Sistemul numeric (CC) este un set de tehnici de denumire și scriere a numerelor. În orice SS, unele numere sunt folosite pentru a reprezenta numere, care sunt numite numere de bază, iar toate celelalte numere sunt obținute ca urmare a unor operații asupra numerelor de bază. În lumea modernă, cea mai comună reprezentare a numerelor este 0.. .9.
SS diferă în alegerea numerelor de bază și în regulile de formare a numerelor rămase din ele. De exemplu, în SS-ul roman, cele de bază sunt: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000) și altele se obțin prin adunarea și scăderea numerelor de bază. În SS-ul roman, fiecare semn numeric are aceeași semnificație, adică valoarea unui semn numeric nu depinde de locația lui în înregistrarea numerică: 146 –CXLVI.
Acest SS este non-pozițional. Este convenabil să scrieți numere mici în el. Dar este incomod să efectuați operațiuni pe un număr mare.
5.1. Sisteme numerice poziționale
SS pozițional sunt utilizate în prezent pentru a reprezenta numere. SS se numește pozițional dacă valoarea fiecărei cifre (greutatea ei) se modifică în funcție de poziția (poziția) sa în succesiunea cifrelor care reprezintă numărul.
Numărul de cifre folosit pentru a reprezenta numerele din SS pozițional se numește baza sa, adică dacă sunt folosite K cifre, atunci baza SS este K. Numărul din SS pozițional poate fi reprezentat astfel:
Pozițiile renumerotate în acest fel se numesc cifre. Fiecare dintre cifre ia una dintre valori 
.K este folosit pentru a cuantifica fiecare cifră a unui număr. Adică, numărul SS k-ary poate fi reprezentat ca un polinom:
Exemple de sisteme de numere poziționale:
Operațiile aritmetice în orice SS pozițional sunt efectuate după aceleași reguli ca și în SS zecimal, deoarece toate se bazează pe regulile de efectuare a acțiunilor cu polinoamele corespunzătoare. În acest caz, se folosesc tabelele de adunare și înmulțire, care au loc pentru o anumită bază CC.
Tabelele de adunare și înmulțire în SS binar sunt:
Pentru reprezentarea fizică a numerelor, sunt necesare elemente care sunt capabile să fie într-una din mai multe stări stabile. Numărul acestor stări trebuie să fie egal cu baza SS-ului primit, apoi fiecare stare va reprezenta cifra corespunzătoare din alfabetul SS-ului dat. Pentru a implementa sistemul zecimal SS, veți avea nevoie de elemente cu 10 stări stabile. Cele mai simple din punct de vedere al implementării tehnice sunt elementele cu două poziții care pot fi într-una dintre cele două stări stabile, de exemplu, un releu electromagnetic (stări „închis” - „deschis”), o suprafață feromagnetică (magnetizată - demagnetizată) , un comutator tranzistor etc. Una dintre aceste stări poate fi desemnată cu numărul –0, iar cealaltă - cu 1.
Există și alte beneficii asociate cu SS binar. Oferă imunitate maximă la zgomot în procesul de transmitere a informațiilor. Este extrem de simplu să efectuați operații aritmetice și logice. Datorită acestui fapt, SS binar a devenit standardul în calculul modern.
Dezavantajul unui CC binar este numărul mare de biți din codul binar.
Rezultatul a fost deja primit!
Sisteme numerice
Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de cifre arabe pe care îl folosim în viața de zi cu zi este pozițional, dar cel roman nu este. În sistemele de numerație pozițională, poziția unui număr determină în mod unic mărimea numărului. Să ne uităm la asta folosind numărul zecimal 6372 ca exemplu. Să enumerăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:
Atunci numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Numărul 10 definește sistemul numeric (în acest caz, este 10). Valorile poziției numărului dat sunt luate ca grade.
Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la punctul zecimal la stânga și la dreapta:
Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:
1287,923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 3 · 10 10 -3.
În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
unde Ц n este un număr întreg în poziție n, Д -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.
Câteva cuvinte despre sistemele numerice Numărul din sistemul numeric zecimal este format din mai multe cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal - din setul de numere (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul numeric binar - din setul de cifre (0,1), în sistemul numeric hexazecimal - din setul de numere (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), unde A, B, C, D, E, F corespund numerelor 10,11 ,12,13,14,15 sunt prezentate numere în diferite sisteme de numere.
| tabelul 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notaţie | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul
Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi, din sistemul numeric zecimal, să îl traduceți în sistemul numeric necesar.
Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal
Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.
Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din notația binară (SS) în SS zecimal. Soluţie:
1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Exemplu2. Convertiți 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:
Exemplu 3 ... Convertiți numărul AB572.CDF de la baza hexazecimală la SS zecimal. Soluţie:
Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- pana la 15.
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric
Pentru a converti numerele din sistemul de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să traduceți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.
Întreaga parte a numărului este transferată de la SS zecimal la un alt sistem de numere - prin împărțirea secvenţială a întregii părți a numărului la baza sistemului de numere (pentru un SS binar - la 2, pentru un SS cu 8 - cu 8, pentru un 16-ary - cu 16 etc.) ) până când se obține un reziduu întreg, mai mic decât baza CC.
Exemplu 4 ... Să convertim numărul 159 din SS zecimal în SS binar:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
După cum se vede din fig. 1, numărul 159 când este împărțit la 2 dă câtul 79 și restul 1. În plus, numărul 79 când este împărțit la 2 dă câtul 39 și restul 1 etc. Ca rezultat, după ce am construit un număr din restul diviziunii (de la dreapta la stânga), obținem numărul în SS binar: 10011111 ... Prin urmare, putem scrie:
159 10 =10011111 2 .
Exemplu 5 ... Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Când convertiți un număr din SS zecimal în SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic de 8. Ca rezultat, construiți numărul din resturile diviziunii (de la dreapta la stânga), obținem numărul în SS octal: 1147 (vezi Fig. 2). Prin urmare, putem scrie:
615 10 =1147 8 .
Exemplu 6 ... Convertiți numărul 19673 din zecimal în SS hexazecimal.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
După cum se poate observa din figura 3, împărțind secvențial 19673 la 16, am obținut resturile 4, 12, 13, 9. În sistemul hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 la D. Prin urmare, numărul nostru hexazecimal este 4CD9.
Pentru a converti fracțiile zecimale corecte (un număr real cu o parte întreagă zero) în baza s, acest număr trebuie înmulțit secvențial cu s până când se obține un zero pur în partea fracțională sau obținem numărul necesar de cifre. Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă diferită de zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (se adaugă succesiv la rezultat).
Să luăm în considerare cele de mai sus cu exemple.
Exemplu 7 ... Convertiți numărul 0,214 din zecimal în SS binar.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
După cum se poate vedea din Fig. 4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr diferit de zero cu o parte întreagă, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă, la înmulțire, se obține un număr cu o parte întreagă zero, atunci zero este scris în stânga acestuia. Procesul de înmulțire continuă până când se obține un zero pur în partea fracțională sau se obține numărul necesar de cifre. Notând numerele îngroșate (Fig. 4) de sus în jos, obținem numărul necesar în sistemul numeric binar: 0. 0011011 .
Prin urmare, putem scrie:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemplu 8 ... Să convertim numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă, a rezultat 0. Prin urmare, s-a obținut următorul rezultat:
0.125 10 =0.001 2 .
Exemplu 9 ... Să convertim numărul 0,214 din zecimal în SS hexazecimal.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numerelor C și B. Prin urmare, avem:
0,214 10 = 0,36C8B4 16.
Exemplu 10 ... Conversia zecimală în număr SS zecimal 0,512.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Primit:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemplu 11 ... Conversia numărului 159.125 din zecimal în binar SS. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). În plus, combinând aceste rezultate, obținem:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemplu 12 ... Conversia numărului 19673.214 din zecimal în hexazecimal SS. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). În plus, combinând aceste rezultate, obținem.
Reprezentarea numerelor și a comenzilor într-un computer(INFlesson5.doc).
Ideea de a exprima numerele în zece semne, dându-le, pe lângă sensul în formă, și sensul în loc, este atât de simplă încât tocmai din cauza acestei simplități este greu de înțeles cât de uimitor este. Cât de greu este să ajungi la această metodă, vedem în exemplul celor mai mari genii ale erudiției grecești, Arhimede și Apolonius, cărora această idee a rămas ascunsă.
Pierre Simon Laplace
Studiind modalitățile de reprezentare a informațiilor numerice, este necesar să facem cunoștință cu regulile de traducere a unei reprezentări a unui număr în alta, pentru a încerca să înțelegem de ce același număr în situații diferite trebuie reprezentat diferit. O secțiune specială a teoriei numerelor „Sistemele numerice” se ocupă de metodele de reprezentare a numerelor.
A fost introdus un alt concept important - sistemul de numere. De ce este nevoie? Ce este asta oricum? Sistemele numerice sunt sisteme create de om. Astfel de sisteme sunt numite artificial Spre deosebire de natural sisteme create de natură. Sistemele naturale (naturale) includ galaxiile, sistemul nostru solar, omul ca întreg și așa mai departe. Sistemele artificiale includ orașele, fabricile, sistemul de învățământ, limbile naționale, adică tot ceea ce este făcut de oameni.
Sistemele artificiale pot fi împărțite în
material: mașini, avioane, case, orașe, baraje etc.;
public , adică diferite asociații de oameni: parlament, sistem public de învățământ, club de șah etc.;
informativ: limbi naționale, rețea de calculatoare Internet, sisteme de numere etc.
Fiecare sistem artificial este creat cu un scop specific. Se poate argumenta că cel mai bun este sistemul artificial care asigură cel mai bine atingerea scopului creării sale.
Scopul creării unui sistem numeric este de a dezvolta cel mai convenabil mod de a scrie numere. Sistemul de numere vă permite să afișați într-o formă compactă informații cantitative despre obiecte și manipulați-le folosind reguli destul de simple.
Notăm primele nouă numere naturale cu caractere speciale:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Faceți același lucru cu toate numerele întâlnite în practică, adică. ar fi incomod să desemnăm toate numerele întâlnite cu semne speciale. Chiar dacă nevoile noastre s-ar limita la a număra într-o mie, ar fi necesar să memorăm o mie de caractere speciale. Desigur, de multă vreme oamenii au început să aleagă unul sau altul rând de „cheie”, numere de bază și să le desemneze doar cu semne speciale.
Sistemele numerice sunt o invenție de geniu a omenirii. Pentru a raporta că astăzi este două mii șapte în limbaj natural, trebuie să folosesc 16 caractere (fără spații). Folosind limbajul numerelor, puteți descrie același lucru cu patru caractere. Rezultă că numerele reprezintă codurile cuvintelor corespunzătoare, ceea ce este confirmat și de faptul că numărul anului, scris în cuvinte și cifre, este citit de noi în același mod. Numerele în diferite limbi naturale sunt pronunțate diferit, iar notația lor și regulile pentru efectuarea operațiilor aritmetice asupra lor sunt aceleași.
Conceptul de număr este fundamental atât pentru matematică, cât și pentru informatică. Dar dacă în matematică se acordă cea mai mare atenție metodelor de procesare a numerelor, atunci pentru informatică este imposibil să ignorăm metodele de reprezentare a numerelor, deoarece acestea sunt cele care determină resursele de memorie necesare, viteza și eroarea calculelor.
1. Notaţie- aceasta este o modalitate de afișare a numerelor și a regulilor corespunzătoare pentru acțiunile pe numere.
Diferitele sisteme de numere care existau înainte și care sunt folosite în vremea noastră pot fi împărțite în non-pozițional și pozițional.
1.1 Sisteme numerice non-poziționale.
Egiptenii antici foloseau sisteme numerice non-poziționale,
greci, romani și alte popoare din antichitate. În sistemele numerice nepoziționale, valoarea pe care o denotă (semnul) nu depinde de poziția semnului în notația numerică.
La noi a ajuns sistemul numeral roman (cifrele romane), care în unele cazuri este încă folosit la numerotare (secole, volume, capitole). În sistemul roman, literele latine sunt folosite ca numere:
1 5 10 50 100 500 1000
De exemplu, numărul CCXXXII este suma a două sute, trei zeci și două unități și este egal cu două sute treizeci și două.
În cifre romane, numerele sunt scrise de la stânga la dreapta în ordine descrescătoare. În acest caz, valorile lor se adună. Dacă un număr mai mic este scris în stânga și unul mai mare în dreapta, atunci valorile lor sunt scăzute.
VI = 5 + 1 = 6 și IV = 5 - 1 = 4.
MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.
Sistemele de numere non-poziționale erau mai mult sau mai puțin potrivite pentru efectuarea adunării și scăderilor, dar deloc convenabile pentru înmulțire și împărțire.
1.2 Sisteme numerice poziționale (PSS).
Sistemele de numere poziționale sunt convenabile prin faptul că vă permit să scrieți numere arbitrar mari folosind un număr mic de cifre. Algoritmii destul de simpli pentru efectuarea de operații aritmetice pe numere sunt un avantaj important al sistemelor numerice poziționale.
În sistemele de numerație pozițională, valoarea notată cu o cifră într-o notație numerică depinde de poziția acesteia.
Se numește numărul de cifre utilizate bază PSS.
Sistemul numeric folosit în matematica modernă este sistemul zecimal pozițional. Baza sa este zece, deoarece orice numere sunt scrise folosind zece cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Mulți dintre noi asociază aceste icoane, cunoscute din copilărie, cu conceptul de „număr”. Cu toate acestea, putem folosi orice pictogramă ca numere. Și numerele nu trebuie să fie zece.
Deși sistemul zecimal este de obicei numit arab, el își are originea în India, în secolul al V-lea. În Europa, ei au aflat despre acest sistem în secolul al XII-lea din tratatele științifice arabe, care au fost traduse în latină. Așa se explică numele „cifrele arabe”.
Tipul pozițional al sistemului zecimal este ușor de înțeles pentru orice număr format din mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, prima cifră înseamnă trei sute, a doua - trei zeci, a treia - trei unități. Același număr, în funcție de poziția în notația numerică, denotă valori diferite.
333 = 3 100 + 3 10 + 3.
Orice număr zecimal poate fi reprezentat ca suma produselor cifrelor sale constitutive prin puterile corespunzătoare ale zecilor. Același lucru este valabil și pentru fracțiile zecimale.
26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .
Acest lucru vă permite să convertiți numere cu o bază care nu este egală cu 10 în reprezentare zecimală.
Pentru a efectua o astfel de traducere, este necesar să se noteze numărul original ca sumă a produselor cifrelor numărului cu gradele corespunzătoare ale bazei și să se calculeze valoarea expresiei numerice rezultate conform regulilor zecimale. aritmetic.
1.432.32 5 → A 10.
432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =
2.DF, 4A 16 → A 10
DF, 4A 16 = 13 * 16 1 + 15 * 16 0 + 4 * 16 -1 + A * 16 -2 = 208 + 15 +
Numărul zece nu este singura bază posibilă pentru un sistem pozițional. Celebrul matematician rus NN Luzin a spus astfel: "Avantajele sistemului zecimal nu sunt matematice, ci zoologice. Dacă nu am avea zece degete, ci opt, atunci omenirea ar folosi sistemul octal".
Pentru a scrie numere într-un sistem pozițional cu o rază n (n- desemnarea bazei MSS) trebuie să aibă alfabet din n cifre. De obicei pentru asta, cu n ≤ 10 utilizare n primele cifre arabe, iar pentru n> 10 La zece cifre arabe se adaugă litere latine.
Iată exemple de alfabete ale mai multor sisteme:
Baza sistemului căruia îi aparține un număr este indicată printr-un indice la acel număr.
1011001 2, 3671 8, 3B8F 16.
1.3 Conversia numerelor zecimale în MSS cu o bază diferită de 10.
1.3.1 Translația numerelor întregi.
Baza noului sistem numeric este exprimată în sistem zecimal
numerele și toate acțiunile ulterioare ar trebui efectuate în sistemul numeric zecimal;
Efectuați secvențial împărțirea numărului dat și a coeficientelor incomplete rezultate pe baza noului sistem de numere până când obținem un coeficient incomplet mai mic decât divizorul;
Resturile rezultate, care sunt cifrele unui număr din noul sistem de numere, ar trebui aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;
Construiți un număr în noul sistem de numere, notându-l, începând cu ultimul cât.
1.3.2 Translația numerelor fracționale.
Exprimați baza noului sistem numeric în sistemul zecimal și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul numeric zecimal;
Înmulțiți secvențial numărul dat și părțile fracționale rezultate ale produselor pe baza noului sistem numeric până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau se obține precizia necesară a reprezentării numerelor în noul sistem numeric;
Părțile întregi rezultate ale produselor care sunt cifre ale unui număr în noul sistem de numere, aduc în concordanță cu alfabetul noului sistem de numere;
Compuneți partea fracționară a numărului în noul sistem de numere, începând cu întreaga parte a primului produs.
Exemple de traducere a unor numere zecimale specifice sunt prezentate în Anexa 1.
Anexa 1.
© 2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2016-02-16
Concepte de bază ale sistemelor numerice
Un sistem numeric este un set de reguli și tehnici de scriere a numerelor folosind un set de caractere digitale. Numărul de cifre necesare pentru înregistrarea unui număr în sistem se numește baza sistemului de numere. Baza sistemului este scrisă cu numerele potrivite în indice:; ; etc.
Există două tipuri de sisteme de numere:
pozițional, când valoarea fiecărei cifre a unui număr este determinată de poziția acesteia în înregistrarea numărului;
nepozițional, când valoarea cifrei din număr nu depinde de locul acesteia în înregistrarea numărului.
Un exemplu de sistem de numere nepozițional este romanul: numerele IX, IV, XV etc. Un exemplu de sistem de numere poziționale este sistemul zecimal utilizat zilnic.
Orice număr întreg din sistemul pozițional poate fi scris sub forma unui polinom:
unde S este baza sistemului numeric;
Cifre ale numărului înregistrat în sistemul de numere dat;
n - numărul de cifre ale numărului.
Exemplu. Număr se va scrie sub forma unui polinom după cum urmează:
Tipuri de sisteme numerice
Sistemul numeric roman este un sistem non-pozițional. Folosește litere din alfabetul latin pentru a scrie numere. Mai mult, litera I înseamnă întotdeauna unul, litera V este cinci, X este zece, L este cincizeci, C este o sută, D este cinci sute, M este o mie etc. De exemplu, numărul 264 este scris ca CCLXIV. Când se scriu numere în sistemul numeric roman, valoarea numărului este suma algebrică a cifrelor incluse în acesta. În același timp, numerele din înregistrarea numerelor urmează, de regulă, în ordinea descrescătoare a valorilor lor și nu este permisă scrierea a mai mult de trei numere identice una lângă alta. În cazul în care o cifră cu o valoare mare este urmată de o cifră cu una mai mică, contribuția sa la valoarea numărului în ansamblu este negativă. Exemple tipice care ilustrează regulile generale de scriere a numerelor în sistemul numeric roman sunt prezentate în tabel.
Tabelul 2. Scrierea numerelor în sistemul numeric roman
|
III |
||||
|
Vii |
VIII |
|||
|
XIII |
Xviii |
XIX |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XCIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
Dezavantajul sistemului roman este lipsa regulilor formale de scriere a numerelor și, în consecință, a operațiilor aritmetice cu numere cu mai multe cifre. Datorită inconvenientului și complexității mari, sistemul de numerație romană este utilizat în prezent acolo unde este cu adevărat convenabil: în literatură (numerotarea capitolelor), în documentație (o serie de pașapoarte, titluri de valoare etc.), în scop decorativ pe cadranul unui ceas și într-o serie de alte cazuri.
Sistemul numeric zecimal este în prezent cel mai faimos și utilizat. Invenția sistemului numeric zecimal aparține principalelor realizări ale gândirii umane. Fără ea, tehnologia modernă cu greu ar putea exista, darămite să apară. Motivul pentru care sistemul numeric zecimal a devenit general acceptat nu este deloc matematic. Oamenii sunt obișnuiți să numere în notație zecimală pentru că au 10 degete pe mâini.
Reprezentarea antică a cifrelor zecimale (Fig. 1) nu este întâmplătoare: fiecare cifră denotă un număr în funcție de numărul de colțuri din ea. De exemplu, 0 - fără colțuri, 1 - un colț, 2 - două colțuri etc. Scrierea cifrelor zecimale a suferit modificări semnificative. Forma pe care o folosim a fost stabilită în secolul al XVI-lea.
Sistemul zecimal a apărut pentru prima dată în India în jurul secolului al VI-lea d.Hr. Numerotarea indiană a folosit nouă caractere numerice și zero pentru a indica o poziție goală. În manuscrisele indiene timpurii care au ajuns până la noi, numerele erau scrise în ordine inversă, cu cel mai semnificativ număr în dreapta. Dar în curând a devenit o regulă să plasezi un astfel de număr în partea stângă. O importanță deosebită a fost acordată caracterului zero, care a fost introdus pentru sistemul de notație pozițională. Numerotarea indiană, inclusiv zero, a supraviețuit până în vremea noastră. În Europa, metodele hinduse de aritmetică zecimală s-au răspândit la începutul secolului al XIII-lea. datorită lucrărilor matematicianului italian Leonardo din Pisa (Fibonacci). Europenii au împrumutat de la arabi sistemul numeric indian, numindu-l arab. Acest nume incorect din punct de vedere istoric este păstrat până în prezent.
Sistemul zecimal folosește zece cifre - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9, precum și simbolurile „+” și „-” pentru a indica semnul unui număr și virgulă sau punct a separa părţi întregi şi fracţionale.numerele.
Calculatoarele folosesc un sistem de numere binar, baza sa este numărul 2. Pentru a scrie numere în acest sistem, sunt folosite doar două cifre - 0 și 1. Spre deosebire de concepția greșită comună, sistemul de numere binar a fost inventat nu de inginerii de calcul, ci de matematicieni și filozofi cu mult înainte de apariția computerelor, în secolele al XVII-lea și al XIX-lea. Prima discuție publicată despre sistemul de numere binar îi aparține preotului spaniol Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Atenția generală asupra acestui sistem a fost atrasă de un articol al matematicianului german Gottfried Wilhelm Leibniz, publicat în 1703. Acesta explica operațiile binare de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Leibniz nu a recomandat utilizarea acestui sistem pentru calcule practice, dar a subliniat importanța acestuia pentru cercetarea teoretică. De-a lungul timpului, sistemul de numere binare a devenit bine cunoscut și dezvoltat.
Alegerea unui sistem binar pentru utilizare în calcul se explică prin faptul că elementele electronice - declanșatoarele care alcătuiesc microcircuitele computerului - pot fi în doar două stări de funcționare.
Orice date și cunoștințe pot fi înregistrate folosind un sistem de codare binar. Acest lucru este ușor de înțeles dacă vă amintiți principiul codificării și transmiterii informațiilor folosind codul Morse. Un operator de telegrafie, folosind doar două simboluri ale acestui alfabet - puncte și liniuțe, poate transmite aproape orice text.
Sistemul binar este convenabil pentru un computer, dar incomod pentru o persoană: numerele sunt lungi și greu de scris și reținut. Desigur, puteți converti un număr în sistemul zecimal și îl puteți scrie în această formă și apoi, atunci când trebuie să îl traduceți înapoi, dar toate aceste traduceri necesită timp. Prin urmare, sunt utilizate sistemele numerice, asemănătoare cu cele binar - octal și hexazecimal. Pentru a scrie numere în aceste sisteme sunt necesare 8 și respectiv 16 cifre. În hexazecimal, primele 10 cifre sunt comune, iar apoi sunt folosite litere mari latine. Cifra hexazecimală A corespunde cu zecimala 10, hexazecimală B - zecimală 11 etc. Utilizarea acestor sisteme se explică prin faptul că trecerea la scrierea unui număr în oricare dintre aceste sisteme din notația sa binară este foarte simplă. Mai jos este un tabel de corespondență între numerele înregistrate în diferite sisteme.
Tabelul 3. Corespondența numerelor scrise în diferite sisteme numerice
|
Zecimal |
Binar |
Octal |
hexazecimal |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
Reguli pentru traducerea numerelor dintr-un sistem numeric în altul
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul este o parte importantă a aritmeticii mașinii. Să luăm în considerare regulile de bază ale traducerii.
1. Pentru a converti un număr binar în zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 2 și să-l calculați conform regulilor zecimale aritmetic:
Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:
Tabelul 4. Puterile lui 2
|
n (grad) |
|||||||||||
|
1024 |
Exemplu. Convertiți numărul în notație zecimală.
2. Pentru a converti un număr octal în zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să-l calculați conform regulilor zecimale. aritmetic:
Când traduceți, este convenabil să folosiți tabelul puterilor celor opt:
Tabelul 5. Puterile lui 8
|
n (grad) |
Să ne uităm la unul dintre cele mai importante subiecte din informatică -. În programa școlară se dezvăluie mai degrabă „modest”, cel mai probabil din cauza lipsei de ore alocate acestuia. Cunoștințe pe această temă, în special pe traducerea sistemelor numerice, sunt o condiție prealabilă pentru susținerea cu succes a examenului de stat unificat și admiterea la universități din facultățile relevante. Mai jos sunt discutate în detaliu concepte precum sisteme de numere poziționale și nepoziționale, sunt date exemple ale acestor sisteme de numere, regulile de conversie a numerelor zecimale întregi, fracțiilor zecimale regulate și numerelor zecimale mixte în orice alt sistem de numere, conversia numerelor din orice sistem de numere în zecimal, conversia din sistemele de numere octale și hexazecimale într-un număr binar sunt prezentate sistemul. La examene, există un număr mare de probleme pe această temă. Capacitatea de a le rezolva este una dintre cerințele solicitanților. În curând: pentru fiecare subiect al secțiunii, pe lângă materialul teoretic detaliat, vor fi prezentate aproape toate opțiunile posibile sarcini pentru auto-studiu. În plus, veți avea posibilitatea de a descărca gratuit soluții detaliate gata făcute la aceste probleme din serviciul de găzduire a fișierelor, ilustrând diverse modalități de a obține răspunsul corect.
sisteme de numere poziționale.
Sisteme numerice non-poziționale- sisteme de numere în care valoarea cantitativă a unei cifre nu depinde de localizarea acesteia în număr.
Sistemele numerice non-poziționale includ, de exemplu, romanul, unde în loc de numere există litere latine.
| eu | 1 unu) |
| V | 5 (cinci) |
| X | 10 (zece) |
| L | 50 (cincizeci) |
| C | 100 (o sută) |
| D | 500 (cinci sute) |
| M | 1000 (mii) |
Aici, litera V reprezintă 5, indiferent de locația sa. Cu toate acestea, merită menționat că, deși sistemul numeric roman este un exemplu clasic de sistem de numere nepozițional, acesta nu este complet nepozițional, deoarece din el se scade numărul mai mic înainte de cel mai mare:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
Sisteme numerice poziționale.
Sisteme numerice poziționale- sisteme de numere, în care valoarea cantitativă a unei cifre depinde de localizarea acesteia în număr.
De exemplu, dacă vorbim despre sistemul zecimal, atunci în numărul 700 numărul 7 înseamnă „șapte sute”, dar același număr din numărul 71 înseamnă „șapte zeci”, iar în numărul 7020 - „șapte mii”.
Fiecare sistem de numere poziționaleîși are baza... Un număr natural mai mare sau egal cu doi este ales ca bază. Este egal cu numărul de cifre utilizate în acest sistem de numere.
- De exemplu:
- Binar- sistem de numere pozițional cu baza 2.
- Cuaternar- sistem de numere pozițional cu baza 4.
- Cinci ori- sistem de numere pozițional cu baza 5.
- Octal- sistem de numere pozițional cu baza 8.
- hexazecimal- sistem de numere pozițional cu baza 16.
Pentru a rezolva cu succes probleme la tema „Sisteme numerice”, elevul trebuie să cunoască pe de rost corespondența numerelor binare, zecimale, octale și hexazecimale până la 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Este util să știm cum se obțin numerele în aceste sisteme numerice. Ați putea ghici că în octal, hexazecimal, ternar și altele sisteme de numere poziționale totul se întâmplă în mod similar cu sistemul zecimal cu care suntem obișnuiți:
Se adaugă unul la număr și se obține un număr nou. Dacă locul unu devine egal cu baza sistemului numeric, creștem numărul zecilor cu 1 etc.
Această „o singură tranziție” este ceea ce îi sperie pe majoritatea studenților. De fapt, totul este destul de simplu. Tranziția are loc dacă bitul celor devine egal cu baza sistemului numeric, creștem numărul zecilor cu 1. Mulți, amintindu-și vechiul sistem zecimal bun, se confundă instantaneu în cifra și în această tranziție, deoarece zecimile zecimale și, de exemplu, zecile binare sunt lucruri diferite.
Prin urmare, studenții plini de resurse au „propriile lor tehnici” (în mod surprinzător... lucrând) atunci când completează, de exemplu, tabele de adevăr, primele coloane (valori ale variabilelor) ale căror, de fapt, sunt umplute cu numere binare în ordine crescătoare. .
De exemplu, să ne uităm la introducerea numerelor sistem octal: Primului număr (0) adăugăm 1, obținem 1. Apoi adăugăm 1 la 1, obținem 2 etc. la 7. Dacă adunăm unu la 7, obținem un număr egal cu baza sistemului numeric, adică. 8. Apoi trebuie să măriți locul zecilor cu unul (obținem un zece octal - 10). În plus, evident, există numerele 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
Regula de traducere de la un sistem numeric la altul.
1 Conversia numerelor întregi zecimale în orice alt sistem de numere.
Numărul trebuie împărțit la radix nou... Primul rest al diviziunii este prima cifră cel mai puțin semnificativă a noului număr. Dacă câtul de împărțire este mai mic sau egal cu noua bază, atunci acesta (coeficientul) trebuie împărțit din nou într-o nouă bază. Împărțirea trebuie continuată până când obținem coeficientul mai mic decât noua bază. Aceasta este cea mai semnificativă cifră a noului număr (trebuie să vă amintiți că, de exemplu, în sistemul hexazecimal există litere după 9, adică dacă aveți 11 în rest, trebuie să îl scrieți ca B).
Exemplu („diviziune cu un colț”): Să traducem numărul 173 10 în sistemul de numere octale.
Deci 173 10 = 255 8
2 Conversia fracțiilor zecimale corecte în orice alt sistem numeric.
Numărul trebuie înmulțit cu noua bază a sistemului numeric. Cifra care a trecut în întreaga parte este cea mai semnificativă cifră a părții fracționale a noului număr. pentru a obține următoarea cifră, partea fracțională a produsului rezultat trebuie din nou înmulțită cu noua bază a sistemului numeric până când are loc trecerea la întreaga parte. Continuăm înmulțirea până când partea fracțională devine egală cu zero, sau până când ajungem la precizia specificată în problemă ("... calculați cu o precizie de, de exemplu, două zecimale").
Exemplu: Să traducem numărul 0,65625 10 în sistemul de numere octale.
