Acest ghid metodologic vă va ajuta să învățați cum să performați operatii cu matrici: adunarea (scăderea) matricelor, transpunerea unei matrice, înmulțirea matricelor, aflarea matricei inverse. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple corespunzătoare, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța să efectueze acțiuni cu matrice. Pentru autotestare și autotestare, puteți descărca gratuit un calculator matrice >>>.
Voi încerca să minimizez calculele teoretice, în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea termenilor neștiințifici. Iubitorii unei teorii solide, vă rugăm să nu criticați, sarcina noastră este invata sa realizezi actiuni cu matrici.
Pentru pregătirea SUPER-RAPIDĂ pe tema (cine este „pe foc”) există un curs intensiv pdf Matrice, determinant și test!
O matrice este un tabel dreptunghiular al oricăruia elemente... La fel de elemente vom lua în considerare numerele, adică matrice numerice. ELEMENT Este un termen. Este indicat să rețineți termenul, acesta va fi des întâlnit, nu întâmplător am folosit caractere aldine pentru a-l evidenția.
Desemnare: matricele sunt de obicei notate cu litere mari latine
Exemplu: Luați în considerare o matrice de două câte trei:
Această matrice este formată din șase elemente:
Toate numerele (elementele) din interiorul matricei există de la sine, adică nu se pune problema vreunei scăderi: 
Este doar un tabel (set) de numere!
Vom fi și noi de acord nu rearanja numere, dacă nu se specifică altfel în explicații. Fiecare număr are propria sa locație și nu poate fi amestecat!
Matricea în cauză are două rânduri: 
si trei coloane: 
STANDARD: când vorbim despre dimensiunea matricei, atunci la început indicați numărul de rânduri și numai atunci - numărul de coloane. Tocmai am demontat o matrice de două câte trei.
Dacă numărul de rânduri și coloane ale matricei este același, atunci matricea este numită pătrat, de exemplu: 
- o matrice de trei câte trei.
Dacă matricea are o coloană sau un rând, atunci se mai numesc și astfel de matrice vectori.
De fapt, cunoaștem conceptul de matrice încă de la școală, luăm în considerare, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „joc”:. În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu pentru tine de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite ale planului.
Acum să trecem direct la studiu acţiuni cu matrice:
1) Prima acțiune. Eliminarea minusului din matrice (adăugarea minusului la matrice).
Înapoi la matricea noastră 
... După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod din punctul de vedere al efectuării diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți atât de multe minusuri și arată doar urât în design.
Mutați minusul în afara matricei prin schimbarea semnului FIECĂRUI element de matrice:
La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă, zero - este zero și în Africa.
Exemplu invers: 
... Arată urât.
Să adăugăm un minus matricei prin schimbarea semnului FIECĂRUI element de matrice:
Ei bine, s-a dovedit mult mai frumos. Și, cel mai important, va fi MAI UȘOR să efectuați orice acțiuni cu matricea. Pentru că există un astfel de semn popular matematic: cu cât mai multe contra, cu atât mai multe confuzii și greșeli.
2) A doua acțiune. Înmulțirea unei matrice cu un număr.
Exemplu:
Este simplu, pentru a înmulți o matrice cu un număr, ai nevoie fiecare elementul matricei este înmulțit cu numărul dat. În acest caz, primii trei.
Un alt exemplu util:
- înmulțirea matricei cu o fracție
Să ne uităm mai întâi la ce să facem. NU ESTE NEVOIE:
NU ESTE NECESAR să introduceți o fracție în matrice, în primul rând, nu face decât să complice acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează profesorul să verifice soluția (mai ales dacă 
- răspunsul final al sarcinii).
Si in special, NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:
Din articol Matematică pentru manechin sau de unde să începi, ne amintim că fracțiile zecimale cu virgulă la matematică superioară sunt încercate în toate modurile posibile pentru a le evita.
Singurul lucru care dezirabil a face în acest exemplu este să introduceți un minus în matrice:
Dar dacă TOATE elementele matricei erau divizibile cu 7 fara rest, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.
Exemplu:
În acest caz, puteți și NECESARînmulțiți toate elementele matricei cu, deoarece toate numerele din matrice sunt divizibile cu 2 fara rest.
Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „diviziune”. În loc de expresia „împărțiți acest lucru cu acesta”, puteți spune întotdeauna „înmulțiți acest lucru cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.
3) A treia acțiune. Transpunerea matricei.
Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.
Exemplu:
Transpose Matrix
Există un singur rând aici și, conform regulii, trebuie scris într-o coloană:
- matrice transpusă.
O matrice transpusă este de obicei indicată printr-un superscript sau o liniuță în dreapta sus.
Exemplu pas cu pas:
Transpose Matrix 
Mai întâi, rescriem primul rând în prima coloană:
Apoi rescriem a doua linie în a doua coloană: 
În cele din urmă, rescriem a treia linie în a treia coloană:
Gata. În linii mari, a transpune înseamnă a întoarce matricea într-o parte.
4) Acțiunea patru. Suma (diferența) matricelor.
Suma matricelor este o operație simplă.
NU TOATE MATRICE SE POT PUTEA. Pentru a realiza adunarea (scăderea) matricelor, este necesar ca acestea să aibă aceeași MĂRIME.
De exemplu, dacă se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată numai cu o matrice două câte două și nu alta! 
Exemplu:
Adăugați matrici 
și 
Pentru a adăuga matrice, este necesar să adăugați elementele corespunzătoare ale acestora:
Pentru diferența de matrice, regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.
Exemplu:
Găsiți diferența de matrici 
, 
Și cum să rezolvi mai ușor acest exemplu pentru a nu te încurca? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile, pentru aceasta adăugăm un minus matricei:
Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „scădere”. În loc să spuneți „scădeți acest lucru din asta”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică, scăderea este un caz special de adunare.
5) Acțiunea cinci. Înmulțirea matricei.
Ce matrice pot fi multiplicate?
Pentru ca matricea să fie înmulțită cu matrice, aveți nevoie astfel încât numărul de coloane ale matricei să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei.
Exemplu:
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?
Aceasta înseamnă că puteți înmulți aceste matrici.
Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea este deja imposibilă!
Prin urmare, înmulțirea nu este posibilă:
Nu este atât de rar ca sarcinile cu truc să fie întâlnite atunci când unui elev i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.
Trebuie remarcat faptul că într-un număr de cazuri este posibil să se înmulțească matrice în orice mod.
De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile
Anul I, superioare matematică, studiem matriciși acțiuni de bază asupra acestora. Aici sistematizăm operațiile de bază care pot fi efectuate cu matrice. De unde să începem cunoașterea matricelor? Desigur, de la cel mai simplu lucru - definiții, concepte de bază și cele mai simple operații. Vă asigurăm că matricele vor fi înțelese de toți cei care le dedică măcar puțin timp!
Definiția unei matrice
Matrice Este un tabel dreptunghiular de elemente. Ei bine, dacă în termeni simpli - un tabel de numere.
De obicei, matricele sunt indicate prin litere mari latine. De exemplu, matricea A , matrice B etc. Matricele pot fi de diferite dimensiuni: dreptunghiulare, pătrate, există și matrici de rând și matrici de coloane, numite vectori. Mărimea matricei este determinată de numărul de rânduri și coloane. De exemplu, să scriem o matrice dreptunghiulară de dimensiune m pe n , Unde m - numărul de linii, și n - numărul de coloane.
Elemente pentru care i = j (a11, a22, .. ) formează diagonala principală a matricei și se numesc diagonală.
Ce poți face cu matricele? Adăugați/scădeți, inmultiti cu un numar, se inmultesc intre ei, transpune... Acum despre toate aceste operații de bază pe matrice în ordine.
Operații de adunare și scădere pe matrice
Vă avertizăm imediat că puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune. Rezultatul este o matrice de aceeași dimensiune. Adăugarea (sau scăderea) matricelor este simplă - doar adăugați elementele lor respective ... Să dăm un exemplu. Să adăugăm două matrice A și B în mărime două câte două.
Scăderea se face prin analogie, doar cu semnul opus.
Orice matrice poate fi înmulțită cu un număr arbitrar. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare dintre elementele sale cu acest număr. De exemplu, să înmulțim matricea A din primul exemplu cu numărul 5:
Operație de multiplicare a matricei
Nu toate matricele pot fi multiplicate între ele. De exemplu, avem două matrice - A și B. Ele pot fi înmulțite între ele numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. În acest caz fiecare element al matricei rezultate, aflat în rândul i și coloana j, va fi egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare din rândul i al primului factor și coloana j a al doilea... Pentru a înțelege acest algoritm, să scriem cum sunt înmulțite două matrici pătrate:
Și un exemplu cu numere reale. Să înmulțim matrice:
Operația de transpunere a matricei
Transpunerea matricei este o operație în care rândurile și coloanele corespunzătoare sunt schimbate. De exemplu, să transpunem matricea A din primul exemplu:
Determinant al unei matrice
Determinant, dar determinant este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Pe vremuri oamenii au inventat ecuații liniare, iar în spatele lor au trebuit să inventeze un determinant. Drept urmare, trebuie să te descurci cu toate acestea, deci, ultimul jet!
Un determinant este o caracteristică numerică a unei matrice pătrate, care este necesară pentru a rezolva multe probleme.
Pentru a calcula determinantul celei mai simple matrice pătrate, trebuie să calculați diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.
Determinantul unei matrice de ordinul întâi, adică format dintr-un element, este egal cu acest element.
Ce se întâmplă dacă matricea este trei câte trei? Acest lucru este mai complicat, dar poți face față.
Pentru o astfel de matrice, valoarea determinantului este egală cu suma produselor elementelor diagonalei principale și a produselor elementelor situate pe triunghiuri cu muchia paralelă cu diagonala principală, din care produsul elementelor din se scad diagonala secundară și produsul elementelor aflate pe triunghiurile cu marginea diagonalei secundare paralele.
Din fericire, este rareori necesar să se calculeze determinanții matricilor mari în practică.
Aici am acoperit operațiunile de bază pe matrice. Desigur, în viața reală, s-ar putea să nu dai niciodată peste un indiciu de sistem matriceal de ecuații sau invers - pentru a te confrunta cu cazuri mult mai dificile când chiar trebuie să-ți spargi capul. Pentru astfel de cazuri există un serviciu profesional pentru studenți. Cereți ajutor, obțineți o soluție de înaltă calitate și detaliată, bucurați-vă de succesul academic și de timpul liber.
Acest subiect va acoperi operații precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice, transpunerea unei matrice. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.
Adunarea și scăderea matricelor.
Suma $ A + B $ a matricelor $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ și $ B_ (m \ ori n) = (b_ (ij)) $ se numește matrice $ C_ (m \ ori n) = (c_ (ij)) $, unde $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ pentru toate $ i = \ overline (1, m) $ și $ j = \ overline ( 1, n) $.
O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:
Diferența $ AB $ de matrice $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ și $ B_ (m \ ori n) = (b_ (ij)) $ este matricea $ C_ (m \ ori n) ) = ( c_ (ij)) $, unde $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ pentru toate $ i = \ overline (1, m) $ și $ j = \ overline (1, n ) $.
Explicația intrării $ i = \ overline (1, m) $: show \ hide
Notația „$ i = \ overline (1, m) $” înseamnă că parametrul $ i $ variază de la 1 la m. De exemplu, înregistrarea $ i = \ overline (1,5) $ spune că parametrul $ i $ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.
Trebuie remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații intuitiv clare, deoarece ele înseamnă, de fapt, doar adunarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.
Exemplul #1
Sunt date trei matrice:
$$ A = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matrice) \ dreapta) \; \; B = \ stânga (\ begin (array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right); \; \; F = \ stânga (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ end (array) \ right). $$
Puteți găsi matricea $ A + F $? Găsiți matrice $ C $ și $ D $ dacă $ C = A + B $ și $ D = A-B $.
Matricea $ A $ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $ A $ este de $ 2 \ ori 3 $), iar matricea $ F $ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricei $ A $ și $ F $ nu coincid, așa că nu le putem adăuga, adică. operația $ A + F $ pentru matrice date este nedefinită.
Dimensiunile matricelor $ A $ și $ B $ sunt aceleași, adică. datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare este aplicabilă acestora.
$$ C = A + B = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matrice) \ dreapta) + \ stânga (\ începe (matrice) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (matrice) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (matrice) \ dreapta) $$
Găsiți matricea $ D = A-B $:
$$ D = AB = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matrice) \ dreapta) - \ stânga (\ începe (matrice) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (matrice) \ dreapta) = \\ = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (matrice) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ end (matrice) \ dreapta) $$
Răspuns: $ C = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (matrice) \ dreapta) $, $ D = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ end (matrice) \ dreapta) $.
Înmulțirea unei matrice cu un număr.
Produsul matricei $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ cu numărul $ \ alpha $ este matricea $ B_ (m \ ori n) = (b_ (ij)) $, unde $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ pentru toate $ i = \ overline (1, m) $ și $ j = \ overline (1, n) $.
Mai simplu spus, înmulțirea unei matrice cu un anumit număr înseamnă înmulțirea fiecărui element dintr-o matrice dată cu acel număr.
Exemplul nr. 2
Matricea este dată: $ A = \ stânga (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) $. Găsiți matricele $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ și $ -A $.
$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ stânga (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin ( matrice) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (matrice) \ dreapta). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (matrice) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (matrice) \ dreapta). $$
Notația $ -A $ este o prescurtare pentru $ -1 \ cdot A $. Adică, pentru a găsi $ -A $, trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $ A $ cu (-1). În esență, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $ A $ se va schimba în opus:
$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ stânga (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) $$
Răspuns: $ 3 \ cdot A = \ stânga (\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (array) \ right); \; -5 \ cdot A = \ stânga (\ begin (array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (array) \ right); \; -A = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) $.
Produsul a două matrice.
Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, de neînțeles. Prin urmare, mai întâi voi indica o definiție generală, apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă aceasta și cum să lucrăm cu ea.
Matricea $ C_ (m \ ori k) = (c_ ( ij)) $, pentru care fiecare element al lui $ c_ (ij) $ este egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare ale rândului i al matricea $ A $ prin elementele coloanei j-a a matricei $ B $: $$ c_ (ij) = \ sum \ limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \ ; \; i = \ overline (1, m), j = \ overline (1, n). $$
Să ne uităm la înmulțirea matricei pas cu pas folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să acordați imediat atenție faptului că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $ A $ cu matricea $ B $, atunci mai întâi trebuie să ne asigurăm că numărul de coloane al matricei $ A $ este egal cu numărul de rânduri al matricei $ B $ (astfel de matrici sunt adesea numite de acord). De exemplu, matricea $ A_ (5 \ ori 4) $ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $ F_ (9 \ ori 8) $ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane ale matricei $ A $ nu este egal cu numărul de rânduri din matricea $ F $, adică. $ 4 \ neq 9 $. Dar puteți înmulți matricea $ A_ (5 \ ori 4) $ cu matricea $ B_ (4 \ ori 9) $, deoarece numărul de coloane din matricea $ A $ este egal cu numărul de rânduri din matricea $ B $. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $ A_ (5 \ ori 4) $ și $ B_ (4 \ ori 9) $ va fi matricea $ C_ (5 \ ori 9) $, care conține 5 rânduri și 9 coloane:
Exemplul nr. 3
Matricele sunt date: $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (matrice) \ dreapta) $ și $ B = \ stânga (\ început (matrice) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \ end (matrice) \ dreapta) $. Găsiți matricea $ C = A \ cdot B $.
Mai întâi, să determinăm imediat dimensiunea matricei $ C $. Deoarece $ A $ este $ 3 \ ori 4 $ și $ B $ este $ 4 \ ori 2 $, mărimea lui $ C $ este de $ 3 \ ori 2 $:
Deci, ca rezultat al produsului dintre matricele $ A $ și $ B $, ar trebui să obținem matricea $ C $, formată din trei rânduri și două coloane: $ C = \ left (\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ end (array) \ right) $. Dacă desemnările elementelor ridică întrebări, atunci puteți privi subiectul anterior: „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matriceale. Scopul nostru este să găsim valorile tuturor elementelor matricei $ C $.
Să începem cu $ c_ (11) $. Pentru a obține elementul $ c_ (11) $, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $ A $ și prima coloană a matricei $ B $:
Pentru a găsi elementul $ c_ (11) $ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare ale primei coloane a matricei $ B $, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:
$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$
Să continuăm soluția și să găsim $ c_ (12) $. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți elementele din primul rând al matricei $ A $ și din a doua coloană a matricei $ B $:
Similar cu cel precedent, avem:
$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$
Toate elementele primului rând de $ C $ sunt găsite. Treceți la a doua linie, care începe cu $ c_ (21) $. Pentru a-l găsi, trebuie să înmulțiți elementele celui de-al doilea rând al matricei $ A $ și prima coloană a matricei $ B $:
$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (- 2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$
Următorul element $ c_ (22) $ se găsește prin înmulțirea elementelor din al doilea rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare ale coloanei a doua a matricei $ B $:
$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$
Pentru a găsi $ c_ (31) $, înmulțim elementele celui de-al treilea rând al matricei $ A $ cu elementele primei coloane a matricei $ B $:
$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$
Și, în sfârșit, pentru a găsi elementul $ c_ (32) $, va trebui să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $ B $:
$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$
Toate elementele matricei $ C $ sunt găsite, rămâne doar să scriem că $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) ) \ dreapta) $ ... Sau, pentru a scrie integral:
$$ C = A \ cdot B = \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ end (matrice) \ dreapta) \ cdot \ stânga (\ begin (matrice) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right). $$
Răspuns: $ C = \ stânga (\ begin (matrice) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (matrice) \ dreapta) $.
Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu constatarea fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matricele a căror dimensiune este mică, puteți face următoarele:
De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în general $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Numai pentru unele tipuri de matrice care sunt numite permutare(sau naveta), egalitatea $ A \ cdot B = B \ cdot A $ este adevărată. Tocmai pe baza necomutativității înmulțirii, se cere să indicăm exact cum înmulțim expresia cu cutare sau cu alta matrice: la dreapta sau la stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $ 3E-F = Y $ cu matricea $ A $ din dreapta” înseamnă că trebuie să obținem următoarea egalitate: $ (3E-F) \ cdot A = Y \ cdot A $.
Transpusă față de matricea $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ se numește matrice $ A_ (n \ ori m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $ , pentru elementele care $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.
Mai simplu spus, pentru a obține matricea transpusă $ A ^ T $, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $ A $ cu rândurile corespunzătoare conform următorului principiu: dacă primul rând a fost, prima coloană va deveni ; a existat o a doua linie - a doua coloană va deveni; a fost o a treia linie - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $ A_ (3 \ ori 5) $:
În consecință, dacă matricea originală a fost $ 3 \ ori 5 $, atunci matricea transpusă este $ 5 \ ori 3 $.
Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Se presupune aici că $ \ alpha $, $ \ beta $ sunt niște numere și $ A $, $ B $, $ C $ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat numele, restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.
- $ A + B = B + A $ (comutativitate de adunare)
- $ A + (B + C) = (A + B) + C $ (asociativitate de adunare)
- $ (\ alpha + \ beta) \ cdot A = \ alpha A + \ beta A $ (distributivitatea înmulțirii matricei în raport cu adunarea numerelor)
- $ \ alpha \ cdot (A + B) = \ alpha A + \ alpha B $ (înmulțire cu un număr în raport cu adăugarea matricei)
- $ A (BC) = (AB) C $
- $ (\ alpha \ beta) A = \ alpha (\ beta A) $
- $ A \ cdot (B + C) = AB + AC $, $ (B + C) \ cdot A = BA + CA $.
- $ A \ cdot E = A $, $ E \ cdot A = A $, unde $ E $ este matricea de identitate a ordinului corespunzător.
- $ A \ cdot O = O $, $ O \ cdot A = O $, unde $ O $ este o matrice zero de mărimea corespunzătoare.
- $ \ stânga (A ^ T \ dreapta) ^ T = A $
- $ (A + B) ^ T = A ^ T + B ^ T $
- $ (AB) ^ T = B ^ T \ cdot A ^ T $
- $ \ stânga (\ alpha A \ dreapta) ^ T = \ alpha A ^ T $
În următoarea parte, vom lua în considerare operația de ridicare a unei matrici la o putere întreagă nenegativă, precum și exemple rezolvate în care este necesar să se efectueze mai multe operații pe matrice.
Cursul numărul 1
MATRICE
Definiție și tipuri de matrice
Definiție 1.1.Matrice mărimea T NS numit tabel dreptunghiular de numere (sau alte obiecte) care contine m linii şi n coloane.
Matricele sunt desemnate prin litere mari (majuscule) ale alfabetului latin, de exemplu, A, B, C,... Se numesc numerele (sau alte obiecte) care alcătuiesc matricea elemente matrici. Elementele matricei pot fi funcții. Pentru a desemna elementele matricei, se folosesc litere mici ale alfabetului latin cu dublă indexare: aij, unde primul indice i(citește - și) - numărul rândului, al doilea index j(citește - zhi) – numărul coloanei.
Definiție 1.2. Matricea se numește pătrat n- a treia ordine dacă numărul rândurilor sale este egal cu numărul de coloane și este egal cu același număr NS
Pentru o matrice pătrată se introduc conceptele principale si secundare diagonalele.
Definiție 1.3.Diagonala principală o matrice pătrată este formată din elemente cu aceiași indici, adică. Acestea sunt elementele: A 11, un 22,...
Definiție 1.4. diagonală dacă toate elementele, cu excepția elementelor diagonalei principale, sunt egale cu zero
Definiția 1.5. Matricea pătrată se numește triunghiular dacă toate elementele sale situate sub (sau deasupra) diagonalei principale sunt egale cu zero.
Definiția 1.6. Matrice pătrată NS- Ordinea a treia, în care toate elementele diagonalei principale sunt egale cu unu, iar restul sunt egale cu zero, se numește singur matrice n-a ordine și este notat cu litera E.
Definiția 1.7. Se numește o matrice de orice dimensiune nul, sau matrice nulă, dacă toate elementele sale sunt egale cu zero.
Definiția 1.8. Se numește o matrice cu un singur rând matrice-rând.
Definiția 1.9. Se numește o matrice cu o singură coloană matricea coloanei.
A = (a 11 A 12 ... A 1n) - matrice de rânduri;
Definiția 1.10. Două matrice Ași V de aceeași mărime se numesc egal, dacă toate elementele corespunzătoare ale acestor matrici sunt egale între ele, i.e. aij = bij pentru orice i= 1, 2, ..., T; j = 1, 2,…, n.
Operații cu matrice
Un număr de operații pot fi efectuate pe matrici, precum și pe numere. Operațiile principale pe matrice sunt adunarea (scăderea) matricelor, înmulțirea unei matrici cu un număr și înmulțirea matricei. Aceste operații sunt similare cu operațiunile pe numere. O operație specifică este transpunerea matricei.
Înmulțirea unei matrice cu un număr
Definiție 1.11.Produsul matricei A cu numărulλ se numește matrice B = A, ale căror elemente se obţin prin înmulţirea elementelor matricei A cu numărul λ .
Exemplul 1.1. Aflați produsul unei matrice A = 
la numărul 5.
Soluţie... .◄ 5A = 
Regula înmulțirii unei matrice cu un număr: pentru a înmulți o matrice cu un număr, toate elementele matricei trebuie înmulțite cu acest număr.
Consecinţă.
1. Factorul comun al tuturor elementelor matricei poate fi scos din semnul matricei.
2. Produsul matricei A există o matrice zero pentru numărul 0: A· 0 = 0 .
Adăugarea matricei
Definiția 1.12.Suma a două matrice A și B aceeasi dimensiune t n numită matrice CU= A+ V, ale căror elemente se obțin prin adăugarea elementelor corespunzătoare ale matricei Ași matrice V, adică cij = aij + bij pentru i = 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n(adică, matricele sunt adăugate element cu element).
Consecinţă. Suma matriceală A cu o matrice zero este egală cu matricea originală: A + O = A.
1.2.3. Scăderea matricelor
Diferența a două matrice aceeași dimensiune se determină prin operațiunile anterioare: A - B = A + (- 1)V.
Definiția 1.13. Matrice –A = (- 1)A numit opus matrice A.
Consecinţă. Suma matricelor opuse este egală cu matricea zero : A + (–A) = O.
Înmulțirea matricei
Definiția 1.14.Înmulțirea matricei A cu matricea B se determină atunci când numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice. Atunci produs de matrice se numește o astfel de matrice , fiecare element din care cij este egală cu suma produselor elementelor i- al-lea rând al matricei A asupra elementelor corespunzătoare j a-a coloană a matricei B.
Exemplul 1.4. Calculați produsul matricelor А В, Unde
A = 
= 
Exemplul 1.5. Găsiți produse Matrix ABși VA, Unde
Observatii. Din exemplele 1.4–1.5 rezultă că operația de înmulțire a matricei are unele diferențe față de înmulțirea numerelor:
1) dacă produsul matricelor AB există, apoi după rearanjarea factorilor pe alocuri, produsul matricelor VA poate să nu existe. Într-adevăr, în Exemplul 1.4, produsul matricelor AB există, dar produsul BA nu există;
2) chiar dacă lucrările ABși VA există, atunci rezultatul produsului poate fi matrice de diferite dimensiuni. În cazul în care ambele funcţionează ABși VA ambele există - matrici de aceeași dimensiune (acest lucru este posibil numai atunci când se înmulțesc matrici pătrate de același ordin), atunci legea comutativă (deplasabilă) a înmulțirii încă nu este valabilă, acestea. A B B A, ca în exemplul 1.5;
3) totuși, dacă înmulțim matricea pătrată A pe matricea identitară E de aceeași ordine, atunci AE = EA = A.
Astfel, matricea de identitate în înmulțirea matriceală joacă același rol ca și numărul 1 în înmulțirea numerelor;
4) produsul a două matrice nenule poate fi egal cu matricea zero, adică din faptul că A B= 0, nu rezultă că A = 0 sau B = 0.
