I kushtohet një prej koncepteve bazë të analizës matematikore - kufirit. Si në rastin e një sekuence numerike ashtu edhe në rastin e një funksioni real të një ndryshoreje reale, hetohet një përafrim i pakufizuar me një vlerë të caktuar konstante të një ndryshoreje, në varësi të një ndryshoreje tjetër me një ndryshim të caktuar në të. Në këtë kapitull, ne do të përpiqemi të përgjithësojmë konceptin e një kufiri për pasqyrimet e hapësirave metrike arbitrare, dhe përgjithësimi do të prekë gjithashtu mënyrën se si ndryshorja e pavarur priret në një vlerë të caktuar. 8.1. Koncepti i kufirit të një hartografike Le të jenë X dhe Y hapësira metrike me metrikën p dhe d të dhëna në to, përkatësisht, X të jetë një nëngrup në X me të njëjtën metrikë /> që ka 6 X si pikë kufitare. Theksojmë se, sipas përkufizimit 5.9, kjo pikë kufizuese për A mund t'i përkasë ose jo nëngrupit A. Ne do të shqyrtojmë TEORINË E KUFIJVE. Koncepti i kufirit të hartës së një lagjeje të shpuar U (a) = U (a) \ (a) e një pike të caktuar. Le të përfshijë domeni i përkufizimit të pasqyrës f: AY bashkësinë A. Vini re se për një pikë a kjo pasqyrë mund të mos jetë e përcaktuar. Përkufizimi 8.1. Pika 6 € Y quhet kufiri i hartës /: A -f Y në një pikë a përgjatë bashkësisë A dhe shkruajmë b = lim f (x) ose f (x) -> b si x -> a, nëse, çfarëdo që mund të jetë një lagje V (6) e pikës 6, ekziston një lagje e shpuar U (a) e pikës a në X e tillë që imazhi i saj për çdo pikë x ∈ Ua) PL i përket Y (6), kjo eshte, Kur plotësohet (8.1), thuhet gjithashtu se funksioni f (x) tenton në b ndërsa x priret përgjatë bashkësisë A deri në pikën a. Përkufizimi 8.1 është mjaft i përgjithshëm. Në varësi të asaj se cilat grupe janë X, Y, ACX dhe cila është pika e një X €, mund të merrni konkretizime të ndryshme të këtij përkufizimi. Kujtoni (shih 5.2) se çdo lagje e një pike përfshin një lagje elektronike të kësaj pike, dhe çdo lagje ^ -lagje është një lagje. Prandaj, duke zëvendësuar në (8.1) një lagje arbitrare V (6) të pikës b ∈ Y me lagjen ^ - dhe lagjen e shpuar të pikës a ∈ X me lagjen e saj të shpuar, arrijmë në shënimin simbolik të mëposhtëm për përcaktimi i kufirit të një hartëzimi, i cili është i barabartë me Përkufizimin 8.1: Për Y Me R nga (8.1) pason një shënim simbolik për përcaktimin e kufirit të shfaqjes /: (kufiri i funksionit real):. Nëse 6 = 0 në (8.5)) atëherë funksioni f (x) quhet infinititar pasi x priret në pikën a ∈ X përgjatë bashkësisë A dhe shkruhet Kur YCR mund të flasim për kufijtë e pafund të pasqyrimit nëse pika 6 është një nga pikat e pafundme (+ oo ose -oo) rreshti numëror i zgjeruar R ose bashkimi i tyre (oo). Në këtë rast, fqinjësia e secilës prej pikave të listuara, kur zgjedh një M> O arbitrare, do të marrë formën Pastaj nga (8.1) vijojnë tre hyrje mjaft të ngjashme në formën simbolike të përcaktimeve të kufijve të pafund të funksionit:. Shembulli 8.1. Le të tregojmë se lim f (x) = c nëse pasqyrimi / në pikat e bashkësisë A merr të njëjtën vlerë c. Në të vërtetë, cilado qoftë lagjja, TEORIA E KUFIJVE. Nocioni i kufirit të pasqyrimit V (c) të pikës c) Vx në U (a) A / (x) = c, pasi xe A. Prandaj, / (U (a) A) = c € V ( c), që korrespondon me përkufizimin 8.1. Le të verifikojmë që lim / (x) = a nëse hartëzimi / është identik, d.m.th. / (x) = x Vx 6 A. Në këtë rast, për çdo lagje V (a), duke zgjedhur U (a) = V (a) \ (a) për hartën e identitetit, marrim që korrespondon me (8.1). Në veçanti, kur A = R dhe a i përgjigjet pikës së pafundme + oo të drejtëzës numerike të zgjeruar, kemi: f (x) -f oo si x + oo. Në të vërtetë, për një M> 0 arbitrare, si një lagje e shpuar e pikës së pafundme + oo, mjafton të zgjidhet bashkësia U (+ oo) = (s € R: x> M) për të marrë f (x)> M dhe plotëson kushtin (8.7). # Nëse në përkufizimin 8.1 X = Y = R dhe nëngrupin A = (a: € R: x> a), atëherë arrijmë në nocionin e kufirit të djathtë të një funksioni real të një ndryshoreje reale në një pikë a. , e shënuar në 7.2 lim fix). Nëse X = Y = R Vini re se bashkësia A mund të përkojë me të gjithë bashkësinë X. Për X = Y = R, ky rast në përkufizimin 8.1 korrespondon me nocionin e një kufiri të dyanshëm të një funksioni real të një ndryshoreje reale, dhe (nëse nuk ka kërcënim për konfuzion) në vend të lim / ( x) thjesht shkruani lim / (x). Sigurisht, duke folur për lim / (x), mund të merren parasysh të gjitha nëngrupet e mundshme të imagjinueshme të A, por kjo jo gjithmonë çon në rezultate domethënëse jo të parëndësishme. Pra, nëse funksioni Dirichlet konsiderohet në nëngrupin Q С R të numrave racionalë, atëherë thjesht marrim një funksion konstant, kufiri i të cilit përcaktohet në shembullin 8.1. Në përkufizimin 8.1 do të çojë në nocionin e kufirit të një sekuence pikash të një hapësire metrike arbitrare Y. Në lidhje me këtë, ne japim përkufizimin e mëposhtëm. Përkufizimi 8.2. Pika 6 € Y quhet kufiri i një sekuence (yn) pikash yn të hapësirës metrike Y nëse, cilado qoftë fqinjësia V (6) CY e pikës 6, ekziston një numër natyror N i tillë që duke u nisur nga numri N +1 të gjitha pikat e kësaj sekuence bien në këtë lagje, d.m.th. TEORIA E KUFIJVE. Koncepti i kufirit të një pasqyrimi Kur plotësohet (8.10), thuhet gjithashtu se (yn) tenton në pikën 6. Duke përdorur në (8.10), në vend të një fqinjësie arbitrare të pikës 6, fqinjësinë e saj arbitrare ^ -, do të kemi Krahasimin (8.11) me (6.28) dhe Përkufizimin 6.5, arrijmë në përfundimin se sekuenca (yn) e pikave në metrikë hapësira priret në pikën 6 nëse sekuenca e numrave ( d (yn> 6)) distancat d (yni b) € R është infiniteminale, d.m.th. Me fjalë të tjera, studimi i sjelljes së sekuencave të pikave të një hapësire metrike arbitrare bazohet në studimin e konvergjencës së sekuencave numerike. Për më tepër, kufiri i një hartëzimi të hapësirave arbitrare metrike është i lidhur ngushtë me kufirin e sekuencave. Kjo lidhje vendoset nga teorema e mëposhtme. Teorema 8.1. Hartëzimi /: Y ka një pikë 6 € Y si kufi, pasi x priret në pikën a përgjatë grupit A nëse dhe vetëm nëse, nën hartëzimin /, imazhi i çdo sekuence pikash nga A që priret në a është një sekuencë e pikave nga Y që priren në 6, dmth, e. Supozoni se pika 6 6 Y plotëson përkufizimin 8.1 të kufirit të hartës dhe (xn) është një sekuencë arbitrare e pikave xn nga A që priren në pikën a ∈ X. Pastaj, sipas (8.1), cilado qoftë lagja V ( b) pika CY 6, ekziston një lagje e shpuar U (a) C X e pikës a e tillë që / (u (a) PA) C V (6). Sipas përkufizimit 8.2, duke u nisur nga një numër W + 1, të gjitha pikat e sekuencës (xn) që priren në një duhet qëndrojnë në U (a) nA, "d.m.th. në bazë të (8.10) Pastaj, duke u nisur nga i njëjti numër, të gjitha pikat f (xn) EY të sekuencës (f (xn)) qëndrojnë në V (6), që, sipas përkufizimit 8.2, do të thotë se kjo sekuencë tenton të 6. Për të vërtetuar mjaftueshmërinë e kushtit të teoremës, supozojmë se për çdo sekuencë (xn) pikash xn nga A me tendencë a, sekuenca (f (xn)) e pikave f (xn) nga Y tenton në 6. Nëse lim f (x) φ 6, atëherë kjo do të nënkuptonte ekzistencën e një numri të tillë e> 0 që për çdo zgjedhje prej 8> 0 ka një pikë x ∈ A që plotëson kushtet p (x, a) dhe d ( f (x) y 6)> e. Për S> О në mënyrë arbitrare të vogël është e mundur të tregohet një numër natyror N) i tillë që 1 / N. Pastaj, për çdo numër n> N, ka të paktën një pikë nga A, të cilën e shënojmë me xn, e tillë që p (xn, ^ Kështu, sekuenca (xn) e përbërë nga pika të tilla xn e Ay për shkak të (8.11 ) tenton në a , ndërsa (f (xn)) nuk priret në 6, gjë që bie ndesh me supozimin fillestar.Kontradikta që rezulton vërteton mjaftueshmërinë e kushtit të teoremës.Kjo teoremë na lejon të formulojmë një përkufizim ekuivalent me Përkufizimin 8.1. Përkufizimi 8.3. Një pikë δ € Y quhet kufiri i hartëzimit /: A -> Y në një pikë a përgjatë grupit A nëse, nën hartëzimin /, imazhi i çdo sekuence pikash nga A që priret në a është një sekuencë pikash nga Y që tenton në b. Format simbolike të shkrimit të këtij përkufizimi dhe teorema 8.1 përputhen. Shembulli 8.2. Le të tregojmë X = R, A = R, a = + oo dhe në pasqyrim /: R R f (x) = cos2 Vx 6 R. Le të tregojmë se lim f (x) = lim cos a; nuk ekziston. Merrni sekuencën (a: n) = (2nm), e cila tenton në + oo. Atëherë cosin = cos2nm = 1, dhe për shkak të (6.9) lim (cos xn) = 1. Por nëse marrim sekuencën (xn) = ((2n + 1) n / 2), gjithashtu duke u prirur në + oo, atëherë imazhi i tij konvergon në zero. Kjo bie ndesh me përkufizimin 8.3 të kufirit të ekranit, d.m.th. kufiri i mësipërm nuk ekziston. Shqyrtimi i sekuencave (2n (-1) n7r) dhe ((2n + 1) (- 1) ntr / 2) që priren në oo të çon në të njëjtin përfundim. Vini re se nëse shënojmë atëherë është e ligjshme të shkruhet lim cosx = 1 dhe limcoex = 0. # Duke krahasuar përkufizimet 8.1 dhe 5.13, mund të vërtetohet teorema e mëposhtme. Teorema 8.2. Hartëzimi /: X - + Y do të jetë i vazhdueshëm në pikën a € X nëse dhe vetëm nëse kufiri i pasqyrimit si x priret në bashkësinë X në pikën a përkon me vlerën e / (a), d.m.th. kur A Le të jetë hartëzimi / i vazhdueshëm në një pikë a në X. Atëherë, sipas përkufizimit 5.13 të një hartëzimi të vazhdueshëm, cilado qoftë fqinjësia V (6) e pikës 6 = f (a) € Y, ekziston një lagje U ( a) të pikës a € A ) që / (U (a)) С V (6), dhe TEORIA KUFIZORE. Nocioni i kufirit të një hartografike, pra, ekziston edhe një lagje e shpuar U (a) e pikës a, e tillë që / (U (a)) C V (b). Sipas përkufizimit 8.1, kjo do të thotë se (8.12) është e vërtetë. Anasjelltas, le të jetë e kënaqur (8.12). Pastaj, sipas përkufizimit 8.1, për çdo lagje V (b) të pikës b = f (a) ekziston një lagje e shpuar U (a) e a e tillë që f (U (a)) C V (6). Konsideroni një lagje U (a) = U (a) U (a). Meqenëse / (a) G V (6), sipas vetive të hartëzimit të grupeve (shih 2.1), kemi 4 që është hartëzimi /, sipas përkufizimit 5.13, është i vazhdueshëm në pikën aeX. Në funksion të Teoremës 8.2, ne mund të formulojmë një përkufizim të barabartë me Përkufizimin 5.13. Përkufizimi 8.4. Hartëzimi /: quhet i vazhdueshëm në pikën a 6 Xy nëse (8.12) është e vërtetë. Duke marrë parasysh teoremat 8.1 dhe 8.2, marrim pohimin e mëposhtëm. Deklarata 8.1. Që hartëzimi /: X -YY të jetë i vazhdueshëm në pikën kufitare abX, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që imazhi nën hartëzimin / i çdo sekuence pikash nga X që priren në a të jetë një sekuencë pikash nga Y që konvergojnë në pikën. / (a). 8.2. Disa veti të kufirit të një hartëzimi Le të jenë X dhe Y, si në 8.1, hapësira metrike, AC X dhe një X € një pikë kufi e A. Teorema 8.3. Nëse, pasi x tenton në bashkësinë A në pikën a, pasqyrimi /: X Y ka një kufi, atëherë ai është unik. Supozoni se për x -> a, hartëzimi / ka dy kufij 6i dhe 62, dhe 61 = 62. Pastaj, kur zgjedhim lagje të shkëputura të këtyre pikave (V (61) flV (62) = 0), sipas përkufizimit 8.1, pika a ka një lagje të shpuar U (a) të tillë që dhe, por kjo është e pamundur sipas Përkufizimit 2.1 të hartës. Teorema 8.4 (në kufirin e përbërjes). Nëse ka kufij të hartave f: AC X dhe g: Y Z, dhe ((x) φb për r -> a, ku Xy Y dhe Z janë hapësira kufitare metrike për A C X dhe f (A) C Y, përkatësisht, atëherë ekziston për x -> a dhe kufirin e përbërjes (të një funksioni të përbërë) .Zgjidhni një lagje arbitrare W (c) të pikës c. Më pas, sipas përkufizimit 8.1 të kufirit të një harte, gjithmonë mund të gjeni një lagje të shpuar V (6) nga 6 në mënyrë që g (V (6) N f)
Si të konfiguroni telefonat inteligjentë dhe PC. Portali informativ
