Este aproape imposibil să se creeze un model universal care să îndeplinească diferite aspecte ale aplicării sale. Pentru a obține informații care reflectă anumite proprietăți ale obiectului gestionat, este necesară clasificarea modelelor. Clasificarea se bazează pe caracteristicile operatorului φ. Toată varietatea obiectelor de control, bazate pe caracteristicile temporale și spațiale, pot fi împărțite în următoarele clase: statice sau dinamice; liniară sau neliniară; continuu sau discret în timp; staționar sau nestaționar; procese în timpul cărora parametrii lor se modifică în spațiu și procese fără modificări spațiale ale parametrilor. Deoarece modelele matematice sunt o reflectare a obiectelor corespunzătoare, aceleași clase sunt caracteristice acestora. Numele complet al modelului poate include o combinație a caracteristicilor enumerate. Aceste caracteristici au servit drept bază pentru denumirile tipurilor corespunzătoare de modele.

În funcție de natura proceselor studiate în sistem, toate modelele pot fi împărțite în următoarele tipuri:

Modele deterministe- afișarea proceselor deterministe, adică procese în care se presupune absența oricăror influențe aleatorii.

Modele stocastice- afișarea proceselor și evenimentelor probabilistice; în acest caz, se analizează o serie de realizări ale procesului aleator, iar caracteristicile medii sunt estimate.

Staționarși modele non-staţionare. Un model se numește staționar dacă forma operatorului φ și parametrii săi p nu se modifică în timp, adică atunci când este adevărat

φ = φ, adică. y = φ (p, x).

Dacă parametrii modelului se modifică în timp, atunci modelul este

parametric non-staționară

Cea mai generală formă de non-staționaritate este atunci când forma unei funcții depinde și de timp. Apoi, un alt argument este adăugat la înregistrarea funcției

Modele statice și dinamice. Această împărțire a tipurilor de modele se bazează pe caracteristicile mișcării obiectului studiat ca sistem material.

Vorbind despre modele din punct de vedere al problemelor de control, trebuie menționat că spațiul este înțeles aici nu ca spațiu geometric, ci ca spațiu al stărilor - coordonatele stărilor variabilelor de ieșire. la... Elemente vectoriale y parametrii procesului (debit, presiune, temperatură, umiditate, vâscozitate etc.) sunt de obicei monitorizați. Compoziția elementelor vectoriale y pentru obiectul în sine poate fi mai larg decât pentru modelul acestui obiect, deoarece modelarea necesită studiul doar a unei părți din proprietățile unui sistem real. Mișcarea obiectului de control în spațiul stărilor și în timp este estimată folosind procesul vectorial y (t).

Se numește modelul de sistem static, dacă starea sistemului nu se schimbă, adică sistemul este în echilibru, dar mișcarea este asociată cu starea statică a obiectului în echilibru. Descrierea matematică în modelele statice nu include timpul ca variabilă și constă în ecuații algebrice sau ecuații diferențiale în cazul obiectelor cu parametri distribuiți. Modelele statice sunt de obicei neliniare. Ele reflectă cu acuratețe starea de echilibru cauzată de tranziția unui obiect de la un mod la altul.

Dinamic modelul reflectă schimbarea stării obiectului în timp. Descrierea matematică a unor astfel de modele include în mod necesar o derivată în timp. Modelele dinamice folosesc ecuații diferențiale. Soluțiile exacte ale acestor ecuații sunt cunoscute numai pentru o anumită clasă de ecuații diferențiale. Mai des este necesar să se recurgă la utilizarea metodelor numerice aproximative.

În scopuri de control, modelul dinamic este reprezentat ca o funcție de transfer care conectează variabilele de intrare și de ieșire.

Modele liniare și neliniare. Funcție matematică L (x) - liniară dacă

L (λ 1 x 1 + λ 2 x 2) = λ 1 L (x 1) + λ 2 L (x 2).

În mod similar pentru funcțiile mai multor variabile. O funcție liniară este inerentă utilizării numai a operațiilor de adunare algebrică și înmulțire a unei variabile cu un coeficient constant. Dacă expresia pentru modelul operator conține operații neliniare, atunci modelul este neliniară, in rest modelul este liniar.

Modele cu parametrii concentrați și distribuiți. De menționat că, ținând cont de terminologia introdusă, mai corect ar fi să se folosească conceptul de „coordonată de stat” în denumirea modelului în locul cuvântului „parametri”. Cu toate acestea, acesta este un nume consacrat care se găsește adesea în toate lucrările de modelare a proceselor tehnologice.

Dacă principalele variabile ale procesului se modifică atât în ​​timp, cât și în spațiu (sau numai în spațiu), atunci modelele care descriu astfel de procese se numesc modele cu distribuite parametrii. În acest caz, se introduce spațiul geometric z = (z 1, z 2, z 3) iar ecuațiile au forma:

y (z) = φ, p (z) = ψ.

Descrierea lor matematică include de obicei ecuații diferențiale parțiale sau ecuații diferențiale obișnuite în cazul proceselor staționare cu o coordonată spațială.

Dacă este posibil să se neglijeze neuniformitatea spațială a valorilor coordonatelor stărilor obiectului, i.e. gradient, atunci modelul corespunzător este un model cu concentrat parametrii. Pentru ei, masa și energia sunt, parcă, concentrate la un moment dat.

Tridimensionalitatea spațiului nu este întotdeauna necesară. De exemplu, modelul unei bobine cu un fluid de lucru încălzit și o carcasă cu pereți subțiri provine de obicei din unidimensionalitatea obiectului - se ia în considerare numai lungimea bobinei. În același timp, procesul de transfer de căldură într-un volum limitat al fluidului de lucru printr-un perete gros poate fi descris printr-un model unidimensional care ia în considerare doar grosimea carcasei etc. Pentru obiecte specifice, forma ecuațiilor corespunzătoare necesită justificare.

Modelele sunt continue și discrete în timp. Modelele continue reflectă procesele continue în sisteme. Modele care descriu starea obiectelor în raport cu timpul ca argument continuu - continuu(cu timpul):

y (t) = φ, p (t) = ψ.

Modele discrete servesc pentru a descrie procese care sunt presupuse a fi discrete. Un model discret nu poate prezice comportamentul unui obiect în intervalul dintre probele de timp discrete. Dacă introducem cuantizarea timpului cu un pas ∆t, atunci se consideră o scară discretă, unde i = 0,1,2… - capătă sensul timpului relativ. Și un model discret:

y (i) = φ; p (i) = ψ.

Cu alegerea corectă a pasului ∆t, se poate aștepta rezultatul de la modelul discret cu o precizie predeterminată. Când ∆t se modifică, trebuie recalculați și coeficienții ecuației diferențelor.

Modele discret-continue sunt folosite pentru cazurile în care se dorește să evidențieze prezența atât a proceselor discrete, cât și a celor continue.

Cerințe pentru modelele matematice: acuratețe - o proprietate care reflectă gradul de coincidență a valorilor parametrilor obiectului prezis folosind modelul cu valorile lor adevărate; rentabilitatea timpului de calculator; universalitate - aplicabilitate la analiza unui grup de obiecte de același tip.

Introducere

model dinamic matematic

Un model dinamic este o construcție teoretică (model) care descrie schimbarea (dinamica) stărilor unui obiect. Un model dinamic poate include o descriere a etapelor sau fazelor sau o diagramă de stare a subsistemelor. Are adesea o expresie matematică și este folosit mai ales în științele sociale (de exemplu, în sociologie) care se ocupă de sistemele dinamice, dar paradigma modernă a științei contribuie la faptul că acest model este răspândit și în toate științele fără excepție, incl. în natural și tehnic.

Modelele economice și matematice descriu economia în dezvoltare (spre deosebire de cele statice, care caracterizează starea acesteia la un moment dat). Există două abordări pentru construirea unui model dinamic:

optimizare (selectarea traiectoriei optime de dezvoltare economică dintre multe posibile)

descriptiv, în centrul căruia se află conceptul de traiectorie de echilibru (adică creștere echilibrată, echilibrată).

Modele dinamice intersectoriale, modele economice și matematice ale calculelor planificate, care permit determinarea volumelor de producție, a investițiilor de capital (precum și a punerii în funcțiune a mijloacelor fixe și a capacităților de producție) pe anii perioadei prospective pentru ramurile de material. producția în interconectarea lor. În modelele dinamice intersectoriale pentru fiecare an al perioadei de planificare, volumele și structura produsului final „net” (consum personal și public, acumulare de capital de lucru și rezerve de stat, sold export-import, investiții de capital neasociate cu o creștere a producția în perioada analizată) sunt stabilite, precum și volumul și structura mijloacelor fixe la începutul perioadei. În modelele dinamice intersectoriale, pe lângă coeficientul de costuri directe inerent modelelor statice intersectoriale, se introduc coeficienți speciali care caracterizează structura materială a investițiilor de capital.

După tipul de aparat matematic utilizat, modelele dinamice intersectoriale se împart în echilibru și optime. Modelele interindustriale dinamice de echilibru pot fi prezentate atât sub forma unui sistem de ecuații liniare, cât și sub formă de ecuații diferențiale sau diferențiale liniare. Modelele intersectoriale dinamice de echilibrare se disting și prin decalaj (decalajul de timp dintre începerea construcției și punerea în funcțiune a instalației construite). Modelele intersectoriale dinamice optime se caracterizează prin prezența unui anumit criteriu de optimitate, înlocuirea unui sistem de ecuații liniare cu un sistem de inegalități și introducerea unor restricții speciale privind forța de muncă și resursele naturale.

Obiectele fizice și virtuale dinamice există obiectiv. Aceasta înseamnă că aceste obiecte funcționează în conformitate cu anumite legi, indiferent dacă o persoană le cunoaște și le înțelege sau nu. De exemplu, pentru a conduce o mașină nu este deloc necesar să știți cum funcționează motorul, ce se întâmplă în el și de ce acest lucru face ca mașina să se miște dacă apăsați accelerația sau întoarceți volanul. Dar dacă o persoană nu intenționează să conducă o mașină, ci să proiecteze un sistem de control pentru aceasta, atunci cunoașterea și înțelegerea dinamicii proceselor sunt deja absolut necesare.

Obiectele dinamice și modelele lor liniare au fost studiate și analizate îndeaproape timp de mai bine de două secole de mulți oameni de știință și ingineri. Rezultatele acestor studii și analize sunt prezentate mai jos calitativ într-o formă concentrată, așa cum este perceput de autor. În primul rând, aceasta se referă la modelele liniare ale sistemelor dinamice, clasificarea lor, descrierea proprietăților lor și domeniul de consistență.

În plus, unele proprietăți ale sistemelor neliniare sunt discutate mai jos. Cuvintele, termenii „dinamic”, „dinamic” au pătruns ferm și pe scară largă în diverse domenii ale cunoașterii umane, sunt folosite în viața de zi cu zi ca epitet emoțional al mișcării energetice în sensul larg al cuvântului, sinonim pentru schimbări rapide. În lucrarea propusă, termenul „dinamic” va fi folosit în sensul său restrâns și direct, adică „forță”, adică. un obiect dinamic este un obiect supus influențelor externe care duc la mișcare în sensul cel mai larg al cuvântului.

1. Modele dinamice: concept, tipuri

Un obiect dinamic este un corp fizic, dispozitiv tehnic sau proces care are intrări, puncte de posibilă aplicare a influențelor externe și perceperea acestor influențe, și ieșiri, puncte, valorile mărimilor fizice în care caracterizează starea obiectului. Un obiect este capabil să răspundă la influențele externe prin schimbarea stării sale interne și a valorilor de ieșire care îi caracterizează starea. Impactul asupra obiectului și reacția acestuia se modifică în general în timp, sunt observabile, adică. poate fi măsurat cu instrumente adecvate. Obiectul are o structură internă formată din elemente dinamice care interacționează.

Dacă citiți și meditați la definiția liberă de mai sus, puteți vedea că un obiect dinamic separat în forma sa „pură”, ca lucru în sine, nu există: pentru a descrie obiectul, modelul trebuie să conțină și 4 surse de influențe ( generatoare):

mediul înconjurător și mecanismul de alimentare cu acestea a acestor influențe

obiectul trebuie să aibă o extensie în spații

functioneaza in timp

trebuie să existe dispozitive de măsurare în model.

Un impact asupra unui obiect poate fi o anumită mărime fizică: forță, temperatură, presiune, tensiune electrică și alte mărimi fizice sau o combinație de mai multe mărimi, iar reacția, răspunsul unui obiect la un impact, poate fi o mișcare în spațiu, pt. de exemplu, deplasarea sau viteza, modificarea temperaturii, curentului etc.

Pentru modelele liniare ale obiectelor dinamice, principiul suprapunerii (suprapunere) este valabil, i.e. reacția la un set de influențe este egală cu suma reacțiilor la fiecare dintre ele, iar o modificare la scară largă a impactului corespunde unei modificări proporționale a reacției la acesta. Un impact poate fi aplicat mai multor obiecte sau mai multor elemente ale unui obiect.

Conceptul de obiect dinamic conține și exprimă relația cauzală dintre impactul asupra acestuia și răspunsul său. De exemplu, între o forță aplicată unui corp masiv și poziția și mișcarea acestuia, între o tensiune electrică aplicată unui element și un curent care curge în el.

În cazul general, obiectele dinamice sunt neliniare, inclusiv pot avea discretitate, de exemplu, pot schimba rapid structura atunci când acțiunea atinge un anumit nivel. Dar de obicei, de cele mai multe ori, obiectele dinamice sunt continue în timp, iar la semnale mici sunt liniare. Prin urmare, mai jos atenția principală va fi acordată obiectelor dinamice liniare continue.

Exemplu de continuitate: conducerea mașinii pe un drum -un obiect care funcționează continuu în timp, poziția lui depinde de timp în mod continuu. De cele mai multe ori, o mașină poate fi privită ca un obiect liniar, un obiect care funcționează într-un mod liniar. Și numai în caz de accidente, coliziuni, când, de exemplu, o mașină este distrusă, este necesar să o descriem ca un obiect neliniar.

Liniaritatea și continuitatea în timp a valorii de ieșire a unui obiect este doar un caz special convenabil, dar important, care face posibilă luarea în considerare pur și simplu a unui număr semnificativ de proprietăți ale unui obiect dinamic.

Pe de altă parte, dacă un obiect este caracterizat de procese care au loc pe scări de timp diferite, atunci în multe cazuri este permis și util să se înlocuiască cele mai rapide procese cu modificările lor discrete de timp.

Această lucrare este dedicată, în primul rând, modelelor liniare ale obiectelor dinamice sub influențe deterministe. Acțiunile deterministe netede de tip arbitrar pot fi generate de o acțiune aditivă discretă, relativ rară, asupra derivatelor inferioare ale acțiunii cu delta dozată. -funcții. Astfel de modele sunt în concordanță cu impacturi relativ mici pentru o clasă foarte largă de obiecte reale. De exemplu, așa se formează semnalele de control în jocurile pe computer care simulează controlul unei mașini sau al unui avion de la tastatură. Influențele accidentale sunt încă în afara domeniului de aplicare.

Consistența unui model liniar al unui obiect dinamic este determinată, în special, de faptul că valoarea lui de ieșire este suficient de netedă, de exemplu. dacă acesta și mai multe dintre derivatele sale de timp inferioare sunt continue. Faptul este că valorile de ieșire ale obiectelor reale se schimbă destul de ușor în timp. De exemplu, un avion nu se poate deplasa instantaneu dintr-un punct din spațiu în altul. Mai mult, el, ca orice corp masiv, nu își poate schimba brusc viteza; acest lucru ar necesita o putere infinită. Dar accelerația unui avion sau a unei mașini se poate schimba brusc.

Noțiunea de obiect dinamic nu definește deloc în mod cuprinzător un obiect fizic. De exemplu, descrierea unei mașini ca un obiect dinamic vă permite să răspundeți la întrebări, cât de repede accelerează și decelerează, cât de ușor se mișcă pe drumuri neuniforme și denivelări, ce impact vor experimenta șoferul și pasagerii mașinii când conduc pe drum. , pe ce munte poate urca etc. P. Dar într-un astfel de model nu contează ce culoare are mașina, prețul ei etc. nu este important, în măsura în care nu afectează accelerația mașinii. Modelul ar trebui să reflecte principalele proprietăți ale obiectului modelat din punctul de vedere al unui criteriu sau al unui set de criterii și să neglijeze proprietățile sale secundare. În caz contrar, va fi excesiv de complex, ceea ce va complica analiza proprietăților de interes pentru cercetător.

Pe de altă parte, dacă cercetătorul este interesat exact de schimbarea culorii mașinii în timp, cauzată de diverși factori, de exemplu, lumina soarelui sau îmbătrânirea, atunci pentru acest caz se poate întocmi și rezolva ecuația diferențială corespunzătoare.

Obiectele reale, precum și elementele lor, care pot fi considerate și obiecte dinamice, nu numai că percep influențe dintr-o anumită sursă, ci și ele afectează această sursă, o contracarează. Valoarea de ieșire a obiectului controlat este în multe cazuri intrarea pentru un alt obiect dinamic ulterior, care, la rândul său, poate afecta și modul de funcționare al obiectului. Acea. legăturile unui obiect dinamic cu lumea exterioară, în raport cu aceasta, sunt bidirecționale.

Adesea, la rezolvarea multor probleme, comportamentul unui obiect dinamic este luat în considerare numai în timp, iar caracteristicile sale spațiale, în cazurile în care nu prezintă interes direct pentru cercetător, nu sunt luate în considerare și luate în considerare, cu excepția unui luarea în considerare simplificată a întârzierii semnalului, care se poate datora timpului de propagare a impactului.în spațiu de la sursă la receptor.

Obiectele dinamice sunt descrise prin ecuații diferențiale (un sistem de ecuații diferențiale). În multe cazuri practic importante, aceasta este o ecuație diferențială liniară, obișnuită (ODE) sau un sistem de EDO. Varietatea tipurilor de obiecte dinamice determină importanța ridicată a ecuațiilor diferențiale ca aparat matematic universal pentru descrierea lor, ceea ce face posibilă efectuarea cercetării (analizei) teoretice ale acestor obiecte și, pe baza unei astfel de analize, construirea de modele. și construim sisteme, dispozitive și dispozitive utile oamenilor, pentru a explica structura lumii din jurul nostru, cel puțin la scara macrocosmosului (nu micro- și nu mega-).

Modelul unui obiect dinamic este consistent dacă este adecvat, corespunde unui obiect dinamic real. Această corespondență este limitată la o anumită zonă spațio-temporală și o gamă de impacturi.

Un model al unui obiect dinamic este realizabil dacă este posibil să se construiască un obiect real, al cărui comportament sub influența influențelor dintr-un anumit domeniu spațiu-timp și pentru o anumită clasă și gamă de acțiuni de intrare corespunde comportamentului model.

Amploarea claselor, varietatea structurilor obiectelor dinamice pot conduce la presupunerea că toate împreună au un set nenumărat de proprietăți. Cu toate acestea, o încercare de a înțelege și de a înțelege aceste proprietăți și principiile de funcționare a obiectelor dinamice, în toată diversitatea lor, nu este deloc atât de lipsită de speranță.

Cert este că, dacă obiectele dinamice sunt descrise în mod adecvat prin ecuații diferențiale, și exact acesta este cazul, atunci setul de proprietăți care caracterizează un obiect dinamic de orice fel este determinat de setul de proprietăți care îi caracterizează ecuația diferențială. Se poate argumenta că, cel puțin pentru obiectele liniare, există un număr destul de limitat și relativ mic de astfel de proprietăți de bază și, prin urmare, setul de proprietăți de bază ale obiectelor dinamice este, de asemenea, limitat. Pe baza acestor proprietăți și combinând elementele care le posedă, puteți construi obiecte dinamice cu o mare varietate de caracteristici.

Deci, principalele proprietăți ale obiectelor dinamice sunt derivate teoretic din ecuațiile lor diferențiale și corelate cu comportamentul obiectelor reale corespunzătoare.

Obiect dinamic -este un obiect care percepe influențele externe care variază în timp și reacționează la acestea prin modificarea valorii de ieșire. Obiectul are o structură internă formată din elemente dinamice care interacționează. Ierarhia obiectelor este limitată de jos de cele mai simple modele și se bazează pe proprietățile acestora.

Impactul asupra obiectului, precum și reacția acestuia, sunt mărimi fizice, măsurabile, poate fi și un set de mărimi fizice, descrise matematic de vectori.

Când descriem obiecte dinamice folosind ecuații diferențiale, se presupune implicit că fiecare element al unui obiect dinamic primește și consumă atâta energie (o asemenea putere) cât are nevoie pentru funcționarea normală, în conformitate cu scopul său, ca răspuns la influențele primite. Obiectul poate primi o parte din această energie din acțiunea de intrare și aceasta este descrisă de ecuația diferențială în mod explicit, cealaltă parte poate proveni din surse externe și nu apare în ecuația diferențială. Această abordare simplifică foarte mult analiza modelului fără a distorsiona proprietățile elementelor și ale întregului obiect. Dacă este necesar, procesul de schimb de energie cu mediul extern poate fi descris în detaliu într-o formă explicită, iar acestea vor fi, de asemenea, ecuații diferențiale și algebrice.

În unele cazuri speciale, sursa întregii energie (putere) pentru semnalul de ieșire al obiectului este acțiunea de intrare: o pârghie, accelerarea unui corp masiv prin forță, un circuit electric pasiv etc.

În cazul general, influența poate fi considerată ca controlând fluxul de energie pentru a obține puterea necesară a semnalului de ieșire: un amplificator de semnal sinusoidal, doar un amplificator ideal etc.

Obiectele dinamice, ca și elementele lor, care pot fi considerate și obiecte dinamice, nu numai că percep impactul de la sursa sa, ci acționează ei înșiși asupra acestei surse: de exemplu, în mecanica clasică acest lucru este exprimat de principiul formulat în a treia lege a lui Newton. : acțiunea este egală cu reacția, în inginerie electrică, tensiunea sursei este rezultatul echilibrului dinamic dintre sursă și sarcină. Acea. legăturile unui obiect dinamic cu lumea exterioară, în raport cu aceasta, sunt bidirecționale.

În esență, toate elementele unui obiect dinamic sunt bidirecționale, la fel ca obiectul însuși în raport cu obiectele externe. Aceasta rezultă din generalizarea celei de-a treia legi a lui Newton, formulată de el pentru mecanică: contraforța unui corp este egală cu forța de acțiune asupra acestuia de către un alt corp și este îndreptată către el, iar în chimie se formulează tot sub forma a principiului lui Le Chatelier. Rezumând, putem spune: impactul unui element dinamic asupra altuia întâlnește o opoziție de un fel. De exemplu, sarcina electrică a unei surse de tensiune i se opune curentului, modificând valoarea tensiunii la ieșirea sursei. În cazul general, contracararea sarcinii afectează modul de funcționare al sursei, iar comportamentul acestora este determinat ca urmare, dacă este posibil, de o tranziție la un anumit echilibru dinamic.

În multe cazuri, puterea sursei de influență este mult mai mare decât puterea de intrare necesară a receptorului, care este un obiect dinamic. În acest caz, obiectul dinamic practic nu afectează modul de funcționare al sursei (generatorului) și conexiunea poate fi considerată ca fiind unidirecțională de la sursă la obiect. Un astfel de model unidirecțional al unui element, bazat pe structurarea fizică rațională a unui obiect, simplifică foarte mult descrierea și analiza sistemului. De fapt, multe obiecte tehnice, deși departe de toate, sunt construite exact după acest principiu, în special atunci când se proiectează sisteme pentru rezolvarea problemelor de control. În alte cazuri, de exemplu, la rezolvarea unei probleme când se cere obținerea randamentului maxim al motorului, opoziția nu poate fi neglijată.

Prin detalierea structurii unui obiect dinamic, se poate ajunge la obiecte elementare, convențional nu simplificate. Astfel de obiecte sunt descrise prin cele mai simple ecuații algebrice și diferențiale. De fapt, astfel de elemente, la rândul lor, pot avea o structură complexă, dar la modelare este mai convenabil să le percepi ca un întreg, ale cărui proprietăți sunt determinate de aceste ecuații relativ simple care leagă reacția cu impactul.

1.1 Modele fizice

Acesta este numele unei descrieri mărite sau reduse a unui obiect sau sistem. O caracteristică distinctivă a unui model fizic este că, într-un fel, arată ca o integritate modelată.

Cel mai faimos exemplu de model fizic este o copie a unui avion în construcție, realizată cu respectarea deplină a proporțiilor, să zicem 1:50. La una dintre etapele dezvoltării unei aeronave cu un nou design, devine necesară verificarea parametrilor aerodinamici de bază. În acest scop, copia pregătită este suflată într-un tunel special (tunnel de vânt), iar citirile obţinute sunt apoi examinate cu atenţie. Beneficiile acestei abordări sunt clare. De aceea, toți producătorii de aeronave de top folosesc modele fizice de acest gen în dezvoltarea fiecărei aeronave noi.

Adesea, copii mai mici ale clădirilor cu mai multe etaje sunt plasate într-un tunel de vânt, simulând roza vânturilor caracteristică zonei în care ar trebui să fie construite. Ei folosesc și modele fizice în construcțiile navale.

1.2 Modele matematice

Acesta este numele modelelor care folosesc simboluri și metode matematice pentru a descrie proprietățile și caracteristicile unui obiect sau eveniment. Dacă o problemă poate fi transferată în limbajul formulelor, atunci este mult simplificată. Abordarea matematică este, de asemenea, simplă, deoarece se supune unor reguli rigide bine definite. ,care nu poate fi anulat prin decret sau altfel. Complexitatea vieții noastre constă tocmai în faptul că multe din ceea ce se întâmplă în ea sunt adesea lipsite de convenții. Matematica se ocupă cu o descriere simplificată a fenomenelor. În esență, orice formulă (sau set de formule) reprezintă o anumită etapă în construcția unui model matematic. Experiența arată că este destul de ușor să construiești un model (scrieți o ecuație). Este dificil în acest model și, prin urmare, în formă simplificată de a putea transmite esența fenomenului studiat.

Orice element funcțional al unui obiect real are propria sa structură, el poate, la fel ca întregul obiect, să fie divizat mental sau fizic în elemente care interacționează. Un obiect dinamic elementar este un element ales rațional al unui obiect real, convențional considerat indivizibil, care posedă, în ansamblu, o anumită proprietate fundamentală, de exemplu, inerția, și cu un grad suficient de precizie descris de cea mai simplă ecuație algebrică sau diferențială.

Cea mai importantă proprietate fundamentală a obiectelor dinamice este inerția lor. Fizic, inerția se exprimă prin faptul că obiectul nu reacționează imediat, ci treptat, la influențele externe, iar în absența influențelor externe caută să-și mențină starea și comportamentul. Matematic, inerția se exprimă prin faptul că valoarea de ieșire a unui obiect real este continuă în timp. Mai mult, unele derivate inferioare ale cantității de ieșire trebuie să fie, de asemenea, continue; ele nu se pot schimba brusc sub impacturi limitate în putere, inclusiv cele care se modifică brusc, treptat în timp.

Cele mai simple obiecte dinamice inerțiale -kinedin .Acestea sunt obiecte elementare, izolate mental sau fizic de structura unui obiect complex și cu un grad suficient de acuratețe supuse celor mai simple ecuații diferențiale de diverse ordine. Astfel de modele sunt consistente, cel puțin într-un anumit domeniu spațiu-timp și într-o gamă limitată de mărimi ale semnalului.

Descrierea matematică a inerției unui obiect dinamic, obiect corespunzător unei anumite ecuații diferențiale, constă în faptul că impactul afectează indirect reacția obiectului, afectează direct una sau alta derivată a reacției în raport cu timpul, sau mai multe dintre ele deodată. Aceasta duce la faptul că reacția se manifestă doar în timp.

Într-adevăr, o astfel de descriere corespunde comportamentului obiectelor reale. De exemplu, cu o aprovizionare instantanee de unele, relativ mică, care nu se modifică după aplicarea unui impact asupra unui obiect elementar de ordinul doi, de exemplu, o forță asupra masei inerțiale, obiectul rămâne pentru unii, deși mic, timp în aceeași stare ca înainte de alimentare, are aceeași viteză, ca înainte.

Dar derivata a doua, i.e. accelerație, sare brusc, proporțional cu mărimea forței aplicate. Și, prin urmare, numai odată cu trecerea timpului, și nu imediat, prezența derivatei a doua se manifestă în schimbarea vitezei și, prin urmare, în cea ulterioară și a poziției corpului în spațiu.

1.3 Modele analogice

Acesta este numele unui model care reprezintă obiectul investigat ca un analog care se comportă ca un obiect real, dar nu arată astfel.

Iată două exemple destul de tipice.

Exemplul 1. Un grafic care ilustrează relația dintre efort și rezultate este un model analogic. Graficul din fig. 1.1 arată modul în care timpul necesar unui student pentru a se pregăti pentru examen afectează rezultatul.

Orez. 1.1. Grafic care arată relația dintre efort și rezultate

Exemplul 2. Să presupunem că trebuie să găsiți modalitatea cea mai economică pentru livrările regulate cunoscute de mărfuri în trei orașe, construind doar un depozit pentru aceasta. Cerința principală: locul pentru depozit trebuie să fie astfel încât costurile totale de transport să fie cele mai mici (se consideră că costul fiecărui transport este egal cu produsul distanței de la depozit până la destinație cu greutatea totală a transportului). mărfurile transportate și se măsoară în tone-kilometri).

Vom lipi harta zonei pe o foaie de placaj. Apoi, la locația fiecărui oraș, tăiem prin găuri, trecem fire prin ele și le atașăm greutăți proporționale cu cererile de mărfuri din acest oraș (Fig. 1.2). Legați capetele libere ale firelor într-un singur nod și eliberați. Sub influența gravitației, sistemul va ajunge la o stare de echilibru. Locul de pe foaia de placaj, care va fi ocupat de nod, și va corespunde locației optime a depozitului (Fig. 1.3).

Cometariu. De dragul simplității, nu ținem cont de costul drumurilor care vor trebui reconstruite.

Orez. 1.2. Harta terenului pe o foaie de placaj

Orez. 1.3. Locația optimă a depozitului

2. Construirea modelelor matematice de obiecte discrete

2.1 Modelul populației

Interesant, construirea unui model matematic nu este adesea deloc dificilă. Adesea, cele mai simple și mai ușor de explicat presupunerile sunt folosite pentru aceasta. Să descriem cum se poate face acest lucru folosind un exemplu aproape real. Să ne imaginăm următoarea imagine. Mijlocul secolului al XVIII-lea Europa Centrală ,o parohie în provincii, o biserică, enoriași - locuitori ai satelor din jur, preotul paroh observă că templul s-a înghesuit pentru slujbele divine: numărul enoriașilor a crescut. Preotul reflectă: dacă numărul enoriașilor va continua să crească în viitor, atunci va trebui construită o nouă biserică, care va necesita fonduri considerabile.

Preotul înțelege că timpul în care templul ar trebui construit și dimensiunea acestuia depind în mare măsură de modul în care se va schimba numărul locuitorilor din jur. Și decide să încerce și să calculeze. Să încercăm și să stabilim cursul posibil al raționamentului său, folosind denumiri și limbaj modern.

Să notăm cu x numărul enoriașilor până la sfârșitul celui de-al n-lea an. Numărul lor într-un an, adică până la sfârșitul anului (n + 1), este firesc să se noteze cu x n + 1 .Apoi, modificarea numărului pentru acest an poate fi descrisă prin diferență

Apare din două motive naturale - oamenii se nasc și mor (pentru simplitate, vom presupune că virusul migrației nu a lovit această zonă în acel moment). Nu este greu de determinat numărul de nașteri și numărul de decese pe an folosind cărțile parohiale. Numărând numărul de nașteri și decese în diferiți ani, preotul decide să compare cifrele obținute și d1, ..., dk cu numărul total de enoriași pentru acești ani x1, .., xk, și observă că rapoartele x1, ..., xk sunt din ani difera foarte putin. Același lucru este valabil și pentru relații.

Pentru simplitatea calculelor, vom considera aceste relații constante și le vom nota cu? și? respectiv. Astfel, numărul de nașteri în al n-lea an se dovedește a fi egal, numărul de decese este egal cu ?Xn, iar modificarea numărului din motive naturale este +?Xn -?Xn.

Ca rezultat, ajungem la relația? Xn =? Xn -? Xn sau mai detaliat:

xn + 1 = xn +? xn-? xn

Pune? = 1 +? -?. Atunci formula care ne interesează va lua forma

Modelul este construit.

Acum să încercăm să ne dăm seama ce s-a întâmplat, adică să analizăm modelul construit. Sunt posibile trei cazuri:

1)?>1(?=?-?>0 -se nasc mai mulți decât mor) și numărul enoriașilor crește de la an la an,

2)?=1 (?=?-?=0 -mor toți câți se nasc) iar numărul enoriașilor rămâne neschimbat de la an la an,

3)?<0 (?=?-?<0 -mor mai mulți decât se nasc) iar numărul enoriașilor este în continuă scădere.

Întrucât motivația construirii modelului a fost dorința de a ști cât de repede va crește numărul enoriașilor, să începem cu cazul 1.

Cazul 1. Deci, numărul enoriașilor este în creștere. Dar cum, cât de repede? Iată momentul să ne amintim pe scurt povestea de avertizare (trista pildă) despre inventatorul necunoscut al șahului. Ei spun că jocul a fost foarte plăcut de către bogatul și atotputernicul maharaja, care a decis imediat să-l răsplătească pe inventator și s-a oferit cu generozitate să aleagă singur recompensa. El, după cum se spune, după ce a periat piesele de pe tabla de șah, a pus un bob de grâu pe prima celulă, pe a 2-a -doua boabe, pe 3 -patru boabe, pe a 4-a -opt boabe (Fig. 2.1) și i-a sugerat Maharajahului să dea ordin slujitorilor să împrăștie boabele de grâu pe alte celule ale tablei de șah conform legii propuse, adică astfel: 1,2,4,8 ,16, ..., 263.

Orez. 2.1. Problemă cu tabla de șah și recompensă maharajah

Maharaj aproape că a jignit această cerere simplă și a fost de acord. va dura mult timp pentru a-l finaliza. Dar inventatorul a insistat. a ordonat Maharaja. Și slujitorii s-au grăbit imediat să facă această „lumină” exercițiu. Inutil să spun că ei nu au reușit să execute ordinul Maharaja. Faptul este că numărul total de boabe de grâu pe tabla de șah ar fi trebuit să fie egal cu 2 64 - 1,care este mult mai mare decât cea care se cultivă acum peste tot în lume într-un an. Să încheiem pilda foarte pe scurt: Maharajahul s-a trezit într-o poziție necunoscută. -a făcut public o promisiune și nu a putut s-o îndeplinească. Vinovatul a fost însă imediat găsit. Poate de aceea istoria nu a păstrat numele inventatorului șahului. Să încercăm, totuși, să descriem pe un grafic cât de repede crește numărul de boabe din fiecare celulă următoare, pentru o mai mare claritate, conectând punctele adiacente (Fig. 2.2).

Orez. 2.2-2.3. Schimbarea exponențială a populației

Regula propusă de inventatorul șahului este X n + 1 = 2x n este un caz special de formula (1) pentru ?= 2 și, asemenea ei, descrie legea, în urma căreia obținem o succesiune de numere care formează o progresie geometrică. Pentru orice ?>1imagine care ilustrează schimbarea lui x n ,are o formă similară - x n va crește exponențial. În 1820 la Londra T.R. Malthus a publicat lucrarea „Principii ale economiei politice considerate în vederea aplicării lor practice” (în traducere rusă -„Experiență despre legea populației...” T. 1-2. SPb., 1868), în care, în special, se spunea că, datorită caracteristicilor biologice ale oamenilor, populația tinde să se înmulțească conform legii progresiei geometrice,

X n = 1 =?X n, ?>1,

în timp ce mijloacele de existență nu pot crește decât conform legii progresiei aritmetice, y n + 1 = y n + d ,d> 0. Această diferență în rata de modificare a cantităților este direct legată de problemele de supraviețuire a populației (Fig. 2.3) ,nu a putut rămâne neobservată și a provocat critici destul de dure și controverse extrem de politizate în cercurile relevante. Să încercăm să extragem din însuși faptul criticii o concluzie utilă despre adecvarea modelului construit (1). Desigur, atunci când se încearcă simplificarea descrierii situației, unele circumstanțe trebuie neglijate, considerându-le nesemnificative. Cu toate acestea, pare să nu existe o viziune unificată asupra a ceea ce este esențial și a ceea ce nu este. Puteți, de exemplu, să nu acordați atenție faptului că a început ploaia. Dar trebuie să recunoști că una este să alergi o sută de metri sub ploaia care picură și cu totul alta -o oră de mers pe ploaia asta fără umbrelă. Observam ceva asemanator aici: atunci cand calculezi cu 3-4 ani in avans, formula (1) functioneaza destul de bine, dar prognoza pe termen lung bazata pe ea se dovedeste a fi gresita.

O concluzie importantă. Atunci când propuneți un model pe care îl construiți sau pe care îl alegeți, trebuie neapărat să indicați limitele în care poate fi utilizat și să avertizați că încălcarea acestor limite poate duce (și cel mai probabil va duce) la erori grave. Pe scurt, fiecare model are propria sa resursă. Când cumpărăm o bluză sau o cămașă, suntem obișnuiți cu prezența etichetelor care indică temperatura maximă admisă de călcat, tipurile de spălare permise etc. Acest lucru, desigur, nu înseamnă în niciun fel că vi se interzice să luați un roșu. fier fierbinte să treacă prin el o dată -alta pe țesătură. Poti sa faci asta. Dar vrei să porți o bluză sau o cămașă după călcat așa? Cazul 2. Mărimea populației nu se modifică (Fig. 2.4). Cazul 3. Populația este pe cale de dispariție (Fig. 2.5).

Orez. 2.4. Graficul populației cu o populație constantă

Orez. 2.5. Graficul populației cu numere descrescătoare

Ne-am oprit în mod deliberat în detaliu asupra descrierii modelului populației, în primul rând, pentru că este unul dintre primele modele de acest fel și, în al doilea rând, pentru a arăta prin exemplul său care sunt principalele etape ale soluției problemei construirii unui modelul matematic trece prin.

Observație 1. Foarte des, atunci când descriem acest model de populație, se recurge la varianta lui diferențială: x =?x (aici x = x (t) -dimensiunea populației în funcție de timp, x " -derivată în timp, ?-constant).

Observația 2. Pentru valorile mari ale lui x, competiția pentru mijloacele de existență duce la o scădere a ?,iar acest model rigid ar trebui înlocuit cu un model mai moale: x =?(x) x ,în care coeficientul ?depinde de mărimea populației. În cel mai simplu caz, această dependență este descrisă după cum urmează:

? (x) = a-bx

unde a și b -sunt numere constante, iar ecuația corespunzătoare ia forma

x = ax-bx 2

Și ajungem la un model mai complex, așa-numitul logistic, care descrie deja destul de bine dinamica populației. Analiza curbei logistice (Figura 2.6) este instructivă și poate fi interesantă pentru cititor. Modelul logistic descrie bine și alte procese, cum ar fi eficiența publicității.

Orez. 2.6. Curba logistica

2.2 Modelul prădător-pradă

Cele de mai sus vorbeau despre reproducerea nestingherită a populației. Cu toate acestea, în circumstanțe reale, o populație coexistă cu alte populații, fiind cu acestea într-o varietate de relații. Aici aruncăm o privire rapidă asupra perechii de prădători antagoniste -victimă (poate fi o pereche de râs -iepure și o pereche de buburuze -afid) și încercați să urmăriți modul în care numărul ambelor părți care interacționează se poate schimba în timp. Populația de pradă poate exista singură, în timp ce populația de prădători poate exista doar în detrimentul prăzii. Să notăm mărimea populației de pradă prin x și dimensiunea populației de prădători prin y. În absența unui prădător, prada se reproduce conform ecuației x = ax ,a> 0 ,iar prădătorul în absenţa prăzii se stinge conform legii y =-? y ,?>0.Prădătorul mănâncă cu cât mai multă pradă, cu atât este mai multă și cu atât este mai numeroasă. Prin urmare, în prezența unui prădător, numărul de pradă se modifică conform legii

X = ax- ? X y, ?>0

Cantitatea de pradă consumată contribuie la reproducerea prădătorului, care poate fi scris astfel: y =-? y +? X y , ?>0.

Astfel, obținem sistemul de ecuații

x = ax- ? X y

y = - ? y +? X y

în plus, x? 0, y? 0.

Model de prădător -sacrificiul este construit.

Ca și în modelul anterior, cel mai mare interes pentru noi este punctul de echilibru (x *, y *), unde x * și y * -soluție diferită de zero a sistemului de ecuații

ax-?xy =0

Y + ? X y =0

Sau x (a- ? y ) = 0, y (- ?+? X )=0

Acest sistem se obține din condiția de stabilitate a numărului ambelor populații x = 0, y =0

Coordonatele punctului de echilibru -este punctul de intersecție al dreptelor

Ay =0 (2)

?+?x =0 (3)

usor de calculat:

, (fig. 2.7).

Orez. 2.7. Rezolvarea unui sistem de ecuații

Originea coordonatelor O (0,0) se află în semiplanul pozitiv față de dreapta orizontală, dată de ecuația (2), și față de dreapta verticală, dată de ecuația (3), în jumătatea negativă -plan (Fig. 2.8). Astfel, primul trimestru (și ne interesează doar de el, deoarece x> 0 și y> 0) este împărțit în patru regiuni, care se notează convenabil după cum urmează: 1 - (+, +), 2 - (-, + ), 3- (-, -), 4 - (+, -).

Orez. 2.8. Partiționarea domeniului soluției în cadrane

Fie starea inițială Q (x0, y0) în regiunea IV. Atunci inegalitățile? -? Y0> 0, -? +? X0<0? из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке должны быть разных знаков, x>0, y<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.

Analizând comportamentul lui x și y în regiunile 2, 3 și 4 într-un mod similar, ajungem cu imaginea prezentată în Fig. 2.9.

Orez. 2.9. Modificarea x și y prin cadrane

Astfel, starea inițială Q conduce la o fluctuație periodică atât a numărului de pradă, cât și a prădtorului, astfel încât după un timp sistemul revine din nou la starea Q (Fig. 2.10).

Orez. 2.10. Fluctuații ciclice ale numărului de prădători și pradă

După cum arată observațiile, în ciuda simplității sale, modelul propus reflectă calitativ corect natura oscilativă a abundenței în sistemul prădător-pradă (Fig. 2.11).

Orez. 2.11. Oscilații ale sistemelor Iepure - Râși și Afidele - Buburuză

Observații reale. Uneori este destul de periculos să interferăm cu acțiunile legilor naturii pe care nu le înțelegem. -utilizarea insecticidelor (cu excepția cazului în care ucid aproape complet insectele) duce în cele din urmă la o creștere a populației acelor insecte, al căror număr se află sub controlul altor insecte prădătoare. O afidă care a intrat accidental în America a pus în pericol toată producția de citrice. Curând, inamicul ei natural a fost adus acolo. -gărgăriță, care s-a pus imediat la treabă și a redus foarte mult populația de afide. Pentru a accelera procesul de distrugere, fermierii au folosit DDT, dar, ca urmare, a crescut numărul de afide, care, uitându-se la orez. 2.11 ,nu este greu de prezis.

2.3 Modelul de mobilizare

Termenul de mobilizare politică, sau socială, înseamnă implicarea oamenilor într-un partid sau în rândul susținătorilor acestuia, în orice mișcare socială etc. Datorită faptului că nivelul actual de mobilizare este strâns legat de nivelul trecut, iar mobilizarea viitoare depinde pe campania de propagandă a succeselor de astăzi, este clar că atunci când se construiește un model adecvat, este necesar să se țină cont de factorul timp. Cu alte cuvinte, trebuie să înțelegeți că modelul dorit trebuie să fie dinamic.

Formularea problemei .Reflectați logica schimbării nivelului de mobilizare într-o anumită regiune între două puncte adiacente în timp, să zicem, timp de o lună (pentru un an, o săptămână, o zi etc.).

Construirea modelului .Să luăm ca unitate acea parte a populației pentru care mobilizarea de acest tip are sens. Fie M n -ponderea populaţiei mobilizate la momentul t n = n .Atunci proporția populației nemobilizate va fi egală cu 1-Mn (fig. 2.12).

Orez. 2.12. Raportul dintre populația mobilizată și nemobilizată

Nivelul de mobilizare se poate modifica pe parcursul unei luni din două motive principale:

) o parte din populație a fost atrasă suplimentar; este clar că această valoare este cu atât mai mare, cu atât este mai mare proporția populației încă nedegradate la momentul t n = n ,şi prin urmare poate fi considerat egal cu ?(1-M n ),(Aici ?>0- coeficient de campanie, constant pentru o regiune dată);

2) o parte din populație a plecat (din diverse motive); este clar că aceasta scade proporția populației sagitate cu atât mai mult, cu atât această proporție era mai mare la momentul tn = n și, prin urmare, pierderile asociate pensionării pot fi considerate egale (aici?> 0 este o rată constantă de pensionare) . Să subliniem că parametrii numerici? și? reflectă o schimbare proporțională a intereselor, opiniilor și intențiilor părților relevante ale populației din regiunea în cauză. Astfel, modificarea nivelului de mobilizare pe unitatea de timp este egală cu diferența dintre ponderea populației atrase suplimentar și ponderea populației pensionate sagitate:

Aceasta este ecuația procesului de mobilizare. S-a construit modelul de mobilizare.

Ultimul raport poate fi ușor convertit în următoarea formă:

Cometariu. Un parametru auxiliar? nu poate fi mai mare de 1 datorita faptului ca parametrii initiali? și? pozitiv. Ecuația rezultată (4) se numește ecuație de diferență liniară cu coeficienți constanți.

Ecuațiile de acest fel pot fi întâlnite în diferite versiuni, în cea mai mare parte, cele mai simple.

Una dintre ele (pentru? = 1) descrie regula conform căreia fiecare membru al șirului, începând de la al doilea, se obține din precedentul prin adăugarea cu un număr constant: Mn + 1 =? + Mn, adică o progresie aritmetică.

Al doilea (pentru? = 0) descrie regula conform căreia fiecare membru al șirului, începând de la al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu un număr constant: Mn + 1 =? Mn, adică un geometric. progresie.

Să presupunem că ponderea inițială a populației atrase M0 este cunoscută. Atunci ecuația (4) poate fi rezolvată cu ușurință (pentru certitudine, presupunem că). Noi avem:

Aplicarea modelului.

Să încercăm să analizăm capacitățile acestui model (construit pe baza celor mai simple considerații).

Să începem cu cazul |? |<1.

Pentru a face acest lucru, rescriem ultimul raport în formă, unde următoarea valoare este notată cu M *:

Cometariu. Același rezultat se obține dacă punem Mn + 1 = Mn = M * în ecuația (4).

Într-adevăr, atunci obținem M * =? +? M *, de unde

Valoarea găsită M * nu depinde de valoarea inițială a lui M0, este exprimată în termeni de parametrii inițiali? și? conform formulei

și, prin urmare, respectă condiția 0

Pentru a face formula rezultată mai descriptivă, vom folosi din nou metoda coordonatelor.

În fig. 2.13 arată intervalul de valori posibile ale parametrului auxiliar?, În Fig. 2.14 - parametri inițiali? și?, iar în fig. 2.15-17 - seturile corespunzătoare de valori Mn pentru diferite n, M0 și M * (pentru comoditatea percepției, punctele adiacente (n, Mn) și (n + l, Mn + 1) sunt conectate prin segmente de linie dreaptă) .

Se întâmplă?<1 проиллюстрирован на рис. 2.18.

Desigur, aceste cifre oferă o imagine bună. Dar nimic nu ne împiedică să luăm valori destul de specifice ale cantităților М0,? și? și calculați în detaliu situația corespunzătoare.

Orez. 2.13 Zone de valori posibile? 2.14.Parametri inițiali? și?

Orez. 2.15 - 2.16

Orez. 2.17 2.18. Se întâmplă?<1

De exemplu, pentru, avem

, ... (fig. 2.19)

Orez. 2.19. Mobilizarea când,

Este interesant de observat că modelul construit, în ciuda simplității abordărilor și raționamentului, reflectă destul de bine procesele reale. Astfel, modelul de mobilizare propus a fost folosit pentru a studia dinamica numărului de voturi exprimate pentru Partidul Democrat din Lake Country (SUA) în anii 1920-1968 și s-a dovedit că descrie destul de bine caracteristicile calitative ale procesului de mobilizare.

2.4 Modelul cursei înarmărilor

Luați în considerare o situație de conflict în care se pot găsi două țări; din motive de claritate, să numim țările X și Y.

Să notăm cu x = x (t) costurile de armare a țării X și cu y = y (t) costurile de armare a țării Y la momentul respectiv.

Ipoteza 1. Țara X se înarmează, temându-se de potențiala amenințare de război din țara Y, care, la rândul ei, știind despre creșterea costului înarmarii țării X, își mărește și cheltuielile cu armament. Fiecare țară modifică rata de creștere (sau reducere) a armamentului proporțional cu nivelul cheltuielilor celeilalte. În cel mai simplu caz, poate fi descris după cum urmează:

Unde ?și ?-constante pozitive.

Cu toate acestea, ecuațiile scrise au un dezavantaj evident - nivelul armelor nu este limitat de nimic. Prin urmare, părțile din dreapta acestor ecuații necesită o corecție naturală.

Ipoteza 2.

Cu cât nivelul actual al cheltuielilor de apărare a unei țări este mai mare, cu atât rata de creștere a acesteia este mai lentă. Acest lucru vă permite să efectuați următoarele modificări sistemului anterior:

x = ? y -? X

y = ? X -? y

dacă această ţară nu ameninţă existenţa acesteia. Să notăm revendicările corespunzătoare prin a și b (a și b sunt constante pozitive). Dacă constantele a și b sunt negative, ele pot fi numiți coeficienți de fond de comerț. Pe baza tuturor celor trei ipoteze, rezultatul este următorul sistem de ecuații:

x =? y-? x + a

y =? x-? y + b

S-a construit modelul cursei înarmărilor.

Soluția sistemului rezultat este funcțiile x (t) și y (t), determinate pentru condițiile inițiale date x 0? 0 și y 0? 0 (starea inițială a cursei înarmărilor).

Să analizăm sistemul rezultat, presupunând că nivelurile cheltuielilor cu armele ambelor țări nu depind de timp (sunt staționare). Aceasta înseamnă că x = 0, y = 0 sau altfel:

Y- ? X + a = 0

X- ? y + b = 0

Să ne uităm la un exemplu concret.

Exemplu. Să fie sistemul cursei înarmărilor după cum urmează:

x = 3y-5x + 15

y = 3x-4y + 12

Dacă ratele de modificare a mărimilor x și y sunt egale cu zero, atunci aceste mărimi sunt în mod necesar legate de condițiile:

Fiecare dintre aceste ecuații descrie o dreaptă în plan (x, y), iar punctul de intersecție al acestor drepte se află în primul sfert (Fig.2.20)

Linia dreaptă dată de ecuația (a) desparte planul, iar punctul de plecare O (0,0) se află în semiplanul pozitiv. În cazul luat în considerare, același lucru este valabil și pentru dreapta dată de ecuația (b) (Fig. 2.21).

Astfel, primul trimestru (și ne interesează doar el, deoarece întotdeauna x? 0 și y? 0) este împărțit în patru regiuni, care sunt desemnate în mod convenabil după cum urmează: I - (+, +), II - (-, +), III- (-, -), IV - (+, -).

Fie starea inițială (x 0, la 0) este în domeniul I. Atunci sunt valabile următoarele inegalități:

(a): 3y0 -5x 0+15>0,

(b): 3x 0-4 ani 0+12>0,

din care rezultă că vitezele x „și y” în acest punct sunt pozitive: x „> 0, y”> 0 și, prin urmare, ambele mărimi (x și y) trebuie să crească (Fig. 2.22).

Orez. 2.22 .crescând x și y

Astfel, în decursul timpului în regiunea I, soluția ajunge la un punct de echilibru.

În mod similar, analizând posibilele locații ale stării inițiale în regiunile II, III și IV, constatăm că o stare stabilă (echilibrul de forțe) se realizează indiferent de nivelurile inițiale de arme ale țărilor X și Y. Singura diferență este că dacă trecerea la o stare staționară din zona I este însoțită de o creștere simultană a nivelurilor de armament, atunci din zona III -scăderea lor simultană; pentru regiunile II și IV situația este diferită -o parte își construiește armamentul, în timp ce cealaltă dezarmează.

Sunt posibile și alte cazuri (fig. 2.23).

Orez. 2.23 ... alte cazuri

Este interesant de observat că capacitățile modelului construit au fost testate într-o situație reală. -cursa înarmărilor dinaintea Primului Război Mondial. Studiile au arătat că, în ciuda simplității sale, acest model descrie destul de fiabil starea de lucruri în Europa în anii 1909-1913.

Pentru a încheia această secțiune, să cităm afirmația lui T. Saaty despre acest model: „Modelul pare a fi mult mai convingător dacă, în loc de arme, este folosit pentru a studia problemele amenințării, deoarece oamenii reacţionează la nivelul absolut de ostilitate. față de ei de către alții și un grad proporțional cu nivelul de ostilitate pe care ei înșiși îl simt.”

Concluzie

În zilele noastre, știința acordă din ce în ce mai multă atenție problemelor de organizare și management, ceea ce duce la necesitatea analizării proceselor complexe cu scop din punctul de vedere al structurii și organizării lor. Nevoile practicii au dat naștere unor metode speciale care pot fi combinate convenabil sub denumirea de „cercetare operațională”. Acest termen se referă la utilizarea metodelor matematice, cantitative pentru a justifica deciziile în toate domeniile activității umane intenționate.

Scopul cercetării operaționale este de a identifica cel mai bun curs de acțiune în rezolvarea unei anumite probleme. Rolul principal în aceasta este atribuit modelării matematice. Pentru a construi un model matematic, este necesar să avem o înțelegere strictă a scopului funcționării sistemului studiat și să aveți informații despre constrângerile care determină intervalul de valori admisibile. Scopul și constrângerile ar trebui să fie prezentate sub formă de funcții.

În modelele de cercetare operațională, variabilele de care depind constrângerile și funcția obiectiv pot fi discrete (cel mai adesea întregi) și continue (continue). La rândul lor, constrângerile și funcția obiectiv sunt împărțite în liniare și neliniare. Există diverse metode de rezolvare a acestor modele, cele mai cunoscute și eficiente dintre ele sunt metodele de programare liniară, când funcția obiectiv și toate constrângerile sunt liniare. Metodele de programare dinamică (care au fost discutate în acest proiect de curs), programarea cu numere întregi, programarea neliniară, optimizarea multiobiectivă și metodele modelelor de rețea sunt destinate să rezolve modele matematice de alte tipuri. Aproape toate metodele de cercetare operațională generează algoritmi de calcul care sunt de natură iterativă. Aceasta presupune că problema se rezolvă secvenţial (iterativ), când la fiecare pas (iteraţie) obţinem o soluţie care converge treptat către soluţia optimă.

Natura iterativă a algoritmilor duce de obicei la calcule voluminoase de același tip. Acesta este motivul pentru care acești algoritmi sunt dezvoltați în principal pentru implementare folosind computere.

Construcţia modelului se bazează pe o simplificare semnificativă a situaţiei studiate şi ,prin urmare, concluziile trase pe baza acesteia ar trebui tratate cu suficientă prudență. -modelul nu poate face totul. În același timp, chiar și o idealizare aparent foarte grosieră permite adesea să aprofundăm în esența problemei. Încercând să influențăm cumva parametrii modelului (a-i alege, a-i controla), avem ocazia să supunem fenomenul studiat unei analize calitative și să tragem concluzii generale.

Programarea dinamică este un aparat matematic care permite planificarea optimă a proceselor dependente de timp în mai multe etape. Întrucât procesele din problemele de programare dinamică depind de timp, pentru fiecare etapă se găsesc o serie de soluții optime, care asigură desfășurarea optimă a întregului proces în ansamblu.

Folosind planificarea în etape, programarea dinamică face posibilă nu numai simplificarea soluționării problemelor, ci și rezolvarea celor cărora nu se pot aplica metode de analiză matematică. Cu siguranță ,nu valoreaza nimic ,că această metodă necesită destul de mult timp atunci când se rezolvă probleme cu un număr mare de variabile.

Bibliografie

1.Akulich I.L. Programare matematică în exemple și probleme: Manual. manual. - M .: Liceu, 2009

.Berezhnaya E.V., Berezhnoy V.I. Metode de modelare matematică. - M .: Delo and Service, 2009

.Intriligator M. Metode matematice de optimizare și teorie economică. - M .: Iris-Press, 2008

.Kurbatov V.I., Ugolnitsky G.A. Metode matematice ale tehnologiilor sociale. - M .: Carte universitară, 2011

.A.V. Monahov Metode matematice de analiză economică. - SPb.: Peter, 2007

.Orlova I.V., Polovnikov V.A. Metode și modele economice și matematice. - M .: Manual universitar, 2008

.Popov I.I., Partyka T.L. Metode matematice. - M .: INFRA-M, 2007

.Popova N.V. Metode matematice. - M .: Ankil, 2007

Îndrumare

Ai nevoie de ajutor pentru a explora un subiect?

Experții noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe subiecte care vă interesează.
Trimite o cerere cu indicarea temei chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obtine o consultatie.

Modele continue și discrete

Continuu modelele reflectă procese continue care au loc, în special, în timp. Valorile variabilei independente (argument) aparțin unui set continuu. O mulțime continuă are proprietatea că, între orice puncte arbitrar apropiate ale mulțimii, pot fi întotdeauna găsite și puncte mai apropiate. De foarte multe ori acest caracter de schimbare este atribuit timpului.

Modelele continue descriu destul de precis procese reale, cum ar fi o modificare a puterii curentului la un anumit punct al circuitului electric, o modificare a vitezei unghiulare la ieșirea unui motor electric, un câștig liniar al vitezei în timpul accelerației unei mașini, fluxul de ieșire. de gaz sau lichid dintr-un rezervor etc.

Discret modelele descriu discret, i.e. procese intermitente. Astfel de procese apar, de exemplu, în sistemele de control discret care conțin un element de impuls (cheie) care închide periodic circuitul după o perioadă constantă de ceas. T.

Modelele discrete descriu destul de precis procese reale precum ștanțarea pieselor, vânzarea de mărfuri mici folosind o mașină automată, operarea unui microprocesor etc.

Există, de asemenea combinate- modele discret-continue, în care de obicei este posibilă separarea părții continue de cea discretă.

Static se numește model al unui obiect care reflectă originalul la un anumit moment în timp, adică „Instantaneu” al obiectului. De exemplu, literalmente o fotografie sau o diagramă.

Cu fotografie (Fig. 1.11), totul este clar, ca și în ceea ce privește circuitul, chiar dacă aceasta este o diagramă structurală care arată funcțiile de transfer ale legăturilor, nu este clar vizibil din ea cum se modifică modelul în timp (Fig. 1.12) ).

Figura 1.11. Fotografia ca exemplu de model static

Orez. 1.12. Diagrama bloc a sistemului

Un alt exemplu evident și familiar de model static este caracterizarea statică, adică. dependența variabilei de ieșire a obiectului (sistemului) de variabila de intrare în stare echilibrată, adică la t®∞: y (∞) = F(fig. 1.13) .

Orez. 1.13. Caracteristica statică a sistemului " Sistem”

Dinamic modelul, spre deosebire de cel static, ține cont de modificările care apar în sistem în timp. Acest lucru poate fi exprimat în dependența de timp a variabilelor de intrare, ieșire și intermediare. Un exemplu sunt funcțiile tranzitorii - răspunsul sistemelor la o acțiune de intrare cu un singur pas (Fig. 1.14).

Orez. 1.14. Funcția tranzitorie h (t) sisteme" Sistem”

De obicei, funcţiile tranzitorii se obţin ca urmare a: 1) o soluţie analitică; 2) integrarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale care descriu sistemul studiat; 3) transformata Laplace inversă a funcției de transfer a sistemului împărțit la s... Modelul ecuației diferențiale (DE) este un model dinamic larg răspândit.

Exemplu. Fie ca sistemul să fie descris de un model sub forma unei ecuații diferențiale:

acțiune de intrare x (t) = 1[t]- pasul unitar (ca în Fig. 1.14), iar condițiile inițiale sunt: y (t = 0) = 0, adică procesul începe de la origine.

Soluție analitică. Este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi cu coeficienți constanți (staționare). Soluția sa constă din doi termeni - o soluție generală și una particulară:

Solutia generala se cauta sub forma:

Unde A- coeficient necunoscut determinat din conditiile initiale;

l- rădăcina ecuației caracteristice, care în acest caz arată astfel:

Unde l = - 2.

În formă standard, ecuația originală ar trebui să aibă la YT) coeficient egal cu unu. Pentru a face acest lucru, împărțiți ecuația inițială la 4 și obțineți:

O soluție specială depinde de tipul părții drepte a sistemului de control; în acest exemplu, pentru că x (t) = 1[t], o anumită soluție va fi egală cu o constantă:

Soluția generală va arăta astfel:

Acum, înlocuind în soluție YT) condiția inițială (pentru o ecuație de ordinul 1 este una), puteți găsi valoarea coeficientului A:

Unde A = - 1,25. Soluția finală este:

Deoarece acțiunea de intrare a fost un pas unitar, soluția rezultată este o funcție tranzitorie și se notează, ca de obicei, h (t)... Graficul acestei funcții este prezentat în Fig. 1.15.

Orez. 1.15. Funcția tranzitorie h (t)- rezolvarea DE din exemplu

Ca h (t) procese precum accelerarea unei mașini, încălzirea unui lichid, acumularea de cunoștințe într-un anumit domeniu, creșterea populației de animale, creșterea producției (în anumite condiții) și multe altele au un caracter (cu diferite erori) . Aceasta este una dintre cele mai importante proprietăți ale modelelor matematice - universalitatea lor.

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Postat pe http://www.allbest.ru/

• Introducere
• 1. Partea teoretică
• 1.1 Conceptul de sisteme dinamice
• 1.2 Modele de sisteme și procese dinamice
• 1.3 Modelarea unui sistem de control continuu
• 1.4 Descrierea matematică a unui sistem de monitorizare continuă
• 2. Partea practică
• 2.1 Finalizarea sarcinii 1
• 2.2 Finalizarea sarcinii 2
• Concluzie
• Lista surselor utilizate
• Introducere
• Realizările în teoria și practica modelării proceselor și sistemelor, în condiții moderne, sunt asociate cu dezvoltarea rapidă a tehnologiei informatice. Ceea ce părea imposibil la rezolvarea multor probleme de modelare acum câțiva ani este acum ușor de implementat la un nivel de inginerie accesibil. Apariția și dezvoltarea pachetelor de modelare inginerească, precum Matlab, Skylab, Labview, au creat condițiile pentru modelarea de înaltă performanță, orientată pe obiecte, pe computerele moderne.
• Sarcinile de modelare a proceselor și sistemelor sunt diverse. Modelarea este utilizată pe scară largă în proiectarea inginerească și cercetarea științifică: pentru rezolvarea problemelor tehnice și economice, în cercetarea în ecologie și sociologie, în fabricarea instrumentelor și automatizarea controlului.
• Caracteristicile aplicării modelării în ingineria instrumentelor sunt asociate în primul rând cu progresele tehnologice în ingineria senzorilor, teoria măsurării și procesarea informațiilor.
• În domeniul problemelor economice, utilizarea modelării oferă un instrument eficient pentru managementul proiectelor și prognoza dezvoltării proceselor economice. Multe metode moderne de teoria controlului s-au dovedit a fi eficiente în rezolvarea problemelor economice și destul de ușor de implementat pe modele matematice și stabilirea experimentelor de calcul pe tehnologia computerelor.

Dezvoltarea rețelelor neuronale, a microsistemelor, a nanotehnologiei a introdus o mulțime de esențial noi în metodele de modelare a proceselor și sistemelor, ceea ce a oferit, de asemenea, un instrument eficient pentru rezolvarea preliminară a problemelor de proiectare în formă matematică pe modele și studiul lor numeric pe computere. . Utilizarea modelării este eficientă în special în studiul sistemelor proiectate pentru a studia și prezice diferite fenomene și procese din aceste sisteme. Aproximarea la condițiile reale de funcționare a sistemelor proiectate se realizează în modelarea stocastică, atunci când la condițiile de modelare se adaugă modificări aleatorii ale parametrilor sistemului, perturbări și zgomot de măsurători ale mărimilor fizice.

În ingineria instrumentelor, este importantă modelarea sarcinilor de control, primire, transmitere și transformare a informațiilor. În plus, modelele moderne de pretutindeni folosesc ecuații diferențiale și transformări matrice liniare pentru a descrie procese și sisteme.

Dezvoltarea metodelor moderne de modelare a creat premisele pentru crearea și cercetarea sistemelor extrem de eficiente, care, de regulă, sunt concentrate pe algoritmi de procesare a informațiilor digitale, folosind microprocesoare moderne, neurocalculatoare, procesoare cu logică neclară și alte progrese tehnologice moderne.

1 . Partea teoretică

1.1 Conceptul de sisteme dinamice

Sistemele dinamice sunt sisteme care își schimbă stările în timp sub influența forțelor externe și interne. Conceptul de sisteme dinamice a apărut ca o generalizare a conceptului de sistem mecanic, al cărui comportament este descris de legile dinamicii lui Newton. În știința modernă, conceptul de sistem dinamic acoperă sisteme de aproape orice natură: fizice, chimice, biologice, economice, sociale etc. Mai mult, sistemele se caracterizează prin diferite organizații interne, rigid determinate, stocastice, neliniare, sisteme cu elemente de auto-organizare, auto-organizare.

Cea mai importantă proprietate a sistemelor dinamice este stabilitatea lor, adică sistemul își menține structura de bază și funcțiile de bază îndeplinite pentru un anumit timp și sub influențe externe și perturbații interne relativ mici și variate. Stabilitatea este o proprietate intrinsecă a sistemelor și nu rezultatul influențelor externe. Ideile despre dezvoltarea acestor sisteme reflectă astfel de schimbări în organizarea lor structurală, care conduc la o performanță mai eficientă de către sistem a principalelor sale funcții. Rearanjamentele calitative ale sistemelor sunt analizate în teoria catastrofelor, care este considerată o ramură a teoriei generale a sistemelor dinamice.

Dezvoltarea ideilor despre sistemele dinamice este asociată cu trecerea la cunoașterea unor sisteme din ce în ce mai complexe. În acest caz, studiul dinamicii proprietăților interne ale sistemelor capătă un rol deosebit. În cazul sistemelor mecanice, acţiunea factorilor interni a fost redusă la forţe inerţiale. Pe măsură ce sistemele devin mai complexe, importanța factorilor interni crește. Problemele studierii surselor activității interne a sistemelor și a naturii funcționării și comportamentului lor intenționat vin în prim-plan.

Se obișnuiește să se numească un model matematic al unui sistem dinamic un set de simboluri matematice care determină în mod unic dezvoltarea proceselor în sistem, i.e. mișcarea ei. Totodată, în funcție de simbolurile folosite, se disting modelele analitice și grafico-analitice. Modelele analitice sunt construite folosind simboluri alfabetice, în timp ce modelele grafico-analitice permit utilizarea simbolurilor grafice.

Modelele continue și discrete ale sistemelor se disting în funcție de tipul de semnale. În funcție de operatorii utilizați - liniari și neliniari, precum și modele de timp și frecvență. Modelele temporale includ modele în care argumentul este timpul (continuu sau discret). Acestea sunt ecuații diferențiale și diferențiale scrise explicit sau sub formă de operator. Modelele de frecvență prevăd utilizarea operatorilor, al căror argument este frecvența semnalului corespunzător, adică. Operatori Laplace și Fourier etc.

1.2 Modele de sisteme și procese dinamice

În matematica modernă se utilizează reprezentarea proceselor și sistemelor dinamice prin ecuații diferențiale în spațiul stărilor. O astfel de descriere a proceselor și sistemelor facilitează realizarea modelării lor digitale utilizând o reprezentare cu diferențe finite și proiectarea algoritmilor universali pentru procesarea informațiilor cu scopul de a estima în continuare optimă a parametrilor sistemelor și proceselor. Estimările optime sunt necesare pentru organizarea controlului în sistemele automate de control folosind metode moderne, și în sistemele de măsurare a informațiilor pentru a obține date fiabile privind mărimile fizice măsurate, pentru a prezice comportamentul fenomenelor și sistemelor studiate și pentru a crește toleranța la erori a procesării informațiilor. . Una dintre metodele de obținere a unui model matematic al unui sistem sau proces este identificarea.

Identificarea unui sistem dinamic se numește primirea sau rafinarea datelor experimentale ale modelului matematic (parametrii numerici) ai acestui sistem sau proces, exprimate prin intermediul unuia sau altui aparat matematic.

Sunt utilizate următoarele modele matematice de bază în spațiul stărilor.

Un sistem dinamic stocastic determinist continuu (DS) este un sistem descris prin ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi și o ecuație liniară de ieșire. Sub formă de matrice:

X "(t) = A * X (t) + B * U (t) + D * V (t), Y (t) = CX (t),

unde X "(t) este vectorul n-dimensional al stării sistemului; V (t) este vectorul r-dimensional al zgomotului gaussian cu medie zero și matrice de corelație

E = Q (t)

modelarea traiectoriei fazei matricei

(E - operator de așteptare matematică); Y (t) - vector de ieșire m-dimensional; A, B, D - matrici de stare (matrici de coeficienți); C este o matrice de transformare liniară de dimensiunea m x n.

Un sistem dinamic stocastic determinist discret (DS) este un sistem descris prin ecuații de stare diferențe de ordinul întâi și o ecuație de ieșire discretă. Vederea matricei corespunde ecuațiilor:

X (k + 1) = F * X (k) + G * U (k) + T * V (k), Y (k) = CX (k),

unde F, G, T sunt matrici de tranziție. Matricele F, G, T sunt calculate în termeni de A, B, D sub forma:

F = I + A * y * dt, G = y * B * dt, T = y * D * dt,

unde I este matricea identității; dt este perioada de discretie a sistemului (procesului). Perioada de eșantionare dt este selectată pe baza lățimii de bandă a DS în conformitate cu teorema impulsului.

Deterministul este un DS, care nu are zgomot perturbator și nu are procese stocastice (sau toți acești factori pot fi neglijați). Un DS pur stocastic nu are un vector determinist al semnalelor de intrare. Sistemul determinist-stohastic conține atât influențe deterministe, cât și procese stocastice.

Obiectele de observare a sistemelor dinamice sunt: ​​procesele informaționale (IP), obiectele de control (OU), senzorii de informații primare (DPI), dispozitivele executive (IU). Funcția spectrală sau de corelare este modelul primar al obiectului de observație de tip IP. Modelul primar al unui obiect de observație de tip OA, DPI și IU este o ecuație diferențială (sau o funcție de transfer echivalentă) care conectează intrarea și ieșirea.

Un senzor de informație primară este un element al unui dispozitiv care convertește informații despre o cantitate fizică într-un semnal care este convenabil pentru utilizare și procesare. Este dat de o ecuație diferențială sau funcție de transfer. Funcția de transfer a DPI este raportul dintre transformarea Laplace a procesului de ieșire al DP și transformata Laplace a procesului de intrare cu condiții inițiale zero. Mișcarea unui sistem este procesul fizic de modificare a variabilelor sale în timp și spațiu. Variabilele de ieșire Y (t), acțiunile de intrare de control U (t) și acțiunile de intrare perturbatoare V (t) sunt considerate sub forma vectorilor corespunzători, care se scriu sub formă de matrice columnare:

1. 3 Modelarea unui sistem de control continuu

Sistemul de control este proiectat să măsoare și să emită informații despre procesul controlat h (t), care conține componenta medie (deterministă) și stocastică (aleatorie) g (t). Măsurarea are loc sub influența zgomotului aditiv n (t). Senzorul, cu ajutorul căruia se fac măsurătorile, este o legătură dinamică (în acest caz de ordinul doi). O diagramă echivalentă a sistemului de control este prezentată în Figura 1.

Figura 1 - Diagrama sistemului de control

Componenta aleatorie g (t) a procesului măsurat este dată de densitatea spectrală Sg (w); determinist - prin semnalul u (t); h (t) = g (t) + u (t) - proces informațional complet; f (t) = h (t) + n (t) - măsurarea procesului h (t) cu zgomot aditiv n (t) (se setează densitatea spectrală a zgomotului - Sn (w)); h (t) -semnal de ieșire al DPI (senzor de informație primară); W (S) este funcția de transfer a DRI. Acțiunea deterministă de intrare este dată de suma funcțiilor trepte și armonice.

Pentru a simula sistemul de control în Matlab, este elaborată o schemă de simulare, care este prezentată în Figura 2.

Figura 2 - Schema simulării sistemului de control

1.4 Descrierea matematică a unui sistem de monitorizare continuă

Densitatea spectrală a procesului controlat este setată:

Funcția de transfer a obiectului de observație:

Intensitatea zgomotului de măsurare R = 17 (la măsurarea semnalului de ieșire al obiectului observat).

Prin factorizarea din model sub formă de densitate spectrală, obținem funcția de transfer a filtrului de modelare al procesorului de intrare:

Modelul matriceal al obiectului observat este găsit prin metoda variabilelor auxiliare. Ecuația de stare în acest caz:

Procesul h (t) la ieșirea obiectului observat este calculat sub formă de matrice:

În acest exemplu, obținem următoarea formă de matrice:

Modelul matricei senzorului:

Ieșirea obiectului de observație h = C 0 * X 0.

Ecuația completă a obiectului controlat conține ecuația de stare a procesului de intrare și ecuația de stare a obiectului:

unde matricele A, B și D sunt compilate pe baza ecuațiilor diferențiale ale procesului și ale obiectului controlului, care au forma:

Sau un vector relativ complet::

Matricele A, B, C, D au în acest caz următoarea formă:

2 . Partea practică

2.1 Finalizarea sarcinii 1

Algoritm pentru efectuarea lucrărilor în mediul Simulink.

1. Lansați Matlab (versiunea R2012b) și selectați elementul „Nou> Model Simulink” din meniu (Figura 3).

Figura 3 - Procesul de creare a unui nou model în Simulink

2. Deschideți biblioteca de blocuri funcționale „Simulink”. Pentru a face acest lucru, faceți clic stânga pe pictograma „Simulink Library” de pe panoul de control (Figura 4).

Figura 4 - Procesul de creare a unui nou model în Simulink

3. Aceasta va deschide meniul bibliotecii Simulink, a cărui vedere principală este prezentată în Figura 5.

Figura 5 - Fereastra principală a „Biblioteca Simulink”

4. Extrageți toate blocurile funcționale necesare din biblioteca Simulink. Pentru a face acest lucru, utilizați căutarea din panoul de sus al ferestrei „Simulink Lybrary Browser”, care este prezentată în Figura 6.

Figura 6 - Căutați un bloc în „Biblioteca Simulink”

5. Pentru a simula un sistem de control continuu, vom avea nevoie de următoarele blocuri:

Blocurile „Undă sinusoială”, „Pas” și „Număr aleatoriu” din fila „Surse”;

Trei blocuri „Subsistem” și un bloc „Scope” din fila „Blocuri utilizate în mod obișnuit”;

Blocul „Suma” din fila „Operații matematice”;

Blocați „Fcn” din fila „User Define Function”;

Blocați „State-space” din fila „Continuous”.

6. Să construim diagrama de nivel superior a modelului sistemului de control continuu (Figura 7), folosind blocurile funcționale enumerate în clauza 5:

Figura 7 - Schema nivelului superior al sistemului de control

7. Să luăm în considerare mai detaliat blocurile „Subsistem”: „Obiect”, „Senzor”, „Filtru”.

8. Blocul „Obiect” este un obiect de observare a sistemului și este un sistem dinamic care conține un proces stocastic (blocul „State-Spațiu”) și un senzor (bloc („State-Spațiu 1”). Diagrama funcțională a sistemului dinamic „Obiect” este prezentată în Figura 8.

Figura 8 - Sistemul dinamic „Obiect”

9. Configurarea blocurilor din ecuația de stare „State-Space” și „State-Space 1” este prezentată în Figurile 9 și, respectiv, 10.

Figura 9 - Setarea parametrilor blocului „State-Space”.

Figura 10 - Setarea parametrilor blocului „State-Space 1”.

10. Blocurile funcționale h (t) = C 0 X și g (u) = C g X sunt setate de funcțiile prezentate în fereastra de parametri (Figura 11).

Figura 11 - Configurarea blocurilor funcționale h (t) și g (u)

11. Blocul „Senzor” (senzor) măsoară semnalul de intrare și este o combinație de semnal util h (t) și interferență n (t):

Modelul senzorului este prezentat în Figura 12. Blocul „Număr aleatoriu” este folosit ca generator de zgomot alb cu o intensitate de 0,4.

Figura 12 - Modelul senzorului

12. Blocul „Filtru” (filtru), pe baza măsurătorilor senzorului, oferă o estimare a parametrului de ieșire al obiectului de observație - h ^ (t). Matricele A, B, C corespund matricelor modelului complet. Matricea C din blocul „State Space” este unică. Modelul filtrului este prezentat în Figura 13.

Figura 13 - Modelul filtrului

Setarea parametrilor blocului „State Space” și blocului funcțional f (u) este prezentată în Figura 14.

Figura 14 - Setarea parametrilor blocurilor „State-Space” și „f (u)”

13. Rezultatele proceselor sistemului sunt înregistrate de un osciloscop (blocul „Scope”). Să configuram parametrii blocului „Scope”. Pentru a face acest lucru, faceți clic dreapta pe bloc și selectați elementul „Parametri bloc” din caseta de dialog. Apoi, în zona ferestrei care apare, faceți clic dreapta și selectați elementul „Proprietăți axele” (Figura 15). În caseta de dialog care apare, setați intervalul de valori (Y) pentru fiecare dintre cele trei grafice (Figura 16).

Figura 15 - Setarea parametrilor blocului „Scope”.

Figura 16 - Setarea intervalului de valori Y

14. În bara de instrumente Matlab din partea de sus a ecranului, puteți seta numărul de cicluri de lucru ale sistemului, după care Matlab nu va mai funcționa. Setarea acestui parametru este prezentată în Figura 17.

Figura 17 - Setarea ciclurilor de lucru ale sistemului

15. Aceasta completează configurarea modelului de sistem de monitorizare continuă. Apoi, porniți sistemul făcând clic stânga pe pictograma „Run” din bara de instrumente din partea de sus a ecranului (Figura 18).

Figura 18 - Pornirea sistemului pentru execuție

16. Rezultatele funcționării sistemului sunt reflectate în blocul „Scope” și sunt prezentate în Figura 19.

Figura 19 - Rezultatele funcționării sistemului

2.2 Finalizarea sarcinii 2

Oscilațiile unui oscilator neliniar sunt descrise de următoarea ecuație:

Folosind această ecuație diferențială, este necesar:

1. Creați un model al unui sistem mecanic;

2. Calculați valoarea numerică a coordonatei oscilatorului la momentul t = 5 și afișați rezultatul;

3. Construiți grafice ale dependenței coordonatelor și vitezei în timp;

4. Construiți traiectoria de fază a sistemului.

Să scriem ecuația originală sub forma unui sistem de ecuații de ordinul întâi.

Să rezolvăm acest sistem folosind pachetul Simulink, construind un model bloc. Un bloc separat în modelul general va forma un submodel (bloc subsistem):

(Biblioteca porturi și subsisteme).

Un submodel este un fragment dintr-un model, conceput ca un bloc separat. Utilizarea unui submodel la compilarea unui model are următoarele aspecte pozitive:

1) reduce numărul de blocuri afișate simultan pe ecran, ceea ce facilitează perceperea modelului;

2) vă permite să creați și să depanați fragmente ale modelului separat, ceea ce crește capacitatea de fabricație a creării unui model;

3) face posibilă sincronizarea subsistemelor paralele.

Folosind submodelul creat, valorile și în modelul principal sunt asociate cu intrările corespunzătoare ale submodelului, iar ieșirea submodelului este conectată cu sumatorul. Semnalul de la ieșirea sumatorului este alimentat la intrarea primului integrator, închizând circuitul de integrare.

În Simulink, procedura descrisă este prezentată în figurile 20 și 21:

Figura 20 - Model de bază

Figura 21 - Submodel

Dacă dai dublu clic pe bloc Domeniul de aplicare(y (t)) în diagrama bloc oscilator, atunci va apărea o fereastră grafică cu un grafic al coordonatei y în funcție de timp. Rezultatul citirilor blocului „Scope” este prezentat în Figura 22.

Figura 22 - Indicații ale blocului Scop

În acest model, pentru a construi traiectoria de fază a sistemului, se folosește un bloc plotter, care trasează un grafic al unui semnal în funcție de altul (un grafic de forma Y (X)). Blocul are doua intrari. Intrarea superioară este pentru furnizarea unui semnal care este un argument (X), intrarea inferioară este pentru furnizarea valorilor funcției (Y). Dependența lui X de Y este prezentată în Figura 23.

Figura 23 - Dependența lui X de Y

Concluzie

La efectuarea acestei lucrări au fost rezolvate următoarele sarcini:

1) a fost modelat un sistem de control continuu pe baza modelului matriceal al obiectului de observare;

2) se obține și se construiește funcția de transfer a filtrului de formare a procesului de intrare;

3) modelul matriceal al senzorului și funcția de ieșire pentru obiectul de observație au fost compilate și construite;

4) pe baza ecuațiilor diferențiale ale procesului și ale obiectului controlului se formează o ecuație completă a obiectului controlului;

5) sunt construite grafice pentru parametrul de ieșire al filtrului h (t), pentru ieșirea obiectului de observație h (t) și ieșirea senzorului (senzorului) y (t);

6) a fost proiectat un model de sistem mecanic;

7) este trasat un grafic al coordonatei și vitezei în funcție de timp, precum și traiectoria de fază a sistemului.

Lista surselor utilizate

1. Volkov, V.L. Modelarea proceselor si sistemelor. Manual. indemnizatie / V.L. Volkov. - N. Novgorod; NSTU, 1997.-80 p.

2. Lebedev, A.N. Modelarea în cercetarea științifică și tehnică. - M .: Radio și comunicare, 1989.

3. Prokhorov, S.A. Descrierea matematică și modelarea proceselor aleatorii. - Samara. Statul Samara aerospațială un-t, 2001.-209 p.

4. Modelarea proceselor și sistemelor. Sisteme dinamice stocastice și deterministe și procese informaționale. Lucrări de laborator. Instrucțiuni metodice / Alcătuit de: Volkov V.L., Gushchin O.G., Pozdyaev V.I. - N. Novgorod. NSTU, 1998. -32 p.

Postat pe Allbest.ru

Documente similare

Analiza proceselor dinamice din sistem pe baza utilizării modelului analitic construit. Simulare folosind pachetul de extensii Symbolic Math Tolbox. Construirea unui model sub forma unui sistem de ecuații diferențiale scrise în forma Cauchy.

lucrare de termen adăugată 21.06.2015


Construirea unui grafic de semnal și a unei scheme bloc a unui sistem de control. Calculul funcției de transfer a sistemului folosind formula Mason. Analiza stabilității după criteriul Lyapunov. Sinteza filtrului de formare. Evaluarea calității circuitului echivalent prin funcția tranzitorie.

lucrare de termen, adăugată 20.10.2013


Modele matematice ale obiectelor tehnice și metode de implementare a acestora. Analiza proceselor electrice într-un circuit de ordinul doi folosind sisteme matematice computerizate MathCAD și Scilab. Modele matematice și modelare a unui obiect tehnic.

lucrare de termen, adăugată 03.08.2016


Simularea semnalului țintă de intrare, grafică, amplitudine și spectru de fază. Modelarea zgomotului cu distribuția de probabilitate Rayleigh, estimarea varianței eșantioanelor de zgomot și verificarea adecvării modelului de zgomot prin criteriul lui Pearson.

lucrare de termen, adăugată 25.11.2011


Rezolvarea ecuațiilor diferențiale ale unui model matematic al unui sistem cu și fără absorbant. Calculul static al izolației la vibrații. Determinarea frecvențelor naturale ale sistemului, construcția caracteristicilor amplitudine-frecvență și dependența deplasărilor în timp.

test, adaugat 22.12.2014


Diagrama bloc a modelului Karaaslan, sistem de ecuații diferențiale, metode de rezolvare. Blocuri și legile biochimice ale sistemului Solodyannikov, tranziție între faze. Modelarea patologiilor, grafica experimentelor. Construirea unui model hemodinamic complex.

teză, adăugată 24.09.2012


Elaborarea unui proiect pentru un sistem de control automat pentru un boghiu care se deplasează în plan lateral. Descrierea și analiza unui sistem continuu, crearea modelelor sale matematice în spațiul de stare și modelul „input-output”. Trasarea reacțiilor obiectului.

lucrare de termen, adăugată 25.12.2010


Modelarea matematică a sarcinilor activității comerciale pe exemplul modelării procesului de alegere a unui produs. Metode și modele de programare liniară (definirea unui plan zilnic pentru producția de produse care asigură veniturile maxime din vânzări).

test, adaugat 16.02.2011


Câteva întrebări matematice în teoria deservirii sistemelor complexe. Organizarea serviciului cu informații limitate despre fiabilitatea sistemului. Algoritmi pentru timpul de funcționare a sistemului și găsirea timpului pentru întreținerea preventivă planificată a sistemelor.

rezumat, adăugat 19.06.2008


Operatori de transformare variabilă, clase, metode de construcție și caracteristici ale modelelor structurale ale sistemelor de control. Modele liniare și neliniare și caracteristici ale sistemelor de control, modele de intrare-ieșire, construcția caracteristicilor de timp și frecvență ale acestora.

Introducere ............................................................. .................................................. .. 3

1. Modelul echilibrului intrare-ieșire ................................................ .. 4

1. 1. Model Leontief dinamic ............................................. ......... 7

1. 2. Construcția modelului dinamic Leontief ............................. 12

2. Modelul Neumann ............................................. ................................. șaisprezece

Concluzie................................................. ............................................ douăzeci

Referințe ................................................. . ............................ 21

Modelele dinamice ale economiei sunt modele care descriu economia în dezvoltare (spre deosebire de cele statice care caracterizează starea acesteia la un moment dat). Un model este dinamic dacă cel puțin una dintre variabilele sale se referă la o perioadă de timp diferită de momentul în care sunt alocate alte variabile.

În general, modelele dinamice ale economiei se reduc la descrierea următoarelor fenomene economice: starea inițială a economiei, metodele tehnologice de producție (fiecare „metodă” spune că un set de produse y poate fi produs dintr-un set de resurse x în cadrul o unitate de timp), precum și un criteriu de optimitate.

Descrierea matematică a modelelor dinamice ale economiei se realizează folosind sisteme de ecuații diferențiale (în modelele cu timp continuu), ecuații la diferență (în modele cu timp discret), precum și sisteme de ecuații algebrice obișnuite.

Cu ajutorul modelelor dinamice, în special, se rezolvă următoarele sarcini de planificare și prognoză a proceselor economice: determinarea traiectoriei sistemului economic, a stărilor acestuia în momente date, analizarea sistemului pentru stabilitate, analizarea schimbărilor structurale.

Din punct de vedere al analizei teoretice, modelul dinamic von Neumann a căpătat o mare importanță. În ceea ce privește aplicarea practică a modelelor dinamice ale economiei, aceasta este încă într-un stadiu incipient: calculele bazate pe un model cel puțin oarecum apropiat de realitate sunt extrem de complexe. Dar dezvoltarea în această direcție continuă. S-au folosit, în special, modele dinamice multisectoriale (multisectoriale) de dezvoltare economică, care includ modele dinamice ale echilibrului input-output, precum și funcția de producție, teoria creșterii economice.

Modelarea intersectorială face parte din macroeconomic

modelare si serveste la analiza si evaluarea starii echilibrului economic general al economiei nationale. Naţional

economia în balanța intersectorială este reprezentată de o serie de industrii curate,

fluxuri financiare interconectate din vânzarea produselor,

lucrari si servicii. Industriile curate reprezintă industriile condiționate

producerea unuia sau mai multor produse omogene.

Modele dinamice ale echilibrului input-output - un caz special de modele dinamice ale economiei; se bazează pe principiul echilibrului intersectorial, în care sunt introduse suplimentar ecuații care caracterizează modificările relațiilor intersectoriale în timp pe baza unor indicatori individuali: de exemplu, investițiile de capital și activele fixe (care vă permite să creați continuitate între solduri). a perioadelor individuale).

Ipotezele cheie ale modelului de echilibru intrare-ieșire:

Fiecare industrie produce exact un produs

Fiecare produs este produs de exact o industrie

Numărul de produse este egal cu numărul de industrii

Intensitatea industriei poate fi măsurată prin volumul de producție al produsului corespunzător.

Costurile oricărui produs din fiecare industrie sunt direct proporționale cu intensitatea acestuia

Bilanțul input-output este un model economic și matematic format din suprapunerea rândurilor și coloanelor tabelului, adică soldurile distribuției produselor și costurile producției lor, legate în funcție de rezultate. Principalii indicatori de aici sunt raportul costurilor totale și directe.

Modelul dinamic al echilibrului input-output caracterizează relaţiile de producţie ale economiei naţionale pentru un număr de ani, reflectă procesul de reproducere în dinamică. Conform modelului de bilanţ input-output, se efectuează două tipuri de calcule: primul tip, când se calculează un volum echilibrat de producţie şi distribuţie a produselor în funcţie de un nivel dat de consum final; al doilea tip, care include calcule mixte, atunci când soldul producției și distribuției produselor este calculat în totalitate pentru volume de producție date pentru o industrie (produs) și un anumit consum final în alte industrii.

Cel mai răspândit este modelul economic și matematic matriceal al balanței input-output. Este o masă dreptunghiulară (matrice), ale cărei elemente reflectă relația dintre obiectele economice. Valorile cantitative ale acestor obiecte se calculează conform regulilor stabilite în teoria matricelor. Modelul matricial reflectă structura costurilor de producție și distribuție și valoarea nou creată.

Tabelul balanței input-output al producției și distribuției

produse, lucrări și servicii

Primul cadran reflectă datele privind livrările reciproce de produse,

lucrări, servicii între industrii. Primul cadran se numește cadran

consumul intermediar și caracterizează consumul intermediar

(costuri) sau cererea intermediară a industriilor în producția de produse,

lucrari, servicii:

X ij- costul produsului i-a industrie livrata la j industrie în

pe parcursul anului sau costul de producție i-a industrie consumată j al

industria pe tot parcursul anului;

i-a linia - consumul intermediar de produse i industrie de către toți

industrii;

j-a coloană - consumul (costurile) în j industria tuturor

industriile în producerea produselor lor;

X i- costul produsului brut produs i industrie în

pe tot parcursul anului.

Al doilea cadran se numește cadranul de utilizare finală.

(consum) sau cerere finală. Prezintă utilizarea finală a produselor din industrii, alocate consumului final ( CU i), investiții ( eu i), export ( E i) și import ( M i), balanța comerțului exterior ( E i – M i). Consumul final include consumul gospodăriilor (populației), guvernului și organizațiilor non-profit.

Al treilea cadran se numește cadranul valorii adăugate. . În el

prezintă valoarea adăugată la costurile din industrii

produse din alte industrii în producția de produse, lucrări, servicii.

Valoarea adăugată produsă în sectoarele economiei naționale

include: salariile ( V j), amortizare (consum de capital fix)

(C j), Venitul net ( m j). Al patrulea cadran nu este umplut.

Ramurile MOB includ ramurile producției de materiale:

industrie (energie, inginerie mecanică, lumină și alimentație

industrie, construcții, agricultură) și industrii

servicii necorporale (locuințe și servicii comunale, bancar, sănătate, educație, știință etc.). Bilanțul real input-output include aproximativ 30 de industrii. Soldul intrări-ieșiri pentru anul trecut se numește soldul de raportare intrări-ieșiri.

Bilanțul input-output este cunoscut în știință și practică ca metoda „input-output” dezvoltată de V.V. Leontiev. Această metodă se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, unde parametrii sunt coeficienții costurilor de producție. Coeficienții exprimă relația dintre sectoarele economiei (coeficienții costurilor materiale curente), sunt stabili și previzibili. Rezolvarea sistemului de ecuații vă permite să determinați care ar trebui să fie producția și costurile în fiecare industrie pentru a asigura producerea produsului final al unui anumit volum și structură. Pentru aceasta, este întocmit un tabel al fluxurilor de mărfuri inter-industriale. Necunoscutele sunt producția și costurile bunurilor produse și utilizate în fiecare industrie. Calculul acestora cu ajutorul coeficienților și mijloacelor volumului producției, asigurând echilibrul general. În cazul în care sunt identificate dezechilibre, ținând cont de comenzile consumatorilor, inclusiv ale celor de stat, se întocmește un plan matrice pentru eliberarea tuturor tipurilor de bunuri materiale și a costurilor de producție a acestora.

Metoda input-output a devenit o metodă universală de prognoză și planificare atât în ​​economiile de piață, cât și în cele directive. Este utilizat în sistemul ONU, în Statele Unite și în alte țări pentru prognoza și planificarea economiei, structura producției și relațiile intersectoriale.

Modelele dinamice reflectă procesul de dezvoltare economică. În ele

investiţiile de capital de producţie sunt separate de final

produse, investighează structura și impactul acestora asupra creșterii producției.

Schema echilibrului dinamic intrare-ieșire este prezentată în tabel

Tabelul conține două matrice. Elementele celei de-a doua matrice arată câte produse i-a industrie este îndreptată în perioada curentă către j industria ca investiţii de capital de producţie în active fixe şi circulante.

Într-o schemă dinamică, produsul final la i include produse eu- industria merge spre consum personal și public, acumulare

sfera neproductiva, constructie in curs, pentru export. Tot

indicatorii sunt dați în termeni valorici.

Următoarele rapoarte de sold sunt îndeplinite în tabel:

Fluxurile de investiții de capital interindustriale se referă la perioadă

(t- 1,t). Dinamica este stabilită de relații suplimentare:

Sensul economic al coeficienților ϕ ij = Кij / ΔХj următorul: ei

arata cate produse i-a industrie în care ar trebui investită

j industrie să-și crească producția de produse pe unitate în

unitatile in cauza. Cote ϕ ij sunt numite

rate de investiții de capital sau incrementale

intensitatea capitalului. Sistemul de ecuații (1) ținând cont de (2) se poate scrie astfel:

Reprezentăm (3) sub formă de matrice:

(4)

Din (4) rezultă că

Modelul (3) se numește modelul dinamic discret al echilibrului intrare-ieșire al lui Leontiev. Sistemul de ecuații (3) este un sistem de ecuații cu diferențe liniare de ordinul I. Pentru a studia acest model este necesar să se stabilească la momentul inițial vectorii X (0 ) și Y (t) pentru t = 1, 2, …, T. Soluția modelului va fi valorile vectorilor X (t), K (t), t = 1, 2, …, T.

Condiția de solvabilitate a sistemului (3) în raport cu vectorul X (t) este cerința det ( E − A − F) ≠ 0

În acest model, se presupune că creșterea producției în perioada

(t – 1, t) se datorează investițiilor realizate în aceeași perioadă.

Pentru perioade scurte, această presupunere este nerealistă, deoarece există

decalaje de timp (decalaje de timp) dintre investiții în

active de producție și o creștere a producției. Modele,

ținând cont de decalajele investițiilor de capital, formează un grup special

modele dinamice de echilibru intrare-ieșire.

Dacă trecem la timp continuu, atunci ecuațiile (3) vor fi rescrise ca un sistem de ecuații diferențiale de ordinul I cu coeficienți constanți:

(6)

Pentru a o rezolva, pe lângă matricele coeficienților liniilor curente

costuri materiale A = (A ij) și coeficienții costurilor de capital F = (ϕ ij)

este necesar să se cunoască nivelurile producţiei brute la momentul iniţial de timp

t = 0 (X(0)) și legea modificării valorilor produsului final y (t) pe segment .

Soluția sistemului de ecuații (6) vor fi valorile funcției vectoriale X (t)

pe segment . Condiția de solvabilitate pentru sistemul (6) este det F ≠ 0 .

Un model transsectorial dinamic mai general este cel care

ţinând cont de capacitatea de producţie a industriilor. Este prezentat mai jos sub forma următoarelor rapoarte:

(7)

(9)

Starea economiei într-un an t caracterizat în dinamică prin următoarele

variabile:

X t- vector-coloană a producțiilor brute ale industriilor;

v t–Vector de punere în funcțiune a capacităților filialelor;

γ este matricea diagonală a retragerii capacității;

X t- vector-coloană de capacităţi sectoriale (maximum de ieşiri posibile);

l t = (l 1 , l 2 ,..., l n)t vectorul intensității muncii a producției industriale poate depinde de timp;

L t – volumul resurselor de muncă din economie.

Timpul din model este discret și se modifică la intervale egale cu un an

(t = 1, 2, …, T). Coeficienții matricei costurilor directe А = ║аij║și matrice

intensitatea capitalului a creșterii capacității de producție Ф = ║фij║ Mai

depind de timp. Funcția vectorială este dată exogen Y tși funcție numerică L t . Soluția modelului sunt vectorii X tși X t satisfacerea sistemului de inegalităţi (7) - (10).

Inegalitățile (7) arată că vectorul produsului brut X t trebuie sa

asigură costurile de producție continue TOPOR t, costurile de productie pentru

punerea în funcțiune a instalațiilor de producție ФV tși pentru consum neproductiv Y t. Inegalitățile (8) limitează producția brută a industriilor cu capacități disponibile, inegalitățile (9) reprezintă echilibre sectoriale ale modificărilor capacităților de producție ținând cont de fluxul și intrarea acestora, inegalitățile (10) arată că ocuparea totală a forței de muncă este limitată de resursele de muncă disponibile.

Să determinăm valorile care caracterizează modificările producției brute a 5 industrii pe 7 intervale de timp.

Rybnaya	-25056	-46023	-27579	-9222	18357	-22098	-79866
Logistică	101607	-1499	56461	8932	226650	-181033	-583399
Reparație nave	-7076	29510	9728	55934	-35028	15280	-432869
Alimente	10100	11822	39809	-54373	12350	35889	-532456
Mașină și instrumentar	11706	2156	16085	-97206	36989	9201	-543768

Acum să reproducem matricea D. Coeficient d ij a matricei D este egal cu numărul de produse din industrie i necesar pentru a crește stocul industriei j cu o unitate (în termeni valorici). Cote d ij se numesc coeficienții intensității capitalului ai creșterilor OPF.

Producția de produse, B	Consumul de produse					Produsul final Y	Producția brută
	Rybnaya	Logistică	Reparație nave	Alimente	Mașină și instrumentar
Rybnaya	1	5,5	1,5	5	6	56700	101964
Logistică	6	1	5	4,5	3	56430	204324
Reparație nave	4,5	5	1	6	6	390860	508326
Alimente	5	5	5	1	6	787890	1289754
Mașină și instrumentar	4	4	5	4	1	323630	734563

Să construim o matrice K a coeficienților cheltuielilor de capital sau a ratelor de capital.

Producția de produse, B	Consumul de produse					Produsul final Y	Producția brută
	Rybnaya	Logistică	Reparație nave	Alimente	Mașină și instrumentar
Rybnaya	0,8	4,4	1,2	4	4,8	56700	101964
Logistică	4,8	0,8	4	3,6	2,4	56430	204324
Reparație nave	3,6	4	0,8	4,8	4,8	390860	508326
Alimente	4	4	4	0,8	4,8	787890	1289754
Mașină și instrumentar	3,2	3,2	4	3,2	0,8	323630	734563

Acum să definim

Fie Ф 0 = 0,

(Matricea A - matricea costurilor directe)

Deci, avem primul vector

Industrie	x la t = 1	Ф la t = 1	y la t = 1
Rybnaya	191487	-20044,8	-3,601*10^4
Logistică	372281	81285,6	7,575*10^4
Reparație nave	364521	-5660,8	2,697*10^3
Alimente	476859	8080	1,824*10^4
Mașină și instrumentar	564837	9364,8	-8,428*10^3

Tabelele pentru t = 2, 3, 4, 5, 6 sunt obținute într-un mod similar.

Industrie	x la t = 2	Ф la t = 2	y la t = 2
Rybnaya	166431	-56863,2	-6,808*10^4
Logistică	473888	80086,4	-6,632*10^3
Reparație nave	357445	17947,2	2,495*10^4
Alimente	486959	17537,6	2,816*10^4
Mașină și instrumentar	576543	11089,6	5,698*10^3

Industrie	x la t = 3	Ф la t = 3	y la t = 3
Rybnaya	120408	-78926,4	-4,702*10^4
Logistică	472389	125255,2	2,757*10^4
Reparație nave	386955	25729,6	8,966*10^3
Alimente	498781	49384,8	3,867*10^4
Mașină și instrumentar	578699	23957,6	-3,451*10^3

Industrie	x la t = 4	Ф la t = 4	y la t = 4
Rybnaya	92829	-86304	-4,489*10^4
Logistică	528850	132400,8	5,323*10^4
Reparație nave	396683	70476,8	3,166*10^4
Alimente	538590	5886,4	-3,038*10^4
Mașină și instrumentar	594784	-53807,2	-6,271*10^4

Industrie	x la t = 5	Ф la t = 5	y la t = 5
Rybnaya	83607	-71618,4	8,141*10^3
Logistică	537782	313720,8	1,671*10^5
Reparație nave	452617	42454,4	-2,388*10^4
Alimente	484217	15766,4	-2,626*10^3
Mașină și instrumentar	497578	-24216	-2,208*10^4

Industrie	x la t = 6	Ф la t = 6	y la t = 6
Rybnaya	101964	-89296,8	-9,557*10^3
Logistică	764432	168894,4	-1,595*10^5
Reparație nave	417589	54678,4	1,239*10^4
Alimente	496567	44477,6	3,563*10^4
Mașină și instrumentar	534567	-16855,2	3,836*10^4

Modelul Neumann prezintă n produse și m moduri ale lor

producție. Fiecare j- metoda este dată de vectorul coloană a costurilor produsului

A jși un vector coloană de lansări de produse b j pe unitate

intensitatea procesului:

(1)

Aceasta înseamnă că la intensități unitare j al-lea proces de producție a consumat produse vectoriale A jși produse produse b j... Vectorii (1) sunt considerați în unități naturale sau în prețuri constante.

Matricele de cost sunt formate din vectorii intrărilor și ieșirilor Ași probleme

V cu rapoarte de cost nenegative A ijși probleme b ij :

Matrici Ași V au urmatoarele proprietati:

1) A ij ≥0 ,b ij≥0, adică toate elementele matricei sunt nenegative;

2) ceea ce înseamnă: în fiecare dintre m moduri

producția consumă cel puțin un produs;

3) ceea ce înseamnă: fiecare produs

produs prin cel puțin o metodă de producție;

Astfel, fiecare coloană a matricei Ași fiecare rând al matricei V

trebuie să aibă cel puțin un element pozitiv.

Peste tot X (t) notăm vectorul coloană al intensităților

Atunci TOPOR (t) Este vectorul costului, Bx (t) Este un vector de ieșiri pentru un dat

vector X (t) intensităţile proceselor.

Modelul lui Neumann este o generalizare a modelului dinamic

echilibrul input-output al lui Leontyev, deoarece permite producerea unui produs prin mai multe metode de producție și coincide cu acesta dacă B = E.

În modelul Neumann au loc următoarele relații:

(2)

Relații (2) înseamnă că în producția de produse într-un an

(t+ 1) se consumă produse produse într-un an t.

Vector p (t)=(p 1 (t), p 2 (t),..., p n (t)) ≥0 se numește vector preț

produse fabricate pe an t dacă îndeplinește următoarele relații:

(3)

Dacă coeficienţii matricelor Ași V Sunt valori în prețuri constante, atunci R (t) va fi un vector al indicilor de preț.

Prima inegalitate vectorială din (3) înseamnă că costul de ieșire

produse pentru fiecare metodă tehnologică de producţie pe an t+ 1 nu poate fi mai mare decât costul costurilor în prețurile anului t.

Din (2) și (3) rezultă că sunt valabile următoarele relații:

(4)

Prima relație din (4) înseamnă că prețul i al-lea produs pe an t este egal cu zero dacă producția sa într-un an t va fi mai mare decât costurile sale pe an ( t + 1).

A doua relație (4) înseamnă că j-al-lea proces tehnologic pe an t nu se va aplica (intensitatea este zero) dacă costul costurilor sale într-un an t mai mult decât costul lansării sale pe an ( t + 1).

Definiție. Vectori X (t) și p (t), t = 1, 2, …, T se numesc traiectorie

creştere echilibrată în modelul Neumann dacă satisfac

conditii:

(5)

Aici λ este rata, ρ este rata procentuală de creștere echilibrată.

Din (5) rezultă că, într-o stare de creștere echilibrată, valorile componentelor vectorului X (t) cresc proporţional, iar vectorii p (t) scădea. În acest caz, au loc următoarele relații:

(6)

Unde X(0) și R(0) - valorile inițiale ale vectorilor într-un an t = 0.

Din (5), (6) rezultă că pe traiectoria creșterii echilibrate relațiile trebuie îndeplinite.

(7)

Se abordează problema existenței unor traiectorii de creștere echilibrată

prin următoarele teoreme.

Prima teoremă a lui Neumann... Dacă matricele A și B satisfac

proprietățile 1-3, atunci sistemul de inegalități (7) are o soluție X (t), p (t), λ, ρ,

acestea. există traiectorii de creștere echilibrate în modelul Neumann.

A doua teoremă a lui Neumann. Există o soluție X * (t), p * (t),λ * ,ρ *

sistemul (7), care va avea rata maximă de creștere λ * ≥ λ și

rata minimă procentuală ρ * ≤ ρ în comparație cu alte soluții.

În acest caz, raportul este îndeplinit:

(8)

Această soluție se numește autostrada, sau traiectorie

creștere echilibrată maximă în modelul Neumann.

Modelul lui Neumann este un model necalculabil, pur teoretic. Accesul la rezultatele practice se realizează prin modelul dinamic al lui V. Leont'ev, care este un caz special al modelului Neumann. Prețurile obținute pe baza echilibrului dinamic au proprietățile prețurilor modelului Neumann. Modelul Leontief utilizează date din balanța dinamică intrare-ieșire. Pe baza echilibrului dinamic, este de asemenea posibilă construirea unei raze Neumann de creștere economică echilibrată maximă și calcularea prețurilor corespunzătoare acestei raze, care reflectă costul de oportunitate. Diferența dintre modelul dinamic intersectorial și modelul Neumann este că se bazează pe presupunerea că în fiecare industrie este posibil un singur proces de producție. Astfel, alegerea unei soluții pentru fiecare industrie se reduce doar la determinarea intensității metodei de producție.

În concluzie, remarcăm că cu ajutorul echilibrului intersectorial se rezolvă

urmatoarele sarcini:

1. Folosind tabelul soldului intrări-ieșiri, găsiți o matrice a costurilor directe și totale.

2. După ce se stabilește vectorul producției finale, se determină vectorul producției brute.

3. După ce se stabilește vectorul producției brute, se determină vectorul produsului final.

4. Cu noi valori ale valorii adăugate, găsiți indici de preț și construiți un nou tabel de echilibru input-output.

5. Găsiți vectori de producție brută, valoare adăugată, costuri,

ponderea costurilor și a valorii adăugate în produsul brut, intersectorial

aprovizionarea cu produse, întocmește un tabel al echilibrului intrări-ieșiri.

Metoda analitică „input-output” a umplut teoria echilibrului economic general cu conținut practic, a contribuit la îmbunătățirea aparatului matematic. Metoda lui Leontief se distinge prin claritate și simplitate, universalitate și globalitate, cu alte cuvinte, adecvarea pentru economia țărilor și regiunilor individuale, pentru economia mondială în ansamblu.

Modelul input-output al lui Leontief se bazează pe schema de echilibru input-output sub ipoteza că fiecare industrie produce unul și numai propriul produs folosind produsele altor industrii și prin tehnologie liniară. Ajută la analiza fluxului de mărfuri între industrii și răspunde la întrebarea: este posibil, în condițiile acestei tehnologii, să se satisfacă cererea finală de bunuri a populației?

Traiectoria principală este raza Neumann. Problema principală a teoriei coloanei vertebrale este analiza proximității traiectoriilor modelelor de optimizare față de coloana vertebrală corespunzătoare. Traiectorii optime în modelele dinamice Leontiev și Neumann posedă astfel de proprietăți în anumite condiții suplimentare.

1. Kolemaev V.A. „Modelare economică şi matematică” UNITY-DANA, 2005 295 p.

2. Pottosina S. A., Zhuravlev V. A. „Modele şi metode economice şi matematice” Manual pentru studenţii specialităţilor economice, 2003. - 94 p.

3. Modele şi metode economice şi matematice / Ed. A.V. Kuznetsova. - Minsk: BSEU, 2000.

4.http: //slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm

5.http: //www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm