Koncepti i renditjes së një matrice është i lidhur ngushtë me konceptin e varësisë (pavarësisë) lineare të rreshtave ose kolonave të saj. Në të ardhmen, ne do të paraqesim materialin për rreshtat, për kolonat, prezantimi është i ngjashëm.
Në matricë A Le t'i shënojmë linjat e tij si më poshtë:
, 
, …. , 
Dy rreshta të një matrice thuhet se janë të barabarta, nëse elementet e tyre përkatëse janë të barabarta: , nëse , .
Operacionet aritmetike në rreshtat e matricës (shumëzimi i një rreshti me një numër, shtimi i rreshtave) prezantohen si operacione të kryera element pas elementi:
Linjë e quhet kombinim linear i vargjeve..., matricat, nëse është e barabartë me shumën e produkteve të këtyre rreshtave me numra realë arbitrarë:
Rreshtat e matricës quhen varur në mënyrë lineare, nëse ka numra të tillë që nuk janë njëkohësisht të barabartë me zero, të tillë që kombinimi linear i rreshtave të matricës është i barabartë me rreshtin zero:
, =(0,0,...,0). (3.3)
Teorema 3.3Rreshtat e një matrice varen në mënyrë lineare nëse të paktën një rresht i matricës është një kombinim linear i të tjerëve.
□ Në të vërtetë, le të jetë, për saktësi, në formulën (3.3) 
, Pastaj
Pra, rreshti është një kombinim linear i pjesës tjetër të rreshtave. ■
Nëse kombinimi linear i rreshtave (3.3) është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero, atëherë rreshtat quhen linearisht të pavarur.
Teorema 3.4.(në lidhje me gradën e një matrice) Rangu i një matrice është i barabartë me numrin maksimal të rreshtave ose kolonave të pavarura lineare përmes të cilave shprehen në mënyrë lineare të gjitha rreshtat (kolonat) e tjera të saj.
□ Lëreni matricën A madhësia m n ka rang r(r min). Kjo do të thotë se ekziston një minor jo zero r- urdhri. Çdo minor jo zero r Rendi i th do të quhet i vogël bazë.
Le të jetë, për përcaktim, minorja bazë të vogla kryesore ose këndore. Atëherë rreshtat e matricës janë linearisht të pavarur. Supozoni të kundërtën, domethënë, një nga këto vargje, për shembull, është një kombinim linear i pjesës tjetër. Zbrit nga elementet r-elementet e rreshtit të 1-rë të shumëzuar me , pastaj elementët e rreshtit të 2-të shumëzuar me , ... dhe elementet ( r- 1) - rreshti i th, shumëzuar me . Bazuar në vetinë 8, nën transformime të tilla matricore, përcaktorja e saj D nuk ndryshon, por pasi r- vargu i tani do të përbëhet vetëm nga zero, pastaj D = 0 - një kontradiktë. Prandaj, supozimi ynë se rreshtat e matricës janë të varura në mënyrë lineare është i pasaktë.
Le t'i quajmë vargjet bazë. Le të tregojmë se çdo rresht (r+1) i matricës është i varur në mënyrë lineare, d.m.th. çdo varg shprehet në terma të vargjeve bazë.
Konsideroni rendin minor (r + 1) -të, i cili përftohet duke plotësuar minorin e konsideruar me elementë të një rreshti tjetër i dhe kolona j. Ky minor është zero sepse rangu i matricës është r, kështu që çdo minor i rendit më të lartë është zero.
Duke e zgjeruar atë me elementët e kolonës së fundit (të shtuar), marrim
Ku moduli i komplementit të fundit algjebrik është i njëjtë me minorin bazë D dhe për këtë arsye të ndryshme nga zero, d.m.th. 0.
Le
Kolonat e matricës së dimensioneve . Kombinim linear i kolonave të matricës quhet matricë kolone, ndërsa - disa numra realë ose kompleksë, të thirrur koeficientët e kombinimit linear. Nëse në një kombinim linear marrim të gjithë koeficientët të barabartë me zero, atëherë kombinimi linear është i barabartë me matricën e kolonës zero.
Kolonat e matricës quhen i pavarur në mënyrë lineare , nëse kombinimi i tyre linear është i barabartë me zero vetëm kur të gjithë koeficientët e kombinimit linear janë të barabartë me zero. Kolonat e matricës quhen varur në mënyrë lineare , nëse ka një grup numrash, ndër të cilët të paktën një është jo zero, dhe kombinimi linear i kolonave me këta koeficientë është i barabartë me zero
Në mënyrë të ngjashme, mund të jepen përkufizime të varësisë lineare dhe pavarësisë lineare të rreshtave të matricës. Në vijim, të gjitha teoremat janë formuluar për kolonat e matricës.
Teorema 5
Nëse ka zero midis kolonave të matricës, atëherë kolonat e matricës janë të varura në mënyrë lineare.
Dëshmi. Konsideroni një kombinim linear në të cilin të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero për të gjitha kolonat jozero dhe një për një kolonë zero. Është e barabartë me zero, dhe midis koeficientëve të kombinimit linear ka një jozero. Prandaj, kolonat e matricës janë të varura në mënyrë lineare.
Teorema 6
Nëse kolonat e matricës varur në mënyrë lineare, pastaj të gjitha kolonat e matricës janë të varura në mënyrë lineare.
Dëshmi. Për saktësi, do të supozojmë se kolonat e para të matricës 
varur në mënyrë lineare. Pastaj, me përcaktimin e një varësie lineare, ekziston një grup numrash, ndër të cilët të paktën një është jo zero, dhe kombinimi linear i kolonave me këta koeficientë është i barabartë me zero.
Hartoni një kombinim linear të të gjitha kolonave të matricës, duke përfshirë kolonat e mbetura me koeficientë zero
Por . Prandaj, të gjitha kolonat e matricës janë të varura në mënyrë lineare.
Pasoja. Ndër kolonat linearisht të pavarura të një matrice, secila prej tyre është linearisht e pavarur. (Ky pohim vërtetohet lehtësisht me kontradiktë.)
Teorema 7
Që kolonat e matricës të jenë të varura në mënyrë lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të paktën një kolonë matricë të jetë një kombinim linear i të tjerave.
Dëshmi.
Domosdoshmëri. Le të jenë kolonat e matricës të varura linearisht, domethënë ekziston një grup numrash, ndër të cilët të paktën një është i ndryshëm nga zero, dhe kombinimi linear i kolonave me këta koeficientë është i barabartë me zero.
Supozoni për definicion se . Atëherë kjo është, kolona e parë është një kombinim linear i pjesës tjetër.
Përshtatshmëria. Le të jetë të paktën një kolonë e matricës një kombinim linear i të tjerave, për shembull, , ku janë disa numra.
Atëherë, domethënë, kombinimi linear i kolonave është i barabartë me zero, dhe midis numrave të kombinimit linear, të paktën një (për ) është jozero.
Le të jetë rangu i matricës . Çdo minor jozero i rendit quhet bazë . Rreshtat dhe kolonat në kryqëzimin e të cilave ka një minor bazë quhen bazë .
Ne shënojmë çdo rresht të matricës A e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (për shembull,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), etj.). Secila prej tyre është një matricë rreshti që mund të shumëzohet me një numër ose të shtohet në një rresht tjetër sipas rregullave të përgjithshme për punën me matricat.
Kombinim linear e vargjeve e l , e 2 ,...e k është shuma e prodhimeve të këtyre vargjeve me numra realë arbitrarë:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , ku l l , l 2 ,..., l k janë numra arbitrarë (koeficientët e kombinimeve lineare).
Rreshtat e matricës e l , e 2 ,...e m quhen varur në mënyrë lineare, nëse ka numra të tillë l l , l 2 ,..., l m , të cilët nuk janë njëkohësisht të barabartë me zero, të tillë që kombinimi linear i rreshtave të matricës është i barabartë me rreshtin zero:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, ku 0 = (0 0...0).
Varësia lineare e rreshtave të matricës do të thotë që të paktën një rresht i matricës është një kombinim linear i pjesës tjetër. Në të vërtetë, le të, për definicion, koeficientin e fundit l m ¹ 0. Më pas, duke pjesëtuar të dyja anët e barazisë me l m, marrim një shprehje për rreshtin e fundit si një kombinim linear i rreshtave të mbetur:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .
Nëse një kombinim linear i rreshtave është zero nëse dhe vetëm nëse të gjithë koeficientët janë zero, d.m.th. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, atëherë vijat quhen i pavarur në mënyrë lineare.
Teorema e rangut të matricës. Renditja e një matrice është e barabartë me numrin maksimal të rreshtave ose kolonave të saj linearisht të pavarura në terma të të cilave të gjitha rreshtat ose kolonat e tjera të saj mund të shprehen në mënyrë lineare.
Le ta vërtetojmë këtë teoremë. Le të ketë një matricë m x n A renditjen r (r(A) £ min (m; n)). Prandaj, ekziston një minore jozero e rendit r. Çdo i mitur i tillë do të thirret bazë. Le të jetë kjo një e vogël për definicion
Do të thirren edhe rreshtat e kësaj minoreje bazë.
Le të vërtetojmë se atëherë rreshtat e matricës e l , e 2 ,...e r janë linearisht të pavarura. Supozoni të kundërtën, d.m.th. një nga këto rreshta, për shembull, rreshti i r-të, është një kombinim linear i pjesës tjetër: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Atëherë, nëse zbresim elementet e rreshtit të parë të shumëzuar me l l, elementët e rreshtit të dytë të shumëzuar me l 2, etj., në fund, elementët e rreshtit (r-1) të shumëzuar me l r-1, atëherë rreshti i r-të do të bëhet zero. Në të njëjtën kohë, sipas vetive të përcaktorit, përcaktori i mësipërm nuk duhet të ndryshojë dhe në të njëjtën kohë duhet të jetë i barabartë me zero. Përftohet një kontradiktë, vërtetohet pavarësia lineare e vargjeve.
Le të vërtetojmë tani se çdo rresht i matricës (r+1) është i varur në mënyrë lineare, d.m.th. çdo varg mund të shprehet në terma të vargjeve bazë.
Le të plotësojmë minorin e konsideruar më parë me një rresht më shumë (i-të) dhe një kolonë më shumë (j-të). Si rezultat, marrim një minor të rendit (r+1)-të, i cili, sipas përcaktimit të renditjes, është i barabartë me zero.
ku janë disa numra (disa apo edhe të gjithë këta numra mund të jenë të barabartë me zero). Kjo do të thotë se ekzistojnë barazitë e mëposhtme midis elementeve të kolonave:
Nga (3.3.1) rrjedh se
Nëse barazia (3.3.3) është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse , atëherë rreshtat quhen linearisht të pavarur. Lidhja (3.3.2) tregon se nëse njëri prej rreshtave shprehet në mënyrë lineare në terma të të tjerëve, atëherë rreshtat janë të varur në mënyrë lineare.
Është gjithashtu e lehtë të shihet e kundërta: nëse rreshtat janë të varur në mënyrë lineare, atëherë ekziston një rresht që është një kombinim linear i rreshtave të tjerë.
Le të, për shembull, në (3.3.3) , atëherë 
.
Përkufizimi. Le të zgjidhet një minor i rendit të r-të në matricën A dhe le që minorja e rendit të (r + 1) të së njëjtës matricë të përmbajë plotësisht minorin brenda saj. Do të themi se në këtë rast minorja kufizohet me të voglin (ose kufizohet për ).
Tani provojmë një lemë të rëndësishme.
Lemë për të miturit në kufi. Nëse minorja e rendit r të matricës A= është jo zero, dhe të gjitha minoret në kufi me të janë të barabarta me zero, atëherë çdo rresht (kolonë) i matricës A është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të saj që përbëjnë .
Dëshmi. Pa shkelur përgjithësinë e arsyetimit, do të supozojmë se minorja jozero e rendit të rth është në këndin e sipërm të majtë të matricës A = :
.
Për k rreshtat e parë të matricës A, pohimi i lemës është i qartë: mjafton të përfshihet në kombinim linear i njëjti rresht me koeficient të barabartë me një dhe pjesa tjetër me koeficientë të barabartë me zero.
Tani vërtetojmë se rreshtat e mbetur të matricës A janë shprehur në mënyrë lineare në terma të k rreshtave të parë. Për ta bërë këtë, ne ndërtojmë një minor të rendit (r + 1) duke shtuar rreshtin k-të () në minor dhe l kolona e -të ():
.
Minorja që rezulton është zero për të gjitha k dhe l. Nëse , atëherë është e barabartë me zero pasi përmban dy kolona identike. Nëse , atëherë minorja që rezulton është minorja kufitare për dhe, për rrjedhojë, është e barabartë me zero nga hipoteza e lemës.
Le ta zgjerojmë minorin përsa i përket elementeve të kësaj të fundit l- kolona e-të:
Duke supozuar, marrim:
 | (3.3.6) |
Shprehja (3.3.6) do të thotë që rreshti k i matricës A shprehet në mënyrë lineare përmes r rreshtave të parë.
Meqenëse vlerat e minoreve të saj nuk ndryshojnë kur një matricë transpozohet (për shkak të vetive të përcaktuesve), gjithçka e vërtetuar është e vërtetë edhe për kolonat. Teorema është vërtetuar.
Përfundimi I. Çdo rresht (kolona) i një matrice është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të saj bazë. Në të vërtetë, minorja bazë e matricës është e ndryshme nga zero, dhe të gjitha minoret në kufi me të janë të barabarta me zero.
Përfundimi II. Një përcaktues i rendit të n-të është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse përmban rreshta (kolona) të varura në mënyrë lineare. Mjaftueshmëria e varësisë lineare të rreshtave (kolonave) për barazinë e përcaktorit me zero është vërtetuar më herët si veti e përcaktorëve.
Le të vërtetojmë domosdoshmërinë. Le të jepet një matricë katrore e rendit të n-të, minorja e vetme e së cilës është e barabartë me zero. Nga kjo rrjedh se rangu i kësaj matrice është më i vogël se n, d.m.th. ekziston të paktën një rresht që është një kombinim linear i rreshtave bazë të kësaj matrice.
Le të provojmë një teoremë më shumë për rangun e një matrice.
Teorema. Numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur të një matrice është i barabartë me numrin maksimal të kolonave të saj linearisht të pavarura dhe është i barabartë me gradën e kësaj matrice.
Dëshmi. Le të jetë rangu i matricës A= i barabartë me r. Atëherë ndonjë nga rreshtat bazë k të tij janë linearisht të pavarur, përndryshe minorja bazë do të ishte e barabartë me zero. Nga ana tjetër, çdo r+1 ose më shumë rreshta janë të varur linearisht. Duke supozuar të kundërtën, ne mund të gjejmë një minor jozero të rendit më të madh se r nga përfundimi 2 i lemës së mëparshme. Kjo e fundit bie ndesh me faktin që rendi maksimal i të miturve jo zero është r. Çdo gjë që është vërtetuar për rreshtat është gjithashtu e vërtetë për kolonat.
Si përfundim, ne paraqesim një metodë më shumë për gjetjen e renditjes së një matrice. Rangu i një matrice mund të përcaktohet duke gjetur një minor të rendit maksimal që është i ndryshëm nga zero.
Në pamje të parë, kjo kërkon llogaritjen e një numri të fundëm, por ndoshta shumë të madh të minorave të kësaj matrice.
Megjithatë, teorema e mëposhtme lejon që të futen thjeshtime të rëndësishme në këtë.
Teorema. Nëse minorja e matricës A është jo zero, dhe të gjitha minoret në kufi me të janë të barabarta me zero, atëherë rangu i matricës është r.
Dëshmi. Mjafton të tregohet se çdo nënsistem i rreshtave të matricës për S>r do të jetë i varur linearisht sipas kushteve të teoremës (nga kjo do të rrjedhë se r është numri maksimal i rreshtave të matricës linearisht të pavarur ose ndonjë prej minoreve të tij të rendit më të madh se k janë të barabarta me zero).
Le të supozojmë të kundërtën. Lërini rreshtat të jenë linearisht të pavarur. Me lemën për të miturit në kufi, secila prej tyre do të shprehet në mënyrë lineare në terma të rreshtave në të cilat ndodhet minorja dhe të cilat, për faktin se është e ndryshme nga zero, janë linearisht të pavarura:
Tani merrni parasysh kombinimin linear të mëposhtëm:
ose
Duke përdorur (3.3.7) dhe (3.3.8), marrim
,
gjë që bie ndesh me pavarësinë lineare të vargjeve.
Rrjedhimisht, supozimi ynë është i rremë dhe, për rrjedhojë, çdo rresht S>r në kushtet e teoremës janë të varura linearisht. Teorema është vërtetuar.
Konsideroni rregullin për llogaritjen e gradës së një matrice - metodën e kufirit të të miturve, bazuar në këtë teoremë.
Kur llogaritet rangu i një matrice, duhet të kalohet nga minorenët e rendit më të ulët në minorenët e rendit më të lartë. Nëse tashmë është gjetur një minor i rendit r-të jozero, atëherë duhet të llogariten vetëm minoret e rendit (r+1)-të që kufizojnë minorin. Nëse ato janë zero, atëherë rangu i matricës është r. Kjo metodë përdoret gjithashtu nëse jo vetëm llogarisim rangun e matricës, por gjithashtu përcaktojmë se cilat kolona (rreshta) përbëjnë bazën minore të matricës.
Shembull. Llogaritni rangun e një matrice me metodën e fringing të të miturve
.
Zgjidhje. Minorja e rendit të dytë në këndin e sipërm të majtë të matricës A është jo zero:
.
Sidoqoftë, të gjithë të miturit e rendit të tretë që e rrethojnë janë të barabartë me zero:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
Prandaj, rangu i matricës A është i barabartë me dy: .
Rreshtat e parë dhe të dytë, kolona e parë dhe e dytë në këtë matricë janë themelore. Rreshtat dhe kolonat e mbetura janë kombinimet e tyre lineare. Në të vërtetë, barazitë e mëposhtme vlejnë për vargjet:
Si përfundim, ne vërejmë vlefshmërinë e vetive të mëposhtme:
1) rangu i produktit të matricave nuk është më i madh se rangu i secilit prej faktorëve;
2) rangu i produktit të një matrice arbitrare A djathtas ose majtas nga një matricë katrore jo njëjës Q është e barabartë me gradën e matricës A.
Matricat polinomiale
Përkufizimi. Një matricë polinomiale ose -matricë është një matricë drejtkëndore, elementët e së cilës janë polinome në një ndryshore me koeficientë numerikë.
Transformimet elementare mund të kryhen në -matrica. Kjo perfshin:
Ndërrimi i dy rreshtave (kolonave);
Shumëzimi i një rreshti (kolone) me një numër jo zero;
Shtimi në një rresht (kolona) një rresht tjetër (kolona), shumëzuar me ndonjë polinom.
Dy matrica dhe me të njëjtën madhësi quhen ekuivalente: nëse është e mundur të kalohet nga matrica në përdorimin e një numri të fundëm transformimesh elementare.
Shembull. Vërtetoni ekuivalencën e matricave
 ,
|  .
|
1. Ndërroni kolonën e parë dhe të dytë në matricë:
.
2. Nga rreshti i dytë, zbrit të parën, shumëzuar me ():
.
3. Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-1) dhe vini re se
.
4. Zbresim nga kolona e dytë të parën, shumëzuar me , marrim
.
Bashkësia e të gjitha matricave të madhësive të dhëna ndahet në klasa jo të kryqëzuara të matricave ekuivalente. Matricat që janë ekuivalente me njëra-tjetrën formojnë një klasë, jo ekuivalente - një tjetër.
Çdo klasë matricash ekuivalente karakterizohet nga një matricë kanonike, ose normale, e madhësive të dhëna.
Përkufizimi. Matrica kanonike ose normale - e dimensioneve është matrica -, e cila ka polinome në diagonalen kryesore, ku p është më i vogli i numrave m dhe n ( 
), dhe polinomet që nuk janë të barabartë me zero kanë koeficientët kryesorë të barabartë me 1, dhe çdo polinom tjetër është i pjesëtueshëm me atë të mëparshëm. Të gjithë elementët jashtë diagonales kryesore janë 0.
Nga përkufizimi del se nëse midis polinomeve ka polinome të shkallës zero, atëherë ato janë në fillim të diagonales kryesore. Nëse ka zero, atëherë ato janë në fund të diagonales kryesore.
Matrica e shembullit të mëparshëm është kanonike. Matricë
edhe kanonike.
Çdo klasë -matricë përmban një -matricë unike kanonike, d.m.th. secila matricë është e barabartë me një matricë të vetme kanonike, e cila quhet forma kanonike ose forma normale e matricës së dhënë.
Polinomet në diagonalen kryesore të formës kanonike të matricës së dhënë quhen faktorë invariant të matricës së dhënë.
Një nga metodat për llogaritjen e faktorëve të pandryshueshëm është zvogëlimi i matricës së dhënë në formën kanonike.
Pra, për matricën e shembullit të mëparshëm, faktorët invariant janë
, , 
, .
Nga sa u tha del se prania e të njëjtit grup faktorësh invariant është kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për ekuivalencën e -matricave.
Reduktimi i -matricave në formën kanonike reduktohet në përcaktimin e faktorëve të pandryshueshëm
, ; ,
ku r është rangu i matricës; - pjesëtuesi më i madh i përbashkët i minorave të rendit k-të, i marrë me koeficientin më të lartë të barabartë me 1.
Shembull. Le - matricë
.
Zgjidhje. Natyrisht, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i rendit të parë, d.m.th. .
Ne përcaktojmë të miturit e rendit të dytë:
 ,
|  | etj. |
Tashmë këto të dhëna janë të mjaftueshme për të nxjerrë një përfundim: prandaj, .
Ne përcaktojmë
,
Prandaj, 
.
Kështu, forma kanonike e kësaj matrice është matrica e mëposhtme:
.
Një polinom matricë është një shprehje e formës
ku është një ndryshore; - matricat katrore të rendit n me elemente numerike.
Nëse , atëherë S quhet shkalla e polinomit të matricës, n është rendi i polinomit të matricës.
Çdo matricë kuadratike mund të përfaqësohet si një polinom matricë. Natyrisht, pohimi i kundërt është gjithashtu i vërtetë, d.m.th. çdo polinom i matricës mund të paraqitet si një matricë katrore.
Vlefshmëria e këtyre deklaratave rrjedh qartë nga vetitë e operacioneve mbi matricat. Le të shohim shembujt e mëposhtëm:
Shembull. Paraqitni një matricë polinomiale
në formën e një polinomi matricë mund të jetë si më poshtë
.
Shembull. Polinom i matricës
mund të përfaqësohet si matrica polinomiale e mëposhtme ( -matricë)
.
Kjo këmbyeshmëri e polinomeve të matricës dhe matricave polinomiale luan një rol thelbësor në aparatin matematikor të metodave të analizës së faktorëve dhe komponentëve.
Polinomet matricë të të njëjtit rend mund të shtohen, zbriten dhe shumëzohen në të njëjtën mënyrë si polinomet e zakonshëm me koeficientë numerikë. Sidoqoftë, duhet mbajtur mend se shumëzimi i polinomeve të matricës, në përgjithësi, nuk është komutativ, pasi Shumëzimi i matricës nuk është komutativ.
Dy polinome matricë quhen të barabartë nëse koeficientët e tyre janë të barabartë, d.m.th. matricat përkatëse për të njëjtat fuqi të ndryshores .
Shuma (diferenca) e dy polinomeve të matricës është një polinom matricë koeficienti i të cilit në secilën shkallë të ndryshores është i barabartë me shumën (diferencën) e koeficientëve në të njëjtën shkallë në polinomet dhe .
Për të shumëzuar një polinom matricë me një polinom matricë, duhet të shumëzoni çdo term të polinomit të matricës me çdo term të polinomit të matricës, të shtoni produktet që rezultojnë dhe të sillni terma të ngjashëm.
Shkalla e një polinomi të matricës është një produkt më i vogël ose i barabartë me shumën e shkallëve të faktorëve.
Veprimet në polinomet e matricës mund të kryhen duke përdorur veprime në -matricat përkatëse.
Për të mbledhur (zbritur) polinomet e matricës, mjafton të mblidhen (zbresim) matricat përkatëse. E njëjta gjë vlen edhe për shumëzimin. -Matrica e prodhimit të polinomeve të matricës është e barabartë me prodhimin e -matricave të faktorëve.
 |  |
Nga ana tjetër, dhe mund të shkruhet në formë
ku B 0 është një matricë josingulare.
Kur pjesëtohet me, ka një koeficient të drejtë të përcaktuar në mënyrë unike dhe një mbetje të drejtë
ku shkalla R 1 është më e vogël se shkalla , ose (pjestimi pa mbetje), si dhe herësi i majtë dhe mbetja e majtë nëse dhe vetëm nëse, ku, rendit
Një sistem vektorësh të të njëjtit rend quhet i varur linearisht nëse vektori zero mund të merret nga këta vektorë me një kombinim të përshtatshëm linear. (Në këtë rast, nuk lejohet që të gjithë koeficientët e një kombinimi linear të jenë të barabartë me zero, pasi kjo do të ishte e parëndësishme.) Përndryshe, vektorët quhen linearisht të pavarur. Për shembull, tre vektorët e mëposhtëm:
janë të varura në mënyrë lineare, pasi kontrollohet lehtë. Në rastin e një varësie lineare, çdo vektor mund të shprehet gjithmonë në terma të një kombinimi linear të vektorëve të mbetur. Në shembullin tonë: ose ose Kjo mund të kontrollohet lehtësisht nga llogaritjet e duhura. Kjo nënkupton përkufizimin e mëposhtëm: një vektor është linearisht i pavarur nga vektorët e tjerë nëse nuk mund të përfaqësohet si një kombinim linear i këtyre vektorëve.
Konsideroni një sistem vektorësh pa specifikuar nëse ai është i varur në mënyrë lineare apo i pavarur në mënyrë lineare. Për çdo sistem të përbërë nga vektorë të kolonës a, është e mundur të identifikohet numri maksimal i mundshëm i vektorëve linearisht të pavarur. Ky numër, i shënuar me shkronjën , është rangu i sistemit të dhënë të vektorëve. Meqenëse çdo matricë mund të shihet si një sistem vektorësh kolonash, rangu i një matrice përcaktohet si numri maksimal i vektorëve të kolonës linearisht të pavarur që ajo përmban. Vektorët e rreshtave përdoren gjithashtu për të përcaktuar rangun e një matrice. Të dyja metodat japin të njëjtin rezultat për të njëjtën matricë, dhe ajo nuk mund të kalojë më të voglin e ose Rangu i një matrice të rendit katror varion nga 0 në . Nëse të gjithë vektorët janë zero, atëherë rangu i një matrice të tillë është zero. Nëse të gjithë vektorët janë linearisht të pavarur nga njëri-tjetri, atëherë rangu i matricës është i barabartë. Nëse formoni një matricë nga vektorët e mësipërm, atëherë rangu i kësaj matrice është . Meqenëse çdo dy vektorë mund të reduktohen në një të tretën nga një kombinim linear, atëherë renditja është më e vogël se 3.
Por dikush mund të verifikojë se çdo dy prej tyre janë linearisht të pavarur, pra renditja
Një matricë katrore thuhet se është e degjeneruar nëse vektorët e kolonës së saj ose vektorët e rreshtave janë të varur në mënyrë lineare. Përcaktori i një matrice të tillë është i barabartë me zero dhe nuk ka matricë të kundërt me të, siç u përmend më lart. Këto përfundime janë ekuivalente me njëra-tjetrën. Si rezultat, një matricë katrore quhet jo njëjës, ose jo njëjës, nëse vektorët e saj të kolonës ose të rreshtave janë të pavarur nga njëri-tjetri. Përcaktori i një matrice të tillë nuk është i barabartë me zero dhe matrica e saj e kundërt ekziston (krh. fq. 43)
Rangu i një matrice ka një interpretim mjaft të qartë gjeometrik. Nëse rangu i matricës është, atëherë themi se hapësira -dimensionale shtrihet nga vektorë. Nëse rangu, atëherë i vektorëve qëndron në nënhapësirën -dimensionale që i përfshin të gjithë ata. Pra, rangu i matricës korrespondon me dimensionin minimal të kërkuar të hapësirës "e cila përmban të gjithë vektorët", -nënhapësira dimensionale në hapësirën -dimensionale quhet -hiperplani dimensional. Rangu i matricës korrespondon me dimensionin më të vogël të hiperplanit në të cilin ende qëndrojnë të gjithë vektorët.
Ortogonaliteti. Dy vektorë a dhe b quhen reciprokisht ortogonalë nëse produkti i tyre skalar është i barabartë me zero. Nëse barazia vlen për matricën e rendit ku D është një matricë diagonale, atëherë vektorët e kolonës së matricës A janë dyshe reciprokisht ortogonale. Nëse këta vektorë kolonash normalizohen, d.m.th., reduktohen në një gjatësi të barabartë me 1, atëherë barazia bëhet dhe dikush flet për vektorë ortonormalë. Nëse B është një matricë katrore dhe barazia vlen, atëherë B quhet matricë ortogonale. Në këtë rast, nga formula (1.22) rrjedh se matrica ortogonale është gjithmonë josingulare. Prandaj, ortogonaliteti i një matrice nënkupton pavarësinë lineare të vektorëve të rreshtave ose vektorëve kolonë. E kundërta nuk është e vërtetë: pavarësia lineare e një sistemi vektorësh nuk nënkupton ortogonalitetin çift të këtyre vektorëve.
