Спектральные характеристики. Спектры периодических сигналов Особенности спектральных свойств периодических сигналов

Для упрощения методов решения задач анализа цепей, сигналы представляют в виде суммы определенных функций.

Этот процесс обосновывается понятием обобщенного ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:

Для определения умножим левую и правую части ряда на и возьмем интеграл от левой и правой части:

для интервала в котором выполняются условия ортогональности.

Видно, что.Получили выражение для обобщенного ряда Фурье:

Выделим конкретный вид функции, для разложения в ряд сигнала. В качестве такой функции выберем ортогональную систему функций:

Для определения ряда вычислим значение:

Таким образом, получим:

Графически данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных гармонических составляющих.

Полученное выражение можно представить в виде:

Получили вторую форму записи тригонометрического ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.

Найдем комплексную форму ряда Фурье, для этого воспользуемся формулами Эйлера:

Графически спектр в этой форме представлен на оси частот в диапазоне.

Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или амплитудной форме - дискретный. Это значит, что в спектре имеются составляющие с частотами

Спектральные характеристики непериодического сигнала

Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают одиночный сигнал, то для нахождения его спектра представим сигнал как периодический с периодом. Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для:

Анализ полученного выражения показывает, что при амплитуды составляющих становятся бесконечно малыми и на оси частот они расположены непрерывно. Тогда, что б выйти из этого положения воспользуемся понятием спектральной плотности:

Подставим полученное выражение в комплексный ряд Фурье, получим:

Окончательно получим:

Здесь - спектральная плотность, а само выражение - прямое преобразование Фурье. Для определения сигнала по его спектру используют обратное преобразование Фурье:

Свойства преобразования Фурье

Из формул прямого и обратного преобразований Фурье, очевидно, что если изменится сигнал, то изменится и его спектр. Следующие свойства устанавливают зависимость спектра измененного сигнала, от спектра сигнала до изменений.

1) Свойство линейности преобразования Фурье

Получили, что спектр суммы сигналов равен сумме их спектров.

2) Спектр сигнала сдвинутого во времени

Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину

3) Изменение масштаба времени

т.е при расширении(сужении) сигнала в несколько раз спектр этого сигнала сужается(расширяется).

4) Спектр смещения

5) Спектр производной от сигнала

Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье.

Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала умноженного на, то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на.

6) Спектр интеграла сигнала

Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье.

Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала деленного на,

7) Спектр произведения двух сигналов

Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент

8) Свойство дуальности

Таким образом, если к какому-то сигналу соответствует спектр, то сигналу по форме совпадающему с вышеуказанным спектром соответствует спектр по форме совпадающий с вышеуказанным сигналом.

Методические указания к лабораторной работе

Дисциплина « Элементы общей теории сигналов »

СОГЛАСОВАНО РАЗРАБОТАЛИ

Инженер по охране труда Доцент кафедры ЭАПП

Г.В. Мангуткина ________ А.С. Хисматуллин

2014 _____________2014

студент гр. БАТ-11-21

Е.И.Буланкин

Методические указания предназначены для студентов направления подготовки 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств», профиль «Автоматизация технологических процессов и производств в нефтехимии и нефтепереработке»

Обсуждено на заседании кафедры ЭАПП

Протокол № ______ от ___________________2014

ã Филиал ФГБОУ ВПО УГНТУ в г.Салавате, 2014

ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХСИГНАЛОВ

Цель работы : изучение характеристик детерминированных сигналов
в программе «Mathcad».

Краткие теоретические сведения

Спектральные характеристики периодических сигналов

Условие периодичности – x (t ) = x (t+mT ), где T – период, m – натуральное число, m = 1, 2, .... Любой периодический сигнал x (t ) может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье.

x (t ) = a 0 + ∑ (a k coskw 1 t + b k sinkw 1 t ) = a 0 + ∑ A k cos(kw 1 t + φ k ), (1.1)

где ω 1 = 2π/T – угловая частота 1-й или основной гармоники; a 0 , а k , и b к коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:

a 0 = a k = b k =

где A k – амплитуда k-й гармоники; φ k – фаза k-й гармоники; a 0 – среднее значение сигнала (постоянная составляющая); k ω 1 = ω k – угловая частота k -й гармоники; t н – момент времени, соответствующий началу периода.

Зависимости A k и φ k от частоты ω k – это спектры амплитуд и фаз соответственно.

В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье

(1.2)

Коэффициенты ряда (1.2) вычисляются по формуле

(1.3)

Формулы (1.2) и (1.3) – пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов комплексный спектр периодического сигнала x(t). Совокупность действительных величин в зависимости от частоты – спектр амплитуд. Совокупность величин φ k в зависимости от частоты – спектр фаз.

Ряд (1.2) удобно представлять в форме

(1.4)

(1.5)

Пример 1.1

Построить спектры амплитуд и фаз сигнала x(t), аналитическое выражение которого при исходных данных V m:= 4volt∙sec -1 ,T:= 2 sec и t 0:= 2 sec имеет вид

.

График сигнала при диапазоне изменения времени t:=-1.5∙T, представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График сигнала

Решение

Так как данный сигнал – периодическая функция времени, то для его спектрального представления нужно использовать или тригонометрический или комплексный ряд Фурье. Найдем спектры амплитуд и фаз на основе тригонометрического ряда Фурье.

Определим коэффициенты разложения сигнала на интервале t:= 0..T при угловой частоте основной гармоники ω 1:= и числе гармоник k:= 1..5.

1) Постоянная составляющая

2) Косинусоидальный коэффициент

Подстановка численных значений V m , T и ω 1 дает

В результате интегрирования получим

Например, a 1 = 0 volt; a 2 = 0 volt; a 3 = 0 volt; a 4 = 0 volt.

Более удобна другая форма определения коэффициентов разложения.

то выражая t 0 и ω 1 через T, имеем

Отсюда следует, что при k>0 коэффициенты a k равны нулю.

3) Cинусоидальный коэффициент

Выражая t 0 и ω 1 через T, можно получить

Отсюда после упрощений следует

Амплитуда k-й гармоники

при k>1 будет

Таким образом, с учетом постоянной составляющей амплитудный спектр

Фазовый спектр

Так как коэффициенты a k =0 и b k <0, и составит, например для k=1, φ = 1.571.

Графики данных спектров в виде столбчатых диаграмм приведены на рисунке 2.

Спектральные характеристики непериодических сигналов

Спектральное представление можно обобщить на случай, когда функция x (t ) – непериодическая, т.е. T →∞. В этом случае применяется интегральное преобразование Фурье

Здесь Ф и Ф -1 – обозначения прямого и обратного оператора Фурье.

Формулы (1.6) и (1.7) – пара интегральных преобразований Фурье. Функция F (j ω) называется спектральной функцией или комплексным спектром непериодического сигнала. Она определена при положительных и отрицательных частотах.

Спектральную функцию можно представить в виде

где – спектр амплитуд,

– спектр фаз.

Пример 1.2

Найти спектр функции x(t), заданной на интервале -τ/2

Аналитическое выражение функции

Рисунок 3 – Периодичность повторения

Решение

Поскольку функция представляет собой непериодическую функцию времени, найдем ее спектральную функцию (комплексный спектр) на основании интегрального преобразования Фурье (1.7). Оперируя безразмерными величинами, следует помнить, что спектральная функция характеризует спектральную плотность амплитуд и фаз элементарных комплексных гармонических колебаний . Она имеет для сигнала в виде напряжения размерность вольт × секунда. Угловая частота ω имеет размерность радиан/секунда.

С помощью спектральных характеристик оценивают внутренний состав (спектр) сигнала. Для этого сигнал x(t) представляют в форме обобщенного ряда Фурье, раскладывая его по системе базисных функций Т k (t)

где С к - постоянные коэффициенты, отражающие вклад функции Ч^(?) в формирование значений сигнала на рассматриваемом промежутке времени.

Возможность представления сложного сигнала x(t) в виде суммы простых сигналов "РДО оказывается особенно важной для линейных динамических систем. В таких системах выполняется принцип суперпозиции , т.е. их реакция на сумму воздействий (сигналов) равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Поэтому, зная реакцию линейной системы на простой сигнал, можно, суммируя результаты, определить ее реакцию на любой другой сложный сигнал.

Выбор функций У k (t) подчиняют требованиям максимальной точности приближения сигнала х(t) рядом (7.21) при минимальном числе членов этого ряда и, по возможности, снижению вычислительных трудностей, возникающих при определении коэффициентов ряда С к.

В качестве базисных функций наиболее широкое применение получили вещественные тригонометрические функции

и комплексные экспоненциальные функции

На них строится классический спектральный анализ сигналов. Вместе с тем возможно применение других систем базисных функций (функций Тейлора, Уолша, Лагерра, Эрмита, Лежандра, Чебышева, Котельникова и др. 121), что в ряде случаев позволяет, учитывая специфику приближаемой функции x(t), сократить число членов ряда (7.21) при сохранении заданной погрешности приближения.

В последние годы появилась новая, весьма перспективная система базисных функций, называемых вейвлетами. В отличие от гармонических функций, они способны, изменяя свою форму и свойства, адаптироваться к локальным особенностям приближаемого сигнала. В результате становится возможным простое представление сложных сигналов (в том числе с локальными скачками и разрывами) наборами вейвлетов того или иного типа .

При использовании тригонометрических базисных функций (7.22), ряд (7.21) приобретает форму классического тригонометрического ряда Фурье

где Q = 2п/Т - частота основной гармоники ряда (Г - период сигнала); к = 1, 2, 3,... - целое число; ak, bk - действительные числа (коэффициенты Фурье), вычисляемые но формулам

В этих формулах, как и прежде (см. (7.20)), t 0 - произвольное число, которое можно выбирать из соображений удобства вычисления интегралов (7.25), так как значения этих интегралов от величины t 0 не зависят; x T (t) - базовый импульс сигнала (см. рис. 7.3, в).

Коэффициент а 0 определяет удвоенное среднее (за период) значение сигнала, остальные коэффициенты a k > b k {k = 1, 2, 3, ...) - вклад к -й гармоники ряда Фурье (7.24) в формирование мгновенных значений сигнала х(?).

Тригонометрический ряд Фурье (7.24) можно записать в двух других формах: в форме разложения по синусам

и в форме разложения по косинусам

где Л 0 /2 = а 0 /2 - постоянная составляющая сигнала; A k - амплитуда k-и гармоники ряда, вычисляемая по формуле

Начальные фазы этих гармоник вычисляются из соотношений

Совокупность амплитуд гармонических составляющих периодического сигнала {А к }°? ={ называется амплитудным спектром этого сигнала. Совокупность начальных фаз этих составляющих {ф/^}^ =1 - фазовым спектром сигнала.

Используя 5-функцию Дирака 8(?), оба спектра можно представить решетчатыми функциями частоты

т.с. амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются дискретными спектрами. Это отличает периодический сигнал от других сигналов, обладающих сплошными спектрами.

Таким образом, периодический сигнал можно представить в виде суммы гармоник (7.24). При этом частота каждой гармонической составляющей ряда Фурье кратна частоте основной гармоники?2, зависящей от периода сигнала Т.

Чем больше таких гармоник, тем меньше погрешность приближения функции x(t) конечной суммой ряда Фурье (7.24). Исключением являются точки разрыва непрерывности функции x(i). В окрестности таких точек проявляется так называемое явление Гиббса |2|. Согласно этому явлению в окрестностях точек разрыва конечные суммы ряда Фурье

образуют осциллирующие «хвосты», высота которых не уменьшается с ростом числа учитываемых гармоник ряда Фурье N - она составляет примерно 9% от величины скачка функции x{t) в точке разрыва.

Для вычисления амплитуды и начальной фазы &-й гармоники периодического сигнала можно вместо формул (7.28) и (7.29) использовать формулы

где Х т = Х т (р) = L{x T (t)} индекс Т переменной х - изображение по Лапласу базового импульса сигнала, определяемое по формуле (см. приложение 2)

i - мнимая единица; & = 0,1,2,... - положительное целое число. Использование этих формул исключает необходимость вычисления интегралов (7.25), что значительно упрощает расчеты. Покажем пример такого расчета.

Пример 7.1

Определить амплитудный спектр периодического сигнала Решение

На рис. 7.3, а , показан график такого сигнала. Видно, что сигнал имеет период Т = я. Следовательно, частота основной гармоники соответствующего ряда Фурье (7.24) равна Q = 2п/Т = 2 с -1 . Принимая t 0 = 0, x T (t) = sin? (для 0 t

Рис. 73.

а - форма сигнала; б - амплитудный спектр сигнала

Следовательно, А 0 /2 = 2/п, A k = 4/я(4& 2 - 1), щ = л, где k = 1,2, 3,т.е. разложение функции |sin(?)| в тригонометрический ряд Фурье имеет вид

Примечание: здесь принято ф/, = л (а нс у к = 0) из-за использования знака «минус» перед суммой гармоник ряда.

На рис. 7.3, б показан амплитудный спектр рассматриваемого сигнала. Значение амплитуды?-й гармоники ряда А к представлено вертикальным отрезком соответствующей длины, в основании которого указан номер гармоники.

Следует иметь в виду, что амплитуды А к некоторых гармоник ряда Фурье могут быть равны нулю. Кроме того, необязательным является монотонное уменьшение амплитуд этих гармоник с ростом номера гармоники, как это имеет место на рис. 7.3, б.

Однако во всех случаях должно выполняться условие lim А к = 0, вытекающее из тре-

бования сходимости ряда Фурье.

Решим задачу с использованием формул (7.32). Для этого сначала найдем изображение по Лапласу базового импульса сигнала x T (t )

Подставляя сюда p = ikQ = 2ik (где i - мнимая единица, k = 1, 2, 3,...), получим что совпадает с прежними результатами.

В технических приложениях часто пользуются комплексной формой записи ряда Фурье

В этом случае в качестве базисных функций используются комплексные экспоненциальные функции (7.23). Поэтому коэффициенты С п ряда (7.36) становятся комплексными . Они вычисляются по формуле

где, как и в формуле (7.6), индексная переменная п может быть как положительным, так и отрицательным целым числом.

При использовании комплексной формы ряда Фурье (7.36) спектром амплитуд периодического сигнала x(t) называют множество абсолютных величин комплексных коэффициентов Фурье С п

а спектром фаз - множество главных аргументов этих коэффициентов

Множество величин {С% }^ > = _ называется спектром мощности периодического сигнала, а множество комплексных чисел {С п - спектральной последовательностью периодического сигнала. Именно эти три характеристики (спектр амплитуд, спектр фаз и спектр мощности) относятся к основным спектральным характеристикам периодического сигнала.

В отличие от амплитудного и фазового спектров периодического сигнала, представленного в форме тригонометрического ряда Фурье (7.24), спектры того же сигнала, построенные с использованием комплексных коэффициентов Фурье (7.37), оказываются двухсторонними. Это является следствием наличия в (7.36) «отрицательных частот» пО. (для отрицательных значений п). Последние, разумеется, не существуют в реальности. Они только отражают используемое при формировании комплексного ряда Фурье представление экспоненциальной гармонической функции е~ т в виде единичного вектора, вращающегося по часовой стрелке с угловой скоростью со.

Если существует изображение по Лапласу базового импульса периодического сигнала Х Т (р) = L{x T (t)}, то спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала можно вычислять по формулам

Известны и успешно применяются на практике алгоритмы так называемого быстрого преобразования Фурье , благодаря которым удается настолько снизить время вычисления коэффициентов Фурье, что спектры сигналов при их обработке получают практически в режиме реального времени .

В заключение отметим три наиболее важных свойства спектральных характеристик периодического сигнала.

• 1. Если x(t) - четная функция, то мнимые составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Im{C w } равны нулю и, напротив, если эта функция нечетная, то вещественные составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Re{C„} равны нулю.
• 2. В точке разрыва первого рода t = t r функции x(t) сумма ряда Фурье S(t) равна полусумме предельных значений функции при приближении аргумента к точке разрыва t = t r слева и справа, т.е.

Примечание : если значения функции х{€) на концах +Г) базового импульса x T (t) не равны между собой, то при периодическом продолжении импульса эти точки становятся точками разрыва первого рода.

3. Мощности периодического сигнала во временной и частотной областях равны между собой, т.е.

Это соотношение выражает теорему Парсеваля.

Наличие в формуле (7.36) «отрицательных частот» nQ. (для гг

Общие замечания

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В радиотехнике приходится иметь дело с электрическими сигналами, которые связаны с передаваемыми сообщениями принятым способом кодирования.

Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию. Количество информации, которое можно передать с помощью некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длительности, полосы частот, мощности и некоторых других характеристик. Важное значение имеет также уровень помех в канале связи: чем меньше этот уровень, тем большее количество информации можно передать с помощью сигнала с заданной мощностью. Прежде чем говорить об информационных возможностях сигнала, необходимо ознакомиться с его основными характеристиками. Целесообразно рассмотреть отдельно детерминированные и случайные сигналы.

Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью единица.

Примерами детерминированных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, величина и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. Детерминированные сигналы можно подразделить на периодические и непериодические.

Периодическим называется любой сигнал, для которого выполняется условие

где период Т является конечным отрезком, а k - любое целое число.

Простейшим периодическим детерминированным сигналом является гармоническое колебание. Строго гармоническое колебание называют монохроматическим. Этот заимствованный из оптики термин подчёркивает, что спектр гармонического колебания состоит из одной спектральной линии. У реальных сигналов, имеющих начало и конец, спектр неизбежно размывается. Поэтому строго монохроматического колебания в природе не существует. В дальнейшем под гармоническим и монохроматическим сигналом условно будет подразумеваться колебание. Любой сложный периодический сигнал, как известно, можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте w = 2*Pi/T. Основной характеристикой сложного периодического сигнала является его спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник.

Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие s(t)s(t+kT).

Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени. Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся импульсы, пачки импульсов, «обрывки» гармонических колебаний и т.д. Непериодические сигналы представляют основной интерес, так как именно они преимущественно используются в практике.

Основной характеристикой непериодического, как и периодического сигнала, является его спектральная функция;

К случайным сигналам относят сигналы, значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Такими функциями являются, например, электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам относится также последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приёмника, когда амплитуды импульсов и фазы их высокочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий распространения, положения цели и некоторых других причин. Можно привести большое число других примеров случайных сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный. Перечисленные детерминированные сигналы, «полностью известные», информации уже не содержат. В дальнейшем такие сигналы часто будут обозначаться термином «колебание».

Для характеристики и анализа случайных сигналов применяется статистический подход. В качестве основных характеристик случайных сигналов принимают:

а) закон распределения вероятностей.

б) спектральное распределение мощности сигнала.

На основе первой характеристики можно найти относительное время пребывания величины сигнала в определённом интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характеристика даёт лишь распределение по частотам средней мощности сигнала. Более подробной информации относительно отдельных составляющих спектра - об их амплитудах и фазах - спектральная характеристика случайного процесса не даёт.

Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами - шумами. Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале.

Фурье-изображения - комплексные коэффициенты ряда Фурье F (j w k ) периодического сигнала (1) и спектральная плотность F (j w) непериодического сигнала (2) - обладают рядом общих свойств.

1. Линейность . Интегралы (1) и (2) осуществляют линейное преобразование функции f (t ). Поэтому Фурье-изображение линейной комбинации функций равно аналогичной линейной комбинации их изображений. Если f (t ) = a 1 f 1 (t ) + a 2 f 2 (t ), то F (j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), где F 1 (j w) и F 2 (j w) - Фурье-изображения сигналов f 1 (t ) и f 2 (t ), соответственно.

2. Задержка (изменение начала отсчета времени для периодических функций). Рассмотрим сигнал f 2 (t ), задержанный на время t 0 относительно сигнала f 1 (t ), имеющего такую же форму: f 2 (t ) = f 1 (t – t 0). Если сигнал f 1 имеет изображение F 1 (j w), то Фурье-изображение сигнала f 2 равно F 2 (j w) = = . Домножив и разделив на , сгруппируем члены следующим образом:

Поскольку последний интеграл равен F 1 (j w), то F 2 (j w) = e -j wt 0 F 1 (j w). Таким образом, при задержке сигнала на время t 0 (изменении начала отсчета времени) модуль его спектральной плотности не изменяется, а аргумент уменьшается на величину wt 0 , пропорциональную времени задержки. Поэтому амплитуды спектра сигнала не зависят от начала отсчета, а начальные фазы при задержке на t 0 уменьшаются на wt 0 .

3. Симметрия . Для действительного f (t ) изображение F (j w) обладает сопряженной симметрией: F (– j w) = . Если f (t ) - четная функция, то Im F (j w) = 0; для нечетной функции Re F (j w) = 0. Модуль |F (j w)| и вещественная часть Re F (j w) - четные функции частоты, аргумент arg F (j w) и Im F (j w) - нечетные.

4. Дифференцирование . Из формулы прямого преобразования, интегрируя по частям, получим связь изображения производной сигнала f (t ) с изображением самого сигнала

Для абсолютно интегрируемой функции f (t ) внеинтегральный член равен нулю, и, следовательно, при , а последний интеграл представляет Фурье-изображение исходного сигнала F (j w). Поэтому Фурье-изображение производной df /dt связано с изображением самого сигнала соотношением j wF (j w) - при дифференцировании сигнала его Фурье-изображение умножается на j w. Это же соотношение справедливо и для коэффициентов F (j w k ), которые определяются интегрированием в конечных пределах от – T /2 до + T /2. Действительно, произведение в соответствующих пределах

Поскольку вследствие периодичности функции f (T /2) = f (– T /2), а = = = (– 1) k , то и в этом случае внеинтегральный член пропадает, и справедлива формула

где стрелкой символически обозначена операция прямого преобразования Фурье. Это соотношение обобщается и на многократное дифференцирование: для n -й производной имеем: d n f /dt n (j w) n F (j w).

Полученные формулы позволяют найти Фурье-изображение производных функции по ее известному спектру. Эти формулы удобно также применять в случаях, когда в результате дифференцирования приходим к функции, Фурье-изображение которой вычисляется более просто. Так, если f (t ) - кусочно-линейная функция, то ее производная df /dt - кусочно-постоянная, и для нее интеграл прямого преобразования находится элементарно. Для получения спектральных характеристик интеграла функции f (t ) ее изображение следует разделить на j w.

5. Дуальность времени и частоты . Сопоставление интегралов прямого и обратного преобразований Фурье приводит к выводу о их своеобразной симметрии, которая становится более очевидной, если формулу обратного преобразования переписать, перенося множитель 2p в левую часть равенства:

Для сигнала f (t ), являющегося четной функцией времени f (– t ) = f (t ), когда спектральная плотность F (j w) - вещественная величина F (j w) = F (w), оба интеграла можно переписать в тригонометрической форме косинус-преобразования Фурье:

При взаимной замене t и w интегралы прямого и обратного преобразований переходят друг в друга. Отсюда следует, что если F (w) представляет спектральную плотность четной функции времени f (t ), то функция 2pf (w) является спектральной плотностью сигнала F (t ). Для нечетных функций f (t ) [f (t ) = – f (t )] спектральная плотность F (j w) чисто мнимая [F (j w) = jF (w)]. Интегралы Фурье в этом случае приводятся к виду синус-преобразований, из которых следует, что если спектральная плотность jF (w) соответствует нечетной функции f (t ), то величина j 2pf (w) представляет спектральную плотность сигнала F (t ). Таким образом, графики временной зависимости сигналов указанных классов и его спектральной плотности дуальны друг другу.

Интеграл (1)

Интеграл (2)

В радиотехнике широко используется спектральное и временное представление сигналов. Хотя сигналы по своей природе являются случайными процессами, однако, отдельные реализации случайного процесса и некоторые специальные (например, измерительные) сигналы можно считать детерминированными (то есть известными) функциями. Последние принято делить на периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов не существует. Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию

на интервале времени ,где Т - постоянная величина, называемая периодом, а k-любое целое число.

Простейшим примером периодического сигнала является гармоническое колебание (или коротко гармоника).

где - амплитуда, = - частота, - круговая частота, - начальная фаза гармоники.

Важное значение понятия гармоники для теории и практики радиотехники объясняется рядом причин:

1. гармонические сигналы сохраняют свою форму и частоту при прохождении через стационарные линейные электрические цепи (например, фильтры), меняя лишь амплитуду и фазу;
2. гармонические сигналы достаточно просто вырабатываются (например, при помощи автогенераторов LC).

Непериодическим сигналом называется сигнал, который отличен от нуля на конечном интервале времени. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из основных характеристик непериодического сигнала является его спектр. Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала, от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частоты гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Для непериодического сигнала спектр - это прямое преобразование Фурье сигнала. Итак, спектр периодического сигнала - это дискретный спектр (дискретная функция частоты), в то время как для непериодического сигнала характерен сплошной спектр (непрерывный) спектр.

Обратим внимание на то, что дискретный и непрерывный спектры имеют разные размерности. Дискретный спектр имеет ту же размерность, что и сигнал, в то время как размерность непрерывного спектра равна отношению размерности сигнала к размерности частоты. Если, например, сигнал представлен электрическим напряжением, то дискретный спектр будет измеряться в вольтах [B], а непрерывный - в вольт на герц [ B/Гц]. Поэтому для непрерывного спектра употребляют также термин "спектральная плотность".

Рассмотрим сначала спектральное представление периодических сигналов. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле (одним из необходимых является условие, чтобы энергия была конечной), можно представить рядом Фурье в тригонометрической форме:

где определяет среднее значение сигнала за период и называется постоянной составляющей. Частота называется основной частотой сигнала (частота первой гармоники), а кратные ей частоты - высшими гармониками. Выражение (3) можно представить в виде:

Обратные зависимости для коэффициентов а и b имеют вид

На рисунке 1 приведен типичный вид графика спектра амплитуд периодического сигнала для тригонометрической формы ряда (6):

С использованием выражения (формула Эйлера).

вместо (6) можно записать комплексную форму ряда Фурье:

где коэффициент называются комплексными амплитудами гармоник, значения которых, как следует из (4) и формулы Эйлера, определяется выражением:

Сравнивая (6) и (9), замечаем, что при использовании комплексной формы записи ряда Фурье отрицательные значения k позволяют говорить о составляющих с "отрицательными частотами". Однако, появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала.

Тогда вместо (9) получим:

имеет размерность [амплитуда/герц] и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на полосу в 1 Герц. Поэтому эта непрерывная функция частоты S(jw) называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью. Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выражения (10) и (11) замечаем, что при w=kwo они отличаются лишь постоянным множителем, а

т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определить по спектральной характеристике непериодической функции такой же формы, заданной в интервале . Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:

Из этого соотношения следует, что огибающая сплошного амплитудного спектра непериодического сигнала и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодического сигнала совпадают по форме и отличаются лишь масштабом. Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Умножая обе части неравенства (14) на s(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим:

где S(jw) и S(-jw) - комплексно-сопряженные величины. Так как

Это выражение называется равенством Парсеваля для непериодического сигнала. Оно определяет полную энергию сигнала. Отсюда следует, что есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1 Гц полосы частот около частоты w. Поэтому функцию иногда называют спектральной плотностью энергии сигнала s(t). Приведем теперь без доказательства несколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.