Conceptul de rang al unei matrice este strâns legat de conceptul de dependență liniară (independență) a rândurilor sau coloanelor sale. În viitor, vom prezenta materialul pentru rânduri; pentru coloane, prezentarea este similară.
În matrice A să notăm liniile sale după cum urmează:
, 
, …. , 
Se spune că două rânduri ale unei matrice sunt egale, dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale:, dacă,.
Operațiile aritmetice pe rânduri matrice (înmulțirea unui rând cu un număr, adăugarea de rânduri) sunt introduse ca operații efectuate element cu element:
Linia e numită combinație liniară de șiruri..., o matrice dacă este egală cu suma produselor acestor șiruri prin numere reale arbitrare:
Se numesc rândurile matricei dependent liniar dacă există numere care nu sunt simultan egale cu zero, astfel încât combinația liniară a rândurilor matricei să fie egală cu rândul zero:
, =(0,0,...,0). (3.3)
Teorema 3.3Rândurile de matrice sunt dependente liniar dacă cel puțin un rând de matrice este o combinație liniară a celorlalte.
□ Într-adevăr, fie, pentru certitudine, în formula (3.3) 
, atunci
Astfel, șirul este o combinație liniară a restului șirurilor. ■
Dacă o combinație liniară de rânduri (3.3) este egală cu zero dacă și numai dacă toți coeficienții sunt egali cu zero, atunci rândurile se numesc liniar independente.
Teorema 3.4.(despre rangul matricei) Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sau coloanelor sale liniar independente prin care toate celelalte rânduri (coloane) sunt exprimate liniar.
□ Fie matricea A mărimea m n are rang r(r min). Aceasta înseamnă că există un minor diferit de zero r comanda. Orice minor diferit de zero r-al-lea ordin va fi numit minor de bază.
Să fie, pentru certitudine, minorul de bază de conducere sau de colț minor. Atunci rândurile matricei sunt liniar independente. Să presupunem că opusul, adică una dintre aceste linii, de exemplu, este o combinație liniară a celorlalte. Scădeți din elemente r- a liniei, elementele liniei 1, înmulțite cu, apoi elementele liniei a 2-a, înmulțite cu, ... și elementele ( r - 1) - liniile-ale înmulțite cu. Pe baza proprietății 8, sub astfel de transformări ale matricei, determinantul ei D nu se va schimba, ci din moment ce r- șirul i va fi format acum doar din zerouri, apoi D = 0 - o contradicție. Prin urmare, ipoteza noastră că rândurile matricei sunt dependente liniar nu este adevărată.
Corzile vor fi numite de bază... Să arătăm că orice (r + 1) rânduri ale matricei sunt dependente liniar, adică. orice șir este exprimat în termeni de bază.
Luați în considerare minorul de ordinul (r + 1) --lea, care se obține prin completarea minorului luat în considerare cu elemente de încă o linie i si coloana j... Acest minor este zero, deoarece rangul matricei este r, deci orice minor de ordin superior este zero.
Expandându-l în funcție de elementele ultimei coloane (adăugate), obținem
Unde modulul ultimului complement algebric este același cu baza minoră Dși prin urmare este diferit de zero, adică 0.
Un sistem de vectori de același ordin se numește dependent liniar dacă din acești vectori se poate obține un vector zero prin intermediul unei combinații liniare adecvate. (În acest caz, nu este permis ca toți coeficienții combinației liniare să fie egali cu zero, deoarece acest lucru ar fi banal.) În caz contrar, vectorii sunt numiți liniar independenți. De exemplu, următorii trei vectori:
sunt dependente liniar, deoarece este ușor de verificat. În cazul unei dependențe liniare, orice vector poate fi întotdeauna exprimat în termenii unei combinații liniare a vectorilor rămași. În exemplul nostru: fie sau Este ușor de verificat cu calcule adecvate. Aceasta implică următoarea definiție: un vector este independent liniar de alți vectori dacă nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară a acestor vectori.
Luați în considerare un sistem de vectori fără a specifica dacă este liniar dependent sau liniar independent. Pentru fiecare sistem format din vectori coloană a, este posibil să se identifice numărul maxim posibil de vectori liniar independenți. Acest număr, notat cu o literă, este rangul sistemului vectorial dat. Deoarece fiecare matrice poate fi privită ca un sistem de vectori coloană, rangul unei matrice este definit ca numărul maxim de vectori coloană liniar independenți pe care îi conține. Vectorii rând sunt, de asemenea, utilizați pentru a determina rangul unei matrice. Ambele metode dau același rezultat pentru aceeași matrice și nu pot depăși cel mai mic dintre sau Rangul unei matrice pătrate de ordin variază de la 0 la. Dacă toți vectorii sunt zero, atunci rangul unei astfel de matrice este zero. Dacă toți vectorii sunt liniar independenți unul de celălalt, atunci rangul matricei este. Dacă formați o matrice din vectorii de mai sus, atunci rangul acestei matrice este 2. Deoarece fiecare doi vectori poate fi redus la al treilea printr-o combinație liniară, rangul este mai mic de 3.
Dar se poate asigura că oricare doi vectori ai acestora sunt independenți liniar, de unde și rangul
O matrice pătrată se numește degenerată dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt dependenți liniar. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero și matricea sa inversă nu există, așa cum s-a menționat mai sus. Aceste constatări sunt echivalente între ele. În consecință, o matrice pătrată este numită nedegenerată sau nesingulară dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt independenți unul de celălalt. Determinantul unei astfel de matrice nu este egal cu zero și matricea sa inversă există (comparați cu p. 43)
Rangul matricei are o interpretare geometrică evidentă. Dacă rangul matricei este egal, atunci se spune că spațiul -dimensional este acoperit de vectori. Dacă rangul, atunci vectorii se află în subspațiul -dimensional, care îi include pe toți. Deci, rangul matricei corespunde dimensiunii minime cerute a spațiului „în care sunt cuprinși toți vectorii”, subspațiul -dimensional din spațiul -dimensional se numește hiperplanul -dimensional. Rangul matricei corespunde celei mai mici dimensiuni a hiperplanului în care se află încă toți vectorii.
Ortogonalitatea. Doi vectori a și b se numesc reciproc ortogonali dacă produsul lor scalar este egal cu zero. Dacă pentru matricea de ordine egalitatea este valabilă unde D este o matrice diagonală, atunci vectorii coloană ai matricei A sunt reciproc ortogonali. Dacă acești vectori coloană sunt normalizați, adică redusi la o lungime egală cu 1, atunci egalitatea este valabilă și vorbim de vectori ortonormali. Dacă B este o matrice pătrată și egalitatea este valabilă, atunci matricea B se numește ortogonală. În acest caz, din formula (1.22) rezultă că matricea ortogonală este întotdeauna nedegenerată. Prin urmare, din ortogonalitatea matricei, urmează independența liniară a vectorilor ei rând sau a vectorilor coloană. Afirmația inversă nu este adevărată: independența liniară a sistemului de vectori nu implică ortogonalitatea pe perechi a acestor vectori.
unde sunt unele numere (unele sau chiar toate aceste numere pot fi zero). Aceasta înseamnă că există următoarele egalități între elementele coloanelor:
Din (3.3.1) rezultă că
Dacă egalitatea (3.3.3) este adevărată dacă și numai dacă, atunci rândurile se numesc liniar independente. Relația (3.3.2) arată că dacă unul dintre rânduri este exprimat liniar în termenii celorlalte, atunci rândurile sunt dependente liniar.
Este ușor de observat contrariul: dacă liniile sunt dependente liniar, atunci există o linie care va fi o combinație liniară a restului liniilor.
Fie, de exemplu, în (3.3.3), atunci 
.
Definiție. Să fie selectat în matricea A un oarecare minor de ordinul r și să fie minorul de ordinul (r + 1) --lea al aceleiași matrice să conțină minorul în întregime. Vom spune că în acest caz minorul se învecinează cu minorul (sau este hotarul pentru).
Demonstrăm acum o lemă importantă.
Lema despre minorii învecinați. Dacă minorul de ordinul r al matricei A = este diferit de zero și toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero, atunci orice rând (coloană) a matricei A este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) ale acesteia care alcătuiesc.
Dovada. Fără a pierde generalitatea raționamentului, vom presupune că o minoră diferită de zero de ordinul r se află în colțul din stânga sus al matricei A =:
.
Pentru primele k rânduri ale matricei A, afirmația lemei este evidentă: este suficient să includeți același rând cu coeficientul egal cu unu în combinația liniară, iar restul - cu coeficienții egali cu zero.
Să demonstrăm acum că restul rândurilor matricei A sunt exprimate liniar în termenii primelor k rânduri. Pentru a face acest lucru, construiți un minor de ordinul (r + 1) adăugând rândul k-lea () la minor și l coloana a ():
.
Minorul rezultat este zero pentru toate k și l. Dacă, atunci este egal cu zero, deoarece conține două coloane identice. Dacă, atunci minorul rezultat este un minor limită pentru și, prin urmare, este egal cu zero prin ipoteza lemei.
Să extindem minorul în ceea ce privește elementele acestuia din urmă l a coloana:
Presupunând că obținem:
 | (3.3.6) |
Expresia (3.3.6) înseamnă că rândul k al matricei A este exprimat liniar în termenii primelor r rânduri.
Deoarece atunci când o matrice este transpusă, valorile minorilor ei nu se modifică (datorită proprietăților determinanților), atunci tot ceea ce a fost dovedit este valabil și pentru coloane. Teorema este demonstrată.
Corolarul I. Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) sale de bază. Într-adevăr, baza minoră a matricei este diferită de zero, iar toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero.
Corolarul II. Determinant de ordinul n-a dacă și numai dacă este egal cu zero, când conține rânduri (coloane) dependente liniar. Suficiența dependenței liniare a rândurilor (coloanelor) pentru egalitatea determinantului la zero a fost dovedită mai devreme ca o proprietate a determinanților.
Să dovedim necesitatea. Să fie dată o matrice pătrată de ordinul a n-a, dintre care singura minoră este egală cu zero. De aici rezultă că rangul acestei matrice este mai mic decât n, adică. există cel puțin un rând care este o combinație liniară a rândurilor de bază ale acestei matrice.
Să mai demonstrăm o teoremă asupra rangului unei matrice.
Teorema. Numărul maxim de rânduri liniar independente ale unei matrice este egal cu numărul maxim al coloanelor sale liniar independente și este egal cu rangul acestei matrice.
Dovada. Fie rangul matricei А = egal cu r. Atunci oricare dintre k liniile sale de bază sunt liniar independente, altfel minorul de bază ar fi egal cu zero. Pe de altă parte, orice r + 1 sau mai multe șiruri sunt dependente liniar. Presupunând contrariul, am putea găsi un minor de ordin mai mult decât r diferit de zero prin Corolarul 2 al lemei anterioare. Acesta din urmă contrazice faptul că ordinul maxim al minorilor diferit de zero este r. Tot ceea ce am demonstrat pentru rânduri este valabil și pentru coloane.
În concluzie, prezentăm încă o metodă de găsire a rangului unei matrice. Rangul unei matrice poate fi determinat prin găsirea unui minor diferit de zero de ordin maxim.
La prima vedere, acest lucru necesită calcularea, deși un număr finit, dar posibil foarte mare de minore ale acestei matrice.
Următoarea teoremă face totuși posibilă simplificări semnificative în acest sens.
Teorema. Dacă minorul matricei A este diferit de zero și toate minorele care o mărginesc sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este r.
Dovada. Este suficient să arătăm că orice subsistem de rânduri de matrice pentru S> r va fi dependent liniar în condițiile teoremei (se va urma că r este numărul maxim de rânduri de matrice liniar independente sau oricare dintre minorele sale de ordin mai mare decât k sunt egale cu zero).
Să presupunem contrariul. Lasă rândurile să fie liniar independente. Prin lema minorilor învecinați, fiecare dintre ei va fi exprimat liniar în termenii liniilor în care există un minor și care, deoarece sunt diferite de zero, sunt liniar independente:
Acum luați în considerare următoarea combinație liniară:
sau
Folosind (3.3.7) și (3.3.8), obținem
,
ceea ce contrazice independenţa liniară a rândurilor.
În consecință, presupunerea noastră este incorectă și, prin urmare, orice S> r rânduri în condițiile teoremei sunt dependente liniar. Teorema este demonstrată.
Luați în considerare regula pentru calcularea rangului unei matrice - metoda minorilor învecinați bazată pe această teoremă.
Când se calculează rangul unei matrice, ar trebui să se treacă de la minori de ordin inferior la minori de ordin superior. Dacă a fost deja găsit un minor de ordinul al treilea diferit de zero, atunci este necesar să se calculeze doar minorii de ordinul al treilea (r + 1) care se învecinează cu minorul. Dacă sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este r. Această metodă se aplică și dacă nu numai că calculăm rangul matricei, ci și stabilim ce coloane (rânduri) alcătuiesc minorul de bază al matricei.
Exemplu. Calculați rangul unei matrice prin metoda limitării minorilor
.
Soluţie. Minorul de ordinul doi din colțul din stânga sus al matricei A este diferit de zero:
.
Cu toate acestea, toți minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta sunt egali cu zero:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
În consecință, rangul matricei A este egal cu doi:.
Primul și al doilea rând, prima și a doua coloană din această matrice sunt de bază. Restul rândurilor și coloanelor sunt combinațiile lor liniare. Într-adevăr, următoarele egalități sunt valabile pentru șiruri:
În concluzie, remarcăm validitatea următoarelor proprietăți:
1) rangul produsului de matrice nu este mai mare decât rangul fiecăruia dintre factori;
2) rangul produsului unei matrice arbitrare A la dreapta sau la stânga de o matrice pătrată nedegenerată Q este egal cu rangul matricei A.
Matrici polinomiale
Definiție. O matrice polinomială sau -matrice este o matrice dreptunghiulară, ale cărei elemente sunt polinoame într-o variabilă cu coeficienți numerici.
Transformările elementare pot fi efectuate peste -matrice. Acestea includ:
Permutarea a două rânduri (coloane);
Înmulțirea unui rând (coloană) cu un număr diferit de zero;
Adăugând la un rând (coloană) un alt rând (coloană) înmulțit cu orice polinom.
Două -matrice și de aceeași dimensiune se numesc echivalente: dacă puteți trece de la matrice la utilizarea unui număr finit de transformări elementare.
Exemplu. Demonstrați echivalența matricelor
 ,
|  .
|
1. Să schimbăm prima și a doua coloană din matrice:
.
2. Scădeți prima linie din a doua linie, înmulțită cu ():
.
3. Înmulțiți al doilea rând cu (–1) și rețineți că
.
4. Scădeți din a doua coloană prima, înmulțită cu, obținem
.
Mulțimea tuturor -matricilor de dimensiuni date este împărțită în clase disjunse de matrici echivalente. Matricele care sunt echivalente între ele formează o clasă, nu echivalentă - alta.
Fiecare clasă de matrici echivalente este caracterizată de o matrice canonică sau normală de dimensiuni date.
Definiție. O matrice canonică sau normală de dimensiuni se numește o matrice a cărei diagonală principală conține polinoame, unde p este cea mai mică dintre numerele m și n ( 
), în plus, polinoamele nenule au coeficienți conducători egali cu 1, iar fiecare polinom următor este divizibil cu cel anterior. Toate elementele din afara diagonalei principale sunt 0.
Din definiție rezultă că dacă printre polinoame există polinoame de grad zero, atunci acestea se află la începutul diagonalei principale. Dacă există zerouri, atunci acestea sunt la sfârșitul diagonalei principale.
Matricea exemplului anterior este canonică. Matrice
de asemenea canonice.
Fiecare clasă de -matrice conține o singură -matrice canonică, adică. fiecare -matrice este echivalentă cu o singură matrice canonică, care se numește forma canonică sau forma normală a matricei date.
Polinoamele de pe diagonala principală a formei canonice a unei matrice date se numesc factori invarianți ai acestei matrice.
Una dintre metodele de calculare a factorilor invarianți este reducerea matricei date la forma canonică.
Deci, pentru matricea exemplului anterior, factorii invarianți sunt
, , 
, .
Din cele spuse rezultă că prezența aceluiași set de factori invarianți este o condiție necesară și suficientă pentru echivalența -matricelor.
Reducerea -matricelor la forma canonică se reduce la determinarea factorilor invarianți
, ; ,
unde r este rangul matricei; - cel mai mare divizor comun al minorilor de ordinul k, luat cu coeficientul de conducere egal cu 1.
Exemplu. Dată o matrice
.
Soluţie. Evident, cel mai mare divizor comun de ordinul întâi, i.e. ...
Să definim minorii de ordinul doi:
 ,
|  | etc. |
Deja aceste date sunt suficiente pentru a trage o concluzie: prin urmare,.
Noi definim
,
Prin urmare, 
.
Astfel, forma canonică a acestei matrice este următoarea matrice:
.
Un polinom matriceal este o expresie a formei
unde este variabila; - matrici pătrate de ordinul n cu elemente numerice.
Dacă, atunci S se numește gradul polinomului matriceal, n este ordinul polinomului matriceal.
Orice matrice pătratică poate fi reprezentată ca un polinom matriceal. Evident, și invers este adevărat, adică. orice polinom matriceal poate fi reprezentat ca o anumită matrice pătrată.
Validitatea acestor afirmații rezultă clar din proprietățile operațiilor pe matrice. Să ne oprim asupra următoarelor exemple:
Exemplu. Reprezentați o matrice polinomială
sub forma unui polinom matriceal după cum urmează
.
Exemplu. Polinom matriceal
poate fi reprezentat ca următoarea matrice polinomială (-matrice)
.
Această interschimbabilitate a polinoamelor matriceale și a matricelor polinomiale joacă un rol esențial în aparatul matematic al metodelor de analiză factorială și componente.
Polinoamele matriceale de același ordin pot fi adunate, scăzute și înmulțite în același mod ca polinoamele obișnuite cu coeficienți numerici. Cu toate acestea, trebuie amintit că înmulțirea polinoamelor matriceale, în general, nu este comutativă, deoarece înmulțirea matriceală nu este comutativă.
Se spune că două polinoame matriceale sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali, i.e. matrice corespunzătoare pentru aceleaşi grade ale variabilei.
Suma (diferența) a două polinoame matriceale se numește astfel de polinoamă matriceală, pentru care coeficientul pentru fiecare grad al variabilei este egal cu suma (diferența) coeficienților pentru același grad din polinoame și.
Pentru a înmulți un polinom matriceal cu un polinom matriceal, trebuie să înmulțiți fiecare termen al polinomului matriceal cu fiecare termen al polinomului matriceal, să adăugați produsele rezultate și să aduceți termeni similari.
Gradul unui polinom matriceal - produsul este mai mic sau egal cu suma puterilor factorilor.
Operațiile pe polinoamele matriceale pot fi efectuate folosind operații pe matricele corespunzătoare.
Pentru a adăuga (scădea) polinoame de matrice, este suficient să adăugați (scădeți) matricele corespunzătoare. Același lucru este valabil și pentru înmulțire. -matricea produsului polinoamelor matriceale este egală cu produsul -matricelor factorilor.
 |  |
Pe de altă parte, și poate fi scris în formă
unde В 0 este o matrice nedegenerată.
Când se împarte la, există un coeficient drept unic și un rest drept
unde gradul lui R 1 este mai mic decât gradul sau (diviziunea fără rest), precum și câtul din stânga și restul din stânga dacă și numai dacă, unde de ordin
Conceptele de dependență liniară și independență liniară sunt definite pentru rânduri și coloane în același mod. Prin urmare, proprietățile asociate acestor concepte, formulate pentru coloane, sunt, desigur, valabile și pentru rânduri.
1. Dacă sistemul de coloane include o coloană zero, atunci aceasta este dependentă liniar.
2. Dacă un sistem de coloane are două coloane egale, atunci este dependent liniar.
3. Dacă sistemul de coloane are două coloane proporționale, atunci este dependent liniar.
4. Un sistem de coloane este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre coloane este o combinație liniară a celorlalte.
5. Orice coloane incluse într-un sistem liniar independent formează un subsistem liniar independent.
6. Un sistem de coloane care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar.
7. Dacă un sistem de coloane este liniar independent și, după alăturarea unei coloane cu acesta, se dovedește a fi liniar dependent, atunci coloana poate fi descompusă în coloane și, în plus, într-un mod unic, de exemplu. coeficienţii de expansiune se regăsesc unic.
Să demonstrăm, de exemplu, ultima proprietate. Deoarece sistemul de coloane este dependent liniar, nu există toate numerele egale cu 0, care
În această egalitate. Într-adevăr, dacă, atunci
Prin urmare, o combinație liniară netrivială de coloane este egală cu coloana zero, ceea ce contrazice independența liniară a sistemului. Prin urmare, chiar și atunci, i.e. o coloană este o combinație liniară de coloane. Rămâne să arătăm unicitatea unei astfel de reprezentări. Să presupunem contrariul. Să fie două expansiuni și, în plus, nu toți coeficienții expansiunilor sunt, respectiv, egali între ei (de exemplu,). Apoi de la egalitate
Se obține (\ alpha_1- \ beta_1) A_1 + \ ldots + (\ alpha_k- \ beta_k) A_k = o
secvenţial, combinaţia liniară de coloane este egală cu coloana zero. Deoarece nu toți coeficienții săi sunt egali cu zero (cel puțin), această combinație este netrivială, ceea ce contrazice condiția independenței liniare a coloanelor. Contradicția rezultată confirmă unicitatea expansiunii.
Exemplul 3.2. Demonstrați că două coloane diferite de zero și sunt dependente liniar dacă și numai dacă sunt proporționale, i.e. ...
Soluţie.Într-adevăr, dacă coloanele și sunt dependente liniar, atunci există numere care nu sunt egale cu zero în același timp. Și în această egalitate. Într-adevăr, presupunând că, obținem o contradicție, deoarece coloana este și ea nenulă. Mijloace, . Prin urmare, există un număr astfel încât. Necesitatea a fost dovedită.
Dimpotrivă, dacă, atunci. Am obținut o combinație liniară netrivială de coloane egală cu coloana zero. Prin urmare, coloanele sunt dependente liniar.
Exemplul 3.3. Luați în considerare toate tipurile de sisteme coloane
Examinați fiecare sistem pentru dependența liniară.
Soluţie.
Luați în considerare cinci sisteme cu câte o coloană fiecare. Conform clauzei 1 din Observațiile 3.1: sistemele sunt liniar independente, iar un sistem format dintr-o coloană zero este dependent liniar.
Luați în considerare sistemele care conțin două coloane:
- fiecare dintre cele patru sisteme este dependent liniar, deoarece conține o coloană zero (proprietatea 1);
- sistemul este liniar dependent, deoarece coloanele sunt proporţionale (proprietatea 3):;
- fiecare dintre cele cinci sisteme și este liniar independent, deoarece coloanele sunt disproporționate (vezi enunțul din Exemplul 3.2).
Luați în considerare sistemele care conțin trei coloane:
- fiecare dintre cele șase sisteme este dependent liniar, deoarece conține o coloană zero (proprietatea 1);
- sistemele sunt dependente liniar, deoarece conțin un subsistem dependent liniar (proprietatea 6);
- sisteme și sunt liniar dependente, întrucât ultima coloană se exprimă liniar prin restul (proprietatea 4): și, respectiv.
În cele din urmă, sistemele de patru sau cinci coloane sunt dependente liniar (prin proprietatea 6).
Rangul matricei
În această secțiune, vom lua în considerare o altă caracteristică numerică importantă a unei matrice, legată de măsura în care rândurile (coloanele) acesteia depind unele de altele.
Definiția 14.10 Să fie dată o matrice de dimensiuni și un număr care să nu depășească cel mai mic dintre numere și: 
... Să selectăm în mod arbitrar rândurile matricei și coloanele (numerele rândurilor pot diferi de numerele coloanelor). Determinantul unei matrice compuse din elemente la intersecția rândurilor și coloanelor selectate se numește minorul ordinului matricei.
Exemplul 14.9 Lăsa 
.
Minorul de ordinul întâi este orice element al matricei. Deci 2,, - minori de ordinul I.
Minori de ordinul doi:
1.luați rândurile 1, 2, coloanele 1, 2, obținem un minor 
;
2. luăm rândurile 1, 3, coloanele 2, 4, obținem un minor 
;
3. luăm rândurile 2, 3, coloanele 1, 4, obținem un minor 
Minori de ordinul al treilea:
liniile de aici pot fi selectate într-un singur mod,
1.luați coloanele 1, 3, 4, obțineți un minor 
;
2.luați coloanele 1, 2, 3, obțineți un minor 
.
Propunerea 14.23 Dacă toate minorele matricei de ordine sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordine, dacă există, sunt de asemenea egale cu zero.
Dovada... Să luăm o comandă minoră arbitrară. Acesta este determinantul matricei de ordine. Să-l extindem de-a lungul primei linii. Apoi, în fiecare termen al expansiunii, unul dintre factori va fi unul minor de ordinul matricei originale. Prin ipoteză, ordinul minorilor este egal cu zero. Prin urmare, minorul ordinului va fi egal cu zero.
Definiția 14.11 Rangul unei matrice este cea mai mare ordine diferită de zero a minorilor matricei. Se presupune că rangul matricei zero este zero.
Nu există o desemnare unică, standard, pentru rangul unei matrice. În urma tutorialului, îl vom nota.
Exemplul 14.10 Matricea din Exemplul 14.9 are rangul 3, deoarece există un minor de ordinul trei diferit de zero și nu există minori de ordinul al patrulea.
Rangul matricei 
este egal cu 1, deoarece există un minor de ordinul întâi (element de matrice) diferit de zero, iar toate minorii de ordinul doi sunt zero.
Rangul unei matrice pătrate de ordin nedegenerate este egal, deoarece determinantul său este un minor al ordinului, iar matricea nedegenerată este diferită de zero.
Propunerea 14.24 Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă, adică 
.
Dovada... Minorul transpus al matricei originale va fi minorul matricei transpuse și invers, orice minor este minorul transpus al matricei originale. Atunci când este transpus, determinantul (minor) nu se modifică (Propunerea 14.6). Prin urmare, dacă toți minorii ordinului din matricea originală sunt egali cu zero, atunci toți minorii din același ordin în sunt, de asemenea, egali cu zero. Dacă minorul ordinului din matricea originală este diferit de zero, atunci există un minor de același ordin, diferit de zero. Prin urmare, .
Definiția 14.12 Fie rangul matricei. Atunci orice minor de ordin diferit de zero este numit un minor de bază.
Exemplul 14.11 Lăsa 
... Determinantul matricei este egal cu zero, deoarece al treilea rând este egal cu suma primelor două. Minorul de ordinul doi situat în primele două rânduri și primele două coloane este 
... În consecință, rangul matricei este egal cu doi, iar minorul considerat este de bază.
Minorul de bază este, de asemenea, minorul situat, să zicem, în primul și al treilea rând, prima și a treia coloană: 
... Baza va fi minora pe al doilea și al treilea rând, prima și a treia coloană: 
.
Minor în primul și al doilea rând, a doua și a treia coloană este zero și, prin urmare, nu va fi de bază. Cititorul poate verifica independent care alți minori de ordinul doi vor fi de bază și care nu.
Deoarece coloanele (rândurile) unei matrice pot fi adăugate, înmulțite cu numere și pot fi formate combinații liniare, este posibil să se introducă definiții ale dependenței liniare și ale independenței liniare a sistemului de coloane (rânduri) ale matricei. Aceste definiții sunt similare cu aceleași definiții 10.14, 10.15 pentru vectori.
Definiția 14.13 Un sistem de coloane (rânduri) se numește dependent liniar dacă există un set de coeficienți, dintre care cel puțin unul este diferit de zero, astfel încât o combinație liniară de coloane (rânduri) cu acești coeficienți să fie egală cu zero.
Definiția 14.14 Un sistem de coloane (rânduri) este liniar independent dacă din egalitatea la zero a combinației liniare a acestor coloane (rânduri) rezultă că toți coeficienții acestei combinații liniare sunt egali cu zero.
Următoarea propoziție, care este similară cu Propoziția 10.6, este de asemenea adevărată.
Oferta 14.25 Un sistem de coloane (rânduri) este dependent liniar dacă și numai dacă una dintre coloane (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a altor coloane (rânduri) ale acestui sistem.
Să formulăm o teoremă numită teorema minoră de bază.
Teorema 14.2 Orice coloană a matricei este o combinație liniară de coloane care trec prin baza minoră.
Dovada poate fi găsită în manualele de algebră liniară, de exemplu, în,.
Propunerea 14.26 Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al coloanelor sale care formează un sistem liniar independent.
Dovada... Fie rangul matricei. Luați coloanele care trec prin baza minoră. Să presupunem că aceste coloane formează un sistem dependent liniar. Apoi, una dintre coloane este o combinație liniară a celorlalte. Prin urmare, într-un minor de bază, o coloană va fi o combinație liniară a celorlalte coloane. Conform Propozițiilor 14.15 și 14.18, acest minor de bază trebuie să fie zero, ceea ce contrazice definiția minorului de bază. Prin urmare, ipoteza că stâlpii care trec prin baza minoră sunt dependente liniar nu este adevărată. Deci, numărul maxim de coloane care formează un sistem liniar independent este mai mare sau egal cu.
Să presupunem că coloanele formează un sistem liniar independent. Să facem o matrice din ele. Toți minorii de matrice sunt minori de matrice. Prin urmare, minorul de bază al matricei este cel mult de ordin. Conform teoremei minore de bază, coloana care nu trece prin minorul de bază al matricei este o combinație liniară a coloanelor care trec prin minorul de bază, adică coloanele matricei formează un sistem dependent liniar. Acest lucru este contrar alegerii coloanelor care formează matricea. Prin urmare, numărul maxim de coloane care formează un sistem liniar independent nu poate fi mai mare. Aceasta înseamnă că este egal cu ceea ce a fost declarat.
Propunerea 14.27 Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri ale acesteia care formează un sistem liniar independent.
Dovada... Prin Propunerea 14.24, rangul matricei nu se modifică la transpunere. Rândurile matricei devin coloanele acesteia. Numărul maxim de coloane noi ale matricei transpuse (foste rânduri ale originalului) care formează un sistem liniar independent este egal cu rangul matricei.
Propunerea 14.28 Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci una dintre coloanele sale (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.
Dovada... Fie ordinea matricei. Determinantul este singurul minor al unei matrice pătrate cu ordine. Din moment ce este zero, atunci. Prin urmare, un sistem de coloane (rânduri) este dependent liniar, adică una dintre coloane (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a celorlalte.
Rezultatele Propozițiilor 14.15, 14.18 și 14.28 dau următoarea teoremă.
Teorema 14.3 Determinantul unei matrice este egal cu zero dacă și numai dacă una dintre coloanele sale (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.
Găsirea rangului unei matrice prin calcularea tuturor minorilor ei necesită prea multă muncă de calcul. (Cititorul poate verifica că există 36 de minori de ordinul doi într-o matrice pătrată de ordinul al patrulea.) Prin urmare, se folosește un alt algoritm pentru a găsi rangul. Pentru a-l descrie sunt necesare o serie de informații suplimentare.
Definiția 14.15 Să numim următoarele acțiuni asupra matricelor transformări elementare ale matricelor:
1) permutarea rândurilor sau coloanelor;
2) înmulțirea unui rând sau a unei coloane cu un alt număr decât zero;
3) adăugarea la unul dintre rânduri a unui alt rând înmulțit cu un număr sau adăugarea la una dintre coloanele altei coloane înmulțit cu un număr.
Propunerea 14.29 Transformările elementare nu schimbă rangul matricei.
Dovada... Fie rangul matricei egal cu, - matricea obținută în urma efectuării unei transformări elementare.
Luați în considerare permutarea rândurilor. Fie minorul matricei, atunci există un minor în matrice, care fie coincide cu acesta, fie diferă de ea prin permutarea rândurilor. Și invers, orice minor al matricei poate fi asociat cu un minor al matricei, care fie coincide cu acesta, fie diferă de acesta în ordinea rândurilor. Prin urmare, din faptul că în matrice toți minorii ordinului sunt egali cu zero, rezultă că și în matrice, toți minorii acestui ordin sunt egali cu zero. Și din moment ce matricea are o ordine minoră diferită de zero, matricea are și o ordine minoră diferită de zero, adică.
Luați în considerare înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero. Un minor din matrice îi corespunde unui minor din matrice, care fie coincide cu acesta, fie diferă de acesta printr-un singur rând, care se obține din rândul minor prin înmulțirea cu un alt număr decât zero. In ultimul caz. În toate cazurile, fie și sunt simultan egale cu zero, fie sunt simultan diferite de zero. Prin urmare, .
Lăsa
Coloanele matricei de dimensiuni. Combinație liniară de coloane matrice se numește matrice-coloană, în timp ce unele numere reale sau complexe, numite coeficienți de combinație liniară... Dacă într-o combinație liniară luăm toți coeficienții egali cu zero, atunci combinația liniară este egală cu matricea coloanei zero.
Se numesc coloanele matricei liniar independent dacă combinația lor liniară este egală cu zero numai atunci când toți coeficienții combinației liniare sunt egale cu zero. Se numesc coloanele matricei dependent liniar , dacă există o mulțime de numere, dintre care cel puțin unul este diferit de zero, iar combinația liniară de coloane cu acești coeficienți este egală cu zero
În mod similar, pot fi date definiții ale dependenței liniare și ale independenței liniare a rândurilor matricei. În cele ce urmează, toate teoremele sunt formulate pentru coloanele matricei.
Teorema 5
Dacă există zero între coloanele matricei, atunci coloanele matricei sunt dependente liniar.
Dovada. Luați în considerare o combinație liniară în care toți coeficienții sunt zero pentru toate coloanele diferite de zero și unul pentru coloanele zero. Este egal cu zero, iar printre coeficienții combinației liniare există unul diferit de zero. În consecință, coloanele matricei sunt dependente liniar.
Teorema 6
Dacă matricea coloanelor dependent liniar, atunci asta e tot coloanele matricei sunt dependente liniar.
Dovada. Pentru certitudine, presupunem că primele coloane ale matricei 
sunt dependente liniar. Apoi, prin definiția dependenței liniare, există o mulțime de numere, dintre care cel puțin unul este diferit de zero, iar combinația liniară de coloane cu acești coeficienți este zero.
Să compunem o combinație liniară a tuturor coloanelor matricei, inclusiv coloanele rămase cu coeficienți zero
Dar . Prin urmare, toate coloanele matricei sunt dependente liniar.
Consecinţă... Printre coloanele liniar independente ale matricei, orice liniar independent. (Această afirmație este ușor dovedită prin contradicție.)
Teorema 7
Pentru ca coloanele matricei să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca cel puțin o coloană a matricei să fie o combinație liniară a celorlalte.
Dovada.
Nevoie. Fie coloanele matricei dependente liniar, adică există o mulțime de numere, dintre care cel puțin unul este diferit de zero, iar combinația liniară de coloane cu acești coeficienți este zero
Pentru certitudine, presupuneți asta. Atunci, adică prima coloană este o combinație liniară a restului.
Adecvarea... Fie ca cel puțin o coloană a matricei să fie o combinație liniară a celorlalte, de exemplu, unde sunt unele numere.
Atunci, adică combinația liniară de coloane este egală cu zero, iar dintre numerele combinației liniare cel puțin unul (at) este diferit de zero.
Fie rangul matricei. Orice ordine minoră diferită de zero este apelată de bază ... Se numesc rânduri și coloane, la intersecția cărora există o bază minoră de bază .
