Një funksion irracional i një ndryshoreje është një funksion që formohet nga një ndryshore dhe konstante arbitrare duke përdorur një numër të kufizuar veprimesh të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit (ngritjes në një fuqi të numrit të plotë), pjesëtimit dhe marrjes së rrënjëve. Një funksion irracional ndryshon nga ai racional në atë që funksioni irracional përmban operacione për nxjerrjen e rrënjëve.
Ekzistojnë tre lloje kryesore të funksioneve irracionale, integralet e pacaktuara të të cilave reduktohen në integrale të funksioneve racionale. Këto janë integrale që përmbajnë rrënjë të fuqive të plota arbitrare nga një funksion thyesor linear (rrënjët mund të jenë me fuqi të ndryshme, por nga i njëjti funksion thyesor linear); integrale të një binomi diferencial dhe integrale me rrënjën katrore të një trinomi katror.
Shënim i rëndësishëm. Rrënjët kanë shumë kuptime!
Gjatë llogaritjes së integraleve që përmbajnë rrënjë, shpesh hasen shprehje të formës, ku është një funksion i ndryshores së integrimit. Duhet pasur parasysh se. Kjo është, në t >< 0 , |t| = t. Në t 0 0 , |t| = - t.< 0 Prandaj, gjatë llogaritjes së integraleve të tillë, është e nevojshme të merren parasysh veçmas rastet t > 0 dhe t< 0 .
Kjo mund të bëhet duke shkruar shenja ose kudo që është e nevojshme. Duke supozuar se shenja e sipërme i referohet rastit t >
, dhe ajo e poshtme - te rasti t
.
,
Me transformim të mëtejshëm, këto shenja, si rregull, anulojnë njëra-tjetrën.
Një qasje e dytë është gjithashtu e mundur, në të cilën integrandi dhe rezultati i integrimit mund të konsiderohen si funksione komplekse të ndryshoreve komplekse. Atëherë nuk duhet t'i kushtoni vëmendje shenjave në shprehjet radikale. Kjo qasje është e zbatueshme nëse integrandi është analitik, domethënë një funksion i diferencueshëm i një ndryshoreje komplekse. Në këtë rast, si integrani ashtu edhe integrali i tij janë funksione me shumë vlera. Prandaj, pas integrimit, kur zëvendësohen vlerat numerike, është e nevojshme të zgjidhet një degë me një vlerë (sipërfaqja e Riemann) të integrandit dhe për të të zgjidhet dega përkatëse e rezultatit të integrimit.
, ku n është emëruesi i përbashkët i numrave r 1, ..., r s.
Rrënjët mund të mos vijnë domosdoshmërisht nga një funksion thyesor linear, por edhe nga një funksion linear (γ = 0, δ = 1), ose në ndryshoren e integrimit x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Këtu janë shembuj të integraleve të tillë:
,
.
Integrale nga binomet diferenciale
Integralet nga binomet diferenciale kanë formën:
,
ku m, n, p janë numra racional, a, b janë numra realë.
Integrale të tilla reduktohen në integrale të funksioneve racionale në tre raste.
1) Nëse p është një numër i plotë. Zëvendësimi x = t N, ku N është emëruesi i përbashkët i thyesave m dhe n.
2) Nëse - një numër i plotë. Zëvendësimi a x n + b = t M, ku M është emëruesi i numrit p.
3) Nëse - një numër i plotë. Zëvendësimi a + b x - n = t M, ku M është emëruesi i numrit p.
Në raste të tjera, integrale të tilla nuk shprehen përmes funksioneve elementare.
Ndonjëherë integrale të tilla mund të thjeshtohen duke përdorur formulat e reduktimit:
;
.
Integrale që përmbajnë rrënjën katrore të një trinomi katror
Integrale të tilla kanë formën:
,
ku R është një funksion racional. Për secilin integral të tillë ekzistojnë disa metoda për zgjidhjen e tij.
1)
Përdorimi i transformimeve çon në integrale më të thjeshta.
2)
Aplikoni zëvendësime trigonometrike ose hiperbolike.
3)
Aplikoni zëvendësimet e Euler-it.
Le t'i shikojmë këto metoda në më shumë detaje.
1) Transformimi i funksionit integrand
Duke aplikuar formulën dhe duke kryer transformime algjebrike, ne reduktojmë funksionin integrand në formën:
,
ku φ(x), ω(x) janë funksione racionale.
Lloji I
Integrali i formës:
,
ku P n (x) është një polinom i shkallës n.
Integrale të tilla gjenden me metodën e koeficientëve të pacaktuar duke përdorur identitetin:
.
Duke diferencuar këtë ekuacion dhe duke barazuar anën e majtë dhe të djathtë, gjejmë koeficientët A i.
Lloji II
Integrali i formës:
,
ku P m (x) është një polinom i shkallës m.
Zëvendësimi t = (x - α) -1 ky integral reduktohet në llojin e mëparshëm. Nëse m ≥ n, atëherë thyesa duhet të ketë një pjesë të plotë.
Lloji III
Këtu bëjmë zëvendësimin:
.
Pas së cilës integrali do të marrë formën:
.
Më pas, konstantet α, β duhet të zgjidhen të tilla që në emërues koeficientët për t të bëhen zero:
B = 0, B 1 = 0.
Pastaj integrali zbërthehet në shumën e integraleve të dy llojeve:
,
,
të cilat janë të integruara nga zëvendësimet:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .
2) Zëvendësimet trigonometrike dhe hiperbolike
Për integrale të formës , a > 0
,
kemi tre zëvendësime kryesore:
;
;
;
Për integralet, a > 0
,
kemi zëvendësimet e mëposhtme:
;
;
;
Dhe së fundi, për integralet, a > 0
,
zëvendësimet janë si më poshtë:
;
;
;
3) Zëvendësimet e Euler-it
Gjithashtu, integralet mund të reduktohen në integrale të funksioneve racionale të njërit prej tre zëvendësimeve të Euler-it:
, për një > 0;
, për c > 0 ;
, ku x 1 është rrënja e ekuacionit a x 2 + b x + c = 0.
Nëse ky ekuacion ka rrënjë reale.
Integrale eliptike
,
Si përfundim, merrni parasysh integralet e formës:
ku R është një funksion racional, .
.
Integrale të tilla quhen eliptike. Në përgjithësi, ato nuk shprehen përmes funksioneve elementare. Megjithatë, ka raste kur ka marrëdhënie midis koeficientëve A, B, C, D, E, në të cilat integrale të tilla shprehen përmes funksioneve elementare.
Më poshtë është një shembull i lidhur me polinomet refleksive. Llogaritja e integraleve të tillë kryhet duke përdorur zëvendësimet:
.
Shembull
Llogarit integralin:
.
Zgjidhje 0
Le të bëjmë një zëvendësim. 0
Këtu në x >< 0
(u>< 0
) merrni shenjën e sipërme "+". Në x
.
(u
) - më e ulët ′- ′.
Përgjigju
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksioni i problemeve në matematikën e lartë, "Lan", 2003.
Në shekullin e pestë para Krishtit, filozofi i lashtë grek Zeno nga Elea formuloi aporiat e tij të famshme, më e famshmja prej të cilave është aporia "Akili dhe Breshka". Ja si tingëllon: Le të themi se Akili vrapon dhjetë herë më shpejt se breshka dhe është një mijë hapa pas saj. Gjatë kohës që i duhet Akilit për të vrapuar këtë distancë, breshka do të zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Kur Akili vrapon njëqind hapa, breshka zvarritet edhe dhjetë hapa të tjerë, e kështu me radhë. Procesi do të vazhdojë deri në pafundësi, Akili nuk do ta arrijë kurrë breshkën. Ky arsyetim u bë një tronditje logjike për të gjithë brezat pasardhës. Aristoteli, Diogjeni, Kanti, Hegeli, Hilberti... Të gjithë e konsideronin aporinë e Zenonit në një mënyrë apo në një tjetër. Goditja ishte aq e fortë sa "
Nga pikëpamja matematikore, Zeno në aporinë e tij tregoi qartë kalimin nga sasia në . Ky kalim nënkupton aplikim në vend të atyre të përhershëm. Me sa kuptoj unë, aparati matematikor për përdorimin e njësive të ndryshueshme të matjes ose nuk është zhvilluar ende, ose nuk është aplikuar në aporinë e Zenoit. Zbatimi i logjikës sonë të zakonshme na çon në një kurth. Ne, për shkak të inercisë së të menduarit, aplikojmë njësi konstante të kohës në vlerën reciproke. Nga pikëpamja fizike, kjo duket sikur koha po ngadalësohet derisa të ndalojë plotësisht në momentin kur Akili kap breshkën. Nëse koha ndalon, Akili nuk mund ta kalojë më breshkën.
Nëse e kthejmë logjikën tonë të zakonshme, gjithçka bie në vend. Akili vrapon me një shpejtësi konstante. Çdo segment pasues i rrugës së tij është dhjetë herë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Prandaj, koha e shpenzuar për tejkalimin e saj është dhjetë herë më pak se ajo e mëparshme. Nëse zbatojmë konceptin e "pafundësisë" në këtë situatë, atëherë do të ishte e saktë të thuhet "Akili do ta arrijë breshkën pafundësisht shpejt".
Si ta shmangni këtë kurth logjik? Qëndroni në njësi konstante kohore dhe mos kaloni në njësi reciproke. Në gjuhën e Zenonit duket kështu:
Në kohën që i duhen Akilit për të bërë një mijë hapa, breshka do të zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Gjatë intervalit tjetër kohor të barabartë me të parin, Akili do të vrapojë një mijë hapa të tjerë, dhe breshka do të zvarritet njëqind hapa. Tani Akili është tetëqind hapa përpara breshkës.
Kjo qasje përshkruan në mënyrë adekuate realitetin pa asnjë paradoks logjik. Por kjo nuk është një zgjidhje e plotë për problemin. Deklarata e Ajnshtajnit për papërmbajtshmërinë e shpejtësisë së dritës është shumë e ngjashme me aporinë e Zenonit "Akili dhe Breshka". Ne ende duhet të studiojmë, rimendojmë dhe zgjidhim këtë problem. Dhe zgjidhja duhet kërkuar jo në numër pafundësisht të madh, por në njësi matëse.
Një tjetër aporia interesante e Zenos tregon për një shigjetë fluturuese:
Një shigjetë fluturuese është e palëvizshme, pasi në çdo moment të kohës është në prehje, dhe duke qenë se është në pushim në çdo moment të kohës, ajo është gjithmonë në pushim.
Në këtë apori, paradoksi logjik kapërcehet shumë thjesht - mjafton të sqarohet se në çdo moment të kohës një shigjetë fluturuese është në pushim në pika të ndryshme të hapësirës, që në fakt është lëvizje. Këtu duhet të theksohet edhe një pikë tjetër. Nga një fotografi e një makine në rrugë është e pamundur të përcaktohet as fakti i lëvizjes së saj, as distanca deri në të. Për të përcaktuar nëse një makinë po lëviz, ju nevojiten dy fotografi të bëra nga e njëjta pikë në pika të ndryshme kohore, por nuk mund të përcaktoni distancën prej tyre. Për të përcaktuar distancën nga një makinë, ju nevojiten dy fotografi të marra nga pika të ndryshme të hapësirës në një moment në kohë, por prej tyre nuk mund të përcaktoni faktin e lëvizjes (natyrisht, ju duhen ende të dhëna shtesë për llogaritjet, trigonometria do t'ju ndihmojë ). Ajo që dua të tërheq vëmendjen e veçantë është se dy pika në kohë dhe dy pika në hapësirë janë gjëra të ndryshme që nuk duhen ngatërruar, sepse ofrojnë mundësi të ndryshme për kërkime.
E mërkurë, 4 korrik 2018
Dallimet midis setit dhe multisetit përshkruhen shumë mirë në Wikipedia. Le të shohim.
Siç mund ta shihni, "nuk mund të ketë dy elementë identikë në një grup", por nëse ka elementë identikë në një grup, një grup i tillë quhet "shumë grup". Qeniet e arsyeshme nuk do ta kuptojnë kurrë një logjikë të tillë absurde. Ky është niveli i papagajve që flasin dhe majmunëve të stërvitur, të cilët nuk kanë inteligjencë nga fjala "plotësisht". Matematikanët veprojnë si trajnerë të zakonshëm, duke na predikuar idetë e tyre absurde.
Njëherë e një kohë, inxhinierët që ndërtuan urën ishin në një varkë nën urë ndërsa testonin urën. Nëse ura u shemb, inxhinieri mediokër vdiq nën rrënojat e krijimit të tij. Nëse ura mund të përballonte ngarkesën, inxhinieri i talentuar ndërtoi ura të tjera.
Pavarësisht se sa matematikanët fshihen pas shprehjes "mendoni mua, unë jam në shtëpi", ose më mirë, "matematika studion koncepte abstrakte", ekziston një kordon kërthizor që i lidh ato në mënyrë të pandashme me realitetin. Ky kordon kërthizor është para. Le të zbatojmë teorinë e grupeve matematikore për vetë matematikanët.
Ne kemi studiuar shumë mirë matematikën dhe tani jemi ulur në arkë, duke dhënë rroga. Pra, një matematikan vjen tek ne për paratë e tij. I numërojmë të gjithë shumën dhe e shtrojmë në tryezën tonë në pirgje të ndryshme, në të cilat vendosim fatura të së njëjtës emërtim. Pastaj marrim një faturë nga çdo grumbull dhe i japim matematikanit "pagën e tij matematikore". Le t'i shpjegojmë matematikanit se ai do të marrë faturat e mbetura vetëm kur të provojë se një grup pa elementë identikë nuk është i barabartë me një grup me elementë identikë. Këtu fillon argëtimi.
Para së gjithash, logjika e deputetëve do të funksionojë: "Kjo mund të zbatohet për të tjerët, por jo për mua!" Më pas ata do të fillojnë të na sigurojnë se faturat e të njëjtit emërtim kanë numra të ndryshëm faturash, që do të thotë se ato nuk mund të konsiderohen të njëjtat elementë. Mirë, le t'i numërojmë pagat në monedha - nuk ka numra në monedha. Këtu matematikani do të fillojë të kujtojë furishëm fizikën: monedha të ndryshme kanë sasi të ndryshme papastërtie, struktura kristalore dhe renditja e atomeve është unike për secilën monedhë...
Dhe tani kam pyetjen më interesante: ku është vija përtej së cilës elementët e një grupi të shumëfishtë kthehen në elementë të një grupi dhe anasjelltas? Një linjë e tillë nuk ekziston - gjithçka vendoset nga shamanët, shkenca nuk është as afër të gënjejë këtu.
Shiko këtu. Ne zgjedhim stadiume futbolli me të njëjtën zonë. Zonat e fushave janë të njëjta - që do të thotë se ne kemi një shumë grup. Por po të shikojmë emrat e po këtyre stadiumeve, marrim shumë, sepse emrat janë të ndryshëm. Siç mund ta shihni, i njëjti grup elementësh është një grup dhe një grup shumëfish. Cila është e saktë? Dhe këtu matematikani-shaman-sharpist nxjerr nga mëngët një ace atuesh dhe fillon të na tregojë ose për një grup ose një multiset. Në çdo rast, ai do të na bindë se ka të drejtë.
Për të kuptuar se si shamanët modernë veprojnë me teorinë e grupeve, duke e lidhur atë me realitetin, mjafton t'i përgjigjemi një pyetjeje: si ndryshojnë elementët e një grupi nga elementët e një grupi tjetër? Unë do t'ju tregoj, pa asnjë "të konceptueshme si jo një tërësi e vetme" ose "jo e konceptueshme si një tërësi e vetme".
e diel, 18 mars 2018
Shuma e shifrave të një numri është një valle e shamanëve me një dajre, e cila nuk ka të bëjë fare me matematikën. Po, në mësimet e matematikës ne jemi mësuar të gjejmë shumën e shifrave të një numri dhe ta përdorim atë, por kjo është arsyeja pse ata janë shamanë, për t'u mësuar pasardhësve të tyre aftësitë dhe mençurinë e tyre, përndryshe shamanët thjesht do të vdesin.
Keni nevojë për prova? Hapni Wikipedia dhe provoni të gjeni faqen "Shuma e shifrave të një numri". Ajo nuk ekziston. Nuk ka asnjë formulë në matematikë që mund të përdoret për të gjetur shumën e shifrave të çdo numri. Në fund të fundit, numrat janë simbole grafike me të cilat ne shkruajmë numra, dhe në gjuhën e matematikës detyra tingëllon kështu: "Gjeni shumën e simboleve grafike që përfaqësojnë çdo numër". Matematikanët nuk mund ta zgjidhin këtë problem, por shamanët mund ta bëjnë atë lehtësisht.
Le të kuptojmë se çfarë dhe si bëjmë për të gjetur shumën e shifrave të një numri të caktuar. Dhe kështu, le të kemi numrin 12345. Çfarë duhet bërë për të gjetur shumën e shifrave të këtij numri? Le të shqyrtojmë të gjitha hapat në rend.
1. Shkruani numrin në një copë letër. Çfarë kemi bërë? Ne e kemi kthyer numrin në një simbol grafik numerik. Ky nuk është një operacion matematikor.
2. Pritini një fotografi që rezulton në disa figura që përmbajnë numra individualë. Prerja e një fotografie nuk është një operacion matematikor.
3. Shndërroni simbolet individuale grafike në numra. Ky nuk është një operacion matematikor.
4. Shtoni numrat që rezultojnë. Tani kjo është matematika.
Shuma e shifrave të numrit 12345 është 15. Këto janë "kurset e prerjes dhe qepjes" nga shamanët që përdorin matematikanët. Por kjo nuk është e gjitha.
Nga pikëpamja matematikore, nuk ka rëndësi se në cilin sistem numrash shkruajmë një numër. Pra, në sisteme të ndryshme numrash shuma e shifrave të të njëjtit numër do të jetë e ndryshme. Në matematikë, sistemi i numrave tregohet si nënshkrim në të djathtë të numrit. Me numrin e madh 12345, nuk dua të mashtroj kokën, le të marrim parasysh numrin 26 nga artikulli rreth. Le ta shkruajmë këtë numër në sistemet e numrave binar, oktal, dhjetor dhe heksadecimal. Ne nuk do të shikojmë çdo hap nën një mikroskop, ne e kemi bërë tashmë këtë. Le të shohim rezultatin.
Siç mund ta shihni, në sisteme të ndryshme numrash shuma e shifrave të të njëjtit numër është e ndryshme. Ky rezultat nuk ka të bëjë fare me matematikën. Është njësoj sikur të përcaktonit sipërfaqen e një drejtkëndëshi në metra dhe centimetra, do të merrnit rezultate krejtësisht të ndryshme.
Zero duket e njëjtë në të gjitha sistemet e numrave dhe nuk ka shumë shifrash. Ky është një argument tjetër në favor të faktit se. Pyetje për matematikanët: si përcaktohet diçka që nuk është numër në matematikë? Çfarë, për matematikanët nuk ekziston asgjë përveç numrave? Unë mund ta lejoj këtë për shamanët, por jo për shkencëtarët. Realiteti nuk ka të bëjë vetëm me numrat.
Rezultati i marrë duhet të konsiderohet si provë se sistemet e numrave janë njësi matëse për numrat. Në fund të fundit, ne nuk mund të krahasojmë numrat me njësi të ndryshme matëse. Nëse të njëjtat veprime me njësi të ndryshme matëse të së njëjtës sasi çojnë në rezultate të ndryshme pas krahasimit të tyre, atëherë kjo nuk ka të bëjë fare me matematikën.
Çfarë është matematika e vërtetë? Kjo ndodh kur rezultati i një operacioni matematikor nuk varet nga madhësia e numrit, njësia matëse e përdorur dhe nga kush e kryen këtë veprim.
Oh! A nuk është ky banja e grave?
- Grua e re! Ky është një laborator për studimin e shenjtërisë indefilike të shpirtrave gjatë ngjitjes së tyre në qiell! Halo në krye dhe shigjeta lart. Çfarë tualeti tjetër?
Femër... Halo sipër dhe shigjeta poshtë janë mashkull.
Nëse një vepër e tillë e artit të dizajnit shkëlqen para syve tuaj disa herë në ditë,
Atëherë nuk është për t'u habitur që papritmas gjeni një ikonë të çuditshme në makinën tuaj:
Personalisht, unë përpiqem të shoh minus katër gradë në një person që po derdhet (një foto) (një përbërje prej disa fotografish: shenja minus, numri katër, përcaktimi i shkallës). Dhe nuk mendoj se kjo vajzë është një budallaqe që nuk di fizikë. Ajo thjesht ka një stereotip të fortë të perceptimit të imazheve grafike. Dhe matematikanët na mësojnë këtë gjatë gjithë kohës. Ja një shembull.
1A nuk është "minus katër gradë" ose "një a". Ky është "njeriu i kulluar" ose numri "njëzet e gjashtë" në shënimin heksadecimal. Ata njerëz që vazhdimisht punojnë në këtë sistem numrash e perceptojnë automatikisht një numër dhe një shkronjë si një simbol grafik.
Një funksion F(x) i diferencueshëm në një interval të caktuar X quhet antiderivativ i funksionit f(x), ose integrali i f(x), nëse për çdo x ∈X vlen barazia e mëposhtme:
F "(x) = f(x). (8.1)
Gjetja e të gjithë antiderivativëve për një funksion të caktuar quhet e saj integrimin. Funksion integral i pacaktuar f(x) në një interval të caktuar X është bashkësia e të gjithë funksioneve antiderivative për funksionin f(x); emërtimi -
Nëse F(x) është një antiderivativ i funksionit f(x), atëherë ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
ku C është një konstante arbitrare.
Tabela e integraleve
Direkt nga përkufizimi marrim vetitë kryesore të integralit të pacaktuar dhe një listë të integraleve tabelare:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2)∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konst)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Lista e integraleve tabelare
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctan x + C
8. = harksin x + C
10. = - ctg x + C
Zëvendësimi i ndryshueshëm
Për të integruar shumë funksione, përdorni metodën e zëvendësimit të ndryshoreve ose zëvendësimet, duke ju lejuar të reduktoni integralet në formë tabelare.
Nëse funksioni f(z) është i vazhdueshëm në [α,β], funksioni z =g(x) ka një derivat të vazhdueshëm dhe α ≤ g(x) ≤ β, atëherë
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
Për më tepër, pas integrimit në anën e djathtë, duhet të bëhet zëvendësimi z=g(x).
Për ta vërtetuar atë, mjafton të shkruani integralin origjinal në formën:
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Për shembull:
Mënyra e integrimit sipas pjesëve
Le të jenë u = f(x) dhe v = g(x) funksione që kanë të vazhdueshme . Më pas, sipas punës,
d(uv))= udv + vdu ose udv = d(uv) - vdu.
Për shprehjen d(uv), antiderivati do të jetë padyshim uv, kështu që formula vlen:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Kjo formulë shpreh rregullin integrimi sipas pjesëve. E çon integrimin e shprehjes udv=uv"dx në integrimin e shprehjes vdu=vu"dx.
Le të, për shembull, dëshironi të gjeni ∫xcosx dx. Le të vendosim u = x, dv = cosxdx, pra du=dx, v=sinx. Pastaj
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Rregulli i integrimit sipas pjesëve ka një shtrirje më të kufizuar sesa zëvendësimi i variablave. Por ka klasa të tëra integralesh, për shembull,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax dhe të tjera, të cilat llogariten saktësisht duke përdorur integrimin sipas pjesëve.
Integral i caktuar
Koncepti i një integrali të caktuar paraqitet si më poshtë. Le të përcaktohet një funksion f(x) në një interval. Le ta ndajmë segmentin [a,b] në n pjesë nga pika a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Quhet një shumë e trajtës f(ξ i)Δ x i shuma integrale, dhe kufiri i tij në λ = maxΔx i → 0, nëse ekziston dhe është i fundëm, quhet integral i caktuar funksionet f(x) të a te b dhe caktohet:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Funksioni f(x) në këtë rast quhet i integrueshëm në interval, quhen numrat a dhe b kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integralit.
Karakteristikat e mëposhtme janë të vërteta për një integral të caktuar:
4), (k = konst, k∈R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Vetia e fundit quhet teorema e vlerës mesatare.
Le të jetë f(x) e vazhdueshme në . Pastaj në këtë segment ka një integral të pacaktuar
∫f(x)dx = F(x) + C
dhe zhvillohet Formula Njuton-Leibniz, duke lidhur integralin e caktuar me integralin e pacaktuar:
F(b) - F(a). (8.6)
Interpretimi gjeometrik: integrali i caktuar është zona e një trapezi lakor të kufizuar nga lart nga kurba y=f(x), drejtëza x = a dhe x = b dhe një segment i boshtit kau.
Integrale të pahijshme
Integralet me kufij të pafundëm dhe integrale të funksioneve të ndërprera (të pakufizuara) quhen jo e juaja. Integrale të pahijshme të llojit të parë - Këto janë integrale në një interval të pafund, të përcaktuar si më poshtë:
(8.7)
Nëse ky kufi ekziston dhe është i fundëm, atëherë quhet integrali i parregullt konvergjent i f(x) në intervalin [a,+ ∞), dhe thirret funksioni f(x). i integrueshëm në një interval të pafund[a,+ ∞). Përndryshe, integrali thuhet se është nuk ekziston ose ndryshon.
Integralet e pahijshme në intervalet (-∞,b] dhe (-∞, + ∞) përcaktohen në mënyrë të ngjashme:
Le të përcaktojmë konceptin e një integrali të një funksioni të pakufizuar. Nëse f(x) është e vazhdueshme për të gjitha vlerat x segment , me përjashtim të pikës c, në të cilën f(x) ka një ndërprerje të pafundme, atëherë integral i pahijshëm i llojit të dytë të f(x) duke filluar nga a në b shuma quhet:
nëse këto kufij ekzistojnë dhe janë të fundme. Përcaktimi:
Shembuj të llogaritjeve integrale
Shembulli 3.30. Njehsoni ∫dx/(x+2).
Zgjidhje. Le të shënojmë t = x+2, pastaj dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.
Shembulli 3.31. Gjeni ∫ tgxdx.
Zgjidhje.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Le të jetë t=cosx, atëherë ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Shembull3.32 . Gjeni ∫dx/sinxZgjidhje.
Shembull3.33. Gjeni.
Zgjidhje. = .
Shembull3.34 . Gjeni ∫arctgxdx.
Zgjidhje. Le të integrohemi sipas pjesëve. Le të shënojmë u=arctgx, dv=dx. Atëherë du = dx/(x 2 +1), v=x, prej nga ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; sepse
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Shembull3.35 . Llogarit ∫lnxdx.
Zgjidhje. Duke aplikuar formulën e integrimit sipas pjesëve, marrim:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atëherë ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Shembull3.36 . Njehsoni ∫e x sinxdx.
Zgjidhje. Le të shënojmë u = e x, dv = sinxdx, pastaj du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integralin ∫e x cosxdx e integrojmë edhe me pjesë: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ne kemi:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Përftuam relacionin ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, nga e cila 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.
Shembull 3.37. Llogaritni J = ∫cos(lnx)dx/x.
Zgjidhje. Meqenëse dx/x = dlnx, atëherë J= ∫cos(lnx)d(lnx). Duke zëvendësuar lnx përmes t, arrijmë në tabelën integrale J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Shembull 3.38 . Llogaritni J = .
Zgjidhje. Duke marrë parasysh se = d(lnx), ne zëvendësojmë lnx = t. Atëherë J = 
.
Shembull 3.39
. Njehsoni integralin J = 
.
Zgjidhje. Ne kemi: 
. Prandaj =
=
=.
futet kështu: sqrt(tan(x/2)).
Dhe nëse në dritaren e rezultatit klikoni në Shfaq hapat në këndin e sipërm të djathtë, do të merrni një zgjidhje të detajuar. Gjetja e integralit të pacaktuar është një problem shumë i zakonshëm në matematikën e lartë dhe në degët e tjera teknike të shkencës. Edhe problemet më të thjeshta fizike nuk mund të zgjidhen pa llogaritur disa integrale të thjeshta. Prandaj, nga mosha shkollore na mësohen teknikat dhe metodat për zgjidhjen e integraleve, jepen tabela të shumta me integrale të funksioneve më të thjeshta. Sidoqoftë, me kalimin e kohës, e gjithë kjo harrohet me siguri, ose nuk kemi kohë të mjaftueshme për të llogaritur ose na duhet gjeni zgjidhjen e integralit të pacaktuar
nga një funksion shumë kompleks. Për të zgjidhur këto probleme, shërbimi ynë do të jetë i domosdoshëm për ju, duke ju lejuar të gjeni me saktësi integralin e pacaktuar në internet.
Zgjidhja e integralit të pacaktuar Shërbimi online në faqe interneti ju lejon të gjeni zgjidhja e integralit online i shpejtë, falas dhe me cilësi të lartë. Ju mund të zëvendësoni kërkimin në tabela për integralin e kërkuar me shërbimin tonë, ku duke futur shpejt funksionin e dëshiruar, do të merrni një zgjidhje për integralin e pacaktuar në një version tabelor. Jo të gjitha faqet matematikore janë në gjendje të llogaritin integrale të pacaktuara të funksioneve në internet shpejt dhe me efikasitet, veçanërisht nëse keni nevojë të gjeni integral i pacaktuar Shërbimi online në nga një funksion kompleks ose funksione të tilla që nuk përfshihen në kursin e përgjithshëm të matematikës së lartë. Faqja e internetit do të ndihmojë zgjidh integrale në internet
dhe të përballen me detyrën. Duke përdorur zgjidhjen online të integralit në faqen e internetit, gjithmonë do të merrni përgjigjen e saktë. Edhe nëse dëshironi ta llogarisni vetë integralin, falë shërbimit tonë do ta keni të lehtë të kontrolloni përgjigjen tuaj, të gjeni një gabim ose gabim shtypi ose të siguroheni që detyra është kryer pa të meta. Nëse jeni duke zgjidhur një problem dhe ju duhet të llogaritni integralin e pacaktuar si një veprim ndihmës, atëherë pse të humbni kohë për këto veprime që mund t'i keni kryer tashmë një mijë herë? Për më tepër, llogaritjet shtesë të integralit mund të jenë shkaku i një gabimi tipik ose një gabimi të vogël, i cili më pas çoi në një përgjigje të pasaktë. Thjesht përdorni shërbimet tona dhe gjeni integral i pacaktuar online pa asnjë përpjekje. Për problemet praktike të gjetjes integrale funksionet online ky server është shumë i dobishëm. Duhet të futni funksionin e dhënë, merrni zgjidhje online e integralit të pacaktuar
