Kujtojmë vitet e lumtura të shkollës. Pionierët në mësimet e matematikës, duke filluar të studiojnë rrënjët, para së gjithash u njohën me rrënjën katrore. Ne do të shkojmë në të njëjtën mënyrë.

Shembulli 1

Gjeni integralin e pacaktuar

Duke analizuar integrandin, arrini në përfundimin e trishtuar se ai nuk i ngjan aspak integraleve të tabelës. Tani, nëse gjithë kjo e mirë do të ishte në numërues, do të ishte e thjeshtë. Ose nuk do të kishte rrënjë në fund. Ose një polinom. Asnje metodat e integrimit të thyesave as mos ndihmo. Çfarë duhet bërë?

Mënyra kryesore për të zgjidhur integralet irracionale është ndryshimi i ndryshores, i cili do të na shpëtojë nga të GJITHA rrënjët në integrand.

Vini re se ky zëvendësim është pak i veçantë, zbatimi i tij teknik ndryshon nga metoda "klasike" e zëvendësimit, e cila diskutohet në mësim Metoda e zëvendësimit në integralin e pacaktuar.

Në këtë shembull, ju duhet të zëvendësoni x = t 2, domethënë, në vend të "x" nën rrënjë do të kemi t 2. Pse zëvendësimi është pikërisht kështu? Sepse, dhe si rezultat i zëvendësimit, rrënja do të zhduket.

Nëse në integrand në vend të rrënjës katrore do të kishim, atëherë do të kishim kryer zëvendësimin. Po të kisha qenë atje do ta kishin bërë e kështu me radhë.

Mirë, e jona do të kthehet në. Çfarë ndodh me polinomin? Nuk ka vështirësi: nëse, atëherë .

Mbetet për të zbuluar se në çfarë do të kthehet diferenciali. Kjo bëhet si kjo:

Ne marrim zëvendësimin tonë dhe ne varim diferenciale në të dyja pjesët:

(do të shkruajmë sa më shumë të jetë e mundur).

Zgjidhja duhet të duket diçka si kjo:

.

Le të zëvendësojmë: .

.

(1) Ne kryejmë zëvendësimin pas zëvendësimit (si, çfarë dhe ku, tashmë është marrë në konsideratë).

(2) Zhvendos konstanten nga integrali. Zvogëloni numëruesin dhe emëruesin me t.

(3) Integrali që rezulton është tabelor, ne e përgatisim atë për integrim duke zgjedhur një katror.

(4) Ne integrojmë mbi tabelë duke përdorur formulën

.

(5) Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt. Si është bërë? Ne kujtojmë se nga çfarë kemi kërcyer: nëse, atëherë.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit.

Disi ndodhi që në Shembujt 1, 2 të ketë një numërues "të zhveshur" me një diferencial të vetëm. Le ta rregullojmë situatën.

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar

Një analizë paraprake e integrandit përsëri tregon se nuk ka asnjë mënyrë të lehtë. Prandaj, duhet të heqësh qafe rrënjën.

Le të zëvendësojmë:.

Per tregojnë TË GJITHA shprehjet nën rrënjë... Zëvendësimi nga shembujt e mëparshëm nuk është i përshtatshëm këtu (më saktë, mund të bëhet, por nuk do të na shpëtojë nga rrënja).

Ne bashkojmë diferenciale në të dy pjesët:

Me numëruesin e renditur. Çfarë duhet bërë me emëruesin?

Ne marrim zëvendësimin tonë dhe shprehim prej tij:.

Nese atehere.

(1) Zëvendësimin e kryejmë në përputhje me zëvendësimin e kryer.

(2) Krehja e numëruesit. Preferova të mos e vendos konstanten jashtë shenjës integrale (mund ta bëni në këtë mënyrë, nuk do të jetë gabim)

(3) Ne e zgjerojmë numëruesin në shumë. Edhe një herë, ju rekomandojmë fuqimisht që të lexoni paragrafin e parë të mësimit Integrimi i disa thyesave... Do të ketë shumë mashtrime me zgjerimin e numëruesit në një shumë në integrale irracionale, është shumë e rëndësishme të përpunohet kjo teknikë.

(4) Pjesëtoni termin numërues me emëruesin.

(5) Ne përdorim vetitë e linearitetit të integralit të pacaktuar. Në integralin e dytë, ne zgjedhim një katror për integrimin pasues mbi tabelën.

(6) Ne integrohemi mbi tavolinë. Integrali i parë është mjaft i thjeshtë, në të dytin përdorim formulën tabelare të logaritmit të lartë .

(7) Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt. Nëse kemi kryer një zëvendësim, atëherë, mbrapa:.

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, nëse nuk i keni punuar me kujdes shembujt e mëparshëm, atëherë bëni një gabim! Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit.

Integrale me disa e njëjta rrënjë si

etj. Dhe çfarë të bëni nëse në integr dhe rrënjët të ndryshme?

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar

Pra, shpagimi ka ardhur për numëruesit e zhveshur. Kur haset një integral i tillë, zakonisht bëhet i frikshëm. Por frika është e kotë, pasi bën një zëvendësim të përshtatshëm, integranti bëhet më i thjeshtë. Sfida është të bëni një zëvendësim të suksesshëm për të hequr qafe TË GJITHA rrënjët menjëherë.

Kur jepen rrënjë të ndryshme, është e përshtatshme t'i përmbahemi një skeme specifike zgjidhjeje.

Së pari, ne shkruajmë integranin në draft dhe përfaqësojmë të gjitha rrënjët në formën:

Ne do të jemi të interesuar emërues gradë:

Nuk ka asnjë mënyrë universale për të zgjidhur ekuacionet irracionale, pasi klasa e tyre ndryshon në numër. Artikulli do të nxjerrë në pah llojet karakteristike të ekuacioneve me zëvendësim duke përdorur metodën e integrimit.

Për të përdorur metodën e integrimit të drejtpërdrejtë, është e nevojshme të llogariten integrale të pacaktuar të tipit ∫ k x + b p d x, ku p është një fraksion racional, k dhe b janë koeficientë realë.

Shembulli 1

Gjeni dhe njehsoni antiderivativët e funksionit y = 1 3 x - 1 3.

Zgjidhje

Sipas rregullit të integrimit, është e nevojshme të zbatohet formula ∫ f (kx + b) dx = 1 k F (kx + b) + C, dhe tabela e antiderivativëve tregon se ekziston një zgjidhje e gatshme për këtë funksion. . Ne e kuptojmë atë

∫ dx 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 dx = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Përgjigje:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C.

Ka raste kur mund të përdorni metodën e sjelljes nën shenjën diferenciale. Kjo zgjidhet me parimin e gjetjes së integraleve të pacaktuara të formës ∫ f "(x) · (f (x)) p d x, kur vlera e p konsiderohet thyesë racionale.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x.

Zgjidhje

Vini re se d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Pastaj është e nevojshme të përmblidhet nën shenjën diferenciale duke përdorur tabelat e antiderivativëve. Marrim se

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) dx = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 dz = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Përgjigje:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C.

Zgjidhja e integraleve të pacaktuar parashikon një formulë të formës ∫ d x x 2 + p x + q, ku p dhe q janë koeficientë realë. Pastaj është e nevojshme të zgjidhni një katror të plotë nga nën rrënjë. Ne e kuptojmë atë

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Duke zbatuar formulën e vendosur në tabelën e integraleve të pacaktuar, marrim:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Pastaj llogaritet integrali:

∫ dxx 2 + px + q = ∫ dxx + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + px + q + C

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar të formës ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1.

Zgjidhje

Për të llogaritur, duhet të hiqni numrin 2 dhe ta vendosni përpara radikalit:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Zgjidhni një katror të plotë në shprehjen radikale. Ne e kuptojmë atë

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Pastaj marrim një integral të pacaktuar të formës 1 2 ∫ dxx 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ dxx + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Përgjigje: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrimi i funksioneve irracionale bëhet në mënyrë të ngjashme. E zbatueshme për funksionet e formës y = 1 - x 2 + p x + q.

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar ∫ d x - x 2 + 4 x + 5.

Zgjidhje

Së pari, duhet të nxirrni katrorin e emëruesit të shprehjes nga poshtë rrënjës.

∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ dx - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ dx - x - 2 2 - 9 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9

Integrali tabelor ka formën ∫ dxa 2 - x 2 = hark sin xa + C, atëherë marrim se ∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9 = hark sin x - 2 3 + C

Përgjigje:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C.

Procesi i gjetjes së antiderivativëve të funksioneve irracionale të formës y = M x + N x 2 + px + q, ku M, N, p, q në dispozicion janë koeficientë realë dhe janë të ngjashëm me integrimin e fraksioneve më të thjeshta të lloji i tretë. Ky transformim ka disa faza:

duke përmbledhur diferencialin nën rrënjë, duke theksuar katrorin e plotë të shprehjes nën rrënjë, duke përdorur formulat tabelare.

Shembulli 5

Gjeni Antiderivativët y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Zgjidhje

Nga kushti kemi që d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) dx dhe x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, pastaj (x + 2) dx = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 dx = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 dx.

Njehsoni integralin: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 dx = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ dxx 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ dxx - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Përgjigje:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C.

Kërkimi i integraleve të pacaktuar të funksionit ∫ x m (a + b x n) p d x kryhet duke përdorur metodën e zëvendësimit.

Për ta zgjidhur atë, duhet të futni variabla të rinj:

1. Kur numri p është një numër i plotë, atëherë x = z N, dhe N është emëruesi i përbashkët për m, n.
2. Kur m + 1 n është një numër i plotë, atëherë a + b x n = z N dhe N është emëruesi i p.
3. Kur m + 1 n + p është një numër i plotë, atëherë duhet të futni ndryshoren a x - n + b = z N, dhe N është emëruesi i p.

Shembulli 6

Gjeni integralin e caktuar ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Zgjidhje

Marrim se ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x. Nga kjo rrjedh se m = - 1, n = 1, p = - 1 2, pastaj m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 është një numër i plotë. Mund të futni një ndryshore të re të formës - 9 + 2 x = z 2. Është e nevojshme të shprehet x përmes z. Në rezultatet, ne e marrim atë

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z

Është e nevojshme të bëhet një zëvendësim në integralin e dhënë. Ne e kemi atë

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Përgjigje:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C.

Për të thjeshtuar zgjidhjen e ekuacioneve irracionale, përdoren metodat bazë të integrimit.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi zgjidhni atë dhe shtypni Ctrl + Enter

Integrale komplekse

Ky artikull plotëson temën e integraleve të pacaktuara dhe përfshin integrale që më duken mjaft të vështira. Mësimi u krijua me kërkesat e përsëritura të vizitorëve të cilët shprehën dëshirat e tyre që në faqe të analizoheshin edhe shembuj më të vështirë.

Supozohet se lexuesi i këtij teksti është i përgatitur mirë dhe di të zbatojë teknikat bazë të integrimit. Dummies dhe njerëzit që nuk janë shumë të sigurt për integralet duhet t'i referohen mësimit të parë - Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh, ku mund ta zotëroni temën praktikisht nga e para. Studentët më me përvojë mund të njihen me teknikat dhe metodat e integrimit që nuk janë hasur ende në artikujt e mi.

Cilat integrale do të merren parasysh?

Së pari, do të shqyrtojmë integrale me rrënjë, për zgjidhjen e të cilave përdorim me radhë zëvendësim i ndryshueshëm dhe integrimi sipas pjesëve... Kjo do të thotë, në një shembull, dy teknika kombinohen menjëherë. Dhe akoma më shumë.

Pastaj do të njihemi me një interesante dhe origjinale metoda e reduktimit të integralit në vetvete... Jo aq pak integrale zgjidhen në këtë mënyrë.

Numri i tretë i programit do të shkojë në integrale të fraksioneve komplekse, të cilat kaluan në arkë në artikujt e mëparshëm.

Së katërti, do të analizohen integrale shtesë të funksioneve trigonometrike. Në veçanti, ka metoda që shmangin zëvendësimin universal trigonometrik që kërkon shumë kohë.

(2) Në integrand, ne e ndajmë numëruesin me emëruesin term me term.

(3) Ne përdorim vetinë e linearitetit të integralit të pacaktuar. Në integralin e fundit menjëherë e sjellim funksionin nën shenjën diferenciale.

(4) Merrni integralet e mbetura. Vini re se kllapat mund të përdoren në logaritëm, jo ​​modul, pasi.

(5) Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt, duke u shprehur nga zëvendësimi i drejtpërdrejtë "te":

Studentët mazokistë mund të dallojnë përgjigjen dhe të marrin integrandin origjinal siç bëra unë. Jo, jo, e bëra kontrollin në kuptimin e duhur =)

Siç mund ta shihni, gjatë zgjidhjes, duheshin përdorur edhe më shumë se dy metoda zgjidhjeje, kështu që për t'u marrë me integrale të tilla nevojiten aftësi integruese të sigurta dhe jo përvoja më e vogël.

Në praktikë, natyrisht, rrënja katrore është më e zakonshme, këtu janë tre shembuj për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar

Këta shembuj janë të të njëjtit lloj, kështu që zgjidhja e plotë në fund të artikullit do të jetë vetëm për Shembullin 2, në Shembujt 3-4 - një përgjigje. Cili zëvendësim të përdoret në fillim të zgjidhjeve, mendoj se është i qartë. Pse mora shembuj të të njëjtit lloj? Ata takohen shpesh në rolin e tyre. Më shpesh, ndoshta, diçka e tillë .

Por jo gjithmonë, kur rrënja e një funksioni linear gjendet nën arktangjentin, sinusin, kosinusin, eksponentin dhe funksionet e tjera, duhet të zbatohen disa metoda njëherësh. Në një numër rastesh, është e mundur të "zbrisni lehtë", domethënë menjëherë pas zëvendësimit, merret një integral i thjeshtë, i cili mund të merret në mënyrë elementare. Më e lehtë nga detyrat e propozuara më sipër është Shembulli 4, në të cilin, pas zëvendësimit, fitohet një integral relativisht i thjeshtë.

Duke e reduktuar integralin në vetvete

Një metodë e zgjuar dhe e bukur. Le të hedhim një vështrim në klasikët e zhanrit menjëherë:

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar

Ekziston një binom katror nën rrënjë dhe kur përpiqeni të integroni këtë shembull, kazani mund të vuajë për orë të tëra. Një integral i tillë merret pjesë-pjesë dhe reduktohet në vetvete. Në parim, jo ​​e vështirë. Nëse e dini se si.

Le të shënojmë integralin në shqyrtim me një shkronjë latine dhe të fillojmë zgjidhjen:

Ne integrojmë pjesë-pjesë:

(1) Përgatitni një funksion integrand për ndarjen e termave.

(2) Ne e ndajmë integranin me term. Ndoshta jo të gjithë e kuptojnë, unë do të shkruaj më në detaje:

(3) Ne përdorim vetinë e linearitetit të integralit të pacaktuar.

(4) Merrni integralin e fundit (logaritmi "i gjatë").

Tani shikojmë në fillimin e zgjidhjes:

Dhe në fund:

Cfare ndodhi? Si rezultat i manipulimeve tona, integrali është reduktuar në vetvete!

Le të barazojmë fillimin dhe fundin:

Lëvizni në të majtë me një ndryshim të shenjës:

Dhe ne e mbajmë deuce në anën e djathtë. Si rezultat:

Konstantja, në mënyrë rigoroze, duhet të ishte shtuar më herët, por e shtuar në fund. Unë rekomandoj fuqimisht që të lexoni atë që është e rreptë këtu:

Shënim: Më rreptësisht, faza përfundimtare e zgjidhjes duket si kjo:

Në këtë mënyrë:

Konstanta mund të ripërcaktohet si. Pse mund të ricaktoni? Sepse pranon akoma ndonjë vlerat, dhe në këtë kuptim nuk ka dallim ndërmjet konstanteve dhe.
Si rezultat:

Një truk i ngjashëm i ridizajnimit të vazhdueshëm përdoret gjerësisht në ekuacionet diferenciale... Dhe atje do të jem i rreptë. Dhe këtu një liri të tillë lejohet nga unë vetëm për të mos ju ngatërruar me gjëra të panevojshme dhe për t'u fokusuar në vetë metodën e integrimit.

Shembulli 6

Gjeni integralin e pacaktuar

Një tjetër integral tipik për një zgjidhje të pavarur. Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit. Dallimi me përgjigjen nga shembulli i mëparshëm do të jetë!

Nëse ka një trinom katror nën rrënjën katrore, atëherë zgjidhja në çdo rast reduktohet në dy shembuj të analizuar.

Për shembull, merrni parasysh integralin ... E tëra çfarë ju duhet të bëni është paraprakisht zgjidhni një katror të plotë:
.
Më tej, kryhet një zëvendësim linear, i cili shpërndahet "pa asnjë pasojë":
, duke rezultuar në një integrale. Diçka e njohur, apo jo?

Ose një shembull i tillë, me një binom katror:
Zgjidhni një katror të plotë:
Dhe, pas një zëvendësimi linear, marrim një integral, i cili gjithashtu zgjidhet sipas algoritmit të konsideruar tashmë.

Konsideroni dy shembuj më tipikë se si të reduktoni një integral në vetvete:
- integrali i eksponentit shumëzuar me sinusin;
A është integrali i eksponentit i shumëzuar me kosinusin.

Në integralet e listuara sipas pjesëve, do të duhet të integrojmë dy herë tashmë:

Shembulli 7

Gjeni integralin e pacaktuar

Integrandi është eksponenti shumëfish i sinusit.

Ne integrojmë me pjesë dy herë dhe e zvogëlojmë integralin në vetvete:

Si rezultat i integrimit të dyfishtë nga pjesët, integrali u reduktua në vetvete. Le të barazojmë fillimin dhe fundin e zgjidhjes:

Lëvizni në të majtë me një ndryshim të shenjës dhe shprehni integralin tonë:

Gati. Gjatë rrugës këshillohet të krehni anën e djathtë, d.m.th. vendoseni eksponentin jashtë kllapave dhe në kllapa rregulloni sinusin dhe kosinusin në një rend "të bukur".

Tani le të kthehemi në fillim të shembullit, ose më mirë te integrimi sipas pjesëve:

Sepse ne kemi caktuar ekspozuesin. Shtrohet pyetja, saktësisht eksponenti duhet të shënohet gjithmonë me? Jo e nevojshme. Në fakt, në integralin e konsideruar në thelb pa dallim, për çfarë të tregonte, ishte e mundur të shkoni në anën tjetër:

Pse është e mundur kjo? Për shkak se eksponenti kthehet në vetvete (si gjatë diferencimit ashtu edhe gjatë integrimit), sinusi dhe kosinusi shndërrohen reciprokisht në njëri-tjetrin (përsëri, si gjatë diferencimit ashtu edhe gjatë integrimit).

Kjo do të thotë, ju gjithashtu mund të caktoni një funksion trigonometrik. Por, në shembullin e konsideruar, kjo është më pak racionale, pasi do të shfaqen fraksione. Nëse dëshironi, mund të përpiqeni ta zgjidhni këtë shembull në mënyrën e dytë, përgjigjet duhet të jenë të njëjta.

Shembulli 8

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Përpara se të vendosni, mendoni se çfarë është më fitimprurëse në këtë rast për të përcaktuar funksionin eksponent apo trigonometrik? Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit.

Dhe sigurisht, mbani në mend se shumica e përgjigjeve në këtë mësim janë mjaft të lehta për t'u dalluar!

Shembujt u konsideruan jo më të vështirat. Në praktikë, integralet janë më të zakonshëm, ku konstanta është si në eksponent ashtu edhe në argumentin e funksionit trigonometrik, për shembull:. Shumë njerëz do të duhet të humbasin në një integral të tillë, dhe unë vetë shpesh ngatërrohem. Fakti është se ekziston një probabilitet i lartë i shfaqjes së fraksioneve në zgjidhje, dhe është shumë e lehtë të humbasësh diçka nga pavëmendja. Përveç kësaj, ekziston një probabilitet i lartë i gabimit në shenja, vini re se eksponenti ka një shenjë minus, dhe kjo sjell vështirësi shtesë.

Në fazën përfundimtare, shpesh rezulton diçka si më poshtë:

Edhe në fund të zgjidhjes, duhet të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm dhe të merreni me kompetencë me fraksionet:

Integrimi i thyesave të përbëra

Dalëngadalë po i afrohemi ekuatorit të mësimit dhe fillojmë të konsiderojmë integrale të thyesave. Përsëri, jo të gjithë janë super të ndërlikuar, vetëm për një arsye ose një tjetër shembujt ishin pak "jashtë temës" në artikuj të tjerë.

Vazhdimi i temës së rrënjëve

Shembulli 9

Gjeni integralin e pacaktuar

Në emëruesin nën rrënjë është trinomi katror plus jashtë rrënjës "shtojcë" në formën e "x". Një integral i këtij lloji zgjidhet duke përdorur një zëvendësim standard.

Ne vendosim:

Zëvendësimi është i thjeshtë:

Ne shikojmë jetën pas zëvendësimit:

(1) Pas zëvendësimit, ne i sjellim termat nën rrënjë në një emërues të përbashkët.
(2) Ne nxjerrim nga poshtë rrënjës.
(3) Zvogëloni numëruesin dhe emëruesin me. Në të njëjtën kohë, nën rrënjë, unë i riorganizova termat në një mënyrë të përshtatshme. Me pak përvojë, hapat (1), (2) mund të anashkalohen duke kryer veprimet e komentuara me gojë.
(4) Integrali që rezulton, siç e mbani mend nga mësimi Integrimi i disa thyesave, e zgjidhur me metodën e përzgjedhjes së një katrori të plotë... Zgjidhni një katror të plotë.
(5) Integrimi marrim një logaritëm të zakonshëm "të gjatë".
(6) Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt. Nëse fillimisht, atëherë kthehuni:.
(7) Veprimi përfundimtar ka për qëllim modelin e flokëve të rezultatit: nën rrënjë, ne përsëri i sjellim termat në një emërues të përbashkët dhe i nxjerrim nga poshtë rrënjës.

Shembulli 10

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Këtu, një konstante i është shtuar X-it të vetmuar, dhe zëvendësimi është pothuajse i njëjtë:

E vetmja gjë që duhet bërë shtesë është të shprehni "x" nga zëvendësimi:

Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit.

Ndonjëherë në një integral të tillë mund të ketë një binom katror nën rrënjë, kjo nuk e ndryshon zgjidhjen, do të jetë edhe më e thjeshtë. Ndjeje ndryshimin:

Shembulli 11

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 12

Gjeni integralin e pacaktuar

Zgjidhje dhe përgjigje të shkurtra në fund të orës së mësimit. Duhet të theksohet se Shembulli 11 është saktësisht integrali binom, metoda e zgjidhjes së së cilës u shqyrtua në mësim Integrale të funksioneve irracionale.

Integral i një polinomi të pazbërthyeshëm me shkallë 2

(polinom në emërues)

Më e rrallë, por, megjithatë, e hasur në shembuj praktikë, forma e integralit.

Shembulli 13

Gjeni integralin e pacaktuar

Por kthehemi te shembulli me numrin me fat 13 (sinqerisht, nuk e mora me mend). Edhe ky integral është nga kategoria e atyre me të cilët mund ta mundoni goxha veten nëse nuk dini si ta zgjidhni.

Zgjidhja fillon me një transformim artificial:

Unë mendoj se të gjithë tashmë e kuptojnë se si ta ndajnë numëruesin me emëruesin term pas termi.

Integrali që rezulton merret pjesë-pjesë:

Për një integral të formës (është një numër natyror), të përsëritura Formula e reduktimit të gradës:
, ku - integral i një shkallë më të ulët.

Le të verifikojmë vlefshmërinë e kësaj formule për integralin e zgjidhur.
Në këtë rast:,, ne përdorim formulën:

Siç mund ta shihni, përgjigjet janë të njëjta.

Shembulli 14

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Zgjidhja e mostrës përdor formulën e mësipërme dy herë radhazi.

Nëse nën gradën ka i pazbërthyeshëm trinomi katror, ​​atëherë zgjidhja reduktohet në një binom duke zgjedhur një katror të plotë, për shembull:

Po sikur të ketë një polinom shtesë në numërues? Në këtë rast, përdoret metoda e koeficientëve të papërcaktuar, dhe integrandi zgjerohet në shumën e thyesave. Por në praktikën time një shembull të tillë nuk u takuan kurrë, kështu që e anashkala këtë rast në artikull Integrale të një funksioni racional thyesor, do ta kaloj tani. Nëse një integral i tillë ende ndodh, shihni tekstin shkollor - gjithçka është e thjeshtë atje. Nuk e konsideroj të përshtatshme përfshirjen e materialit (qoftë të thjeshtë), probabiliteti i takimit me të cilin priret në zero.

Integrimi i funksioneve komplekse trigonometrike

Për shumicën e shembujve, mbiemri "i vështirë" është përsëri kryesisht i kushtëzuar. Le të fillojmë me tangjentet dhe kotangjentet në shkallë të larta. Nga pikëpamja e metodave të përdorura për zgjidhjen e tangjentës dhe kotangjentes, ato janë pothuajse të njëjta, prandaj do të flas më shumë për tangjenten, duke nënkuptuar se metoda e demonstruar për zgjidhjen e integralit vlen edhe për kotangjenten.

Në mësimin e mësipërm, ne shikuam zëvendësimi universal trigonometrik për zgjidhjen e një lloji të caktuar integralesh të funksioneve trigonometrike. Disavantazhi i zëvendësimit universal trigonometrik është se gjatë përdorimit të tij, shpesh lindin integrale të rëndë me llogaritje të vështira. Dhe në disa raste, zëvendësimi universal trigonometrik mund të shmanget!

Shqyrtoni një shembull tjetër kanonik, integralin e unitetit të ndarë me sinus:

Shembulli 17

Gjeni integralin e pacaktuar

Këtu mund të përdorni zëvendësimin e përgjithshëm trigonometrik dhe të merrni përgjigjen, por ka një mënyrë më racionale. Unë do të jap një zgjidhje të plotë me komente për çdo hap:

(1) Ne përdorim formulën trigonometrike sinus me kënd të dyfishtë.
(2) Ne kryejmë një transformim artificial: Në emërues, pjesëto dhe shumëzo me.
(3) Sipas formulës së njohur në emërues, thyesën e shndërrojmë në tangjente.
(4) E sjellim funksionin nën shenjën e diferencialit.
(5) Merrni integralin.

Disa shembuj të thjeshtë për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 18

Gjeni integralin e pacaktuar

Shënim: Hapi i parë është përdorimi i formulës së derdhjes dhe kryeni me kujdes hapat e ngjashëm me shembullin e mëparshëm.

Shembulli 19

Gjeni integralin e pacaktuar

Epo, ky është një shembull shumë i thjeshtë.

Plotësoni zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Unë mendoj se tani askush nuk do të ketë probleme me integralet:
etj.

Cila është ideja pas metodës? Ideja është që të organizohen vetëm tangjentet dhe derivatet e tangjentes në integrand duke përdorur transformime, formula trigonometrike. Kjo do të thotë, ne po flasim për zëvendësimin: ... Në Shembujt 17-19, ne në fakt e aplikuam këtë zëvendësim, por integralet ishin aq të thjeshtë sa çështja u trajtua me një veprim ekuivalent - duke e sjellë funksionin nën shenjën diferenciale.

Arsyetim i ngjashëm, siç e kam përmendur tashmë, mund të kryhet për kotangjentën.

Ekziston gjithashtu një parakusht formal për aplikimin e zëvendësimit të mësipërm:

Shuma e fuqive të kosinusit dhe sinusit është një numër i plotë negativ BES, Për shembull:

për një integral - një numër i plotë negativ EVEN.

! shënim : nëse integrani përmban VETËM një sinus ose VETËM një kosinus, atëherë integrali merret edhe për një shkallë negative tek (rastet më të thjeshta janë në Shembujt nr. 17, 18).

Merrni parasysh disa detyra më domethënëse për këtë rregull:

Shembulli 20

Gjeni integralin e pacaktuar

Shuma e fuqive të sinusit dhe kosinusit: 2 - 6 = –4 është një numër i plotë negativ EVEN, që do të thotë se integrali mund të reduktohet në tangjente dhe derivatin e tij:

(1) Transformoni emëruesin.
(2) Sipas formulës së njohur, marrim.
(3) Transformoni emëruesin.
(4) Ne përdorim formulën .
(5) Funksionin e sjellim nën shenjën e diferencialit.
(6) Ne kryejmë një zëvendësim. Nxënësit më me përvojë mund të mos e kryejnë zëvendësimin, por është akoma më mirë të zëvendësohet tangjentja me një shkronjë - ka më pak rrezik konfuzioni.

Shembulli 21

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë.

Prisni, fillojnë raundet e kampionit =)

Shpesh në integrand ekziston një "hodgepodge":

Shembulli 22

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky integral fillimisht përmban një tangjente, e cila menjëherë nxit një mendim tashmë të njohur:

Transformimin artificial në fillim dhe hapat e tjerë do t'i lë pa koment, pasi gjithçka është thënë tashmë më lart.

Disa shembuj krijues për vetë-zgjidhje:

Shembulli 23

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 24

Gjeni integralin e pacaktuar

Po, në to, natyrisht, ju mund të ulni shkallët e sinusit, kosinusit, të përdorni zëvendësimin universal trigonometrik, por zgjidhja do të jetë shumë më efikase dhe më e shkurtër nëse kryhet përmes tangjenteve. Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit

Një funksion irracional i një ndryshoreje është një funksion që formohet nga një ndryshore dhe konstante arbitrare duke përdorur një numër të kufizuar veprimesh të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit (ngritjes në një fuqi të numrit të plotë), ndarjes dhe nxjerrjes së rrënjëve. Një funksion irracional ndryshon nga një funksion racional në atë që funksioni irracional përmban operacione për nxjerrjen e rrënjëve.

Ekzistojnë tre lloje kryesore të funksioneve irracionale, integralet e pacaktuara të të cilave reduktohen në integrale të funksioneve racionale. Këto janë integrale që përmbajnë rrënjët e shkallëve të plota arbitrare nga një funksion thyesor linear (rrënjët mund të jenë të shkallëve të ndryshme, por nga i njëjti funksion thyesor linear); integrale të binomit diferencial dhe integrale me rrënjë katrore të një trinomi katror.

Shënim i rëndësishëm. Rrënjët janë të paqarta!

Gjatë llogaritjes së integraleve që përmbajnë rrënjë, shpesh hasen shprehje të formës ku është ndonjë funksion i ndryshores së integrimit. Duhet pasur parasysh se. Kjo është, për t> 0, | t | = t... Në t< 0, | t | = - t. Prandaj, gjatë llogaritjes së integraleve të tillë, është e nevojshme të merren parasysh veçmas rastet t> 0 dhe t< 0 ... Kjo mund të bëhet duke shkruar shenja ose kur është e nevojshme. Duke supozuar se shenja e sipërme i referohet rastit t> 0 , dhe ajo e poshtme - te rasti t< 0 ... Pas transformimit të mëtejshëm, këto shenja, si rregull, anulojnë njëra-tjetrën.

Është e mundur edhe qasja e dytë, në të cilën integrandi dhe rezultati i integrimit mund të konsiderohen si funksione komplekse të variablave komplekse. Atëherë nuk mund të ndiqni shenjat në shprehjet radikale. Kjo qasje është e zbatueshme nëse integrandi është analitik, domethënë një funksion i diferencueshëm i një ndryshoreje komplekse. Në këtë rast, si integrani ashtu edhe integrali i tij janë funksione me shumë vlera. Prandaj, pas integrimit, kur zëvendësohen vlerat numerike, është e nevojshme të zgjidhet një degë me një vlerë (sipërfaqja Riemann) e integrandit dhe për të të zgjidhet dega përkatëse e rezultatit të integrimit.

Irracionaliteti linear thyesor

Këto janë integrale me rrënjë të të njëjtit funksion thyesor linear:
,
ku R është një funksion racional, janë numra racional, m 1, n 1, ..., m s, n s janë numra të plotë, α, β, γ, δ janë numra realë.
Integrale të tilla reduktohen në një integral të një funksioni racional me zëvendësim:
, ku n është emëruesi i përbashkët i numrave r 1, ..., r s.

Rrënjët mund të mos jenë domosdoshmërisht nga një funksion thyesor linear, por edhe nga një funksion linear (γ = 0, δ = 1), ose në ndryshoren e integrimit x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Këtu janë shembuj të integraleve të tillë:
, .

Integralet e binomeve diferenciale

Integralet e binomeve diferenciale janë:
,
ku m, n, p janë numra racional, a, b janë numra realë.
Integrale të tilla reduktohen në integrale të funksioneve racionale në tre raste.

1) Nëse p është një numër i plotë. Zëvendësimi x = t N, ku N është emëruesi i përbashkët i thyesave m dhe n.
2) Nëse - e tërë. Zëvendësimi a x n + b = t M, ku M është emëruesi i p.
3) Nëse - e tërë. Zëvendësimi a + b x - n = t M, ku M është emëruesi i p.

Në raste të tjera, integrale të tilla nuk shprehen në terma të funksioneve elementare.

Ndonjëherë integrale të tilla mund të thjeshtohen duke përdorur formulat e reduktimit:
;
.

Integrale që përmbajnë rrënjën katrore të një trinomi katror

Integrale të tilla janë të formës:
,
ku R është një funksion racional. Ekzistojnë disa metoda zgjidhjeje për secilin integral të tillë.
1) Me ndihmën e transformimeve, çoni në integrale më të thjeshta.
2) Aplikoni zëvendësime trigonometrike ose hiperbolike.
3) Aplikoni zëvendësimet e Euler-it.

Le t'i hedhim një vështrim më të afërt këtyre metodave.

1) Transformimi i integrandit

Duke zbatuar formulën dhe duke kryer transformime algjebrike, ne e sjellim integranin në formën:
,
ku φ (x), ω (x) janë funksione racionale.

Lloji I

Integrali i formës:
,
ku P n (x) është një polinom i shkallës n.

Integrale të tilla gjenden me metodën e koeficientëve të papërcaktuar duke përdorur identitetin:

.
Duke e diferencuar këtë ekuacion dhe duke barazuar anën e majtë dhe të djathtë, gjejmë koeficientët A i.

Lloji II

Integrali i formës:
,
ku P m (x) është një polinom i shkallës m.

Zëvendësimi t = (x - α) -1 ky integral reduktohet në llojin e mëparshëm. Nëse m ≥ n, atëherë duhet zgjedhur e gjithë pjesa e thyesës.

Lloji III

Këtu bëjmë zëvendësimin:
.
Atëherë integrali do të marrë formën:
.
Më tej, konstantet α, β duhet të zgjidhen të tilla që koeficientët në t në emërues të zhduken:
B = 0, B 1 = 0.
Pastaj integrali zbërthehet në shumën e integraleve të dy llojeve:
,
,
të cilat janë të integruara nga zëvendësimet:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Zëvendësimet trigonometrike dhe hiperbolike

Për integrale të formës, a > 0 ,
kemi tre zëvendësime kryesore:
;
;
;

Për integralet, a > 0 ,
kemi zëvendësimet e mëposhtme:
;
;
;

Dhe së fundi, për integralet, a > 0 ,
zëvendësimet janë si më poshtë:
;
;
;

3) Zëvendësimet e Euler-it

Gjithashtu, integralet mund të reduktohen në integrale të funksioneve racionale të njërit prej tre zëvendësimeve të Euler-it:
, për a> 0;
, për c> 0;
, ku x 1 është rrënja e ekuacionit a x 2 + b x + c = 0. Nëse ky ekuacion ka rrënjë reale.

Integrale eliptike

Si përfundim, merrni parasysh integralet e formës:
,
ku R është një funksion racional,. Integrale të tilla quhen eliptike. Në përgjithësi, ato nuk shprehen në funksion të funksioneve elementare. Megjithatë, ka raste kur ka marrëdhënie midis koeficientëve A, B, C, D, E në të cilat integrale të tilla shprehen në funksion të funksioneve elementare.

Më poshtë është një shembull i lidhur me polinomet e kthimit. Llogaritja e integraleve të tillë kryhet duke përdorur zëvendësimet:
.

Shembull

Llogarit integralin:
.

Zgjidhje

Ne bëjmë një zëvendësim.

.
Këtu, për x> 0 (u> 0 ) marrim shenjën e sipërme "+". Për x< 0 (u< 0 ) - më e ulët ′ - ′.

.

Përgjigju

Referencat:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksioni i problemeve në matematikën e lartë, "Lan", 2003.

Ky seksion do të shqyrtojë metodën e integrimit të funksioneve racionale. 7.1. Informacion i shkurtër rreth funksioneve racionale Funksioni racional më i thjeshtë është një polinom i shkallës së ti-të, d.m.th. një funksion i formës ku janë konstante reale, dhe a0 Φ 0. Polinomi Qn (x), për të cilin koeficienti a0 = 1 "quhet i reduktuar. Një numër real b quhet rrënjë e polinomit Qn (z) nëse Qn (b) = 0. Dihet se çdo polinom Qn (x) me koeficientë realë zbërthehet në mënyrë unike në faktorë realë të formës ku p, q janë koeficientët realë, dhe faktorët kuadratikë nuk kanë rrënjë reale dhe, për rrjedhojë, janë të pazbërthyeshëm në faktorë realë linearë. Duke kombinuar të njëjtët faktorë (nëse ka) dhe duke supozuar, për thjeshtësi, polinomin Qn (x) të reduktuar, mund ta shkruajmë faktorizimin e tij në formën ku janë numrat natyrorë. Meqenëse shkalla e polinomit Qn (x) është e barabartë me n, shuma e të gjithë eksponentëve a, / 3, ..., A, e shtuar me shumën e dyfishuar të të gjithë eksponentëve ui, ..., q, është e barabartë me n: Rrënja a e polinomit quhet e thjeshtë ose e vetme, nëse a = 1, dhe e shumëfishtë, nëse a> 1; numri a quhet shumësia e rrënjës a. E njëjta gjë vlen edhe për rrënjët e tjera të polinomit. Një funksion racional f (x) ose një fraksion racional është raporti i dy polinomeve dhe supozohet se polinomet Pm (x) dhe Qn (x) nuk kanë faktorë të përbashkët. Një thyesë racionale quhet e saktë nëse shkalla e polinomit në numërues është më e vogël se shkalla e polinomit në emërues, d.m.th. Nëse mn, atëherë thyesa racionale quhet e pasaktë, dhe në këtë rast, pjesëtimi i numëruesit me emëruesin sipas rregullit të pjesëtimit të polinomeve, mund të paraqitet në formën ku ka disa polinome, dhe ^^ është një thyesë e rregullt racionale. . Shembulli 1. Një thyesë racionale është një thyesë e parregullt. Duke e ndarë me "kënd", do të kemi Rrjedhimisht. Këtu. dhe një thyesë e rregullt. Përkufizimi. Thyesat më të thjeshta (ose elementare) janë thyesat racionale të katër llojeve të mëposhtme: ku janë numrat realë, k është një numër natyror më i madh ose i barabartë me 2, dhe trinomi katror x2 + px + q nuk ka rrënjë reale, kështu që - 2 _2 është diskriminuesi i tij Në algjebër vërtetohet teorema e mëposhtme. Teorema 3. Një thyesë e rregullt racionale me koeficientë realë, emëruesi i së cilës Qn (x) ka formën, zbërthehet në mënyrë unike në një shumë të thyesave elementare sipas rregullit Integrimi i funksioneve racionale Informacion i shkurtër për funksionet racionale Integrimi i elementeve. thyesat Rasti i përgjithshëm Integrimi i funksioneve irracionale Zëvendësimi i parë i Ojlerit Zëvendësimi i dytë i Eulerit Zëvendësimi i tretë i Ojlerit Në këtë zgjerim - disa konstante reale, disa prej të cilave mund të jenë të barabarta me zero. Për të gjetur këto konstante, ana e djathtë e barazisë (I) reduktohet në një emërues të përbashkët dhe më pas barazohen koeficientët me të njëjtat fuqi të x në numëruesit e anës së majtë dhe të djathtë. Kjo jep një sistem ekuacionesh lineare nga të cilat gjenden konstantet e dëshiruara. ... Kjo metodë e gjetjes së konstanteve të panjohura quhet metoda e koeficientëve të padefinuar. Ndonjëherë është më i përshtatshëm të aplikohet një metodë tjetër për gjetjen e konstantave të panjohura, e cila konsiston në faktin se pas barazimit të numëruesve, merret një identitet në lidhje me x, në të cilin disa vlera i caktohen argumentit x, për shembull, vlerat e rrënjëve, si rezultat i të cilave fitohen ekuacionet për gjetjen e konstanteve. Është veçanërisht i përshtatshëm nëse emëruesi Q „(x) ka vetëm rrënjë të thjeshta reale. Shembulli 2. Zbërtheni një thyesë racionale në thyesa të thjeshta Kjo thyesë është e rregullt. Emëruesin e zbërthejmë në faktorë të ate: Meqenëse rrënjët e emëruesit janë reale dhe të ndryshme, atëherë në bazë të formulës (1) zbërthimi i thyesës në elemente elementare do të ketë formën Të panjohurat ndaj koeficientit A. 2? , C gjenden në dy mënyra. Mënyra e parë. Barazimi i koeficientëve në të njëjtat fuqi të x, d.m.th. në (term i lirë), dhe në anën e majtë dhe të djathtë të identitetit, marrim një sistem linear ekuacionesh për gjetjen e koeficientëve të panjohur A, B, C: Ky sistem ka një zgjidhje unike C Mënyra e dytë. Tek pasi rrënjët e emëruesit janë grisur stv në i 0, marrim 2 = 2A, prej nga A * 1; r i 1, marrim -1 * -B, prej nga 5 * 1; x i 2, marrim 2 = 2C. prej nga С »1, dhe zbërthimi i kërkuar ka formën 3. Zgjero thyesat jo elementare, thyesa racionale 4 Polinomin që qëndron në enaewle e zbërthejmë në faktorë:. Emëruesi ka dy rrënjë të dyfishta të ndryshme: x \ = 0 e shumëfishimit 3. Prandaj, zgjerimi i kësaj thyese nuk është më i thjeshti. Duke reduktuar anën e djathtë në një emërues të përbashkët, gjejmë metodën e Parë. Barazimi i koeficientëve me të njëjtat fuqi të x në anën e majtë dhe të djathtë të identitetit të fundit. fitojmë një sistem linear ekuacionesh Ky sistem ka një zgjidhje unike dhe zgjerimi i kërkuar do të jetë metoda e dytë. Në identitetin që rezulton, duke vendosur x = 0, marrim 1 a A2, ose A2 = 1; fushë * gay x = -1, marrim -3 i B), ose Bj i -3. Kur zëvendësoni vlerat e gjetura të koeficientëve A \ dhe B) a, identiteti do të marrë formën ose Duke supozuar x = 0, dhe pastaj x = -I. gjejmë se = 0, B2 = 0 dhe. pra B \ = 0. Kështu, ne marrim përsëri Shembullin 4. Zgjeroni thyesën racionale në thyesa të thjeshta 4 Emëruesi i thyesës nuk ka rrënjë reale, pasi funksioni x2 + 1 nuk zhduket për asnjë vlerë reale të x. Prandaj, zgjerimi në thyesat më të thjeshta duhet të ketë formën Nga kjo marrim ose. Duke barazuar koeficientët në fuqitë Sshinak të x në anën e majtë dhe të djathtë të barazimit të fundit, do të kemi nga ku gjejmë dhe, për rrjedhojë, duhet theksuar se në disa raste zgjerimet në thyesa të thjeshta mund të fitohen më shpejt dhe më lehtë duke vepruar. në ndonjë mënyrë tjetër, pa përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar. Për shembull, për të marrë zgjerimin e thyesës në shembullin 3, mund të shtoni dhe zbritni në numëruesin Zx2 dhe të kryeni pjesëtimin, siç tregohet më poshtë. 7.2. Integrimi i thyesave elementare. Siç u përmend më lart, çdo thyesë e parregullt racionale mund të përfaqësohet si shuma e një polinomi të caktuar dhe një thyese racionale të rregullt (§7), dhe ky paraqitje është unike. Integrimi i një polinomi nuk është i vështirë, prandaj do të shqyrtojmë çështjen e integrimit të një thyese të rregullt racionale. Meqenëse çdo thyesë e rregullt racionale mund të përfaqësohet si një shumë e thyesave më të thjeshta, integrimi i tij reduktohet në integrimin e thyesave më të thjeshta. Le të shqyrtojmë tani çështjen e integrimit të tyre. III. Për të gjetur integralin e thyesës më të thjeshtë të tipit të tretë, le të zgjedhim katrorin e plotë të binomit nga trinomi katror: Që nga termi i dytë, e vendosim të barabartë me a2, ku dhe më pas bëjmë një zëvendësim. Më pas, duke marrë parasysh vetitë lineare të integralit, gjejmë: Shembulli 5. Gjeni integralin 4 Integrandi është thyesa më e thjeshtë e tipit të tretë, pasi trinomi katror x1 + Ax + 6 nuk ka rrënjë reale (diskriminuesi i tij është negative:, dhe numëruesi përmban një polinom të shkallës së parë. Prandaj, veprojmë si më poshtë: 1) zgjedhim një katror të plotë në emërues 2) bëjmë një zëvendësim (këtu 3) me * një integral Për të gjetur integralin e fraksionin më të thjeshtë të llojit të katërt, vendosëm, si më sipër,. Më pas marrim integralin në anën e djathtë, e shënojmë me A dhe e transformojmë si më poshtë: Integrojmë integralin në anën e djathtë me pjesë, vendosjen nga ose Integrimi i funksioneve racionale Informacion i shkurtër rreth funksioneve racionale Integrimi i funksioneve të thjeshta thyesat Rasti i përgjithshëm Integrimi i funksioneve irracionale Zëvendësimi i parë i Ojlerit Zëvendësimi i dytë i Ojlerit Zëvendësimi i tretë Ojler Kemi marrë të ashtuquajturën formulë rekurente, e cila na lejon të gjejmë integralin Jk për çdo k = 2, 3 ,. ... Në të vërtetë, integrali J \ është tabelor: Duke vendosur në formulën e përsëritur, gjejmë Knowing dhe vendosjen A = 3, ne mund të gjejmë lehtësisht Jj, e kështu me radhë. Në rezultatin përfundimtar, duke zëvendësuar kudo në vend të t dhe a shprehjet e tyre në terma x dhe koeficientët p dhe q, marrim për integralin fillestar shprehjen e tij në terma x dhe numrat e dhënë M, AH, p, q. Shembulli 8. Integrali Neyti “Funksioni i integrueshëm është thyesa më e thjeshtë e tipit të katërt, pasi diskriminuesi i trinomit katror është negativ, d.m.th. pra, emëruesi nuk ka rrënjë reale, dhe numëruesi është një polinom i shkallës së parë. 1) Ndani katrorin e plotë në emërues 2) Bëni zëvendësimin: Integrali merr formën: Duke supozuar në formulën e përsëritur * = 2, a3 = 1. do të kemi, dhe, për rrjedhojë, integrali i kërkuar është i barabartë. variabli x, më në fund marrim 7.3. Rasti i përgjithshëm Nga rezultatet e pp. Një teoremë e rëndësishme rrjedh menjëherë nga 1 dhe 2 e këtij seksioni. Teorema! 4. Një integral i pacaktuar i çdo funksioni racional ekziston gjithmonë (në intervalet në të cilat emëruesi i thyesës Qn (x) φ 0) dhe shprehet në terma të një numri të kufizuar funksionesh elementare, domethënë, është një shumë algjebrike. thyesat racionale, logaritmet natyrore dhe arktangjentet. Pra, për të gjetur integralin e pacaktuar të një funksioni racional thyesor, duhet vepruar në këtë mënyrë: 1) nëse thyesa racionale është e pasaktë, atëherë pjesëtimi i numëruesit me emëruesin zgjedh të gjithë pjesën, domethënë ky funksion paraqitet si një shumë e një polinomi dhe një thyese të rregullt racionale; 2) atëherë emëruesi i thyesës së saktë të fituar zbërthehet në prodhim të faktorëve linearë dhe kuadratikë; 3) kjo thyesë e rregullt zbërthehet në shumën e thyesave më të thjeshta; 4) duke përdorur linearitetin e integralit dhe formulat e pikës 2, integralet e secilit term gjenden veçmas. Shembulli 7. Gjeni integralin М Meqenëse emëruesi është një polinom i hapit të tretë, integrani është një thyesë e parregullt. Në të veçojmë të gjithë pjesën: Prandaj do të kemi. Emëruesi i një thyese të rregullt ka phi të rrënjëve reale të ndryshme: prandaj, zgjerimi i saj në thyesa të thjeshta ka formën Nga kjo gjejmë. Duke i dhënë argumentit x vlera të barabarta me rrënjët e emëruesit, nga ky identitet konstatojmë se: Rrjedhimisht, integrali i kërkuar do të jetë i barabartë me shembullin 8. Gjeni integralin 4 Integrandi është një thyesë e rregullt, emëruesi i të cilit ka dy rrënjë të ndryshme reale: х - О të shumëfishimit 1 dhe х = 1 të shumëzisë 3, Prandaj, zgjerimi i integrantit në thyesat më të thjeshta ka formën Duke sjellë anën e djathtë të kësaj barazie në një emërues të përbashkët dhe duke anuluar të dyja anët e barazi me këtë emërues, marrim ose. I barazojmë koeficientët në të njëjtat shkallë të x në anën e majtë dhe të djathtë të këtij identiteti: Nga këtu gjejmë. Duke zëvendësuar vlerat e gjetura të koeficientëve në zgjerim, do të kemi Integrimin, gjejmë: Shembulli 9. Gjeni integralin 4 Emëruesi i thyesës nuk ka rrënjë reale. Prandaj, zgjerimi në thyesat më të thjeshta të integrandit ka formën Ndaj ose Duke barazuar koeficientët në të njëjtat fuqi të x në anën e majtë dhe të djathtë të këtij identiteti, do të kemi se nga e gjejmë dhe, për rrjedhojë, Remark. Në shembullin e dhënë, integrani mund të paraqitet si një shumë e thyesave elementare në një mënyrë më të thjeshtë, përkatësisht, në numëruesin e thyesës zgjedhim binomin në emërtues dhe më pas kryejmë pjesëtimin term pas termi: § 8. Integrimi i funksioneve irracionale Funksioni i formës së konstanteve reale, dhe Shembulli 1, Funksioni është një funksion racional i ndryshoreve z dhe y, pasi përfaqëson edhe lidhjen e një polinomi të shkallës së tretë dhe një polinomi të shkallës së pestë dhe funksioni nuk është yew. Në rastin kur variablat, nga ana tjetër, janë funksione të ndryshores x: atëherë funksioni] quhet funksion racional i funksioneve Shembull. Një funksion është një funksion racional i r dhe pvdikvlv Linja 3. Një funksion i formës nuk është një funksion racional i x dhe radikal y / r1 + 1, por është një funksion racional i funksioneve. Siç tregojnë shembujt, integralet e funksioneve irracionale jo gjithmonë shprehen me funksione elementare. Për shembull, integralet që gjenden shpesh në aplikacione nuk shprehen në terma të funksioneve elementare; këto integrale quhen përkatësisht integrale eliptike të llojit të parë dhe të dytë. Le të shqyrtojmë ato raste kur integrimi i funksioneve irracionale mund të reduktohet, duke përdorur disa zëvendësime, në integrimin e funksioneve racionale. 1. Supozojmë se kërkohet të gjendet integrali ku R (x, y) është një funksion racional i argumenteve të tij x dhe y; m £ 2 - numër natyror; a, 6, c, d janë konstante reale që plotësojnë kushtin ad - bc> 0 (për ad - be = 0 koeficientët a dhe b janë proporcional me koeficientët c dhe d, dhe për këtë arsye raporti nuk varet nga x; prandaj , në këtë rast integrandi do të jetë një funksion racional i ndryshores x, integrimi i së cilës u konsiderua më herët). Le të bëjmë një ndryshim të ndryshores në këtë integral duke vendosur Pra, ne shprehim ndryshoren x në termat e ndryshores së re. Kemi x = - një funksion racional të t. Më tej, gjejmë ose, pas thjeshtimit, Prandaj, ku A1 (t) është një funksion racional i *, pasi funksioni racional i një funksioni racional, si dhe produkti i funksioneve racionale, janë funksione racionale. Ne dimë të integrojmë funksionet racionale. Le Atëherë integrali i kërkuar do të jetë i barabartë me At. IVit integral 4 Funksioni integrand * është një funksion racional i. Prandaj, vendosëm t = Pastaj Integrimi i funksioneve racionale Informacion i shkurtër për funksionet racionale Integrimi i thyesave elementare Rasti i përgjithshëm Integrimi i funksioneve irracionale Zëvendësimi i parë i Euler-it Zëvendësimi i dytë i Euler-it Zëvendësimi i tretë i Euler-it Kështu, marrim Primar 5. Gjeni integralin që funksioni mund të përfaqësohet në trajtën 1 _ 1_ nga ku shihet se është funksion racional i: Duke marrë parasysh këtë vëmë. Rrjedhimisht, 2. Konsideroni intefps të formës ku funksioni subintefalik është i tillë që duke zëvendësuar radikalin \ / ax2 + bx + c në të me y, marrim funksionin R (x) y) - racional në lidhje me të dy argumentet x dhe y. Ky integral reduktohet në një integral të një funksioni racional të një ndryshoreje tjetër nga zëvendësimet e Euler-it. 8.1. Zëvendësimi i parë i Euler-it Le të jetë koeficienti a> 0. Vendosim ose Prandaj gjejmë x si funksion racional të dhe, për rrjedhojë, zëvendësimi i treguar shprehet racionalisht nëpërmjet *. Prandaj, do të kemi ku Remark. Zëvendësimi i parë i Euler-it mund të merret edhe në formën Shembulli 6. Gjeni integralin Prandaj do të kemi dx zëvendësimin e Euler-it, tregoni se Y 8.2. Zëvendësimi i dytë i Euler-it Le të ketë trinomi ax2 + bx + c rrënjë të ndryshme reale λ] dhe x2 (koeficienti mund të ketë ndonjë shenjë). Në këtë rast, supozojmë Që atëherë marrim Meqenëse x, dxn y / ax2 + be + c shprehen në mënyrë racionale në terma t, integrali origjinal reduktohet në një integral të një funksioni racional, domethënë ku Problemi. Duke përdorur zëvendësimin e parë të Euler-it, tregoni se është një funksion racional i t. Shembulli 7. Neyti integral dx M funksion] - x1 ka rrënjë reale të ndryshme. Prandaj, ne aplikojmë zëvendësimin e dytë për Euler. Nga këtu gjejmë Zëvendësimin e prerjeve të gjetura në Given?Në * gyvl; marrim 8.3. Nënstacioni i tretë i Euler-it Le të jetë koeficienti c> 0. Ndryshoni variablin duke vendosur. Vini re se zëvendësimi i parë dhe i dytë i Euler-it janë të mjaftueshëm për të reduktuar integralin në integral të një funksioni racional. Në të vërtetë, nëse diskriminuesi b2 -4ac> 0, atëherë rrënjët e sëpatës së trinomit katror + bx + c janë reale, dhe në këtë rast është i zbatueshëm zëvendësimi i dytë i Euler-it. Nëse, atëherë shenja e trinomit ax2 + bx + c përkon me shenjën e koeficientit a, dhe meqë trinomi duhet të jetë pozitiv, atëherë a> 0. Në këtë rast zbatohet zëvendësimi i parë i Euler-it. Për të gjetur integrale të llojit të treguar më sipër, nuk është gjithmonë e këshillueshme të përdoren zëvendësimet e Euler-it, pasi për ta është e mundur të gjenden metoda të tjera integrimi që të çojnë në qëllimin më shpejt. Le të shqyrtojmë disa nga këto integrale. 1. Për të gjetur integrale të formës, zgjidhni katrorin e gjatë nga katrori i trinomit të th: ku Pas kësaj, bëni një zëvendësim dhe merrni ku koeficientët a dhe P kanë shenja të ndryshme ose janë të dy pozitivë. Për, dhe gjithashtu për a> 0 dhe integrali do të reduktohet në logaritëm, nëse, nga ana tjetër, në harkun. Në. Gjeni imtegrel 4 Pra diçka e tillë. duke supozuar se marrim Prmmar 9. Gjeni. Vendosni x -, do të kemi 2. Një integral i formës reduktohet në integralin y nga pika 1 si më poshtë. Duke marrë parasysh se derivatin () "= 2, e zgjedhim në numërues: 4 Shpalosim në numërues derivatin e shprehjes radikale. Meqenëse (x, do të kemi, duke marrë parasysh rezultatin e shembullit 9, 3. Integralet e formës ku P„ (x) është polinomi n-shkalla, mund të gjenden me metodën e koeficientëve të pacaktuar, e cila është si më poshtë: Supozoni se barazia vlen Shembulli 10. Integrali i fuqishëm ku Qn-i (s ) është një polinom i shkallës (n - 1) -të me koeficientë të papërcaktuar: Për të gjetur koeficientë të panjohur | dallojmë të dyja anët e (1): Pastaj ana e djathtë e barazisë (2) reduktohet në një emërues të përbashkët të barabartë me emëruesi i anës së majtë, pra të dyja anët e së cilës janë polinome të shkallës n. Duke barazuar koeficientët me fuqi të njëjta të x në anën e majtë dhe të djathtë të (3), marrim n + 1 ekuacione, nga të cilat ne gjeni koeficientët e kërkuar j4 * (fc = 0,1,2, ..., n Duke zëvendësuar vlerat e tyre në anën e djathtë të (1) dhe duke gjetur integralin + с, marrim përgjigjen për ky integral. Shembulli 11. Gjeni integralin Le të diferencojmë të dyja përshtatjet e barazisë, do të kemi.Duke reduktuar anën e djathtë në një emërues të përbashkët dhe duke anuluar të dyja anët me të, marrim identitetin ose. Duke barazuar koeficientët me të njëjtat fuqi të x, arrijmë në një sistem ekuacionesh nga i cili gjejmë = Pastaj gjejmë integralin në anën e djathtë të barazisë (4): Për rrjedhojë, integrali i kërkuar do të jetë i barabartë me