Metoda de înlocuire a variabilei (metoda de înlocuire). Metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită Cum se rezolvă integralele cu schimbarea unei variabile

Modificarea variabilei într-o integrală nedefinită este utilizată pentru a găsi integrale în care una dintre funcții este derivata unei alte funcții. Să fie o integrală $ \int f(x) dx $, să facem înlocuirea $ x=\phi(t) $. Rețineți că funcția $ \phi(t) $ este diferențiabilă, deci putem găsi $ dx = \phi"(t) dt $.

Acum înlocuim $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ în integrală și obținem:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

Acesta este formula pentru schimbarea unei variabile într-o integrală nedefinită.

Algoritmul metodei de înlocuire a variabilei

Astfel, dacă problemei i se dă o integrală de forma: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Este indicat să înlocuiți variabila cu una nouă: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

După aceasta, integrala va fi prezentată într-o formă care poate fi luată cu ușurință prin metodele de integrare de bază: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

Nu uitați să returnați și variabila înlocuită înapoi la $x$.

Exemple de soluții

Exemplul 1

Găsiți integrala nedefinită folosind metoda schimbării variabilei: $$ \int e^(3x) dx $$

Soluţie

Înlocuim variabila din integrală cu $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Integrala exponențială este în continuare aceeași conform tabelului de integrare, deși în loc de $ x $ se scrie $ t $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Sarcini educaționale:

• învață elevii să folosească metoda integrării prin substituție;
• să continue dezvoltarea abilităților în utilizarea integrării funcțiilor;
• continuă să dezvolte interesul pentru matematică prin rezolvarea de probleme;
• cultivarea unei atitudini conștiente față de procesul de învățare, insuflarea unui simț al responsabilității pentru calitatea cunoștințelor, exercitarea autocontrolului asupra procesului de rezolvare și proiectare a exercițiilor;
• reamintim că numai utilizarea conștientă a algoritmilor pentru calcularea integralei nedefinite va permite elevilor să stăpânească calitativ tema studiată.

Furnizare de cursuri:

• tabelul formulelor de integrare de bază;
• carduri de sarcini pentru munca de testare.

Studentul trebuie sa stie: algoritm de calcul al integralei nedefinite folosind metoda substituției.

Studentul trebuie să fie capabil să: aplica cunoştinţele dobândite la calculul integralelor nedefinite.

Motivarea activității cognitive a elevilor.

Profesorul relatează că, pe lângă metoda integrării directe, există și alte metode de calcul a integralelor nedefinite, dintre care una este metoda substituției. Aceasta este cea mai comună metodă de integrare a unei funcții complexe, constând în transformarea integralei prin trecerea la o altă variabilă de integrare.

Progresul lecției

eu. Organizarea timpului.

II. Verificarea temelor.

Studiu frontal:

III. Repetarea cunoștințelor de bază ale elevilor.

1) Repetați tabelul cu formule de integrare de bază.

2) Repetați care este metoda de integrare directă.

Integrarea directă este o metodă de integrare în care o integrală dată este redusă la una sau mai multe integrale de tabel prin transformări identice ale integrandului și aplicarea proprietăților integralei nedefinite.

IV. Învățarea de materiale noi.

Nu este întotdeauna posibil să se calculeze o integrală dată prin integrare directă și, uneori, aceasta este asociată cu mari dificultăți. În aceste cazuri, se folosesc alte tehnici. Una dintre cele mai eficiente tehnici este metoda de substituire sau înlocuire a variabilei de integrare. Esența acestei metode este că prin introducerea unei noi variabile de integrare este posibilă reducerea unei integrale date la o nouă integrală, care este relativ ușor de luat direct. Dacă după schimbarea variabilei integrala devine mai simplă, atunci scopul înlocuirii a fost atins. Integrarea prin metoda substituției se bazează pe formulă

Să luăm în considerare această metodă.

Algoritm de calculintegrală nedefinită prin metoda substituției:

1. Determinați la ce integrală de tabel este redusă această integrală (după transformarea mai întâi a integrandului, dacă este necesar).
2. Determinați ce parte a integrandului să înlocuiți cu o nouă variabilă și notați această înlocuire.
3. Găsiți diferențele ambelor părți ale înregistrării și exprimați diferența vechii variabile (sau o expresie care conține această diferență) în termeni de diferența noii variabile.
4. Faceți o înlocuire sub integrală.
5. Găsiți integrala rezultată.
6. Ca urmare, se face o înlocuire inversă, adică. treceți la vechea variabilă. Este util să verificați rezultatul prin diferențiere.

Să ne uităm la exemple.

Exemple. Aflați integralele:

1) )4

Să introducem înlocuirea:

Diferențiând această egalitate, avem:

V. Aplicarea cunoștințelor la rezolvarea exemplelor tipice.

VI. Aplicarea independentă a cunoștințelor, abilităților și abilităților.

Opțiunea 1

Aflați integralele:

Opțiunea 2

Aflați integralele:

VII. Rezumând lecția.

VIII. Teme pentru acasă:

G.N. Yakovlev, partea 1, §13.2, paragraful 2, nr. 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)

Metoda se bazează pe următoarea formulă: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, unde x = j(t) este o funcție diferențiabilă pe intervalul luat în considerare.

Dovada. Să găsim derivatele în raport cu variabila t din partea stângă și dreaptă a formulei.

Rețineți că în partea stângă există o funcție complexă al cărei argument intermediar este x = j(t). Prin urmare, pentru a o diferenția față de t, mai întâi diferențiem integrala față de x și apoi luăm derivata argumentului intermediar față de t.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

Derivată din partea dreaptă:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Deoarece aceste derivate sunt egale, prin corolar teoremei lui Lagrange, laturile stângă și dreaptă ale formulei care se dovedește diferă printr-o anumită constantă. Deoarece integralele nedefinite în sine sunt definite până la un termen constant nedefinit, această constantă poate fi omisă din notația finală. Dovedit.

O schimbare cu succes a variabilei vă permite să simplificați integrala originală și, în cele mai simple cazuri, să o reduceți la una tabelară. În aplicarea acestei metode, se face o distincție între metodele de substituție liniară și neliniară.

a) Să luăm în considerare metoda substituției liniare folosind un exemplu.

Exemplul 1.. Fie t = 1 – 2x, atunci

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Trebuie remarcat faptul că noua variabilă nu trebuie să fie scrisă în mod explicit. În astfel de cazuri, se vorbește despre transformarea unei funcții sub semn diferențial sau despre introducerea de constante și variabile sub semn diferențial, i.e. O înlocuirea implicită a variabilei.

Exemplul 2. De exemplu, să găsim òcos(3x + 2)dx. După proprietăţile diferenţialului
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), apoi òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

În ambele exemple luate în considerare, substituția liniară t = kx + b (k ¹ 0) a fost utilizată pentru a găsi integralele.

În cazul general, următoarea teoremă este valabilă.

Teorema substituției liniare. Fie F(x) o antiderivată a funcției f(x). Atunci òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, unde k și b sunt niște constante, k ¹ 0.

Dovada.

Prin definiția integralei, òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Să luăm factorul constant k în afara semnului integral: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Acum putem împărți laturile stânga și dreapta ale egalității cu k și obținem afirmația de demonstrat până la desemnarea termenului constant.

Această teoremă afirmă că dacă în definiția integralei ò f(x)dx = F(x) + C în loc de argumentul x înlocuim expresia (kx + b), aceasta va duce la apariția unei factorul 1/k în fața antiderivatei.

Folosind teorema dovedită, rezolvăm următoarele exemple.

Exemplul 3.

Să-l găsim. Aici kx + b = 3 – x, adică. k = -1, b = 3. Atunci

Exemplul 4.

Să-l găsim. Aici kx + b = 4x + 3, adică. k = 4, b = 3. Atunci

Exemplul 5.

Să-l găsim. Aici kx + b = -2x + 7, adică. k = -2, b = 7. Atunci

.

Exemplul 6. Să-l găsim. Aici kx + b = 2x + 0, adică. k = 2, b = 0.

.

Să comparăm rezultatul obținut cu exemplul 8, care a fost rezolvat prin metoda de descompunere. Rezolvând aceeași problemă folosind o metodă diferită, am primit răspunsul . Să comparăm rezultatele: . Astfel, aceste expresii diferă unele de altele printr-un termen constant, adică. Răspunsurile primite nu se contrazic.

Exemplul 7. Vom găsi . Să selectăm un pătrat perfect la numitor.

În unele cazuri, schimbarea unei variabile nu reduce integrala direct la una tabelară, dar poate simplifica soluția, făcând posibilă utilizarea metodei de expansiune la un pas ulterior.

Exemplul 8. De exemplu, să găsim . Înlocuim t = x + 2, apoi dt = d(x + 2) = dx. Apoi

,

unde C = C 1 – 6 (la înlocuirea expresiei (x + 2) în loc de t, în loc de primii doi termeni obținem ½x 2 -2x – 6).

Exemplul 9. Să-l găsim. Fie t = 2x + 1, apoi dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.

Să înlocuim expresia (2x + 1) cu t, să deschidem parantezele și să dăm altele similare.

Rețineți că în procesul transformărilor am trecut la un alt termen constant, deoarece grupul de termeni constanți ar putea fi omis în timpul procesului de transformare.

b) Să luăm în considerare metoda substituției neliniare folosind un exemplu.

Exemplul 1.. Fie t = - x 2 . Apoi, se poate exprima x în termeni de t, apoi se găsește o expresie pentru dx și se implementează o modificare a variabilei în integrala dorită. Dar în acest caz este mai ușor să faci lucrurile diferit. Să găsim dt = d(-x 2) = -2xdx. Rețineți că expresia xdx este un factor al integrandului integralei dorite. Să o exprimăm din egalitatea rezultată xdx = - ½ dt. Apoi

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2. Să-l găsim. Fie t = 1 - x 2 . Apoi

Exemplul 3. Să-l găsim. Fie t = . Apoi

;

Exemplul 4.În cazul substituției neliniare, este, de asemenea, convenabil să se utilizeze substituția variabilă implicită.

De exemplu, să găsim . Să scriem xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (inlocuit implicit cu variabila t = 3 - 2x 2). Apoi

Exemplul 5. Vom găsi . Aici introducem și o variabilă sub semnul diferențial: (înlocuirea implicită t = 3 + 5x 3). Apoi

Exemplul 6. Să-l găsim. Deoarece ,

Exemplul 7. Să-l găsim. De atunci

Să ne uităm la câteva exemple în care devine necesară combinarea diferitelor substituții.

Exemplul 8. Vom găsi . Lăsa
t = 2x + 1, atunci x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

Exemplul 9. Vom găsi . Lăsa
t = x - 2, atunci x = t + 2; dx = dt.

Integrarea prin schimbarea variabilei (metoda substituției) este una dintre cele mai comune metode de găsire a integralelor.

Scopul introducerii unei noi variabile este de a simplifica integrarea. Cea mai bună opțiune este să înlocuiți o variabilă și să obțineți o integrală tabelară în raport cu noua variabilă. Cum să determinați ce înlocuire trebuie făcută? Abilitățile vin odată cu experiența. Cu cât se rezolvă mai multe exemple, cu atât se rezolvă mai repede următoarele. În etapa inițială folosim următorul raționament:

Acesta este. dacă sub semnul integral vedem produsul unei funcții f(x) și derivata ei f '(x), atunci această funcție f(x) trebuie luată ca o nouă variabilă t, deoarece diferența dt=f '(x) )dx există deja.

Să vedem cum funcționează metoda de înlocuire a variabilelor folosind exemple specifice.

Calculați integralele folosind metoda înlocuirii variabilelor:

Aici 1/(1+x²) este derivata funcției arctan x. Prin urmare, luăm arctan x ca noua variabilă t. În continuare, vom folosi:

După ce am găsit integrala lui t, efectuăm substituția inversă:

Dacă luăm sinusul ca t, atunci trebuie să existe și derivata lui, cosinusul (până la semn). Dar nu există cosinus în integrand. Dar dacă luăm exponentul ca t, totul funcționează:

Pentru a obține diferența dorită dt, schimbați semnul în numărător și în fața integralei:

(Aici (ln(cosx))’ - . )

Înlocuirea unui polinom sau. Aici este un polinom de grad, de exemplu, expresia este un polinom de grad.

Să presupunem că avem un exemplu:

Să folosim metoda înlocuirii variabilelor. Pentru ce crezi că ar trebui luat? Dreapta, .

Ecuația devine:

Efectuăm o schimbare inversă a variabilelor:

Să rezolvăm prima ecuație:

Să decidem al doilea ecuația:

… Ce înseamnă acest lucru? Dreapta! Că nu există soluții.

Astfel, am primit două răspunsuri - ; .

Înțelegi cum să folosești metoda de înlocuire a variabilei pentru un polinom? Exersați să faceți acest lucru singur:

Hotărât? Acum să verificăm principalele puncte cu tine.

Trebuie să o iei.

Obținem expresia:

Rezolvând o ecuație pătratică, aflăm că are două rădăcini: și.

Soluția primei ecuații pătratice este numerele și

Rezolvarea celei de-a doua ecuații pătratice – numere și.

Răspuns: ; ; ;

Să rezumam

Metoda înlocuirii variabilelor are principalele tipuri de înlocuiri variabile în ecuații și inegalități:

1. Înlocuirea puterii, când luăm drept necunoscut, ridicat la o putere.

2. Înlocuirea unui polinom, când luăm pentru o expresie întreagă care conține o necunoscută.

3. Înlocuirea fracțională-rațională, când luăm orice relație care conține o variabilă necunoscută.

Important sfat la introducerea unei variabile noi:

1. Înlocuirea variabilelor trebuie făcută imediat, cu prima ocazie.

2. Ecuația pentru o nouă variabilă trebuie rezolvată până la capăt și abia apoi revenită la vechea necunoscută.

3. Când reveniți la necunoscutul inițial (și într-adevăr în întreaga soluție), nu uitați să verificați rădăcinile pentru ODZ.

O nouă variabilă este introdusă într-un mod similar, atât în ​​ecuații, cât și în inegalități.

Să ne uităm la 3 probleme

Răspunsuri la 3 probleme

1. Fie, atunci expresia ia forma.

Din moment ce, poate fi atât pozitiv, cât și negativ.

Răspuns:

2. Fie, atunci expresia ia forma.

nu exista solutie pentru ca...

Răspuns:

3. Prin grupare obținem:

Atunci expresia ia forma
.

Răspuns:

ÎNLOCUIREA VARIABILELOR. NIVEL MEDIU.

Înlocuirea variabilelor- aceasta este introducerea unei noi necunoscute, față de care ecuația sau inegalitatea are o formă mai simplă.

Voi enumera principalele tipuri de înlocuitori.

Înlocuirea puterii

Înlocuirea puterii.

De exemplu, folosind o substituție, o ecuație biquadratică este redusă la una pătratică: .

În inegalități totul este asemănător.

De exemplu, facem o înlocuire în inegalitate și obținem o inegalitate pătratică: .

Exemplu (decideți singur):

Soluţie:

Aceasta este o ecuație fracționară-rațională (repetare), dar rezolvarea ei folosind metoda obișnuită (reducerea la un numitor comun) este incomod, deoarece vom obține o ecuație de grad, deci se folosește o modificare a variabilelor.

Totul va deveni mult mai ușor după înlocuirea: . Apoi:

Acum hai să o facem înlocuire inversă:

Răspuns: ; .

Înlocuirea unui polinom

Înlocuirea unui polinom sau.

Aici este un polinom de grad, i.e. expresia formei

(de exemplu, expresia este un polinom de grad, adică).

Cea mai des folosită substituție pentru trinomul pătratic este: or.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Și din nou, se folosește înlocuirea variabilelor.

Atunci ecuația va lua forma:

Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt: ​​și.

Avem două cazuri. Să facem o înlocuire inversă pentru fiecare dintre ele:

Aceasta înseamnă că această ecuație nu are rădăcini.

Rădăcinile acestei ecuații sunt: ​​i.

Răspuns. .

Substituția fracțională-rațională

Înlocuirea fracțională-rațională.

și sunt polinoame de grade și, respectiv.

De exemplu, la rezolvarea ecuațiilor reciproce, adică a ecuațiilor de formă

înlocuirea este de obicei folosită.

Acum vă voi arăta cum funcționează.

Este ușor să verificăm care nu este rădăcina acestei ecuații: la urma urmei, dacă o înlocuim în ecuație, obținem ceea ce contrazice condiția.

Să împărțim ecuația în:

Să ne regrupăm:

Acum facem un înlocuitor: .

Frumusețea acesteia este că la pătratul produsului dublu al termenilor, x se reduce:

Rezultă că.

Să revenim la ecuația noastră:

Acum este suficient să rezolvați ecuația pătratică și să faceți înlocuirea inversă.

Exemplu:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Atunci când egalitatea nu ține, așadar. Să împărțim ecuația în:

Ecuația va lua forma:

Rădăcinile sale:

Să facem o înlocuire inversă:

Să rezolvăm ecuațiile rezultate:

Răspuns: ; .

Alt exemplu:

Rezolvați inegalitatea.

Soluţie:

Prin substituție directă suntem convinși că nu este inclusă în soluția acestei inegalități. Împărțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții la:

Acum este evidentă înlocuirea variabilei: .

Atunci inegalitatea va lua forma:

Folosim metoda intervalului pentru a găsi y:

în faţa tuturor, pentru că

în faţa tuturor, pentru că

Deci inegalitatea este echivalentă cu următoarea:

în fața tuturor, pentru că...

Aceasta înseamnă că inegalitatea este echivalentă cu următoarele: .

Deci, inegalitatea se dovedește a fi echivalentă cu agregatul:

Răspuns: .

Înlocuirea variabilelor- una dintre cele mai importante metode de rezolvare a ecuaţiilor şi inegalităţilor.

În cele din urmă, vă voi oferi câteva sfaturi importante:

ÎNLOCUIREA VARIABILELOR. REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ.

Înlocuirea variabilelor- o metodă de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților complexe, care vă permite să simplificați expresia originală și să o aduceți într-o formă standard.

Tipuri de înlocuire a variabilelor:

1. Inlocuirea puterii: este considerat a fi un necunoscut, ridicat la o putere - .
2. Înlocuire fracțională-rațională: orice relație care conține o variabilă necunoscută este luată ca - , unde și sunt polinoame de grade n și, respectiv, m.
3. Înlocuirea unui polinom:întreaga expresie care conține necunoscutul este luată ca - sau, unde este un polinom de grad.

După rezolvarea unei ecuații/ineegalități simplificate, este necesar să se facă o substituție inversă.