Conform ecuației (13.5), funcția de corelație a răspunsului unui dispozitiv neliniar poate fi exprimată în termenii funcției de tranziție a acestui dispozitiv după cum urmează:

Integrala dublă peste este, după cum se poate observa din comparația cu egalitatea (4.25), funcția caracteristică comună a mărimilor scrise în funcție de variabile complexe. Prin urmare,

Expresia (13.40) este formula principală în analiza efectelor aleatorii asupra dispozitivelor neliniare prin metoda transformării. Restul acestui capitol este dedicat calculării acestei expresii pentru diferite tipuri de dispozitive și diferite tipuri de acțiuni asupra acestora.

În multe probleme, impactul aplicat intrării sistemului este suma semnalului util și a zgomotului:

unde sunt funcții eșantionare ale proceselor probabilistice independente statistic. În astfel de cazuri, funcția caracteristică comună a acțiunii este egală cu produsul funcțiilor caracteristice ale semnalului și zgomotului, iar egalitatea (13.40) ia

unde - funcţia caracteristică comună a mărimilor - funcţie caracteristică comună a mărimilor şi

Zgomot gaussian la intrare. Dacă zgomotul la intrarea dispozitivului este o funcție de probă a unui proces probabilistic Gaussian real cu așteptare matematică zero, atunci, conform egalității (8.23),

unde funcția de răspuns de corelație în acest caz ia forma

Dacă acum poate fi reprezentat ca produse ale unei funcții de printr-o funcție a sau ca sume ale unor astfel de produse, atunci integrala dublă din ultima expresie poate fi calculată ca produs de integrale. Faptul că o funcție exponențială poate fi reprezentată în termeni de produse ale funcțiilor din și rezultă din extinderea ei într-o serie de puteri

Prin urmare, funcția de corelație a răspunsului unui dispozitiv neliniar atunci când zgomotul său gaussian este aplicat la intrare poate fi scrisă ca

semnale sinusoidale.

Să presupunem acum că semnalul de la intrarea dispozitivului este o sinusoidă modulată, adică că

unde este funcția eșantion a unui proces probabilistic de joasă frecvență (adică unul a cărui densitate spectrală este diferită de zero numai în domeniul de frecvență adiacent frecvenței zero și îngustă în comparație cu și unde variabila aleatoare este distribuită uniform în interval și nu nu depinde de semnalul modulator și de zgomot.Funcția caracteristică a unui astfel de semnal este egală cu

Extinderea exponențială la formula Jacobi-Enger [expresia (13.20)], obținem

În măsura în care

unde obținem că pentru un semnal sinusoidal modulat în amplitudine

Funcția de corelație a răspunsului unui dispozitiv neliniar atunci când este aplicată la intrarea semnalului său sinusoidal și a zgomotului gaussian poate fi găsită acum prin înlocuirea (13.47) în (13.45). Definiți funcția

unde și funcția de corelare

unde media se realizează pe semnalul modulator; atunci funcţia de corelare a răspunsului va fi egală cu

Dacă atât semnalul modulator, cât și zgomotul sunt staționari, atunci expresia (13.50) devine

Dacă semnalul de intrare este o undă sinusoidală nemodulată

căci în acest caz coeficienţii sunt constanţi şi egali între ei.

Componente de semnal și zgomot la ieșire.

Luați în considerare acum cazul în care zgomotul de intrare are forma unui sinusoid modulat. În acest caz, funcția de corelare a ieșirii este dată de expresia (13.52). Să extindem această expresie după cum urmează:

Să aruncăm o privire asupra componentelor sale individuale. Primul termen corespunde componentei constante la ieșirea dispozitivului. Următorul grup de termeni corespunde părții periodice a răspunsului și se datorează în principal interacțiunii semnalului de intrare cu el însuși. Termenii rămași corespund fluctuațiilor aleatorii ale răspunsului, adică zgomotului la ieșire. Cei de

acești termeni rămași, pentru care se datorează în principal interacțiunii zgomotului de intrare cu el însuși și cei pentru care interacțiunea semnalului și zgomotul la intrare.

Reprezentăm răspunsul unui dispozitiv neliniar ca sumă a valorii medii, a componentelor periodice și a unei componente aleatorii:

Apoi funcția de răspuns de corelație poate fi scrisă ca

unde comparând egalitățile (13.53) și (13.55), vedem că valoarea medie a răspunsului și amplitudinile componentelor sale periodice pot fi exprimate direct în termeni de coeficienți

În plus, funcția de corelare a părții aleatoare a răspunsului poate fi scrisă ca

unde punem prin definiție în conformitate cu (13.50)

De remarcat că, strict vorbind, toți acești termeni sunt funcții ale procesului care modulează semnalul de intrare.

Soluția la întrebarea care dintre termenii din (13.62) determină semnalul de ieșire util depinde, desigur, de scopul dispozitivului neliniar. Dacă, de exemplu, dispozitivul este utilizat ca detector, atunci partea de frecvență joasă a semnalului de ieșire este utilă. În acest caz, semnalul util corespunde părții din funcția de corelare definită de egalitate

Pe de altă parte, dacă dispozitivul este folosit ca amplificator neliniar, atunci

deoarece în acest caz este utilă componenta semnalului concentrată în jurul frecvenței purtătoare a semnalului de intrare

În primele etape ale dezvoltării ingineriei radio, problema alegerii celor mai bune semnale pentru anumite aplicații specifice nu era foarte acută. Acest lucru s-a datorat, pe de o parte, structurii relativ simple a mesajelor transmise (colete telegrafice, difuzare); pe de altă parte, implementarea practică a semnalelor de formă complexă în combinație cu echipamente pentru codarea, modularea și transformarea lor inversă într-un mesaj s-a dovedit a fi dificil de implementat.

În prezent, situația s-a schimbat radical. În complexele radio-electronice moderne, alegerea semnalelor este dictată în primul rând nu de facilitățile tehnice ale generării, conversiei și recepționării acestora, ci de posibilitatea de a rezolva în mod optim problemele prevăzute în proiectarea sistemului. Pentru a înțelege cum apare nevoia de semnale cu proprietăți special alese, luați în considerare următorul exemplu.

Comparația semnalelor deplasate în timp.

Să ne întoarcem la o idee simplificată a funcționării unui radar cu impulsuri conceput pentru a măsura distanța până la zăpadă. Aici, informațiile despre obiectul de măsurat sunt încorporate în valoare - întârzierea de timp dintre semnalele de sondare și recepția. Formele de sondare și recepție și semnale sunt aceleași pentru orice întârzieri.

Schema bloc a unui dispozitiv de procesare a semnalului radar proiectat pentru distanță poate arăta ca cea prezentată în Fig. 3.3.

Sistemul constă dintr-un set de elemente care întârzie semnalul transmis „de referință” pentru anumite perioade fixe de timp.

Orez. 3.3. Dispozitiv pentru măsurarea timpului de întârziere a semnalului

Semnalele întârziate, împreună cu semnalul recepționat, sunt alimentate la comparatoare care funcționează în conformitate cu principiul că un semnal apare la ieșire numai dacă ambele oscilații de intrare sunt „copii” una a celeilalte. Cunoscând numărul canalului în care are loc evenimentul specificat, este posibil să se măsoare întârzierea și, prin urmare, intervalul până la țintă.

Un astfel de dispozitiv va funcționa cu atât mai precis, cu atât semnalul și „copia” sa decalată în timp diferă unul de celălalt.

Astfel, am obținut o „înțelegere calitativă a ce semnale pot fi considerate „bune” pentru o anumită aplicație.

Să ne întoarcem la formularea matematică exactă a problemei puse și să arătăm că această serie de întrebări este direct legată de teoria spectrelor energetice ale semnalelor.

Funcția de autocorelare a semnalului.

Pentru a determina cantitativ gradul de diferență dintre semnal și copia sa decalată în timp, se obișnuiește să se introducă funcția de autocorelare (ACF) a semnalului egală cu produsul scalar al semnalului și al copiei:

În cele ce urmează, vom presupune că semnalul studiat are un caracter pulsat localizat în timp, astfel încât cu siguranță există o integrală de forma (3.15).

Se vede direct că la , funcția de autocorelare devine egală cu energia semnalului:

Printre cele mai simple proprietăți ale unui ACF este paritatea sa:

Într-adevăr, dacă facem o schimbare de variabile în integrala (3.15), atunci

În cele din urmă, o proprietate importantă a funcției de autocorelare este următoarea: pentru orice valoare a deplasării în timp, modulul ACF nu depășește energia semnalului:

Acest fapt rezultă direct din inegalitatea Cauci-Bunyakovsky (vezi cap. 1):

Deci, ACF este reprezentat de o curbă simetrică cu un maxim central, care este întotdeauna pozitiv. În acest caz, în funcție de tipul de semnal, funcția de autocorelare poate avea atât un caracter monoton descrescător, cât și unul oscilant.

Exemplul 3.3. Găsiți ACF-ul unui impuls video dreptunghiular.

Pe fig. 3.4,a arată un impuls video dreptunghiular cu amplitudinea și durata U. Aici este și „copia” acestuia, deplasată în timp în direcția întârzierii cu . Integrala (3.15) se calculează în acest caz elementar pe baza construcției grafice. Într-adevăr, produsul dintre și și este diferit de zero numai în intervalul de timp în care se observă suprapunerea semnalelor. Din fig. 3.4, se poate observa că acest interval de timp este egal dacă deplasarea nu depășește durata pulsului. Astfel, pentru semnalul considerat

Graficul unei astfel de funcții este triunghiul prezentat în Fig. 3.4b. Lățimea bazei triunghiului este de două ori mai mare decât durata pulsului.

Orez. 3.4. Găsirea ACF al unui impuls video dreptunghiular

Exemplul 3.4. Găsiți ACF-ul unui impuls radio dreptunghiular.

Vom lua în considerare un semnal radio de formă

Știind dinainte că ACF este par, calculăm integrala (3.15), cu . în care

de unde obținem ușor

Desigur, la , valoarea devine egală cu energia acestui impuls (vezi Exemplul 1.9). Formula (3.21) descrie ACF-ul unui impuls radio dreptunghiular pentru toate deplasările care se află în intervalul Dacă valoarea absolută a deplasării depășește durata impulsului, atunci funcția de autocorelare va dispărea în mod identic.

Exemplul 3.5. Determinați ACF-ul unei secvențe de impulsuri video dreptunghiulare.

În radar sunt utilizate pe scară largă semnalele, care sunt rafale de impulsuri de aceeași formă, care urmează unul după altul în același interval de timp. Pentru a detecta un astfel de pachet, precum și pentru a măsura parametrii acestuia, de exemplu, poziția în timp, sunt create dispozitive care implementează algoritmi pentru calcularea ACF-ului în hardware.

Orez. 3.5. ACF al unui pachet de trei impulsuri video identice: a - un pachet de impulsuri; b - graficul ACF

Pe fig. 3.5, este prezentat un pachet, format din trei impulsuri video dreptunghiulare identice. De asemenea, prezintă funcția sa de autocorelare, calculată prin formula (3.15) (Fig. 3.5, b).

Se vede clar că maximul ACF este atins la.Totuși, dacă întârzierea este un multiplu al perioadei secvenței (at în cazul nostru), se observă lobi laterali ai ACF, comparabili ca înălțime cu lobul principal. Prin urmare, putem vorbi despre binecunoscuta imperfecțiune a structurii de corelație a acestui semnal.

Funcția de autocorelare a unui semnal extins infinit.

Dacă este necesar să se ia în considerare secvențe periodice care sunt nelimitate în timp, atunci abordarea studierii proprietăților de corelare a semnalelor ar trebui să fie oarecum modificată.

Vom presupune că o astfel de secvență se obține din unele localizate în timp, adică impuls, semnal, atunci când durata acestuia din urmă tinde spre infinit. Pentru a evita divergența expresiilor obținute, să definim noul ACF ca valoarea medie a produsului scalar al semnalului și copia acestuia:

Cu această abordare, funcția de autocorelare devine egală cu puterea medie reciprocă a acestor două semnale.

De exemplu, dacă doriți să găsiți ACF pentru o undă cosinus care este nelimitată în timp, puteți utiliza formula (3.21) obținută pentru un impuls radio cu o durată și apoi să mergeți la limită luând în considerare definiția (3.22). ). Drept urmare, obținem

Acest ACF este în sine o funcție periodică; valoarea sa este egală cu

Relația dintre spectrul energetic al unui semnal și funcția sa de autocorelare.

Când studiază materialul acestui capitol, cititorul poate crede că metodele de analiză a corelației acționează ca niște tehnici speciale care nu au nicio legătură cu principiile expansiunilor spectrale. Cu toate acestea, nu este. Este ușor de demonstrat că există o relație strânsă între ACF și spectrul de energie al semnalului.

Într-adevăr, în conformitate cu formula (3.15), ACF este produsul scalar: Aici, simbolul denotă copia deplasată în timp a semnalului și ,

Revenind la formula generalizată Rayleigh (2.42), putem scrie egalitatea

Densitatea spectrală a semnalului decalat în timp

Astfel, ajungem la rezultatul:

Pătratul modulului densității spectrale, așa cum este cunoscut, este spectrul de energie al semnalului. Deci, spectrul de energie și funcția de autocorelare sunt legate de transformata Fourier:

Este clar că există și o relație inversă:

Aceste rezultate sunt de o importanță fundamentală din două motive. În primul rând, se dovedește a fi posibil să se evalueze proprietățile de corelare ale semnalelor pe baza distribuției energiei lor pe spectru. Cu cât lățimea de bandă a semnalului este mai largă, cu atât lobul principal al funcției de autocorelare este mai îngust și semnalul este mai perfect în ceea ce privește posibilitatea de a măsura cu precizie momentul declanșării acestuia.

În al doilea rând, formulele (3.24) și (3.26) indică modalitatea de determinare experimentală a spectrului energetic. Este adesea mai convenabil să obțineți mai întâi funcția de autocorelare și apoi, folosind transformata Fourier, să găsiți spectrul de energie al semnalului. Această tehnică a devenit larg răspândită în studiul proprietăților semnalelor folosind computere de mare viteză în timp real.

Rezultă că intervalul de corelare

se dovedește a fi cu cât este mai mică, cu atât frecvența de tăiere superioară a spectrului de semnal este mai mare.

Restricții impuse formei funcției de autocorelare a semnalului.

Relația găsită între funcția de autocorelare și spectrul energetic face posibilă stabilirea unui criteriu interesant și la prima vedere neevident pentru existența unui semnal cu proprietăți de corelație date. Faptul este că spectrul energetic al oricărui semnal, prin definiție, trebuie să fie pozitiv [vezi. formula (3.25)]. Această condiție nu va fi îndeplinită pentru nicio alegere a ACF. De exemplu, dacă luăm

și calculați transformata Fourier corespunzătoare, atunci

Această funcție de schimbare a semnelor nu poate reprezenta spectrul energetic al niciunui semnal.

Distribuțiile Rayleigh și Rice caracterizează decolorarea semnalului incomplet. În special, ele nu oferă o idee despre cum decurge procesul de estompare a semnalului în timp. Să presupunem că procesul este luat în considerare în două momente în timp tȘi t+t, unde t este întârzierea. Apoi relația statistică de estompare este dată de funcția de corelare, care este definită după cum urmează.

Presupunem că procesul luat în considerare este staționar. Aceasta înseamnă că parametrii săi statistici, cum ar fi media, varianța și corelația încrucișată, sunt independenți de timp. t. Pentru procesul de bandă îngustă (2.3.37) obținem funcția de corelare în forma

Introducem funcțiile de corelație ale semnalelor în cuadratura:

Acum transformăm expresia (2.3.61) în forma

Pentru transformarea ulterioară (2.3.63), folosim relații trigonometrice.

(2.3.64)

Drept urmare, obținem

Deoarece procesul este staționar, funcția de corelare nu ar trebui să depindă de timp. Această cerință poate fi îndeplinită dacă al doilea și al patrulea termen din (2.3.65) sunt egali cu zero, ceea ce, la rândul său, este posibil dacă funcțiile de corelare a semnalului în cuadratura satisfac următoarele relații:

Astfel, funcția de corelație a unui semnal de bandă îngustă normală staționară este

Să arătăm că funcția de corelare este o funcție impară a lui t. Pentru aceasta, avem în vedere că

Înlocuim (2.3.68) în a doua formulă din (2.3.66) și aflăm că

. (2.3.69)

Astfel, funcția de corelație încrucișată a semnalelor în cuadratură este impară. Acest lucru implică un rezultat important că, în același timp, semnalele în cuadratura nu sunt corelate, adică .

Luați în considerare acum corelația amplitudinii complexe

Prin definiția funcției de corelare, putem scrie asta

. (2.3.71)

Funcția este complexă și are proprietatea de simetrie, adică.

. (2.3.72)

Înlocuim (2.3.70) în (2.3.71) și luăm în considerare (2.3.62). Atunci (2.3.71) ia forma

Dacă luăm în considerare (2.3.66), atunci această formulă este simplificată semnificativ:

Funcția de corelație (2.3.67) a unui semnal de bandă îngustă și funcția de corelare (2.3.74) a amplitudinii sale complexe sunt interrelative. Această relație este ușor de relevată prin compararea (2.3.67) și (2.3.74). Ca urmare, vom avea

Proprietățile de corelație ale unui semnal sunt strâns legate de proprietățile sale spectrale. În special, densitatea spectrală de putere se găsește folosind transformata Fourier a funcției de corelație și este egală cu

. (2.3.76)

Să arătăm că este o funcție reală, în timp ce funcția de corelare este complexă. Pentru a face acest lucru, luăm conjugarea complexă din expresia (2.3.76) și luăm în considerare proprietatea de simetrie (2.3.72) a funcției de corelare. Drept urmare, obținem

Comparând (2.3.77) cu (2.3.76) avem că . Aceasta demonstrează că spectrul amplitudinii complexe este o funcție reală.

În cele ce urmează, se va arăta că spectrul amplitudinii complexe a semnalului care descrie decolorarea într-un canal cu mai multe căi este chiar reale funcția de frecvență, adică . Atunci funcția de corelare devine reală. Pentru a demonstra acest lucru, scriem funcția de corelație ca transformată Fourier inversă a densității spectrale de putere sub forma

. (2.3.78)

Să luăm conjugarea complexă a expresiei (2.3.78) și să luăm în considerare uniformitatea funcției . Înțelegem asta

Comparând (2.3.79) cu (2.3.78) avem că . Aceasta dovedește că funcția de corelație a amplitudinii complexe cu spectrul real ca funcție pară este o funcție reală.

Ținând cont de validitatea funcției de corelare, din (2.3.74) constatăm că

. (2.3.80)

Folosind (2.3.75), obținem funcția de corelare a semnalului de bandă îngustă sub forma

Acum să stabilim sarcina, pentru a găsi în mod explicit spectrul și funcția de corelare care descriu decolorarea semnalului într-un canal cu mai multe căi. Luați în considerare din nou două momente în timp tȘi t+t. Dacă în timpul t emițătorul, receptorul și reflectoarele nu își schimbă locația și își păstrează parametrii, atunci semnalul total din receptor nu se modifică. Pentru ca semnalul să apară, este necesară mișcarea reciprocă a emițătorului, receptorului și (sau) reflectoarelor. Numai în acest caz, există o modificare a amplitudinilor și fazelor semnalelor însumate la intrarea antenei de recepție. Cu cât această mișcare are loc mai rapid, cu atât mai rapid are loc decolorarea semnalului și, prin urmare, spectrul său ar trebui să fie mai larg.

Vom presupune că receptorul se mișcă cu o viteză vîn timp ce emiţătorul rămâne staţionar. Dacă antena emițătorului emite un semnal armonic de o anumită frecvență f, apoi datorită efectului Doppler, receptorul înregistrează un semnal de o frecvență diferită. Diferența dintre aceste frecvențe se numește schimbarea frecvenței Doppler. Pentru a găsi decalajul de frecvență, luați în considerare Fig. 2.16, care arată transmițătorul, receptorul, vectorul de undă k val plană și vector v viteza receptorului.

Orez. 2.16. Pentru determinarea deplasării de frecvență Doppler

Scriem ecuația mișcării uniforme a receptorului sub forma

Atunci faza semnalului primit va fi o funcție de timp

unde q este unghiul dintre vectorul viteză și vectorul undei.

Frecvența instantanee este definită ca derivată a fazei. Prin urmare, diferențiind (2.3.83) și ținând cont că numărul de undă , vom avea

. (2.3.84)

Cu mișcarea uniformă a receptorului, după cum urmează din (2.3.84), există o schimbare de frecvență egală cu

De exemplu, să presupunem că viteza v=72 km/h = 20 m/s, frecvența emițătorului f=900 MHz, iar unghiul q=0. Lungimea de undă l și frecvența f conectate prin viteza luminii din raport din=fl. Prin urmare avem că l= c/f=0,33 m. Acum din (2.3.85) aflăm că deplasarea frecvenței Doppler f d=60 Hz.

Deplasarea frecvenței Doppler (2.3.85) ia atât valori pozitive, cât și negative, în funcție de unghi qîntre vectorul viteză și vectorul undei. Valoarea deplasării Doppler nu depășește valoarea maximă egală cu fmax=v/l. Formula (2.3.85) poate fi reprezentată convenabil ca

. (2.3.86)

Când există multe reflectoare, este firesc să presupunem că acestea sunt distribuite uniform în jurul receptorului, de exemplu, în jurul cercului, așa cum se arată în Fig. 2.17. Un astfel de model de reflectoare se numește modelul Clark.

Orez. 2.17. Amplasarea reflectoarelor în modelul Clark

Densitatea spectrală de putere în cazul modelului Clark este determinată în felul următor. Selectați intervalul de frecvență df d frecvență apropiată f d. Puterea primită inclusă în acest interval este . Această putere se datorează deplasării frecvenței Doppler (2.3.86). Puterea disipată legată de distanța unghiulară d q, este egal cu , unde este densitatea unghiulară a puterii împrăștiate. Rețineți că aceeași schimbare Doppler f d observat pentru reflectoare cu coordonate unghiulare ±q. Aceasta implică următoarea egalitate de puteri

Vom presupune că puterea totală disipată este egală cu unitatea și este distribuită uniform în intervalul .

Orez. 2.18. Spectrul Doppler pentru Jakes fmax=10 Hz

Pentru a determina funcția de corelație (2.3.71) a amplitudinii complexe, este necesar să se substituie expresia (2.3.90) obținută pentru densitatea spectrală de putere în (2.3.78). Drept urmare, obținem

Modulul funcției de corelație (2.3.91) al amplitudinii complexe pentru cele două frecvențe Doppler maxime fmax=10 Hz (curbă solidă) și fmax=30 Hz (curba întreruptă) sunt prezentate în fig. 2.19. Dacă estimăm timpul de corelație al decolorării semnalului în canal la un nivel de 0,5, atunci acesta este egal cu . Aceasta dă 24 ms pt fmax=10 Hz și 8 ms pt fmax=30 Hz.

Orez. 2.19. Modul functie de corelare pentru fmax=10 și 30 Hz (curbe solide și punctate,
respectiv).

În general, spectrul Doppler poate diferi de spectrul Jakes (2.3.90). Gama D f d, în care diferă semnificativ de zero, se numește împrăștiere Dopplerîn canal. Din moment ce este legat de transformata Fourier, atunci timp de coerență t coh canalul este valoarea t coh»1/D f d, care caracterizează rata de modificare a proprietăților canalului.

La derivarea (2.3.90) și (2.3.91), sa presupus că puterea medie a semnalului împrăștiat este egală cu unitatea. Aceasta rezultă și din (2.3.91) și (2.3.71), deoarece

Coeficientul de corelare este egal cu raportul dintre funcția de corelare și puterea medie. Prin urmare, în acest caz, expresia (2.3.91) dă și coeficientul de corelație .

Din (2.3.81) găsim funcția de corelare a semnalului în bandă îngustă egală cu

În practică, proprietățile de corelație ale unor variabile aleatoare precum amplitudinea DARși putere instantanee P=DAR 2. Aceste cantități sunt de obicei înregistrate, de exemplu, la ieșirea unui detector liniar sau pătratic. Proprietățile lor de corelare sunt legate într-un anumit fel de proprietățile de corelare ale amplitudinii complexe Z(t).

Coeficientul de corelație de putere instantanee este legat de coeficientul de corelație complex de amplitudine printr-o relație simplă de forma:

. (2.3.94)

Prezentăm dovada acestei formule. Pe baza definiției coeficientului de corelație, putem scrie că

, (2.3.95)

unde este funcția de corelare a puterii.

Să presupunem că nu există o componentă deterministă a semnalului și a amplitudinii DAR are o distribuție Rayleigh. Apoi<P>=<A 2 >=2σ 2 . Cantitatea inclusă în (2.3.95) . Folosind legea distribuției Rayleigh, aflăm că

. (2.3.96)

Ținând cont de (2.3.96), găsim funcția de corelare a puterii din (2.3.95) folosind transformări algebrice simple. Înțelegem asta

. (2.3.97)

Exprimăm, de asemenea, funcția de corelare a puterii în termeni de componente de cuadratură în formă

Efectuând înmulțirea și medierea în partea dreaptă a egalității (2.3.98), obținem termenii, care sunt următoarele momente de ordinul al patrulea:

Astfel, trebuie să calculăm momentele de ordinul al patrulea. Luăm în considerare că componentele de cuadratura euȘi Q sunt variabile aleatoare gaussiene cu medie zero și aceeași varianță σ 2 și folosesc binecunoscuta regulă de ruptură a momentului de ordinul al patrulea . Potrivit acesteia, dacă există patru variabile aleatorii A, b, c, Și d, atunci următoarea formulă este valabilă:

Aplicând această regulă, calculăm momentele de ordinul al patrulea în (2.3.99). Ca urmare, vom avea

(2.3.101)

Dacă luăm în considerare (2.3.96), (2.3.66) și (2.3.74), atunci (2.3.98) poate fi scrisă ca

Acum este necesar să se țină cont de asta . Ca rezultat, obținem următoarea expresie pentru funcția de corelare a puterii:

Comparând formula obţinută cu (2.3.97), suntem convinşi de validitatea lui (2.3.94).

Pentru modelul canalului Clark, am constatat că coeficientul de corelație este dat de (2.3.91). Ținând cont de (2.3.94), coeficientul de corelație al puterii în cazul modelului Clark va fi egal cu

. (2.3.104)

Proprietăți de corelație ale amplitudinii DAR sunt investigate folosind un aparat matematic mult mai complex și nu sunt luate în considerare aici. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că coeficientul de corelație a amplitudinii DAR satisface următoarea egalitate aproximativă .

2.6. Analiza corelație-spectrală a semnalelor deterministe. Circuite și semnale de inginerie radio. Partea I

2.6. Analiza corelație-spectrală a semnalelor deterministe

În multe probleme de inginerie radio, de multe ori devine necesar să se compare semnalul și copia sa deplasată cu ceva timp. În special, această situație apare în radar, unde pulsul reflectat de la țintă ajunge la intrarea receptorului cu o întârziere. Compararea acestor semnale între ele, de ex. stabilirea relației lor, în timpul procesării, vă permite să determinați parametrii mișcării țintei.

Pentru a cuantifica relația dintre un semnal și copia sa decalată în timp, se introduce caracteristica

, (2.57)

Care e numit funcția de autocorelare(AKF).

Pentru a explica semnificația fizică a ACF, să dăm un exemplu în care semnalul este un impuls dreptunghiular cu durată și amplitudine. Pe fig. 2.9 arată impulsul, copia acestuia, deplasat cu un interval de timp și produsul . Evident, integrarea produsului dă valoarea zonei pulsului, care este produsul . Această valoare, când este fixă, poate fi reprezentată printr-un punct în coordonate. Când se modifică, vom obține un grafic al funcției de autocorelare.

Să găsim o expresie analitică. pentru că

apoi substituind această expresie în (2.57), obținem

. (2.58)

Dacă semnalul este deplasat la stânga, atunci prin calcule similare este ușor să arătăm asta

. (2.59)

Apoi, combinând (2.58) și (2.59), obținem

. (2.60)

Din exemplul luat în considerare, putem trage următoarele concluzii importante care se aplică formelor de undă arbitrare:

1. Funcția de autocorelare a unui semnal neperiodic scade odată cu creșterea (nu neapărat monoton pentru alte tipuri de semnale). Evident, la ACF tinde și spre zero.

2. ACF atinge valoarea maximă la . În acest caz, este egală cu energia semnalului. Deci ACF este energie caracteristica semnalului. După cum era de așteptat, la , semnalul și copia sa sunt complet corelate (interconectate).

3. Comparând (2.58) și (2.59) rezultă că ACF este chiar funcția argument , adică

.

O caracteristică importantă a semnalului este interval de corelare. Intervalul de corelare este înțeles ca intervalul de timp, atunci când este deplasat, prin care semnalul și copia sa devin necorelate.

Din punct de vedere matematic, intervalul de corelație este determinat de următoarea expresie

,

sau deoarece este o funcție pară

. (2.61)

Pe fig. 2.10 arată ACF-ul unui semnal de formă de undă arbitrară. Dacă construim un dreptunghi a cărui zonă este egală cu aria de sub curbă cu valori pozitive (ramura dreaptă a curbei), a cărui latură este egală cu , atunci a doua latură va corespunde cu .

Găsiți intervalul de corelație pentru un impuls dreptunghiular. Înlocuind (2.58) în (2.60) după transformări simple, obținem:

,

care rezultă din fig. 2.9.

Prin analogie cu funcția de autocorelare, se estimează gradul de relație dintre două semnale funcția de corelație încrucișată(VKF)

. (2.62)

Să găsim funcția de corelație reciprocă a două semnale: un impuls dreptunghiular cu amplitudine și durată

și un impuls triunghiular de aceeași amplitudine și durată

Folosind (2.61) și calculând integralele separat pentru și , obținem:

Construcțiile grafice care ilustrează calculele VKF sunt prezentate în fig. 2.11

Aici, liniile întrerupte arată poziția inițială (la ) a impulsului triunghiular.

La expresia (2.61) se transformă în (2.57). Rezultă că ACF este un caz special al CCF cu semnale complet coincidente.

Remarcăm principalele proprietăți ale VKF.

1. La fel ca funcția de autocorelare, CCF este o funcție descrescătoare a argumentului . La VKF tind la zero.

2. Valorile funcției de corelație încrucișată pentru arbitrar sunt valorile energie reciprocă(energia de interacțiune) a semnalelor și .

3. La , funcția de corelație încrucișată (spre deosebire de funcția de autocorelare) nu atinge întotdeauna maximul său.

4. Dacă semnalele și sunt descrise de funcții pare ale timpului, atunci CCF este, de asemenea, par. Dacă cel puțin unul dintre semnale este descris de o funcție impară, atunci CCF este, de asemenea, impar. Prima afirmație este ușor de demonstrat dacă calculăm CCF a două impulsuri dreptunghiulare de polaritate opusă

Și

Funcția de corelare reciprocă a unor astfel de semnale

, (2.63)

este o funcție uniformă a argumentului .

În ceea ce privește a doua afirmație, exemplul considerat de calculare a TCF-ului impulsurilor dreptunghiulare și triunghiulare o demonstrează.

În unele probleme aplicate ale ingineriei radio, se utilizează ACF normalizat

, (2.64)

și VKF normalizat

, (2.65)

unde si sunt energiile proprii ale semnalelor si . Pentru valoarea VKF normalizat numit coeficient de corelație încrucișată. Dacă , apoi coeficientul de corelație încrucișată

.

Evident, valorile sunt între -1 și +1. Dacă comparăm (2.65) cu (1.32), atunci putem observa că coeficientul de corelație încrucișată corespunde valorii cosinusului unghiului dintre vectori și în reprezentarea geometrică a semnalelor.

Să calculăm coeficientul de corelație încrucișată pentru exemplele de mai sus. Deoarece energia semnalului unui impuls dreptunghiular este

și un puls triunghiular

atunci coeficientul de corelație încrucișată conform (2.62) și (2.65) va fi egal cu . Cât despre al doilea exemplu, pentru două impulsuri dreptunghiulare de aceeași amplitudine și durată, dar de polaritate opusă, .

Experimental, ACF și VKF pot fi obținute folosind un dispozitiv a cărui diagramă bloc este prezentată în Fig. 2.12

Când ACF este îndepărtat, un semnal ajunge la una dintre intrările multiplicatorului, iar același semnal, dar întârziat pentru un timp, ajunge la a doua. Semnalul proportional cu produsul , suferă o operațiune de integrare. La ieșirea integratorului, se formează o tensiune proporțională cu valoarea ACF la o valoare fixă. Prin modificarea timpului de întârziere, este posibil să se construiască ACF-ul semnalului.

Pentru construcția experimentală a VKF, semnalul este alimentat la una dintre intrările multiplicatorului, iar semnalul este alimentat la dispozitivul de întârziere (circuitele de intrare sunt afișate printr-o linie punctată). În caz contrar, dispozitivul funcționează într-un mod similar. Rețineți că dispozitivul descris este apelat corelatorși este utilizat pe scară largă în diverse sisteme radio pentru recepția și procesarea semnalelor.

Până acum am efectuat o analiză de corelație a semnalelor neperiodice cu energie finită. În același timp, nevoia unei astfel de analize apare adesea și pentru semnalele periodice, care au, teoretic, o energie infinită, dar o putere medie finită. În acest caz, ACF și CCF sunt calculate prin medierea perioadei și au semnificația puterii medii (intrinsecă sau, respectiv, reciprocă). Astfel, ACF-ul unui semnal periodic:

, (2.66)

și funcția de corelație încrucișată a două semnale periodice cu perioade multiple:

, (2.67)

unde este cea mai mare valoare a perioadei.

Găsiți funcția de autocorelare a unui semnal armonic

,

unde este frecvența circulară și este faza inițială.

Înlocuind această expresie în (2.66) și calculând integrala folosind binecunoscuta relație trigonometrică:

.

Din exemplul luat în considerare, putem trage următoarele concluzii, care sunt valabile pentru orice semnal periodic.

1. ACF-ul unui semnal periodic este o funcție periodică cu aceeași perioadă.

2. ACF-ul unui semnal periodic este o funcție pară a argumentului .

3. La , valoarea este puterea medie care se eliberează la o rezistență de 1 ohm și are o dimensiune.

4. ACF-ul unui semnal periodic nu conține informații despre faza inițială a semnalului.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că intervalul de corelare a unui semnal periodic .

Și acum calculăm funcția de corelație reciprocă a două semnale armonice de aceeași frecvență, dar care diferă în amplitudini și faze inițiale

Și .

Funcțiile de corelare a semnalelor sunt utilizate pentru estimări cantitative integrale ale formei semnalelor și gradului de similitudine între ele.

Funcțiile de autocorelare (ACF) ale semnalelor (funcția de corelare, CF). Așa cum se aplică semnalelor deterministe cu o energie finită, ACF este o caracteristică integrală cantitativă a formei semnalului și este integrala produsului a două copii ale semnalului s(t), deplasate una față de cealaltă în timpul t:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2,25)

După cum rezultă din această expresie, ACF este produsul scalar al semnalului și copia acestuia în dependență funcțională de valoarea variabilă a valorii deplasării t. În consecință, ACF are dimensiunea fizică a energiei, iar la t = 0 valoarea ACF este direct egală cu energia semnalului:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

Funcția ACF este continuă și uniformă. Este ușor de verificat acesta din urmă prin modificarea variabilei t = t-t în expresia (2.25):

B s (t) \u003d s (t-t) s (t) dt \u003d s (t) s (t-t) dt \u003d B s (-t). (2,25")

Având în vedere paritatea, reprezentarea grafică a ACF se face numai pentru valorile pozitive ale lui t. În practică, semnalele sunt de obicei setate pe intervalul de valori pozitive ale argumentelor de la 0-T. Semnul +t în expresia (2.25) înseamnă că, pe măsură ce valorile lui t cresc, copia semnalului s(t+t) se deplasează spre stânga de-a lungul axei t și depășește 0, ceea ce necesită o extensie corespunzătoare a semnalul în regiunea valorilor negative ale argumentului. Și deoarece în calcule intervalul de setare t, de regulă, este mult mai mic decât intervalul de setare a semnalului, este mai practic să deplasați copia semnalului la stânga de-a lungul axei argumentului, adică. aplicarea în expresia (2.25) a funcției s(t-t) în loc de s(t+t).

Pe măsură ce valoarea deplasării t crește pentru semnale finite, suprapunerea temporală a semnalului cu copia sa scade și produsul scalar tinde spre zero.

Exemplu. Pe intervalul (0, T), este specificat un impuls dreptunghiular cu o valoare a amplitudinii egală cu A. Calculați funcția de autocorelare a pulsului.

La deplasarea copiei impulsului de-a lungul axei t spre dreapta, la 0≤t≤T, semnalele se suprapun în intervalul de la t la T. Produs punctual:

B s (t) \u003d A 2 dt \u003d A 2 (T-t).

La deplasarea unei copii a impulsului spre stânga, cu -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

Pentru |t| > T semnalul și copia sa nu au puncte de intersecție și produsul scalar al semnalelor este egal cu zero (semnalul și copia sa deplasată devin ortogonale).

Rezumând calculele, putem scrie:

B s (t) = .

În cazul semnalelor periodice, ACF se calculează pe o perioadă T, cu media produsului scalar și copia sa deplasată în perioada:

B s (t) \u003d (1 / T) s (t) s (t-t) dt.

La t=0, valoarea ACF în acest caz este egală nu cu energia, ci cu puterea medie a semnalelor în intervalul T. ACF-ul semnalelor periodice este, de asemenea, o funcție periodică cu aceeași perioadă T. Aceasta este evident pentru un semnal armonic cu un singur ton. Prima valoare maximă a ACF va corespunde cu t=0. Când copia semnalului este deplasată cu un sfert din perioadă în raport cu originalul, integranții devin ortogonali unul față de celălalt (cos wo (tt) = cos (wo tp/2) º sin wot) și dau o valoare zero de ACF. Când este deplasată cu t=T/2, copia semnalului în direcția devine opusă semnalului în sine, iar produsul scalar atinge valoarea sa minimă. Cu o creștere suplimentară a deplasării, procesul invers de creștere a valorilor produsului scalar începe cu trecerea cu zero la t=3T/2 și repetarea valorii maxime la t=T=2p/wo (cos wo t-2p copie º cos wot a semnalului). Un proces similar are loc pentru semnalele periodice de formă arbitrară (Fig. 2.11).

Rețineți că rezultatul obținut nu depinde de faza inițială a semnalului armonic, care este tipică pentru orice semnal periodic și este una dintre proprietățile ACF.

Pentru semnalele date la un anumit interval , ACF se calculează cu normalizarea la lungimea intervalului :

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2,26)

Autocorelația semnalului poate fi estimată și prin funcția coeficienților de autocorelație, care se calculează conform formulei (pe baza semnalelor centrate):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

Funcția de corelație încrucișată (CCF) a semnalelor (funcția de corelație încrucișată, CCF) arată atât gradul de similitudine a formei a două semnale, cât și poziția relativă a acestora unul față de celălalt de-a lungul coordonatei (variabilă independentă), pentru care aceeași formulă (2.25) este utilizat ca și pentru ACF, dar sub integrală este produsul a două semnale diferite, dintre care unul este deplasat de timpul t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t + t) dt. (2,27)

La modificarea variabilei t = t-t în formula (2.4.3), obținem:

B 12 (t) \u003d s 1 (t-t) s 2 (t) dt \u003d s 2 (t) s 1 (t-t) dt \u003d B 21 (-t)

Orez. 2.12. Semnale și VKF

Rezultă de aici că condiția de paritate nu este îndeplinită pentru VKF, iar valorile VKF nu trebuie să aibă un maxim la t = 0. Acest lucru poate fi văzut clar în Fig. 2.12, unde sunt date două semnale identice cu centrele în punctele 0.5 și 1.5. Calculul prin formula (2.27) cu o creștere treptată a valorilor lui t înseamnă deplasări succesive ale semnalului s2(t) spre stânga de-a lungul axei timpului (pentru fiecare valoare a lui s1(t), valorile lui s2 (t+t) sunt luate pentru înmulțirea integranților).

La t=0, semnalele sunt ortogonale iar valoarea lui B 12 (t)=0. Maximul B 12 (t) va fi observat atunci când semnalul s2(t) este deplasat la stânga cu valoarea t=1, la care semnalele s1(t) și s2(t+t) sunt complet combinate. La calcularea valorilor lui B 21 (-t), se realizează un proces similar prin deplasarea secvențială a semnalului s1(t) la dreapta de-a lungul axei timpului cu o creștere treptată a valorilor negative ale lui t și, în consecință , valorile lui B 21 (-t) sunt o afișare în oglindă (în raport cu axa t=0) a valorilor B 12 (t) și invers. Pe fig. 2.13 acest lucru poate fi văzut clar.

Orez. 2.13. Semnale și VKF

Astfel, pentru a calcula forma completă a CCF, axa numerică t trebuie să includă valori negative, iar schimbarea semnului lui t în formula (2.27) este echivalentă cu permutarea semnalelor.

Pentru semnalele periodice, conceptul de CCF nu este utilizat de obicei, cu excepția semnalelor cu aceeași perioadă, de exemplu, semnalele de intrare și ieșire a sistemelor atunci când se studiază caracteristicile sistemelor.

Funcția coeficienților de corelație încrucișată a două semnale este calculată prin formula (pe baza semnalelor centrate):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2,28)

Valoarea coeficienților de corelație încrucișată poate varia de la -1 la 1.