Si të zgjidhim një ekuacion me metodën e Lagranzhit. Simulimi i sistemeve dinamike (metoda Lagrange dhe qasja e grafikut Bond)

Metoda për përcaktimin e ekstremit të kushtëzuar fillon me ndërtimin e një funksioni ndihmës Lagrange, i cili, në rajonin e zgjidhjeve të realizueshme, arrin një maksimum për të njëjtat vlera të variablave. x 1 , x 2 , ..., x n si funksion objektiv z ... Le të zgjidhet problemi i përcaktimit të ekstremumit të kushtëzuar të funksionit z = f (X) me kufizime φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Le të kompozojmë funksionin

e cila quhet funksioni i Lagranzhit. X , - faktore konstante ( Shumëzuesit e Lagranzhit). Vini re se shumëzuesve Lagrange mund t'i jepet kuptim ekonomik. Nëse f (x 1 , x 2 , ..., x n ) - të ardhurat në përputhje me planin X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) dhe funksionin φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - kostot e burimit të i-të që korrespondon me këtë plan, atëherë X , është çmimi (vlerësimi) i burimit të i-të, i cili karakterizon ndryshimin e vlerës ekstreme të funksionit objektiv në varësi të ndryshimit të madhësisë së burimit të i-të (vlerësimi marxhinal). L (X) - funksion n + m variablave (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) ... Përcaktimi i pikave stacionare të këtij funksioni çon në zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve

Është e lehtë për ta parë atë ... Kështu, problemi i gjetjes së ekstremit të kushtëzuar të funksionit z = f (X) reduktohet në gjetjen e ekstremit lokal të funksionit L (X) ... Nëse gjendet një pikë e palëvizshme, atëherë çështja e ekzistencës së një ekstremi në rastet më të thjeshta zgjidhet në bazë të kushteve të mjaftueshme për një ekstrem - një hetim i shenjës së diferencialit të dytë. d 2 L (X) në një pikë të palëvizshme, me kusht që ndryshorja të rritet Δx i - janë të lidhura nga marrëdhëniet

të fituara nga diferencimi i ekuacioneve të komunikimit.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh jolineare në dy të panjohura duke përdorur mjetin Solution Search

Përshtatje Gjetja e një zgjidhjeje ju lejon të gjeni një zgjidhje për një sistem ekuacionesh jolineare me dy të panjohura:

ku
- funksion jolinear i variablave x dhe y ,
është një konstante arbitrare.

Dihet se dyshja ( x , y ) është një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve (10) nëse dhe vetëm nëse është një zgjidhje e ekuacionit të mëposhtëm me dy të panjohura:

ME nga ana tjetër, zgjidhja për sistemin (10) është pikat e kryqëzimit të dy kurbave: f ] (x, y) = C dhe f 2 (x, y) = C 2 në sipërfaqe XOY.

Kjo nënkupton një metodë për gjetjen e rrënjëve të sistemit. ekuacionet jolineare:

Përcaktoni (të paktën përafërsisht) intervalin e ekzistencës së një zgjidhjeje në sistemin e ekuacioneve (10) ose ekuacionit (11). Këtu është e nevojshme të merret parasysh forma e ekuacioneve të përfshira në sistem, fusha e përcaktimit të secilit prej ekuacioneve të tyre etj. Ndonjëherë përdoret zgjedhja e përafrimit fillestar të zgjidhjes;

Tabeloni zgjidhjen e ekuacionit (11) në variablat x dhe y në intervalin e zgjedhur, ose ndërtoni grafikët e funksioneve f 1 (x, y) = C, dhe f 2 (x, y) = C 2 (sistemi (10)).

Lokalizoni rrënjët e supozuara të sistemit të ekuacioneve - gjeni disa vlera minimale nga tabela duke renditur rrënjët e ekuacionit (11), ose përcaktoni pikat e kryqëzimit të kthesave të përfshira në sistemin (10).

4. Gjeni rrënjët për sistemin e ekuacioneve (10) duke përdorur shtesën Kërkoni një zgjidhje.

Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit.

Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit është një nga metodat që lejon zgjidhjen e problemeve të programimit jolinear.

Programimi jolinear është një degë e programimit matematik që studion metodat për zgjidhjen e problemeve ekstreme me një funksion objektiv jolinear dhe një zonë zgjidhjesh të realizueshme të përcaktuara nga kufizime jolineare. Në ekonomi, kjo korrespondon me faktin se rezultatet (efikasiteti) rriten ose ulen në përpjesëtim me ndryshimin në shkallën e përdorimit të burimeve (ose, që është e njëjta, shkallën e prodhimit): për shembull, për shkak të ndarjes së kostot e prodhimit në ndërmarrje në variabile dhe konstante me kusht; për shkak të ngopjes së kërkesës për mallra, kur çdo njësi pasuese është më e vështirë për t'u shitur se ajo e mëparshme, etj.

Problemi i programimit jolinear shtrohet si problemi i gjetjes së optimumit të një funksioni të caktuar objektiv

F (x 1, ... x n), F (x) → maksimumi

kur plotësohen kushtet

g j (x 1, ... x n) ≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

ku x-vektori i variablave të kërkuar;

F (x) është një funksion objektiv;

g (x) - funksioni i kufizimeve (vazhdimisht i diferencueshëm);

b - vektori i konstanteve të kufizimeve.

Një zgjidhje për një problem programimi jolinear (maksimumi ose minimumi global) mund t'i përkasë ose kufirit ose brendësisë së grupit të pranueshëm.

Në ndryshim nga problemi i programimit linear, në problemin e programimit jolinear optimumi nuk qëndron domosdoshmërisht në kufirin e rajonit të përcaktuar nga kufizimet. Me fjalë të tjera, problemi është të zgjidhen vlera të tilla jo-negative të variablave që i nënshtrohen një sistemi kufizimesh në formën e pabarazive në të cilat arrihet maksimumi (ose minimumi) i funksionit të dhënë. Në të njëjtën kohë, format ose të funksionit objektiv ose të pabarazive nuk janë të përcaktuara. Mund të ketë raste të ndryshme: funksioni objektiv është jolinear dhe kufizimet janë lineare; funksioni objektiv është linear dhe kufizimet (të paktën njëri prej tyre) janë jolineare; si funksioni objektiv ashtu edhe kufizimet janë jolineare.

Problemi i programimit jolinear gjendet në shkencat natyrore, teknologjinë, ekonominë, matematikën, në fushën e marrëdhënieve të biznesit dhe në shkencën e qeverisjes.

Programimi jolinear, për shembull, shoqërohet me një problem bazë ekonomik. Pra, në problemin e shpërndarjes së burimeve të kufizuara, ose maksimizohet efiçenca, ose nëse studiohet konsumatori, konsumi në prani të kufizimeve që shprehin kushtet për mungesë burimesh. Në një mjedis të tillë të përgjithshëm, formulimi matematikor i problemit mund të rezultojë i pamundur, por në aplikime specifike, forma sasiore e të gjitha funksioneve mund të përcaktohet drejtpërdrejt. Për shembull, një fabrikë industriale prodhon produkte plastike. Efikasiteti i prodhimit vlerësohet këtu nga fitimi, dhe kufizimet interpretohen si fuqia punëtore në dispozicion, hapësira e prodhimit, produktiviteti i pajisjeve, etj.

Metoda e kosto-efektivitetit gjithashtu përshtatet në skemën e programimit jolinear. Kjo metodë është zhvilluar për përdorim në vendimmarrje në administratën qeveritare. Një funksion i përbashkët i efikasitetit është mirëqenia. Këtu lindin dy probleme të programimit jolinear: i pari është maksimizimi i efektit me kosto të kufizuara, i dyti është minimizimi i kostove, me kusht që efekti të jetë mbi një nivel minimal të caktuar. Kjo detyrë zakonisht modelohet mirë duke përdorur programim jolinear.

Rezultatet e zgjidhjes së problemit të programimit jolinear janë të dobishme në marrjen e vendimeve të qeverisë. Zgjidhja e fituar, natyrisht, rekomandohet, prandaj është e nevojshme të hetohen supozimet dhe saktësia e formulimit të problemit të programimit jolinear përpara se të merret vendimi përfundimtar.

Problemet jolineare janë komplekse dhe shpesh thjeshtohen duke çuar në ato lineare. Për këtë, supozohet në mënyrë konvencionale se në një zonë të caktuar funksioni objektiv rritet ose zvogëlohet në raport me ndryshimin në variablat e pavarur. Kjo qasje quhet metoda e përafrimeve lineare pjesë-pjesë; megjithatë, ajo është e zbatueshme vetëm për disa lloje të problemeve jolineare.

Problemet jolineare në kushte të caktuara zgjidhen duke përdorur funksionin Lagranzh: gjetja e pikës së shalës së saj, duke gjetur kështu një zgjidhje për problemin. Metodat e gradientit zënë një vend të rëndësishëm në mesin e algoritmeve llogaritëse të algoritmeve jolineare. Nuk ka asnjë metodë universale për problemet jolineare dhe, me sa duket, mund të mos jetë, pasi ato janë jashtëzakonisht të ndryshme. Është veçanërisht e vështirë për të zgjidhur problemet shumë-ekstreme.

Një nga metodat që na lejon të reduktojmë problemin e programimit jolinear në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh është metoda e shumëzuesve të pacaktuar të Lagranzhit.

Me ndihmën e metodës së shumëzuesit të Lagranzhit, në thelb krijohen kushtet e nevojshme që bëjnë të mundur identifikimin e pikave optimale në problemet e optimizimit me kufizime barazie. Në këtë rast, problemi me kufizimet shndërrohet në një problem ekuivalent të optimizimit të pakufizuar, në të cilin shfaqen disa parametra të panjohur, të quajtur shumëzues Lagrange.

Metoda e shumëzuesve të Lagranzhit konsiston në zvogëlimin e problemeve për ekstremin e kushtëzuar në problemet për ekstremin e pakushtëzuar të funksionit ndihmës - të ashtuquajturat. Funksionet e Lagranzhit.

Për problemin e ekstremit të funksionit f(x 1, x 2, ..., x n) sipas kushteve (ekuacionet e kufizimit) φ i(x 1, x 2, ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, funksioni Lagranzh ka formën

L (x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,… λm) = f (x 1, x 2… x n) + ∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Shumëzuesit λ 1, λ 2, ..., λm thirrur Shumëzuesit e Lagranzhit.

Nëse sasitë x 1, x 2, ..., x n, λ 1, λ 2, ..., λm thelbi i zgjidhjeve të ekuacioneve që përcaktojnë pikat stacionare të funksionit të Lagranzhit, përkatësisht, për funksionet e diferencueshme janë zgjidhjet e sistemit të ekuacioneve

atëherë sipas supozimeve mjaft të përgjithshme x 1, x 2, ..., x n japin ekstremumin e funksionit f.

Merrni parasysh problemin e minimizimit të një funksioni prej n variablash, duke marrë parasysh një kufizim në formën e barazisë:

Minimizo f (x 1, x 2 ... x n) (1)

nën kufizimet h 1 (x 1, x 2 ... x n) = 0 (2)

Në përputhje me metodën e shumëzuesit të Lagranzhit, ky problem shndërrohet në problemin e mëposhtëm të optimizimit të pakufizuar:

minimizo L (x, λ) = f (x) -λ * h (x) (3)

ku funksioni L (x; λ) quhet funksion i Lagranzhit,

λ është një konstante e panjohur, e cila quhet shumëzues i Lagranzhit. Nuk ka kërkesa për shenjën λ.

Le të arrihet për një vlerë të caktuar λ = λ 0 minimumi i pakushtëzuar i funksionit L (x, λ) në lidhje me x në pikën x = x 0 dhe x 0 plotëson ekuacionin h 1 (x 0) = 0. Pastaj, siç mund të shihet lehtë, x 0 minimizon (1) duke marrë parasysh (2), pasi për të gjitha vlerat e x të kënaqshme (2), h 1 (x) = 0 dhe L (x, λ) = min f (x).

Natyrisht, është e nevojshme të zgjidhet vlera λ = λ 0 në mënyrë që koordinata e pikës së minimumit të pakushtëzuar х 0 të plotësojë barazinë (2). Kjo mund të bëhet nëse, duke e konsideruar λ si një ndryshore, gjeni minimumin e pakushtëzuar të funksionit (3) në formën e një funksioni λ, dhe më pas zgjidhni vlerën e λ në të cilën plotësohet barazia (2). Le ta ilustrojmë këtë me një shembull specifik.

Minimizo f (x) = x 1 2 + x 2 2 = 0

nën kufizimin h 1 (x) = 2x 1 + x 2 -2 = 0 = 0

Problemi përkatës i optimizimit të pakufizuar është shkruar si më poshtë:

minimizo L (x, λ) = x 1 2 + x 2 2 -λ (2x 1 + x 2 -2)

Zgjidhje. Duke barazuar dy komponentët e gradientit L me zero, marrim

→ x 1 0 = λ

→ x 2 0 = λ / 2

Për të kontrolluar nëse pika e palëvizshme x ° korrespondon me një minimum, ne llogarisim elementet e matricës Hessian të funksionit L (x; u), të konsideruara si një funksion i x,

e cila rezulton e caktuar pozitive.

Kjo do të thotë se L (x, u) është një funksion konveks i x. Prandaj, koordinatat x 1 0 = λ, x 2 0 = λ / 2 përcaktojnë pikën e minimumit global. Vlera optimale e λ gjendet duke zëvendësuar vlerat x 1 0 dhe x 2 0 në ekuacionin 2x 1 + x 2 = 2, prej nga 2λ + λ / 2 = 2 ose λ 0 = 4/5. Kështu, minimumi i kushtëzuar arrihet në x 1 0 = 4/5 dhe x 2 0 = 2/5 dhe është i barabartë me min f (x) = 4/5.

Gjatë zgjidhjes së problemit nga shembulli, ne e konsideruam L (x; λ) si funksion të dy ndryshoreve x 1 dhe x 2 dhe, përveç kësaj, supozuam se vlera e parametrit λ zgjidhet në mënyrë që kufizimi të plotësohet. Nëse zgjidhja e sistemit

J = 1,2,3, ..., n

nuk mund të merret në formën e funksioneve eksplicite λ, atëherë vlerat e χ dhe λ gjenden duke zgjidhur sistemin e mëposhtëm të përbërë nga n + 1 ekuacione me n + 1 të panjohura:

J = 1,2,3, ..., n., H 1 (x) = 0

Për të gjetur të gjitha zgjidhjet e mundshme të një sistemi të caktuar, mund të përdorni metodat numerike të kërkimit (për shembull, metoda e Njutonit). Për secilën prej zgjidhjeve (), duhet të llogariten elementet e matricës Hessian të funksionit L, të konsideruar si funksion i x, dhe të zbulohet nëse kjo matricë është e caktuar pozitive (minimumi lokal) ose negative (maksimumi lokal). ).

Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit mund të shtrihet në rastin kur problemi ka disa kufizime në formën e barazive. Konsideroni një problem të përgjithshëm që kërkon

Minimizo f (x)

nën kufizimet h k = 0, k = 1, 2, ..., K.

Funksioni Lagranzh merr formën e mëposhtme:

Këtu λ 1, λ 2, ..., λk-Shumëzuesit e Lagranzhit, d.m.th. parametra të panjohur, vlerat e të cilave duhet të përcaktohen. Duke barazuar derivatet e pjesshme të L në lidhje me x me zero, marrim sistemin e mëposhtëm të n ekuacioneve me n të panjohura:

Nëse rezulton të jetë e vështirë të gjesh një zgjidhje për sistemin e mësipërm në formën e funksioneve të vektorit λ, atëherë është e mundur të zgjerohet sistemi duke përfshirë kufizime në formën e barazive.

Zgjidhja e sistemit të zgjeruar, i përbërë nga n + K ekuacione me n + K të panjohura, përcakton pikën e palëvizshme të funksionit L. Më pas zbatohet procedura e kontrollit për një minimum ose maksimum, i cili kryhet në bazë të llogaritjes elementet e matricës hesiane të funksionit L, të konsideruara si funksion të x-së, ngjashëm sikurse është bërë në rastin e problemit me një kufizim. Për disa probleme, sistemi i zgjeruar i ekuacioneve n + K me n + K të panjohura mund të mos ketë zgjidhje dhe metoda e shumëzuesit të Lagranzhit rezulton të jetë e pazbatueshme. Megjithatë, duhet theksuar se detyra të tilla rrallë hasen në praktikë.

Shqyrtoni një rast të veçantë të një problemi të përgjithshëm të programimit jolinear, duke supozuar se sistemi i kufizimeve përmban vetëm ekuacione, nuk ka kushte për mosnegativitetin e ndryshoreve dhe funksionet dhe - janë të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre të pjesshme. Prandaj, pasi të keni zgjidhur sistemin e ekuacioneve (7), fitohen të gjitha pikat në të cilat funksioni (6) mund të ketë vlera ekstreme.

Algoritmi i metodës së shumëzuesit të Lagranzhit

1. Krijoni funksionin Lagranzh.

2. Gjeni derivatet e pjesshme të funksionit të Lagranzhit në lidhje me ndryshoret x J, λ i dhe barazojini me zero.

3. Zgjidhim sistemin e ekuacioneve (7), gjejmë pikat në të cilat funksioni objektiv i problemës mund të ketë një ekstrem.

4. Ndër pikat e dyshimta për një ekstrem, gjejmë ato në të cilat arrihet ekstremi dhe llogarisim vlerat e funksionit (6) në këto pika.

Shembull.

Të dhënat fillestare: Sipas planit të prodhimit, ndërmarrja duhet të prodhojë 180 produkte. Këto produkte mund të prodhohen në dy mënyra teknologjike. Në prodhimin e produkteve x 1 sipas metodës 1, kostot janë 4x 1 + x 1 2 rubla, dhe në prodhimin e produkteve x 2 sipas metodës 2, ato janë 8x 2 + x 2 2 rubla. Përcaktoni sa produkte duhet të bëhet secila prej metodave në mënyrë që kostoja e prodhimit të produkteve të jetë minimale.

Funksioni objektiv për detyrën në fjalë ka formën
® min në kushtet x 1 + x 2 = 180, x 2 ≥0.
1.Përpiloni funksionin Lagranzh
.
2. Ne llogarisim derivatet e pjesshme në lidhje me x 1, x 2, λ dhe i barazojmë me zero:

3. Duke zgjidhur sistemin rezultues të ekuacioneve, gjejmë x 1 = 91, x 2 = 89

4. Duke bërë një zëvendësim në funksionin objektiv x 2 = 180-x 1, marrim një funksion të një ndryshoreje, përkatësisht f 1 = 4x 1 + x 1 2 +8 (180-x 1) + (180-x 1) 2

Llogaritni ose 4x 1 -364 = 0,

prej nga kemi x 1 * = 91, x 2 * = 89.

Përgjigje: Numri i produkteve të prodhuara me metodën e parë është i barabartë me x 1 = 91, me metodën e dytë x 2 = 89, ndërsa vlera e funksionit objektiv është 17278 rubla.

Metoda e shumëzuesitLagranzhit(në literaturën angleze metoda e "LaGrange" e shumëzuesve të papërcaktuar ") është një metodë numerike për zgjidhjen e problemeve të optimizimit, e cila ju lejon të përcaktoni ekstremin "e kushtëzuar" të funksionit objektiv (vlera minimale ose maksimale)

në prani të kufizimeve të specifikuara në variablat e tij në formën e barazive (d.m.th., përcaktohet diapazoni i vlerave të pranueshme)

˗ këto janë vlerat e argumentit të funksionit (parametrat e kontrolluar) në domenin real në të cilin vlera e funksionit priret në një ekstrem. Përdorimi i emrit "ekstrem i kushtëzuar" është për faktin se një kusht shtesë vendoset në variablat, i cili kufizon gamën e vlerave të pranueshme kur kërkoni për ekstremin e një funksioni.

Metoda e shumëzuesit Lagrange lejon që problemi i gjetjes së ekstremit të kushtëzuar të funksionit objektiv në grupin e vlerave të pranueshme të shndërrohet në problemin e optimizimit të pakufizuar të funksionit.

Në rast se funksionet dhe janë të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre të pjesshme, atëherë ekzistojnë variabla të tillë λ që nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, për të cilat plotësohet kushti i mëposhtëm:

Kështu, në përputhje me metodën e shumëzuesit Lagrange, për të kërkuar ekstremin e funksionit objektiv në grupin e vlerave të pranueshme, unë kompozoj funksionin Lagrange L (x, λ), i cili optimizohet më tej:

ku λ është një vektor i ndryshoreve shtesë, të quajtur shumëzues të pacaktuar të Lagranzhit.

Kështu, problemi i gjetjes së ekstremit të kushtëzuar të funksionit f (x) është reduktuar në problemin e gjetjes së ekstremit të pakushtëzuar të funksionit L (x, λ).

dhe

Kushti i nevojshëm për ekstremin e funksionit Lagranzh jepet nga një sistem ekuacionesh (sistemi përbëhet nga ekuacione "n + m"):

Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh bën të mundur përcaktimin e argumenteve të funksionit (X), për të cilin vlera e funksionit L (x, λ), si dhe vlera e funksionit objektiv f (x). ekstremin.

Vlera e shumëzuesve të Lagranzhit (λ) është me interes praktik nëse kufizimet paraqiten në formën me një term të lirë të ekuacionit (konstante). Në këtë rast, është e mundur të merret në konsideratë (rritje/ulje) e mëtejshme e vlerës së funksionit objektiv duke ndryshuar vlerën e konstantës në sistemin e ekuacioneve. Kështu, shumëzuesi Lagranzh karakterizon shkallën e ndryshimit në maksimumin e funksionit objektiv kur ndryshon konstanta kufizuese.

Ka disa mënyra për të përcaktuar natyrën e ekstremit të funksionit që rezulton:

Mënyra e parë: Le të jenë koordinatat e pikës ekstreme, dhe - vlera përkatëse e funksionit objektiv. Merret një pikë afër pikës dhe llogaritet vlera e funksionit objektiv:

Nëse , atëherë një maksimum ndodh në pikë.

Nëse , atëherë ka një minimum në pikë.

Metoda e dytë: Një kusht i mjaftueshëm nga i cili mund të zbulohet natyra e ekstremit është shenja e diferencialit të dytë të funksionit Lagranzh. Diferenciali i dytë i funksionit të Lagranzhit përcaktohet si më poshtë:

Nëse në një pikë të caktuar minimale, nëse , atëherë funksioni objektiv f (x) në këtë pikë ka një kusht maksimale.

Mënyra e tretë: Gjithashtu, natyra e ekstremit të funksionit mund të zbulohet duke marrë parasysh Hessian-in e funksionit të Lagranzhit. Matrica Hessian është një matricë katrore simetrike e derivateve të dyta të pjesshme të funksionit në pikën në të cilën elementët e matricës janë simetrike rreth diagonales kryesore.

Për të përcaktuar llojin e ekstremumit (maksimumi ose minimumi i një funksioni), mund të përdorni rregullin Sylvester:

1. Që diferenciali i dytë i funksionit të Lagranzhit të jetë pozitiv është e nevojshme që minoret këndore të funksionit të jenë pozitive. Në kushte të tilla, funksioni në këtë pikë ka një minimum.

2. Që diferenciali i dytë i funksionit të Lagranzhit të jetë negativ , është e nevojshme që minoret këndore të funksionit të alternohen dhe elementi i parë i matricës duhet të jetë negativ sv. Në kushte të tilla, funksioni në këtë pikë ka një maksimum.

Me një minor këndor nënkuptojmë një minor të vendosur në k rreshtat dhe k kolonat e para të matricës origjinale.

Vlera kryesore praktike e metodës Lagrange është se ju lejon të kaloni nga optimizimi i kushtëzuar në të pakushtëzuar dhe, në përputhje me rrethanat, të zgjeroni arsenalin e metodave të disponueshme për zgjidhjen e problemit. Sidoqoftë, problemi i zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve në të cilin reduktohet kjo metodë, në rastin e përgjithshëm, nuk është më i thjeshtë se problemi origjinal i gjetjes së një ekstremi. Metoda të tilla quhen indirekte. Përdorimi i tyre shpjegohet me nevojën për të marrë një zgjidhje për një problem ekstrem në një formë analitike (për shembull, për llogaritje të caktuara teorike). Kur zgjidhen probleme specifike praktike, zakonisht përdoren metoda të drejtpërdrejta bazuar në proceset përsëritëse të llogaritjes dhe krahasimit të vlerave të funksioneve të optimizuara.

Mënyra e llogaritjes

Hapi 1: Përcaktoni funksionin e Lagranzhit nga një funksion objektiv i caktuar dhe një sistem kufizimesh:

Përpara

Për të shtuar komentin tuaj në artikull, ju lutemi regjistrohuni në sit.

METODA LAGRANGE

Metoda e reduktimit të një forme kuadratike në një shumë katrorësh të treguar në 1759 nga J. Lagrange. Le të jepet

nga variablat x 0 , x 1 , ..., x n. me koeficientë nga fusha k karakteristikat Kërkohet që kjo formë të sillet në kanonik. mendjen

duke përdorur një transformim linear jo të degjeneruar të ndryshoreve. L. m. Është si më poshtë. Mund të supozohet se jo të gjithë koeficientët e formës (1) janë të barabartë me zero. Prandaj, dy raste janë të mundshme.

1) Për disa g, diagonale Pastaj

ku forma f 1 (x) nuk përmban ndryshoren x g. 2) Nëse të gjitha por pastaj

ku forma f 2 (x) nuk përmban dy ndryshore x g dhe x h. Format nën katrorët në (4) janë linearisht të pavarura. Me aplikimin e transformimeve të formës (3) dhe (4), forma (1) pas një numri të caktuar hapash reduktohet në shumën e katrorëve të formave lineare të pavarura lineare. Me ndihmën e derivateve të pjesshme, formulat (3) dhe (4) mund të shkruhen në formë

Ndezur.: G antmakher F. R., Teoria e matricës, botimi i dytë, Moskë, 1966; A. G. Kurosh, Kursi i Algjebrës së Lartë, botimi i 11-të, Moskë, 1975; Aleksandrov P.S., Leksione mbi gjeometrinë analitike ..., Moskë, 1968. I. V. Proskuryakov.

Enciklopedia e Matematikës. - M .: Enciklopedia Sovjetike... I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Shihni se çfarë është "METODA LAGRANGE" në fjalorë të tjerë:

Metoda e Lagranzhit- Metoda Lagranzh - një metodë për zgjidhjen e një numri klasash të problemeve të programimit matematik duke gjetur pikën e shalës (x *, λ *) të funksionit Lagranzh., e cila arrihet duke barazuar me zero derivatet e pjesshme të këtij funksioni në lidhje me ... ... Fjalori i ekonomisë dhe matematikës

Metoda e Lagranzhit- Një metodë për zgjidhjen e një numri klasash të problemeve të programimit matematik duke gjetur pikën e shalës (x *,? *) të funksionit Lagranzh, e cila arrihet duke barazuar me zero derivatet e pjesshme të këtij funksioni në lidhje me xi dhe? . Shih Lagranzhian. )