Exemple de suprapunere de funcții. Vedeți ce este „Suprapunerea funcțiilor” în alte dicționare

O funcție f obținută din funcțiile f 1 , f 2 ,…f n folosind operațiile de înlocuire și redenumire a argumentelor se numește suprapunere funcții.

Orice formulă care exprimă o funcție f ca o suprapunere a altor funcții specifică o metodă de calcul a acesteia, adică formula poate fi calculată dacă sunt calculate valorile tuturor subformulelor sale. Valoarea unei subformule poate fi calculată dintr-un set cunoscut de valori ale variabilelor binare.

Folosind fiecare formulă, puteți restaura tabelul unei funcții logice, dar nu invers, deoarece Fiecare funcție logică poate fi reprezentată prin mai multe formule în baze diferite

Se numesc formulele F i şi F j care reprezintă aceeaşi funcţie logică f i echivalent . Deci, formulele echivalente sunt:

1. f 2 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×`x 2)=ù(`x 1 Úx 2)= ù(x 1 ®x 2);

2. f 6 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×x 2 Úx 1 ×`x 2)= ù(x 1 “x 2)=(x 1 Åx 2);

3. f 8 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×`x 2)= ù(x 1 Úx 2)=(x 1 ¯x 2);

4. f 14 (x 1 ;x 2)=(`x 1 Ú`x 2)= ù(x 1 ×x 2)=x 1 ½x 2 ;

5. f 9 (x 1 ;x 2)=((`x 1 ×`x 2)Ú(x 1 ×x 2))=(x 1 “x 2) ;

6. f 13 (x 1 ;x 2)= (`x 1 Úx 2)=(x 1 ®x 2).

Dacă orice formulă F conține o subformula F i , atunci înlocuirea lui F i cu un echivalent F j nu modifică valoarea formulei F pentru orice set de vectori booleeni, ci schimbă forma descrierii acesteia. Formula F` nou obținută este echivalentă cu formula F.

Pentru a simplifica expresiile algebrice complexe, sunt efectuate funcții booleene transformări echivalente folosind legile algebrei booleene și regulile de substituție Și substituţie ,

Când scrieți formule de algebră booleană, amintiți-vă:

· numărul de paranteze din stânga este egal cu numărul de paranteze din dreapta,

· nu există două conexiuni logice adiacente, adică trebuie să existe o formulă între ele,

· nu există două formule adiacente, adică trebuie să existe o legătură logică între ele,

· conjunctivul logic „×” este mai puternic decât conjunctivul logic „Ú”,

· dacă „ù” se referă la formula (F 1 ×F 2) sau (F 1 Ú F 2), atunci în primul rând aceste transformări ar trebui efectuate conform legii lui De Morgan: ù(F 1 ×F 2) = ` F 1 Ú` F 2 sau ù(F 1 ÚF 2)=`F 1 ×`F 2 ;

· Operațiune " × ” este mai puternic decât „Ú”, ceea ce vă permite să omiteți parantezele.

Exemplu: efectuați transformări echivalente ale formulei F=x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 .

· conform legii comutativității:

F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×`x 2 Úx 3 ×x 4 ;

· conform legii distributivității:

F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×(`x 2 Úx 4);

· conform legii distributivității:

F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×(`x 1 Ú`x 2 Úx 4);

· conform legii distributivității:

F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Ú(`x 1 Ú`x 2 Úx 4));

· conform legii lui De Morgan:

F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Úù(x 1 ×x 2 ×`x 4));

· conform legii contradictiei:

Astfel x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 =x 3 .

Exemplu: efectuează transformări de formule

F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2) );

· conform legii lui De Morgan

F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×(`x 1 Ú`x 2)Ú(x 1 ×x 2)×(`x 1 Úx 2)×(x 1 Ú`x 2);

· conform legii distributivității:

F=x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 Úx 1 ×x 2 ;

· conform legilor comutativității și distributivității:

F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ×(`x 2 Úx 2);

· conform legii contradictiei:

F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ;

· conform legii lui Poretsky

Astfel (x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 ) = (x 2 Úx 1).

Exemplu: transformați formula F=ù(`x 1 Úx 2)Ú((`x 1 Úx 3)×x 2).

· conform legii lui De Morgan:

F= ù(`x 1 Úx 2)×ù((`x 1 Úx 3)×x 2);

· conform legii lui De Morgan:

F=x 1 ×`x 2 ×(ù(`x 1 Úx 3)Ú`x 2);

· conform legii lui De Morgan:

F=x 1 ×`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Ú`x 2);

· conform legii distributivității:

F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ;

· conform legii absorbtiei:

Astfel ù(`x 1 Úx 2)×((`x 1 Úx 3)×x 2)= x 1 ×`x 2 .

Exemplu: Convertiți formula:

F=ù(x 1 ®x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(x 1 ¯x 2)×ù(x 3 ×x 4).

1) transformați formula într-o bază de algebră booleană:

F=ù(`x 1 Úx 2)×(`x 3 Ú`x 4)Úù(x 1 Úx 2)× ù(x 3 ×x 4);

2) omiteți semnul „`” înaintea variabilelor binare:

F=(x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(`x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4);

3) transformați formula conform legii distributive:

F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 4 ;

4) pune `x 2 din paranteze conform legii distributive:

F=`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Úx 1 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 4);

5) transforma conform legii distributivității:

F=`x 2 ×(`x 3 ×(x 1 Ú`x 1)Ú`x 4 ×(x 1 Ú`x 1));

6) folosiți legea contradicției:

F=`x 2 ×(`x 3 Ú`x 4)

Proprietăți ale funcțiilor booleene

Adesea apare întrebarea: orice funcție booleană este reprezentabilă printr-o suprapunere a formulelor f 0, f 1,..f 15? Pentru a determina posibilitatea formării oricărei funcții booleene folosind o suprapunere a acestor formule, este necesar să se determine proprietățile și condițiile acestora pentru utilizarea unui sistem complet funcțional.

Funcții booleene auto-duale

auto-dual , dacă f(x 1 ;x 2 ;…x n)=`f(`x 1 ;`x 2 ;…`x n).

De exemplu, funcțiile f 3 (x 1 ;x 2)=x 1 , f 5 (x 1 ;x 2)=x 2 , f 10 (x 1 ;x 2)=`x 2 și f 12 (x 1 ;x 2)=`x 1 sunt auto-duale, deoarece atunci când valoarea argumentului se schimbă, își schimbă valoarea.

Orice funcție obținută prin operații de suprapunere din funcții booleene auto-duale este ea însăși auto-duală. Prin urmare, setul de funcții booleene auto-duale nu permite formarea de funcții non-duale.

Funcții booleene monotone

Se numește funcția f(x 1 ; x 2 ;…x n). monoton , dacă pentru fiecare s 1i £s 2i vectori booleeni (s 11 ; s 12 ;……;s 1n) și (s 21 ;s 22 ;……;s 2n) este îndeplinită următoarea condiție: f(s 11 ;s 12 ;… ;s 1i ;…;s 1n)£f(s 21 ;s 22 ;…;s 2i ;…;s 2n).

De exemplu, pentru funcțiile f(x 1 ; x 2) funcțiile monotone sunt:

dacă (0; 0) £ (0; 1), atunci f(0; 0) £ f (0; 1),

dacă (0; 0)£(1; 0), atunci f(0; 0)£f(1; 0),

dacă (0; 1)£(1; 1), atunci f(0; 1)£f(1; 1),

dacă (1; 0) £ (1; 1), atunci f(1; 0) £ f(1; 1).

Următoarele funcții îndeplinesc aceste condiții:

f 0 (x 1; x 2)=0; f 1 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×x 2); f3 (x 1; x 2)=x 1; f 5 (x 1; x 2)=x 2; f 7 (x 1 ;x 2)=(x 1 Úx 2); f 15 (x 1 ; x 2)=1.

Orice funcție obținută folosind operația de suprapunere din funcții booleene monotone este ea însăși monotonă. Prin urmare, setul de funcții monotone nu permite formarea de funcții nemonotone.

Funcții booleene liniare

Algebra Zhegalkin, bazată pe baza F 4 =(×; Å; 1), permite ca orice funcție logică să fie reprezentată printr-un polinom, fiecare termen al căruia este o conjuncție de I variabile booleene ale unui vector boolean în 0£i£ n:

P(x 1 ; x 2 ;…x n)=b 0 ×1 Å b i ×x i Å 1 £ j ¹ k £ n b j ×x j ×x k Å……Å b 2n-1 ×x 1 ×x 2 ×... ×x n.

De exemplu, pentru funcțiile logice f 8 (x 1 ; x 2)

Polinomul Zhegalkin are forma: P(x 1; x 2)=1Å x 1 Å x 2 Å x 1 ×x 2.

Avantajele algebrei Zhegalkin sunt „aritmetizarea” formulelor logice, în timp ce dezavantajele sunt complexitatea, în special cu un număr mare de variabile binare.

Polinoamele Zhegalkin care nu conțin conjuncții de variabile binare, de ex. P(x 1 ; x 2 ;…;x n)=b 0 ×1Åb 1 ×x 1 Å…Åb n ×x n se numește liniar .

De exemplu, f 9 (x 1 ; x 2) = 1 Åx 1 Åx 2 sau f 12 (x 1 ; x 2) = 1 Åx 1 .

Principalele proprietăți ale operației de adăugare modulo 2 sunt date în Tabelul 1.18.

Dacă o funcție logică este specificată printr-un tabel sau o formulă în orice bază, i.e. Dacă cunoașteți valorile unei funcții booleene pentru diferite seturi de variabile booleene, atunci puteți calcula toate

coeficienții b i ai polinomului Zhegalkin, compilând un sistem de ecuații pentru toate seturile cunoscute de variabile binare.

Exemplu: dată o funcție booleană f(x 1 ;x 2)=x 1 Úx 2. Valorile acestei funcții sunt cunoscute pentru toate seturile de variabile booleene.

F(0;0)=0=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;

f(1;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×0Å b 3 ×1×0;

f(1;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×1Å b 3 ×1×1;

Unde găsim b 0 =0; b 1 =1; b2 =1; b 3 =1.

Prin urmare, (x 1 Úx 2)=x 1 Åx 2 Åx 1 ×x 2, adică disjuncția este o funcție booleană neliniară.

Exemplu: dată o funcție booleană f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2). Valorile acestei funcții sunt cunoscute și pentru toate seturile de variabile binare.

F(0;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;

f(0;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×1Å b 3 ×0×1;

f(1;0)=0=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×0Åb 3 ×1×0;

f(1;1)=1=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×1Åb 3 ×1×1;

Unde găsim b 0 =1; b 1 =1; b2 =0; b 3 =1.

Prin urmare, (x 1 ®x 2)=1Å x 2 Å x 1 ×x 2.

Tabelul 1.19 prezintă polinoamele Zhegalkin pentru reprezentanții principali ai funcțiilor booleene din Tabelul 1.15.

Dacă este dată o expresie analitică pentru o funcție logică și valorile acesteia sunt necunoscute pentru diferite seturi de variabile binare, atunci este posibil să se construiască un polinom Zhegalkin pe baza conjunctivă a algebrei Boole F 2 =(` ; ×) :

Fie f(x 1 ; x 2)=(x 1 Úx 2).

Atunci (x 1 Úx 2)=ù(`x 1 ×`x 2)=((x 1 Å 1)×(x 2 Å 1))Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 × 1Å x 2 × 1Å 1×1Å1=

(x 1 Åx 2 Åx 1 ×x 2).

Fie f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2).

Atunci (x 1 ®x 2)=(`x 1 Úx 2)=ù(x 1 ×`x 2)=x 1 ×(x 2 Å 1)Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å 1 = =(1Åx 1 Åx 1 ×x 2).

Fie f(x 1 ;x 2)=(x 1 “x 2).

Atunci (x 1 “x 2)=(`x 1 ×`x 2 Úx 1 ×x 2)=ù(ù(`x 1 ×`x 2)×ù(x 1 ×x 2))=((( x 1 Å1)×(x 2 Å1))Å1)× ×(x 1 ×x 2 Å)Å1=(x 1 ×x 2 Åx 1 Åx 2 Å1Å1)×(x 1 ×x 2 Å1)Å1=x 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 Å

x 1 ×x 2 Åx 2 Å1=(1Åx 1 Åx 2).

Orice funcție obținută folosind operația de suprapunere din funcții logice liniare este ea însăși liniară. Prin urmare, setul de funcții liniare nu permite formarea de funcții neliniare.

1.5.6.4. Funcții care stochează „0”

Funcția f(x 1 ; x 2 ;...x n) se numește păstrare „0” dacă pentru seturi de valori ale variabilelor binare (0; 0;...0) funcția ia valoarea f(0; 0;…0)=0 .

De exemplu, f 0 (0; 0)=0, f 3 (0; 0)=0, f 7 (0; 0)=0 etc.

Orice funcție obținută folosind operația de suprapunere din funcții care păstrează „0” este ea însăși o funcție care păstrează „0”. Prin urmare, setul de funcții care păstrează „0” nu permite formarea de funcții care nu păstrează „0”.

1.5.6.5. Funcții care stochează „1”

Funcția f(x 1 ; x 2 ;…x n) se numește păstrare „1” dacă pentru seturi de valori ale variabilelor binare (1; 1;…1) funcția ia valoarea f(1;1;…1 )=1.

De exemplu, f 1 (1; 1)=1, f3(1; 1)=1, f 5 (1; 1)=1 etc.

Orice funcție obținută folosind operația de suprapunere din funcții care păstrează „1” păstrează ea însăși „1”. Prin urmare, setul de funcții care păstrează „1” nu permite formarea de funcții care nu păstrează „1”.

Corespondența G între mulțimi AȘi ÎN numit submult. Dacă, atunci ei spun asta b

corespunde A. Ansamblul tuturor elementelor corespondente

Chemat cale elementul a. Se numește mulțimea tuturor cărora le corespunde elementul

prototip element b.

Multe cupluri (b, a) astfel că se numește inversă

către G si este desemnat . Conceptele de imagine și prototip pentru

„G și sunt reciproc inverse.

Exemple. 1) Să-l potrivim cu un număr natural P

set de numere reale . Imaginea cu numărul 5

va fi o jumătate de interval

(aceasta înseamnă cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu X). Prototipul numărului 5 din această corespondență este o mulțime infinită: jumătate de interval.

În ceea ce privește închiderea, putem da și alte definiții ale închiderii și completității (echivalente cu cele originale):

K este o clasă închisă dacă K = [K];

K este un sistem complet dacă [K] = P 2 .

Exemple.

* (0), (1) - clase închise.

* Un set de funcții ale unei variabile este o clasă închisă.

* - clasă închisă.

* Clasa (1, x+y) nu este o clasă închisă.

Să ne uităm la unele dintre cele mai importante clase închise.

1. T 0- clasa de funcții care păstrează 0.

Să notăm cu T 0 clasa tuturor funcțiilor algebrei logicii f(x 1 , x 2 , ... , x n) păstrând constanta 0, adică funcții pentru care f(0, ... , 0 ) = 0.

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui T 0 și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, x, xy, xÚy, x+y О T 0 ;

Din faptul că Ï T 0 rezultă, de exemplu, că nu se poate exprima prin disjuncţie şi conjuncţie.

Deoarece tabelul pentru funcția f din clasa T 0 conține valoarea 0 în prima linie, atunci pentru funcțiile din T 0 puteți seta valori arbitrare numai pe 2 n - 1 set de valori variabile, adică

,

unde este mulțimea de funcții care păstrează 0 și depind de n variabile.

Să arătăm că T 0 este o clasă închisă. Deoarece xÎT 0 , atunci pentru a justifica închiderea este suficient să se arate închiderea față de operația de suprapunere, întrucât operația de modificare a variabilelor este un caz special de suprapunere cu funcția x.

Lăsa . Atunci este suficient să arătăm că . Acesta din urmă decurge din lanțul egalităților

2. T 1- clasa de funcții care păstrează 1.

Să notăm cu T 1 clasa tuturor funcțiilor algebrei logicii f(x 1, x 2, ... , x n) păstrând constanta 1, adică funcții pentru care f(1, ... , 1 ) = 1.

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui T 1 și funcții care nu aparțin acestei clase:

1, x, xy, xÚy, xºy О T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

Din faptul că x + y Ï T 0 rezultă, de exemplu, că x + y nu poate fi exprimat în termeni de disjuncție și conjuncție.

Rezultatele despre clasa T 0 sunt transferate trivial în clasa T 1 . Astfel avem:

T 1 - clasa inchisa;

.

3. L- clasa de funcţii liniare.

Să notăm cu L clasa tuturor funcțiilor algebrei logice f(x 1 , x 2 , ... , x n) care sunt liniare:

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui L și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 О L;

Să demonstrăm, de exemplu, că xÚy Ï L .

Să presupunem contrariul. Vom căuta o expresie pentru xÚy sub forma unei funcții liniare cu coeficienți nedeterminați:

Pentru x = y = 0 avem a=0,

pentru x = 1, y = 0 avem b = 1,

pentru x = 0, y = 1 avem g = 1,

dar atunci pentru x = 1, y = 1 avem 1v 1 ¹ 1 + 1, ceea ce demonstrează neliniaritatea funcției xy.

Dovada închiderii clasei de funcții liniare este destul de evidentă.

Deoarece o funcție liniară este determinată în mod unic prin specificarea valorilor n+1 ale coeficientului a 0 , ... , a n , numărul de funcții liniare din clasa L (n) de funcții în funcție de n variabile este egal cu 2 n+1.

.

4. S- clasa de funcții auto-duale.

Definirea clasei de funcții auto-duale se bazează pe utilizarea așa-numitului principiu al dualității și al funcțiilor duale.

Funcția definită de egalitate este numită dual cu funcția .

Evident, tabelul pentru funcția duală (cu ordonarea standard a seturilor de valori variabile) se obține din tabelul pentru funcția originală prin inversarea (adică înlocuirea 0 cu 1 și 1 cu 0) coloanei de valori ale funcției și răsturnând-o.

Este ușor să vezi asta

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2 ,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

Din definiție rezultă că (f*)* = f, adică funcția f este duală cu f*.

Fie ca o funcție să fie exprimată folosind suprapunerea prin alte funcții. Întrebarea este cum să construim o formulă care să implementeze? Să notăm cu = (x 1, ..., x n) toate simbolurile variabile diferite găsite în mulțimi.

Teorema 2.6. Dacă funcția j se obține ca o suprapunere a funcțiilor f, f 1, f 2, ..., f m, adică

o funcție duală la o suprapunere este o suprapunere de funcții duale.

Dovada.

j*(x 1 ,...,x n) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

Teorema a fost demonstrată. ð

Principiul dualității rezultă din teoremă: dacă o formulă A realizează funcția f(x 1 , ... , x n), atunci formula obținută din A prin înlocuirea funcțiilor incluse în ea cu cele duale ale acestora realizează funcția duală f *(x 1 , ... , xn).

Să notăm cu S clasa tuturor funcțiilor autoduale din P 2:

S = (f | f* = f )

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui S și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, 1, xy, xÚy Ï S .

Un exemplu mai puțin trivial de funcție auto-duală este funcția

h(x, y, z) = xy Ú xz Ú ​​​​yz;

Folosind teorema funcției duale la suprapunere, avem

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h* ; h О S.

Pentru o funcție auto-duală, identitatea este valabilă

deci pe seturi și , pe care o vom numi opus, funcția auto-duală ia valori opuse. Rezultă că funcția auto-duală este complet determinată de valorile sale din prima jumătate a rândurilor tabelului standard. Prin urmare, numărul de funcții auto-duale din clasa S (n) de funcții în funcție de n variabile este egal cu:

.

Să demonstrăm acum că clasa S este închisă. Deoarece xÎS , atunci pentru a justifica închiderea este suficient să arătăm închiderea față de operația de suprapunere, întrucât operația de modificare a variabilelor este un caz special de suprapunere cu funcția x. Lăsa . Atunci este suficient să arătăm că . Acesta din urmă este instalat direct:

5. M- clasa funcţiilor monotone.

Înainte de a defini conceptul de funcție monotonă în algebra logicii, este necesar să se introducă o relație de ordonare asupra mulțimii de mulțimi ale variabilelor sale.

Ei spun că setul vine înaintea setului (sau „nu mai mult decât”, sau „mai mic decât sau egal cu”) și utilizați notația dacă a i £ b i pentru tot i = 1, ... , n. Dacă și , atunci vom spune că mulțimea precede cu strictețe mulțimea (sau „strict mai puțin”, sau „mai puțin decât” mulțimea) și vom folosi notația . Seturile și sunt numite comparabile dacă fie , fie . În cazul în care nici una dintre aceste relații nu este valabilă, mulțimile și sunt numite incomparabile. De exemplu, (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), dar mulțimile (0, 1, 1, 0) și (1, 0, 1, 0) sunt incomparabile. Astfel, relația £ (numită adesea relație de precedență) este o ordine parțială pe mulțimea B n. Mai jos sunt diagrame ale mulțimilor parțial ordonate B 2, B 3 și B 4.

Relația de ordine parțială introdusă este un concept extrem de important care depășește cu mult domeniul de aplicare al cursului nostru.

Acum avem ocazia să definim conceptul de funcție monotonă.

Funcția algebră logică este numită monoton, dacă pentru oricare două mulțimi și , astfel încât , inegalitatea este valabilă . Mulțimea tuturor funcțiilor monotone ale algebrei logicii este notată cu M, iar mulțimea tuturor funcțiilor monotone care depind de n variabile este notă cu M(n).

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui M și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, 1, x, xy, xÚy О M;

x+y, x®y, xºy Ï M .

Să arătăm că clasa funcțiilor monotone M este o clasă închisă. Deoarece xОМ, atunci pentru a justifica închiderea este suficient să se arate închiderea în raport cu operația de suprapunere, deoarece operația de modificare a variabilelor este un caz special de suprapunere cu funcția x.

Lăsa . Atunci este suficient să arătăm că .

Fie mulțimi de variabile, respectiv, funcții j, f 1 , ... , f m , iar mulțimea de variabile a funcției j este formată din acele și numai acele variabile care apar în funcțiile f 1 , ... , f m . Fie și două seturi de valori ale variabilei și . Aceste seturi definesc seturile valori variabile , astfel încât . Datorită monotonității funcțiilor f 1 , ... , f m

iar datorită monotonității funcției f

De aici ajungem

Numărul de funcții monotone în funcție de n variabile nu este cunoscut cu exactitate. Limita inferioară poate fi obținută cu ușurință:

unde - este partea întreagă a lui n/2.

De asemenea, se dovedește a fi o estimare prea mare de mai sus:

Rafinarea acestor estimări este o sarcină importantă și interesantă a cercetării moderne.

Criteriul de completitudine

Acum suntem capabili să formulăm și să dovedim un criteriu de completitudine (teorema lui Post), care determină condițiile necesare și suficiente pentru completitudinea unui sistem de funcții. Să prefațăm formularea și demonstrarea criteriului de completitudine cu câteva leme necesare care au interes independent.

Lema 2.7. Lema despre funcția non-duală.

Dacă f(x 1 , ... , x n)Ï S , atunci se poate obține o constantă din acesta prin înlocuirea funcțiilor x și `x.

Dovada. Din moment ce fÏS, atunci există un set de valori ale variabilelor
=(a 1 ,...,a n) astfel încât

f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)

Să înlocuim argumentele din funcția f:

x i este înlocuit cu ,

adică să punem și să luăm în considerare funcția

Astfel, am obținut o constantă (deși nu se știe ce constantă este: 0 sau 1). ð

Lema 2.8. Lema despre funcția nemonotonă.

Dacă funcția f(x 1 ,...,x n) este nemonotonă, f(x 1 ,...,x n) Ï M, atunci se poate obține o negație din ea prin schimbarea variabilelor și înlocuirea constantelor 0 și 1.

Dovada. Deoarece f(x 1 ,...,x n) Ï M, atunci există seturi de valori ale variabilelor sale, , , astfel încât , și pentru cel puțin o valoare i, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i va fi înlocuit cu

După o astfel de înlocuire obținem o funcție a unei variabile j(x), pentru care avem:

Aceasta înseamnă că j(x)=`x. Lema este dovedită. ð

Lema 2.9. Lema despre funcția neliniară.

Dacă f(x 1 ,...,x n) Ï L , atunci din acesta prin substituirea constantelor 0, 1 și folosind funcția `x putem obține funcția x 1 &x 2 .

Dovada. Să reprezentăm f ca un DNF (de exemplu, un DNF perfect) și să folosim relațiile:

Exemplu. Să dăm două exemple de aplicare a acestor transformări.

Astfel, o funcție scrisă în formă normală disjunctivă, după aplicarea relațiilor indicate, deschiderea parantezelor și transformărilor algebrice simple, devine un polinom mod 2 (polinomul Zhegalkin):

unde A 0 este o constantă, iar A i este o conjuncție a unor variabile din numărul x 1,..., x n, i = 1, 2, ..., r.

Dacă fiecare conjuncție A i constă dintr-o singură variabilă, atunci f este o funcție liniară, care contrazice condiția lemei.

În consecință, în polinomul Zhegalkin pentru funcția f există un termen care conține cel puțin doi factori. Fără pierderea generalității, putem presupune că printre acești factori există variabile x 1 și x 2. Atunci polinomul poate fi transformat după cum urmează:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3 ,..., x n) + x 1 f 2 (x 3 ,..., x n) + x 2 f 3 (x 3 ,..., x n) + f 4 (x 3 ,..., x n),

unde f 1 (x 3 ,..., x n) ¹ 0 (altfel polinomul nu include o conjuncție care conține conjuncția x 1 x 2).

Fie (a 3 ,...,a n) astfel încât f 1 (a 3 ,...,a n) = 1. Atunci

j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,

unde a, b, g sunt constante egale cu 0 sau 1.

Să folosim operația de negație pe care o avem și să considerăm funcția y(x 1 ,x 2) obținută din j(x 1 ,x 2) după cum urmează:

y(x 1 ,x 2) = j(x 1 +b, x 2 +a)+ab+g.

Este evident că

y(x 1 ,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2.

Prin urmare,

y(x 1 ,x 2) = x 1 x 2 .

Lema este complet dovedită. ð

Lema 2.10. Lema principală a criteriului de completitudine.

Dacă clasa F=( f ) a funcțiilor de algebră logică conține funcții care nu păstrează unitatea, nu păstrează 0, sunt non-auto-duale și nemonotone:

apoi din functiile acestui sistem, prin operatii de suprapunere si inlocuire de variabile, se pot obtine constantele 0, 1 si functia.

Dovada. Să luăm în considerare funcția. Apoi

.

Există două cazuri posibile de considerații ulterioare, desemnate în prezentarea următoare ca 1) și 2).

1). Funcția de pe setul de unități ia valoarea 0:

.

Să înlocuim toate variabilele funcției cu variabila x. Apoi funcția

există, pentru că

Și .

Să luăm o funcție non-duală. Deoarece am obținut deja funcția, atunci prin lema pe o funcție non-duală (lema 2.7. ) puteți obține o constantă de la. A doua constantă poate fi obținută de la prima folosind funcția. Deci, în primul caz considerat, se obțin constante și negație. . Al doilea caz, și odată cu el lema principală a criteriului de completitudine, sunt complet dovedite. ð

Teorema 2.11. Un criteriu pentru completitudinea sistemelor de funcții în algebra logicii (teorema lui Post).

Pentru ca sistemul de funcții F = (f i) să fie complet, este necesar și suficient ca acesta să nu fie cuprins în întregime în nici una dintre cele cinci clase închise T 0, T 1, L, S, M, adică pt. fiecare dintre clasele T 0 , T 1 , L , S, M în F există cel puţin o funcţie care nu aparţine acestei clase.

Necesitate. Fie F un sistem complet. Să presupunem că F este conținut într-una din clasele indicate, să o notăm cu K, adică. F Í K. Ultima includere este imposibilă, deoarece K este o clasă închisă care nu este un sistem complet.

Adecvarea. Fie ca întregul sistem de funcții F = (f i ) să nu fie cuprins în nici una din cele cinci clase închise T 0 , T 1 , L , S , M . Să luăm următoarele funcții în F:

Apoi, pe baza lemei principale (lema 2.10 ) dintr-o funcție care nu păstrează 0, o funcție care nu păstrează 1, funcții non-duale și nemonotone, se pot obține constantele 0, 1 și funcția de negație:

.

Pe baza lemei funcțiilor neliniare (lema 2.9 ) din constante, negație și o funcție neliniară putem obține conjuncția:

.

Sistem de funcții - un sistem complet conform teoremei despre posibilitatea de a reprezenta orice funcție a algebrei logicii sub forma unei forme normale disjunctive perfecte (de remarcat că disjuncția poate fi exprimată prin conjuncție și negație sub forma ).

Teorema este complet demonstrată. ð

Exemple.

1. Să arătăm că funcția f(x,y) = x|y formează un sistem complet. Să construim un tabel de valori ale funcției x½y:

X	y	x|y

f(0,0) = 1, deci x | yÏT 0 .

f(1,1) = 0, deci x | yÏT 1 .

f(0,0) = 1, f(1,1) = 0, deci x | mie.

f(0,1) = f(1,0) = 1, - pe multimi opuse x | y ia aceleasi valori, prin urmare x | da.

În sfârșit, ce înseamnă neliniaritatea funcției?
x | y.

Pe baza criteriului de completitudine, putem afirma că f(x,y) = x | y formează un sistem complet. ð

2. Să arătăm că sistemul de funcții formează un sistem complet.

Într-adevăr, .

Astfel, printre funcțiile sistemului nostru am găsit: o funcție care nu păstrează 0, o funcție care nu păstrează 1, funcții non-auto-duale, nemonotone și neliniare. Pe baza criteriului de completitudine, se poate susține că sistemul de funcții formează un sistem complet. ð

Astfel, suntem convinși că criteriul de completitudine oferă o modalitate constructivă și eficientă de a determina completitudinea sistemelor de funcții în algebra logicii.

Să formulăm acum trei corolare din criteriul de completitudine.

Corolarul 1. Orice clasă închisă K de funcții ale algebrei logicii care nu coincide cu întregul set de funcții al algebrei logicii (K¹P 2) este conținută în cel puțin una dintre clasele închise construite.

Definiție. Se numește clasa închisă K pre-plin, dacă K este incomplet și pentru orice funcție fÏ K clasa K È (f) este completă.

Din definiție rezultă că clasa precompletă este închisă.

Corolarul 2.În algebra logicii există doar cinci clase precomplete și anume: T 0, T 1, L, M, S.

Pentru a demonstra corolarul, trebuie doar să verificați că niciuna dintre aceste clase nu este conținută în cealaltă, ceea ce este confirmat, de exemplu, de următorul tabel de funcții aparținând unor clase diferite:

	T0	T 1	L	S	M
	+	-	+	-	+
	-	+	+	-	+
	-	-	+	+	-

Corolarul 3. Din orice sistem complet de funcții este posibil să se distingă un subsistem complet care conține nu mai mult de patru funcții.

Din demonstrarea criteriului de completitudine rezultă că nu se pot distinge mai mult de cinci funcții. Din demonstrarea lemei principale (Lema 2.10 ) urmează că fie nu este auto-dual, fie nu păstrează unitatea și nu este monoton. Prin urmare, nu sunt necesare mai mult de patru funcții.

Să ne familiarizăm cu conceptul de suprapunere (sau impunere) de funcții, care constă în substituirea unei funcții dintr-un alt argument în locul argumentului unei funcții date. De exemplu, o suprapunere de funcții dă o funcție, iar funcțiile sunt obținute în mod similar

În general, să presupunem că o funcție este definită într-un anumit domeniu și funcția este definită într-un domeniu și valorile sale sunt toate conținute în domeniu. Atunci variabila z, așa cum se spune, prin y, este ea însăși o funcție a

Având în vedere o valoare dată, ei găsesc mai întâi valoarea y corespunzătoare acesteia (după regula caracterizată printr-un semn), apoi stabilesc valoarea y corespunzătoare (conform regulii

caracterizat printr-un semn, valoarea acestuia este considerată corespunzătoare x-ului selectat. Funcția rezultată dintr-o funcție sau dintr-o funcție complexă este rezultatul unei suprapuneri de funcții

Presupunerea că valorile funcției nu depășesc limitele regiunii Y în care este definită funcția este foarte semnificativă: dacă este omisă, atunci poate rezulta absurditate. De exemplu, presupunând că putem lua în considerare doar acele valori ale lui x pentru care altfel expresia nu ar avea sens.

Considerăm util să subliniem aici că caracterizarea unei funcții ca complexă nu este legată de natura dependenței funcționale a lui z de x, ci doar de modul în care este specificată această dependență. De exemplu, lăsați pentru y pentru Then

Aici funcția s-a dovedit a fi specificată ca o funcție complexă.

Acum că conceptul de suprapunere a funcțiilor este pe deplin înțeles, putem caracteriza cu exactitate cea mai simplă dintre acele clase de funcții care sunt studiate în analiză: acestea sunt, în primul rând, funcțiile elementare enumerate mai sus și apoi toate cele care se obțin din ele. folosind patru operații aritmetice și suprapoziții, aplicate succesiv de un număr finit de ori. Se spune că ele sunt exprimate prin elementar în forma lor finală; uneori sunt numite şi elementare.

Ulterior, stăpânind un aparat analitic mai complex (seri infinite, integrale), ne vom familiariza cu alte funcții care joacă și ele un rol important în analiză, dar depășesc deja clasa funcțiilor elementare.

Tema: „Funcția: concept, metode de atribuire, caracteristici principale. Funcție inversă. Suprapunerea funcțiilor.”

Epigraful lecției:

„Studiați ceva și nu vă gândiți la el

învăţat – absolut inutil.

Să te gândești la ceva fără să-l studiezi

subiect preliminar de gândire -

Confucius.

Scopul și obiectivele psihologice și pedagogice ale lecției:

1) Scop educativ general (normativ).: Revedeți împreună cu elevii definiția și proprietățile unei funcții. Introduceți conceptul de suprapunere a funcțiilor.

2) Obiectivele dezvoltării matematice a elevilor: utilizarea materialelor educaționale și matematice non-standard pentru a continua dezvoltarea experienței mentale a elevilor, a structurii cognitive semnificative a inteligenței lor matematice, inclusiv abilitățile de gândire logico-deductivă și inductivă, analitică și sintetică reversibilă, gândire algebrică și figurativ-grafică , generalizare și concretizare semnificativă, la reflecție și independență ca abilitate metacognitivă a elevilor; să continue dezvoltarea unei culturi a vorbirii scrise și orale ca mecanisme psihologice ale inteligenței educaționale și matematice.

3) Sarcini educaționale: să continue educația personală a elevilor de interes cognitiv pentru matematică, responsabilitate, simț al datoriei, independență academică, capacitate comunicativă de a coopera cu grupul, profesorul, colegii de clasă; abilitate autogogică pentru activitate educațională și matematică competitivă, luptă pentru rezultate înalte și cele mai înalte (motiv acmeic).

Tipul de lecție: învățarea de material nou; după criteriul conducerii conținutului matematic - o lecție practică; după criteriul tipului de interacţiune informaţională dintre elevi şi profesor – o lecţie de cooperare.

Echipament pentru lecție:

1. Literatură educațională:

1) Kudryavtsev de analiză matematică: manual. pentru universități și studenți. În 3 volume.T. 3. – Ed. a II-a, revăzută. si suplimentare – M.: Mai sus. şcoală, 1989. – 352 p. : bolnav.

2) Probleme și exerciții Demidovich de analiză matematică. – Ed. a 9-a. – M.: Editura „Nauka”, 1977.

2. Ilustrații.

În timpul orelor.

1. Anunțarea temei și a scopului educațional principal al lecției; stimularea simțului datoriei, responsabilității și interesului cognitiv al elevilor în pregătirea pentru sesiune.

2.Repetarea materialului pe bază de întrebări.

a) Definiți o funcție.

Unul dintre conceptele matematice de bază este conceptul de funcție. Conceptul de funcție este asociat cu stabilirea unei relații între elementele a două mulțimi.

Fie două seturi nevide și să fie date. Este numită o potrivire f care potrivește fiecare element cu un singur element funcţie și scrie y = f(x). Ei mai spun că funcția f afișează multi peste multi.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> se numește set de sensuri funcția f și se notează cu E(f).

b) Funcţii numerice. Graficul funcției. Metode de specificare a funcțiilor.

Să fie dată funcția.

Dacă elementele mulțimilor și sunt numere reale, atunci se numește funcția f functie numerica . Se numește variabila x argument sau variabilă independentă și y – funcţie sau variabilă dependentă(din x). În ceea ce privește cantitățile x și y înseși, se spune că se află în dependenta functionala.

Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor planului Oxy, pentru fiecare dintre ele x este valoarea argumentului și y este valoarea corespunzătoare a funcției.

Pentru a specifica funcția y = f(x), este necesar să se precizeze o regulă care să permită, cunoscând x, să se găsească valoarea corespunzătoare a lui y.

Cele mai comune trei moduri de a specifica o funcție sunt: ​​analitică, tabelară și grafică.

Metoda analitica: O funcție este specificată ca una sau mai multe formule sau ecuații.

De exemplu:

Dacă domeniul de definire al funcției y = f(x) nu este specificat, atunci se presupune că aceasta coincide cu setul tuturor valorilor argumentului pentru care formula corespunzătoare are sens.

Metoda analitică de specificare a unei funcții este cea mai avansată, deoarece include metode de analiză matematică care fac posibilă studierea completă a funcției y = f(x).

Metoda grafică: Setează graficul funcției.

Avantajul unei sarcini grafice este claritatea sa, dezavantajul este inexactitatea sa.

Metoda tabelară: O funcție este specificată de un tabel cu o serie de valori ale argumentelor și valorile funcției corespunzătoare. De exemplu, binecunoscutele tabele de valori ale funcțiilor trigonometrice, tabele logaritmice.

c) Principalele caracteristici ale funcției.

1. Se numește funcția y = f(x), definită pe mulțimea D chiar , dacă sunt îndeplinite condițiile și f(-x) = f(x); ciudat , dacă sunt îndeplinite condițiile și f(-x) = -f(x).

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy, iar o funcție impară este simetrică față de origine. De exemplu, – chiar funcții; și y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – funcții de formă generală, adică nici par, nici impar.

2. Fie definită funcția y = f(x) pe mulțimea D și fie . Dacă pentru oricare dintre valorile argumentelor urmează următoarea inegalitate: , atunci funcția este apelată crescând pe platou; Dacă , atunci funcția este apelată nedescrescătoare la https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">apoi funcția este apelată. in scadere pe ; - necrescătoare .

Funcții de creștere, necreștere, descreștere și nedescrescătoare pe set https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">Valoare D (x +T)D și egalitatea f(x+T) = f(x) este valabilă.

Pentru a reprezenta un grafic al unei funcții periodice a perioadei T, este suficient să îl reprezentați pe orice segment de lungime T și să îl continuați periodic pe întregul domeniu de definiție.

Să notăm principalele proprietăți ale unei funcții periodice.

1) Suma algebrică a funcțiilor periodice cu aceeași perioadă T este o funcție periodică cu perioada T.

2) Dacă funcția f(x) are perioada T, atunci funcția f(ax) are perioada T/a.

d) Funcția inversă.

Fie dată o funcție y = f(x) cu un domeniu de definiție D și un set de valori E..gif" width="48" height="22">, apoi o funcție x = z(y) cu un domeniu de definiție E și un set de valori D este definită O astfel de funcție z(y) se numește verso la funcția f(x) și se scrie sub următoarea formă: . Funcțiile y = f(x) și x = z(y) se spune că sunt reciproc inverse. Pentru a găsi funcția x = z(y), inversă funcției y = f(x), este suficient să rezolvăm ecuația f(x) = y pentru x.

Exemple:

1. Pentru funcția y = 2x funcția inversă este funcția x = ½ y;

2. Pentru funcție funcția inversă este funcția .

Din definiția unei funcții inverse rezultă că funcția y = f(x) are inversă dacă și numai dacă f(x) specifică o corespondență unu-la-unu între mulțimile D și E. Rezultă că orice o funcţie strict monotonă are inversă . Mai mult, dacă o funcție crește (descrește), atunci și funcția inversă crește (descrește).

3. Studierea materialelor noi.

Funcție complexă.

Fie definită funcția y = f(u) pe mulțimea D, iar funcția u = z(x) pe mulțime și pentru valoarea corespunzătoare . Atunci funcția u = f(z(x)) este definită pe mulțime, care este numită functie complexa de la x (sau suprapunere funcții specificate sau funcţie din funcţie ).

Se numește variabila u = z(x). argument intermediar functie complexa.

De exemplu, funcția y = sin2x este o suprapunere a două funcții y = sinu și u = 2x. O funcție complexă poate avea mai multe argumente intermediare.

4. Rezolvarea mai multor exemple la tablă.

5. Încheierea lecției.

1) rezultatele teoretice și aplicate ale lecției practice; evaluarea diferențiată a nivelului de experiență mentală a elevilor; nivelul lor de stăpânire a temei, competența, calitatea vorbirii matematice orale și scrise; nivelul de creativitate demonstrat; nivelul de independență și reflecție; nivel de inițiativă, interes cognitiv pentru metodele individuale de gândire matematică; niveluri de cooperare, competiție intelectuală, dorință pentru niveluri înalte de activitate educațională și matematică etc.;

2) anunțarea notelor motivate, punctele de lecție.