Acest subiect va acoperi operațiuni precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice și transpunerea unei matrice. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.
Adunarea și scăderea matricelor.
Suma $A+B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se numește matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline( 1,n) $.
O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:
Diferența dintre matricele $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times n)=( c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1, n)$.
Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: arată ascunde
Notația „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ variază de la 1 la m. De exemplu, notația $i=\overline(1,5)$ indică faptul că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.
Este de remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații clare intuitiv, deoarece ele înseamnă în esență doar însumarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.
Exemplul nr. 1
Sunt date trei matrice:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$
Este posibil să găsim matricea $A+F$? Găsiți matrice $C$ și $D$ dacă $C=A+B$ și $D=A-B$.
Matricea $A$ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $A$ este $2\xtime 3$), iar matricea $F$ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricelor $A$ și $F$ nu se potrivesc, așa că nu le putem adăuga, adică. operația $A+F$ nu este definită pentru aceste matrici.
Dimensiunile matricelor $A$ și $B$ sunt aceleași, adică. Datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare este aplicabilă acestora.
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$
Să găsim matricea $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)-\left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$
Răspuns: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.
Înmulțirea unei matrice cu un număr.
Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ cu numărul $\alpha$ este matricea $B_(m\times n)=(b_(ij))$, unde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.
Mai simplu spus, înmulțirea unei matrice cu un anumit număr înseamnă înmulțirea fiecărui element dintr-o matrice dată cu acel număr.
Exemplul nr. 2
Matricea este dată: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ și $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matrice) (ccc) 3\cdot(-1) și 3\cdot(-2) și 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 și 3\cdot 9 și 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$
Notația $-A$ este o notație scurtă pentru $-1\cdot A$. Adică, pentru a găsi $-A$ trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $A$ cu (-1). În esență, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $A$ se va schimba în opus:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ stânga(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$
Răspuns: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Produsul a două matrice.
Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, neclară. Prin urmare, mai întâi voi indica o definiție generală, apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă aceasta și cum să lucrăm cu ea.
Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ de la matricea $B_(n\times k)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times k )=(c_( ij))$, pentru care fiecare element $c_(ij)$ este egal cu suma produselor elementelor corespondente ale rândului i al matricei $A$ de elementele j -a coloană a matricei $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
Să ne uităm la înmulțirea matricei pas cu pas folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să rețineți imediat că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $A$ cu matricea $B$, atunci trebuie mai întâi să ne asigurăm că numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$ (astfel de matrici sunt adesea numite ne-am înțeles asupra). De exemplu, matricea $A_(5\times 4)$ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $F_(9\times 8)$ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane ale matricei $A $ nu este egal cu numărul de rânduri ale matricei $F$, adică. $4\neq 9$. Dar puteți înmulți matricea $A_(5\times 4)$ cu matricea $B_(4\times 9)$, deoarece numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $ B$. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $A_(5\times 4)$ și $B_(4\times 9)$ va fi matricea $C_(5\times 9)$, care conține 5 rânduri și 9 coloane:
Exemplul nr. 3
Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrice) \right)$ și $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \end (matrice) \right) $. Găsiți matricea $C=A\cdot B$.
Mai întâi, să determinăm imediat dimensiunea matricei $C$. Deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 4$, iar matricea $B$ are dimensiunea $4\x 2$, atunci dimensiunea matricei $C$ este: $3\x 2$:
Deci, ca rezultat al produsului matricelor $A$ și $B$, ar trebui să obținem o matrice $C$, formată din trei rânduri și două coloane: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) și c_( 12) \\ c_(21) și c_(22) \\ c_(31) și c_(32) \end(array) \right)$. Dacă denumirile elementelor ridică întrebări, atunci puteți privi subiectul anterior: "Matrici. Tipuri de matrici. Termeni de bază", la începutul căruia se explică desemnarea elementelor matricei. Scopul nostru: să găsim valorile tuturor elementelor matricei $C$.
Să începem cu elementul $c_(11)$. Pentru a obține elementul $c_(11)$, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:
Pentru a găsi elementul $c_(11)$ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei $B$, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Să continuăm soluția și să găsim $c_(12)$. Pentru a face acest lucru, va trebui să înmulți elementele din primul rând al matricei $A$ și din a doua coloană a matricei $B$:
Similar cu precedentul, avem:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Toate elementele primului rând al matricei $C$ au fost găsite. Să trecem la a doua linie, care începe cu elementul $c_(21)$. Pentru a-l găsi, va trebui să înmulți elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Găsim următorul element $c_(22)$ înmulțind elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Pentru a găsi $c_(31)$, înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele primei coloane a matricei $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
Și, în final, pentru a găsi elementul $c_(32)$, va trebui să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Toate elementele matricei $C$ au fost găsite, tot ce rămâne este să scrieți că $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matrice) \right)$ . Sau, pentru a scrie integral:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$
Răspuns: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.
Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu locația fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matricele a căror dimensiune este mică, puteți face acest lucru:
De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în cazul general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Numai pentru unele tipuri de matrice, care sunt numite permutabil(sau naveta), egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ este adevărată. Pe baza necomutativității înmulțirii trebuie să indicăm exact cum înmulțim expresia cu o anumită matrice: în dreapta sau în stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $3E-F=Y$ cu matricea $A$ din dreapta” înseamnă că doriți să obțineți următoarea egalitate: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Transpusă față de matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ este matricea $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pentru elementele care $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
Mai simplu spus, pentru a obține o matrice transpusă $A^T$, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $A$ cu rândurile corespunzătoare conform acestui principiu: a existat un prim rând - va fi o primă coloană ; a existat un al doilea rând - va fi o a doua coloană; a fost un al treilea rând - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $A_(3\times 5)$:
În consecință, dacă matricea originală a avut o dimensiune de $3\times 5$, atunci matricea transpusă are o dimensiune de $5\times 3$.
Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Aici se presupune că $\alpha$, $\beta$ sunt niște numere și $A$, $B$, $C$ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat nume; restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.
- $A+B=B+A$ (comutativitatea adunării)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociativitatea adunării)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributivitatea înmulțirii cu o matrice în raport cu adunarea numerelor)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributivitatea înmulțirii cu un număr relativ la adăugarea matricei)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, unde $E$ este matricea de identitate a ordinului corespunzător.
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, unde $O$ este o matrice zero de dimensiunea corespunzătoare.
- $\left(A^T \dreapta)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$
În partea următoare, vom lua în considerare operația de ridicare a unei matrici la o putere întreagă nenegativă și vom rezolva, de asemenea, exemple în care este necesar să se efectueze mai multe operații pe matrice.
Deci, în lecția anterioară ne-am uitat la regulile de adunare și scădere a matricelor. Acestea sunt operații atât de simple, încât majoritatea studenților le înțeleg literalmente de la bun început.
Cu toate acestea, te bucuri devreme. Freebie-ul s-a terminat - să trecem la înmulțire. Vă avertizez imediat: înmulțirea a două matrici nu înseamnă deloc înmulțirea numerelor în celule cu aceleași coordonate, așa cum ați putea crede. Totul este mult mai distractiv aici. Și va trebui să începem cu definiții preliminare.
Matrici potrivite
Una dintre cele mai importante caracteristici ale unei matrice este dimensiunea acesteia. Am vorbit deja despre asta de o sută de ori: scrierea $A=\left[ m\times n \right]$ înseamnă că matricea are exact $m$ rânduri și $n$ coloane. Am discutat deja despre cum să nu confundăm rândurile cu coloanele. Altceva este important acum.
Definiție. Matrici de forma $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, în care numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri în al doilea, sunt numite consistente.
Încă o dată: numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua! De aici obținem două concluzii simultan:
- Ordinea matricelor este importantă pentru noi. De exemplu, matricele $A=\left[ 3\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sunt consistente (2 coloane în prima matrice și 2 rânduri în a doua) , dar invers — matricele $B=\left[ 2\times 5 \right]$ și $A=\left[ 3\times 2 \right]$ nu mai sunt consistente (5 coloane din prima matrice nu sunt 3 rânduri în al doilea).
- Consistența poate fi verificată cu ușurință notând toate dimensiunile una după alta. Folosind exemplul din paragraful anterior: „3 2 2 5” - există numere identice în mijloc, deci matricele sunt consistente. Dar „2 5 3 2” nu sunt consecvenți, deoarece există numere diferite la mijloc.
În plus, Captain Obviousness pare să sugereze că matricele pătrate de aceeași dimensiune $\left[ n\times n \right]$ sunt întotdeauna consistente.
În matematică, când ordinea de enumerare a obiectelor este importantă (de exemplu, în definiția discutată mai sus, ordinea matricelor este importantă), vorbim adesea despre perechi ordonate. Ne-am întâlnit cu ei la școală: cred că este o idee deloc că coordonatele $\left(1;0 \right)$ și $\left(0;1 \right)$ definesc puncte diferite pe plan.
Deci: coordonatele sunt și perechi ordonate care sunt formate din numere. Dar nimic nu te împiedică să faci o astfel de pereche din matrice. Apoi putem spune: „O pereche ordonată de matrice $\left(A;B\right)$ este consecventă dacă numărul de coloane din prima matrice este același cu numărul de rânduri din a doua.”
Ei bine, ce?
Definiţia multiplication
Luați în considerare două matrici consistente: $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$. Și definim operația de înmulțire pentru ei.
Definiție. Produsul a două matrice potrivite $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \ dreapta] $, ale căror elemente sunt calculate folosind formula:
\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]
Un astfel de produs este notat în modul standard: $C=A\cdot B$.
Cei care văd această definiție pentru prima dată au imediat două întrebări:
- Ce fel de joc aprig este acesta?
- De ce este atât de greu?
Ei bine, primul lucru în primul rând. Să începem cu prima întrebare. Ce înseamnă toți acești indici? Și cum să nu faceți greșeli când lucrați cu matrici reale?
În primul rând, observăm că linia lungă pentru calculul $((c)_(i;j))$ (am pus în special un punct și virgulă între indici pentru a nu încurca, dar nu este nevoie să-i pun în general - eu însumi m-am săturat să scriu formula în definiție) se rezumă de fapt la o regulă simplă:
- Luați $i$-lea rând din prima matrice;
- Luați $j$-a coloană din a doua matrice;
- Obținem două șiruri de numere. Înmulțim elementele acestor secvențe cu aceleași numere și apoi adăugăm produsele rezultate.
Acest proces este ușor de înțeles din imagine:
Schema de înmulțire a două matrici Încă o dată: fixăm rândul $i$ în prima matrice, coloana $j$ în a doua matrice, înmulțim elemente cu aceleași numere și apoi adunăm produsele rezultate - obținem $((c)_(ij))$ . Și așa mai departe pentru toți $1\le i\le m$ și $1\le j\le k$. Acestea. Vor fi de $m\ori k$ de astfel de „perversiuni” în total.
De fapt, am întâlnit deja înmulțirea matriceală în programa școlară, doar într-o formă mult redusă. Să fie dați vectorii:
\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(align)\]
Apoi produsul lor scalar va fi exact suma produselor pe perechi:
\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]
Practic, când copacii erau mai verzi și cerul mai strălucitor, am înmulțit pur și simplu vectorul rând $\overrightarrow(a)$ cu vectorul coloană $\overrightarrow(b)$.
Nimic nu s-a schimbat astăzi. Doar că acum există mai mulți dintre acești vectori rând și coloană.
Dar destulă teorie! Să ne uităm la exemple reale. Și să începem cu cel mai simplu caz - matrici pătrate.
Înmulțirea cu matrice pătrată
Sarcina 1. Faceți înmulțirea:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 și 4 \\ 3 și 1 \\\end(matrice) \right]\]
Soluţie. Deci, avem două matrice: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Este clar că sunt consistente (matricele pătrate de aceeași dimensiune sunt întotdeauna consistente). Prin urmare, efectuăm înmulțirea:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ sfârşit(matrice)\dreapta]. \end(align)\]
Asta e tot!
Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.
Sarcina 2. Faceți înmulțirea:
\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(matrice) \right]\]
Soluţie. Din nou, matrici consistente, deci efectuăm următoarele acțiuni:\[\]
\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ stânga(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(align)\]
După cum puteți vedea, rezultatul este o matrice plină cu zerouri
Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.
Din exemplele de mai sus este evident că înmulțirea matricelor nu este o operație atât de complicată. Cel puțin pentru matrice pătrată 2 pe 2.
În procesul de calcule, am compilat o matrice intermediară, în care am descris direct ce numere sunt incluse într-o anumită celulă. Este exact ceea ce trebuie făcut atunci când rezolvați probleme reale.
Proprietățile de bază ale produsului matricei
Pe scurt. Înmulțirea matricei:
- Necomutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$ în cazul general. Există, desigur, matrice speciale pentru care egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ (de exemplu, dacă $B=E$ este matricea de identitate), dar în marea majoritate a cazurilor acest lucru nu funcționează ;
- Asociativ: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Nu există opțiuni aici: matricele adiacente pot fi multiplicate fără să vă faceți griji cu privire la ceea ce este în stânga și în dreapta acestor două matrici.
- Distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ și $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (din cauza necomutativității produsului, este necesar să se specifice separat distributivitatea la dreapta și la stânga.
Și acum - totul este la fel, dar mai detaliat.
Înmulțirea prin matrice este în multe privințe similară cu înmulțirea clasică a numerelor. Dar există diferențe, dintre care cea mai importantă este aceea Înmulțirea prin matrice este, în general, necomutativă.
Să ne uităm din nou la matricele din problema 1. Știm deja produsul lor direct:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 și 4 \\ 3 și 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 și 6 \\ 18 & -8 \\\end(matrice) \right]\]
Dar dacă schimbăm matricele, obținem un rezultat complet diferit:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix) )\dreapta]\]
Se pare că $A\cdot B\ne B\cdot A$. În plus, operația de înmulțire este definită doar pentru matricele consistente $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, dar nimeni nu a garantat că acestea vor rămâne consistente.dacă sunt schimbate. De exemplu, matricele $\left[ 2\times 3 \right]$ și $\left[ 3\times 5 \right]$ sunt destul de consistente în ordinea specificată, dar aceleași matrici $\left[ 3\times 5 \right] $ și $\left[ 2\time 3 \right]$ scrise în ordine inversă nu mai sunt consecvente. Trist.:(
Printre matricele pătrate de o mărime dată $n$ vor exista întotdeauna acelea care dau același rezultat atât atunci când sunt înmulțite direct, cât și în ordine inversă. Cum să descrii toate astfel de matrici (și câte există în general) este un subiect pentru o lecție separată. Nu vom vorbi despre asta azi. :)
Totuși, înmulțirea matriceală este asociativă:
\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]
Prin urmare, atunci când trebuie să înmulțiți mai multe matrici la rând simultan, nu este deloc necesar să o faceți imediat: este foarte posibil ca unele matrici adiacente, atunci când sunt înmulțite, să dea un rezultat interesant. De exemplu, o matrice zero, ca în problema 2 discutată mai sus.
În problemele reale, cel mai adesea trebuie să înmulțim matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Setul tuturor acestor matrici este notat cu $((M)^(n))$ (adică, intrările $A=\left[ n\times n \right]$ și \ înseamnă același lucru) și va conțin în mod necesar matricea $E$, care se numește matrice de identitate.
Definiție. O matrice de identitate de mărimea $n$ este o matrice $E$ astfel încât pentru orice matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ egalitatea este valabilă:
O astfel de matrice arată întotdeauna la fel: există unele pe diagonala sa principală și zerouri în toate celelalte celule.
\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]
Cu alte cuvinte, dacă trebuie să înmulțiți o matrice cu suma altor două, puteți să o înmulțiți cu fiecare dintre aceste „alte două” și apoi să adăugați rezultatele. În practică, de obicei, trebuie să efectuăm operația opusă: observăm aceeași matrice, o scoatem din paranteze, facem adunări și astfel ne simplificăm viața. :)
Notă: pentru a descrie distributivitatea, a trebuit să scriem două formule: unde suma este în al doilea factor și unde suma este în primul. Acest lucru se întâmplă tocmai pentru că înmulțirea matricelor este necomutativă (și, în general, în algebra necomutativă există o mulțime de lucruri distractive care nici măcar nu-ți vin în minte când lucrezi cu numere obișnuite). Și dacă, de exemplu, trebuie să notați această proprietate într-un examen, atunci asigurați-vă că scrieți ambele formule, altfel profesorul se poate supăra puțin.
Bine, toate acestea au fost basme despre matrici pătrate. Dar cele dreptunghiulare?
Cazul matricelor dreptunghiulare
Dar nimic - totul este la fel ca la cele pătrate.
Sarcina 3. Faceți înmulțirea:
\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]
Soluţie. Avem două matrice: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Să notăm numerele care indică dimensiunile pe rând:
După cum puteți vedea, cele două numere centrale coincid. Aceasta înseamnă că matricele sunt consistente și pot fi multiplicate. Mai mult, la ieșire obținem matricea $C=\left[ 3\times 2 \right]$:
\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrice) \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(matrice) \dreapta]. \end(align)\]
Totul este clar: matricea finală are 3 rânduri și 2 coloane. Destul de $=\left[ 3\times 2 \right]$.
Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(matrice) \right]$.
Acum să ne uităm la una dintre cele mai bune sarcini de antrenament pentru cei care abia încep să lucreze cu matrice. În ea, nu trebuie doar să înmulțiți vreo două tăblițe, ci mai întâi să determinați: este permisă o astfel de înmulțire?
Problema 4. Găsiți toate produsele posibile în perechi ale matricelor:
\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrice) \\\end(matrice) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.
Soluţie. Mai întâi, să notăm dimensiunile matricelor:
\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]
Constatăm că matricea $A$ poate fi reconciliată doar cu matricea $B$, deoarece numărul de coloane al lui $A$ este 4 și numai $B$ are acest număr de rânduri. Prin urmare, putem găsi produsul:
\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ stânga[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]
Sugerez cititorului să parcurgă pașii intermediari în mod independent. Voi observa doar că este mai bine să determinați dimensiunea matricei rezultate în avans, chiar înainte de orice calcul:
\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]
Cu alte cuvinte, pur și simplu înlăturăm coeficienții de „tranzit” care asigurau consistența matricelor.
Ce alte variante sunt posibile? Desigur, se poate găsi $B\cdot A$, deoarece $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, deci perechea ordonată $\ left(B ;A \right)$ este consecvent, iar dimensiunea produsului va fi:
\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]
Pe scurt, rezultatul va fi o matrice $\left[ 4\times 4 \right]$, ai cărei coeficienți pot fi calculați cu ușurință:
\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ stânga[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 și -8 \\\end(matrice) \right]\]
Evident, puteți fi de acord și cu $C\cdot A$ și $B\cdot C$ - și asta este tot. Prin urmare, notăm pur și simplu produsele rezultate:
A fost ușor.:)
Răspuns: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(matrice) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.
În general, vă recomand să faceți singur această sarcină. Și încă o sarcină similară care este în temele pentru acasă. Aceste gânduri aparent simple vă vor ajuta să exersați toate etapele cheie ale înmulțirii matriceale.
Dar povestea nu se termină aici. Să trecem la cazuri speciale de înmulțire. :)
Vectori rând și vectori coloană
Una dintre cele mai comune operații cu matrice este înmulțirea cu o matrice care are un rând sau o coloană.
Definiție. Un vector coloană este o matrice de dimensiune $\left[ m\times 1 \right]$, adică. format din mai multe rânduri și o singură coloană.
Un vector rând este o matrice de dimensiune $\left[ 1\times n \right]$, adică. format dintr-un rând și mai multe coloane.
De fapt, am întâlnit deja aceste obiecte. De exemplu, un vector tridimensional obișnuit din stereometrie $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ nu este altceva decât un vector rând. Din punct de vedere teoretic, nu există aproape nicio diferență între rânduri și coloane. Trebuie doar să fiți atenți atunci când vă coordonați cu matricele multiplicatoare din jur.
Sarcina 5. Faceți înmulțirea:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]
Soluţie. Aici avem produsul matricelor potrivite: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Haideti sa gasim aceasta piesa:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(matrice) \right]\]
Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.
Sarcina 6. Faceți înmulțirea:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(matrice) \right]\]
Soluţie. Din nou totul este de acord: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Numărăm produsul:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(matrice) \right]\]
Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.
După cum puteți vedea, atunci când înmulțim un vector rând și un vector coloană cu o matrice pătrată, rezultatul rezultă întotdeauna într-un rând sau coloană de aceeași dimensiune. Acest fapt are multe aplicații - de la rezolvarea ecuațiilor liniare până la tot felul de transformări de coordonate (care în cele din urmă se reduc și la sisteme de ecuații, dar să nu vorbim despre lucruri triste).
Cred că totul era evident aici. Să trecem la ultima parte a lecției de astăzi.
Exponentiarea matricei
Dintre toate operațiile de înmulțire, exponentiația merită o atenție specială - atunci înmulțim același obiect de mai multe ori. Matricele nu fac excepție; ele pot fi, de asemenea, ridicate la diferite puteri.
Astfel de lucrări sunt întotdeauna convenite:
\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]
Și sunt desemnate exact în același mod ca grade obișnuite:
\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]
La prima vedere, totul este simplu. Să vedem cum arată asta în practică:
Sarcina 7. Ridicați matricea la puterea indicată:
$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$
Soluţie. Ei bine, hai să construim. Mai întâi să-l pătram:
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(matrice) \right] \end(align)\]
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 și 1 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]
Asta e tot.:)
Răspuns: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.
Problema 8. Ridicați matricea la puterea indicată:
\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]
Soluţie. Nu plânge acum de faptul că „diploma este prea mare”, „lumea nu este corectă” și „profesorii și-au pierdut complet țărmurile”. De fapt, este ușor:
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]
Observați că în a doua linie am folosit asociativitatea înmulțirii. De fapt, l-am folosit în sarcina anterioară, dar era implicit acolo.
Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în ridicarea unei matrice la o putere. Ultimul exemplu poate fi rezumat:
\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]
Acest fapt este ușor de demonstrat prin inducție matematică sau înmulțire directă. Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să prindem astfel de modele atunci când ridicați la o putere. Prin urmare, fiți atenți: adesea înmulțirea mai multor matrici „la întâmplare” se dovedește a fi mai ușoară și mai rapidă decât a căuta un fel de tipare.
În general, nu căutați un sens mai înalt acolo unde nu există. În concluzie, să luăm în considerare exponențiarea unei matrice mai mari - cât $\left[ 3\times 3 \right]$.
Problema 9. Ridicați matricea la puterea indicată:
\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]
Soluţie. Să nu căutăm modele. Lucrăm înainte:
\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrice)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\]
Mai întâi, să punem la pătrat această matrice:
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]
Acum hai să-l cubăm:
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( matrice)(*(35)(r)) 2 și 3 și 3 \\ 3 și 2 și 3 \\ 3 și 3 și 2 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]
Asta e tot. Problema este rezolvată.
Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.
După cum puteți vedea, volumul calculelor a devenit mai mare, dar sensul nu s-a schimbat deloc. :)
Aceasta încheie lecția. Data viitoare vom avea în vedere operația inversă: folosind produsul existent vom căuta factorii originali.
După cum probabil ați ghicit deja, vom vorbi despre matricea inversă și despre metodele de găsire a acesteia.
Adăugarea matricei:
Scăderea și adunarea matricelor se reduce la operaţiile corespunzătoare asupra elementelor lor. Operație de adăugare a matricei intrat doar pentru matrici aceeași dimensiune, adică pt matrici, în care numărul de rânduri și, respectiv, de coloane este egal. Suma matricelor A și B sunt numite matrice C, ale cărei elemente sunt egale cu suma elementelor corespunzătoare. C = A + B c ij = a ij + b ij Definit în mod similar diferenta de matrice.
Înmulțirea unei matrice cu un număr:
Operație de înmulțire (diviziune) a matricei de orice dimensiune cu un număr arbitrar se reduce la înmulțirea (împărțirea) fiecărui element matrici pentru acest număr. Produs MatrixȘi se numește numărul k matrice B, astfel încât
b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrice- A = (-1) × A se numește opus matrice A.
Proprietățile adunării matricelor și înmulțirii unei matrice cu un număr:
Operații de adunare a matriceiȘi înmulțirea matriceală asupra unui număr au următoarele proprietăți: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , unde A, B și C sunt matrici, α și β sunt numere.
Înmulțire matrice (produs matrice):
Operația de înmulțire a două matrici se introduce numai pentru cazul în care numărul de coloane din primul matrici egal cu numărul de linii ale celui de-al doilea matrici. Produs MatrixȘi m×n pe matriceÎn n×p, numit matrice Cu m×p astfel încât cu ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , adică se găsește suma produselor elementelor rândului i matriciȘi la elementele corespunzătoare ale coloanei j-a matrici B. Dacă matrici A și B sunt pătrate de aceeași dimensiune, atunci produsele AB și BA există întotdeauna. Este ușor de arătat că A × E = E × A = A, unde A este pătrat matrice, E - unitate matrice aceeasi dimensiune.
Proprietățile înmulțirii matriceale:
Înmulțirea matricei nu comutativă, adică AB ≠ BA chiar dacă ambele produse sunt definite. Cu toate acestea, dacă pentru vreunul matrici relația AB=BA este satisfăcută, atunci așa matrici se numesc comutative. Cel mai tipic exemplu este unul singur matrice, care face naveta cu oricare altul matrice aceeasi dimensiune. Doar cele pătrate pot fi permutabile matrici de aceeasi ordine. A × E = E × A = A
Înmulțirea matricei are următoarele proprietăți: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. Determinanți ai ordinului 2 și 3. Proprietățile determinanților.
Determinant de matrice ordinul doi, sau determinant de ordinul al doilea este un număr care se calculează prin formula:
Determinant de matrice ordinul al treilea, sau determinant al treilea ordin este un număr care se calculează prin formula:
Acest număr reprezintă o sumă algebrică formată din șase termeni. Fiecare termen conține exact un element din fiecare rând și fiecare coloană matrici. Fiecare termen este format din produsul a trei factori.
Semne cu care membrii determinant al matricei incluse în formulă aflarea determinantului matricei al treilea ordin poate fi determinat folosind schema dată, care se numește regula triunghiurilor sau regula lui Sarrus. Primii trei termeni sunt luați cu semnul plus și determinați din cifra din stânga, iar următorii trei termeni sunt luați cu semnul minus și determinați din cifra din dreapta.
Determinați numărul de termeni de găsit determinant al matricei, într-o sumă algebrică, puteți calcula factorialul: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Proprietăți ale determinanților matrici
Proprietățile determinanților matricei:
Proprietatea #1:
Determinant de matrice nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane, fiecare rând cu o coloană cu același număr și invers (Transpunere). |A| = |A| T
Consecinţă:
Coloane și rânduri determinant al matricei sunt egale, prin urmare, proprietățile inerente rândurilor sunt îndeplinite și pentru coloane.
Proprietatea #2:
La rearanjarea a 2 rânduri sau coloane determinant matriceal va schimba semnul în cel opus, menținând valoarea absolută, adică:
Proprietatea #3:
Determinant de matrice având două rânduri identice este egal cu zero.
Proprietatea #4:
Factorul comun al elementelor oricărei serii determinant al matricei poate fi luat ca un semn determinant.
Corolare din proprietățile nr. 3 și nr. 4:
Dacă toate elementele unei anumite serii (rând sau coloană) sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale unei serii paralele, atunci așa determinant matriceal egal cu zero.
Proprietatea #5:
determinant al matricei atunci sunt egale cu zero determinant matriceal egal cu zero.
Proprietatea #6:
Dacă toate elementele unui rând sau coloană determinant prezentată ca o sumă de 2 termeni, atunci determinant matrici poate fi reprezentat ca suma de 2 determinanți dupa formula:
Proprietatea #7:
Dacă la orice rând (sau coloană) determinant adăugați elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (sau coloană), înmulțite cu același număr, apoi determinant matriceal nu își va schimba valoarea.
Exemplu de utilizare a proprietăților pentru calcul determinant al matricei:
