e sistemit të numrave. Baza e sistemit shkruhet me numrat e duhur në nënshkrimin:; ; etj.
Ekzistojnë dy lloje të sistemeve të numrave:
pozicionale, kur vlera e secilës shifër të një numri përcaktohet nga pozicioni i saj në regjistrimin e numrave;
jo pozicionale, kur vlera e shifrës në numër nuk varet nga vendi i saj në rekordin e numrave.
Një shembull i një sistemi numrash jopozicional është romak: numrat IX, IV, XV, etj. Një shembull i një sistemi numrash pozicional është sistemi dhjetor i përdorur në baza ditore.
Çdo numër i plotë në sistemin pozicional mund të shkruhet në formën e një polinomi:
ku S është baza e sistemit të numrave;
Shifrat e numrit të regjistruar në sistemin e numrave të dhënë;
n - numri i shifrave të numrit.
Shembull. Numri do të shkruhet në formën e një polinomi si më poshtë:
Llojet e sistemeve të numrave
Sistemi i numrave romak është një sistem jo-pozicional. Përdor shkronjat e alfabetit latin për të shkruar numra. Për më tepër, shkronja I do të thotë gjithmonë një, shkronja V është pesë, X është dhjetë, L është pesëdhjetë, C është njëqind, D është pesëqind, M është një mijë, etj. Për shembull, numri 264 është shkruar si CCLXIV. Kur shkruani numra në sistemin numerik romak, vlera e numrit është shuma algjebrike e shifrave të përfshira në të. Në këtë rast, numrat në regjistrimin e numrave ndjekin, si rregull, në rend zbritës të vlerave të tyre dhe nuk lejohet të shkruhen më shumë se tre numra identikë krah për krah. Në rastin kur një shifër me vlerë të madhe pasohet nga një shifër me një më të vogël, kontributi i saj në vlerën e numrit në tërësi është negativ. Shembuj tipikë që ilustrojnë rregullat e përgjithshme për shkrimin e numrave në sistemin numerik romak janë paraqitur në tabelë.
Tabela 2. Shkrimi i numrave në sistemin numerik romak
|
III |
||||
|
Vii |
VIII |
|||
|
XIII |
Xviii |
XIX |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XCIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
Disavantazhi i sistemit romak është mungesa e rregullave formale për shkrimin e numrave dhe, në përputhje me rrethanat, veprimet aritmetike me numra shumëshifrorë. Për shkak të shqetësimit dhe kompleksitetit të madh, sistemi i numrave romak përdoret aktualisht aty ku është vërtet i përshtatshëm: në literaturë (numërimi i kapitujve), në dokumente (një seri pasaportash, letrash me vlerë, etj.), për qëllime dekorative në numrin e një shikojnë dhe në një sërë rastesh të tjera.
Sistemi i numrave dhjetorë është aktualisht më i famshmi dhe më i përdoruri. Shpikja e sistemit të numrave dhjetorë i përket arritjeve kryesore të mendimit njerëzor. Pa të, teknologjia moderne vështirë se mund të ekzistonte, e lëre më të shfaqej. Arsyeja pse sistemi i numrave dhjetorë është bërë përgjithësisht i pranuar nuk është aspak matematikore. Njerëzit janë mësuar të numërojnë me shënime dhjetore sepse kanë 10 gishta në duar.
Përshkrimi i lashtë i shifrave dhjetore (Fig. 1) nuk është i rastësishëm: çdo shifër tregon një numër sipas numrit të qosheve në të. Për shembull, 0 - pa qoshe, 1 - një cep, 2 - dy qoshe, etj. Shkrimi i shifrave dhjetore ka pësuar ndryshime të rëndësishme. Forma që ne përdorim u krijua në shekullin e 16-të.
Sistemi dhjetor u shfaq për herë të parë në Indi rreth shekullit të 6-të pas Krishtit. Numërimi indian përdori nëntë karaktere numerike dhe zero për të treguar një pozicion bosh. Në dorëshkrimet e hershme indiane që kanë ardhur deri tek ne, numrat shkruheshin në rend të kundërt, me numrin më domethënës në të djathtë. Por shpejt u bë rregull vendosja e një numri të tillë në anën e majtë. Një rëndësi e veçantë iu kushtua karakterit zero, i cili u prezantua për sistemin e shënimeve pozicionale. Numërimi indian, përfshirë zero, ka mbijetuar deri në kohën tonë. Në Evropë, metodat hindu të aritmetikës dhjetore u përhapën në fillim të shekullit të 13-të. falë veprave të matematikanit italian Leonardo të Pizës (Fibonacci). Evropianët huazuan sistemin numerik indian nga arabët, duke e quajtur atë arab. Ky emër historikisht i pasaktë është ruajtur edhe sot e kësaj dite.
Sistemi dhjetor përdor dhjetë shifra - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dhe 9, si dhe simbolet "+" dhe "-" për të treguar shenjën e një numri dhe një presje ose pikë. për të ndarë pjesët e plota dhe thyesore.numrat.
Kompjuterët përdorin një sistem numrash binar, baza e tij është numri 2. Për të shkruar numra në këtë sistem, përdoren vetëm dy shifra - 0 dhe 1. Ndryshe nga keqkuptimi i zakonshëm, sistemi i numrave binar nuk u shpik nga inxhinierët e dizajnit kompjuterik, por nga matematikanët dhe filozofët shumë kohë përpara shfaqjes së kompjuterëve, në shekujt e shtatëmbëdhjetë dhe nëntëmbëdhjetë. Diskutimi i parë i publikuar për sistemin e numrave binar i përket priftit spanjoll Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Vëmendja e përgjithshme ndaj këtij sistemi u tërhoq nga një artikull i matematikanit gjerman Gottfried Wilhelm Leibniz, i botuar në 1703. Ai shpjegoi veprimet binare të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit. Leibniz nuk rekomandoi përdorimin e këtij sistemi për llogaritjet praktike, por theksoi rëndësinë e tij për kërkimin teorik. Me kalimin e kohës, sistemi i numrave binar u bë i njohur dhe u zhvillua.
Zgjedhja e një sistemi binar për përdorim në informatikë shpjegohet me faktin se elementët elektronikë - nxitësit që përbëjnë mikroqarqet kompjuterike - mund të jenë vetëm në dy gjendje funksionimi.
Çdo e dhënë dhe njohuri mund të regjistrohet duke përdorur një sistem kodimi binar. Kjo është e lehtë për t'u kuptuar nëse mbani mend parimin e kodimit dhe transmetimit të informacionit duke përdorur kodin Morse. Një operator telegrafi, duke përdorur vetëm dy simbole të këtij alfabeti - pika dhe viza, mund të transmetojë pothuajse çdo tekst.
Sistemi binar është i përshtatshëm për një kompjuter, por i papërshtatshëm për një person: numrat janë të gjatë dhe të vështirë për t'u shkruar dhe mbajtur mend. Sigurisht, ju mund ta konvertoni një numër në sistemin dhjetor dhe ta shkruani në këtë formë, dhe më pas, kur të keni nevojë ta përktheni përsëri, por të gjitha këto përkthime kërkojnë kohë. Prandaj, përdoren sistemet e numrave, të ngjashëm me binar - oktal dhe heksadecimal. Për të shkruar numra në këto sisteme nevojiten përkatësisht 8 dhe 16 shifra. Në heksadecimal, 10 shifrat e para janë të zakonshme, dhe më pas përdoren shkronja të mëdha latine. Shifra heksadecimal A korrespondon me dhjetorin 10, heksadecimal B - dhjetor 11, etj. Përdorimi i këtyre sistemeve shpjegohet me faktin se kalimi në shkrimin e një numri në cilindo prej këtyre sistemeve nga shënimi i tij binar është shumë i thjeshtë. Më poshtë është një tabelë e korrespondencës midis numrave të regjistruar në sisteme të ndryshme.
Tabela 3. Përputhja e numrave të shkruar në sisteme të ndryshme numrash
|
dhjetore |
Binar |
oktal |
Heksadecimal |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
Rregullat për përkthimin e numrave nga një sistem numrash në tjetrin
Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin është një pjesë e rëndësishme e aritmetikës së makinës. Le të shqyrtojmë rregullat themelore të përkthimit.
1. Për të kthyer një numër binar në dhjetor, është e nevojshme të shkruhet në formën e një polinomi të përbërë nga prodhimet e shifrave të numrit dhe fuqia përkatëse e numrit 2 dhe të llogaritet sipas rregullave dhjetore. aritmetike:
Kur përktheni, është e përshtatshme të përdorni tabelën e fuqive të dy:
Tabela 4. Fuqitë e 2
|
n (gradë) |
|||||||||||
|
1024 |
Shembull. Shndërroni numrin në shënimin dhjetor.
2. Për të kthyer një numër oktal në dhjetor, është e nevojshme të shkruhet në formën e një polinomi të përbërë nga prodhimet e shifrave të numrit dhe fuqia përkatëse e numrit 8 dhe të llogaritet sipas rregullave dhjetore. aritmetike:
Kur përktheni, është e përshtatshme të përdorni tabelën e fuqive të tetë:
Tabela 5. Fuqitë e 8
|
n (gradë) |
Le të shohim një nga temat më të rëndësishme në shkencën kompjuterike -. Në kurrikulën shkollore, ajo zbulohet mjaft "modeste", me shumë mundësi për shkak të mungesës së orëve të caktuara për të. Njohuri mbi këtë temë, veçanërisht në përkthimi i sistemeve të numrave, janë parakusht për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe pranimin në universitete në fakultetet përkatëse. Më poshtë diskutohen në detaje koncepte të tilla si sistemet e numrave pozicional dhe jopozicional, jepen shembuj të këtyre sistemeve të numrave, rregullat për konvertimin e numrave dhjetorë të plotë, thyesat dhjetore të rregullta dhe numrat dhjetorë të përzier në çdo sistem tjetër numrash, konvertimi i numrave nga çdo sistem numrash në dhjetor, konvertimi nga sistemet e numrave oktal dhe heksadecimal në një numër binar. janë paraqitur sistemi. Në provime, ka një numër të madh problemesh në këtë temë. Aftësia për t'i zgjidhur ato është një nga kërkesat për aplikantët. Së shpejti: Për secilën temë të seksionit, përveç materialit të detajuar teorik, do të prezantohen pothuajse të gjitha opsionet e mundshme detyrat për vetë-studim. Përveç kësaj, do të keni mundësinë të shkarkoni falas zgjidhje të detajuara plotësisht të gatshme për këto probleme nga shërbimi i pritjes së skedarëve, duke ilustruar mënyra të ndryshme për të marrë përgjigjen e duhur.
sistemet e numrave pozicional.
Sistemet e numrave jopozicionalë- sistemet e numrave në të cilat vlera sasiore e një shifre nuk varet nga vendndodhja e saj në numër.
Sistemet e numrave jo-pozicionalë përfshijnë, për shembull, romake, ku në vend të numrave ka shkronja latine.
| Unë | 1 (një) |
| V | 5 (pesë) |
| X | 10 (dhjetë) |
| L | 50 (pesëdhjetë) |
| C | 100 (njëqind) |
| D | 500 (pesëqind) |
| M | 1000 (mijë) |
Këtu shkronja V qëndron për 5, pavarësisht nga vendndodhja e saj. Megjithatë, vlen të përmendet se megjithëse sistemi romak i numrave është një shembull klasik i një sistemi numrash jopozicional, ai nuk është plotësisht jopozicional, sepse numri më i vogël para atij më të madh të zbritet prej tij:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
Sistemet e numrave pozicional.
Sistemet e numrave pozicional- sistemet e numrave, në të cilat vlera sasiore e një shifre varet nga vendndodhja e saj në numër.
Për shembull, nëse flasim për sistemin dhjetor, atëherë në numrin 700 numri 7 do të thotë "shtatëqind", por i njëjti numër në numrin 71 do të thotë "shtatë dhjetëra", dhe në numrin 7020 - "shtatë mijë".
Secili sistemi i numrave pozicional ka të sajën bazë... Si bazë zgjidhet një numër natyror më i madh ose i barabartë me dy. Është e barabartë me numrin e shifrave të përdorura në këtë sistem numrash.
- Për shembull:
- Binar- sistemi i numrave pozicional me bazën 2.
- Kuaternare- sistemi i numrave pozicional me bazën 4.
- Pesëfish- sistemi i numrave pozicional me bazën 5.
- oktal- sistemi i numrave pozicional me bazën 8.
- Heksadecimal- sistemi i numrave pozicional me bazën 16.
Për të zgjidhur me sukses problemet në temën "Sistemet e numrave", studenti duhet të dijë përmendësh korrespondencën e numrave binar, dhjetorë, oktalë dhe heksadecimal deri në 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Është e dobishme të dihet se si fitohen numrat në këto sisteme numrash. Ju mund të merrni me mend se në oktal, heksadecimal, tresh dhe të tjerë sistemet e numrave pozicional gjithçka ndodh në mënyrë të ngjashme me sistemin dhjetor me të cilin jemi mësuar:
Një i shtohet numrit dhe fitohet një numër i ri. Nëse vendi i njësheve bëhet i barabartë me bazën e sistemit të numrave, ne e rrisim numrin e dhjetësheve me 1, etj.
Ky "një tranzicion" është ajo që tremb shumicën e studentëve. Në fakt, gjithçka është mjaft e thjeshtë. Kalimi ndodh nëse biti i njëseve bëhet i barabartë me bazën e sistemit të numrave, e rrisim numrin e dhjetësheve me 1. Shumë, duke kujtuar sistemin e mirë të vjetër dhjetor, ngatërrohen në çast në shifra dhe në këtë tranzicion, sepse dhjetëshja dhjetore dhe, për shembull, dhjetëshja binare janë gjëra të ndryshme.
Prandaj, studentët e shkathët kanë "teknikat e tyre" (çuditërisht ... punojnë) kur plotësojnë, për shembull, tabela të së vërtetës, kolonat e para (vlerat e ndryshoreve) të të cilave, në fakt, janë të mbushura me numra binarë në rend rritës. .
Për shembull, le të shohim marrjen e numrave sistemi oktal: Numrit të parë (0) i shtojmë 1, marrim 1. Më pas i shtojmë 1 në 1, marrim 2 etj. në 7. Nëse i shtojmë një 7-ës, fitojmë një numër të barabartë me bazën e sistemit të numrave, dmth. 8. Pastaj ju duhet të rrisni vendin e dhjetëra me një (marrim një dhjetë oktal - 10). Më tej, padyshim, ka numrat 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
Rregulli i përkthimit nga një sistem numrash në tjetrin.
1 Shndërrimi i numrave të plotë dhjetorë në çdo sistem tjetër numrash.
Numri duhet të ndahet me radix i ri... Pjesa e parë e mbetur e pjesëtimit është shifra e parë më pak e rëndësishme e numrit të ri. Nëse herësi i pjesëtimit është më i vogël ose i barabartë me bazën e re, atëherë ai (herësi) duhet të ndahet përsëri në një bazë të re. Ndarja duhet vazhduar derisa të marrim herësin më të vogël se baza e re. Kjo është shifra më domethënëse e numrit të ri (duhet të mbani mend se, për shembull, në sistemin heksadecimal ka shkronja pas 9, d.m.th. nëse merrni 11 në pjesën e mbetur, duhet ta shkruani si B).
Shembull ("ndarja me një qoshe"): Le ta përkthejmë numrin 173 10 në sistemin e numrave oktal.
Pra, 173 10 = 255 8
2 Shndërrimi i thyesave dhjetore të sakta në çdo sistem tjetër numrash.
Numri duhet të shumëzohet me bazën e re të sistemit të numrave. Shifra që ka kaluar në të gjithë pjesën është shifra më domethënëse e pjesës thyesore të numrit të ri. për të marrë shifrën tjetër, pjesa thyesore e produktit që rezulton duhet përsëri të shumëzohet me bazën e re të sistemit të numrave derisa të ndodhë kalimi në të gjithë pjesën. Vazhdojmë shumëzimin derisa pjesa thyesore të bëhet e barabartë me zero, ose derisa të arrijmë saktësinë e përcaktuar në problem ("...llogarit me saktësi, për shembull, dy shifra dhjetore").
Shembull: Le ta përkthejmë numrin 0,65625 10 në sistemin e numrave oktal.
