Proprietățile spectrale și de corelație ale semnalului. Rezumatul cursului: Corelație, autocorelare, corelație încrucișată

17.06.2019 Sfat

Semnale și sisteme liniare. Corelarea semnalelor

Tema 6. Corelarea semnalelor

Frica maximă și zelul maxim al curajului deopotrivă deranjează stomacul și provoacă diaree.

Michel Montaigne. Jurist-gânditor francez, secolul al XVI-lea.

Iată numărul! Două funcții au o corelație de 100% cu a treia și sunt ortogonale una față de cealaltă. Ei bine, Atotputernicul a făcut glume în timpul creării Lumii.

Anatoly Pyshmintsev. Geofizician din Novosibirsk al școlii din Ural, secolul XX.

1. Funcții de autocorelare ale semnalelor. Conceptul de funcții de autocorelare (ACF). ACF de semnale limitate în timp. ACF de semnale periodice. Funcții de autocovarianță (FAK). ACF de semnale discrete. ACF de semnale zgomotoase. ACF de semnale de cod.

2. Funcții de corelație încrucișată a semnalelor (CCF). Funcția de corelație încrucișată (CCF). Corelația încrucișată a semnalelor zgomotoase. VKF de semnale discrete Estimarea semnalelor periodice în zgomot. Funcția coeficienților de corelație reciprocă.

3. Densitățile spectrale ale funcțiilor de corelație. Densitatea spectrală a ACF. Interval de corelare a semnalului. Densitatea spectrală a VKF. Calculul funcțiilor de corelare folosind FFT.

Introducere

Corelația și cazul său special pentru semnalele centrate - covarianța, este o metodă de analiză a semnalului. Iată una dintre opțiunile de utilizare a metodei. Să presupunem că există un semnal s(t), care poate sau nu conține o secvență x(t) de lungime finită T, a cărei poziție în timp ne interesează. Pentru a căuta această secvență într-o fereastră de timp de lungime T care alunecă de-a lungul semnalului s(t), se calculează produsele scalare ale semnalelor s(t) și x(t). Astfel, „aplicăm” semnalul dorit x(t) semnalului s(t), alunecând de-a lungul argumentului său, iar prin valoarea produsului scalar estimăm gradul de asemănare a semnalelor la punctele de comparație.

Analiza corelației face posibilă stabilirea în semnale (sau în seria de date de semnal digital) a prezenței unei anumite relații între modificarea valorilor semnalelor în ceea ce privește variabila independentă, adică atunci când valorile mari ale unui semnal (față de valorile medii ale semnalului) sunt asociate cu valori mari ale altui semnal (corelație pozitivă) sau, dimpotrivă, valorile mici ale unui semnal sunt asociate cu valori mari ale celuilalt (corelație negativă), sau datele celor două semnale nu sunt legate în niciun fel (corelație zero).

În spațiul funcțional al semnalelor, acest grad de conexiune poate fi exprimat în unități normalizate ale coeficientului de corelație, adică. în cosinusul unghiului dintre vectorii de semnal și, în consecință, va lua valori de la 1 (coincidență completă a semnalelor) la -1 (complet opus) și nu depinde de valoarea (scara) unităților de măsură.

În varianta de autocorelare, folosind o tehnică similară, produsul scalar al semnalului s(t) este determinat cu propria copie alunecând de-a lungul argumentului. Autocorelarea face posibilă evaluarea dependenței statistice medii a eșantioanelor de semnal curente față de valorile lor anterioare și ulterioare (așa-numita rază de corelație a valorilor semnalului), precum și identificarea prezenței elementelor care se repetă periodic în semnal.

Metodele de corelare sunt de o importanță deosebită în analiza proceselor aleatoare pentru identificarea componentelor non-aleatoare și evaluarea parametrilor non-aleatori ai acestor procese.

Rețineți că există o oarecare confuzie în termenii „corelație” și „covarianță”. În literatura de specialitate, termenul de „covarianță” este aplicat funcțiilor centrate, iar „corelație” celor arbitrare. În literatura tehnică, și în special în literatura despre semnale și metode de procesare a semnalului, este adesea folosită terminologia exact opusă. Acest lucru nu este de o importanță fundamentală, dar atunci când vă familiarizați cu sursele literare, merită să acordați atenție scopului acceptat al acestor termeni.

2.6. Analiza corelație-spectrală a semnalelor deterministe. Circuite și semnale de inginerie radio. Partea I

2.6. Analiza corelație-spectrală a semnalelor deterministe

În multe probleme de inginerie radio, de multe ori devine necesar să se compare semnalul și copia sa deplasată cu ceva timp. În special, această situație are loc în radar, unde pulsul reflectat de la țintă ajunge la intrarea receptorului cu o întârziere. Compararea acestor semnale între ele, de ex. stabilirea relației lor, în timpul procesării, vă permite să determinați parametrii mișcării țintei.

Pentru a cuantifica relația dintre un semnal și copia sa decalată în timp, se introduce caracteristica

, (2.57)

Care e numit funcția de autocorelare(AKF).

Pentru a explica semnificația fizică a ACF, dăm un exemplu în care un impuls dreptunghiular cu durată și amplitudine acționează ca semnal. Pe fig. 2.9 arată impulsul, copia acestuia, deplasat cu un interval de timp și produsul . Evident, integrarea produsului dă valoarea zonei pulsului, care este produsul . Această valoare, când este fixă, poate fi reprezentată printr-un punct în coordonate. Când se modifică, vom obține un grafic al funcției de autocorelare.

Să găsim o expresie analitică. pentru că

apoi substituind această expresie în (2.57), obținem

. (2.58)

Dacă semnalul este deplasat la stânga, atunci prin calcule similare este ușor să arătăm asta

. (2.59)

Apoi, combinând (2.58) și (2.59), obținem

. (2.60)

Din exemplul luat în considerare, putem trage următoarele concluzii importante care se aplică formelor de undă arbitrare:

1. Funcția de autocorelare a unui semnal neperiodic scade odată cu creșterea (nu neapărat monoton pentru alte tipuri de semnale). Evident, la ACF tinde și spre zero.

2. ACF atinge valoarea maximă la . În acest caz, este egală cu energia semnalului. Deci ACF este energie caracteristica semnalului. După cum era de așteptat, la , semnalul și copia sa sunt complet corelate (interconectate).

3. Comparând (2.58) și (2.59) rezultă că ACF este chiar funcția argument , adică

O caracteristică importantă a semnalului este interval de corelare. Intervalul de corelare este înțeles ca intervalul de timp, atunci când este deplasat, prin care semnalul și copia sa devin necorelate.

Din punct de vedere matematic, intervalul de corelație este determinat de următoarea expresie

sau deoarece este o funcție pară

. (2.61)

Pe fig. 2.10 arată ACF-ul unui semnal de formă de undă arbitrară. Dacă construim un dreptunghi a cărui zonă este egală cu aria de sub curbă cu valori pozitive (ramura dreaptă a curbei), a cărui latură este egală cu , atunci a doua latură va corespunde cu .

Găsiți intervalul de corelație pentru un impuls dreptunghiular. Înlocuind (2.58) în (2.60) după transformări simple, obținem:

care rezultă din fig. 2.9.

Prin analogie cu funcția de autocorelare, se estimează gradul de relație dintre două semnale funcția de corelație încrucișată(VKF)

. (2.62)

Să găsim funcția de corelație reciprocă a două semnale: un impuls dreptunghiular cu amplitudine și durată

și un impuls triunghiular de aceeași amplitudine și durată

Folosind (2.61) și calculând integralele separat pentru și , obținem:

Construcțiile grafice care ilustrează calculele VKF sunt prezentate în fig. 2.11

Aici, liniile întrerupte arată poziția inițială (la ) a impulsului triunghiular.

La expresia (2.61) se transformă în (2.57). Rezultă că ACF este un caz special al CCF cu semnale complet coincidente.

Remarcăm principalele proprietăți ale VKF.

1. La fel ca funcția de autocorelare, CCF este o funcție descrescătoare a argumentului . La VKF tind la zero.

2. Valorile funcției de corelație încrucișată pentru arbitrar sunt valorile energie reciprocă(energia de interacțiune) a semnalelor și .

3. La , funcția de corelare încrucișată (spre deosebire de funcția de autocorelare) nu atinge întotdeauna maximul său.

4. Dacă semnalele și sunt descrise de funcții pare ale timpului, atunci CCF este, de asemenea, par. Dacă cel puțin unul dintre semnale este descris de o funcție impară, atunci CCF este, de asemenea, impar. Prima afirmație este ușor de demonstrat dacă calculăm CCF a două impulsuri dreptunghiulare de polaritate opusă

și

Funcția de corelare reciprocă a unor astfel de semnale

, (2.63)

este o funcție uniformă a argumentului .

În ceea ce privește a doua afirmație, exemplul considerat de calculare a TCF-ului impulsurilor dreptunghiulare și triunghiulare o demonstrează.

În unele probleme aplicate ale ingineriei radio, se utilizează ACF normalizat

, (2.64)

și VKF normalizat

, (2.65)

unde si sunt energiile proprii ale semnalelor si . Pentru valoarea VKF normalizat numit coeficient de corelație încrucișată. Dacă , apoi coeficientul de corelație încrucișată

Evident, valorile sunt între -1 și +1. Dacă comparăm (2.65) cu (1.32), atunci putem observa că coeficientul de corelație încrucișată corespunde valorii cosinusului unghiului dintre vectori și în reprezentarea geometrică a semnalelor.

Să calculăm coeficientul de corelație încrucișată pentru exemplele de mai sus. Deoarece energia semnalului unui impuls dreptunghiular este

și un puls triunghiular

atunci coeficientul de corelație încrucișată conform (2.62) și (2.65) va fi egal cu . Cât despre al doilea exemplu, pentru două impulsuri dreptunghiulare de aceeași amplitudine și durată, dar de polaritate opusă, .

Experimental, ACF și VKF pot fi obținute folosind un dispozitiv a cărui diagramă bloc este prezentată în Fig. 2.12

Când ACF este îndepărtat, un semnal ajunge la una dintre intrările multiplicatorului, iar același semnal, dar întârziat pentru un timp, ajunge la a doua. Semnalul proportional cu produsul , suferă o operațiune de integrare. La ieșirea integratorului, se formează o tensiune proporțională cu valoarea ACF la o valoare fixă. Prin modificarea timpului de întârziere, este posibil să se construiască ACF-ul semnalului.

Pentru construcția experimentală a VKF, semnalul este alimentat la una dintre intrările multiplicatorului, iar semnalul este alimentat la dispozitivul de întârziere (circuitele de intrare sunt afișate printr-o linie punctată). În caz contrar, dispozitivul funcționează într-un mod similar. Rețineți că dispozitivul descris este apelat corelatorși este utilizat pe scară largă în diverse sisteme radio pentru recepția și procesarea semnalelor.

Până acum am efectuat o analiză de corelație a semnalelor neperiodice cu energie finită. În același timp, nevoia unei astfel de analize apare adesea pentru semnalele periodice, care au, teoretic, o energie infinită, dar o putere medie finită. În acest caz, ACF și CCF sunt calculate prin medierea perioadei și au semnificația puterii medii (intrinsecă sau, respectiv, reciprocă). Astfel, ACF-ul unui semnal periodic:

, (2.66)

și funcția de corelație încrucișată a două semnale periodice cu perioade multiple:

, (2.67)

unde este cea mai mare valoare a perioadei.

Găsiți funcția de autocorelare a unui semnal armonic

unde este frecvența circulară și este faza inițială.

Înlocuind această expresie în (2.66) și calculând integrala folosind binecunoscuta relație trigonometrică:

Din exemplul luat în considerare, putem trage următoarele concluzii, care sunt valabile pentru orice semnal periodic.

1. ACF-ul unui semnal periodic este o funcție periodică cu aceeași perioadă.

2. ACF-ul unui semnal periodic este o funcție pară a argumentului .

3. La , valoarea este puterea medie care se eliberează la o rezistență de 1 ohm și are o dimensiune.

4. ACF-ul unui semnal periodic nu conține informații despre faza inițială a semnalului.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că intervalul de corelare a unui semnal periodic .

Și acum calculăm funcția de corelație reciprocă a două semnale armonice de aceeași frecvență, dar care diferă în amplitudini și faze inițiale

și .

În primele etape ale dezvoltării ingineriei radio, problema alegerii celor mai bune semnale pentru anumite aplicații specifice nu era foarte acută. Acest lucru s-a datorat, pe de o parte, structurii relativ simple a mesajelor transmise (colete telegrafice, difuzare); pe de altă parte, implementarea practică a semnalelor de formă complexă în combinație cu echipamente pentru codificarea, modularea și transformarea lor inversă într-un mesaj s-a dovedit a fi dificil de implementat.

În prezent, situația s-a schimbat radical. În complexele radio-electronice moderne, alegerea semnalelor este dictată în primul rând nu de facilitățile tehnice ale generării, conversiei și recepționării acestora, ci de posibilitatea de a rezolva în mod optim problemele prevăzute în proiectarea sistemului. Pentru a înțelege cum apare nevoia de semnale cu proprietăți special alese, luați în considerare următorul exemplu.

Comparația semnalelor deplasate în timp.

Să ne întoarcem la o idee simplificată a funcționării unui radar cu impulsuri conceput pentru a măsura distanța până la zăpadă. Aici, informațiile despre obiectul de măsurat sunt încorporate în valoare - întârzierea de timp dintre semnalele de sondare și recepția. Formele de sondare și recepție și semnale sunt aceleași pentru orice întârzieri.

Schema bloc a unui dispozitiv de procesare a semnalului radar proiectat pentru distanță poate arăta ca cea prezentată în Fig. 3.3.

Sistemul constă dintr-un set de elemente care întârzie semnalul transmis „de referință” pentru anumite perioade fixe de timp.

Orez. 3.3. Dispozitiv pentru măsurarea timpului de întârziere a semnalului

Semnalele întârziate, împreună cu semnalul recepționat, sunt alimentate la comparatoare care funcționează în conformitate cu principiul că un semnal apare la ieșire numai dacă ambele oscilații de intrare sunt „copii” una a celeilalte. Cunoscând numărul canalului în care are loc evenimentul specificat, este posibil să se măsoare întârzierea și, prin urmare, intervalul până la țintă.

Un astfel de dispozitiv va funcționa cu atât mai precis, cu atât semnalul și „copia” sa decalată în timp diferă unul de celălalt.

Astfel, am obținut o „înțelegere calitativă a ce semnale pot fi considerate „bune” pentru o anumită aplicație.

Să ne întoarcem la formularea matematică exactă a problemei puse și să arătăm că această serie de întrebări este direct legată de teoria spectrelor energetice ale semnalelor.

Funcția de autocorelare a semnalului.

Pentru a determina cantitativ gradul de diferență dintre semnal și copia sa decalată în timp, se obișnuiește să se introducă funcția de autocorelare (ACF) a semnalului egală cu produsul scalar al semnalului și al copiei:

În cele ce urmează, vom presupune că semnalul studiat are un caracter pulsat localizat în timp, astfel încât cu siguranță există o integrală de forma (3.15).

Se vede direct că la , funcția de autocorelare devine egală cu energia semnalului:

Printre cele mai simple proprietăți ale unui ACF este paritatea sa:

Într-adevăr, dacă facem o schimbare de variabile în integrala (3.15), atunci

În cele din urmă, o proprietate importantă a funcției de autocorelare este următoarea: pentru orice valoare a deplasării în timp, modulul ACF nu depășește energia semnalului:

Acest fapt rezultă direct din inegalitatea Cauci-Bunyakovsky (vezi cap. 1):

Deci, ACF este reprezentat de o curbă simetrică cu un maxim central, care este întotdeauna pozitiv. În acest caz, în funcție de tipul de semnal, funcția de autocorelare poate avea atât un caracter monoton descrescător, cât și unul oscilant.

Exemplul 3.3. Găsiți ACF-ul unui impuls video dreptunghiular.

Pe fig. 3.4,a arată un impuls video dreptunghiular cu amplitudinea și durata U. Aici este și „copia” acestuia, deplasată în timp în direcția întârzierii cu . Integrala (3.15) se calculează în acest caz elementar pe baza construcției grafice. Într-adevăr, produsul dintre și și este diferit de zero numai în intervalul de timp în care se observă suprapunerea semnalelor. Din fig. 3.4, se poate observa că acest interval de timp este egal dacă deplasarea nu depășește durata pulsului. Astfel, pentru semnalul considerat

Graficul unei astfel de funcții este triunghiul prezentat în Fig. 3.4b. Lățimea bazei triunghiului este de două ori mai mare decât durata pulsului.

Orez. 3.4. Găsirea ACF al unui impuls video dreptunghiular

Exemplul 3.4. Găsiți ACF-ul unui impuls radio dreptunghiular.

Vom lua în considerare un semnal radio de formă

Știind dinainte că ACF este par, calculăm integrala (3.15), cu . în care

de unde obținem ușor

Desigur, la , valoarea devine egală cu energia acestui impuls (vezi Exemplul 1.9). Formula (3.21) descrie ACF-ul unui impuls radio dreptunghiular pentru toate deplasările care se află în intervalul Dacă valoarea absolută a deplasării depășește durata impulsului, atunci funcția de autocorelare va dispărea în mod identic.

Exemplul 3.5. Determinați ACF-ul unei secvențe de impulsuri video dreptunghiulare.

În radar sunt utilizate pe scară largă semnalele, care sunt rafale de impulsuri de aceeași formă, care urmează unul după altul în același interval de timp. Pentru a detecta un astfel de pachet, precum și pentru a măsura parametrii acestuia, de exemplu, poziția în timp, sunt create dispozitive care implementează algoritmi pentru calcularea ACF-ului în hardware.

Orez. 3.5. ACF al unui pachet de trei impulsuri video identice: a - un pachet de impulsuri; b - graficul ACF

Pe fig. 3.5, este prezentat un pachet, format din trei impulsuri video dreptunghiulare identice. De asemenea, prezintă funcția sa de autocorelare, calculată prin formula (3.15) (Fig. 3.5, b).

Se vede clar că maximul ACF este atins la.Totuși, dacă întârzierea este un multiplu al perioadei de secvență (at în cazul nostru), se observă lobi laterali ai ACF, comparabili ca înălțime cu lobul principal. Prin urmare, putem vorbi despre binecunoscuta imperfecțiune a structurii de corelație a acestui semnal.

Funcția de autocorelare a unui semnal extins infinit.

Dacă este necesar să se ia în considerare secvențe periodice care sunt nelimitate în timp, atunci abordarea studierii proprietăților de corelare a semnalelor ar trebui să fie oarecum modificată.

Vom presupune că o astfel de secvență se obține din unele localizate în timp, adică impuls, semnal, atunci când durata acestuia din urmă tinde spre infinit. Pentru a evita divergența expresiilor obținute, să definim noul ACF ca valoarea medie a produsului scalar al semnalului și copia acestuia:

Cu această abordare, funcția de autocorelare devine egală cu puterea medie reciprocă a acestor două semnale.

De exemplu, dacă doriți să găsiți ACF pentru o undă cosinus care este nelimitată în timp, puteți utiliza formula (3.21) obținută pentru un impuls radio cu o durată și apoi să mergeți la limită luând în considerare definiția (3.22). ). Drept urmare, obținem

Acest ACF este în sine o funcție periodică; valoarea sa este egală cu

Relația dintre spectrul energetic al unui semnal și funcția sa de autocorelare.

Când studiază materialul acestui capitol, cititorul poate crede că metodele de analiză a corelației acționează ca niște tehnici speciale care nu au nicio legătură cu principiile expansiunilor spectrale. Cu toate acestea, nu este. Este ușor de demonstrat că există o relație strânsă între ACF și spectrul de energie al semnalului.

Într-adevăr, în conformitate cu formula (3.15), ACF este produsul scalar: Aici, simbolul denotă copia deplasată în timp a semnalului și ,

Revenind la formula generalizată Rayleigh (2.42), putem scrie egalitatea

Densitatea spectrală a semnalului decalat în timp

Astfel, ajungem la rezultatul:

Pătratul modulului densității spectrale, așa cum este cunoscut, este spectrul de energie al semnalului. Deci, spectrul de energie și funcția de autocorelare sunt legate de transformata Fourier:

Este clar că există și o relație inversă:

Aceste rezultate sunt de o importanță fundamentală din două motive. În primul rând, se dovedește a fi posibil să se evalueze proprietățile de corelare ale semnalelor pe baza distribuției energiei lor pe spectru. Cu cât lățimea de bandă a semnalului este mai largă, cu atât lobul principal al funcției de autocorelare este mai îngust și semnalul este mai perfect în ceea ce privește posibilitatea de a măsura cu precizie momentul declanșării acestuia.

În al doilea rând, formulele (3.24) și (3.26) indică modalitatea de determinare experimentală a spectrului energetic. Este adesea mai convenabil să obțineți mai întâi funcția de autocorelare și apoi, folosind transformata Fourier, să găsiți spectrul de energie al semnalului. Această tehnică a devenit larg răspândită în studiul proprietăților semnalelor folosind computere de mare viteză în timp real.

Rezultă că intervalul de corelare

se dovedește a fi cu cât este mai mică, cu atât frecvența de tăiere superioară a spectrului de semnal este mai mare.

Restricții impuse formei funcției de autocorelare a semnalului.

Relația găsită între funcția de autocorelare și spectrul energetic face posibilă stabilirea unui criteriu interesant și la prima vedere neevident pentru existența unui semnal cu proprietăți de corelație date. Faptul este că spectrul energetic al oricărui semnal, prin definiție, trebuie să fie pozitiv [vezi. formula (3.25)]. Această condiție nu va fi îndeplinită pentru nicio alegere a ACF. De exemplu, dacă luăm

și calculați transformata Fourier corespunzătoare, atunci

Această funcție de schimbare a semnelor nu poate reprezenta spectrul energetic al niciunui semnal.

SEMNALE și LINIAR SISTEME

Semnale și sisteme liniare. Corelarea semnalelor

Subiectul 6. CORELAREA SEMNALULUI

Frica maximă și zelul maxim al curajului deopotrivă deranjează stomacul și provoacă diaree.

Michel Montaigne. Jurist-gânditor francez, secolul al XVI-lea.

Iată numărul! Două funcții au o corelație de 100% cu a treia și sunt ortogonale una față de cealaltă. Ei bine, Atotputernicul a făcut glume în timpul creării Lumii.

Anatoly Pyshmintsev. Geofizician din Novosibirsk al școlii din Ural, secolul XX.

2. Funcții de corelație încrucișată a semnalelor (CCF). Funcția de corelație încrucișată (CCF). Corelația încrucișată a semnalelor zgomotoase. VKF de semnale discrete. Estimarea semnalelor periodice în zgomot. Funcția coeficienților de corelație reciprocă.

3. Densitățile spectrale ale funcțiilor de corelație. Densitatea spectrală a ACF. Interval de corelare a semnalului. Densitatea spectrală a VKF. Calculul funcțiilor de corelare folosind FFT.

introducere

În spațiul funcțional al semnalelor, acest grad de conexiune poate fi exprimat în unități normalizate ale coeficientului de corelație, adică în cosinusul unghiului dintre vectorii de semnal și, în consecință, va lua valori de la 1 (coincidență completă a semnale) la -1 (complet opus) și nu depinde de valoare (scara) unități de măsură.

Metodele de corelare sunt de o importanță deosebită în analiza proceselor aleatoare pentru identificarea componentelor non-aleatoare și evaluarea parametrilor non-aleatori ai acestor procese.

Rețineți că există o oarecare confuzie în termenii „corelație” și „covarianță”. În literatura de specialitate, termenul de „covarianță” este aplicat funcțiilor centrate, iar „corelație” celor arbitrare. V literatura tehnica, și mai ales în literatura de specialitate privind semnalele și metodele de procesare a semnalului, este adesea folosită terminologia exact opusă. Acest lucru nu este de o importanță fundamentală, dar atunci când vă familiarizați cu sursele literare, merită să acordați atenție scopului acceptat al acestor termeni.

6.1. Funcțiile de autocorelare ale semnalelor.

Conceptul de funcții de autocorelare a semnalelor . Funcția de autocorelare (ACF, CF - funcția de corelare) a unui semnal s(t), finit în energie, este o caracteristică integrală cantitativă a formei semnalului, dezvăluind natura și parametrii relației temporale reciproce a eșantioanelor din semnal, care are loc întotdeauna pentru semnalele periodice, precum și intervalul și gradul de dependență a valorilor citite la momentele curente de timp față de preistoria momentului curent. ACF este determinată de integrala produsului a două copii ale semnalului s(t), deplasate una față de cealaltă de timpul t:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cosj(t). (6.1.1)

După cum rezultă din această expresie, ACF este produsul scalar al semnalului și copia acestuia în dependență funcțională de valoarea variabilă a valorii deplasării t. În consecință, ACF are dimensiunea fizică a energiei, iar la t = 0 valoarea ACF este direct egală cu energia semnalului și este maximul posibil (cosinusul unghiului de interacțiune a semnalului cu el însuși este egal cu 1):

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

ACF se referă la funcții pare, care este ușor de verificat prin schimbarea variabilei t = t-t în expresia (6.1.1):

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

ACF maxim, egal cu energia semnalului la t=0, este întotdeauna pozitiv, iar modulul ACF nu depășește energia semnalului pentru nicio valoare a deplasării în timp. Acesta din urmă rezultă direct din proprietățile produsului scalar (precum și din inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 pentru t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

cosj(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

De exemplu, în fig. 6.1.1 prezintă două semnale - un impuls dreptunghiular și un impuls radio de aceeași durată T și formele ACF ale acestora corespunzătoare acestor semnale. Amplitudinea oscilațiilor pulsului radio este setată egală cu amplitudinea pulsului dreptunghiular, în timp ce energiile semnalului vor fi, de asemenea, aceleași, ceea ce este confirmat de valorile egale ale maximelor centrale ale ACF. Cu o durată finită a impulsului, duratele ACF sunt, de asemenea, finite și sunt egale cu dublul duratei pulsului (când copia pulsului final este deplasată cu un interval al duratei sale atât la stânga, cât și la dreapta, produsul pulsul cu copia sa devine egal cu zero). Frecvența de oscilație a ACF a pulsului radio este egală cu frecvența de oscilație a umplerii pulsului radio (minimele și maximele laterale ale ACF apar de fiecare dată când copia pulsului radio este deplasată succesiv cu jumătate din perioada de oscilație a umplerea acestuia).

Având în vedere paritatea, reprezentarea grafică a ACF se face de obicei numai pentru valorile pozitive ale lui t. În practică, semnalele sunt de obicei setate pe intervalul de valori pozitive ale argumentelor de la 0-T. Semnul +t în expresia (6.1.1) înseamnă că, pe măsură ce valorile lui t cresc, copia semnalului s(t+t) se deplasează la stânga de-a lungul axei t și depășește 0. Pentru semnalele digitale, aceasta necesită o extindere corespunzătoare a datelor în regiunea valorilor negative ale argumentului. Și deoarece în calcule intervalul pentru setarea t este de obicei mult mai mic decât intervalul pentru setarea semnalului, este mai practic să deplasați copia semnalului la stânga de-a lungul axei argumentului, adică să utilizați funcția s(tt) în expresia (6.1.1) în loc de s(t + t ).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

Pentru semnale finite, pe măsură ce valoarea deplasării t crește, suprapunerea temporală a semnalului cu copia sa scade și, în consecință, cosinusul unghiului de interacțiune și produsul scalar în ansamblu tind la zero:

ACF calculat din valoarea centrată a semnalului s(t) este autocovarianta functie de semnal:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

unde ms este valoarea medie a semnalului. Funcțiile de covarianță sunt legate de funcțiile de corelație printr-o relație destul de simplă:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

ACF de semnale limitate în timp. În practică, semnalele date la un anumit interval sunt de obicei investigate și analizate. Pentru a compara ACF-ul semnalelor date la diferite intervale de timp, o modificare a ACF cu normalizare la lungimea intervalului își găsește aplicare practică. Deci, de exemplu, când setați un semnal pe interval:

Bs(t)=s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

ACF poate fi calculat și pentru semnale slab amortizate cu energie infinită, ca valoare medie a produsului scalar al semnalului și copia acestuia atunci când intervalul de setare a semnalului tinde spre infinit:

Bs(t) = . (6.1.4)

ACF conform acestor expresii are dimensiunea fizică a puterii și este egală cu puterea medie reciprocă a semnalului și a copiei sale în dependență funcțională de deplasarea copiei.

ACF de semnale periodice. Energia semnalelor periodice este infinită, astfel încât ACF-ul semnalelor periodice este calculată pe o perioadă T, făcând media produsului scalar al semnalului și copia sa deplasată în perioada:

Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Expresie mai riguroasă din punct de vedere matematic:

Bs(t) = .

La t=0, valoarea ACF normalizată la perioadă este egală cu puterea medie a semnalului în cadrul perioadei. În acest caz, ACF-ul semnalelor periodice este o funcție periodică cu aceeași perioadă T. Deci, pentru semnalul s(t) = A cos(w0t+j0) la T=2p/w0 avem:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Rezultatul obținut nu depinde de faza inițială a semnalului armonic, care este tipică pentru orice semnale periodice și este una dintre proprietățile ACF. Folosind funcțiile de autocorelare, puteți verifica prezența proprietăților periodice în orice semnal arbitrar. Un exemplu de funcție de autocorelare a unui semnal periodic este prezentat în fig. 6.1.2.

Funcții de autocovarianță (ACV) sunt calculate în mod similar, prin valori centrate ale semnalului. O caracteristică remarcabilă a acestor funcții este relația lor simplă cu dispersie semnale ss2 (după pătratul standardului - abaterea standard a valorilor semnalului de la valoarea medie). După cum se știe, valoarea dispersiei este egală cu puterea medie a semnalului, din care rezultă:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

Valorile FAC normalizate la valoarea de dispersie sunt o funcție a coeficienților de autocorelare:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Această funcție este uneori denumită funcția de autocorelare „adevărată”. În virtutea normalizării, valorile sale nu depind de unitățile (scala) de reprezentare a valorilor semnalului s(t) și caracterizează gradul de relație liniară dintre valorile semnalului în funcție de deplasarea t între probele de semnal. Valorile rs(t) º cos j(t) pot varia de la 1 (corelația directă completă a citirilor) la -1 (corelația inversă).

Pe fig. 6.1.3 prezintă un exemplu de semnale s(k) și s1(k) = s(k)+zgomot cu coeficienți FAC corespunzători acestor semnale - rs și rs1. După cum se poate observa pe grafice, FAC a dezvăluit cu încredere prezența fluctuațiilor periodice ale semnalelor. Zgomotul din semnalul s1(k) a redus amplitudinea oscilațiilor periodice fără a modifica perioada. Aceasta confirmă graficul curbei Cs/ss1, adică FAC-ul semnalului s(k) cu normalizare (pentru comparație) la valoarea dispersiei semnalului s1(k), unde se poate observa clar că zgomotul impulsează , cu independență statistică completă a eșantioanelor lor, au determinat o creștere a valorii Сs1(0) față de valoarea lui Cs(0) și oarecum „încețoșat” funcția coeficienților de autocovarianță. Acest lucru se datorează faptului că valoarea rs(t) a semnalelor de zgomot tinde spre 1 la t ® 0 și fluctuează față de zero la t ≠ 0, în timp ce amplitudinile fluctuațiilor sunt independente statistic și depind de numărul de mostre de semnal ( ele tind la zero pe măsură ce numărul de probe crește).

ACF de semnale discrete. Cu intervalul de eșantionare a datelor Dt = const, calculul ACF este efectuat pe intervalele Dt = Dt și este de obicei scris ca o funcție discretă a numerelor n ale deplasării eșantionului nDt:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Semnalele discrete sunt de obicei specificate sub formă de rețele numerice de o anumită lungime cu numerotarea citirilor k = 0,1, ... K la Dt = 1, iar calculul ACF discret în unități de energie se realizează într-o versiune unilaterală. , ținând cont de lungimea tablourilor. Dacă se utilizează întreaga matrice de semnal și numărul de eșantioane ACF este egal cu numărul de mostre de matrice, atunci calculul se efectuează conform formulei:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

Factorul K/(K-n) din această funcție este un factor de corecție pentru scăderea treptată a numărului de valori înmulțite și însumate pe măsură ce deplasarea n crește. Fără această corecție pentru semnalele necentrate, în valorile ACF apare o tendință de însumare a valorilor medii. Când se măsoară în unități de putere a semnalului, factorul K/(K-n) este înlocuit cu factorul 1/(K-n).

Formula (6.1.10) este folosită destul de rar, în principal pentru semnale deterministe cu un număr mic de eșantioane. Pentru semnalele aleatoare și zgomotoase, o scădere a numitorului (K-n) și a numărului de eșantioane multiplicate pe măsură ce deplasarea crește duce la o creștere a fluctuațiilor statistice în calculul ACF. O fiabilitate mai mare în aceste condiții este oferită de calculul ACF în unități de putere a semnalului conform formulei:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 pentru k-n< 0, (6.1.11)

adică cu normalizare cu un factor constant 1/K și cu extindere a semnalului cu valori zero (în partea stângă când se schimbă k-n sau spre dreapta când se utilizează deplasările k+n). Această estimare este părtinitoare și are o dispersie puțin mai mică decât conform formulei (6.1.10). Diferența dintre normalizările conform formulelor (6.1.10) și (6.1.11) poate fi văzută clar în Fig. 6.1.4.

Formula (6.1.11) poate fi considerată ca o medie a sumei produselor, adică o estimare a așteptărilor matematice:

Bs(n) = M(sk sk-n) @ . (6.1.12)

În practică, ACF-ul discret are aceleași proprietăți ca și ACF-ul continuu. De asemenea, este pară, iar valoarea sa la n = 0 este egală cu energia sau puterea semnalului discret, în funcție de normalizare.

ACF de semnale zgomotoase . Semnalul zgomotos este scris ca suma v(k) = s(k)+q(k). În cazul general, zgomotul nu trebuie să aibă o valoare medie zero, iar funcția de autocorelare normalizată la putere a unui semnal digital, care conține N eșantioane, se scrie în următoarea formă:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(kn)ñ + ás(k), q(kn)ñ + áq(k), s(kn)ñ + áq(k), q(kn)ñ ]=

Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).

Bv(n) = Bs(n) + + + . (6.1.13)

Cu independența statistică a semnalului util s(k) și a zgomotului q(k), ținând cont de extinderea așteptării matematice

M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =

se poate folosi următoarea formulă:

Bv(n) = Bs(n) + 2 + . (6.1.13")

În Fig. 6.1.5.

Din formulele (6.1.13) rezultă că ACF-ul unui semnal zgomotos este format din ACF-ul componentei de semnal a semnalului util cu o funcție de zgomot impusă care scade la valoarea 2+. Pentru valori mari ale lui K, când → 0, avem Bv(n) » Bs(n). Acest lucru face posibilă nu numai să se distingă prin ACF semnalele periodice care sunt aproape complet ascunse în zgomot (puterea zgomotului este mult mai mare decât puterea semnalului), dar și să se determine perioada și forma acestora în perioada cu o precizie ridicată și pentru semnale armonice cu o singură frecvență, amplitudinea lor folosind expresiile (6.1.6).

	Semnal Barker	semnal ACF





	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

semnale de cod sunt un fel de semnale discrete. La un anumit interval al cuvântului cod M×Dt, ele pot avea doar două valori de amplitudine: 0 și 1 sau 1 și –1. La extragerea codurilor la un nivel de zgomot semnificativ, forma ACF-ului cuvântului de cod este de o importanță deosebită. Din această poziție, cele mai bune coduri sunt cele ale căror valori ACF laterale sunt minime pe toată lungimea intervalului de cuvânt de cod la valoarea maximă a vârfului central. Aceste coduri includ codul Barker prezentat în Tabelul 6.1. După cum se poate observa din tabel, amplitudinea vârfului central al codului este numeric egală cu valoarea lui M, în timp ce amplitudinea oscilațiilor laterale pentru n ¹ 0 nu depășește 1.

6.2. Funcții de corelare reciprocă a semnalelor.

Funcția de corelație încrucișată (CCF) a diferitelor semnale (funcția de corelație încrucișată, CCF) descrie atât gradul de similitudine a formei a două semnale, cât și poziția relativă a acestora unul față de celălalt de-a lungul coordonatei (variabilă independentă). Generalizând formula (6.1.1) a funcției de autocorelare la două semnale diferite s(t) și u(t), obținem următorul produs scalar al semnalelor:

Bsu(t)=s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Corelarea reciprocă a semnalelor caracterizează o anumită corelare a fenomenelor și proceselor fizice afișate de aceste semnale și poate servi ca măsură a „stabilității” acestei relații atunci când semnalele sunt procesate separat în diferite dispozitive. Pentru semnalele cu energie finită, CCF este, de asemenea, finit, în timp ce:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

care rezultă din inegalitatea Cauci-Bunyakovsky și independența normelor de semnal de deplasarea coordonatelor.

La modificarea variabilei t = t-t în formula (6.2.1), obținem:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).

Aceasta implică faptul că CCF nu satisface condiția de paritate, Bsu(t) ¹ Bsu(-t), iar valorile CCF nu trebuie să aibă un maxim la t = 0.

Acest lucru poate fi văzut clar în Fig. 6.2.1, unde sunt date două semnale identice cu centrele în punctele 0.5 și 1.5. Calculul prin formula (6.2.1) cu o creștere treptată a valorilor lui t înseamnă deplasări succesive ale semnalului s2(t) spre stânga de-a lungul axei timpului (pentru fiecare valoare a lui s1(t), valorile de s2(t+t) sunt luate pentru înmulțirea integranților). La t=0, semnalele sunt ortogonale iar valoarea lui B12(t)=0. Maximul B12(t) va fi observat atunci când semnalul s2(t) este deplasat la stânga cu valoarea t=1, la care semnalele s1(t) și s2(t+t) sunt complet combinate.

Aceleași valori CCF conform formulelor (6.2.1) și (6.2.1") sunt observate la aceeași poziție reciprocă a semnalelor: când semnalul u(t) este deplasat cu un interval t în raport cu s(t). ) la dreapta de-a lungul axei y și semnalați s(t) în raport cu semnalul u(t) la stânga, adică Bsu(t) = Bus(-t).

Pe fig. 6.2.2 prezintă exemple de VKF pentru un semnal dreptunghiular s(t) și două semnale triunghiulare identice u(t) și v(t). Toate semnalele au aceeași durată T, în timp ce semnalul v(t) este deplasat înainte cu intervalul T/2.

Semnalele s(t) și u(t) sunt aceleași în ceea ce privește locația în timp, iar zona de „suprapunere” a semnalului este maximă la t=0, care este fixată de funcția Bsu. În același timp, funcția Bsu este puternic asimetrică, deoarece cu o formă de semnal asimetrică u(t) pentru o formă simetrică s(t) ( relativ la centru semnale) zona de „suprapunere” a semnalelor variază diferit în funcție de direcția deplasării (semnul lui t pe măsură ce valoarea lui t crește de la zero). Când poziția inițială a semnalului u(t) este deplasată la stânga de-a lungul axei ordonatelor (înaintea semnalului s(t) - semnalul v(t)), forma VCF rămâne neschimbată și se deplasează la dreapta cu aceeași valoare de schimbare - funcția Bsv din Fig. 6.2.2. Dacă expresiile funcțiilor din (6.2.1) sunt schimbate, atunci noua funcție Bvs va fi funcția oglindă Bsv în raport cu t=0.

Luând în considerare aceste caracteristici, CCF total este calculat, de regulă, separat pentru întârzierile pozitive și negative:

Bsu(t)=s(t) u(t+t) dt. Bus(t)=u(t)s(t+t)dt. (6.2.1")

Corelația încrucișată a semnalelor zgomotoase . Pentru două semnale zgomotoase u(t) = s1(t) + q1(t) și v(t) = s2(t) + q2(t), aplicând metoda de derivare a formulelor (6.1.13) cu înlocuirea unui copie a semnalului s(t ) la semnalul s2(t), este ușor să se obțină formula de corelație încrucișată în următoarea formă:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

Ultimii trei termeni din partea dreaptă a (6.2.2) se reduc la zero pe măsură ce t crește. Pentru intervale mari de setare a semnalului, expresia poate fi scrisă în următoarea formă:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)

La valori medii zero ale zgomotului și independența statistică față de semnale, au loc următoarele:

Buv(t) → Bs1s2(t).

VKF de semnale discrete. Toate proprietățile VKF ale semnalelor analogice sunt valabile și pentru VKF ale semnalelor discrete, în timp ce caracteristicile semnalelor discrete descrise mai sus pentru ACF discrete sunt valabile și pentru acestea (formulele 6.1.9-6.1.12). În special, la Dt = const =1 pentru semnalele x(k) și y(k) cu numărul de mostre K:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

Când este normalizat în unități de putere:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Estimarea semnalelor periodice în zgomot . Un semnal zgomotos poate fi evaluat pentru corelarea încrucișată cu un semnal „de referință” prin încercare și eroare, cu funcția de corelare încrucișată ajustată la valoarea sa maximă.

Pentru un semnal u(k)=s(k)+q(k) cu independență statistică a zgomotului și → 0, funcția de corelație încrucișată (6.2.2) cu șablonul de semnal p(k) cu q2(k) =0 ia forma:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

Și deoarece → 0 pe măsură ce N crește, atunci Bup(k) → Bsp(k). În mod evident, funcția Bup(k) va avea un maxim atunci când p(k) = s(k). Schimbând forma șablonului p(k) și maximizând funcția Bup(k), putem obține o estimare a lui s(k) sub forma formei optime a lui p(k).

Funcția coeficienților de corelație încrucișată (VKF) este un indicator cantitativ al gradului de similitudine a semnalelor s(t) și u(t). Similar cu funcția coeficienților de autocorelare, se calculează prin valorile centrate ale funcțiilor (pentru a calcula covarianța reciprocă, este suficient să se centreze doar una dintre funcții) și se normalizează la produsul valorilor a standardelor funcțiilor s(t) și v(t):

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

Intervalul de modificare a valorilor coeficienților de corelație la deplasările t poate varia de la –1 (corelație inversă completă) la 1 (asemănare completă sau corelație sută la sută). La deplasările t la care se observă valori zero ale rsu(t), semnalele sunt independente unele de altele (necorelate). Coeficientul de corelație încrucișată vă permite să stabiliți prezența unei conexiuni între semnale, indiferent de proprietățile fizice ale semnalelor și de magnitudinea acestora.

La calcularea CCF a semnalelor discrete zgomotoase de lungime limitată folosind formula (6.2.4), există probabilitatea ca valorile |rsu(n)| > 1.

Pentru semnalele periodice, conceptul de CCF nu este utilizat de obicei, cu excepția semnalelor cu aceeași perioadă, de exemplu, semnalele de intrare și ieșire atunci când se studiază caracteristicile sistemelor.

6.3. Densitățile spectrale ale funcțiilor de corelație.

Densitatea spectrală a ACF poate fi determinată din următoarele considerații simple.

Conform expresiei (6.1.1), ACF este o funcție a produsului scalar al semnalului și copia acestuia, deplasat cu intervalul t, la -¥< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Produsul scalar poate fi definit în funcție de densitățile spectrale ale semnalului și ale copiilor acestuia, al căror produs este densitatea spectrală a puterii reciproce:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

Deplasarea semnalului de-a lungul abscisei cu intervalul t este afișată în reprezentarea spectrală prin înmulțirea spectrului semnalului cu exp(-jwt), iar pentru spectrul conjugat cu factorul exp(jwt):

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

Având în vedere acest lucru, obținem:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

Dar ultima expresie este transformata Fourier inversă a spectrului de energie al semnalului (densitatea de energie spectrală). Prin urmare, spectrul de energie al semnalului și funcția sa de autocorelare sunt legate de transformata Fourier:

Bs(t) w |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

Astfel, densitatea spectrală a ACF nu este altceva decât densitatea de putere spectrală a semnalului, care, la rândul său, poate fi determinată prin transformarea Fourier directă prin ACF:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Ultima expresie impune anumite restricții asupra formei ACF și a modului de limitare a duratei acestora.

Orez. 6.3.1. Spectrul de ACF inexistent

Spectrul energetic al semnalelor este întotdeauna pozitiv, puterea semnalelor nu poate fi negativă. Prin urmare, ACF nu poate avea forma unui impuls dreptunghiular, deoarece transformata Fourier a unui impuls dreptunghiular este un sinus integral alternant semn. Nu ar trebui să existe discontinuități de primul fel (sărituri) pe ACF, deoarece, ținând cont de paritatea ACF, orice salt simetric de-a lungul coordonatei ±t generează o „separare” a ACF-ului în suma unui anumit continuu. funcție și un impuls dreptunghiular de durata 2t cu apariția corespunzătoare a valorilor negative în spectrul energetic. Un exemplu al acestuia din urmă este prezentat în Fig. 6.3.1 (graficele funcțiilor sunt date, așa cum este obișnuit pentru funcțiile pare, doar cu partea dreaptă).

ACF-urile semnalelor suficient de extinse sunt de obicei limitate ca dimensiune (sunt studiate intervale limitate de corelare a datelor de la –T/2 la T/2). Cu toate acestea, trunchierea ACF este înmulțirea ACF cu un impuls de selecție dreptunghiular de durata T, care în domeniul frecvenței este afișat prin convoluția spectrului de putere real cu o funcție sinus integrală cu variabilă semn sinc(wT/2) . Pe de o parte, acest lucru determină o anumită netezire a spectrului de putere, care este adesea utilă, de exemplu, atunci când se studiază semnale la un nivel de zgomot semnificativ. Dar, pe de altă parte, o subestimare semnificativă a mărimii vârfurilor de energie poate apărea și în cazul în care semnalul conține componente armonice, precum și apariția unor valori negative de putere la părțile de margine ale vârfurilor și sărituri. Un exemplu de manifestare a acestor factori este prezentat în fig. 6.3.2.

Orez. 6.3.2. Calculul spectrului de energie al semnalului de la ACF de diferite lungimi.

După cum se știe, spectrele de putere ale semnalelor nu au o caracteristică de fază și este imposibil să se restabilească semnalele de la acestea. În consecință, ACF-ul semnalelor, ca reprezentare temporală a spectrelor de putere, nu are nicio informație despre caracteristicile de fază ale semnalelor și este imposibil să se restabilească semnalele din ACF. Semnalele de aceeași formă, deplasate în timp, au același ACF. Mai mult, semnalele de diferite forme pot avea ACF similare dacă au spectre de putere apropiate.

Să rescriem ecuația (6.3.1) în următoarea formă

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

și înlocuiți valoarea t=0 în această expresie. Egalitatea rezultată este bine cunoscută și se numește egalitate parseval

s2(t)dt = (1/2p)|S(w)|2dw.

Vă permite să calculați energia semnalului, atât în domeniul timpului, cât și al frecvenței descrierii semnalelor.

Interval de corelare a semnalului este un parametru numeric pentru estimarea lățimii ACF și a gradului de corelare semnificativă a valorilor semnalului prin argument.

Dacă presupunem că semnalul s(t) are un spectru energetic aproximativ uniform cu valoarea W0 și cu o frecvență de tăiere superioară până la wb (forma unui impuls dreptunghiular centrat, cum ar fi semnalul 1 din Fig. 6.3.3). cu fb=50 Hz în reprezentare unilaterală), atunci ACF-ul semnalului este determinat de expresia:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wow/p) sin(wt)/(wt).

Intervalul de corelare a semnalului tc este valoarea lățimii vârfului central al ACF de la maxim până la prima trecere a liniei zero. În acest caz, pentru un spectru dreptunghiular cu o frecvență de tăiere superioară wv, prima trecere cu zero corespunde cu sinc(wt) = 0 la wvt = p, de unde:

tк = p/wв =1/2fв. (6.3.4)

Intervalul de corelare este cu atât mai mic, cu atât frecvența de tăiere superioară a spectrului de semnal este mai mare. Pentru semnalele cu o tăietură netedă de-a lungul frecvenței superioare de tăiere, rolul parametrului wv este jucat de lățimea medie a spectrului (semnalul 2 din Fig. 6.3.3).

Densitatea spectrală de putere a zgomotului statistic într-o singură măsurătoare este o funcție aleatoare Wq(w) cu valoarea medie Wq(w) Þ sq2, unde sq2 este varianța zgomotului. În limită, cu o distribuție spectrală uniformă a zgomotului de la 0 la ¥, zgomotul ACF tinde spre valoarea Bq(t) Þ sq2 la t Þ 0, Bq(t) Þ 0 la t ¹ 0, adică zgomotul statistic nu este corelat (tc Þ 0).

Calculele practice ale ACF ale semnalelor finite sunt de obicei limitate la intervalul de deplasare t = (0, (3-5)tk), în care, de regulă, se concentrează principalele informații despre autocorelarea semnalului.

Densitatea spectrală a VKF poate fi obținută pe baza acelorași considerații ca și pentru ROS, sau direct din formula (6.3.1) prin înlocuirea densității spectrale a semnalului S(w) cu densitatea spectrală a celui de-al doilea semnal U(w):

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Sau, când schimbați ordinea semnalelor:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6.3.5")

Produsul S*(w)U(w) este spectrul de energie reciprocă Wsu(w) al semnalelor s(t) și u(t). În consecință, U*(w)S(w) = Wus(w). Prin urmare, ca și ACF, funcția de corelație încrucișată și densitatea spectrală a puterii reciproce a semnalelor sunt interconectate prin transformate Fourier:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6.3.6")

În cazul general, cu excepția spectrelor funcțiilor pare, din condiția de nerespectare a parității pentru funcțiile VKF rezultă că spectrele de energie reciprocă sunt funcții complexe:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

Pe fig. 6.3.4 puteți vedea clar caracteristicile formării VCF pe exemplul a două semnale de aceeași formă, deplasate unul față de celălalt.

Orez. 6.3.4. Formarea VKF.

Forma semnalelor și dispunerea lor reciprocă sunt prezentate în vedere A. Modulul și argumentul spectrului de semnal s(t) sunt prezentate în vederea B. Modulul spectrului u(t) este identic cu modulul S(w). ). Aceeași vedere arată modulul spectrului de putere reciprocă a semnalului S(w)U*(w). După cum se știe, atunci când spectrele complexe sunt înmulțite, modulele spectrelor sunt înmulțite și unghiurile de fază sunt adăugate, în timp ce pentru spectrul conjugat U*(w) unghiul de fază își schimbă semnul. Dacă primul semnal din formula pentru calcularea CCF (6.2.1) este semnalul s(t), iar semnalul u(tt) este înaintea lui s(t) pe axa y, atunci unghiurile de fază S( w) crește spre valori negative pe măsură ce frecvența crește unghiurile (fără a lua în considerare resetarea periodică a valorilor cu 2p), iar unghiurile de fază U*(w) în valori absolute sunt mai mici decât unghiurile de fază s (t) și crește (datorită conjugării) spre valori pozitive. Rezultatul înmulțirii spectrelor (după cum se vede în Fig. 6.3.4, vedere C) este scăderea valorilor unghiurilor U*(w) din unghiurile de fază S(w), în timp ce unghiurile de fază din spectrul S(w)U*(w) rămân în zona valorilor negative, ceea ce asigură o deplasare a întregii funcții CCF (și a valorilor sale de vârf) la dreapta de la zero de-a lungul axei t cu o anumită cantitate ( pentru semnale identice, prin diferența dintre semnalele de-a lungul axei ordonatelor). Când poziția inițială a semnalului u(t) este deplasată spre semnalul s(t), unghiurile de fază S(w)U*(w) scad, în limită, la valori zero cu suprapunerea completă a semnalelor. , în timp ce funcția Bsu(t) este deplasată la valorile zero t, în limita înainte de conversia în ACF (pentru semnale identice s(t) și u(t)).

După cum se știe pentru semnalele deterministe, dacă spectrele a două semnale nu se suprapun și, în consecință, energia reciprocă a semnalelor este egală cu zero, astfel de semnale sunt ortogonale unul față de celălalt. Relația dintre spectrele de energie și funcțiile de corelare ale semnalelor arată o altă latură a interacțiunii semnalelor. Dacă spectrele semnalului nu se suprapun și spectrul lor de energie reciprocă este egal cu zero la toate frecvențele, atunci pentru orice timp t se schimbă unul față de celălalt, CCF lor este, de asemenea, egal cu zero. Aceasta înseamnă că astfel de semnale sunt necorelate. Acest lucru este valabil atât pentru semnale și procese deterministe, cât și aleatorii.

Calcularea funcțiilor de corelare folosind FFT este, în special pentru serii numerice lungi, de zeci și sute de ori mai rapid decât schimbările succesive în domeniul timpului la intervale mari de corelație. Esența metodei rezultă din formulele (6.3.2) pentru ACF și (6.3.6) pentru VKF. Având în vedere că ACF poate fi considerat un caz special al CCF pentru același semnal, vom lua în considerare procesul de calcul folosind exemplul CCF pentru semnalele x(k) și y(k) cu numărul de mostre K. include:

1. Calculul FFT al spectrelor semnalelor x(k) → X(k) și y(k) → Y(k). Pentru un număr diferit de mostre, rândul mai scurt este umplut cu zerouri la dimensiunea rândului mai mare.

2. Calculul spectrelor de densitate de putere Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. FFT inversă Wxy(k) → Bxy(k).

Remarcăm câteva caracteristici ale metodei.

Cu FFT inversă, după cum se știe, se calculează convoluția ciclică a funcțiilor x(k) ③ y(k). Dacă numărul de citiri ale funcțiilor este egal cu K, numărul de citiri complexe ale spectrelor de funcții este, de asemenea, egal cu K, precum și numărul de citiri ale produsului lor Wxy(k). În consecință, numărul de eșantioane Bxy(k) cu FFT inversă este, de asemenea, egal cu K și se repetă ciclic cu o perioadă egală cu K. Între timp, cu o convoluție liniară a rețelelor complete de semnale conform formulei (6.2.5) , dimensiunea doar a unei jumătăți din VKF este de K puncte, iar dimensiunea completă a duplexului este de 2K puncte. În consecință, cu FFT inversă, ținând cont de ciclicitatea convoluției, perioada principală a VKF va fi suprapusă cu perioadele sale laterale, ca în cazul convoluției ciclice obișnuite a două funcții.

Pe fig. 6.3.5 prezintă un exemplu de două semnale și valori VKF calculate prin convoluție liniară (B1xy) și convoluție ciclică prin FFT (B2xy). Pentru a elimina efectul suprapunerii perioadelor laterale, este necesară completarea semnalelor cu zerouri, în limită, până la dublarea numărului de probe, în timp ce rezultatul FFT (grafic B3xy din Figura 6.3.5) repetă complet rezultatul liniarului. convoluție (ținând cont de normalizare pentru creșterea numărului de probe).

În practică, numărul de zerouri de extensie a semnalului depinde de natura funcției de corelare. Numărul minim de zerouri este de obicei luat egal cu partea de informații semnificative a funcțiilor, adică aproximativ (3-5) intervale de corelație.

literatură

1. Lanțuri și semnale Baskakov: un manual pentru universități. - M.: Liceu, 1988.

19. Otnes R., Enokson L. Analiză aplicată serii de timp. – M.: Mir, 1982. – 428 p.

25. Procesarea semnalului Sergienko. / Manual pentru universități. - Sankt Petersburg: Petru, 203. - 608 p.

33. Ayficher E., Jervis B. Procesarea semnalului digital. Abordare practică. / M., „Williams”, 2004, 992 p.

Despre greșeli de scriere, erori și sugestii de completări observate: *****@***ru.