Kombinimet lineare të rreshtave ose kolonave të matricave. Varësia lineare dhe pavarësia e rreshtave të matricës

Koncepti i renditjes së matricës është i lidhur ngushtë me konceptin e varësisë (pavarësisë) lineare të rreshtave ose kolonave të saj. Në të ardhmen do të paraqesim materialin për rreshtat, për kolonat paraqitja është e ngjashme.

Në matricë A Le t'i shënojmë linjat e tij si më poshtë:

, , …. ,

Dy rreshta të një matrice thuhet se janë të barabarta, nëse elementet e tyre përkatëse janë të barabarta: , nëse , .

Operacionet aritmetike në rreshtat e matricës (shumëzimi i një rreshti me një numër, shtimi i rreshtave) prezantohen si operacione të kryera element pas elementi:

Linjë e quhet kombinim linear i vargjeve..., matricë, nëse është e barabartë me shumën e produkteve të këtyre rreshtave me numra realë arbitrarë:

Rreshtat e matricës quhen varur në mënyrë lineare, nëse ka numra që nuk janë njëkohësisht të barabartë me zero, të tillë që një kombinim linear i rreshtave të matricës është i barabartë me rreshtin zero:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teorema 3.3Rreshtat e një matrice varen në mënyrë lineare nëse të paktën një rresht i matricës është një kombinim linear i të tjerëve.

□ Në të vërtetë, le të jetë, për saktësi, në formulën (3.3) , Pastaj

Kështu, rreshti është një kombinim linear i rreshtave të mbetur. ■

Nëse një kombinim linear i rreshtave (3.3) është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero, atëherë rreshtat quhen linearisht të pavarur.

Teorema 3.4.(në lidhje me gradën e matricës) Renditja e një matrice është e barabartë me numrin maksimal të rreshtave ose kolonave të saj linearisht të pavarura përmes të cilave shprehen në mënyrë lineare të gjitha rreshtat (kolonat) e tjera të saj.

□ Lëreni matricën A madhësia m n ka rang r(r min). Kjo do të thotë se ekziston një minor jo zero r- urdhri. Çdo minor jo zero r Rendi i th do të quhet bazë i vogël.

Për saktësi, le të jetë baza e vogël të vogla kryesore ose këndore. Atëherë rreshtat e matricës janë linearisht të pavarur. Le të supozojmë të kundërtën, domethënë, një nga këto vargje, për shembull, është një kombinim linear i të tjerëve. Zbrit nga elementet r- të rreshtit të parë, elementët e rreshtit të parë, të shumëzuar me , pastaj elementët e rreshtit të dytë, të shumëzuar me , ... dhe elementet ( r- 1) - rreshtat e shumëzuar me . Bazuar në vetinë 8, me transformime të tilla të matricës, përcaktori i saj D nuk do të ndryshojë, por meqenëse r- rreshti tani do të përbëhet vetëm nga zero, atëherë D = 0 është një kontradiktë. Prandaj, supozimi ynë se rreshtat e matricës janë të varura në mënyrë lineare është i pasaktë.

Le të thërrasim linjat bazë. Le të tregojmë se çdo rresht (r+1) i matricës është i varur në mënyrë lineare, d.m.th. çdo varg shprehet në terma të atyre bazë.

Le të shqyrtojmë një minor (r +1) të rendit të parë, i cili fitohet duke plotësuar minorin në fjalë me elementë të një rreshti tjetër. i dhe kolona j. Ky minor është zero pasi rangu i matricës është r, kështu që çdo minor i rendit më të lartë është zero.

Duke e zgjeruar atë sipas elementeve të kolonës së fundit (të shtuar), marrim

Ku moduli i komplementit të fundit algjebrik përkon me bazën minor D dhe për këtë arsye të ndryshme nga zero, d.m.th. 0.

Një sistem vektorësh të të njëjtit rend quhet i varur linearisht nëse nga këta vektorë mund të merret një vektor zero përmes një kombinimi të përshtatshëm linear. (Nuk lejohet që të gjithë koeficientët e një kombinimi linear të jenë të barabartë me zero, pasi kjo do të ishte e parëndësishme.) Përndryshe, vektorët quhen linearisht të pavarur. Për shembull, tre vektorët e mëposhtëm:

janë të varura në mënyrë lineare, pasi kjo është e lehtë për t'u kontrolluar. Në rastin e një varësie lineare, çdo vektor mund të shprehet gjithmonë përmes një kombinimi linear të vektorëve të tjerë. Në shembullin tonë: ose ose Kjo është e lehtë për t'u kontrolluar me llogaritjet e duhura. Kjo çon në përkufizimin e mëposhtëm: një vektor është linearisht i pavarur nga vektorët e tjerë nëse nuk mund të përfaqësohet si një kombinim linear i këtyre vektorëve.

Le të shqyrtojmë një sistem vektorësh pa specifikuar nëse ai është linearisht i varur apo linearisht i pavarur. Për çdo sistem të përbërë nga vektorë të kolonës a, është e mundur të identifikohet numri maksimal i mundshëm i vektorëve linearisht të pavarur. Ky numër, i shënuar me shkronjën , është rangu i këtij sistemi vektorial. Meqenëse çdo matricë mund të shihet si një sistem vektorësh kolonash, rangu i një matrice përcaktohet si numri maksimal i vektorëve të kolonës linearisht të pavarur që ajo përmban. Vektorët e rreshtave përdoren gjithashtu për të përcaktuar rangun e një matrice. Të dyja metodat japin të njëjtin rezultat për të njëjtën matricë, dhe nuk mund të kalojnë më të voglin ose Rangu i një matrice katrore të rendit varion nga 0 në . Nëse të gjithë vektorët janë zero, atëherë rangu i një matrice të tillë është zero. Nëse të gjithë vektorët janë linearisht të pavarur nga njëri-tjetri, atëherë rangu i matricës është i barabartë. Nëse formojmë një matricë nga vektorët e mësipërm, atëherë rangu i kësaj matrice është 2. Meqenëse çdo dy vektorë mund të reduktohen në një të tretën nga një kombinim linear, atëherë renditja është më e vogël se 3.

Por ne mund të sigurohemi që çdo dy vektorë prej tyre të jenë linearisht të pavarur, pra renditja

Një matricë katrore quhet njëjës nëse vektorët e saj të kolonës ose të rreshtave janë të varur në mënyrë lineare. Përcaktori i një matrice të tillë është i barabartë me zero dhe matrica e saj e kundërt nuk ekziston, siç u përmend më lart. Këto përfundime janë ekuivalente me njëra-tjetrën. Si rezultat, një matricë katrore quhet jo njëjës, ose jo njëjës, nëse vektorët e saj të kolonës ose të rreshtave janë të pavarur nga njëri-tjetri. Përcaktori i një matrice të tillë nuk është i barabartë me zero dhe matrica e saj e kundërt ekziston (krahaso me f. 43)

Rangu i matricës ka një interpretim mjaft të qartë gjeometrik. Nëse rangu i matricës është i barabartë me , atëherë hapësira -dimensionale thuhet se shtrihet nga vektorë. Nëse renditja është, atëherë vektorët shtrihen në një nënhapësirë ​​-dimensionale që përfshin të gjithë ata. Pra, rangu i matricës korrespondon me dimensionin minimal të kërkuar të hapësirës "e cila përmban të gjithë vektorët"; një nënhapësirë ​​-dimensionale në një hapësirë ​​-dimensionale quhet një hiperplan -dimensional. Rangu i matricës korrespondon me dimensionin më të vogël të hiperplanit në të cilin ende qëndrojnë të gjithë vektorët.

Ortogonaliteti. Dy vektorë a dhe b thuhet se janë reciprokisht ortogonalë nëse produkti i tyre skalar është zero. Nëse matrica e rendit ka barazinë ku D është një matricë diagonale, atëherë vektorët e kolonës së matricës A janë dyshe reciprokisht ortogonale. Nëse këta vektorë kolonash normalizohen, d.m.th., reduktohen në një gjatësi të barabartë me 1, atëherë ndodh barazia dhe flasim për vektorë ortonormalë. Nëse B është një matricë katrore dhe barazia vlen, atëherë matrica B quhet ortogonale. Në këtë rast, nga formula (1.22) rrjedh se matrica ortogonale është gjithmonë jo njëjës. Prandaj, nga ortogonaliteti i matricës, vijon pavarësia lineare e vektorëve të rreshtave të saj ose vektorëve të kolonës. Pohimi i kundërt nuk është i vërtetë: pavarësia lineare e një sistemi vektorësh nuk nënkupton ortogonalitetin çift të këtyre vektorëve.

ku janë disa numra (disa nga këta numra apo edhe të gjithë mund të jenë të barabartë me zero). Kjo do të thotë se ekzistojnë barazitë e mëposhtme midis elementeve të kolonave:

Nga (3.3.1) rrjedh se

Nëse barazia (3.3.3) është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse , atëherë rreshtat quhen linearisht të pavarur. Lidhja (3.3.2) tregon se nëse njëri prej rreshtave shprehet në mënyrë lineare në terma të të tjerëve, atëherë rreshtat janë të varur në mënyrë lineare.

Është e lehtë të shihet e kundërta: nëse vargjet janë të varura në mënyrë lineare, atëherë ekziston një varg që do të jetë një kombinim linear i vargjeve të mbetura.

Le të, për shembull, në (3.3.3), atëherë .

Përkufizimi. Le të identifikohet një minore e caktuar e rendit r-të në matricën A dhe le që minorja (r+1)-të e së njëjtës matricë të përmbajë tërësisht minorin . Do të themi se në këtë rast minorja kufizohet me të voglin (ose kufizohet për ).

Tani do të vërtetojmë një lemë të rëndësishme.

Lemë për të miturit në kufi. Nëse një minor i rendit r i matricës A= është i ndryshëm nga zero, dhe të gjitha minoritetet që kufizojnë atë janë të barabarta me zero, atëherë çdo rresht (kolonë) i matricës A është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të saj që përbëjnë .

Dëshmi. Pa humbur përgjithësinë e arsyetimit, do të supozojmë se një minor jo-zero i rendit të rth është në këndin e sipërm të majtë të matricës A =:

.

Për k rreshtat e parë të matricës A, deklarata e lemës është e qartë: mjafton të përfshihet në një kombinim linear i njëjti rresht me një koeficient të barabartë me një, dhe pjesa tjetër - me koeficientë të barabartë me zero.

Le të vërtetojmë tani se rreshtat e mbetur të matricës A janë shprehur në mënyrë lineare përmes k rreshtave të parë. Për ta bërë këtë, ne ndërtojmë një minor të rendit (r+1) duke shtuar vijën kth () në minor dhe l kolona e th():

.

Minorja që rezulton është e barabartë me zero për të gjitha k dhe l. Nëse , atëherë është e barabartë me zero pasi përmban dy kolona identike. Nëse , atëherë minorja që rezulton është një minor i skajit për dhe, për rrjedhojë, është i barabartë me zero sipas kushteve të lemës.

Të zbërthejmë minorin sipas elementeve të fundit l kolona e th:

Duke supozuar, marrim:

(3.3.6)

Shprehja (3.3.6) do të thotë që rreshti i k-të i matricës A shprehet në mënyrë lineare përmes r rreshtave të parë.

Meqenëse kur një matricë transpozohet, vlerat e minoreve të saj nuk ndryshojnë (për shkak të vetive të përcaktuesve), atëherë gjithçka e provuar është gjithashtu e vërtetë për kolonat. Teorema është vërtetuar.

Përfundimi I. Çdo rresht (kolona) i një matrice është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) bazë të saj. Në të vërtetë, minorja bazë e matricës është jozero, dhe të gjitha minoret në kufi me të janë të barabarta me zero.

Përfundimi II. Një përcaktues i rendit të n-të është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse përmban rreshta (kolona) të varura në mënyrë lineare. Mjaftueshmëria e varësisë lineare të rreshtave (kolonave) që përcaktorja të jetë e barabartë me zero është vërtetuar më herët si veti e përcaktorëve.

Le të vërtetojmë domosdoshmërinë. Le të na jepet një matricë katrore e rendit të n-të, minori i vetëm i së cilës është zero. Nga kjo rrjedh se rangu i kësaj matrice është më i vogël se n, d.m.th. ekziston të paktën një rresht që është një kombinim linear i rreshtave bazë të kësaj matrice.

Le të vërtetojmë një teoremë tjetër për rangun e matricës.

Teorema. Numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur të një matrice është i barabartë me numrin maksimal të kolonave të saj linearisht të pavarura dhe është i barabartë me gradën e kësaj matrice.

Dëshmi. Le të jetë rangu i matricës A= i barabartë me r. Atëherë cilido prej k rreshtave bazë të tij është linearisht i pavarur, përndryshe minorja bazë do të ishte e barabartë me zero. Nga ana tjetër, çdo r+1 ose më shumë rreshta janë të varur linearisht. Duke supozuar të kundërtën, ne mund të gjejmë një minor të rendit më të madh se r që është jozero nga Përfundimi 2 i lemës së mëparshme. Kjo e fundit bie ndesh me faktin që rendi maksimal i të miturve jo zero është r. Çdo gjë e provuar për rreshtat është gjithashtu e vërtetë për kolonat.

Si përfundim, ne do të përshkruajmë një metodë tjetër për gjetjen e renditjes së një matrice. Rangu i një matrice mund të përcaktohet duke gjetur një minor të rendit maksimal që është i ndryshëm nga zero.

Në pamje të parë, kjo kërkon llogaritjen e një numri të fundëm, por ndoshta shumë të madh të minorave të kësaj matrice.

Megjithatë, teorema e mëposhtme lejon që të futen thjeshtime të rëndësishme në këtë.

Teorema. Nëse minorja e matricës A është jo zero, dhe të gjitha minoret në kufi me të janë të barabarta me zero, atëherë grada e matricës është e barabartë me r.

Dëshmi. Mjafton të tregohet se çdo nënsistem i rreshtave të matricës për S>r do të jetë linearisht i varur sipas kushteve të teoremës (do të pasojë që r është numri maksimal i rreshtave të matricës linearisht të pavarur ose ndonjë prej minoreve të tij të rendit më të madh se k janë të barabarta me zero).

Le të supozojmë të kundërtën. Lërini rreshtat të jenë linearisht të pavarur. Nga lema për të miturit në kufi, secila prej tyre do të shprehet në mënyrë lineare në terma të rreshtave që përmbajnë minorin dhe të cilat, për faktin se janë jo zero, janë linearisht të pavarur:

Tani merrni parasysh kombinimin linear të mëposhtëm:

ose

Duke përdorur (3.3.7) dhe (3.3.8), marrim

,

që bie ndesh me pavarësinë e rreshtit linear.

Rrjedhimisht, supozimi ynë është i pasaktë dhe, për rrjedhojë, çdo rresht S>r në kushtet e teoremës janë të varura linearisht. Teorema është vërtetuar.

Le të shqyrtojmë rregullin për llogaritjen e rangut të një matrice - metodën e kufirit të të miturve, bazuar në këtë teoremë.

Kur llogaritet rangu i një matrice, duhet të kalohet nga minorenët e rendit më të ulët në minorenët e rendit më të lartë. Nëse tashmë është gjetur një minor i rendit të rth, i ndryshëm nga zero, atëherë është e nevojshme të llogariten vetëm minoret e rendit (r+1) që kufizojnë minorin. Nëse ato janë të barabarta me zero, atëherë grada e matricës është e barabartë me r. Kjo metodë përdoret gjithashtu nëse jo vetëm llogarisim rangun e matricës, por gjithashtu përcaktojmë se cilat kolona (rreshta) përbëjnë bazën minore të matricës.

Shembull. Llogaritni rangun e matricës duke përdorur metodën e minoreve kufitare

.

Zgjidhje. Minorja e rendit të dytë, e vendosur në këndin e sipërm të majtë të matricës A, është jo zero:

.

Sidoqoftë, të gjithë të miturit e rendit të tretë që e rrethojnë janë të barabartë me zero:

;	;
;	;
;	.

Prandaj, rangu i matricës A është i barabartë me dy: .

Rreshtat e parë dhe të dytë, kolona e parë dhe e dytë në këtë matricë janë themelore. Rreshtat dhe kolonat e mbetura janë kombinime lineare të tyre. Në fakt, barazitë e mëposhtme vlejnë për vargjet:

Si përfundim, ne vërejmë vlefshmërinë e vetive të mëposhtme:

1) rangu i produktit të matricave nuk është më i madh se rangu i secilit prej faktorëve;

2) rangu i produktit të një matrice arbitrare A djathtas ose majtas nga një matricë katrore jo njëjës Q është e barabartë me gradën e matricës A.

Matricat polinomiale

Përkufizimi. Një matricë polinomiale ose -matricë është një matricë drejtkëndore, elementët e së cilës janë polinome në një ndryshore me koeficientë numerikë.

Transformimet elementare mund të kryhen në -matrica. Kjo perfshin:

Riorganizimi i dy rreshtave (kolonave);

Shumëzimi i një rreshti (kolone) me një numër të ndryshëm nga zero;

Shtimi në një rresht (kolona) një rresht tjetër (kolona) të shumëzuar me ndonjë polinom.

Dy -matrica dhe me të njëjtën madhësi thuhet se janë ekuivalente: , nëse mund të kalohet nga matrica në përdorimin e një numri të fundëm transformimesh elementare.

Shembull. Vërtetoni ekuivalencën e matricës

,

.

1. Ndërroni kolonën e parë dhe të dytë në matricë:

.

2. Nga rreshti i dytë, zbrit të parën, shumëzuar me ():

.

3. Shumëzojeni rreshtin e dytë me (–1) dhe vini re se

.

4. Zbresim nga kolona e dytë të parën, shumëzuar me , marrim

.

Bashkësia e të gjitha matricave të madhësive të dhëna ndahet në klasa të ndara të matricave ekuivalente. Matricat që janë ekuivalente me njëra-tjetrën formojnë një klasë, dhe ato që nuk janë ekuivalente formojnë një tjetër.

Çdo klasë matricash ekuivalente karakterizohet nga një matricë kanonike ose normale e dimensioneve të dhëna.

Përkufizimi. Një matricë kanonike ose normale e dimensioneve është një matricë, diagonalja kryesore e së cilës përmban polinome, ku p është më i vogli i numrave m dhe n ( ), dhe polinomet që nuk janë të barabartë me zero kanë koeficientët kryesorë të barabartë me 1, dhe çdo polinom i mëpasshëm pjesëtohet me atë të mëparshëm. Të gjithë elementët jashtë diagonales kryesore janë 0.

Nga përkufizimi del se nëse në mesin e polinomeve ka polinome të shkallës zero, atëherë ata janë në fillim të diagonales kryesore. Nëse ka zero, ato janë në fund të diagonales kryesore.

Matrica e shembullit të mëparshëm është kanonike. Matricë

edhe kanonike.

Çdo klasë e -matricave përmban një -matricë unike kanonike, d.m.th. Çdo matricë është ekuivalente me një matricë unike kanonike, e cila quhet forma kanonike ose forma normale e asaj matrice.

Polinomet e vendosura në diagonalen kryesore të formës kanonike të një matrice të dhënë quhen faktorë invariant të kësaj matrice.

Një metodë për llogaritjen e faktorëve të pandryshueshëm është zvogëlimi i një matrice të dhënë në formë kanonike.

Kështu, për matricën e shembullit të mëparshëm, faktorët invariant janë

, , , .

Nga sa më sipër rezulton se prania e të njëjtit grup faktorësh invariant është kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për ekuivalencën e -matricave.

Reduktimi i matricave në formën kanonike reduktohet në faktorët përcaktues të pandryshueshëm

, ; ,

ku r është rangu i matricës; - pjesëtuesi më i madh i përbashkët i minoreve të rendit k-të, marrë me koeficientin kryesor të barabartë me 1.

Shembull. Le të dhënë -matricë

.

Zgjidhje. Natyrisht, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i rendit të parë, d.m.th. .

Le të përcaktojmë të miturit e rendit të dytë:

,

etj.

Tashmë këto të dhëna janë të mjaftueshme për të nxjerrë një përfundim: prandaj, .

Ne përcaktojmë

,

Prandaj, .

Kështu, forma kanonike e kësaj matrice është matrica e mëposhtme:

.

Një polinom matricë është një shprehje e formës

ku është e ndryshueshme; - matricat katrore të rendit n me elemente numerike.

Nëse , atëherë S quhet shkalla e polinomit të matricës, n është rendi i polinomit të matricës.

Çdo matricë kuadratike mund të përfaqësohet si një polinom matricë. Natyrisht, pohimi i kundërt është gjithashtu i vërtetë, d.m.th. çdo polinom i matricës mund të paraqitet si një matricë katrore.

Vlefshmëria e këtyre deklaratave rrjedh qartë nga vetitë e operacioneve mbi matricat. Le të shohim shembujt e mëposhtëm:

Shembull. Paraqitni një matricë polinomiale

në formën e një polinomi matricë si më poshtë

.

Shembull. Polinom i matricës

mund të përfaqësohet si matrica polinomiale e mëposhtme ( -matricë)

.

Kjo këmbyeshmëri e polinomeve të matricës dhe matricave polinomiale luan një rol të rëndësishëm në aparatin matematikor të metodave të analizës së faktorëve dhe komponentëve.

Polinomet matricë të të njëjtit rend mund të shtohen, zbriten dhe shumëzohen në të njëjtën mënyrë si polinomet e zakonshëm me koeficientë numerikë. Sidoqoftë, duhet mbajtur mend se shumëzimi i polinomeve të matricës, në përgjithësi, nuk është komutativ, pasi Shumëzimi i matricës nuk është komutativ.

Dy polinome matricë quhen të barabartë nëse koeficientët e tyre janë të barabartë, d.m.th. matricat përkatëse për fuqitë e njëjta të ndryshores .

Shuma (diferenca) e dy polinomeve të matricës është një polinom matricë koeficienti i të cilit për secilën shkallë të ndryshores është i barabartë me shumën (diferencën) e koeficientëve për të njëjtën shkallë në polinomet dhe .

Për të shumëzuar një polinom të matricës me një polinom matricë, duhet të shumëzoni çdo term të polinomit të matricës me çdo term të polinomit të matricës, të shtoni produktet që rezultojnë dhe të sillni terma të ngjashëm.

Shkalla e një polinomi të matricës është një produkt më i vogël ose i barabartë me shumën e shkallëve të faktorëve.

Veprimet në polinomet e matricës mund të kryhen duke përdorur veprime në -matricat përkatëse.

Për të mbledhur (zbritur) polinomet e matricës, mjafton të mblidhen (zbresim) matricat përkatëse. E njëjta gjë vlen edhe për shumëzimin. -Matrica e prodhimit të polinomeve të matricës është e barabartë me prodhimin e -matricave të faktorëve.

Nga ana tjetër, dhe mund të shkruhet në formë

ku B 0 është një matricë jo njëjës.

Kur pjesëtohet me ka një koeficient unik të drejtë dhe një mbetje të drejtë

ku shkalla e R 1 është më e vogël se shkalla , ose (pjestimi pa mbetje), si dhe herësi i majtë dhe mbetja e majtë nëse dhe vetëm nëse, ku është e rendit

Konceptet e varësisë lineare dhe pavarësisë lineare përcaktohen në mënyrë të barabartë për rreshtat dhe kolonat. Prandaj, vetitë e lidhura me këto koncepte të formuluara për kolonat, natyrisht, janë gjithashtu të vlefshme për rreshtat.

1. Nëse një sistem kolone përfshin një kolonë zero, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

2. Nëse një sistem kolonash ka dy kolona të barabarta, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

3. Nëse një sistem kolonash ka dy kolona proporcionale, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

4. Një sistem kolonash është i varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse të paktën njëra prej kolonave është një kombinim linear i të tjerave.

5. Çdo kolonë e përfshirë në një sistem linear të pavarur formojnë një nënsistem të pavarur linear.

6. Një sistem kolonash që përmban një nënsistem të varur linearisht është i varur në mënyrë lineare.

7. Nëse një sistem kolonash është linearisht i pavarur, dhe pas shtimit të një kolone në të, rezulton të jetë i varur në mënyrë lineare, atëherë kolona mund të zgjerohet në kolona dhe, për më tepër, në një mënyrë unike, d.m.th. koeficientët e zgjerimit mund të gjenden në mënyrë unike.

Le të provojmë, për shembull, pronën e fundit. Meqenëse sistemi i kolonave është i varur në mënyrë lineare, ka numra që nuk janë të gjithë të barabartë me 0, gjë që

Në këtë barazi. Në fakt, nëse , atëherë

Kjo do të thotë se një kombinim linear jo i parëndësishëm i kolonave është i barabartë me kolonën zero, gjë që bie në kundërshtim me pavarësinë lineare të sistemit. Prandaj, dhe pastaj, d.m.th. një kolonë është një kombinim linear i kolonave. Mbetet për të treguar veçantinë e një përfaqësimi të tillë. Le të supozojmë të kundërtën. Le të ketë dy zgjerime dhe , dhe jo të gjithë koeficientët e zgjerimeve janë përkatësisht të barabartë me njëri-tjetrin (për shembull, ). Pastaj nga barazia

Ne marrim (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

në mënyrë sekuenciale, kombinimi linear i kolonave është i barabartë me kolonën zero. Meqenëse jo të gjithë koeficientët e tij janë të barabartë me zero (të paktën), ky kombinim nuk është i parëndësishëm, gjë që bie në kundërshtim me kushtin e pavarësisë lineare të kolonave. Kontradikta që rezulton konfirmon veçantinë e zgjerimit.

Shembulli 3.2. Vërtetoni se dy kolona jo-zero dhe janë të varura linearisht nëse dhe vetëm nëse janë proporcionale, d.m.th. .

Zgjidhje. Në fakt, nëse kolonat janë të varura në mënyrë lineare, atëherë ka numra që nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, të tillë që . Dhe në këtë barazi. Në të vërtetë, duke supozuar se , ne marrim një kontradiktë, pasi kolona është gjithashtu jo zero. Do të thotë, . Prandaj, ekziston një numër i tillë që . Nevoja është vërtetuar.

Në të kundërt, nëse , atëherë . Ne morëm një kombinim linear jo të parëndësishëm të kolonave të barabartë me kolonën zero. Kjo do të thotë se kolonat janë të varura në mënyrë lineare.

Shembulli 3.3. Konsideroni të gjitha llojet e sistemeve të formuara nga kolonat

Shqyrtoni çdo sistem për varësi lineare.
Zgjidhje. Le të shqyrtojmë pesë sisteme që përmbajnë nga një kolonë secila. Sipas paragrafit 1 të vërejtjeve 3.1: sistemet janë linearisht të pavarura dhe një sistem i përbërë nga një kolonë zero është i varur në mënyrë lineare.

Le të shqyrtojmë sistemet që përmbajnë dy kolona:

– secili nga katër sistemet është i varur në mënyrë lineare, pasi përmban një kolonë zero (vetia 1);

– sistemi është i varur në mënyrë lineare, pasi kolonat janë proporcionale (vetia 3): ;

– secili nga pesë sistemet është linearisht i pavarur, pasi kolonat janë joproporcionale (shih deklaratën e shembullit 3.2).

Konsideroni sistemet që përmbajnë tre kolona:

– secili nga gjashtë sistemet është i varur në mënyrë lineare, pasi përmban një kolonë zero (vetia 1);

– sistemet janë të varura në mënyrë lineare, pasi ato përmbajnë një nënsistem të varur linearisht (vetia 6);

– sistemet dhe janë të varura në mënyrë lineare, pasi kolona e fundit shprehet në mënyrë lineare përmes pjesës tjetër (vetia 4): dhe, përkatësisht.

Së fundi, sistemet me katër ose pesë kolona varen në mënyrë lineare (nga vetia 6).

Rangu i matricës

Në këtë seksion, ne do të shqyrtojmë një tjetër karakteristikë të rëndësishme numerike të një matrice, që lidhet me masën në të cilën rreshtat (kolonat) e saj varen nga njëra-tjetra.

Përkufizimi 14.10 Le të jepet një matricë përmasash dhe një numër që nuk e kalon numrin më të vogël të numrave: . Le të zgjedhim rastësisht rreshtat dhe kolonat e matricës (numrat e rreshtave mund të ndryshojnë nga numrat e kolonave). Përcaktori i një matrice të përbërë nga elementë në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave të zgjedhura quhet rendi i vogël i matricës.

Shembulli 14.9 Le .

Një minor i rendit të parë është çdo element i matricës. Pra, 2, , janë të mitur të rendit të parë.

Të miturit e rendit të dytë:

1. marrim rreshtat 1, 2, kolonat 1, 2, marrim një minor ;

2. marrim rreshtat 1, 3, kolonat 2, 4, marrim një minor ;

3. marrim rreshtat 2, 3, kolonat 1, 4, marrim minore

Të miturit e rendit të tretë:

rreshtat këtu mund të zgjidhen vetëm në një mënyrë,

1. marrim kolonat 1, 3, 4, marrim minore ;

2. marrim kolonat 1, 2, 3, marrim minore .

Propozimi 14.23 Nëse të gjitha minoret e një matrice të rendit janë të barabarta me zero, atëherë të gjitha minoret e rendit , nëse ekzistojnë, janë gjithashtu të barabarta me zero.

Dëshmi. Le të marrim një minor arbitrar të rendit . Ky është përcaktuesi i matricës së rendit. Le ta zbërthejmë përgjatë vijës së parë. Pastaj në çdo term të zgjerimit një nga faktorët do të jetë një minor i rendit të matricës origjinale. Sipas kushtit, të miturit e rendit janë të barabartë me zero. Prandaj, minorja e rendit do të jetë e barabartë me zero.

Përkufizimi 14.11 Renditja e një matrice është rendi më i madh i të miturve të matricës përveç zeros. Renditja e një matrice zero konsiderohet të jetë zero.

Nuk ka asnjë përcaktim të vetëm, standard për rangun e matricës. Në vijim të tekstit shkollor do ta shënojmë.

Shembulli 14.10 Matrica e Shembullit 14.9 ka renditjen 3 sepse ka një minor të rendit të tretë përveç zeros, por nuk ka minore të rendit të katërt.

Rangu i matricës është e barabartë me 1, pasi ekziston një minor i rendit të parë jo zero (element matricë) dhe të gjitha minoret e rendit të dytë janë të barabarta me zero.

Rangu i një matrice katrore jo njëjës të rendit është e barabartë me , pasi përcaktori i saj është një minor i rendit dhe është jo zero për një matricë jo njëjës.

Propozimi 14.24 Kur një matricë transpozohet, rangu i saj nuk ndryshon, d.m.th .

Dëshmi. Një minor i transpozuar i matricës origjinale do të jetë një minor i matricës së transpozuar, dhe anasjelltas, çdo minor është një minor i transpozuar i matricës origjinale. Gjatë transpozimit, përcaktorja (minor) nuk ndryshon (Propozimi 14.6). Prandaj, nëse të gjitha minoret e një rendi në matricën origjinale janë të barabarta me zero, atëherë të gjitha minoret e rendit të njëjtë në janë gjithashtu të barabarta me zero. Nëse minorja e rendit në matricën origjinale është e ndryshme nga zero, atëherë b është një minor i rendit të njëjtë, i ndryshëm nga zero. Prandaj, .

Përkufizimi 14.12 Le të jetë rangu i matricës. Atëherë çdo minor i rendit , përveç zeros, quhet bazë i vogël.

Shembulli 14.11 Le . Përcaktori i matricës është zero, pasi rreshti i tretë është i barabartë me shumën e dy të parëve. Minorja e rendit të dytë, e vendosur në dy rreshtat e parë dhe dy kolonat e para, është e barabartë me . Rrjedhimisht, rangu i matricës është dy, dhe minorja e konsideruar është bazë.

Një minor bazë është gjithashtu një minor i vendosur, të themi, në rreshtin e parë dhe të tretë, kolonën e parë dhe të tretë: . Baza do të jetë e vogla në rreshtat e dytë dhe të tretë, kolona e parë dhe e tretë: .

Minorja në rreshtin e parë dhe të dytë dhe në kolonën e dytë dhe të tretë është zero dhe për këtë arsye nuk do të jetë bazë. Lexuesi mund të kontrollojë në mënyrë të pavarur se cilët të mitur të tjerë të rendit të dytë do të jenë bazë dhe cilët jo.

Meqenëse kolonat (rreshtat) e një matrice mund të shtohen, të shumëzohen me numra dhe të formohen kombinime lineare, është e mundur të futen përkufizime të varësisë lineare dhe pavarësisë lineare të një sistemi kolonash (rreshtash) të një matrice. Këto përkufizime janë të ngjashme me të njëjtat përkufizime 10.14, 10.15 për vektorët.

Përkufizimi 14.13 Një sistem kolonash (rreshtash) quhet i varur linearisht nëse ekziston një grup i tillë koeficientësh, të paktën njëri prej të cilëve është i ndryshëm nga zero, që kombinimi linear i kolonave (rreshtave) me këta koeficientë do të jetë i barabartë me zero.

Përkufizimi 14.14 Një sistem kolonash (rreshtash) është linearisht i pavarur nëse barazia me zero e një kombinimi linear të këtyre kolonave (rreshtave) nënkupton që të gjithë koeficientët e këtij kombinimi linear janë të barabartë me zero.

Propozimi i mëposhtëm, i ngjashëm me propozimin 10.6, është gjithashtu i vërtetë.

Fjalia 14.25 Një sistem kolonash (rreshtash) varet linearisht nëse dhe vetëm nëse një nga kolonat (një nga rreshtat) është një kombinim linear i kolonave (rreshtave) të tjera të këtij sistemi.

Le të formulojmë një teoremë të quajtur teorema bazë e vogël.

Teorema 14.2 Çdo kolonë matrice është një kombinim linear i kolonave që kalojnë përmes bazës minore.

Prova mund të gjendet në tekstet e algjebrës lineare, për shembull, në,.

Propozimi 14.26 Renditja e një matrice është e barabartë me numrin maksimal të kolonave të saj që formojnë një sistem linearisht të pavarur.

Dëshmi. Le të jetë rangu i matricës. Le të marrim kolonat që kalojnë nëpër bazë minor. Le të supozojmë se këto kolona formojnë një sistem të varur në mënyrë lineare. Atëherë njëra nga kolonat është një kombinim linear i të tjerave. Prandaj, në bazë minor, një kolonë do të jetë një kombinim linear i kolonave të tjera. Nga propozimet 14.15 dhe 14.18, ky bazë minor duhet të jetë i barabartë me zero, gjë që bie ndesh me përkufizimin e një baze minore. Prandaj, supozimi se kolonat që kalojnë përmes bazës minore janë të varura linearisht nuk është i vërtetë. Pra, numri maksimal i kolonave që formojnë një sistem linearisht të pavarur është më i madh ose i barabartë me .

Le të supozojmë se kolonat formojnë një sistem linearisht të pavarur. Le të bëjmë një matricë prej tyre. Të gjitha minoret e matricës janë të vogla të matricës. Prandaj, minorja bazë e matricës ka një rend jo më të madh se . Sipas teoremës bazë të vogël, një kolonë që nuk kalon përmes minorit bazë të një matrice është një kombinim linear i kolonave që kalojnë nëpër bazën minore, domethënë, kolonat e matricës formojnë një sistem të varur linear. Kjo është në kundërshtim me zgjedhjen e kolonave që formojnë matricën. Rrjedhimisht, numri maksimal i kolonave që formojnë një sistem linearisht të pavarur nuk mund të jetë më i madh se . Kjo do të thotë se është e barabartë me atë që u tha.

Propozimi 14.27 Renditja e një matrice është e barabartë me numrin maksimal të rreshtave të saj që formojnë një sistem linearisht të pavarur.

Dëshmi. Sipas propozimit 14.24, rangu i matricës nuk ndryshon gjatë transpozimit. Rreshtat e matricës bëhen kolonat e saj. Numri maksimal i kolonave të reja të matricës së transpozuar (rreshtat e mëparshëm të origjinalit) që formojnë një sistem linearisht të pavarur është i barabartë me gradën e matricës.

Propozimi 14.28 Nëse përcaktori i një matrice është zero, atëherë një nga kolonat e saj (një nga rreshtat) është një kombinim linear i kolonave të mbetura (rreshtave).

Dëshmi. Le të jetë rendi i matricës i barabartë me . Përcaktori është i vetmi minor i një matrice katrore që ka rend . Meqenëse është e barabartë me zero, atëherë . Rrjedhimisht, një sistem kolonash (rreshtash) është i varur në mënyrë lineare, domethënë, një nga kolonat (një nga rreshtat) është një kombinim linear i të tjerave.

Rezultatet e propozimeve 14.15, 14.18 dhe 14.28 japin teoremën e mëposhtme.

Teorema 14.3 Përcaktori i një matrice është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse një nga kolonat e saj (një nga rreshtat) është një kombinim linear i kolonave (rreshtave) të mbetur.

Gjetja e renditjes së një matrice duke llogaritur të gjitha minoret e saj kërkon shumë punë llogaritëse. (Lexuesi mund të kontrollojë nëse ka 36 minorenë të rendit të dytë në një matricë katrore të rendit të katërt.) Prandaj, një algoritëm tjetër përdoret për të gjetur renditjen. Për ta përshkruar atë, do të kërkohen një sërë informacionesh shtesë.

Përkufizimi 14.15 Le t'i quajmë veprimet e mëposhtme mbi to transformime elementare të matricave:

1) rirregullimi i rreshtave ose kolonave;
2) shumëzimi i një rreshti ose kolone me një numër të ndryshëm nga zero;
3) duke i shtuar njërit prej rreshtave një rresht tjetër të shumëzuar me një numër ose duke i shtuar njërës prej kolonave një kolonë tjetër të shumëzuar me një numër.

Propozimi 14.29 Gjatë transformimeve elementare, rangu i matricës nuk ndryshon.

Dëshmi. Le të jetë rangu i matricës i barabartë me , - matrica që rezulton nga kryerja e një transformimi elementar.

Le të shqyrtojmë ndërrimin e vargjeve. Le të jetë një minor i matricës, atëherë matrica ka një minor që ose përkon ose ndryshon nga ajo duke riorganizuar rreshtat. Dhe anasjelltas, çdo matricë e vogël mund të shoqërohet me një matricë të vogël që ose përkon ose ndryshon nga ajo në rendin e rreshtit. Prandaj, nga fakti se të gjitha minoret e një rendi në një matricë janë të barabarta me zero, rrjedh se në matricë të gjitha minoret e këtij renditje janë gjithashtu të barabarta me zero. Dhe meqenëse matrica ka një minor të rendit , të ndryshëm nga zero, atëherë matrica ka gjithashtu një minor të rendit, të ndryshëm nga zero, domethënë .

Merrni parasysh shumëzimin e një vargu me një numër të ndryshëm nga zero. Një minor nga një matricë korrespondon me një minor nga një matricë që ose përkon ose ndryshon prej saj në vetëm një rresht, i cili përftohet nga rreshti minor duke shumëzuar me një numër të ndryshëm nga zero. Në rastin e fundit. Në të gjitha rastet, ose dhe janë njëkohësisht të barabarta me zero, ose në të njëjtën kohë të ndryshme nga zero. Prandaj, .

Le

Kolonat e matricës së dimensioneve. Kombinim linear i kolonave të matricës quhet matricë kolone, ku thirren disa numra realë ose kompleksë koeficientët e kombinimit linear. Nëse në një kombinim linear marrim të gjithë koeficientët të barabartë me zero, atëherë kombinimi linear është i barabartë me matricën e kolonës zero.

Kolonat e matricës quhen i pavarur në mënyrë lineare , nëse kombinimi linear i tyre është i barabartë me zero vetëm kur të gjithë koeficientët e kombinimit linear janë të barabartë me zero. Kolonat e matricës quhen varur në mënyrë lineare , nëse ka një grup numrash midis të cilëve të paktën një është jo zero, dhe kombinimi linear i kolonave me këta koeficientë është i barabartë me zero

Në mënyrë të ngjashme, mund të jepen përkufizimet e varësisë lineare dhe pavarësisë lineare të rreshtave të matricës. Në vijim, të gjitha teoremat janë formuluar për kolonat e matricës.

Teorema 5

Nëse ka një zero midis kolonave të matricës, atëherë kolonat e matricës janë të varura në mënyrë lineare.

Dëshmi. Konsideroni një kombinim linear në të cilin të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero për të gjitha kolonat jozero dhe një për të gjitha kolonat zero. Është e barabartë me zero, dhe midis koeficientëve të kombinimit linear ka një koeficient jozero. Prandaj, kolonat e matricës janë të varura në mënyrë lineare.

Teorema 6

Nëse kolonat e matricës janë të varura në mënyrë lineare, kjo është e gjitha kolonat e matricës janë të varura në mënyrë lineare.

Dëshmi. Për saktësi, do të supozojmë se kolonat e para të matricës varur në mënyrë lineare. Pastaj, me përcaktimin e një varësie lineare, ekziston një grup numrash midis të cilëve të paktën një është jozero, dhe kombinimi linear i kolonave me këta koeficientë është i barabartë me zero.

Le të bëjmë një kombinim linear të të gjitha kolonave të matricës, duke përfshirë kolonat e mbetura me koeficient zero

Por . Prandaj, të gjitha kolonat e matricës janë të varura në mënyrë lineare.

Pasoja. Ndër kolonat e matricës në mënyrë lineare të pavarura, secila prej tyre është linearisht e pavarur. (Kjo deklaratë mund të vërtetohet lehtësisht me kontradiktë.)

Teorema 7

Në mënyrë që kolonat e një matrice të jenë të varura në mënyrë lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të paktën një kolonë e matricës të jetë një kombinim linear i të tjerave.

Dëshmi.

Domosdoshmëri. Le të jenë kolonat e matricës të varura linearisht, domethënë ekziston një grup numrash midis të cilëve të paktën një është i ndryshëm nga zero, dhe kombinimi linear i kolonave me këta koeficientë është i barabartë me zero.

Le të supozojmë për definicion se . Atëherë kjo është, kolona e parë është një kombinim linear i pjesës tjetër.

Përshtatshmëria. Le të jetë të paktën një kolonë e matricës një kombinim linear i të tjerave, për shembull, , ku janë disa numra.

Atëherë , domethënë, kombinimi linear i kolonave është i barabartë me zero, dhe midis numrave në kombinimin linear të paktën një (at) është i ndryshëm nga zero.

Le të jetë rangu i matricës. Çdo minor jo zero i rendit 1 quhet bazë . Rreshtat dhe kolonat në kryqëzimin e të cilave ka një bazë minor quhen bazë .