Zgomot în imagini. Niciun sistem de înregistrare nu oferă calitatea ideală a imaginii obiectelor studiate. Imaginile aflate în procesul formării lor de către sisteme (fotografice, holografice, televiziune) sunt de obicei expuse la diverse interferențe sau zgomote aleatorii. O provocare fundamentală în procesarea imaginilor este eliminarea eficientă a zgomotului, păstrând în același timp detaliile imaginii care sunt importante pentru recunoașterea ulterioară. Complexitatea rezolvării acestei probleme depinde în mod semnificativ de natura zgomotului. Spre deosebire de distorsiunile deterministe, care sunt descrise prin transformări funcționale ale imaginii originale, modelele de zgomot aditiv, impulsiv și multiplicativ sunt folosite pentru a descrie efecte aleatorii.
Cel mai comun tip de interferență este zgomotul aditiv aleatoriu, care este independent din punct de vedere statistic de semnal. Modelul de zgomot aditiv este utilizat atunci când semnalul de la ieșirea sistemului sau la o anumită etapă a transformării poate fi considerat ca suma semnalului util și a unui semnal aleator. Modelul de zgomot aditiv descrie bine efectul granulației filmului, zgomotul de fluctuație în sistemele radio, zgomotul de cuantizare în convertoare analog-digitale etc.
Zgomotul Gaussian aditiv se caracterizează prin adăugarea de valori cu o distribuție normală și o medie zero la fiecare pixel dintr-o imagine. Acest zgomot apare de obicei în timpul fazei de imagistică digitală. Informația principală din imagini este purtată de contururile obiectelor. Filtrele clasice de linie pot elimina eficient zgomotul statistic, dar gradul de estompare a detaliilor mici din imagine poate depăși valorile acceptabile. Pentru a rezolva această problemă se folosesc metode neliniare, de exemplu, algoritmi bazați pe difuzia anizotropă a lui Perron și Malik, filtre bilaterale și trilaterale. Esența unor astfel de metode este de a folosi estimări locale adecvate pentru a determina conturul imaginii și pentru a netezi astfel de zone în cel mai mic grad.
Zgomotul de impuls este caracterizat prin înlocuirea unora dintre pixelii din imagine cu valori de o valoare fixă sau aleatorie. În imagine, un astfel de zgomot apare ca puncte de contrast izolate. Zgomotul de impuls este tipic pentru dispozitivele de intrare a imaginii de la o cameră de televiziune, sistemele de transmitere a imaginilor prin canale radio, precum și pentru sistemele digitale de transmitere și stocare a imaginilor. Pentru a elimina zgomotul de impuls, se folosește o clasă specială de filtre neliniare bazate pe statistici de rang. Ideea generală a unor astfel de filtre este de a detecta poziția pulsului și de a o înlocui cu o valoare estimată, păstrând restul pixelilor imaginii neschimbați.
Filtre bidimensionale. Filtrarea mediană a imaginilor este cea mai eficientă atunci când zgomotul din imagine este impulsiv și reprezintă un set limitat de vârfuri pe un fundal de zerouri. Ca urmare a aplicării filtrului median, pantele și scăderile accentuate ale valorilor de luminozitate din imagini nu se modifică. Aceasta este o proprietate foarte utilă mai ales pentru imaginile în care contururile poartă informația principală.
Cu filtrarea mediană a imaginilor zgomotoase, gradul de netezire a contururilor obiectelor depinde direct de dimensiunea deschiderii filtrului și de forma măștii. Exemple de formă de măști cu o deschidere minimă sunt prezentate în Fig. 16.2.1. La dimensiuni mici ale diafragmei, detaliile contrastante ale imaginii sunt mai bine păstrate, dar zgomotul de impuls este suprimat într-o măsură mai mică. Pentru deschideri mari, se observă imaginea opusă. Alegerea optimă a formei deschiderii de netezire depinde de specificul problemei care se rezolvă și de forma obiectelor. Acest lucru este de o importanță deosebită pentru sarcina de a păstra diferențele (marginile ascuțite de luminozitate) în imagini.
Prin imaginea unei picături înțelegem o imagine în care punctele de pe o parte a unei anumite linii au aceeași valoare A, iar toate punctele de pe cealaltă parte a acestei linii sunt valoarea b, b A... Dacă deschiderea filtrului este simetrică față de origine, atunci filtrul median reține orice imagine de margine. Acest lucru se face pentru toate deschiderile de eșantion impare, de ex. cu excepția deschiderilor (cadre pătrate, inele), care nu conțin o origine. Cu toate acestea, ramele pătrate și inelele vor schimba doar puțin scăderea.
w (n) =. (16.2.1)
În acest caz, valoarea x i corespunde unei mapări de la stânga la dreapta și de sus în jos a unei ferestre 3 × 3 într-un vector unidimensional, așa cum se arată în Fig. 16.2.2.
Elementele acestui vector, precum și pentru filtrul median unidimensional, pot fi, de asemenea, ordonate într-o serie în ordinea crescătoare sau descrescătoare a valorilor lor:
r (n) =, (16.2.2)
se determină valoarea mediană y (n) = med (r (n)), iar citirea centrală a măștii este înlocuită cu valoarea mediană. Dacă, după tipul de mască, eșantionul central nu este inclus în numărul rândului 16.2.1, atunci valoarea mediană este sub forma valorii medii a celor două eșantioane centrale din rândul 16.2.2.
Expresiile de mai sus nu explică cum să găsiți semnalul de ieșire în apropierea punctelor de capăt și de limită în secvențele și imaginile de final. Un truc simplu este să găsiți mediana doar a acelor puncte din imagine care se încadrează în diafragma. Prin urmare, pentru punctele situate în apropierea limitelor, medianele vor fi determinate pe baza unui număr mai mic de puncte.
În fig. 16.2.3 prezintă un exemplu de curățare a unei imagini zgomotoase cu filtrul median Chernenko / 2i /. Zgomotul imaginii în zonă a fost de 15%; pentru curățare, filtrul a fost aplicat de 3 ori succesiv.
Filtre 2D adaptive. Contradicția în dependența gradului de suprimare a zgomotului și de distorsiune a semnalului de deschiderea filtrului este oarecum netezită atunci când se utilizează filtre cu o dimensiune dinamică a măștii, cu adaptarea dimensiunii diafragmei la natura imaginii. În filtrele adaptive, deschiderile mari sunt utilizate în zonele monotone ale semnalului procesat (suprimare mai bună a zgomotului), iar deschiderile mici în apropierea neomogenităților, păstrându-și caracteristicile, în timp ce dimensiunea ferestrei glisante a filtrului este setată în funcție de distribuția luminozității pixelilor în masca de filtru. Ele se bazează, de regulă, pe analiza luminozității din vecinătatea punctului central al măștii de filtru.
Cei mai simpli algoritmi pentru modificarea dinamică a deschiderii unui filtru care este simetric de-a lungul ambelor axe funcționează de obicei conform unui factor de luminanță de prag S prag = dat pe baza datelor empirice. La fiecare poziție curentă a măștii din imagine, procesul iterativ începe cu dimensiunea minimă a deschiderii. Valorile abaterii luminozității pixelilor vecini A (r, n), care intră în fereastra de dimensiune (n x n), în raport cu luminozitatea referinței centrale A (r) sunt calculate prin formula:
S n (r) = | A (r, n) / A (r) - 1 |. (16.2.3)
Criteriul conform căruia se mărește dimensiunea măștii cu numărătoarea centrală r și se efectuează următoarea iterație are forma:
max< S порог. (16.2.4)
Dimensiunea maximă a măștii (numărul de iterații) este de obicei limitată. Pentru măștile nepătrate cu dimensiuni (n x m), iterațiile pot fi calculate cu o creștere separată a parametrilor n și m, precum și cu o schimbare a formei măștilor în timpul procesului de iterație.
Filtre clasificate ... În ultimele două decenii, algoritmi neliniari bazați pe statistici de rang s-au dezvoltat activ în procesarea imaginilor digitale pentru recuperarea imaginilor deteriorate de diferite modele de zgomot. Astfel de algoritmi vă permit să evitați distorsiunile suplimentare ale imaginii atunci când eliminați zgomotul, precum și să îmbunătățiți semnificativ rezultatele filtrelor pe imaginile cu un grad ridicat de zgomot.
Esența statisticilor de rang constă de obicei în faptul că rândul 16.2.1 nu include eșantionul central al măștii de filtru, iar rândul 16.2.2 este utilizat pentru a calcula valoarea lui m (n). Pentru N = 3, conform Fig. 16.2.2:
m (n) = (x 4 (n) + x 5 (n)) / 2. (16.2.5)
Calculul valorii de ieșire a filtrului, care înlocuiește proba centrală, se realizează folosind formula:
y (n) = x (n) + (1-) m (n). (16.2.6)
Valoarea coeficientului de încredere este asociată cu o anumită dependență de statisticile eșantioanelor din fereastra de filtrare (de exemplu, varianța totală a eșantioanelor, varianța diferențelor x (n) -xi (n) sau m (n) -xi (n), varianța diferențelor pozitive și negative x (n ) -xi (n) sau m (n) -xi (n), etc.). În esență, valoarea coeficientului ar trebui să precizeze gradul de deteriorare a referinței centrale și, în consecință, gradul de împrumut pentru corectarea acestuia valoarea din eșantioanele m (n). Alegerea funcției statistice și natura dependenței coeficientului de aceasta poate fi destul de diversă și depinde atât de dimensiunea diafragmei filtrului, cât și de natura imaginilor și a zgomotului.
- Filtrarea mediană este neliniară, deoarece mediana sumei a două secvențe arbitrare nu este egală cu suma medianelor acestora, ceea ce în unele cazuri poate complica analiza matematică a semnalelor.
- Filtrul cauzează aplatizarea vârfurilor funcțiilor triunghiulare.
- Reducerea zgomotului alb și gaussian este mai puțin eficientă decât filtrele de linie. Eficiența slabă este de asemenea observată la filtrarea zgomotului de fluctuație.
- Pe măsură ce dimensiunea ferestrei de filtru crește, schimbările abrupte ale semnalului și salturile sunt neclare.
Dezavantajele metodei pot fi reduse prin aplicarea filtrarii mediane cu redimensionare adaptiva a ferestrei de filtru in functie de dinamica semnalului si de natura zgomotului (filtrare mediana adaptativa). Ca criteriu pentru dimensiunea ferestrei, puteți utiliza, de exemplu, abaterea valorilor eșantioanelor învecinate față de eșantionul clasat central / 1i /. Pe măsură ce această valoare scade sub un anumit prag, dimensiunea ferestrei crește.
16.2. FILTRAREA MEDIANA A IMAGINILOR.
Zgomot în imagini. Niciun sistem de înregistrare nu oferă calitatea ideală a imaginii obiectelor studiate. Imaginile aflate în procesul formării lor de către sisteme (fotografice, holografice, televiziune) sunt de obicei expuse la diverse interferențe sau zgomote aleatorii. O provocare fundamentală în procesarea imaginilor este eliminarea eficientă a zgomotului, păstrând în același timp detaliile imaginii care sunt importante pentru recunoașterea ulterioară. Complexitatea rezolvării acestei probleme depinde în mod semnificativ de natura zgomotului. Spre deosebire de distorsiunile deterministe, care sunt descrise prin transformări funcționale ale imaginii originale, modelele de zgomot aditiv, impulsiv și multiplicativ sunt folosite pentru a descrie efecte aleatorii.
Cel mai comun tip de interferență este zgomotul aditiv aleatoriu, care este independent din punct de vedere statistic de semnal. Modelul de zgomot aditiv este utilizat atunci când semnalul de la ieșirea sistemului sau la o anumită etapă a transformării poate fi considerat ca suma semnalului util și a unui semnal aleator. Modelul de zgomot aditiv descrie bine efectul granulației filmului, zgomotul de fluctuație în sistemele radio, zgomotul de cuantizare în convertoare analog-digitale etc.
Zgomotul Gaussian aditiv se caracterizează prin adăugarea de valori cu o distribuție normală și o medie zero la fiecare pixel dintr-o imagine. Acest zgomot este introdus de obicei în timpul etapei de imagistică digitală. Informația principală din imagini este purtată de contururile obiectelor. Filtrele clasice de linie pot elimina eficient zgomotul statistic, dar gradul de estompare a detaliilor mici din imagine poate depăși valorile acceptabile. Pentru a rezolva această problemă se folosesc metode neliniare, de exemplu, algoritmi bazați pe difuzia anizotropă a lui Perron și Malik, filtre bilaterale și trilaterale. Esența unor astfel de metode este de a folosi estimări locale adecvate pentru a determina conturul imaginii și pentru a netezi astfel de zone în cel mai mic grad.
Zgomotul de impuls este caracterizat prin înlocuirea unora dintre pixelii din imagine cu valori de o valoare fixă sau aleatorie. În imagine, un astfel de zgomot apare ca puncte de contrast izolate. Zgomotul de impuls este tipic pentru dispozitivele de intrare a imaginii de la o cameră de televiziune, sistemele de transmitere a imaginilor prin canale radio, precum și pentru sistemele digitale de transmitere și stocare a imaginilor. Pentru a elimina zgomotul de impuls, se folosește o clasă specială de filtre neliniare bazate pe statistici de rang. Ideea generală a unor astfel de filtre este de a detecta poziția pulsului și de a o înlocui cu o valoare estimată, păstrând restul pixelilor imaginii neschimbați.
Filtre bidimensionale. Filtrarea mediană a imaginilor este cea mai eficientă atunci când zgomotul din imagine este impulsiv și reprezintă un set limitat de vârfuri pe un fundal de zerouri. Ca urmare a aplicării filtrului median, pantele și scăderile accentuate ale valorilor de luminozitate din imagini nu se modifică. Aceasta este o proprietate foarte utilă mai ales pentru imaginile pe care, după cum știți, contururile poartă informația principală.
| Orez. 16.2.1. |
Cu filtrarea mediană a imaginilor zgomotoase, gradul de netezire a contururilor obiectelor depinde direct de dimensiunea deschiderii filtrului și de forma măștii. Exemple de formă de măști cu o deschidere minimă sunt prezentate în Fig. 16.2.1. La dimensiuni mici ale diafragmei, detaliile contrastante ale imaginii sunt mai bine păstrate, dar zgomotul de impuls este suprimat într-o măsură mai mică. Pentru deschideri mari, se observă imaginea opusă. Alegerea optimă a formei deschiderii de netezire depinde de specificul problemei care se rezolvă și de forma obiectelor. Acest lucru este de o importanță deosebită pentru sarcina de a păstra diferențele (marginile ascuțite de luminozitate) în imagini.
Prin imaginea unei picături înțelegem o imagine în care punctele de pe o parte a unei anumite linii au aceeași valoare A, iar toate punctele de pe cealaltă parte a acestei linii sunt valoarea b, b¹ A... Dacă deschiderea filtrului este simetrică față de origine și o conține, atunci filtrul median păstrează orice imagine a picăturii. Acest lucru se face pentru toate deschiderile de eșantion impare, de ex. cu excepția deschiderilor (cadre pătrate, inele), care nu conțin originea. Cu toate acestea, ramele pătrate și inelele vor schimba doar puțin scăderea.
 Orez. 16.2.2. |
Pentru a simplifica o analiză suplimentară, ne limităm la exemplul unui filtru cu o mască pătrată de dimensiune N × N, cu N = 3. Filtrul de alunecare se uită prin mostrele de imagine de la stânga la dreapta și de sus în jos, în timp ce secvența bidimensională de intrare este, de asemenea, reprezentată ca un număr secvențial de mostre (x (n)) de la stânga la dreapta de sus în jos. Din această secvență, în fiecare punct curent, masca de filtru extrage matricea w (n) ca vector de elemente W, care în acest caz conține toate elementele din fereastra 3 × 3 centrată în jurul x (n) și centrala elementul în sine, dacă este prevăzut tip de mască:
w (n) =. (16.2.1)
În acest caz, valoarea x i corespunde unei mapări de la stânga la dreapta și de sus în jos a unei ferestre 3 × 3 într-un vector unidimensional, așa cum se arată în Fig. 16.2.2.
Elementele acestui vector, precum și pentru filtrul median unidimensional, pot fi, de asemenea, ordonate într-o serie în ordinea crescătoare sau descrescătoare a valorilor lor:
r (n) =, (16.2.2)
se determină valoarea mediană y (n) = med (r (n)), iar citirea centrală a măștii este înlocuită cu valoarea mediană. Dacă, după tipul de mască, eșantionul central nu este inclus în numărul rândului 16.2.1, atunci valoarea mediană este sub forma valorii medii a celor două eșantioane centrale din rândul 16.2.2.
Expresiile de mai sus nu explică cum să găsiți semnalul de ieșire în apropierea punctelor de capăt și de limită în secvențele și imaginile de final. Un truc simplu este să găsiți mediana doar a acelor puncte din imagine care se încadrează în diafragma. Prin urmare, pentru punctele situate în apropierea limitelor, medianele vor fi determinate pe baza unui număr mai mic de puncte.
În fig. 16.2.3 prezintă un exemplu de curățare a unei imagini zgomotoase cu filtrul median Chernenko / 2i /. Zgomotul imaginii în zonă a fost de 15%; pentru curățare, filtrul a fost aplicat de 3 ori succesiv.
  Orez. 16.1.5. |
Filtrarea mediană poate fi efectuată și într-o versiune recursivă, în care valorile de deasupra și din stânga eșantionului central din mască (în acest caz, x 1 (n) -x 4 (n) în Fig. 16.2. 2) în seria 16.2.1 se înlocuiesc cu valorile y 1 (n) -y 4 (n) calculate în ciclurile precedente.
Filtre 2D adaptive. Contradicția în dependența gradului de suprimare a zgomotului și de distorsiune a semnalului de deschiderea filtrului este oarecum netezită atunci când se utilizează filtre cu o dimensiune dinamică a măștii, cu adaptarea dimensiunii diafragmei la natura imaginii. În filtrele adaptive, deschiderile mari sunt utilizate în zonele monotone ale semnalului procesat (suprimare mai bună a zgomotului), iar deschiderile mici în apropierea neomogenităților, păstrându-și caracteristicile, în timp ce dimensiunea ferestrei glisante a filtrului este setată în funcție de distribuția luminozității pixelilor în masca de filtru. Ele se bazează, de regulă, pe analiza luminozității din vecinătatea punctului central al măștii de filtru.
Cei mai simpli algoritmi pentru modificarea dinamică a deschiderii unui filtru care este simetric de-a lungul ambelor axe funcționează de obicei conform unui coeficient de luminanță de prag S prag = dat pe baza datelor empirice. La fiecare poziție curentă a măștii din imagine, procesul iterativ începe cu dimensiunea minimă a deschiderii. Valorile abaterii luminozității pixelilor vecini A (r, n), care intră în fereastra de dimensiune (n x n), în raport cu luminozitatea referinței centrale A (r) sunt calculate prin formula:
S n (r) = | A (r, n) / A (r) - 1 |. (16.2.3)
Criteriul conform căruia se mărește dimensiunea măștii cu numărătoarea centrală r și se efectuează următoarea iterație are forma:
max< S порог. (16.2.4)
Dimensiunea maximă a măștii (numărul de iterații) este de obicei limitată. Pentru măștile nepătrate cu dimensiuni (n x m), iterațiile pot fi calculate cu o creștere separată a parametrilor n și m, precum și cu o schimbare a formei măștilor în timpul procesului de iterație.
Filtre clasificate ... În ultimele două decenii, algoritmi neliniari bazați pe statistici de rang s-au dezvoltat activ în procesarea imaginilor digitale pentru recuperarea imaginilor deteriorate de diferite modele de zgomot. Astfel de algoritmi vă permit să evitați distorsiunile suplimentare ale imaginii atunci când eliminați zgomotul, precum și să îmbunătățiți semnificativ rezultatele filtrelor pe imaginile cu un grad ridicat de zgomot.
Esența statisticilor de rang constă de obicei în faptul că rândul 16.2.1 nu include eșantionul central al măștii de filtru, iar rândul 16.2.2 este utilizat pentru a calcula valoarea lui m (n). Pentru N = 3, conform Fig. 16.2.2:
m (n) = (x 4 (n) + x 5 (n)) / 2. (16.2.5)
Calculul valorii de ieșire a filtrului, care înlocuiește proba centrală, se realizează folosind formula:
y (n) = a x (n) + (1-a) m (n). (16.2.6)
Valoarea coeficientului de încredere a este asociată cu o anumită relație cu statisticile eșantioanelor din fereastra de filtrare (de exemplu, varianța totală a eșantioanelor, varianța diferențelor x (n) -xi (n) sau m (n) -xi (n), varianța diferențelor pozitive și negative x (n ) -xi (n) sau m (n) -xi (n), etc.). În esență, valoarea coeficientului a ar trebui să precizeze gradul de deteriorare a referinței centrale și, în consecință, gradul de împrumut pentru corectarea acestuia valoarea din eșantioanele m (n). Alegerea funcției statistice și natura dependenței coeficientului a de aceasta poate fi destul de diversă și depinde atât de dimensiunea diafragmei filtrului, cât și de natura imaginilor și a zgomotului.
literatură
44. Bolshakov I.A., Rakoshits V.S. Teoria aplicată a fluxurilor aleatoare, Moscova: Sov. radio, 1978, - 248s.
46. Huang T.S. și alți algoritmi rapidi în procesarea digitală a imaginilor. - M .: Radio şi comunicare, 1984 .-- 224 p.
47. Soifer V.A. Procesarea imaginilor pe computer. Partea 2. Metode și algoritmi. - Jurnal Educaţional Soros Nr. 3, 1996.
48. Apalkov I.V., Hryashchev V.V. Eliminarea zgomotului din imagini pe baza algoritmilor neliniari folosind statistici de rang. - Universitatea de Stat din Iaroslavl, 2007.
1i. Yarovoy N.I. Filtrare mediană adaptivă. - http://www.controlstyle.ru/articles/science/text/amf/
2i. Chernenko S.A. Filtru median. - http://www.logis-pro.kiev.ua/math_power_medianfilter_ru.html.
3i. Yu.S. Radcenko Eficiența recepției semnalului pe fondul interferențelor combinate cu procesare suplimentară în filtrul median. - „Journal of Radio Electronics”, nr. 7, 2001. / http://jre.cplire.ru/iso/jul01/2/text.html
Despre erori observate și sugestii pentru completări: [email protected]
Copyright © 2008 Davydov A.V.
Filtrarea mediană este o tehnică de procesare a semnalului neliniară dezvoltată de Tukey. Această metodă este utilă pentru suprimarea zgomotului dintr-o imagine. Filtrul median unidimensional este o fereastră glisantă care acoperă un număr impar de elemente de imagine. Elementul central este înlocuit cu mediana tuturor elementelor din fereastră. Mediana unei secvențe discrete pentru un impar N este acel element pentru care există elemente mai mici sau egale ca mărime și elemente mai mari sau egale ca mărime.
Lasă elementele imaginii cu nivelurile 80, 90, 200, 110 și 120 să cadă în fereastră; în acest caz, elementul central ar trebui înlocuit cu o valoare de 110, care este mediana secvenței ordonate 80, 90, 110, 200. Dacă, în acest exemplu, valoarea 200 este un vârf de zgomot într-o secvență crescătoare monoton , atunci filtrarea mediană va oferi o îmbunătățire semnificativă. Dimpotrivă, dacă valoarea de 200 corespunde unui impuls de semnal util (când se folosesc senzori de bandă largă), atunci procesarea va duce la o pierdere a clarității imaginii reproduse. Astfel, filtrul median în unele cazuri asigură suprimarea zgomotului, în altele determină suprimarea semnalului nedorit.
Luați în considerare efectul filtrelor mediane și de mediere (netezire) cu o fereastră cu cinci elemente asupra semnalelor discrete în trepte, dinți de ferăstrău, puls și triunghiulare (Fig. 4.23). Din aceste diagrame, se poate observa că filtrul median nu afectează funcțiile de treaptă sau rampă, ceea ce este de obicei o proprietate de dorit. Cu toate acestea, acest filtru suprimă semnalele de impuls, a căror durată
este mai mică de jumătate din lățimea ferestrei. De asemenea, filtrul aplatizează vârful funcției triunghiulare.
Posibilitățile de analiză a acțiunii filtrului median sunt limitate. Se poate arăta că mediana produsului dintre o constantă și o secvență este:
În plus,
Cu toate acestea, mediana sumei a două secvențe arbitrare și nu este egală cu suma medianelor lor:
Această inegalitate poate fi verificată prin exemplul secvențelor 80, 90, 100, 110, 120 și 80, 90, 100, 90, 80.
Sunt posibile diferite strategii de aplicare a filtrului median pentru a suprima zgomotul. Se recomandă să începeți cu un filtru median care se întinde pe trei elemente de imagine. Dacă atenuarea semnalului este neglijabilă, fereastra filtrului este extinsă la cinci elemente. Acest lucru se face până când filtrarea mediană face mai mult rău decât bine.
O altă posibilitate este de a efectua filtrarea mediană în cascadă a semnalului folosind o lățime de fereastră fixă sau variabilă. În general,
unele dintre zonele care rămân neschimbate după un singur tratament cu filtru nu se modifică după tratament repetat. Regiunile în care durata semnalelor pulsate este mai mică de jumătate din lățimea ferestrei vor suferi modificări după fiecare ciclu de procesare.
Conceptul de filtru median poate fi generalizat cu ușurință la două dimensiuni prin aplicarea unei ferestre 2D de forma dorită, cum ar fi dreptunghiulară sau aproape circulară. Evident, un filtru median cu fereastră bidimensional asigură o suprimare mai bună a zgomotului decât filtrele mediane cu fereastră unidimensionale aplicate succesiv orizontale și verticale. Procesarea 2D, totuși, are ca rezultat o atenuare mai semnificativă a semnalului.
Procesarea semnalelor digitale
Subiectul 16. Filtrele mediane
Cine știe discrepanța mereu prezentă între ceea ce caută o persoană și ceea ce găsește?
Nicolò Machiavelli. politician italian, istoric. 1469-1527 g.
Când aveți de-a face cu orientarea de mijloc, fiți de două ori atenți. Socialismul a pretins și el a fi un paradis mediu pentru toți, iar la final a primit o baracă mizerabilă.
Ernst Trubov. geofizician Ural. secolul XX
Introducere.
1. Filtrarea mediană a semnalelor unidimensionale. Principiul de filtrare. Filtre unidimensionale. Suprimarea zgomotului statistic. Puls și zgomote punctiforme. Diferența plus zgomot. Funcții de covarianță. Conversia statisticilor de zgomot. Proprietățile de frecvență ale filtrului. Varietăți de filtre mediane. Avantajele filtrelor mediane. Dezavantajele filtrelor mediane.
2. Filtrarea mediană a imaginilor. Zgomot în imagini. Filtre bidimensionale. Filtre 2D adaptive. Filtre pe baza statisticilor de clasare.
Introducere
Filtrele mediane sunt adesea folosite în practică ca mijloc de preprocesare a datelor digitale. O caracteristică specifică a filtrelor este selectivitatea clar pronunțată în ceea ce privește elementele de matrice, care sunt o componentă nemonotonă a unei secvențe de numere în cadrul ferestrei de filtru (apertura) și ies în evidență puternic pe fundalul eșantioanelor învecinate. În același timp, filtrul median nu afectează componenta monotonă a secvenței, lăsând-o neschimbată. Datorită acestei caracteristici, filtrele mediane cu o deschidere selectată optim pot, de exemplu, să mențină marginile ascuțite ale obiectelor fără distorsiuni, suprimând eficient zgomotul necorelat sau slab corelat și detaliile de dimensiuni mici. Această proprietate vă permite să aplicați filtrarea mediană pentru a elimina valorile anormale din seturile de date, pentru a reduce valorile aberante și zgomotul de impuls. O trăsătură caracteristică a filtrului median este neliniaritatea acestuia. În multe cazuri, utilizarea unui filtru median se dovedește a fi mai eficientă decât filtrele liniare, deoarece procedurile de procesare liniară sunt optime cu o distribuție uniformă sau gaussiană a zgomotului, ceea ce poate să nu fie cazul în semnalele reale. În cazurile în care pantele valorilor semnalului sunt mari în comparație cu varianța zgomotului alb aditiv, filtrul median oferă o valoare mai mică a erorii pătratice medii în comparație cu filtrele liniare optime. Filtrul median se dovedește a fi deosebit de eficient la curățarea semnalelor de zgomotul de impuls în timpul procesării imaginii, semnalelor acustice, transmiterii semnalelor de cod etc. Cu toate acestea, studiile detaliate ale proprietăților filtrelor mediane ca mijloc de filtrare a semnalelor de diferite tipuri sunt destul de rare.
16.1. Filtrarea mediană a semnalelor unidimensionale.
Principiul de filtrare. Medianele au fost mult timp folosite și studiate în statistică ca alternativă la valorile medii aritmetice ale eșantioanelor în estimarea mediilor eșantionului. Mediana unei secvențe numerice x 1, x 2, ..., x n pentru un n impar este membrul mediu al seriei obținute prin ordonarea acestei secvențe în ordine crescătoare (sau descrescătoare). Pentru n chiar, mediana este definită de obicei ca media aritmetică a celor două medii ale șirului ordonat.
Filtrul median este un filtru de fereastră care alunecă secvenţial peste matricea de semnal şi returnează la fiecare pas unul dintre elementele care cad în fereastra de filtru (apertura). Semnalul de ieșire yk al unui filtru median glisant cu o lățime de 2n + 1 pentru eșantionul curent k este format din seria de timp de intrare ..., xk -1, xk, xk +1, ... în conformitate cu formula :
y k = med (x k - n, x k - n +1,..., x k -1, x k, x k +1,..., x k + n -1, x k + n), (16.1.1)
unde med (x 1,…, x m,…, x 2n + 1) = x n + 1, x m sunt elementele seriei de variații, i.e. clasate în ordine crescătoare a valorilor xm: x 1 = min (x 1, x 2, ..., x 2n + 1) ≤ x (2) ≤ x (3) ≤… ≤ x 2n + 1 = max (x 1) , x 2 ,…, X 2n + 1).
Astfel, filtrarea mediană înlocuiește valorile eșantionului din centrul deschiderii cu valoarea mediană a probelor originale din deschiderea filtrului. În practică, pentru a simplifica algoritmii de procesare a datelor, deschiderea filtrului este de obicei setată cu un număr impar de mostre, care va fi acceptat în discuția următoare fără explicații suplimentare.
Filtre unidimensionale. Filtrarea mediană este implementată ca o procedură de procesare locală a eșantioanelor într-o fereastră glisantă, care include un anumit număr de eșantioane de semnal. Pentru fiecare poziție de fereastră, mostrele selectate în ea sunt clasate în ordine crescătoare sau descrescătoare. Media raportului în poziția sa în lista clasată se numește mediana grupului de eșantioane considerat. Acest eșantion înlocuiește eșantionul central din fereastra pentru semnalul care este procesat. Din această cauză, filtrul median este unul dintre filtrele neliniare care înlocuiesc punctele și vârfurile anormale cu valoarea mediană, indiferent de valorile lor de amplitudine, și este stabil prin definiție, capabil să anuleze chiar și eșantioane infinit de mari.
Algoritmul de filtrare mediană are o selectivitate pronunțată față de elementele de matrice cu o componentă nemonotonă a secvenței de numere din interiorul deschiderii și exclude cel mai eficient valorile aberante unice din semnale, negative și pozitive, care se încadrează pe marginile listei clasate. Luând în considerare clasamentul din listă, filtrele mediane sunt bune la suprimarea zgomotului și interferențelor, a căror lungime este mai mică de jumătate din fereastră. Un punct stabil este o secvență (într-un caz unidimensional) sau o matrice (într-un caz bidimensional) care nu se modifică cu filtrarea mediană. În cazul unidimensional, punctele stabile ale filtrelor mediane sunt secvențe „local monotone”, pe care filtrul median le lasă neschimbate. Excepție fac unele secvențe binare periodice.
Datorită acestei caracteristici, filtrele mediane cu o deschidere selectată optim pot menține marginile ascuțite ale obiectelor fără distorsiuni, suprimând zgomotul necorelat și slab corelat și detaliile de dimensiuni mici. În condiții similare, algoritmii de filtrare liniară „încețoșează” în mod inevitabil marginile ascuțite și contururile obiectelor. În fig. 1 prezintă un exemplu de procesare a semnalului cu zgomot de impuls prin filtre mediane și triunghiulare cu aceleași dimensiuni de fereastră N = 3. Avantajul filtrului median este evident.
Valorile punctului final ale semnalelor sunt de obicei luate ca condiții inițiale și finale de filtrare, sau mediana este găsită numai pentru acele puncte care se încadrează în deschidere.
Suprimarea zgomotului statistic filtrele mediane, datorită neliniarității lor, sunt de obicei considerate doar la nivel calitativ. De asemenea, este imposibil să distingem clar între influența filtrelor mediane asupra semnalului și a zgomotului.
Dacă valorile elementelor șirului de numere (x i) din deschiderea filtrului sunt variabile aleatoare independente distribuite identic (ICD) cu valoarea medie m
atunci așteptarea matematică este M (z) = 0 și, prin urmare, M (x) = m.
Fie F (x) și f (x) = F "(x) notează funcțiile de distribuție și densitatea de probabilitate a mărimilor x. Conform teoriei probabilităților, distribuția y = med (x 1, ..., xn) pentru n mare este aproximativ normal N (mt, n), unde mt este mediana teoretică determinată din condiția F (mt) = 0,5, în timp ce dispersia distribuției este:
n 2 = 1 / (n 4f 2 (m t)). (16.1.2)
Rezultatele de mai sus sunt valabile atât pentru filtrarea unidimensională, cât și pentru filtrarea bidimensională, dacă n este ales egal cu numărul de puncte din deschiderea filtrului. Dacă f (x) este simetrică față de m, atunci distribuția medianelor va fi, de asemenea, simetrică față de m și, astfel, următoarea formulă este valabilă:
M (med (x 1, ..., x n)) = M (x i) = m.
Dacă variabilele aleatoare x sunt NOD și sunt distribuite uniform pe un segment, atunci puteți găsi valoarea exactă a varianței medianei prin formula:
n 2 = 1 / (4 (n + 2)) = 3 x / (n + 2).
Dacă variabilele aleatoare x sunt independente, distribuite identic cu distribuția normală N (m, ), atunci m t = m. Formula modificată pentru varianța mediei pentru valorile impare mici ale lui n:
g 2 / (2n-2 + ). (16.1.2")
Valoarea varianței de zgomot pentru variabile aleatoare într-o fereastră glisantă n de mediere aritmetică (filtru de ordinul întâi pentru cele mai mici pătrate) are o valoare de 2 / n. Aceasta înseamnă că pentru zgomotul alb normal cu valori egale de n ferestre ale filtrului median și ale filtrului medie mobilă, varianța zgomotului la ieșirea filtrului median este cu aproximativ 57% mai mare decât cea a filtrului medie mobilă. Pentru ca filtrul median să producă aceeași variație ca media rulantă, deschiderea sa trebuie să fie cu 57% mai mare. Trebuie avut în vedere că distorsiunea semnalelor utile, mai ales atunci când există salturi și căderi abrupte în ele, chiar și cu o deschidere mai mare a filtrului median poate fi mai mică decât cea a filtrelor medii în mișcare.
Poziția se modifică dacă densitatea de distribuție a variabilelor aleatoare diferă semnificativ de cea normală și are cozi lungi, care sunt eliminate de filtrul median, care oferă estimarea optimă și cea mai plauzibilă a valorilor semnalului curent la minimul rădăcinii. -aproximaţie pătratică medie. Deci, cu o distribuție exponențială (modulo) a densității zgomotului
f (x) = ( 
/ exp (- 
| x-m | / )
varianța zgomotului după filtrul median este cu 50% mai mică decât după filtrul medie mobilă.
Cazul limitativ al unor astfel de distribuții este zgomotul de impuls, aleatoriu ca amplitudini și loc de apariție, care este suprimat de filtrele mediane cu cea mai mare eficiență.
Zgomote de impuls și puncte
... La înregistrarea, prelucrarea și schimbul de date în sistemele moderne de măsurare, calcul și informații, fluxurile de semnal, pe lângă semnalul util s (t- 0) și zgomotul de fluctuație q (t), conțin, de regulă, fluxuri de impuls g ( t) = 
(t- k) de intensitate variabilă cu structură regulată sau haotică
x (t) = s (t- 0) + g (t) + q (t). (16.1.3)
Zgomotul de impuls se referă la distorsiunea semnalelor prin impulsuri mari de polaritate arbitrară și de scurtă durată. Motivul apariției fluxurilor de impuls poate fi atât interferența electromagnetică de impuls extern, cât și interferența, defecțiunile și interferența în funcționarea sistemelor în sine. Agregatul zgomotului distribuit statistic și fluxul de impuls cvasi-determinist este o interferență combinată. O metodă radicală de a trata interferența combinată este utilizarea codurilor anti-interferențe. Totuși, acest lucru duce la o scădere a vitezei și a complicațiilor sistemelor de recepție și transmisie a datelor. O metodă alternativă simplă, dar destul de eficientă pentru curățarea semnalelor în astfel de condiții este un algoritm în două etape pentru procesarea semnalelor x (t), în care, în prima etapă, impulsurile de zgomot sunt îndepărtate din fluxul x (t), iar în a doua etapă, semnalul este curatat prin filtre de frecventa de zgomotul statistic.semnale distorsionate prin actiunea zgomotului de impuls nu exista o formulare riguroasa (in sens matematic) si rezolvare a problemei de filtrare. Sunt cunoscuți doar algoritmi euristici, dintre care cel mai acceptabil este algoritmul de filtrare mediană.
Să presupunem că zgomotul q (t) este un proces statistic cu așteptare matematică zero, semnalul util s (t- 0) are o poziție de timp necunoscută 0 , iar fluxul de impulsuri de zgomot g (t) are forma:
g (t) = 
k a k g (t- k), (16.1.4)
unde a k este amplitudinea impulsurilor în flux, k este poziția temporală necunoscută a impulsurilor, k = 1 cu probabilitatea p k și k = 0 cu probabilitatea 1-p k. Această setare a zgomotului de impuls corespunde fluxului Bernoulli / 44 /.
Atunci când este aplicat fluxului x (t), filtrarea mediană glisantă cu o fereastră de N eșantioane (N este impar), filtrul median elimină complet impulsurile individuale distanțate la cel puțin jumătate din deschiderea filtrului și suprimă zgomotul de impuls dacă numărul de impulsuri în interiorul deschiderea nu depășește (N-1) / 2. În acest caz, cu p k = p pentru toate impulsurile de interferență, probabilitatea de suprimare a interferenței poate fi determinată prin expresia / 3i /:
R (p) = 
p m (1-p) N - p. (16.1.5)
Dacă probabilitatea de eroare nu este foarte mare, atunci filtrarea medie, chiar și cu o deschidere suficient de mică, va reduce semnificativ numărul de erori. Eficiența eliminării impulsurilor de zgomot crește odată cu creșterea deschiderii filtrului, dar, în același timp, poate crește și distorsiunea semnalului util.
Diferența plus zgomot. Luați în considerare filtrarea marginilor în prezența zgomotului alb aditiv, și anume, secvențe de filtrare sau imagini, cu
În fig. 16.1.4 arată o succesiune de valori medii ale medianelor și o medie mobilă lângă o picătură cu o înălțime de h = 5 la n = 3. Valorile medii mobile urmează o linie înclinată, ceea ce indică faptul că picătura este mânjită. Comportamentul așteptării matematice a valorilor mediane indică, de asemenea, o oarecare neclaritate, deși mult mai puțin decât pentru media mobilă.
Dacă folosim măsura erorii pătratice medii (RMSE), mediată pe N puncte în apropierea picăturii și calculăm valorile RMS în funcție de valorile lui h, atunci este ușor să o remediați pentru valori mici de h<2 СКО для скользящего среднего немного меньше, чем для медианы, но при h>3 Abaterea standard a mediei este semnificativ mai mică decât abaterea standard a mediei. Acest rezultat arată că mediana în mișcare este semnificativ mai bună decât media în mișcare pentru leagănele la altitudine mare. Rezultate similare pot fi obținute pentru deschiderea n = 5 și pentru filtrarea bidimensională cu deschideri 3x3 și 5x5. Astfel, așteptările matematice ale mediei pentru h mic sunt apropiate de așteptările matematice pentru mediile corespunzătoare, dar pentru h mare sunt mărginite asimptotic. Acest lucru se explică prin faptul că pentru h mare (să zicem, h> 4) variabilele x cu o valoare medie de 0 (pentru acest exemplu) vor fi puternic separate de variabilele x cu o medie h.
Măsura de precizie utilizată poate caracteriza doar claritatea în picătură și nu spune nimic despre netezimea imaginii filtrate de-a lungul picăturii. Media glisantă oferă semnale care sunt netede de-a lungul marginii, în timp ce atunci când sunt procesate cu filtrul median, marginile extinse sunt ușor zimțate.
Funcții de covarianță cu zgomot alb la intrare. Funcțiile de autocorelare normalizate ale semnalelor de ieșire ale filtrelor mediană și medie sunt similare între ele. Asemănarea funcțiilor de corelație se explică într-o oarecare măsură prin corelația relativ mare dintre mediană și medie, care ajunge la 0,8 la n mare.
Formula aproximativă pentru funcția de autocovarianță pentru secvența mediană filtrată este dată de:
K () = 2 / (n + ( / 2) -1)) 
(1- | j | / n) arcsin ( (j + )). (16.1.6)
Mediana în mișcare aproape că nu netezește procesele care se comportă la intervale mari, ca funcții de forma x i = (-1) i y. Într-adevăr, forma secvenței de intrare x i = (-1) i y va fi lăsată neschimbată de filtrul median, deși pentru unele valori ale lui n va fi deplasată cu un pas. Media glisante are un efect mare de netezire asupra unui astfel de proces, deoarece fluctuațiile regulate ale valorilor lui x sunt complet eliminate. În general, ne-am putea aștepta că formulele aproximative pentru funcțiile de covarianță mediană în mișcare vor fi utile numai pentru secvențele pe care filtrele mediane acționează în același mod ca media mobilă. În cazul secvențelor foarte oscilante și al secvențelor de leagăne, nu ar trebui să vă așteptați la mare beneficiu de la ele.
Conversia statisticilor de zgomot. Filtrarea mediană este o operație neliniară asupra procesului de intrare, care, împreună cu eliminarea zgomotului de impuls, modifică și distribuția zgomotului statistic q (t), care poate fi nedorit pentru construirea filtrelor ulterioare. Calculul analitic al transformării statisticilor de zgomot este dificil din cauza dezvoltării slabe a aparatului matematic corespunzător.
Orez. 16.1.5. Histograme ale semnalelor de zgomot.
În fig. 16.1.5 prezintă exemple de filtrare mediană a semnalelor de zgomot model cu distribuție Gaussiană și uniformă pentru diferite lățimi ale ferestrei de filtru. După cum reiese din aceste grafice, în timpul filtrării, suprimarea predominantă a semnalelor de zgomot cu abateri mari ale citirilor de la valoarea medie are loc cu o scădere a standardului (RMSD - root-mean-square deviation) al distribuției. Scăderea standardului este mai mare, cu atât fereastra de filtru este mai mare. Aceasta determină, de asemenea, transformarea formei distribuției zgomotului uniform de ieșire (precum și a altor distribuții de zgomot) în gaussian pe măsură ce dimensiunea ferestrei filtrului crește.
O scădere a numărului de abateri mari de zgomot de la valoarea medie a zgomotului duce, de asemenea, la o modificare a spectrului de zgomot și la o anumită suprimare a componentelor sale de înaltă frecvență, care se află mai mult în „cozile” distribuțiilor de zgomot. Acest lucru poate fi văzut în Fig. 16.1.7 privind spectrele de densitate de putere ale semnalelor de intrare și de ieșire.
Proprietățile filtrului de frecvență ... Pentru a descrie filtrele de linie, se utilizează răspunsul la impuls la un singur impuls, la o funcție în trepte și funcțiile de transfer de frecvență în domeniul de frecvență principal. Deoarece filtrul median elimină impulsurile individuale și păstrează picăturile, putem spune că răspunsul la impuls al filtrului este zero, iar răspunsul la funcția de treaptă este 1. În ceea ce privește răspunsul în frecvență al filtrului, datorită neliniarității filtrul, nu poate fi reprezentat ca nicio funcție deterministă a deschiderii și frecvenței. Într-o oarecare măsură, putem vorbi despre răspunsul filtrului la funcțiile cosinus, care diferă semnificativ și pentru frecvențele joase și înalte ale domeniului de frecvență principal și faza armonicilor din deschiderea filtrului, ceea ce poate fi văzut în Fig. 16.1.9.
Orez. 16.1.9.
Simularea arată că pentru frecvențele joase, când perioada armonică este mult mai mare decât fereastra de deschidere a filtrului, mediana mobilă și media mobilă au caracteristici similare, coeficientul de transfer K p al semnalelor cu un singur ton este 1. Pe măsură ce frecvența armonică crește și în funcție de faza semnalului în deschiderea filtrului, distorsiunea semnalului la valori extreme (subestimarea valorilor extreme), iar valoarea K p începe să scadă. Când valoarea deschiderii filtrului median devine proporțională cu perioada semnalului, în spectrul semnalului de ieșire apar armonici „false”, cauzate de interferența frecvenței semnalului de intrare cu frecvența de eșantionare a acestuia (grafice mai mici din figură). 16.1.9).
Orez. 16.1.10. Filtrarea mediană a semnalelor multiton
Pentru semnalele de intrare cu mai multe tonuri, frecvențele armonice încep, de asemenea, să interfereze între ele, ceea ce duce la apariția a numeroase armonici false de înaltă frecvență (graficele superioare din Fig.16.1.10) și dacă armonicile de înaltă frecvență sunt prezente în semnalul de intrare, coeficienții de transmisie ai armonicilor de joasă frecvență sunt de asemenea distorsionați (grafice mai mici pe figură), adică. răspunsurile în frecvență pentru funcțiile armonice simple nu corespund caracteristicilor de transfer pentru semnalele arbitrare care sunt suma funcțiilor cosinus, deoarece funcțiile de transfer devin brusc neregulate din cauza interferenței diferitelor frecvențe.Modelul de interferență de frecvență depinde și de faza armonicilor, ceea ce sporește neregularitatea rezultatelor finale și este clar vizibil în Fig. 16.1.11 pentru diverse realizări aleatorii ale fazei armonice. Pe măsură ce dimensiunea deschiderii filtrului crește, crește neregularitatea transmisiei filtrului.
Orez. 16.1.11.
Varietăți de filtre mediane.Filtre mediane ponderate folosit atunci când se dorește să se acorde mai multă greutate punctelor centrale. Acest lucru se realizează prin repetarea de k i ori a fiecărui set de probe în deschiderea filtrului. Deci, de exemplu, pentru n = 3 și k -1 = k 1 = 2, k 0 = 3, mediana ponderată a seriei numerice de intrare este calculată folosind formula:
y i = med (x i - 1, x i - 1, x 0, x 0, x 0, x 1, x 1).
O astfel de secvență întinsă păstrează, de asemenea, căderile de semnal și, în anumite condiții, permite o suprimare crescută a variației zgomotului statistic în semnal. Niciunul dintre factorii de ponderare k i nu ar trebui să fie semnificativ mai mare decât toți ceilalți.
Filtre mediane iterative se realizează prin repetarea secvenţială a filtrării mediane. Dacă deschiderea unei singure filtrari mediane păstrează picăturile semnalului, atunci acestea sunt păstrate atunci când filtrul este aplicat iterativ până când modificările semnalului filtrat se opresc, iar rezultatul final diferă semnificativ de aplicarea iterativă a unei medii mobile, unde se obţine o secvenţă de numere constantă în limită. Când utilizați filtre iterative, puteți modifica deschiderea filtrului la fiecare pas de iterație.
Avantajele filtrelor mediane.
Structură simplă de filtrare atât pentru implementarea hardware, cât și pentru software.
Filtrul nu modifică funcțiile de rampă și rampă.
Filtrul este bun la suprimarea zgomotului de un singur impuls și a vârfurilor de zgomot aleatorii din probe.
Dezavantajele filtrelor mediane.
Filtrarea mediană este neliniară, deoarece mediana sumei a două secvențe arbitrare nu este egală cu suma medianelor acestora, ceea ce în unele cazuri poate complica analiza matematică a semnalelor.
Filtrul cauzează aplatizarea vârfurilor funcțiilor triunghiulare.
Reducerea zgomotului alb și gaussian este mai puțin eficientă decât filtrele de linie. Eficiența slabă este de asemenea observată la filtrarea zgomotului de fluctuație.
Pe măsură ce dimensiunea ferestrei de filtru crește, schimbările abrupte ale semnalului și salturile sunt neclare.
Dezavantajele metodei pot fi reduse prin aplicarea filtrarii mediane cu redimensionare adaptiva a ferestrei de filtru in functie de dinamica semnalului si de natura zgomotului (filtrare mediana adaptativa). Ca criteriu pentru dimensiunea ferestrei, puteți utiliza, de exemplu, abaterea valorilor eșantioanelor învecinate față de eșantionul clasat central / 1i /. Pe măsură ce această valoare scade sub un anumit prag, dimensiunea ferestrei crește.
1. Termeni de referință
Zgomot gaussian - „gaussian”
Imagine originală.
Principiul de filtrare.
Medianele au fost mult timp folosite și studiate în statistică ca alternativă la valorile medii aritmetice ale eșantioanelor în estimarea mediilor eșantionului. Mediana unei secvențe numerice x 1, x 2, ..., x n pentru un n impar este membrul mediu al seriei obținute prin ordonarea acestei secvențe în ordine crescătoare (sau descrescătoare). Pentru n chiar, mediana este definită de obicei ca media aritmetică a celor două medii ale șirului ordonat.
Filtrul median este un filtru de fereastră care alunecă secvenţial peste matricea de semnal şi returnează la fiecare pas unul dintre elementele care cad în fereastra de filtru (apertura). Semnalul de ieșire yk al unui filtru median glisant cu o lățime de 2n + 1 pentru eșantionul curent k este format din seria de timp de intrare ..., xk -1, xk, xk +1, ... în conformitate cu formula :
y k = med (x k - n, x k - n + 1,..., x k -1, x k, x k +1,..., x k + n-1, x k + n),
unde med (x 1,…, x m,…, x 2n + 1) = x n + 1, x m sunt elementele seriei de variații, i.e. clasate în ordine crescătoare a valorilor xm: x 1 = min (x 1, x 2, ..., x 2n + 1) ≤ x (2) ≤ x (3) ≤… ≤ x 2n + 1 = max (x 1) , x 2 ,…, X 2n + 1).
Astfel, filtrarea mediană înlocuiește valorile eșantionului din centrul deschiderii cu valoarea mediană a probelor originale din deschiderea filtrului. În practică, pentru a simplifica algoritmii de procesare a datelor, deschiderea filtrului este de obicei setată cu un număr impar de mostre, care va fi acceptat în discuția următoare fără explicații suplimentare.
Zgomote de impuls și puncte
La înregistrarea, prelucrarea și schimbul de date în sistemele moderne de măsurare, calcul și informații, fluxurile de semnal, pe lângă semnalul util s (tt 0) și zgomotul de fluctuație q (t), conțin, de regulă, fluxuri de impulsuri g (t) = d (tt k) de diferite intensități cu o structură regulată sau haotică:
x (t) = s (t-t 0) + g (t) + q (t).
Zgomotul de impuls se referă la distorsiunea semnalelor prin impulsuri mari de polaritate arbitrară și de scurtă durată. Motivul apariției fluxurilor de impuls poate fi atât interferența electromagnetică de impuls extern, cât și interferența, defecțiunile și interferența în funcționarea sistemelor în sine. Agregatul zgomotului distribuit statistic și fluxul de impuls cvasi-determinist este o interferență combinată. O metodă radicală de a trata interferența combinată este utilizarea codurilor anti-interferențe. Totuși, acest lucru duce la o scădere a vitezei și a complicațiilor sistemelor de recepție și transmisie a datelor. O metodă alternativă simplă, dar destul de eficientă pentru curățarea semnalelor în astfel de condiții este un algoritm în două etape pentru procesarea semnalelor x (t), în care, în prima etapă, impulsurile de zgomot sunt îndepărtate din fluxul x (t), iar în a doua etapă, semnalul este curățat prin filtre de frecvență de zgomotul statistic. Pentru semnalele distorsionate de acțiunea zgomotului de impuls, nu există o formulare riguroasă (în sens matematic) și o soluție a problemei de filtrare. Sunt cunoscuți doar algoritmi euristici, dintre care cel mai acceptabil este algoritmul de filtrare mediană.
Să presupunem că zgomotul q (t) este un proces statistic cu așteptare matematică zero, semnalul util s (t-t 0) are o poziție de timp necunoscută t 0 Î, iar fluxul de impulsuri de zgomot g (t) are forma:
g (t) = e k a k g (t-t k),
unde a k este amplitudinea impulsurilor în flux, t k este poziția temporală necunoscută a impulsurilor, e k = 1 cu probabilitatea p k și e k = 0 cu probabilitatea 1-p k. Această setare a zgomotului de impuls corespunde fluxului Bernoulli.
Atunci când este aplicat fluxului x (t), filtrarea mediană glisantă cu o fereastră de N eșantioane (N este impar), filtrul median elimină complet impulsurile individuale distanțate la cel puțin jumătate din deschiderea filtrului și suprimă zgomotul de impuls dacă numărul de impulsuri în interiorul deschiderea nu depășește (N-1) / 2. În acest caz, cu p k = p pentru toate impulsurile de interferență, probabilitatea de suprimare a interferenței poate fi determinată prin expresia / 3i /:
R (p) = 
p m (1-p) N- p.
Figura 1 prezintă rezultatele calculelor probabilității de suprimare a zgomotului de impuls de către filtrul median. Pentru p<0.5 результаты статистического моделирования процесса показывают хорошее соответствие расчетным значениям. Для интенсивных импульсных шумовых потоков при p>Filtrarea mediană de 0,5 devine ineficientă deoarece nu este suprimată, ci amplificată și transformată într-un flux de impulsuri de altă structură (cu o durată aleatorie).
Dacă probabilitatea de eroare nu este foarte mare, atunci filtrarea medie, chiar și cu o deschidere suficient de mică, va reduce semnificativ numărul de erori. Eficiența eliminării impulsurilor de zgomot crește odată cu creșterea deschiderii filtrului, dar, în același timp, poate crește și distorsiunea semnalului util.
Diferența plus zgomot.
Luați în considerare filtrarea marginilor în prezența zgomotului alb aditiv, și anume, secvențe de filtrare sau imagini, cu
unde s este un semnal determinist egal cu 0 pe o parte a marginii sau și h pe cealaltă, iar z sunt valori aleatorii ale zgomotului alb. Să presupunem că valorile aleatorii ale zgomotului z sunt distribuite conform legii normale N (0, s). Pentru început, luăm în considerare filtrarea unidimensională și presupunem că scăderea are loc în punctul i = 1, astfel încât pentru i £ 0 valoarea xi este N (0, s), iar pentru i≥1 valoarea xi este N ( h, s).
În fig. 2 prezintă o succesiune de valori medii ale medianelor și o medie mobilă lângă o picătură cu o înălțime de h = 5 la N = 3. Valorile medii mobile urmează o linie înclinată, ceea ce indică faptul că picătura este mânjită. Comportamentul așteptării matematice a valorilor mediane indică, de asemenea, o oarecare neclaritate, deși mult mai puțin decât pentru media mobilă.
Dacă folosim măsura erorii pătratice medii (RMSE), mediată pe N puncte în apropierea picăturii și calculăm valorile RMS în funcție de valorile lui h, atunci este ușor să o remediați pentru valori mici de h<2 СКО для скользящего среднего немного меньше, чем для медианы, но при h>3 Abaterea standard a mediei este semnificativ mai mică decât abaterea standard a mediei. Acest rezultat arată că mediana în mișcare este semnificativ mai bună decât media în mișcare pentru leagănele la altitudine mare. Rezultate similare pot fi obținute pentru deschiderea N = 5 și pentru filtrarea 2D cu deschideri 3x3 și 5x5. Astfel, așteptările matematice ale mediei pentru h mic sunt apropiate de așteptările matematice pentru mediile corespunzătoare, dar pentru h mare sunt mărginite asimptotic. Acest lucru se explică prin faptul că pentru h mare (să zicem, h> 4) variabilele x cu o valoare medie de 0 (pentru acest exemplu) vor fi puternic separate de variabilele x cu o medie h.
Măsura de precizie utilizată poate caracteriza doar claritatea în picătură și nu spune nimic despre netezimea imaginii filtrate de-a lungul picăturii. Media glisantă oferă semnale care sunt netede de-a lungul marginii, în timp ce atunci când sunt procesate cu filtrul median, marginile extinse sunt ușor zimțate.
Filtrarea Wiener
Filtrarea inversă are imunitate scăzută la zgomot, deoarece această metodă nu ține cont de zgomotul din imaginea observată. Filtrul Wiener este mult mai puțin susceptibil la influența zgomotului și a singularităților cauzate de zerourile funcției de transfer a sistemului de distorsionare. în timpul sintezei sale, împreună cu tipul PSF, sunt utilizate informații despre densitățile de putere spectrală a imaginii și a zgomotului.
Densitatea spectrală a semnalului este determinată de raportul:
unde este funcția de autocorelare.
Densitatea spectrală reciprocă a semnalului este determinată de raportul:
, (14)
unde este funcția de corelație încrucișată.
La construirea unui filtru Wiener, problema se pune pentru a minimiza abaterea standard a imaginii procesate de la subiect:
unde este așteptarea matematică. Prin transformarea acestor expresii, se poate arăta că minimul este atins atunci când funcția de transfer este determinată de următoarea expresie:
O analiză ulterioară arată că restaurarea imaginii, a cărei formare este descrisă de expresie, ar trebui efectuată folosind următorul OTF al convertorului de restaurare:
Dacă nu există zgomot în imagine, atunci densitatea spectrală a funcției de zgomot este egală cu 0, iar expresia, care se numește filtru Wiener, se transformă într-un filtru invers convențional.
Cu o scădere a densității de putere spectrală a imaginii originale, funcția de transfer a filtrului Wiener tinde spre zero. Acest lucru este tipic pentru imaginile la frecvențe înalte.
La frecvențele corespunzătoare zerourilor funcției de transfer a sistemului de modelare, funcția de transfer a filtrului Wiener este, de asemenea, egală cu zero. Astfel, se rezolvă problema singularității filtrului de reconstrucție.
Filtre OPF Wiener
Filtre inverse
Orez. 3. Exemple de filtre
Filtrarea imaginilor.
Filtrarea mediană a imaginilor este cea mai eficientă atunci când zgomotul din imagine este impulsiv și reprezintă un set limitat de vârfuri pe un fundal de zerouri. Ca urmare a aplicării filtrului median, pantele și scăderile accentuate ale valorilor de luminozitate din imagini nu se modifică. Aceasta este o proprietate foarte utilă mai ales pentru imaginile în care contururile poartă informația principală.
 Fig. 4 |
Cu filtrarea mediană a imaginilor zgomotoase, gradul de netezire a contururilor obiectelor depinde direct de dimensiunea deschiderii filtrului și de forma măștii. Exemple de formă de măști cu o deschidere minimă sunt prezentate în Figura 4. La dimensiuni mici ale diafragmei, detaliile contrastante ale imaginii sunt mai bine păstrate, dar zgomotul de impuls este suprimat într-o măsură mai mică. Pentru deschideri mari, se observă imaginea opusă. Alegerea optimă a formei deschiderii de netezire depinde de specificul problemei care se rezolvă și de forma obiectelor. Acest lucru este de o importanță deosebită pentru sarcina de a păstra diferențele (marginile ascuțite de luminozitate) în imagini.
Prin imaginea unei picături înțelegem o imagine în care punctele de pe o parte a unei anumite linii au aceeași valoare A, iar toate punctele de pe cealaltă parte a acestei linii sunt valoarea b, b¹ A... Dacă deschiderea filtrului este simetrică față de origine, atunci filtrul median reține orice imagine de margine. Acest lucru se face pentru toate deschiderile de eșantion impare, de ex. cu excepția deschiderilor (cadre pătrate, inele), care nu conțin o origine. Cu toate acestea, ramele pătrate și inelele vor schimba doar puțin scăderea.
Pentru a simplifica o analiză suplimentară, ne limităm la exemplul unui filtru cu o mască pătrată de dimensiune N × N, cu N = 3. Filtrul de alunecare se uită prin mostrele de imagine de la stânga la dreapta și de sus în jos, în timp ce secvența bidimensională de intrare este, de asemenea, reprezentată ca un număr secvențial de mostre (x (n)) de la stânga la dreapta de sus în jos. Din această secvență, în fiecare punct curent, masca de filtru extrage matricea w (n) ca vector de elemente W, care în acest caz conține toate elementele din fereastra 3 × 3 centrată în jurul x (n) și centrala elementul în sine, dacă este prevăzut tip de mască:
w (n) =.
În acest caz, valoarea x i corespunde unei mapări de la stânga la dreapta și de sus în jos a unei ferestre 3 × 3 într-un vector unidimensional.
Elementele acestui vector, precum și pentru filtrul median unidimensional, pot fi, de asemenea, ordonate într-o serie în ordinea crescătoare sau descrescătoare a valorilor lor:
r (n) =,
se determină valoarea mediană y (n) = med (r (n)), iar citirea centrală a măștii este înlocuită cu valoarea mediană. Dacă, în funcție de tipul de mască, eșantionul central nu este inclus în numărul rândului 8, atunci valoarea mediană este sub forma mediei celor două eșantioane centrale din rândul 9.
Expresiile de mai sus nu explică cum să găsiți semnalul de ieșire în apropierea punctelor de capăt și de limită în secvențele și imaginile de final. Un truc simplu este să găsiți mediana doar a acelor puncte din imagine care se încadrează în diafragma. Prin urmare, pentru punctele situate în apropierea limitelor, medianele vor fi determinate pe baza unui număr mai mic de puncte.
Filtrarea mediană poate fi efectuată și într-o versiune recursivă, în care valorile de deasupra și din stânga referinței centrale din mască (în acest caz, x 1 (n) -x 4 (n) în Fig. 9) în rândul 8 sunt înlocuite cu cele deja calculate în ciclurile precedente valorile y 1 (n) -y 4 (n).
Prelucrarea rezultatelor
Suprapunerea zgomotului pe imaginea originală
Sare gaussiană și pete de hârtie
Rezultatul procesării de către filtrul Median
MedFilter_Gaussian MedFilter_Sare și hârtie MedFilter_Speckle
Rezultatul procesării de către filtrul Wiener
WinFilter_Gaussian WinFilter_ Sare și hârtie WinFilter_ Speckle
Rezultatul calculării deviației pătrate medii a imaginilor filtrate față de original.
CONCLUZIE
Graficul arată că bine filtrul median suprimă zgomotul de un singur impuls și emisiile de zgomot aleatoare ale probelor (CKOSaPeMed), iar graficul arată că aceasta este cea mai bună metodă de a elimina acest tip de zgomot.
Filtrul Wiener (CKOSaPeWin), spre deosebire de filtrul median, cu o creștere a factorului de zgomot al imaginii, s-a îndepărtat de original de mai multe ori.
Suprimarea zgomotului alb și gaussian, în cazul filtrului median, este mai puțin eficientă (CKOGausMed, CKOSpecMed) decât filtrul Wiener (CKOGausWin, CKOSpecWin). Eficiența slabă este de asemenea observată la filtrarea zgomotului de fluctuație. Când măriți dimensiunea ferestrei filtrului medial, imaginea este neclară.
Bibliografie
1. Prelucrarea digitală a imaginilor color. Shlikht G.Yu. M., Editura EKOM, 2007 .-- 336 p.
2.http://prodav.narod.ru/dsp/index.html
3. Introducere în procesarea digitală a imaginilor. Yaroslavsky L.P. M .: Sov. radio, 2007 .-- 312 p.
4.http://matlab.exponenta.ru/
5. Procesarea digitală a imaginilor în MATLAB. R. Gonzalez, R. Woods, S. Eddins, Moscova: Technosphere, 2006.
6.http://www.chipinfo.ru/literature/chipnews/199908/29.html
1. Termeni de referință ................................................ ........................... 2
2. Analiza specificațiilor tehnice ................................................ . ...... 3
2.1. Filtru median. Filtrarea mediană ................. 4
2.1.1 Avantajele și dezavantajele filtrelor mediane .............................. 6
2.2 Principiul de filtrare ................................................ ...................... 7
2.3 Suprimarea zgomotului statistic ................................................ 8
2.4 Zgomote de impuls și de punct ............................................. ... 9
2.5 Diferența plus zgomotul ............................................. .......................... unsprezece
2.6 Filtrarea Wiener ................................................ ........................ treisprezece
2.7. Filtrarea imaginilor ................................................. ......... 15
2.7.1 Utilizarea filtrării adaptive ..................... 17
2.7.2 Utilizarea filtrarii mediane ........................ 17
3. PROIECTAREA FUNCȚIILOR AUXILIARE MATLAB. optsprezece
3.1. Citirea unei imagini și realizarea unei copii... 18
3.2. Adăugarea de zgomot la o copie a imaginii originale ................... 18
3.3. Procesarea unei copii zgomotoase folosind un filtru median. optsprezece
3.4. Procesarea unei copii zgomotoase folosind un filtru Wiener... 20
3.5. Calculul abaterii standard dintre imaginea filtrată și originală. 21
4. Rezultatele prelucrării ................................................ ...................... 23
Bibliografie................................................. . ............................ 26
1. Termeni de referință
Comparația eficienței filtrelor medii și medii
1. Creați o copie a imaginii originale.
2. Adăugați zgomot la copia imaginii originale.
Zgomot gaussian - „gaussian”
Zgomot de impuls - „sare și piper”
Zgomot multiplicativ - „speckle”
4. Procesați una dintre copiile zgomotoase cu un filtru.
5. Procesați cealaltă copie cu filtrul 2.
7. Construiți grafice ale dependenței RMS a imaginii filtrate de parametrul de zgomot (în aceleași axe pentru diferite filtre).
Imagine originală.
2. Analiza specificaţiilor tehnice
Filtrele mediane sunt adesea folosite în practică ca mijloc de preprocesare a datelor digitale. O caracteristică specifică a filtrelor este selectivitatea lor pronunțată în ceea ce privește elementele de matrice, care sunt o componentă nemonotonă a unei secvențe de numere în cadrul ferestrei de filtru (apertura) și se evidențiază brusc pe fundalul eșantioanelor învecinate. În același timp, filtrul median nu afectează componenta monotonă a secvenței, lăsând-o neschimbată. Datorită acestei caracteristici, filtrele mediane cu o deschidere selectată optim pot, de exemplu, să mențină marginile ascuțite ale obiectelor fără distorsiuni, suprimând eficient zgomotul necorelat sau slab corelat și detaliile de dimensiuni mici. Această proprietate vă permite să aplicați filtrarea mediană pentru a elimina valorile anormale din seturile de date, pentru a reduce valorile aberante și zgomotul de impuls. O trăsătură caracteristică a filtrului median este neliniaritatea acestuia. În multe cazuri, utilizarea unui filtru median se dovedește a fi mai eficientă decât filtrele liniare, deoarece procedurile de procesare liniară sunt optime cu o distribuție uniformă sau gaussiană a zgomotului, ceea ce poate să nu fie cazul în semnalele reale. În cazurile în care pantele valorilor semnalului sunt mari în comparație cu varianța zgomotului alb aditiv, filtrul median oferă o valoare mai mică a erorii pătratice medii în comparație cu filtrele liniare optime. Filtrul median se dovedește a fi deosebit de eficient la curățarea semnalelor de zgomotul de impuls în timpul procesării imaginii, semnalelor acustice, transmiterii semnalelor de cod etc. Cu toate acestea, studiile detaliate ale proprietăților filtrelor mediane ca mijloc de filtrare a semnalelor de diferite tipuri sunt destul de rare.
Filtru median. Filtrarea mediană
În prezent, metodele de procesare a semnalului digital sunt utilizate pe scară largă în televiziune, inginerie radio, sisteme de comunicații, control și monitorizare. Una dintre cele mai comune operațiuni în astfel de procesare este filtrarea semnalului digital.
Filtrarea mediană a fost propusă de Tukey ca instrument de netezire a seriilor de timp găsit în cercetarea economică, iar mai târziu a devenit utilizat pe scară largă în procesarea imaginilor, semnale de vorbire etc.
Un filtru media este un tip de filtru digital utilizat pe scară largă în procesarea semnalului digital și a imaginii pentru a reduce zgomotul. Filtrul median este un filtru FIR neliniar.
Valorile eșantionului din interiorul ferestrei de filtru sunt sortate în ordine crescătoare (descrescătoare); iar valoarea din mijlocul listei ordonate este scoasă la filtru. Dacă numărul de mostre din fereastră este par, rezultatul filtrului este media celor două mostre din mijlocul listei ordonate. Fereastra se deplasează de-a lungul semnalului filtrat și calculele se repetă.
Filtrarea mediană este o procedură eficientă de procesare a semnalelor care sunt supuse zgomotului de impuls.
Filtrarea mediană.
Filtrarea mediană înlocuiește valorile eșantioanelor din centrul deschiderii cu valoarea mediană a probelor originale din deschiderea filtrului. În practică, pentru a simplifica algoritmii de procesare a datelor, deschiderea filtrului este de obicei setată cu un număr impar de mostre, care va fi acceptat în discuția următoare fără explicații suplimentare.
Filtrarea mediană este implementată ca o procedură de procesare locală a eșantioanelor într-o fereastră glisantă, care include un anumit număr de eșantioane de semnal. Pentru fiecare poziție de fereastră, mostrele selectate în ea sunt clasate în ordine crescătoare sau descrescătoare. Media raportului în poziția sa în lista clasată se numește mediana grupului de eșantioane considerat. Acest eșantion înlocuiește eșantionul central din fereastra pentru semnalul care este procesat. Din această cauză, filtrul median este unul dintre filtrele neliniare care înlocuiesc punctele și vârfurile anormale cu valoarea mediană, indiferent de valorile lor de amplitudine, și este stabil prin definiție, capabil să anuleze chiar și eșantioane infinit de mari.
Algoritmul de filtrare mediană are o selectivitate pronunțată față de elementele de matrice cu o componentă nemonotonă a secvenței de numere din interiorul deschiderii și exclude cel mai eficient valorile aberante unice din semnale, negative și pozitive, care se încadrează pe marginile listei clasate. Luând în considerare clasamentul din listă, filtrele mediane sunt bune la suprimarea zgomotului și interferențelor, a căror lungime este mai mică de jumătate din fereastră. Un punct stabil este o secvență (într-un caz unidimensional) sau o matrice (într-un caz bidimensional) care nu se modifică cu filtrarea mediană. În cazul unidimensional, punctele stabile ale filtrelor mediane sunt secvențe „local monotone”, pe care filtrul median le lasă neschimbate. Excepție fac unele secvențe binare periodice.
