1.2 Спектральные характеристики сигналов
Сигналы, используемые в радиотехнике, имеют достаточно сложную структуру. Математическое описание таких сигналов является трудной задачей. Поэтому для упрощения процедуры анализа сигналов и прохождения их через радиотехнические цепи используют прием, предусматривающий разложение сложных сигналов на совокупность идеализированных математических моделей, описываемых элементарными функциями.
Гармонический спектральных анализ периодических сигналов предполагает разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям – синусам и косинусам. Эти функции описывают гармонические колебания, которые сохраняют свою форму в процессе преобразования линейными устройствами (изменяются только амплитуда и фазы), что позволяет использовать теорию колебательных систем для анализа свойств радиотехнических цепей.
Ряд Фурье можно представить в виде
Практическое применение имеет другая форма записи ряда Фурье
где – амплитудный спектр;
– фазовый спектр.
Комплексная форма ряда Фурье
Представленные выше формулы используются для получение спектральной характеристики периодического сигнала. Для получения спектра непериодического сигнала используются преобразования Фурье.
Прямое преобразование Фурье
Обратное преобразование Фурье
Выражения (1.5), (1.6) являются основными соотношениями для получения спектральных характеристик.
1.3 Свойства преобразования Фурье
Формулы прямого и обратного преобразования Фурье позволяют по сигналу s(t) определить его спектральную плотность S(jω) и, если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности S(jω) определить сигнал s(t). Для обозначения этого соответствия между сигналом и его спектром применяется символ s(t)↔ S(jω).
С помощью свойств преобразований Фурье можно определить спектр измененного сигнала, преобразуя спектр первоначального сигнала.
Основные свойства:
1. Линейность
s 1 (t)↔ S 1 (jω)
s n (t)↔ S n (jω)
_____________________
Воспользуемся прямым преобразованием Фурье
Окончательный результат
Вывод: прямое преобразование Фурье, является линейной операцией, обладает свойствами однородности и аддитивности. Поэтому спектр суммы сигналов равен сумме спектров.
2. Спектр сигнала, сдвинутого во времени
s(t±t 0)↔ S c (jω)
Окончательный результат
Вывод: сдвиг сигнала во времени на величину ±t 0 приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину ±ωt 0 . Амплитудный спектр не изменяется.
3. Изменение масштаба во времени
s(αt)↔ S м (jω)
Окончательный результат
Вывод: при сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот при пропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.
4. Спектр производной
ds(t)/dt↔ S п (jω).
Для определения спектра производной сигнала возьмем производную по времени от правой и левой части обратного преобразования Фурье:
Окончательный результат
Вывод: спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω>0 и равная -π/2 при ω
5. Спектр интеграла
Возьмем интеграл от правой и левой части обратного преобразования Фурье
Сравнивая результат с обратным преобразованием Фурье, получаем
Окончательный результат
Вывод: спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен спектру исходного сигнала, деленному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовом характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω 0.
6. Спектр произведения двух сигналов
s 1 (t)↔ S 1 (jω)
s 2 (t)↔ S 2 (jω)
s 1 (t) s 2 (t)↔ S пр (jω).
Найдем спектр произведения двух сигналов с помощью обратного преобразования Фурье
Окончательный результат
Вывод: Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, умноженной на коэффициент 1/(2π).
В ходе расчета спектров сигнала будут использованы свойства линейности и интеграла сигнала.
1 .4 Классификация и свойства радиотехнических цепей
В теоретических основах радиотехники большое место занимают методы анализа и синтеза различных радиотехнических цепей. При этом под радиотехнической цепью понимают совокупность соединенных определенным образом пассивных и активных элементов, обеспечивающих прохождение и функциональное преобразование сигналов. Пассивные элементы – это резисторы, емкости, катушки индуктивности и средства их соединения. Активные элементы – это транзисторы, электронные лампы, источники питания и другие элементы, способные вырабатывать энергию, увеличивать мощность сигнала. Если возникает потребность подчеркнуть функциональное назначение цепи, то вместо термина цепь используется термин устройство. Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В процессе их разработки и аналитического исследования используют различные математические модели, удовлетворяющие требованиям адекватности и простоты. В общем случае любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала x(t) в выходной y(t), которое символически можно представить в виде
где T – оператор, указывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала.
Таким образом, в качестве математической модели радиотехнической цепи может служить совокупность оператора T и двух множеств X = {}, Y = {} сигналов на входе и выходе цепи так, что
По виду преобразования входных сигналов в выходные, т.е. по виду оператора T, производят классификацию радиотехнических цепей.
1. Радиотехническая цепь является линейной, если оператор T таков, что цепь удовлетворяет условиям аддитивности и однородности.
Характерно, что линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, т.е. линейное преобразование не приводит к обогащению спектра сигнала.
2. Радиотехническая цепь является нелинейной, если оператор T не обеспечивает выполнения условий аддитивности и однородности. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями, хотя бы один коэффициент которых является функцией входного сигнала или его производных. Нелинейные цепи не удовлетворяют принципу суперпозиции. При анализе прохождения сигналов через нелинейную цепь результат определяется как отклик на сигнал как таковой. Его нельзя разлагать на более простые сигналы. В то же время нелинейные цепи обладают очень важным свойством – обогащать спектр сигнала. Это значит, что при нелинейных преобразованиях в спектре выходного сигнала появляются гармонические составляющие с частотами, которых не было в спектре входного сигнала. Возможно появление также составляющих с частотами, равными комбинации частот гармонических составляющих спектра входного сигнала. Это свойство нелинейных цепей обусловило их применение для решения широкого класса задач, связанных с генерацией и преобразованием сигналов. Структурно линейные цепи содержат только линейные элементы, к числу которых относятся и нелинейные элементы, работающие в линейном режиме (на линейных участках своих характеристик). Линейные цепи – это усилители, работающие в линейном режиме, фильтры, длинные линии, линии задержки и др. Нелинейные цепи содержат один или несколько нелинейных элементов. К числу нелинейных цепей относятся генераторы, детекторы, модуляторы, умножители и преобразователи частоты, ограничители и др.
Для упрощения методов решения задач анализа цепей, сигналы представляют в виде суммы определенных функций.
Этот процесс обосновывается понятием обобщенного ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:
Для определения умножим левую и правую части ряда на и возьмем интеграл от левой и правой части:
для интервала в котором выполняются условия ортогональности.
Видно, что.Получили выражение для обобщенного ряда Фурье:
Выделим конкретный вид функции, для разложения в ряд сигнала. В качестве такой функции выберем ортогональную систему функций:
Для определения ряда вычислим значение:
Таким образом, получим:
Графически данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных гармонических составляющих.
Полученное выражение можно представить в виде:
Получили вторую форму записи тригонометрического ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.
Найдем комплексную форму ряда Фурье, для этого воспользуемся формулами Эйлера:
Графически спектр в этой форме представлен на оси частот в диапазоне.
Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или амплитудной форме - дискретный. Это значит, что в спектре имеются составляющие с частотами
Спектральные характеристики непериодического сигнала
Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают одиночный сигнал, то для нахождения его спектра представим сигнал как периодический с периодом. Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для:
Анализ полученного выражения показывает, что при амплитуды составляющих становятся бесконечно малыми и на оси частот они расположены непрерывно. Тогда, что б выйти из этого положения воспользуемся понятием спектральной плотности:
Подставим полученное выражение в комплексный ряд Фурье, получим:
Окончательно получим:
Здесь - спектральная плотность, а само выражение - прямое преобразование Фурье. Для определения сигнала по его спектру используют обратное преобразование Фурье:
Свойства преобразования Фурье
Из формул прямого и обратного преобразований Фурье, очевидно, что если изменится сигнал, то изменится и его спектр. Следующие свойства устанавливают зависимость спектра измененного сигнала, от спектра сигнала до изменений.
1) Свойство линейности преобразования Фурье
Получили, что спектр суммы сигналов равен сумме их спектров.
2) Спектр сигнала сдвинутого во времени
Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину
3) Изменение масштаба времени
т.е при расширении(сужении) сигнала в несколько раз спектр этого сигнала сужается(расширяется).
4) Спектр смещения
5) Спектр производной от сигнала
Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье.
Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала умноженного на, то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на.
6) Спектр интеграла сигнала
Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье.
Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала деленного на,
7) Спектр произведения двух сигналов
Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент
8) Свойство дуальности
Таким образом, если к какому-то сигналу соответствует спектр, то сигналу по форме совпадающему с вышеуказанным спектром соответствует спектр по форме совпадающий с вышеуказанным сигналом.
Форма амплитудно-частотной характеристики есть не что иное как спектральное изображение затухающего синусоидального сигнала. Кроме того, как известно, подобную форму имеет амплитудно-частотная проходная характеристика одиночного электрического колебательного контура.
Зависимость между формой амплитудно-частотной характеристики тех или иных устройств и свойствами сигнала изучают в основах теоретической электротехники и теоретической радиотехники. Вкратце, то, что нас сейчас должно интересовать из этого, заключается в следующем.
Амплитудно-частотная характеристика колебательного контура по очертаниям совпадает с изображением частотного спектра сигнала, который возникает при ударном возбуждении этого колебательного контура. Для иллюстрации этого момента приведен рис.1-3, на котором изображена затухающая синусоида, которая возникает при ударном воздействии на колебательный контур. Этот сигнал приведен во временно м (а ) и спектральном (b ) изображении.
Рис. 1-3
Согласно разделу математики, называемому спектрально-времен-ными преобразованиями, спектральное и временное изображение одного и того же изменяющегося во времени процесса являются как бы синонимами, они эквивалентны и идентичны друг другу. Это можно сравнить с переводом одного и того же понятия с одного языка на другой. Любой человек, знакомый с этим разделом математики, скажет, что рисунки 1-3а и 1-3b эквивалентны друг другу. Кроме того, спектральное изображение этого сигнала, полученного при ударном возбуждении колебательной системы (колебательного контура) одновременно является геометрически подобным амплитудно-частотной характеристике этого самого контура.
Нетрудно заметить, что график (b ) на рис.1-3 геометрически подобен графику 3 на рис.1-1. То есть, увидев, что в результате измерений был получен график 3 , я сразу отнесся к нему не просто как к амплитудно-частотной характеристике затухания звука в породах кровли, но и как к свидетельству наличия в породной толще колебательной системы.
С одной стороны, наличие колебательных систем в горных породах, залегающих в кровле подземной выработки у меня не вызвало никаких вопросов, потому что другими способами получить синусоидальный (или, иначе говоря, гармонический) сигнал невозможно. С другой стороны, о наличии колебательных систем в земной толще я никогда раньше не слышал.
Для начала, напомним определение колебательной системы. Колебательная система - это объект, который на ударное (импульсное) воздействие реагирует затухающим гармоническим сигналом. Или, иначе говоря, это объект, обладающий механизмом преобразования импульса (удара) в синусоиду.
Параметры затухающего синусоидального сигнала - это частота f 0 и добротность Q , величина которой обратно пропорциональна коэффициенту затухания. Как видно из рис.1-3, оба эти параметра могут быть определены как из временного, так и из спектрального изображения этого сигнала.
Спектрально-временные преобразования - самостоятельный раздел математики, и один из выводов, который мы должны сделать из знания этого раздела, а также из формы амплитудно-частотной характеристики звукопроводности породного массива, изображенной на рис.1-1 (кривая 3), состоит в том, что по акустическим свойствам исследуемый породный массив проявил свойство колебательной системы.
Этот вывод является совершенно очевидным для любого, кто знаком со спектрально-временными преобразованиями, но категорически неприемлем для тех, кто профессионально занимается акустикой твердых сред, сейсморазведкой или вообще геофизикой. Так сложилось, что в курсе обучения студентов этих специальностей этот материал не дают.
Как известно, в сейсморазведке принято считать, что единственным механизмом, обуславливающим форму сейсмосигнала, является распространение поля упругих колебаний по законам геометрической оптики, отражение его от залегающих в земной толще границ и интерференция между отдельными составляющими сигнала. Считается, что форма сейсмосигналов обусловлена характером интерференции между множеством мелких эхо-сигналов, то есть отражений от множества мелких, залегающих в горном массиве границ. Кроме того, считается, что с помощью интерференции можно получить сигнал любой формы.
Да, это всё так, но в том-то и дело, что гармонический (в том числе, и гармонический затухающий) сигнал является исключением. Его интерференцией получить невозможно.
Синусоида - это элементарный информационный кирпичик, не подлежащий разложению на более простые составляющие, потому что проще, чем синусоида, сигнала в природе не существует. Именно поэтому, кстати, ряд Фурье - это совокупность именно синусоидальных членов. Будучи элементарным, неделимым информационным элементом, синусоида не может быть получена путем сложения (интерференции) каких бы то ни было других, еще более простых составляющих.
Получить гармонический сигнал можно одним-единственным путем - а именно, воздействием на колебательную систему. При ударном (импульсном) воздействии на колебательную систему возникает затухающая синусоида, а при периодическом или шумовом воздействии - незатухающая синусоида. А следовательно, увидев, что амплитудно-частотная характеристика некоего объекта геометрически подобна спектральному изображению гармонического затухающего сигнала, уже нельзя относиться к этому объекту иначе, как к колебательной системе.
Перед тем как проводить первые свои измерения в шахте, я, как и все остальные люди, функционирующие в области акустики твердых сред и сейсморазведки, был убежден, что никаких колебательных систем в породном массиве нет и быть не может. Однако обнаружив такую амплитудно-частотную характеристику затухания, я уже просто не имел права оставаться при этом мнении.
Проведение измерений, аналогичных описанным выше, весьма трудоемко, и обработка результатов этих измерений занимает много времени. Поэтому, увидев, что по характеру звукопроводности породный массив является колебательной системой, я понял, что следует использовать другую схему измерений, которую применяют при исследовании колебательных систем, и которую мы используем и по сей день. По этой схеме, источником зондирующего сигнала служит импульсное (ударное) воздействие на горный массив, а приемником - сейсмоприемник, специально предназначенный для проведения спектрально-сейсморазведочных измерений. Схема индикации и обработки сейсмосигнала позволяет наблюдать его как во временном, так и в спектральном виде.
Применив эту схему измерений в той же точке подземной выработки, что и при первом нашем измерении, мы убедились в том, что при ударном воздействии на породный массив кровли, сигнал, возникающий при этом, действительно имеет вид затухающей синусоиды, подобный показанному на рис.1-3a , а спектральное изображение ее подобно графику, показанному на рис.1-3b .
Чаще всего бывает, что сейсмосигнал содержит не одну, а несколько гармонических составляющих. Однако сколько бы ни было гармонических составляющих, они все возникают исключительно вследствие наличия соответствующего количества колебательных систем.
Многократные исследования сейсмосигналов, полученных в самых различных условиях - и в подземных выработках, и на земной поверхности, и в условиях осадочного чехла, и при исследовании пород кристаллического фундамента - показали, что во всех возможных случаях сигналов, полученных не в результате наличия колебательных систем, а в результате интерференционных процессов, не существует.
Фурье-изображения - комплексные коэффициенты ряда Фурье F (j w k ) периодического сигнала (1) и спектральная плотность F (j w) непериодического сигнала (2) - обладают рядом общих свойств.
1. Линейность . Интегралы (1) и (2) осуществляют линейное преобразование функции f (t ). Поэтому Фурье-изображение линейной комбинации функций равно аналогичной линейной комбинации их изображений. Если f (t ) = a 1 f 1 (t ) + a 2 f 2 (t ), то F (j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), где F 1 (j w) и F 2 (j w) - Фурье-изображения сигналов f 1 (t ) и f 2 (t ), соответственно.
2. Задержка (изменение начала отсчета времени для периодических функций). Рассмотрим сигнал f 2 (t ), задержанный на время t 0 относительно сигнала f 1 (t ), имеющего такую же форму: f 2 (t ) = f 1 (t – t 0). Если сигнал f 1 имеет изображение F 1 (j w), то Фурье-изображение сигнала f 2 равно F 2 (j w) = = . Домножив и разделив на , сгруппируем члены следующим образом:
Поскольку последний интеграл равен F 1 (j w), то F 2 (j w) = e -j wt 0 F 1 (j w). Таким образом, при задержке сигнала на время t 0 (изменении начала отсчета времени) модуль его спектральной плотности не изменяется, а аргумент уменьшается на величину wt 0 , пропорциональную времени задержки. Поэтому амплитуды спектра сигнала не зависят от начала отсчета, а начальные фазы при задержке на t 0 уменьшаются на wt 0 .
3. Симметрия . Для действительного f (t ) изображение F (j w) обладает сопряженной симметрией: F (– j w) = . Если f (t ) - четная функция, то Im F (j w) = 0; для нечетной функции Re F (j w) = 0. Модуль |F (j w)| и вещественная часть Re F (j w) - четные функции частоты, аргумент arg F (j w) и Im F (j w) - нечетные.
4. Дифференцирование . Из формулы прямого преобразования, интегрируя по частям, получим связь изображения производной сигнала f (t ) с изображением самого сигнала
Для абсолютно интегрируемой функции f (t ) внеинтегральный член равен нулю, и, следовательно, при , а последний интеграл представляет Фурье-изображение исходного сигнала F (j w). Поэтому Фурье-изображение производной df /dt связано с изображением самого сигнала соотношением j wF (j w) - при дифференцировании сигнала его Фурье-изображение умножается на j w. Это же соотношение справедливо и для коэффициентов F (j w k ), которые определяются интегрированием в конечных пределах от – T /2 до + T /2. Действительно, произведение в соответствующих пределах
Поскольку вследствие периодичности функции f (T /2) = f (– T /2), а = = = (– 1) k , то и в этом случае внеинтегральный член пропадает, и справедлива формула
где стрелкой символически обозначена операция прямого преобразования Фурье. Это соотношение обобщается и на многократное дифференцирование: для n -й производной имеем: d n f /dt n (j w) n F (j w).
Полученные формулы позволяют найти Фурье-изображение производных функции по ее известному спектру. Эти формулы удобно также применять в случаях, когда в результате дифференцирования приходим к функции, Фурье-изображение которой вычисляется более просто. Так, если f (t ) - кусочно-линейная функция, то ее производная df /dt - кусочно-постоянная, и для нее интеграл прямого преобразования находится элементарно. Для получения спектральных характеристик интеграла функции f (t ) ее изображение следует разделить на j w.
5. Дуальность времени и частоты . Сопоставление интегралов прямого и обратного преобразований Фурье приводит к выводу о их своеобразной симметрии, которая становится более очевидной, если формулу обратного преобразования переписать, перенося множитель 2p в левую часть равенства:
Для сигнала f (t ), являющегося четной функцией времени f (– t ) = f (t ), когда спектральная плотность F (j w) - вещественная величина F (j w) = F (w), оба интеграла можно переписать в тригонометрической форме косинус-преобразования Фурье:
При взаимной замене t и w интегралы прямого и обратного преобразований переходят друг в друга. Отсюда следует, что если F (w) представляет спектральную плотность четной функции времени f (t ), то функция 2pf (w) является спектральной плотностью сигнала F (t ). Для нечетных функций f (t ) [f (t ) = – f (t )] спектральная плотность F (j w) чисто мнимая [F (j w) = jF (w)]. Интегралы Фурье в этом случае приводятся к виду синус-преобразований, из которых следует, что если спектральная плотность jF (w) соответствует нечетной функции f (t ), то величина j 2pf (w) представляет спектральную плотность сигнала F (t ). Таким образом, графики временной зависимости сигналов указанных классов и его спектральной плотности дуальны друг другу.
Интеграл (1)
Интеграл (2)
В радиотехнике широко используется спектральное и временное представление сигналов. Хотя сигналы по своей природе являются случайными процессами, однако, отдельные реализации случайного процесса и некоторые специальные (например, измерительные) сигналы можно считать детерминированными (то есть известными) функциями. Последние принято делить на периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов не существует. Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию
на интервале времени ,где Т - постоянная величина, называемая периодом, а k-любое целое число.
Простейшим примером периодического сигнала является гармоническое колебание (или коротко гармоника).
где - амплитуда, = - частота, - круговая частота, - начальная фаза гармоники.
Важное значение понятия гармоники для теории и практики радиотехники объясняется рядом причин:
- гармонические сигналы сохраняют свою форму и частоту при прохождении через стационарные линейные электрические цепи (например, фильтры), меняя лишь амплитуду и фазу;
- гармонические сигналы достаточно просто вырабатываются (например, при помощи автогенераторов LC).
Непериодическим сигналом называется сигнал, который отличен от нуля на конечном интервале времени. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из основных характеристик непериодического сигнала является его спектр. Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала, от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частоты гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Для непериодического сигнала спектр - это прямое преобразование Фурье сигнала. Итак, спектр периодического сигнала - это дискретный спектр (дискретная функция частоты), в то время как для непериодического сигнала характерен сплошной спектр (непрерывный) спектр.
Обратим внимание на то, что дискретный и непрерывный спектры имеют разные размерности. Дискретный спектр имеет ту же размерность, что и сигнал, в то время как размерность непрерывного спектра равна отношению размерности сигнала к размерности частоты. Если, например, сигнал представлен электрическим напряжением, то дискретный спектр будет измеряться в вольтах [B], а непрерывный - в вольт на герц [ B/Гц]. Поэтому для непрерывного спектра употребляют также термин "спектральная плотность".
Рассмотрим сначала спектральное представление периодических сигналов. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле (одним из необходимых является условие, чтобы энергия была конечной), можно представить рядом Фурье в тригонометрической форме:
где определяет среднее значение сигнала за период и называется постоянной составляющей. Частота называется основной частотой сигнала (частота первой гармоники), а кратные ей частоты - высшими гармониками. Выражение (3) можно представить в виде:
Обратные зависимости для коэффициентов а и b имеют вид
На рисунке 1 приведен типичный вид графика спектра амплитуд периодического сигнала для тригонометрической формы ряда (6):
С использованием выражения (формула Эйлера).
вместо (6) можно записать комплексную форму ряда Фурье:
где коэффициент называются комплексными амплитудами гармоник, значения которых, как следует из (4) и формулы Эйлера, определяется выражением:
Сравнивая (6) и (9), замечаем, что при использовании комплексной формы записи ряда Фурье отрицательные значения k позволяют говорить о составляющих с "отрицательными частотами". Однако, появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала.
Тогда вместо (9) получим:
имеет размерность [амплитуда/герц] и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на полосу в 1 Герц. Поэтому эта непрерывная функция частоты S(jw) называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью. Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выражения (10) и (11) замечаем, что при w=kwo они отличаются лишь постоянным множителем, а
т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определить по спектральной характеристике непериодической функции такой же формы, заданной в интервале . Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:
Из этого соотношения следует, что огибающая сплошного амплитудного спектра непериодического сигнала и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодического сигнала совпадают по форме и отличаются лишь масштабом. Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Умножая обе части неравенства (14) на s(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим:
где S(jw) и S(-jw) - комплексно-сопряженные величины. Так как
Это выражение называется равенством Парсеваля для непериодического сигнала. Оно определяет полную энергию сигнала. Отсюда следует, что есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1 Гц полосы частот около частоты w. Поэтому функцию иногда называют спектральной плотностью энергии сигнала s(t). Приведем теперь без доказательства несколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.
С помощью спектральных характеристик оценивают внутренний состав (спектр) сигнала. Для этого сигнал x(t) представляют в форме обобщенного ряда Фурье, раскладывая его по системе базисных функций Т k (t)
где С к - постоянные коэффициенты, отражающие вклад функции Ч^(?) в формирование значений сигнала на рассматриваемом промежутке времени.
Возможность представления сложного сигнала x(t) в виде суммы простых сигналов "РДО оказывается особенно важной для линейных динамических систем. В таких системах выполняется принцип суперпозиции , т.е. их реакция на сумму воздействий (сигналов) равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Поэтому, зная реакцию линейной системы на простой сигнал, можно, суммируя результаты, определить ее реакцию на любой другой сложный сигнал.
Выбор функций У k (t) подчиняют требованиям максимальной точности приближения сигнала х(t) рядом (7.21) при минимальном числе членов этого ряда и, по возможности, снижению вычислительных трудностей, возникающих при определении коэффициентов ряда С к.
В качестве базисных функций наиболее широкое применение получили вещественные тригонометрические функции
и комплексные экспоненциальные функции
На них строится классический спектральный анализ сигналов. Вместе с тем возможно применение других систем базисных функций (функций Тейлора, Уолша, Лагерра, Эрмита, Лежандра, Чебышева, Котельникова и др. 121), что в ряде случаев позволяет, учитывая специфику приближаемой функции x(t), сократить число членов ряда (7.21) при сохранении заданной погрешности приближения.
В последние годы появилась новая, весьма перспективная система базисных функций, называемых вейвлетами. В отличие от гармонических функций, они способны, изменяя свою форму и свойства, адаптироваться к локальным особенностям приближаемого сигнала. В результате становится возможным простое представление сложных сигналов (в том числе с локальными скачками и разрывами) наборами вейвлетов того или иного типа .
При использовании тригонометрических базисных функций (7.22), ряд (7.21) приобретает форму классического тригонометрического ряда Фурье
где Q = 2п/Т - частота основной гармоники ряда (Г - период сигнала); к = 1, 2, 3,... - целое число; ak, bk - действительные числа (коэффициенты Фурье), вычисляемые но формулам
В этих формулах, как и прежде (см. (7.20)), t 0 - произвольное число, которое можно выбирать из соображений удобства вычисления интегралов (7.25), так как значения этих интегралов от величины t 0 не зависят; x T (t) - базовый импульс сигнала (см. рис. 7.3, в).
Коэффициент а 0 определяет удвоенное среднее (за период) значение сигнала, остальные коэффициенты a k > b k {k = 1, 2, 3, ...) - вклад к -й гармоники ряда Фурье (7.24) в формирование мгновенных значений сигнала х(?).
Тригонометрический ряд Фурье (7.24) можно записать в двух других формах: в форме разложения по синусам
и в форме разложения по косинусам
где Л 0 /2 = а 0 /2 - постоянная составляющая сигнала; A k - амплитуда k-и гармоники ряда, вычисляемая по формуле
Начальные фазы этих гармоник вычисляются из соотношений
Совокупность амплитуд гармонических составляющих периодического сигнала {А к }°? ={ называется амплитудным спектром этого сигнала. Совокупность начальных фаз этих составляющих {ф/^}^ =1 - фазовым спектром сигнала.
Используя 5-функцию Дирака 8(?), оба спектра можно представить решетчатыми функциями частоты
т.с. амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются дискретными спектрами. Это отличает периодический сигнал от других сигналов, обладающих сплошными спектрами.
Таким образом, периодический сигнал можно представить в виде суммы гармоник (7.24). При этом частота каждой гармонической составляющей ряда Фурье кратна частоте основной гармоники?2, зависящей от периода сигнала Т.
Чем больше таких гармоник, тем меньше погрешность приближения функции x(t) конечной суммой ряда Фурье (7.24). Исключением являются точки разрыва непрерывности функции x(i). В окрестности таких точек проявляется так называемое явление Гиббса |2|. Согласно этому явлению в окрестностях точек разрыва конечные суммы ряда Фурье
образуют осциллирующие «хвосты», высота которых не уменьшается с ростом числа учитываемых гармоник ряда Фурье N - она составляет примерно 9% от величины скачка функции x{t) в точке разрыва.
Для вычисления амплитуды и начальной фазы &-й гармоники периодического сигнала можно вместо формул (7.28) и (7.29) использовать формулы
где Х т = Х т (р) = L{x T (t)} индекс Т переменной х - изображение по Лапласу базового импульса сигнала, определяемое по формуле (см. приложение 2)
i - мнимая единица; & = 0,1,2,... - положительное целое число. Использование этих формул исключает необходимость вычисления интегралов (7.25), что значительно упрощает расчеты. Покажем пример такого расчета.
Пример 7.1
Определить амплитудный спектр периодического сигнала Решение
На рис. 7.3, а
, показан график такого сигнала. Видно, что сигнал имеет период Т
= я. Следовательно, частота основной гармоники соответствующего ряда Фурье (7.24) равна Q = 2п/Т =
2 с -1 . Принимая t 0
= 0, x T (t) =
sin? (для 0 t
Рис. 73.
а - форма сигнала; б - амплитудный спектр сигнала
Следовательно, А 0 /2 = 2/п, A k = 4/я(4& 2 - 1), щ = л, где k = 1,2, 3,т.е. разложение функции |sin(?)| в тригонометрический ряд Фурье имеет вид
Примечание: здесь принято ф/, = л (а нс у к = 0) из-за использования знака «минус» перед суммой гармоник ряда.
На рис. 7.3, б показан амплитудный спектр рассматриваемого сигнала. Значение амплитуды?-й гармоники ряда А к представлено вертикальным отрезком соответствующей длины, в основании которого указан номер гармоники.
Следует иметь в виду, что амплитуды А к некоторых гармоник ряда Фурье могут быть равны нулю. Кроме того, необязательным является монотонное уменьшение амплитуд этих гармоник с ростом номера гармоники, как это имеет место на рис. 7.3, б.
Однако во всех случаях должно выполняться условие lim А к = 0, вытекающее из тре-
бования сходимости ряда Фурье.
Решим задачу с использованием формул (7.32). Для этого сначала найдем изображение по Лапласу базового импульса сигнала x T (t )
Подставляя сюда p = ikQ = 2ik (где i - мнимая единица, k = 1, 2, 3,...), получим что совпадает с прежними результатами.
В технических приложениях часто пользуются комплексной формой записи ряда Фурье
В этом случае в качестве базисных функций используются комплексные экспоненциальные функции (7.23). Поэтому коэффициенты С п ряда (7.36) становятся комплексными . Они вычисляются по формуле
где, как и в формуле (7.6), индексная переменная п может быть как положительным, так и отрицательным целым числом.
При использовании комплексной формы ряда Фурье (7.36) спектром амплитуд периодического сигнала x(t) называют множество абсолютных величин комплексных коэффициентов Фурье С п
а спектром фаз - множество главных аргументов этих коэффициентов
Множество величин {С% }^ > = _ называется спектром мощности периодического сигнала, а множество комплексных чисел {С п - спектральной последовательностью периодического сигнала. Именно эти три характеристики (спектр амплитуд, спектр фаз и спектр мощности) относятся к основным спектральным характеристикам периодического сигнала.
В отличие от амплитудного и фазового спектров периодического сигнала, представленного в форме тригонометрического ряда Фурье (7.24), спектры того же сигнала, построенные с использованием комплексных коэффициентов Фурье (7.37), оказываются двухсторонними. Это является следствием наличия в (7.36) «отрицательных частот» пО. (для отрицательных значений п). Последние, разумеется, не существуют в реальности. Они только отражают используемое при формировании комплексного ряда Фурье представление экспоненциальной гармонической функции е~ т в виде единичного вектора, вращающегося по часовой стрелке с угловой скоростью со.
Если существует изображение по Лапласу базового импульса периодического сигнала Х Т (р) = L{x T (t)}, то спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала можно вычислять по формулам
Известны и успешно применяются на практике алгоритмы так называемого быстрого преобразования Фурье , благодаря которым удается настолько снизить время вычисления коэффициентов Фурье, что спектры сигналов при их обработке получают практически в режиме реального времени .
В заключение отметим три наиболее важных свойства спектральных характеристик периодического сигнала.
- 1. Если x(t) - четная функция, то мнимые составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Im{C w } равны нулю и, напротив, если эта функция нечетная, то вещественные составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Re{C„} равны нулю.
- 2. В точке разрыва первого рода t = t r функции x(t) сумма ряда Фурье S(t) равна полусумме предельных значений функции при приближении аргумента к точке разрыва t = t r слева и справа, т.е.
Примечание : если значения функции х{€) на концах +Г) базового импульса x T (t) не равны между собой, то при периодическом продолжении импульса эти точки становятся точками разрыва первого рода.
3. Мощности периодического сигнала во временной и частотной областях равны между собой, т.е.
Это соотношение выражает теорему Парсеваля.
Наличие в формуле (7.36) «отрицательных частот» nQ. (для гг
