Într-o discuție informală a conceptului de variabilă lingvistică din §1, am formulat că o variabilă lingvistică diferă de o variabilă numerică prin faptul că valorile sale nu sunt numere, ci cuvinte sau propoziții într-un limbaj natural sau formal. Întrucât cuvintele sunt în general mai puțin precise decât numerele, conceptul de variabilă lingvistică face posibilă descrierea aproximativă a fenomenelor care sunt atât de complexe încât nu pot fi descrise în termeni cantitativi general acceptați. În special, o mulțime fuzzy, care este o constrângere asociată cu valorile unei variabile lingvistice, poate fi considerată o caracteristică agregată a diferitelor subclase de elemente ale unei mulțimi universale. În acest sens, rolul mulțimilor fuzzy este similar cu cel al cuvintelor și propozițiilor din limbajul natural. De exemplu, adjectivul frumos reflectă un complex de caracteristici ale aspectului unui individ. Acest adjectiv poate fi considerat și ca numele unui set fuzzy, care este o limitare datorată unei variabile fuzzy. frumos... Din acest punct de vedere, termenii foarte frumos, urât, extrem de frumos, destul de frumos etc.- denumirile multimilor fuzzy formate prin actiunea modificatorilor foarte, nu, extrem, destul de etc la un set neclar frumos... În esență, aceste seturi fuzzy, împreună cu frumosul set fuzzy, joacă rolul valorilor variabilei lingvistice Aspect.
Un aspect important al conceptului de variabilă lingvistică este că această variabilă este de ordin mai mare decât o variabilă fuzzy, în sensul că valorile unei variabile lingvistice sunt variabile fuzzy. De exemplu, valorile variabilei lingvistice Vârstă poate: tânăr, de vârstă mijlocie, bătrân, foarte bătrân, de vârstă mijlocie și nu bătrân, destul de bătrân etc. Fiecare dintre aceste valori este numele unei variabile fuzzy. Dacă este numele unei variabile fuzzy, atunci restricția datorată acestui nume poate fi interpretată ca semnificația variabilei fuzzy. Deci, dacă limitarea datorată unei variabile fuzzy vechi, este o submulțime neclară a unei mulțimi de formă
, , (5.1)
Un alt aspect important al conceptului de variabilă lingvistică este că unei variabile lingvistice îi corespund două reguli: (1) o regulă sintactică, care poate fi dată sub forma unei gramatici care generează denumirile valorilor variabilei; (2) o regulă semantică care definește o procedură algoritmică pentru calcularea semnificației fiecărei valori. Aceste reguli formează o parte esențială a descrierii structurii unei variabile lingvistice.
Orez. 5.1. Funcții de compatibilitate pentru valori și 
.
Deoarece o variabilă lingvistică este o variabilă de ordin mai mare decât o variabilă fuzzy, descrierea ei ar trebui, de asemenea, să fie mai complicată decât descrierea unei variabile fuzzy dată în Definiția 4.1.
Definiție 5.1. O variabilă lingvistică este caracterizată de mulțime 
, în care se află numele variabilei; (sau pur și simplu) denotă un set de termeni al unei variabile, adică un set de nume de valori lingvistice ale unei variabile, fiecare dintre astfel de valori fiind o variabilă fuzzy cu valori dintr-un set universal cu o bază variabil; - o regulă sintactică (de obicei sub forma unei gramatici) care generează denumirile valorilor unei variabile și - o regulă semantică care asociază fiecare variabilă fuzzy cu semnificația ei, adică o submulțime fuzzy a mulțimii universale . Un nume specific generat de o regulă sintactică se numește termen. Un termen format dintr-un cuvânt sau mai multe cuvinte care apar întotdeauna împreună unul cu celălalt se numește termen atomic. Un termen format din unul sau mai mulți termeni atomici se numește termen compus. Concatenarea unora dintre componentele unui termen compus este un subtermen. Dacă - termeni în, atunci poate fi reprezentat ca o uniune
(5.2)
Dacă este necesar să indicăm în mod explicit ceea ce a fost generat de gramatică, vom scrie.
Sensul unui termen este definit ca o constrângere asupra variabilei de bază din cauza unei variabile fuzzy:
, (5.3)
ceea ce înseamnă că și, prin urmare, poate fi considerat ca o submulțime neclară a unei mulțimi care are un nume. Relația dintre semnificația sa lingvistică și variabila de bază este ilustrată în Fig. 1.3.
Observația 5.2. Pentru a evita un număr mare de caractere, este prudent să atribuiți mai multe semnificații unora dintre caracterele găsite în Definiția 5.1, bazându-vă în același timp pe context pentru a rezolva eventualele ambiguități. În special:
a) Vom folosi adesea simbolul pentru a desemna atât numele variabilei în sine, cât și numele general al valorilor sale. De asemenea, va desemna atât numele general al valorilor variabilei, cât și numele variabilei în sine.
b) Vom folosi același simbol pentru a desemna o mulțime și numele acesteia. Deci, simbolurile și vor fi interschimbabile, deși, strict vorbind, ca nume (sau) nu este același lucru cu un set fuzzy. Cu alte cuvinte, când spunem că un termen (de exemplu, tineri) este valoarea variabilei (de exemplu, Vârstă), atunci ne referim la faptul că există o valoare reală, ci pur și simplu numele acestei valori.
Exemplul 5.3. Vârstă, adică , lăsați-l să plece . Valoarea lingvistică a variabilei Vârstă poate de exemplu vechi, și valoarea vechi este un termen atomic. Un alt sens ar putea fi foarte bătrân, adică un termen compus în care vechi - termen atomic și foarteși vechi- subtermeni.
Sens mai mult sau mai putin tineri variabil Varsta - termen compus în care termenul tanar - atomic, și Mai mult sau mai putin- subterm. Set de termeni variabili Vârstă se poate scrie astfel:
(5.4)
Aici fiecare termen este numele unei variabile fuzzy din mulțimea universală. O limitare datorată unui termen, să zicem, are un sens lingvistic vechi... Astfel, dacă este determinat conform (5.1), atunci sensul sensului lingvistic vechi definit prin expresie
, (5.5)
sau mai simplu (vezi Observația 5.2)
. (5.6)
La fel, sensul unui astfel de sens lingvistic ca foarte bătrân, poate fi exprimat astfel (vezi Fig.5.1):
Ecuația de atribuire în cazul unei variabile lingvistice ia forma
de unde rezultă că sensul atribuit unui termen este exprimat prin egalitate
Cu alte cuvinte, sensul unui termen se obține prin aplicarea unei reguli semantice la valoarea termenului atribuită conform părții din dreapta ecuației (5.8). Mai mult, rezultă din definiția (5.3), care este identică cu constrângerea cauzată de termen.
Observația 5.4.În conformitate cu Observația 5.2 (a), ecuația de atribuire va fi de obicei scrisă ca
, (5.10)
înțelegând aceasta astfel încât vechi- constrângerea asupra valorilor variabilei de bază, definită de (5.1), este atribuită variabilei lingvistice Vârstă... Este important de menționat că semnul egal din (5.10) nu denotă o relație simetrică, ca în cazul egalității aritmetice. Deci, nu are sens să scrieți (5.11) sub forma
Pentru a ilustra conceptul de variabilă lingvistică, luăm în considerare mai întâi un exemplu foarte simplu, în care există doar câțiva termeni, iar regulile sintactice și semantice sunt banale.
Exemplul 5.5. Luați în considerare variabila lingvistică Număr, a cărui mulțime finită de termeni are forma
unde fiecare termen este o constrângere asupra valorilor variabilei de bază din mulțimea universală
Se presupune că aceste constrângeri sunt submulțimi fuzzy ale mulțimii și sunt definite după cum urmează:
, (5.15) cu o constrângere binară sunt aproximativ egale.
Pentru a atribui o valoare, să zicem aproximativ egale variabilă lingvistică, scriem
unde, ca în (5.18), înseamnă că o relație binară fuzzy este atribuită ca valoare a variabilei aproximativ egale, care este o constrângere binară asupra valorilor variabilei de bază din mulțimea universală (5.20).
Orez. 5.2. Analogie cu geanta de călătorie pentru o variabilă lingvistică
Observația 5.7. Folosind analogia cu geanta de voiaj (vezi Observația 4.3), variabila lingvistică în sensul Definiției 5.1 poate fi asemănată cu o geantă rigidă în care pot fi așezate genți moi, așa cum se arată în Fig. 5.2. Punga moale corespunde unei variabile fuzzy, care este valoarea lingvistică a variabilei, dar joacă rolul unei etichete pe punga moale.
Seturi neclare. Variabilă lingvistică. Logica neclară. Inferență neclară. Regula de inferență compozițională.
(Abstract)
Conceptul de mulțime fuzzy (NI) se bazează pe ideea că elementele unei mulțimi care posedă o proprietate comună pot avea diferite grade de degenerare a acestei proprietăți și, prin urmare, diferite grade de apartenență la această proprietate.
Să fii un set. O mulţime fuzzy à în U este o colecţie de perechi de forma ((µ à (u), u)), unde u U, µ Ã.
Valoarea µ Ã se numește gradul de apartenență al obiectului la mulțimea fuzzy U.
µ Ã: U
µ Ã - se numește funcție de membru.
Un exemplu de seturi fuzzy este vârsta oamenilor (Figura 19.1).
Prin analogie cu teoria tradițională a mulțimilor, următoarele operații sunt definite în teoria IS:
O asociere:
, Unde 
Enumerare:
,
Plus:
produs algebric:
, Unde
O relație fuzzy n-ară definită pe mulțimi este o submulțime fuzzy de produse carteziene 
Deoarece o relație fuzzy este o mulțime, toate operațiile definite pentru mulțimile fuzzy sunt valabile pentru aceasta. În aplicațiile practice ale teoriei mulțimilor fuzzy, un rol important îl joacă operația de compunere a relațiilor fuzzy.
Compoziția relațiilor neclare
Să fie date 2 relații fuzzy cu două locuri:
Compoziția relațiilor fuzzy este definită de următoarea expresie:
Grade de apartenență la expresii specifice
Variabila lingvistică este cinci X este numele variabilei (vârstă), U este mulțimea de bază (0 ... 150), T (x) este termenul mulțimii. O mulțime de semnificații lingvistice (tânăr, de vârstă mijlocie, în vârstă, bătrân). Fiecare semnificație lingvistică este o etichetă a unui set neclar definit în U. G este o regulă sintactică care generează sensul lingvistic al variabilei X (foarte tânăr, foarte bătrân). M este o regulă semantică care asociază fiecare semnificație lingvistică cu o submulțime neclară a mulțimii de bază, adică o funcție de apartenență.
O afirmație neclară este o afirmație despre care la un moment dat în timp este posibil să se judece gradul de adevăr sau falsitate. Adevărul capătă o valoare în interval. O afirmație neclară care nu permite împărțirea în altele mai simple se numește elementară.
O declarație fuzzy construită pe cele elementare folosind conectivi logici se numește o declarație fuzzy compusă. Operațiile asupra adevărului afirmațiilor neclare corespund conectivului logic. - gradul de veridicitate al afirmaţiilor specifice.
1)
2)
Astfel, algebra mulțimilor fuzzy este izomorfă cu algebra declarațiilor fuzzy.
4) operaţia de implicare
Au fost propuse mai multe definiții pentru operația de implicare în logica fuzzy. De bază:
1)
2)
3)
5) Echivalența
Un predicat fuzzy n-ary definit pe mulțimile U 1, U 2, ..., U n este o expresie care conține variabilele subiect ale acestor mulțimi și se transformă în declarații fuzzy atunci când variabilele subiect sunt înlocuite cu elemente ale mulțimilor U 1 , U 2, ..., U n.
Fie U 1, U 2,…, U n seturile de bază de variabile lingvistice, iar yenul variabilelor lingvistice acționează ca simboluri ale variabilelor subiectului. Atunci exemple de predicate fuzzy sunt:
„Presiunea cilindrului scăzută” - un singur predicat
„Temperatura din cazan este semnificativ mai mare decât temperatura din schimbătorul de căldură” - un predicat cu două locuri.
Dacă U k = 1,5, deci „presiunea în cazan este scăzută” = 0,7
În construirea și implementarea algoritmilor fuzzy, regula de inferență compozițională joacă un rol important.
Să fie o mapare neclară
O submulțime fuzzy a universului U, apoi generează în V o submulțime fuzzy
regula compozițională a inferenței este baza pentru construirea inferenței în logica fuzzy.
Fie dat o afirmație fuzzy , unde și sunt mulțimi neclare. Să fie dată și o afirmație (aproape de A, dar nu identică cu aceasta).
În logica clasică, regula de inferență Modus Ponens este utilizată pe scară largă
Această regulă este generalizată în cazul logicii fuzzy după cum urmează:
Fie mulțimea și să fie definită pe mulțimea de bază X și pe mulțimea de bază Y. Este firesc să presupunem că declarația if definește o mapare neclară de la mulțimea X la Y
Apoi, în conformitate cu regula de inferență compozițională, avem:
Relația se bazează pe definirea operației de implicare în logica fuzzy.
1)
Dacă temperatura în cazan este scăzută (), atunci încălzirea este crescută ()
Algoritmii reali de logică fuzzy conțin nu una, ci multe reguli de producție
Dacă S 1, atunci R 1, în caz contrar
Dacă S n, atunci R n, în caz contrar
Prin urmare, relațiile neclare trebuie construite pentru fiecare regulă individuală și apoi agregate prin suprapunere
Ca operație de agregare se alege fie min sau max, în funcție de tipul de implicație.
Când inferența neclară este utilizată într-o buclă de control a obiectului real, obiectului trebuie să i se acorde o acțiune clară de control. Prin urmare, este necesar să se transforme setul fuzzy format pe baza regulii de inferență compozițională într-o valoare clară. Această procedură se numește procedură de defuzzificare. Cel mai adesea, se folosesc 2 metode de defuzzificare:
1) Mijlocul „podisului”
2) Se determină centrul de greutate, un punct care împarte aria unui set neclar în jumătate.
2.9.1. Definiție. Folosind metodele teoriei mulțimilor fuzzy, ele descriu concepte semantice, de exemplu, pentru conceptul de „fiabilitatea unui nod”, se pot defini astfel de componente ca „o valoare mică a fiabilității unui nod”, „o valoare medie a fiabilitatea unui nod”, „o valoare mare a fiabilității unui nod”, care sunt setate ca seturi fuzzy pe setul de bază, determinate de toate valorile posibile ale valorilor de fiabilitate.
Generalizarea descrierii variabilelor lingvistice din punct de vedere formal este introducerea de variabile fuzzy și lingvistice.
N variabilă fuzzy se numește triplet de mulțimi, unde A- numele variabilei fuzzy, X- domeniu de definiție, - o submulțime neclară în mulțimea X, care descrie restricțiile asupra valorilor posibile ale variabilei A.
Variabilă lingvistică se numește un set de mulțimi
Din definiție rezultă că o variabilă lingvistică este o variabilă stabilită pe o scară cantitativă (măsurabilă) și luând valori care sunt cuvinte sau expresii ale limbajului natural al comunicării. Variabilele fuzzy descriu valorile unei variabile lingvistice. În fig. 2.20 arată relația dintre conceptele de bază.
Astfel, variabilele lingvistice pot descrie concepte greu de formalizat sub forma unei descrieri calitative, verbale. O variabilă lingvistică și toate valorile sale sunt asociate în descriere cu o scară cantitativă specifică, care, prin analogie cu setul de bază, este uneori numită scară de bază.
Aplicând variabile lingvistice, este posibilă formalizarea informaţiei calitative în sisteme de control, care este formulată de specialişti (experţi) în formă verbală. Acest lucru vă permite să construiți modele fuzzy de sisteme de control (controlere fuzzy).
2.9.2. Tipul de funcții de membru. Luați în considerare cerințele care sunt prezentate pentru forma funcțiilor de membru ale mulțimilor fuzzy care descriu termenii variabilelor lingvistice.
Fie variabila lingvistică
O multime de T ordonăm după expresie
„T i, T j ÎT i> j” ($ xÎC i) („yÎC j) (x> y). (2.5)
Expresia (2.5) cere ca termenul, care are un suport situat în stânga, să primească un număr mai mic. Atunci setul de termeni al oricărei variabile lingvistice trebuie să îndeplinească condițiile:
("T i ÎT) ($ xÎX) ( ); (2.8)
("b) ($ x 1 ÎR 1) ($ x 2 ÎR 2) (" xÎX) (x 1
Condiția (2.6) cere ca valorile apartenenței să funcționeze termenii extremi (T 1și T 2)în puncte x 1și x 2 respectiv egal cu unu și astfel încât nu este permisă forma de curbe în formă de clopot, așa cum se arată în Fig. 2.21.
Figura 2.21
Condiția (2.7) interzice în setul de bază X perechi de termeni ca T 1și T 2, T 2și T 3... Pentru cuplu T 1și T 2 nu există o diferenţiere firească a conceptelor. Pentru cuplu T 2și T 3 segment niciun concept nu se potrivește. Condiția (2.7) interzice existența termenilor de tip T 4 deoarece fiecare concept are cel puțin un obiect tipic. Condiția (2.8) definește o constrângere fizică (în cadrul problemei) asupra valorilor numerice ale parametrilor.
În fig. 2.22 prezintă un exemplu de setare a funcțiilor de membru pentru termenii „valoare scăzută a prețului”, „valoare a prețului mic”, „valoare a prețului mediu”, „valoare a prețului suficient de mare”, „valoare a prețului mare” a variabilei lingvistice „prețul produsului”.
2.9.3. Cantare universale... Funcțiile de membru se bazează pe rezultatele sondajelor experților. Cu toate acestea, procedura de utilizare a mulțimilor fuzzy bazată pe rezultatele unui sondaj de experți are un dezavantaj, și anume că modificarea condițiilor de funcționare a modelului (obiectului) necesită corectarea mulțimilor fuzzy. Ajustarea se poate face pe baza rezultatelor unui sondaj repetat de experți.
Una dintre modalitățile de a depăși acest dezavantaj este trecerea la scale universale pentru măsurarea valorilor parametrilor estimați. Metoda binecunoscută de construire a scalelor universale implică o descriere a frecvenței fenomenelor și proceselor, care la nivel calitativ în limbajul natural este determinată de următoarele cuvinte și expresii: „niciodată”, „extrem de rar”, „rar”, „niciodată rar, nici des”, „des”, „foarte des”, aproape întotdeauna „(sau altele asemenea). O persoană folosește aceste concepte pentru a evalua frecvența subiectivă a evenimentelor (raportul dintre numărul de evenimente caracterizate de concept și numărul total de evenimente).
Scara universală este construită pe un segment și este o serie de curbe în formă de clopot care se intersectează corespunzătoare estimărilor de frecvență scalate. Scara universală a variabilei lingvistice pentru un parametru estimat dat al obiectului de control este construită conform următoarei proceduri.
1. Conform sondajului de experti, minimul x min si maximul x max valori ale scalei variabile X.
2. Pe baza rezultatelor unui sondaj de experți, funcțiile de apartenență ale seturilor fuzzy care descriu valorile unei variabile lingvistice definite pe o scară X... În fig. 2.23 prezintă un exemplu de construire a funcțiilor de membru, unde a 1, a 2, a 3- unele nume de variabile fuzzy.
3. Puncte ( x min, 0) și ( x max, 1) sunt legate printr-o linie dreaptă p 0 care este funcția de mapare p 0: X®.
4. Trecerea de la o scară de frecvențe relative de apariție a evenimentelor la estimări de frecvență, numite cuantificatori, are loc după cum urmează.
Pentru un punct arbitrar z la scară universală, prototipul său este construit pe scară X... Apoi, conform funcțiilor de membru ale mulțimilor fuzzy corespunzătoare termenilor a 1, a 2, a 3, se determină valorile, care sunt luate ca valori ale funcțiilor de membru corespunzătoare în punctul z pe scara universală. Funcţie p (p = p 0în exemplul considerat) este determinată de o anchetă de specialitate, întrucât alegerea sa afectează adecvarea modelului la obiectul studiat.
2.9.4. Funcții de afișare multiple... Definiție neechivocă a unei funcții de mapare p limitarea posibilităților de a lua în considerare simultan diferite criterii în sistemul de control, care pot fi chiar în antagonism unul față de celălalt, precum și posibilitatea de a lua în considerare simultan diferite condiții de control determinate de proprietățile obiectului controlat.
Luarea în considerare a diverselor condiții și criterii este determinată de o abordare subiectivă a rezolvării problemei. Dacă acceptăm funcția de afișare a unei forme lipsite de ambiguitate, atunci diverse puncte de vedere vor fi reduse la un „numitor comun” sau de fapt respinse. Practica arată că atunci când se gestionează procese greu de formalizat, luarea în considerare a tuturor variantelor de vederi subiective crește calitatea managementului, crescând rezistența la diverse tipuri de perturbări. Cu toate acestea, trebuie menționat că aproape niciodată nu este posibil să se ia în considerare la oameni toate condițiile care influențează alegerea controlului și toate caracteristicile obiectului. Să luăm în considerare modul în care se realizează contabilizarea oficială a condițiilor de control atunci când intervievăm experții sub forma unor funcții de afișare multiple.
Fie ca componența stărilor obiectului studiat să fie determinată cantitativ și calitativ din sondaje ale experților. Evaluarea stărilor obiectului se realizează în funcție de valorile atributelor y i ÎY = (y 1, y 2,…, y p).
Este imposibil să se ia în considerare totul, prin urmare, atunci când se evaluează stările, este mai bine să se utilizeze categorii neclare, iar definițiile neclare ale valorilor parametrilor ar trebui făcute cu un anumit grad de incertitudine cu privire la corectitudinea definițiilor. Într-adevăr, se poate presupune întotdeauna că există o serie de semne 
neindicate de experți din diverse motive: au fost uitate; experții consideră că aceste caracteristici nu afectează acuratețea; acești parametri nu pot fi estimați din cauza dificultăților tehnice.
Funcții de afișare p i ÎP = (p 1, p 2,…, p b) nivelurile de încredere sunt egalate b (p i) Î care sunt stabilite de experți. De asemenea, fiecare funcție de afișare p i greutate egală a (p i), care corespunde nivelului de competență al expertului. Greutăți a (p i) sunt determinate de numerele segmentului. Deci, funcția de mapare multiplă P = (p 1, p 2, ..., p b) constă dintr-un set de funcții de mapare p i, dintre care fiecare este asociat cu gradul g (p i), definit ca conjuncția gradelor de competență și încredere în definirea corectă a funcțiilor de cartografiere p i, adică g (p i)=a (p i) și b (p i).
Utilizarea practică a funcțiilor multiple a arătat că, în cadrul unei anumite competențe a experților, funcția de afișare multiplă construită este în bună concordanță cu opiniile lor individuale cu privire la corespondența cea mai plauzibilă a conceptelor neclare cu punctele scalei subiectului. X.
LOGICA FUZZY
Funcționare și fuzzy
Specificarea seturilor fuzzy vă permite să generalizați operațiuni logice clare în omologii lor fuzzy. O extensie neclară a operațiunii „ȘI” este norma triunghiulară T, Alt nume T- norma este S-Conorm. În fig. 3.1 este o reprezentare schematică T– Norme.
Operația fuzzy AND în formă generală este definită ca afișare:
pentru care axiomele sunt valabile:
Axiomele condițiilor la limită T- norme:
Axioma de ordonare:
În teoria mulțimilor fuzzy, există un număr infinit de operații fuzzy „ȘI”, care sunt determinate prin metodele de specificare a operației (T) atunci când sunt îndeplinite condițiile (3.1) - (3.2). În teoria controlului fuzzy, sunt aplicabile următoarele metode de setare a operațiunii (T) enumerate mai jos.
Produs logic[Zade, 1973]:
, „xÎ R. (3.6)
Produs algebric[Bundler, Kohout, 1980]:
, „xÎ R, (3.7)
Unde "." - un produs acceptat în algebra clasică.
Produs de limită[Lukaşevici, Giles, 1976]:
, (3.8)
unde este simbolul produsului limită.
Piesă puternică sau drastică[Weber, 1983]:
(3.9)
unde D este simbolul produsului puternic.
În fig. 3.2 arată funcția de apartenență pentru produsele logice, algebrice, limită și puternice ale mulțimilor fuzzy.
Operație SAU neclară
Extensia neclară a operațiunii „SAU” este S-normă. Uneori se folosește numele T-Conorm. În fig. 3.3 este o reprezentare schematică S– Norme.
Fuzzy OR este definit ca o mapare
pentru care se efectuează mapări:
Axiomele condițiilor la limită T- norme:
, ; (3.10)
Axiome de unificare (listări):
Axioma de ordonare:
Dintre numărul infinit de operații fuzzy care satisfac axiomele (3.10) - (3.14), următoarele operații enumerate mai jos au fost aplicate în teoria controlului.
Sumă logică[Zade, 1973]:
, „xÎ R. (3.15)
Sumă algebrică[Bandler & Cohote, 1980]:
, „xÎ R, (3.16)
Suma limită[Lukaşevici, Giles, 1976]:
, (3.17)
Sumă puternică sau drastică[Weber, 1983]:
(3.18)
Compararea axiomelor T- norme cu axiome S- norma arată că diferenţa dintre ele constă numai în axiomele condiţiilor la limită.
În fig. 3.4 arată funcția de apartenență pentru logica, algebrică, graniță și sumă puternică de mulțimi fuzzy.
Operațiune neclară „NU”
Operația fuzzy „NU” este definită ca o mapare pentru care sunt îndeplinite axiomele:
Setul de mapări care satisfac axiomele (3.19) - (3.21) este o negație neclară. Operația de negație fuzzy sub forma unei diagrame este prezentată în Fig. 3.5.
Dintre numărul infinit de operații fuzzy „NU” care satisfac axiomele (3.19) - (3.21), următoarele operații enumerate mai jos și-au găsit aplicație în teoria controlului.
Fuzzy „NU” conform lui Zada(1973) este definită ca o scădere de la unul:
. (3.22)
Sugeno fuzzy „NU”(1977) sau l-complementul este definit ca formulă
. (3.23)
La l = 0 ecuația (3.23) coincide cu ecuația (3.22).
Fuzzy „NU” conform lui Yager(1980) este definită astfel:
, (3.24)
Unde p> 0- parametru. La p = 1 ecuația (3.24) coincide cu ecuația (3.22).
Pentru T- norme şi S- norme, pot exista diverse variante de negație din cauza numărului infinit de posibile operații „NU” fuzzy. Cu toate acestea, este recomandabil să alegeți astfel de variante de negație care să îndeplinească condițiile:
Aceste condiții, prin analogie cu logica clară, sunt numite legi fuzzy de Morgan. Operațiile (3.25) și (3.26) se numesc reciproc duale, deoarece în teoria mulţimilor fuzzy, se demonstrează că (3.25) implică (3.26) şi, invers, (3.26) implică (3.25).
Următoarele operații fuzzy sunt, de asemenea, reciproc duale:
; (3.29)
Algebră de inferență neclară
3.4.1. Baza de reguli neclară.În logica fuzzy, există conceptul de propoziție fuzzy. O propoziție neclară este definită ca „”. Simbol " X„Denotă o mărime fizică (curent, tensiune, presiune, viteză etc.), simbolul” „indică o variabilă lingvistică (LV) și simbolul” p„Este o abreviere pentru propoziție. De exemplu, în afirmația „mărimea curentului este mare” a variabilei fizice X este „mărimea curentului” care poate fi măsurată de senzorul de curent. Setul fuzzy este definit de LP „mare” și formalizat de funcția de membru m A (x)... Legătura „este” corespunde operației de ordonare sub formă de egalitate, care este notă prin simbolul „=". Primește forma formalizată a propoziției " » .
O propoziție fuzzy poate consta din mai multe propoziții fuzzy separate, conectate prin legături „ȘI”, „SAU”. Alegerea conectorilor logici „ȘI”, „SAU” din sensul și contextul propozițiilor, din relația dintre ele. Rețineți că operațiile de „ȘI” și „SAU” fuzzy conform lui Zadeh (formulele (3.6) și (3.15)) în teoria controlului sunt de preferat în raport cu celelalte, deoarece nu sunt redundante. Când propozițiile neclare nu sunt echivalente, ci corelate și interconectate, atunci este posibil să se utilizeze T- norme şi S- norme în sensul lui Lukașevici (formulele (3.8) și (3.17)).
Propoziție p poate fi reprezentată ca o relație neclară R cu functie de membru:. Pentru a compune o propoziție fuzzy, constând din mai multe propoziții fuzzy separate, conectate prin legături „ȘI”, se folosește indicatorul „dacă”. Ca rezultat, obținem un sistem de declarații neclare condiționate:
.
Se numesc propoziții fuzzy conditii sau premise.
Un set de condiții permite să construim o mulțime concluzii sau concluzii... În acest caz, se folosește indicatorul „atunci”.
Regula neclară a producției(regula neclară) este un set de condiții și concluzii:
R 1: dacă x 1 = și x 2 = și ..., atunci y 1 = și y 2 = și …
……………………………………………………………,
unde simbolul R 1- abrevierea „regula” - o regulă.
De exemplu, regula pentru controlul temperaturii apei este formulată după cum urmează: „ R 1: dacă temperatura apei este rece și temperatura aerului este rece, atunci rotiți supapa de apă caldă la stânga într-un unghi mare și supapa de apă rece la dreapta la un unghi mare."
Condiții neclare pentru rezolvarea problemei:
-x 1- temperatura apei (măsurată de un senzor); - rece;
-x 2- temperatura aerului (măsurată de un senzor); - rece;
Condiții de inferență neclare:
-y 1- unghiul de rotație al supapei spre stânga, - mare;
-y 2- unghiul de rotație al supapei spre dreapta, - mare.
Această regulă lingvistică neclară corespunde unei înregistrări oficializate:
R 1: dacă x 1 = și x 2 = , atunci y 1 = și y 2 = , (3.31)
Unde , , și - seturi fuzzy date de funcțiile de membru.
Totalitatea regulilor de producție fuzzy formează o bază de reguli fuzzy, unde R i: dacă ... atunci ...;... Următoarele proprietăți sunt valabile pentru baza regulilor fuzzy: continuitate, consistență, completitudine.
Continuitatea este definită de conceptele: o colecție ordonată de mulțimi fuzzy; seturi fuzzy adiacente.
O colecție de seturi neclare (A i) numit ordonat dacă pentru ei este specificată o relație de ordine: «<»:A 1 <…
Dacă colecția de seturi fuzzy { } ordonate, apoi seturile și, și sunt numite adiacent cu condiția ca aceste seturi fuzzy să se suprapună.
Baza de reguli fuzzy se numește continuu dacă pentru reguli
R k: dacă x 1 = și x 2 = , atunci y = și k'¹k
sunt indeplinite conditiile:
‑ Ù și sunt adiacente;
‑ Ù și sunt adiacente;
- și sunt adiacente.
Să luăm în considerare consistența bazei regulilor fuzzy folosind un exemplu. Baza de reguli neclare pentru controlul robotului este dată sub forma:
………………………………….
R i: dacă un obstacol este înainte, atunci deplasați-vă la stânga,
R i +1: dacă obstacolul este înainte, atunci deplasați-vă la dreapta,
……………………………………
Baza regulilor este inconsecventă.
Un exemplu de bază consistentă de reguli fuzzy este următorul:
R 1: dacă x 1 = sau x 2 = , atunci y = ;
R2: dacă x 1 = sau x 2 = , atunci y = ;
R3: dacă x 1 = sau x 2 = , atunci y = .
Dacă regulile conțin două condiții și o ieșire, atunci aceste reguli reprezintă un sistem cu două intrări x 1și x 2și o singură cale de ieșire y... Acest sistem poate fi reprezentat sub formă de matrice:
| x 2 | x 1 | ||
| y = | |||
| y = | |||
| y = |
Baza de reguli fuzzy este consecventă.
Amintiți-vă că o variabilă lingvistică este o variabilă care preia valori dintr-un set de cuvinte sau fraze dintr-un limbaj natural sau artificial. Setul de valori admisibile ale unei variabile lingvistice se numește un set de termeni. Setarea valorii unei variabile în cuvinte, fără a folosi numere, este mai firească pentru o persoană. În fiecare zi luăm decizii pe baza unor informații lingvistice precum: „temperatura foarte ridicată”; "călătorie lungă"; "răspuns rapid"; „buchet frumos”; „gust armonios” și altele asemenea. Psihologii au descoperit că în creierul uman, aproape toate informațiile numerice sunt recodificate verbal și stocate sub formă de termeni lingvistici. Conceptul de variabilă lingvistică joacă un rol important în inferența neclară și în luarea deciziilor bazate pe raționamentul aproximativ. Formal, o variabilă lingvistică este definită după cum urmează.
Definiția 44.Variabilă lingvistică dat de cinci, unde -; numele variabilei; -; multime de termeni, fiecare element al cărui (termen) este reprezentat ca o mulțime fuzzy pe o mulțime universală; -; reguli sintactice, adesea sub formă de gramatică, dând naștere denumirii termenilor; -; reguli semantice care definesc funcțiile de apartenență ale termenilor fuzzy generați de reguli sintactice.
Exemplul 9. Luați în considerare o variabilă lingvistică numită temperatura camerei. Apoi, restul de patru pot fi definite după cum urmează:
Tabelul 4 - Reguli pentru calcularea funcțiilor de membru
Graficele funcțiilor de apartenență a termenilor „rece”, „nu foarte rece”, „confortabil”, „mai mult sau mai puțin confortabil”, „fierbinte” și „foarte fierbinte” ale variabilei lingvistice „temperatura camerei” sunt prezentate în Fig. . treisprezece.
Figura 13 - Variabila lingvistică „temperatura camerei”
Adevăr neclar
Variabila lingvistică „adevăr” ocupă un loc special în logica fuzzy. În logica clasică, adevărul poate lua doar două valori: adevărat și fals. În logica fuzzy, adevărul este „fuzzy”. Adevărul neclar este definit axiomatic și diferiți autori o fac în moduri diferite. Intervalul este folosit ca set universal pentru setarea variabilei lingvistice „adevăr”. Adevărul obișnuit, clar poate fi reprezentat prin mulțimi singleton neclare. În acest caz, funcția de membru va corespunde cu adevărat unui concept clar 
, iar un concept clar este fals -; 
, .
Pentru a defini un adevăr neclar, Zadeh a propus următoarele funcții de membru pentru termenii „adevărat” și „fals”:
;
Unde - ; parametru care definește purtătorii de seturi fuzzy „adevărat” și „fals”. Pentru o mulțime neclară, „adevărat” purtătoarea va fi un interval, iar pentru o mulțime neclară, fals „-;.
Funcțiile de membru ale termenilor fuzzy „adevărat” și „fals” sunt prezentate în Fig. 14. Sunt construite cu o valoare a parametrului. După cum puteți vedea, graficele funcțiilor de membru ale termenilor „adevărat” și „fals” sunt imagini în oglindă.
Figura 14 - Variabila lingvistică „adevăr” după Zada
Pentru a defini un adevăr neclar, Baldwin a propus următoarele funcții de apartenență pentru „adevărat” și „fals” fuzzy:
Cuantificatorii „mai mult sau mai puțin” și „foarte” sunt adesea aplicați la mulțimi neclare „adevărat” și „fals”, obținându-se astfel termenii „foarte fals”, „mai mult sau mai puțin fals”, „mai mult sau mai puțin adevărat”, „foarte adevărat”. „ , „foarte, foarte adevărat”, „foarte, foarte fals”, etc. Funcțiile de apartenență ale noilor termeni sunt obținute prin efectuarea operațiilor de concentrare și extindere a mulțimilor fuzzy „adevărat” și „fals”. Operația de concentrare corespunde cu pătrarea funcției de membru, iar operația de expansiune corespunde ridicarea la ½ putere. Prin urmare, funcțiile de apartenență ale termenilor „foarte, foarte fals”, „foarte fals”, „mai mult sau mai puțin fals”, „mai mult sau mai puțin adevărat”, „adevărat”, „foarte adevărat” și „foarte, foarte adevărat” sunt definite după cum urmează.
