Ne amintim de anii de școală fericiți. Pionierii în lecțiile de matematică, începând să studieze rădăcinile, în primul rând s-au familiarizat cu rădăcina pătrată. Vom merge pe aceeași cale.

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită

Analizând integrandul, ajungi la concluzia tristă că nu seamănă deloc cu integralele de tabel. Acum, dacă tot acest bun ar fi la numărător, ar fi simplu. Sau nu ar exista rădăcină în partea de jos. Sau un polinom. Nici unul metode de integrare a fracțiilor nici nu ajuta. Ce sa fac?

Principala modalitate de a rezolva integralele iraționale este schimbarea variabilei, ceea ce ne va salva de TOATE rădăcinile din integrand.

Rețineți că această înlocuire este puțin ciudată, implementarea sa tehnică diferă de metoda de înlocuire „clasică”, care este discutată în lecție Metoda înlocuirii în integrala nedefinită.

În acest exemplu, trebuie să înlocuiți X = t 2, adică în loc de „x” sub rădăcină vom avea t 2. De ce este înlocuirea exact așa? Pentru că, și ca urmare a înlocuirii, rădăcina va dispărea.

Dacă în integrand în loc de rădăcina pătrată am avut, atunci am fi efectuat înlocuirea. Dacă aș fi fost acolo, ar fi făcut-o și așa mai departe.

Bine, ale noastre se vor transforma în. Ce se întâmplă cu polinomul? Nu există dificultăți: dacă, atunci .

Rămâne să aflăm în ce se va transforma diferența. Acest lucru se face astfel:

Ne luăm înlocuitorul și agățăm diferențiale pe ambele părți:

(vom scrie cât mai detaliat posibil).

Soluția ar trebui să arate cam așa:

.

Să înlocuim: .

.

(1) Efectuăm înlocuirea după înlocuire (cum, ce și unde, a fost deja luat în considerare).

(2) Mutați constanta din integrală. Reduceți numărătorul și numitorul cu t.

(3) Integrala rezultată este tabelară, o pregătim pentru integrare selectând un pătrat.

(4) Integram peste tabel folosind formula

.

(5) Efectuăm înlocuirea inversă. Cum se face? Ne amintim din ce am dansat: dacă, atunci.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Cumva s-a întâmplat ca în exemplele 1, 2 să existe un numărător „dezobținut” cu o singură diferență. Să reparăm situația.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită

O analiză preliminară a integrandului arată din nou că nu există o cale ușoară. Prin urmare, trebuie să scapi de rădăcină.

Să înlocuim:.

Pe denotă ALL expresia sub rădăcină... Înlocuirea din exemplele anterioare nu este potrivită aici (mai precis, se poate face, dar nu ne va scăpa de rădăcină).

Atașăm diferențiale la ambele părți:

Cu numărătorul rezolvat. Ce să faci cu numitorul?

Luăm înlocuitorul nostru și exprimăm din el:.

Daca atunci.

(1) Efectuăm înlocuirea în conformitate cu înlocuirea efectuată.

(2) Pieptănarea numărătorului. Am preferat să nu pun constanta în afara semnului integral (puteți face așa, nu va fi o greșeală)

(3) Extindem numărătorul în sumă. Încă o dată, vă recomandăm insistent să citiți primul paragraf al lecției Integrarea unor fracții... Vor exista o mulțime de trucuri cu extinderea numărătorului într-o sumă în integrale iraționale, este foarte important să se elaboreze această tehnică.

(4) Împărțiți termenul numărător la numitor.

(5) Folosim proprietățile de liniaritate ale integralei nedefinite. În a doua integrală, selectăm un pătrat pentru integrarea ulterioară peste tabel.

(6) Ne integrăm peste masă. Prima integrală este destul de simplă, în a doua folosim formula tabelară a logaritmului mare .

(7) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă am efectuat o înlocuire, atunci, înapoi:.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, dacă nu ați lucrat cu atenție exemplele anterioare, atunci faceți o greșeală! Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Integrale cu mai multe la fel rădăcini ca

etc. Și ce să faci dacă în integrand rădăcini variat?

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

Așa că a venit răscumpărarea pentru numeratorii goi. Când se întâlnește o astfel de integrală, de obicei devine înfricoșătoare. Însă temerile sunt în zadar, după ce se face o înlocuire potrivită, integrandul devine mai simplu. Provocarea este de a face un înlocuitor de succes pentru a scăpa de TOATE rădăcinile simultan.

Când i se oferă rădăcini diferite, este convenabil să rămâneți la o schemă de soluție specifică.

Mai întâi, scriem integrandu-ul pe schiță și reprezentăm toate rădăcinile sub forma:

Ne va interesa numitori grade:

Nu există o modalitate universală de a rezolva ecuații iraționale, deoarece clasa lor diferă ca număr. Articolul va evidenția tipurile caracteristice de ecuații cu substituție folosind metoda integrării.

Pentru a utiliza metoda integrării directe, este necesar să se calculeze integrale nedefinite de tipul ∫ k x + b p d x, unde p este o fracție rațională, k și b sunt coeficienți reali.

Exemplul 1

Găsiți și calculați antiderivatele funcției y = 1 3 x - 1 3.

Soluţie

Conform regulii de integrare, este necesar să se aplice formula ∫ f (kx + b) dx = 1 k F (kx + b) + C, iar tabelul cu antiderivate indică faptul că există o soluție gata făcută pentru această funcție . Înțelegem asta

∫ dx 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 dx = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3 + C

Răspuns:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C.

Există cazuri când puteți folosi metoda de a aduce sub semnul diferențial. Aceasta se rezolvă prin principiul găsirii integralelor nedefinite de forma ∫ f „(x) · (f (x)) p d x, când valoarea lui p este considerată o fracție rațională.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x.

Soluţie

Rețineți că d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Atunci este necesar să însumăm sub semnul diferențial folosind tabele de antiderivate. Obținem că

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) dx = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 dz = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Răspuns:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C.

Soluția integralelor nedefinite oferă o formulă de forma ∫ d x x 2 + p x + q, unde p și q sunt coeficienți reali. Apoi este necesar să selectați un pătrat complet de sub rădăcină. Înțelegem asta

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Aplicând formula situată în tabelul integralelor nedefinite, obținem:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Apoi se calculează integrala:

∫ dxx 2 + px + q = ∫ dxx + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + px + q + C

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită de forma ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1.

Soluţie

Pentru a calcula, trebuie să scoateți numărul 2 și să-l plasați în fața radicalului:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Selectați un pătrat complet în expresia radicală. Înțelegem asta

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Atunci obținem o integrală nedefinită de forma 1 2 ∫ dxx 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ dxx + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Răspuns: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrarea funcțiilor iraționale se face într-un mod similar. Aplicabil pentru funcțiile de forma y = 1 - x 2 + p x + q.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită ∫ d x - x 2 + 4 x + 5.

Soluţie

În primul rând, trebuie să derivați pătratul numitorului expresiei de sub rădăcină.

∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ dx - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ dx - x - 2 2 - 9 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9

Integrala tabulară are forma ∫ dxa 2 - x 2 = arc sin xa + C, atunci obținem că ∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9 = arc sin x - 2 3 + C

Răspuns:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C.

Procesul de găsire a antiderivate ale funcțiilor iraționale de forma y = M x + N x 2 + px + q, unde M, N, p, q disponibili sunt coeficienți reali și sunt similari cu integrarea celor mai simple fracții ale al treilea tip. Această transformare are mai multe etape:

însumând diferența sub rădăcină, evidențiind pătratul complet al expresiei sub rădăcină, folosind formule tabulare.

Exemplul 5

Aflați antiderivatele y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Soluţie

Din condiția avem că d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) dx și x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, atunci (x + 2) dx = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 dx = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 dx.

Calculați integrala: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 dx = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ dxx 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ dxx - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Răspuns:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C.

Căutarea integralelor nedefinite ale funcției ∫ x m (a + b x n) p d x se realizează folosind metoda substituției.

Pentru a o rezolva, trebuie să introduceți noi variabile:

1. Când numărul p este un întreg, atunci x = z N, iar N este numitorul comun pentru m, n.
2. Când m + 1 n este un număr întreg, atunci a + b x n = z N și N este numitorul lui p.
3. Când m + 1 n + p este un număr întreg, atunci trebuie să introduceți variabila a x - n + b = z N, iar N este numitorul lui p.

Exemplul 6

Aflați integrala definită ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Soluţie

Se obține că ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x. Rezultă că m = - 1, n = 1, p = - 1 2, atunci m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 este un număr întreg. Puteți introduce o nouă variabilă de forma - 9 + 2 x = z 2. Este necesar să exprimăm x prin z. La ieșiri, obținem asta

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z

Este necesar să se facă o înlocuire în integrala dată. Avem asta

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Răspuns:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C.

Pentru a simplifica soluția ecuațiilor iraționale, se folosesc metode de integrare de bază.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

Integrale complexe

Acest articol completează subiectul integralelor nedefinite și include integrale pe care le găsesc destul de dificile. Lecția a fost creată la solicitările repetate ale vizitatorilor care și-au exprimat dorința ca pe site să fie analizate și exemple mai dificile.

Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe să aplice tehnicile de bază ale integrării. Manichinii și oamenii care nu sunt foarte încrezători în ceea ce privește integralele ar trebui să se refere la prima lecție - Integrală nedefinită. Exemple de soluții, unde poți stăpâni subiectul practic de la zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnicile și metodele de integrare care nu au fost încă întâlnite în articolele mele.

Ce integrale vor fi luate în considerare?

În primul rând, vom lua în considerare integralele cu rădăcini, pentru soluția cărora o folosim succesiv înlocuire variabilăși integrare pe părți... Adică, într-un exemplu, două tehnici sunt combinate simultan. Și încă mai mult.

Apoi ne vom familiariza cu un interesant și original metoda de reducere a integralei la sine... Nu atât de puține integrale sunt rezolvate în acest fel.

Al treilea număr al programului va merge la integralele fracțiilor complexe, care au trecut de box office în articolele anterioare.

În al patrulea rând, vor fi analizate integrale suplimentare ale funcțiilor trigonometrice. În special, există metode care evită înlocuirea trigonometrică universală, consumatoare de timp.

(2) În integrand, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. În ultima integrală imediat aducem functia sub semnul diferential.

(4) Luați integralele rămase. Rețineți că parantezele pot fi folosite în logaritm, nu în modul, deoarece.

(5) Efectuăm substituția inversă, exprimând din substituția directă „te”:

Studenții masochiști pot diferenția răspunsul și pot obține integrantul original așa cum tocmai am făcut eu. Nu, nu, am făcut verificarea în sensul corect =)

După cum puteți vedea, în cursul soluției, au trebuit folosite chiar mai mult de două metode de soluție, astfel încât, pentru a face față unor astfel de integrale, sunt necesare abilități de integrare încrezătoare și nu cea mai mică experiență.

În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai comună, iată trei exemple pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Aceste exemple sunt de același tip, așa că soluția completă de la sfârșitul articolului va fi doar pentru Exemplul 2, în Exemplele 3-4 - un singur răspuns. Ce înlocuire să folosiți la începutul soluțiilor cred că este evidentă. De ce am luat exemple de același tip? Se întâlnesc adesea în rolul lor. Mai des, poate, doar ceva de genul .

Dar nu întotdeauna, când rădăcina unei funcții liniare se găsește sub arctangent, sinus, cosinus, exponent și alte funcții, mai multe metode trebuie aplicate simultan. Într-o serie de cazuri, este posibil să „coboare ușor”, adică imediat după înlocuire se obține o integrală simplă, care poate fi luată în mod elementar. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse mai sus este Exemplul 4, în care, după înlocuire, se obține o integrală relativ simplă.

Prin reducerea integralei la sine

O metodă ingenioasă și frumoasă. Să aruncăm o privire imediat la clasicii genului:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

Există un binom pătrat sub rădăcină, iar când încercați să integrați acest exemplu, ibricul poate suferi ore întregi. O astfel de integrală este luată bucată cu bucată și se reduce la sine. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.

Să notăm integrala luată în considerare printr-o literă latină și să începem soluția:

Integram bucata cu bucata:

(1) Pregătiți o funcție integrand pentru împărțirea termenilor.

(2) Împărțim integrandul pe termen. Poate că nu toată lumea înțelege, voi scrie mai detaliat:

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

(4) Luați ultima integrală (logaritmul „lung”).

Acum ne uităm la începutul soluției:

Si la final:

Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integrala s-a redus la sine!

Să echivalăm începutul și sfârșitul:

Deplasați-vă la stânga cu o schimbare de semn:

Și ducem zeul în partea dreaptă. Ca urmare:

Constanta, strict vorbind, ar fi trebuit adăugată mai devreme, dar adăugată la sfârșit. Vă recomand cu tărie să citiți ceea ce este strict aici:

Notă: Mai strict, etapa finală a soluției arată astfel:

Prin urmare:

Constanta poate fi redenumită ca. De ce poți re-desemna? Pentru că încă acceptă orice valori, iar în acest sens nu există nicio diferență între constante și.
Ca urmare:

Un truc similar de redenumire constantă este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale... Și acolo voi fi strict. Și aici o astfel de libertate este permisă de mine doar pentru a nu te confunda cu lucruri inutile și pentru a mă concentra pe însăși metoda de integrare.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită

O altă integrală tipică pentru o soluție independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului. Diferența cu răspunsul din exemplul anterior va fi!

Dacă există un trinom pătrat sub rădăcina pătrată, atunci soluția în orice caz se reduce la două exemple analizate.

De exemplu, luați în considerare integrala ... Tot ce trebuie să faci este în avans selectați un pătrat complet:
.
În plus, se efectuează o înlocuire liniară, care este eliminată „fără nicio consecință”:
, rezultând o integrală. Ceva familiar, nu?

Sau un astfel de exemplu, cu un binom pătrat:
Selectați un pătrat complet:
Și, după o înlocuire liniară, obținem o integrală, care se rezolvă și după algoritmul deja considerat.

Luați în considerare încă două exemple tipice despre cum să reduceți o integrală la sine:
- integrală a exponentului înmulțită cu sinusul;
Este integrala exponentului înmulțită cu cosinusul.

În integralele enumerate pe părți, va trebui să integrăm deja de două ori:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită

Integrandul este exponentul cu sinusul.

Integram de două ori pe părți și reducem integrala la sine:

Ca urmare a dublei integrări pe părți, integrala s-a redus la sine. Să echivalăm începutul și sfârșitul soluției:

Deplasați-vă la stânga cu o schimbare de semn și exprimați integrala noastră:

Gata. Pe parcurs, este indicat să pieptănați partea dreaptă, adică. pune exponentul în afara parantezei, iar în paranteze aranjează sinusul și cosinusul într-o ordine „frumoasă”.

Acum să revenim la începutul exemplului, sau mai degrabă la integrarea pe părți:

Căci am desemnat expozantul. Apare întrebarea, exact exponentul trebuie notat întotdeauna cu? Nu este necesar. De fapt, în integrala considerată fundamental nu conteaza, pentru ce să denotăm, era posibil să mergem în altă direcție:

De ce este posibil acest lucru? Deoarece exponentul se transformă în sine (atât în ​​timpul diferențierii, cât și în timpul integrării), sinusul și cosinusul se transformă reciproc unul în celălalt (din nou, atât în ​​timpul diferențierii, cât și în timpul integrării).

Adică, puteți desemna și o funcție trigonometrică. Dar, în exemplul considerat, acest lucru este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracții. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu în al doilea mod, răspunsurile trebuie să fie aceleași.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Înainte de a decide, gândiți-vă la ce este mai profitabil în acest caz să desemnați pentru, exponent sau funcție trigonometrică? Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Și, desigur, rețineți că majoritatea răspunsurilor din această lecție sunt destul de ușor de diferențiat!

Exemplele au fost considerate ca nu cele mai dificile. În practică, integralele sunt mai frecvente, unde constanta este atât în ​​exponent, cât și în argumentul funcției trigonometrice, de exemplu:. Mulți oameni vor trebui să se piardă într-o astfel de integrală, iar eu însumi mă încurc adesea. Faptul este că există o probabilitate mare de apariție a fracțiilor în soluție și este foarte ușor să pierzi ceva prin neatenție. În plus, există o mare probabilitate de eroare în semne, rețineți că exponentul are semnul minus, iar acest lucru introduce o dificultate suplimentară.

În etapa finală, se dovedește adesea ceva de genul următor:

Chiar și la sfârșitul soluției, ar trebui să fii extrem de atent și să te ocupi cu competență de fracții:

Integrarea fracțiilor compuse

Ne apropiem încet de ecuatorul lecției și începem să luăm în considerare integralele fracțiilor. Din nou, nu toate sunt super complicate, doar dintr-un motiv sau altul exemplele au fost puțin „off topic” în alte articole.

Continuând tema rădăcinilor

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

În numitorul de sub rădăcină se află trinomul pătrat plus în afara rădăcinii „apendice” sub forma „x”. O integrală de acest fel este rezolvată folosind o substituție standard.

Noi decidem:

Inlocuirea este simpla:

Ne uităm la viața după înlocuire:

(1) După înlocuire, aducem termenii de sub rădăcină la un numitor comun.
(2) Scoatem de sub rădăcină.
(3) Reduceți numărătorul și numitorul cu. În același timp, sub rădăcină, am rearanjat termenii într-o ordine convenabilă. Cu ceva experiență, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea verbală a acțiunilor comentate.
(4) Integrala rezultată, după cum vă amintiți din lecție Integrarea unor fracții, rezolvat prin metoda selectării unui pătrat plin... Selectați un pătrat complet.
(5) Integrarea obținem un logaritm „lung” obișnuit.
(6) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă inițial, apoi înapoi:.
(7) Acțiunea finală vizează coafura rezultatului: sub rădăcină, aducem din nou termenii la un numitor comun și îi scoatem de sub rădăcină.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Aici, o constantă a fost adăugată la X singuratic, iar înlocuirea este aproape aceeași:

Singurul lucru care trebuie făcut suplimentar este să exprimați „x” din înlocuire:

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Uneori, într-o astfel de integrală poate exista un binom pătrat sub rădăcină, acest lucru nu schimbă soluția, va fi și mai simplu. Simte diferenta:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită

Scurte soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 ​​este exact integrală binomială, a cărui metodă de rezolvare a fost luată în considerare în lecție Integrale ale funcțiilor iraționale.

Integrală a unui polinom necompunebil de gradul 2 în grad

(polinom la numitor)

Mai rară, dar, totuși, întâlnită în exemple practice, forma integralei.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită

Dar să revenim la exemplul cu numărul norocos 13 (sincer, nu am ghicit bine). Această integrală este și din categoria celor cu care te poți chinui destul de mult dacă nu știi să o rezolvi.

Soluția începe cu o transformare artificială:

Cred că toată lumea înțelege deja cum se împarte numărătorul la numitor termen cu termen.

Integrala rezultată este luată bucată cu bucată:

Pentru o integrală a formei (este un număr natural), recurent Formula de reducere a gradului:
, Unde - integrală de un grad mai mic.

Să verificăm validitatea acestei formule pentru integrala rezolvată.
În acest caz:,, folosim formula:

După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Soluția eșantion utilizează formula de mai sus de două ori consecutiv.

Daca sub grad exista necompusa trinom pătrat, atunci soluția este redusă la un binom selectând un pătrat complet, de exemplu:

Ce se întâmplă dacă există un polinom suplimentar în numărător? În acest caz, se folosește metoda coeficienților nedefiniti, iar integrandul este extins în suma fracțiilor. Dar în practica mea a unui astfel de exemplu niciodată întâlnit, așa că am omis acest caz în articol Integrale ale unei funcții raționale fracționale, îl voi omite acum. Dacă o astfel de integrală încă apare, consultați manualul - totul este simplu acolo. Nu consider oportună includerea materialelor (chiar simple), probabilitatea de întâlnire cu care tinde spre zero.

Integrarea funcţiilor trigonometrice complexe

Pentru majoritatea exemplelor, adjectivul „dificil” este din nou în mare măsură condiționat. Să începem cu tangente și cotangente în grade mari. Din punctul de vedere al metodelor folosite pentru rezolvarea tangentei și cotangentei, acestea sunt aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangentă, ceea ce înseamnă că metoda demonstrată de rezolvare a integralei este valabilă și pentru cotangente.

În lecția de mai sus, ne-am uitat la substituție trigonometrică universală pentru rezolvarea unui anumit fel de integrale ale funcţiilor trigonometrice. Dezavantajul substituției trigonometrice universale este că atunci când o folosește, apar adesea integrale greoaie cu calcule dificile. Și în unele cazuri, înlocuirea trigonometrică universală poate fi evitată!

Luați în considerare un alt exemplu canonic, integrala unității împărțită la sinus:

Exemplul 17

Aflați integrala nedefinită

Puteți utiliza aici substituția trigonometrică generică și puteți obține răspunsul, dar există o modalitate mai rațională. Voi oferi o soluție completă cu comentarii pentru fiecare pas:

(1) Folosim formula trigonometrică cu unghi dublu sinus.
(2) Efectuăm o transformare artificială: La numitor, împărțim și înmulțim cu.
(3) După formula binecunoscută la numitor, transformăm fracția într-o tangentă.
(4) Aducem funcția sub semnul diferenţialului.
(5) Luați integrala.

Câteva exemple simple pentru o soluție independentă:

Exemplul 18

Aflați integrala nedefinită

Notă: primul pas este să utilizați formula de turnare și efectuați cu atenție pașii similari cu exemplul anterior.

Exemplul 19

Aflați integrala nedefinită

Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Cred că acum nimeni nu va avea probleme cu integralele:
etc.

Care este ideea din spatele metodei? Ideea este de a organiza doar tangentele și derivata tangentei în integrand folosind transformări, formule trigonometrice. Adică vorbim despre înlocuirea: ... În exemplele 17-19, am aplicat de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât problema a fost tratată cu o acțiune echivalentă - aducând funcția sub semnul diferențial.

Raționament similar, așa cum am menționat deja, poate fi efectuat pentru cotangentă.

Există, de asemenea, o condiție prealabilă formală pentru aplicarea înlocuirii de mai sus:

Suma puterilor cosinusului și sinusului este un număr întreg negativ PAR, de exemplu:

pentru o integrală - un număr întreg negativ PAR.

! Notă : dacă integrandul conține DOAR un sinus sau DOAR un cosinus, atunci integrala este luată și pentru un grad impar negativ (cele mai simple cazuri sunt în Exemplele nr. 17, 18).

Luați în considerare câteva sarcini mai semnificative pentru această regulă:

Exemplul 20

Aflați integrala nedefinită

Suma puterilor sinusului și cosinusului: 2 - 6 = –4 este un număr întreg negativ PAR, ceea ce înseamnă că integrala poate fi redusă la tangente și derivata ei:

(1) Transformați numitorul.
(2) Conform formulei binecunoscute, obținem.
(3) Transformați numitorul.
(4) Folosim formula .
(5) Aducem funcția sub semnul diferenţialului.
(6) Efectuăm o înlocuire. Este posibil ca studenții mai experimentați să nu efectueze înlocuirea, dar este totuși mai bine să înlocuiți tangenta cu o singură literă - există mai puțin risc de confuzie.

Exemplul 21

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself.

Stai, încep rundele de campion =)

Adesea, în integrand există un „mezul”:

Exemplul 22

Aflați integrala nedefinită

Această integrală conține inițial o tangentă, care provoacă imediat un gând deja familiar:

Transformare artificială la început și restul pașilor le voi lăsa fără comentarii, deoarece totul a fost deja spus mai sus.

Câteva exemple creative pentru auto-soluție:

Exemplul 23

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 24

Aflați integrala nedefinită

Da, în ele, desigur, puteți scădea gradele sinusului, cosinusului, utilizați substituția trigonometrică universală, dar soluția va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă se realizează prin tangente. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției

O funcție irațională a unei variabile este o funcție care este formată dintr-o variabilă și constante arbitrare folosind un număr finit de operații de adunare, scădere, înmulțire (creștere la o putere întreagă), împărțire și extragere a rădăcinilor. O funcție irațională diferă de o funcție rațională prin aceea că funcția irațională conține operații pentru extragerea rădăcinilor.

Există trei tipuri principale de funcții iraționale, ale căror integrale nedefinite sunt reduse la integrale ale funcțiilor raționale. Acestea sunt integrale care conțin rădăcinile unor grade întregi arbitrare dintr-o funcție fracțională liniară (rădăcinile pot fi de grade diferite, dar din aceeași funcție fracțională liniară); integrale ale binomului diferențial și integrale cu rădăcină pătrată a unui trinom pătrat.

Notă importantă. Rădăcinile sunt ambigue!

Când se calculează integrale care conțin rădăcini, sunt adesea întâlnite expresii ale formei, unde este o funcție a variabilei de integrare. Trebuie avut în vedere faptul că. Adică pentru t> 0, | t | = t... La or< 0, | t | = - t. Prin urmare, atunci când se calculează astfel de integrale, este necesar să se ia în considerare separat cazurile t> 0 Si t< 0 ... Acest lucru se poate face scriind semne sau acolo unde este necesar. Presupunând că semnul superior se referă la cazul t> 0 , iar cea inferioară - la cazul t< 0 ... La transformarea ulterioară, aceste semne, de regulă, se anulează reciproc.

Este posibilă și a doua abordare, în care integrandul și rezultatul integrării pot fi considerate funcții complexe ale variabilelor complexe. Atunci nu poți urma semnele în expresii radicale. Această abordare este aplicabilă dacă integrandul este analitic, adică o funcție diferențiabilă a unei variabile complexe. În acest caz, atât integrandul cât și integrala acestuia sunt funcții multivalorice. Prin urmare, după integrare, la înlocuirea valorilor numerice, este necesar să se selecteze o ramură cu o singură valoare (suprafața Riemann) a integrandului și pentru aceasta să se selecteze ramura corespunzătoare a rezultatului integrării.

Iraționalitate liniară fracțională

Acestea sunt integrale cu rădăcini ale aceleiași funcții fracționale liniare:
,
unde R este o funcție rațională, sunt numere raționale, m 1, n 1, ..., m s, n s sunt numere întregi, α, β, γ, δ sunt numere reale.
Astfel de integrale sunt reduse la o integrală a unei funcții raționale prin substituție:
, unde n este numitorul comun al numerelor r 1, ..., r s.

Rădăcinile pot să nu fie neapărat dintr-o funcție fracțională liniară, ci și dintr-o funcție liniară (γ = 0, δ = 1), sau pe variabila de integrare x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Iată exemple de astfel de integrale:
, .

Integrale de binoame diferențiale

Integralele binoamelor diferențiale sunt:
,
unde m, n, p sunt numere raționale, a, b sunt numere reale.
Astfel de integrale se reduc la integrale ale funcțiilor raționale în trei cazuri.

1) Dacă p este un număr întreg. Înlocuirea x = t N, unde N este numitorul comun al fracțiilor m și n.
2) Dacă - întreg. Înlocuirea a x n + b = t M, unde M este numitorul lui p.
3) Dacă - întreg. Înlocuirea a + b x - n = t M, unde M este numitorul lui p.

În alte cazuri, astfel de integrale nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare.

Uneori, astfel de integrale pot fi simplificate folosind formule de reducere:
;
.

Integrale care conțin rădăcina pătrată a unui trinom pătrat

Astfel de integrale sunt de forma:
,
unde R este o funcție rațională. Există mai multe metode de rezolvare pentru fiecare astfel de integrală.
1) Cu ajutorul transformărilor, duce la integrale mai simple.
2) Aplicați substituții trigonometrice sau hiperbolice.
3) Aplicați substituții Euler.

Să aruncăm o privire mai atentă la aceste metode.

1) Transformarea integrandului

Aplicând formula și efectuând transformări algebrice, aducem integrandul la forma:
,
unde φ (x), ω (x) sunt funcții raționale.

Tipul I

Integrala formei:
,
unde P n (x) este un polinom de grad n.

Astfel de integrale se găsesc prin metoda coeficienților nedefiniti folosind identitatea:

.
Diferențiând această ecuație și echivalând laturile stângă și dreaptă, găsim coeficienții A i.

tip II

Integrala formei:
,
unde P m (x) este un polinom de gradul m.

Înlocuirea t = (x - α) -1 această integrală este redusă la tipul anterior. Dacă m ≥ n, atunci trebuie selectată întreaga parte a fracției.

tipul III

Aici facem înlocuirea:
.
Atunci integrala va lua forma:
.
În plus, constantele α, β trebuie alese astfel încât coeficienții la t în numitor să dispară:
B = 0, B 1 = 0.
Apoi integrala se descompune în suma de integrale de două tipuri:
,
,
care sunt integrate prin substituții:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Substituții trigonometrice și hiperbolice

Pentru integralele formei, a > 0 ,
avem trei substituții principale:
;
;
;

Pentru integrale, a > 0 ,
avem următoarele înlocuiri:
;
;
;

Și în sfârșit, pentru integrale, a > 0 ,
înlocuirile sunt după cum urmează:
;
;
;

3) Substituții Euler

De asemenea, integralele pot fi reduse la integrale ale funcțiilor raționale ale uneia dintre cele trei substituții Euler:
, pentru a> 0;
, pentru c> 0;
, unde x 1 este rădăcina ecuației a x 2 + b x + c = 0. Dacă această ecuație are rădăcini reale.

Integrale eliptice

În concluzie, luați în considerare integralele de forma:
,
unde R este o funcție rațională,. Astfel de integrale se numesc eliptice. În general, ele nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare. Există însă cazuri când există relații între coeficienții A, B, C, D, E în care astfel de integrale sunt exprimate în termeni de funcții elementare.

Mai jos este un exemplu legat de polinoamele returnate. Calculul acestor integrale se realizează folosind substituții:
.

Exemplu

Calculați integrala:
.

Soluţie

Facem o înlocuire.

.
Aici, pentru x> 0 (u> 0 ) luăm semnul superior ′ + ′. Pentru x< 0 (u< 0 ) - inferior ' - '.

.

Răspuns

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.

Această secțiune va lua în considerare metoda de integrare a funcțiilor raționale. 7.1. Scurte informații despre funcțiile raționale Cea mai simplă funcție rațională este un polinom de gradul ti-lea, adică o funcție de forma unde sunt constante reale, iar a0 Φ 0. Polinomul Qn (x), pentru care coeficientul a0 = 1 „se numește redus. Un număr real b se numește rădăcină a polinomului Qn (z) dacă Qn (b) = 0. Se știe că fiecare polinom Qn (x) cu coeficienți reali este descompus în mod unic în factori reali de forma în care p, q sunt coeficienți reali, iar factorii patratici nu au rădăcini reale și, prin urmare, sunt indecompunabili în factori liniari reali. Combinând aceiași factori (dacă există) și presupunând, pentru simplitate, polinomul Qn (x) redus, putem scrie factorizarea acestuia sub forma în care sunt numere naturale. Deoarece gradul polinomului Qn (x) este egal cu n, suma tuturor exponenților a, / 3, ..., A, adăugată cu suma dublată a tuturor exponenților ui, ..., q, este egală cu n: Rădăcina a a polinomului se numește simplă sau simplă, dacă a = 1, și multiplă, dacă a> 1; numărul a se numește multiplicitatea rădăcinii a. Același lucru este valabil și pentru celelalte rădăcini ale polinomului. O funcție rațională f (x) sau o fracție rațională este raportul a două polinoame și se presupune că polinoamele Pm (x) și Qn (x) nu au factori comuni. O fracție rațională se numește corectă dacă gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, adică. Dacă mn, atunci fracția rațională se numește incorectă, iar în acest caz, împărțind numărătorul la numitor după regula împărțirii polinoamelor, se poate reprezenta sub forma în care sunt niște polinoame, iar ^^ este o fracție rațională regulată. . Exemplul 1. O fracție rațională este o fracție neregulată. Împărțind prin „colț”, vom avea În consecință. Aici. si o fractiune regulata. Definiție. Cele mai simple (sau elementare) fracții sunt fracții raționale din următoarele patru tipuri: unde sunt numere reale, k este un număr natural mai mare sau egal cu 2, iar trinomul pătrat x2 + px + q nu are rădăcini reale, astfel încât - 2 _2 este discriminantul său În algebră se demonstrează următoarea teoremă. Teorema 3. O fracție rațională obișnuită cu coeficienți reali, al cărei numitor Qn (x) are forma se descompune într-un mod unic într-o sumă de fracții elementare conform regulii Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea elementelor elementare fracții Caz ​​general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție a lui Euler A doua substituție a lui Euler A treia substituție a lui Euler În această expansiune - unele constante reale, dintre care unele pot fi egale cu zero. Pentru a găsi aceste constante, partea dreaptă a egalității (I) este redusă la un numitor comun, iar apoi coeficienții la aceleași puteri ale lui x din numărătorii părților stângi și drepte sunt echivalați. Aceasta oferă un sistem de ecuații liniare din care se găsesc constantele dorite. ... Această metodă de găsire a constantelor necunoscute se numește metoda coeficienților nedefiniti. Uneori este mai convenabil să se aplice o altă modalitate de a găsi constante necunoscute, care constă în faptul că, după echivalarea numărătorilor, se obține o identitate față de x, în care unele valori sunt atribuite argumentului x, de exemplu, valorile rădăcinilor, în urma cărora se obțin ecuații pentru găsirea constantelor. Este convenabil mai ales dacă numitorul Q „(x) are doar rădăcini simple reale. Exemplul 2. Descompuneți o fracție rațională în fracții simple Această fracție este regulată. Descompunem numitorul în factori ai ate: Deoarece rădăcinile numitorului sunt reale și diferite, atunci pe baza formulei (1) descompunerea fracției în elemente elementare va avea forma Necunoscutele coeficientului A. 2? , C se găsesc în două moduri. Prima cale. Echivalarea coeficienților la aceleași puteri ale lui x, i.e. la (termen liber), iar pe laturile stanga si dreapta ale identitatii, obtinem un sistem liniar de ecuatii pentru aflarea coeficientilor necunoscuti A, B, C: Acest sistem are o solutie unica C A doua cale. Tek ca rădăcinile numitorului sunt rupte stv în i 0, obținem 2 = 2A, de unde A * 1; r i 1, obținem -1 * -B, de unde 5 * 1; x i 2, obținem 2 = 2C. de unde С »1, iar descompunerea necesară are forma 3. Expand fracțiile neelementare, fracția rațională 4 Descompunem polinomul aflat la enayewle în factori:. Numitorul are două rădăcini duble diferite: x \ = 0 de multiplicitate 3. Prin urmare, expansiunea acestei fracții nu este cea mai simplă.Reducând partea dreaptă la un numitor comun găsim fie metoda Primă. Echivalarea coeficienților la aceleași puteri ale lui x în părțile din stânga și din dreapta ultimei identități. obținem un sistem liniar de ecuații Acest sistem are o soluție unică și expansiunea necesară va fi cea de-a doua metodă. În identitatea rezultată, punând x = 0, obținem 1 a A2, sau A2 = 1; câmp * gay x = -1, obținem -3 i B), sau Bj i -3. La înlocuirea valorilor găsite ale coeficienților A \ și B) a, identitatea va lua forma sau Presupunând x = 0, iar apoi x = -I. constatăm că = 0, B2 = 0 și. deci B \ = 0. Astfel, obținem din nou Exemplul 4. Extindeți fracția rațională în fracții simple 4 Numitorul fracției nu are rădăcini reale, deoarece funcția x2 + 1 nu dispare pentru nicio valoare reală a lui x. Prin urmare, expansiunea în cele mai simple fracții ar trebui să aibă forma Din aceasta obținem sau. Echivalând coeficienții la puterile Sshinak ale lui x în laturile stânga și dreapta ale ultimei egalități, vom avea de unde găsim și, prin urmare, Trebuie remarcat că în unele cazuri expansiunile în fracții simple pot fi obținute mai rapid și mai ușor prin acțiune într-un alt fel, fără a folosi metoda coeficienților nedeterminați. De exemplu, pentru a obține expansiunea fracției din exemplul 3, puteți adăuga și scădea la numărătorul Zx2 și efectuați împărțirea, așa cum este indicat mai jos. 7.2. Integrarea fracțiilor elementare. După cum sa menționat mai sus, orice fracție rațională neregulată poate fi reprezentată ca suma unui anumit polinom și a unei fracții raționale regulate (§7), iar această reprezentare este unică. Integrarea unui polinom nu este dificilă, așa că vom lua în considerare problema integrării unei fracții raționale regulate. Deoarece orice fracție rațională regulată poate fi reprezentată ca o sumă a celor mai simple fracții, integrarea ei se reduce la integrarea celor mai simple fracții. Să luăm acum în considerare problema integrării lor. III. Pentru a găsi integrala celei mai simple fracții de al treilea tip, să selectăm pătratul complet al binomului din trinomul pătrat: De la al doilea termen, îl setăm egal cu a2, unde și apoi facem o substituție. Apoi, ținând cont de proprietățile liniare ale integralei, găsim: Exemplul 5. Aflați integrala 4 Integrandul este cea mai simplă fracție de al treilea tip, deoarece trinomul pătrat x1 + Ax + 6 nu are rădăcini reale (discriminantul său este negativ:, iar numărătorul conține un polinom de gradul I. Așadar, procedăm astfel: 1) selectăm un pătrat complet la numitor 2) facem o înlocuire (aici 3) cu * o integrală Pentru a găsi integrala lui cea mai simplă fracțiune a celui de-al patrulea tip, punem, ca mai sus,. Apoi obținem Integrala pe partea dreaptă, o notăm cu A și o transformăm astfel: Integram pe partea dreaptă pe părți, stabilind de unde sau Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea simplelor fracții Caz ​​general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție Euler A doua substituție Euler A treia substituție Euler Am obținut așa-numita formulă recurentă, care ne permite să găsim integrala Jk pentru orice k = 2, 3 ,. ... Într-adevăr, integrala J \ este tabelară: Așezând în formula recurentă, găsim Cunoscând și stabilind A = 3, putem găsi cu ușurință Jj și așa mai departe. În rezultatul final, înlocuind peste tot în loc de t și a expresiile lor în termeni de x și coeficienții p și q, obținem pentru integrala inițială expresia acesteia în termeni de x și numerele date M, AH, p, q. Exemplul 8. Integrală Neyti „Funcția integrabilă este cea mai simplă fracție a celui de-al patrulea tip, deoarece discriminantul trinomului pătrat este negativ, adică prin urmare, numitorul nu are rădăcini reale, iar numărătorul este un polinom de gradul I. 1) Alocați pătratul complet la numitor 2) Faceți înlocuirea: Integrala ia forma: Presupunând în formula recurentă * = 2, a3 = 1. vom avea și, prin urmare, integrala necesară este egală. Revenind la variabila x, obținem în sfârșit 7.3. Caz general Din rezultatele pp. O teoremă importantă urmează imediat de la 1 și 2 din această secțiune. Teoremă! 4. O integrală nedefinită a oricărei funcții raționale există întotdeauna (pe intervale în care numitorul fracției Qn (x) Φ 0) și se exprimă în termenii unui număr finit de funcții elementare, și anume, este o sumă algebrică. , fracții raționale, logaritmi naturali și arctangente. Deci, pentru a găsi integrala nedefinită a unei funcții raționale fracționale, ar trebui să acționăm în felul următor: 1) dacă fracția rațională este incorectă, împărțirea numărătorului la numitor selectează întreaga parte, adică această funcție este reprezentată ca o sumă a unui polinom și a unei fracții raționale regulate; 2) atunci numitorul fracției corecte obținute se descompune în produsul factorilor liniari și pătratici; 3) această fracție regulată se descompune în suma celor mai simple fracții; 4) folosind liniaritatea integralei și formulele articolului 2, integralele fiecărui termen se găsesc separat. Exemplul 7. Aflați integrala М Deoarece numitorul este un polinom al treaptei a treia, integrandul este o fracție neregulată. Evidențiem întreaga parte din ea: Prin urmare, vom avea. Numitorul unei fracții obișnuite are phi de diferite rădăcini reale: și, prin urmare, expansiunea ei în fracții simple are forma Din aceasta găsim. Dând argumentului x valori egale cu rădăcinile numitorului, aflăm din această identitate că: În consecință, integrala cerută va fi egală cu Exemplul 8. Aflați integrala 4 Integrandul este o fracție regulată, al cărei numitor are două rădăcini reale diferite: х - О cu multiplicitatea 1 și х = 1 cu multiplicitatea 3, Prin urmare, expansiunea integrandului în cele mai simple fracții are forma Aducerea laturii drepte a acestei egalități la un numitor comun și anularea ambelor părți ale egalitate prin acest numitor, obținem sau. Echivalăm coeficienții la aceleași grade de x în părțile din stânga și din dreapta acestei identități: De aici găsim. Înlocuind valorile găsite ale coeficienților în expansiune, vom avea Integrarea, găsim: Exemplul 9. Aflați integrala 4 Numitorul fracției nu are rădăcini reale. Prin urmare, expansiunea în cele mai simple fracții ale integrandului are forma Prin urmare sau Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x în părțile din stânga și din dreapta acestei identități, vom avea de unde găsim și, deci, Observație. În exemplul dat, integrandul poate fi reprezentat ca o sumă de fracții elementare într-un mod mai simplu și anume, la numărătorul fracției, selectăm binomul la numitor, iar apoi facem împărțirea termen cu termen: § 8. Integrarea funcțiilor iraționale Funcția de forma constantelor reale, și Exemplul 1, Funcția este o funcție rațională a variabilelor z și y, deoarece reprezintă atât relația unui polinom de gradul al treilea, cât și a unui polinom de gradul al cincilea și a funcția nu este tisa. În cazul în care variabilele, la rândul lor, sunt funcții ale variabilei x: atunci funcția] se numește funcție rațională a funcțiilor Exemplu. O funcție este o funcție rațională a lui r și pvdikvlv Linia 3. O funcție de formă nu este o funcție rațională a lui x și radicalul y / r1 + 1, ci este o funcție rațională a funcțiilor.După cum arată exemplele, integralele funcțiilor iraționale nu sunt întotdeauna exprimate în termeni de funcţii elementare. De exemplu, integralele des întâlnite în aplicații nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare; aceste integrale sunt numite integrale eliptice de primul și, respectiv, al doilea fel. Să luăm în considerare acele cazuri când integrarea funcțiilor iraționale se poate reduce, folosind unele substituții, la integrarea funcțiilor raționale. 1. Să presupunem că este necesar să găsim integrala în care R (x, y) este o funcție rațională a argumentelor sale x și y; m £ 2 - număr natural; a, 6, c, d sunt constante reale care satisfac condiția ad - bc> 0 (pentru ad - be = 0 coeficienții a și b sunt proporționali cu coeficienții c și d și, prin urmare, raportul nu depinde de x; deci , în acest caz integrandul va fi o funcție rațională a variabilei x, a cărei integrare a fost considerată mai devreme). Să facem o schimbare de variabilă în această integrală prin stabilirea Prin urmare, exprimăm variabila x în termenii noii variabile Avem x = - o funcție rațională a lui t. În plus, găsim sau, după simplificare, Prin urmare, unde A1 (t) este o funcție rațională a lui *, deoarece funcția rațională a unei funcții raționale, precum și produsul funcțiilor raționale, sunt funcții raționale. Știm să integrăm funcții raționale. Fie Atunci integrala cerută va fi egală cu At. IVIt integrală 4 Funcția integrand * este o funcție rațională a. Prin urmare, punem t = Atunci Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor elementare Caz general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție Euler A doua substituție Euler A treia substituție Euler Astfel, obținem Primar 5. Aflați integrala în care funcția poate fi reprezentată sub forma 1 _ 1_ din care se poate observa că este o funcţie raţională a: Ţinând cont de aceasta, punem. În consecință, 2. Se consideră intefps de forma în care funcția subintefalic este de așa natură încât înlocuind radicalul \ / ax2 + bx + c în ea cu y, obținem funcția R (x) y) - rațională față de ambele argumente x și y. Această integrală este redusă la o integrală a unei funcții raționale a unei alte variabile prin substituțiile lui Euler. 8.1. Prima substituție a lui Euler Fie coeficientul a> 0. Punem sau Prin urmare găsim x ca funcție rațională a și, prin urmare, Astfel, substituția indicată se exprimă rațional prin *. Prin urmare, vom avea unde Observație. Prima substituție lui Euler poate fi luată și sub forma Exemplul 6. Aflați integrala Vom avea așadar dx substituția lui Euler, arătați că Y 8.2. A doua substituție a lui Euler Fie trinomul ax2 + bx + c să aibă rădăcini reale diferite λ] și x2 (coeficientul poate avea orice semn). În acest caz, presupunem Deoarece atunci obținem Deoarece x, dxn y / ax2 + be + c sunt exprimate rațional în termeni de t, integrala inițială se reduce la o integrală a unei funcții raționale, adică unde Problemă. Folosind prima substituție lui Euler, arătați că este o funcție rațională a lui t. Exemplul 7. Funcția Neyti integral dx M] - x1 are rădăcini reale diferite. Prin urmare, aplicăm a doua substituție lui Euler. De aici găsim Substituting the found cutouts into Given? În * gyvl; obținem 8.3. A treia substație a lui Euler Fie coeficientul c> 0. Modificați variabila prin setare. Rețineți că prima și a doua substituție Euler sunt suficiente pentru a reduce integrala la integrala unei funcții raționale. Într-adevăr, dacă discriminantul b2 -4ac> 0, atunci rădăcinile trinomului pătrat ax + bx + c sunt reale, iar în acest caz este aplicabilă a doua substituție Euler. Dacă, atunci semnul trinomului ax2 + bx + c coincide cu semnul coeficientului a, și întrucât trinomul trebuie să fie pozitiv, atunci a> 0. În acest caz, se aplică prima substituție Euler. Pentru a găsi integrale de tipul indicat mai sus, nu este întotdeauna recomandabil să folosiți substituțiile lui Euler, deoarece pentru acestea este posibil să găsiți și alte metode de integrare care să conducă la obiectiv mai rapid. Să luăm în considerare unele dintre aceste integrale. 1. Pentru a găsi integrale ale formei, selectați pătratul lung din pătratul trinomului: unde După aceea, faceți o înlocuire și obțineți unde coeficienții a și P au semne diferite sau ambii sunt pozitivi. Pentru, și de asemenea pentru a> 0 și integrala se va reduce la logaritm, dacă, pe de altă parte, la arcsinus. La. Găsiți imtegrel 4 Deci ceva de genul ăsta. presupunând că obținem Prmmar 9. Găsiți. Pune x -, vom avea 2. O integrală de formă se reduce la integrala y de la elementul 1 după cum urmează. Având în vedere că derivata () "= 2, o selectăm în numărător: 4 Identificăm derivata expresiei radicalului în numărător. Deoarece (x, vom avea, ținând cont de rezultatul Exemplului 9, 3. Integrale). de forma în care P„ (x) este polinomul de gradul n --lea, poate fi găsită prin metoda coeficienților nedefiniti, care este după cum urmează: Să presupunem că egalitatea este valabilă Exemplul 10. Integrală puternică unde Qn-i (s) este un polinom de (n - 1) - al-lea grad cu coeficienți nedefiniti: coeficienți | diferențiem ambele părți ale (1): Apoi partea dreaptă a egalității (2) se reduce la un numitor comun egal cu numitorul din stânga -partea de mână, adică ambele laturi sunt polinoame de grad n. Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x din laturile din stânga și din dreapta ale (3), obținem n + 1 ecuații, din care găsim coeficienții necesari j4 * (fc = 0,1,2, ..., n Substituind valorile lor în partea dreaptă a lui (1) și găsind integrala + с, obținem răspunsul pentru această integrală. Exemplul 11. Aflați integrala Să diferențiem ambele culori de egalitate, vom avea.Reducând latura dreaptă la un numitor comun și anulând ambele părți după aceasta, obținem identitatea sau. Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, ajungem la un sistem de ecuații din care găsim = Apoi găsim integrala din partea dreaptă a egalității (4): În consecință, integrala necesară va fi egală cu